6GMC108 MÉCANIQUE POUR INGÉNIEUR SECTION I – INTRODUCTION (CHAPITRE 1 DU LIVRE DE RÉFÉRENCE MERIAM J.L. ET KRAIGE L.G., ‘MÉCANIQUE DE L’INGÉNIEUR – STATIQUE’, LES ÉDITIONS REYNALD GOULET INC., 1996 ) Images de cette présentation sont tirées du livre de référence (version anglaise): Meriam J.L. & Kraige L.G., ‘Engineering Mechanics - Statics’, 6th ed., John Wiley and sons Inc, 2008. Introduction 2  Génie  Application des sciences et des mathématiques pour concevoir et fabriquer des objets, des structures ou des machines qui vont bénéficier à toute l’humanité Section I - Introduction 1 Introduction 3   Le scientifique étudie les sciences pour tenter de comprendre divers phénomènes, pour élargir l’étendue des connaissances. L’ingénieur applique ses connaissances pour concevoir de nouvelles choses. La conception est l’aspect primordial qui distingue l’ingénieur du scientifique. Section I - Introduction 1.1 Mécanique 6  Mécanique:  La branche des sciences physiques qui étudie l’état de repos (vitesse nulle) et de mouvement des corps soumis à l’action de forces.  Elle décrit ces états et les prédit. Section I - Introduction 2 1.1 Mécanique 7  3 branches principales:  Mécanique  Statique  des corps rigides étudie l’état d’équilibre (au repos ou à vitesse constante) des corps soumis à l’action de diverses forces  Dynamique  étudie le mouvement des corps soumis à l’action de diverses forces  Mécanique des corps déformables  Mécanique des fluides Section I - Introduction 1.1 Mécanique 8  Une des plus anciennes sciences physiques  Archimède  Théorie  Stevin  Lois (287-212 av. JC) des leviers et des corps flottants (1548-1620) composition vectorielle des forces et autres principes statiques  Galilée (1564-1642)  Dynamique  Newton  Loi des corps, chute des corps (1642-1727) du mouvement et calcul infinitésimal  Vinci, Euler, D’Alembert, Lagrange, Laplace… Section I - Introduction 3 1.2 Concepts de base 9  Espace  Concept associé à la notion de position, région géométrique dans laquelle se situe les corps  Temps  Concept qui permet d’étudier le mouvement des corps; mesure de la succession des positions Section I - Introduction 1.2 Concepts de base 10   Masse  Mesure de la résistance d’un corps au changement de vitesse; mesure de l’inertie d’un corps Force    Action exercée par un corps sur un autre corps; tend à déplacer le corps sur lequel il agit selon la direction de sa ligne d’action Caractérisée par  sa grandeur  sa direction  son point d’application Quantité vectorielle Section I - Introduction 4 1.2 Concepts de base 11   Point matériel  Corps dont on peut négliger les dimensions Corps rigide  Combinaison d’un grand nombre de points matériels occupant des positions fixes les uns par rapport aux autres; corps de dimensions finies qui ne se déforme pas Section I - Introduction 1.3 Scalaires et vecteurs 12  Quantité scalaire  Complètement définie par sa grandeur  Exprimée par un nombre  Ex: temps, volume, densité, énergie, masse Section I - Introduction 5 1.3 Scalaires et vecteurs 13  Quantité vectorielle  Caractérisée par une grandeur et une direction; obéit à la loi du parallélogramme utilisée pour la composition des vecteurs  Ex: déplacement, vitesse, accélération, force, moment, quantité de mouvement  Représentée par un segment de droite orienté, dont la direction est celle du vecteur et le sens celui de la flèche. La longueur du segment représente (à une certaine échelle) la grandeur du vecteur. Section I - Introduction 1.3 Scalaires et vecteurs 14  3 types de vecteurs  Vecteur  peut libre se déplacer librement (ex. vecteur vitesse)  Vecteur  agit glissant selon une ligne d’action précise dans l’espace, peut être déplacé sur sa ligne d’action (ex. force agissant sur un corps rigide)  Vecteur  agit lié sur un point d’application précis et par conséquent, il a une position fixe dans l’espace, ne peut être déplacé (ex. force agissant sur un corps déformable) Section I - Introduction 6 Opérations vectorielles – Annexe C/7 15  Notation du vecteur  vecteur noté v  grandeur v  Addition    v1  v2  v  v1 +  v2 ou  = v2  v1 Manuel (gras) (italique) v  v bien distinguer les deux Loi du parallélogramme  Loi du parallélogramme: le vecteur v résultant représente la   diagonale du parallélogramme formé par v1 et v2 .    NOTE: v  v1  v2  Section I - Introduction Opérations vectorielles – Annexe C/7 16  Addition (suite) À partir de cette loi, on peut utiliser une méthode graphique pour additionner deux vecteurs, appelée la méthode du triangle Méthode du triangle:   Le vecteur résultant de l’addition des deux vecteurs v1 et v2   est obtenu en disposant v1 et v2 bout à bout et en joignant l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier: v1   v v2  v2  v  = v1 Section I - Introduction 7 Opérations vectorielles – Annexe C/7 17 De la méthode du triangle, on observe que l’addition     est commutative: v1  v2  v2  v1       v1  v2  v3   v1  v2   v3 De plus, l’addition est associative:       v1  v2  v1  v2   v ' Soustraction -  v1  v2 =  v1 +  v2  = v'  v1  v2 Section I - Introduction Opérations vectorielles – Annexe C/7 18     Composantes d’un vecteur: (vecteurs unitaires i , j , k )  Un vecteur v peut être représenté par un groupe de    vecteurs appelés composantes du vecteur ( v = v1 + v2 ). Il est commode de travailler avec des composantes qui sont perpendiculaires. Ainsi, on peut décomposer les vecteurs selon   les axes x et y, et obtenir les composantes appelées v x et v y y  vy  v  vx         v  vx  v y  vx i  v y j x Section I - Introduction 8 Opérations vectorielles – Annexe C/7 19 En utilisant ces composantes rectangulaires, la direction du  vecteur v peut être exprimée par rapport à l’axe x.  vy  vx   tan 1  Il est aussi possible d’exprimer mathématiquement le vecteur v  n de grandeur unitaire et par sa grandeur et par un vecteur  ayant la même direction que v .     n vv n   n 1 v direction du vecteur grandeur du vecteur Section I - Introduction Opérations vectorielles – Annexe C/7 20 Utilisant les composantes rectangulaires présentées précédemment et définissant les vecteurs unitaires suivant x et y,      on peut écrire: v  vx  v y  vx i  v y j  v  vx où  vy  vy  vy  vx  vx    2 2 v  vx  v y  vx  v y    En 3D: v  vx  vy  vz  vx i  v y j  vz k  v x2  v y2  vz 2  addition: v1  v2  v1x i  v1y j  v1z k    v2x i  v2y j  v2z k       v1x  v2 x  i   v1 y  v2 y  j   v1z  v2 z  k       Section I - Introduction 9 Opérations vectorielles – Annexe C/7 21  Produit scalaire  Q   P  Q  P Q cos  (quantité scalaire)     P          P  Q  Px i  Py j  Pz k  Qx i  Qy j  Qz k  Px Qx  Py Q y  Pz Qz Interprétation physique:  Q  grandeur de P multiplié par la  grandeur de Q selon la direction de P  Q cos  ou  P   Q  P cos   P grandeur de Q multiplié par la   grandeur de P selon la direction de Q Section I - Introduction Opérations vectorielles – Annexe C/7 22  Produit scalaire (suite)    indication si P et Q sont parallèles      P  Q  0 i  j  i k  j k  0   si P et Q sont  P  Q  max ii  j  j  kk  1   si P et Q sont     Propriétés du produit scalaire  Commutativité  Distributivité     P Q  Q  P        P  Q  R  P Q  P  R   Section I - Introduction 10 Opérations vectorielles – Annexe C/7 23  Applications du produit scalaire:  En connaissant les composantes de 2 vecteurs, permet de déterminer l’angle entre eux:   P  Q  P Q cos  (par définition)   cos     P  Q Px Qx  Py Qy  Pz Qz   PQ P Q Permet de déterminer la composante d’un vecteur dans une direction donnée (projection d’un vecteur dans une direction donnée, on doit multiplier le vecteur par un vecteur unitaire)  P Ex.:   P  i  P i cos   P cos   P cos  i Section I - Introduction Opérations vectorielles – Annexe C/7 24  Produit vectoriel   j  k   P  Q  P Q sin   P  Q  vecteur  i   P  Q  Px Py    Pz  Py Qz  Pz Q y i  Pz Qx  Px Qz  j  Px Q y  Py Qx k Qx Qy Qz La direction du vecteur résultant est perpendiculaire au plan formé   par les vecteurs P et Q et son sens est obtenu par la règle de  la main droite:  Q   P Q Q  P          i  j  k ; j k  i ; k i  j ;        i i  j  j  k k  0   Q P  P      P Q   Q P Section I - Introduction 11 Opérations vectorielles – Annexe C/7 25  Produit vectoriel    Interprétation physique   indication si P et Q sont perpendiculaires     si sont  P  Q  max P et Q    si sont  P Q  0 P et Q Propriétés  Distributivité          P  Q  R  P Q  P  R Application:  Permet de déterminer l’aire du parallélogramme formé par 2 vecteurs.    P  Q  Aire  P Q sin Q   Si P et  Si P et  Q  Q sin 0  0 : Aire = maximum sin 90  1  P sont  : Aire = 0  sont Section I - Introduction Opérations vectorielles – Annexe C/7 26  Produit mixte  P Q  R   Px  Qx Rx  Py Qy Ry Pz Qz Rz Note: on peut interchanger le • et le  sans changer le résultat tant qu’on ne change pas l’ordre des vecteurs  P Q   R  P Q  R    P  Q  P  Q     R P Q     Q  R P   R  R       Volume  P  Q  R Interprétation physique: volume du parallélépipède formé    par les vecteurs P, Q et R Section I - Introduction 12 1.4 Principes de Newton 27  1er principe:  Si la résultante des forces agissant sur un point matériel est nulle, le point conserve son état de repos (si initialement au repos) ou il continue de se déplacer avec une vitesse constante (si initialement en mouvement).  F2  F1  Fi  0   F3 i (pas de mouvement ou vitesse constante) Principe de base de la statique Section I - Introduction 1.4 Principes de Newton 28  2e principe:  Si la résultante des forces agissant sur un point matériel n’est pas nulle, alors le point acquiert une accélération proportionnelle à la force résultante et dans la direction de celle-ci.    F  ma Base de la technique d’analyse dynamique des corps Section I - Introduction 13 1.4 Principes de Newton 29  3e principe:  Les forces d’action et de réaction qui se manifestent entre 2 corps en contact sont de même grandeur, de sens opposé et colinéaires (action-réaction)  F 1 2   F 21 Section I - Introduction 1.5 Unités 30  La mécanique utilise 4 unités fondamentales: Quantité Unités SI Unités anglo-saxonnes Unité Symbole Unité Symbole Masse kilogramme kg slug --Longueur mètre m pied pi Temps seconde s seconde s Force newton N livre lb SI: basé sur le 2ième principe de Newton F = ma  1 N = 1 kg • 1 m/s2 SA: F = ma  1 lb = 1 slug • 1 pi/s2 Section I - Introduction 14 1.6 Loi de la gravitation 31 m1  F  F m2 F  r G m 1m r2 2 F: force mutuelle d’attraction entre 2 points matériels G: constante universelle appelée constante de gravitation (6,673 x 10-11 m3/(kg • s2) ) m1, m2: masses des 2 points matériels r: distance entre le centre des 2 points matériels Force d’attraction gravitationnelle, exercée entre la terre et un corps: W = m g (W = F; g  Gm terre ) 2 rterre où g = 9,81 m/s2 ou 32,2 pi/s2 (SA) Section I - Introduction 1.7 Précision 32   Référence → 3 chiffres significatifs Rappel  Chiffres significatifs: Dans une mesure physique, le nombre de chiffres significatifs détermine la précision de la mesure. En écriture décimale, c'est le nombre total de chiffres, sans compter les éventuels zéros qui se trouvent « à gauche », c'est-à-dire à gauche du premier chiffre non nul. On peut dire aussi que :    les chiffres autres que zéro sont toujours significatifs. les zéros sont significatifs lorsqu'ils se trouvent à droite du premier chiffre autre que zéro. Exemples:  0,00705 kg possède 3 chiffres significatifs (en gras)  654,0 s possède 4 chiffres significatifs Source: Wikipédia Section I - Introduction 15 1.7 Précision 33     Remarque: les nombres entiers sont des nombres avec une infinité de chiffres significatifs. Il en va de même de leur inverse. Si données sont exactes, alors tous les chiffres sont significatifs Erreur est la moitié de la plus petite unité quand nonspécifiée Éviter les erreurs d’arrondi en stockant les résultats intermédiaires dans la calculatrice avec tous ses chiffres significatifs Section I - Introduction 1.7 Précision 34  Donc règle à suivre:  3 chiffres significatifs  Si commence par «1» alors 4 chiffres significatifs  Ex:  4.13459  4.13594  1.3333  0.96592  934.25  279340 → → → → → → 4.13 4.14 1.333 0.966 934 279000 ou 2.79 x 105 Section I - Introduction 16 1.8 Approche d’un problème de statique 35  5 étapes: 1 – Identification données connues 2 – Identification des résultats demandés et de la méthode à utiliser 3 – Schéma des diagrammes et croquis nécessaires et utiles pour résoudre et comprendre le problème 4 – Calculs 5 – Réponses, vérification de l’ordre de grandeur du résultat et conclusion Recommandation: révision vecteurs/opérations vectorielles & trigonométrie Section I - Introduction Premier T.D. 1.8 Approche d’un problème de statique 36  Étude statique  décrire quantitativement les forces agissant sur les systèmes en équilibre  examiner la situation physique  trouver sa description mathématique  Qualité d’un bon ingénieur  Capacité à comprendre la portée des hypothèses de calculs et d’utiliser celles qui conviennent à la formulation et à la résolution des problèmes en génie Section I - Introduction 17