ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS

2x + 3 4

x + 1 2 5 2 1 2

x 1 = 19/6 x 2 = -1 13 ± 25 12 13 ± √169 + 456 12

x -2 3 3x + 1 2

x 1 = 2 x 2 = -3/2 1 ± 7 4 1 ± √1 + 48 4

x 4

x 2 -2x -3 2

x 4 (x + 1)(x -3) 2

x 1 = -1/3 x 2 = -1 -4 ± 2 6 -4 ± √16 -12 6

x 1 = 2 x 2 = -1 1 ± 3 2 1 ± √1 + 8 c) (x + 3) 2 -2(3x + 6) = 0

x 2 + 6x + 9 -6x -12 = 0 → x 2 -3 = 0 → x = ± d) = x -2x + 2 = 4x -2x -3 → 2 = -3 → No tiene solución.

Otras ecuaciones

6 Resuelve:

a) x 4 -3x 2 -4 = 0 b) x 4 -5x 2 + 6 = 0 c) x 4 -5x 2 + 4 = 0 d) 36x 4 -13x 2 + 1 = 0 a) x 4 -3x 2 -4 = 0

x 2 = y → x 4 = y 2 y 2 -3y -4 = 0 → y = = → Soluciones: x 1 = 2, x 2 = -2 b) x 4 -5x 2 + 6 = 0

x 2 = y → x 4 = y 2 y 2 -5y + 6 = 0 → y = = Soluciones: x 1 = , x 2 = -, x 3 = , x 4 =c) x 4 -5x 2 + 4 = 0

x 2 = y → x 4 = y 2 y 2 -5y + 4 = 0 → y = = → Soluciones: x 1 = 2, x 2 = -2, x 3 = 1,

x 2 = 4 → x 1 = 2, x 2 = -2 x 2 = -1 → no hay solución y 1 = 4 y 2 = -1 3 ± 5 2 3 ± √9 + 16 2 2x + 3 4

x + 1 2

Unidad 4. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas d) 36x 4 -13x 2 + 1 = 0

x 2 (x 2 -9) = 0

Soluciones:

a) x -= 2 (x -2) = → Elevamos al cuadrado ambos miembros:

(x -1) = → Elevamos al cuadrado ambos miembros:

Comprobación: x 1 = 4 → 4 -= 4 -3 = 1

y 1 = 1 1 y 2 = -9

10 ± 8 18 10 ± √100 -36 2 · 9

(x -17) 2 = → Elevamos al cuadrado ambos miembros:

Comprobación: x 1 = 12 → 12 -= 12 -5 = 7 ≠ 17

x 2 = 5 → 5 -= 5 -12 = -7 ≠ 17

No tiene solución.

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

Comprobación: x 1 = 18 → 18 + = 18 + 10 = 28 ≠ 8

x 2 = 3 → 3 + = 3 + 5 = 8

Solución: x = 3 9 Resuelve:

Multiplicamos los dos miembros por x:

Comprobación: x 1 = 1 → + 1 = 0 + 1 = 1

Soluciones: x 1 = 1, x 2 = -1 b) + = Multiplicamos los dos miembros por 3x 2 : 3x 2 -9x + 3x + 9 = 2x 2 → x 2 -6x + 9 = 0 → (x -3) 2 = 0

x = 3 → Solución doble.

2 3

x + 3

x 2

x -3 x -1 -1 -1 1 -1 1

x 2

x -3 x

x -1 x √5 · 3 + 10 √5 · 18 + 10

√169 -144 4(x -1) + x + 1 = 4(x + 1) → 4x -4 + x + 1 = 4x + 4 → x = 7

Comprobación: x = 7 → + = + = + = 1

Solución: x = 7 d) -1 = Multiplicamos los dos miembros por 2 (x + 2):

Comprobación: 3x + 4 = (4 -2x) 2 → 3x + 4 = 16 -16x + 4x 2 → 4x 2 -19x + 12 = 0

x = = Comprobación:

x 1 = 4 → x 1 = 4 no es solución.

Comprobación:

x 1 = 0 → = 2 → x 1 = 0 sí es solución.

x 2 = → 2 · + = + = + = = 7 ≠ 2 → → x 2 = no es solución.

Solución: x = 0 c) x + 1 -= 0

x + 1 = Elevamos ambos miembros al cuadrado:

Comprobación: x 1 = 0 → 1 -= 1 -1 = 0 → x 1 = 0 sí es solución.

x 2 = 3 → 3 + 1 -= 4 -= 4 -4 = 0 → → x 2 = 3 sí es solución.

Soluciones: x 1 = 0, x 2 = 3 d) x + = 1 = 1 -x Elevamos ambos miembros al cuadrado:

Comprobación:

x 1 = 2 → 2 + = 2 + 1 = 3 ≠ 1 → x 1 = 2 no es solución.

x 2 = -3 → -3 + = -3 + 4 = 1 → x 2 = -3 sí es solución.

Solución: x = -3 √7 + 9

√7 -6 Multiplicamos ambos miembros por x(x + 3) que es el m.c.m. de los denominadores:

Comprobación:

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por la expresión anterior:

x(2x + 3) -(2x -1) = 4x(2x -1) 2x 2 + 3x -2x + 1 = 8x 2 -4x → 6x 2 -5x -1 = 0

x = = = Comprobación: -= 5 -1 = 4 → x 1 = 1 es solución.

-= -+ 6 = -2 + 6 = 4 → x 2 = -es solución.

Soluciones: x 1 = 1, x 2 =c) + + 2 = 0

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por (x -2)(x + 2), que es el m.c.m. de los denominadores:

(x + 1)(x + 2) + 2x(x -2) + 2(x 2 -4) = 0

x 2 + 3x + 2 + 2x 2 -4x + 2x 2 -8 = 0 → 5x 2 -x -6 = 0 2x x + 2

x + 1 x -2 x 1 = -1 → 0 + + 2 = -2 + 2 = 0 → x 1 = -1 es solución.

x 2 = → + + 2 = + + 2 = -+ + = 0 → → x 2 = es solución.

Soluciones: x 1 = -1, Soluciones: 13 Factoriza y resuelve:

Factorizamos el polinomio x 3 -3x 2 + 2x = x(x 2 -3x + 2) aplicando Ruffini:

Factorizamos el polinomio x 3 + 2x 2 -x -2 aplicando Ruffini:

Resolver x 3 + 2x 2 -x -2 = 0 equivale a resolver (x -1)(x + 1)(x + 2) = 0

Soluciones:

Resolver x 4 -6x 3 + 9x 2 = 0 equivale a resolver

Por reducción, multiplicamos la 1-a ecuación por (-2) y sumamos:

Por reducción, multiplicamos la segunda ecuación por 2 y sumamos:

x + 2y = -1 6x -2y = -2,5

→ Solución: x = -0,5, y = -0,25

Comprobación: -0,5 + 2(-0,25) = -0,5 -0,5 = -1 3(-0,5) -(-0,25) = -1,5 + 0,25 = -1,25

Por reducción, multiplicamos la segunda ecuación por -3 y sumamos:

Comprobación:

15 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba las soluciones:

c)

x + 3 y + 3 -+ -= 1 2 4 1 -x 2 -y ---= 1 2 6

→ -2y -2(9 -3y) + 6 = 0 → -2y -18 + 6y + 6 = 0 → 4y = 12 → → y = 3, x = 0

Solución: x = 0, y = 3

Comprobación: 16 Halla las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

7 1 x 1 = -→ y 1 = 3 -2 · -= -5 5 5 x 2 = 1 → y 2 = 3 -2 · 1 = 1 7 x 1 = -5 x 2 = 1 12 ± 2 10 12 ± √144 -140

Unidad 4. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas d)

x = 1 + y

(1 + y) 2 + y 2 = 11 -3(1 + y) → 1 + y 2 + 2y + y 2 = 11 -3 -3y 2y 2 + 5y -7 = 0 → y = = → Soluciones:

→ Soluciones: 19 Halla el conjunto de soluciones de las inecuaciones siguientes:

20 Resuelve las siguientes inecuaciones:

x -1 2

x + 4 8

x -4 4 2(x + 2) 3

x -1 2

x + 4 8

x -4 4 2 (x + 2) 3 b) x 2 < 2x + 1, donde x es el número.

c) x + 15 > 180, donde x es la estatura inicial.

22 Halla el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones: x > -3

x > 2 -3 2

x > -3

x < 3 -3 3

x > -1

x ≤ 5 -1 5

x > 1

x ≥ 0 0 1

P I E N S A Y R E S U E LV

Comprobación:

x 2 = -→ -+ = -+ = 0 → x 2 = -es solución.

• Si x = → + y = 5 → 6 + y 2 = 5y → y 2 -5y + 6 = 0 y = =

• Si x = -→ -+ y = 5 → -6 + y 2 = 5y → y 2 -5y -6 = 0 y = = Soluciones: x 1 = 2, y 1 = 3; x 2 = 3, y 2 = 2; x 3 = -1, y 3 = 6; x 4 = 6, y 4 = -1 b)

= 5 -y → x = (5 -y) 2 y 2 -2y + 1 = (5 -y) 2 → y 2 -2y + 1 = 25 + y 2 -10y → 8y = 24 → y = 3

x = (5 -3) 2 = 4

Solución: x = 4, y = 3 c)

Sumamos:

x 2 + y 2 = 34

x 2 -y 2 = 16

Soluciones: x 1 = 5, y 1 = 3; x 2 = 5, y 2 = -3; x 3 = -5, y 3 = 3; x 4 = -5, y 4 = -3

√34 -25 y = 2 = +1 → 6 = 2x -1 + 3 → 6 = 2x + 2 3 = x + 1 → 9(x + 1) = x 2 + 2x + 1 → 9x + 9 = x 2 + 2x + 1 Solución:

Comprobación: x 1 = 0 → -= 0 → x 1 = 0 es solución.

x 2 = -1 → -= 0 → x 2 = -1 es solución.

Soluciones:

Si

x < -5 → 2x 2 + 9x -5 > 0 Si -5 < x < 1/2 → 2x 2 + 9x -5 < 0 Si

x > 1/2 → 2x 2 + 9x -5 > 0

x 1 = 1/2 x 2 = -5 -9 ± 11 4 -9 ± √81 + 40

x < 1 → -x 2 + 3x -2 < 0 Si 1 < x < 2 → -x 2 + 3x -2 > 0 Si

x > 2 → -x 2 + 3x -2 < 0 28 Resuelve:

Resolvemos la ecuación x 2 -3x + 2 = 0 x = = → Solución: (-∞, 1) U (2, +∞) b) -x 2 + 3x -6 < -x -2

Resolvemos la ecuación -x 2 + 3x -6 = -x -2 -x 2 + 4x -4 = 0 → x = = 2

Como solo hay un punto de corte entre la parábola -x 2 + 3x -6 y la recta -x -2, entonces toda la parábola menos un punto es mayor que la recta o toda la parábola menos un punto es menor que la recta.

Para x = 0 → -6 < -2 que es cierto, luego:

Resolvemos la ecuación -x 2 + x -5 = -2x -3

Un producto de dos factores es negativo cuando los dos factores son de distinto signo:

El conjunto de soluciones es (0, 4).

El conjunto de soluciones es [-2, 5]. 3(x 2 -9) -(x 2 -4) < 5(1 -2x) 3x 2 -27 -x 2 + 4 -5 + 10x < 0 2x 2 + 10x -28 < 0 → x 2 + 5x -14 < 0

Resolvemos la ecuación x 2 + 5x -14 = 0:

• Si x < -7, tomamos, por ejemplo, x = -10 → → (-10) 2 + 5 · (-10) -14 = 36 > 0 luego x 2 + 5x -14 > 0

• Si -7 < x < 2, tomamos, por ejemplo, x = 0 → -14 < 0 → → x 2 + 5x -14 < 0

• Si x > 2, tomamos, por ejemplo, x = 3 → 3 2 + 5 · 3 -14 = 10 > 0

3x -3 -2 > 6x + 6x -2x 2 → 2x 2 -9x -5 > 0

Resolvemos la ecuación 2x 2 -9x -5 = 0

x = =

• Si x < -(por ejemplo, -1) 2 + 9 -5 > 0 → 2x 2 -9x -5 > 0

• Si -< x < 5 (por ejemplo, 0) -5 < 0 → 2x 2 -9x -5 < 0

• Si x > 5 (por ejemplo, 6) 2 · 36 -54 -5 > 0 → 2x 2 -9x -5 > 0

Solución: ( -∞, -) U (5, +∞) 1 2 1 2 1 2

x 1 = 5 1 x 2 = --2 9 ± 11 4 9 ± √81 + 40 4 3x -x 2 3

1 3

x -1 2

x 1 = 2 x 2 = -7 -5 ± 9 2 -5 ± √81 Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada objeto?

x → Precio del equipo de música y → Precio del ordenador → → 0,9x + 2 125 -0,85x = 2 157,50 → 0,05x = 32,50 → → x = 650, y = 1 850

Le costó 650 € el equipo de música y 1 850 € el ordenador.

32 La nota media de los aprobados en un examen de matemáticas fue 6,5, y la de los suspensos, 3,2. En la clase son 30 alumnos y alumnas, y la nota media global fue 5,29.

Calcula cuántos aprobaron y cuántos suspendieron.

x + y = 30

Al decir que la nota media de los aprobados es 6,5, se puede asegurar que sumando todas las notas de los aprobados queda (6,5 · x).

Al sumar todas las notas de los suspensos, queda (3,2 · y).

La relación es la siguiente: x + y = 2 500 0,9x + 0,85y = 2 157,50 34 En un examen de 20 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te quitan medio punto por cada fallo. Para aprobar, es obligatorio contestar a todas las preguntas y hay que obtener, por lo menos, 20 puntos. ¿Cuántas preguntas hay que contestar correctamente para aprobar?

Para aprobar, hay que contestar 12 preguntas bien y 8 preguntas mal.

35 La distancia entre dos localidades, A y B, es de 60 km. Dos ciclistas salen a la vez de A. La velocidad del primero es 4/5 de la del segundo y llega 3/4 de hora más tarde.

¿Qué velocidad lleva cada ciclista?

Dividimos ambas ecuaciones: ¿Cuál es la longitud del lado?

El lado del cuadrado mide 11 m.

40 Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres lados, obtenemos un triángulo rectángulo.

¿Qué cantidad es esa?

x = 13 no puede ser, porque nos quedaría una longitud negativa (9 -13 < 0).

Solución: x = 1 cm es la cantidad restada.

41 Si acortamos en 2 cm la base de un rectángulo y en 1 cm su altura, el área disminuye en 13 cm 2 .

Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que su perímetro es de 24 cm.

Perímetro = 2b + 2h = 24 cm → b + h = 12

Área 2 = Área 1 -13

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: → h = 3 → b = 12 -3 = 9

Solución: La base del rectángulo mide 9 cm y la altura, 3 cm. Existen dos relaciones entre x e y:

• y 2 = x 2 + x 2 = 2x 2 → y 2 = 2x 2 • 2x + y = 24 → y 2 = (24 -2x) 2 2x 2 = 576 -96x + 4x 2 → 2x 2 -96x + 576 = 0 → x 2 -48x + 288 = 0 x = =

x 1 = = 40,97

x 2 = = 7,029

x 1 = 40,97 no puede ser porque el perímetro es 24.

x 2 = 7,029 → y = 9,942

Los lados iguales miden 7,03 cm y la hipotenusa mide 9,94 cm. Nos quedamos con la parte positiva de la raíz cuadrada por estar trabajando con longitudes.

Solución: Los catetos miden 20 m y 48 m.

44 El lado de un rombo es 5 cm y su área es 24 cm 2 . Calcula la longitud de sus diagonales.

Existen dos relaciones entre x e y:

= 25 → x 2 = 100 -y 2 = 100 -y 2 → y 4 -100y 2 + 2 304 = 0 → z = y 2 → z 2 = y 4 z 2 -100z + 2 304 = 0 → z = = = En realidad es la misma solución.

La diagonal mayor mide 8 cm y la menor mide 6 cm. 47 Un grifo tarda el doble de tiempo que otro en llenar un cubo de agua. Si los abrimos a la vez, el cubo se llena en 3 minutos.

¿Cuánto tarda cada uno por separado?

Si entre los dos llenan el cubo en 3 minutos, en un minuto llenan de cubo.

Como el grifo A tarda el doble de tiempo en llenar el cubo que el grifo B:

• B llena 2x del cubo en un minuto.

• A llena x del cubo en un minuto.

• A + B llenan 3x del cubo en un minuto.

Sabemos que A + B llenan de cubo en un minuto.

Igualando, 3x = → x = del cubo en un minuto.

A tarda 9 minutos en llenar el cubo.

B tarda 4 minutos y 30 segundos en llenar el cubo.

R E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A

48 ¿Cómo se puede saber si una ecuación de segundo grado, ax 2 + bx + c = 0 , tiene dos, una o ninguna solución, sin resolverla?

Si b 2 -4ac > 0, hay dos soluciones.

Si b 2 -4ac = 0, hay una solución.

Si b 2 -4ac < 0, no hay ninguna solución. Sustituimos en la ecuación x = .

2 · + + k = 0 → 6 + k = 0 → k = -6

La ecuación es 2x 2 + x -6 = 0:

x = = La otra solución es x = -2.

51 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 3 y -1.

e) x 4 + 3x 2 + 2 = 0 Haciendo el cambio de variable z = x 2 , z 2 = x 4 : z 2 + 3z + 2 = 0 → z = = Como z = x 2 → No existen soluciones.

f ) 4x 4 -17x 2 + 4 = 0

Haciendo el cambio de variable z = x 2 , z 2 = x 4 :

53 Escribe un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución sea x = 1, y = 2.

Por ejemplo:

x + y = 3

x -y = -1 2x -y = 0

Extrae la raíz cuadrada a los dos miembros y después despeja la x. Verificamos la solución x = 7, y = 1 en la tercera ecuación:

7 -1 = 6 ≠ 0 → El sistema no tiene solución -x + 2y = -5 x + 3y = 10

x -2y = 5

x + 3y = 10

x -2y = 5

x + 3y = 10 x -y = 0

x + 2y = 5 x -y = 2 x + y = 4 Resolvemos el sistema 3y = 3 → y = 1 → x = 2 + 1 = 3

Comprobamos si la solución x = 3, y = 1 cumple la tercera ecuación:

x + y = 4 → 3 + 1 = 4. La cumple.

La solución es x = 3, y = 1. De la segunda ecuación, si x = 5, entonces y = -3.

De la tercera ecuación, si x = 5 e y = -3, z = 1.

b) Restando las dos primeras, queda lo siguiente:

De la tercera ecuación, si z = -1, entonces y = 4.

De la primera ecuación, si y = 4, entonces x = 4.

(ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).

58 Resuelve como el ejercicio anterior:

El conjunto de soluciones es [2, 7).

2 -x x -7

x + 1 x 2 ≥ 0

El conjunto de soluciones es (-∞, 3). c) < 0

x + 1 < 0 x + 1 > 0 x + 1 > 0

x 2 > 0 x 2 > 0 x 2 > 0 -1 0

El conjunto de soluciones es (-∞, -1).

60 Un coche va de A a B con una velocidad de 60 km/h y vuelve de B a A a 40 km/h. ¿Cuál fue la velocidad media del recorrido?

☛ No es 50 km/h.

x es la distancia de A a B.

El coche tarda h en ir de A a B y h en ir de B a A.

La velocidad media es el espacio total dividido por el tiempo total.

Velocidad media = = = = 48 km/h 61 ¿Cuántos litros de leche con un 10% de grasa hemos de mezclar con otra leche que tiene un 4% de grasa para obtener 18 litros con un 6% de grasa?

x → litros de leche con un 10% de grasa y → litros de leche con un 4% de grasa 0,04x = 0,02y → y = 2x

x + 2x = 18 → 3x = 18 → x = 6, y = 12

Hemos de mezclar 6 litros de leche de un 10% de grasa con 12 litros de leche de un 4% de grasa.

  

x + y = 18 0,1x + 0,04y = 0,06(x + y) 240x 5x 2x 5x -120 2x x

x -+ -60 40

x 40

x 60

x + 1

x 2

x 2 3 -x x → tiempo que tarda un grifo en llenar el depósito (en horas) y → tiempo que tarda el otro grifo en llenar el depósito (en horas) → Cantidad de agua en 1 h del primer grifo → Cantidad de agua en 1 h del segundo grifo 1,5y + 1,5x = xy 1,5y + 1,5(4 + y) = (4 + y)y → 1,5y + 6 + 1,5y = 4y + y 2 → y 2 + y -6 = 0 y = = y = -3 → no puede haber tiempos negativos y = 2 → x = 6

Un grifo tardará 2 h en llenar el depósito y el otro tardará 6 h en llenar el mismo depósito.

63 Un avión militar vuela a 600 km/h cuando no hace viento y puede llevar combustible para 4 horas. Cierto día, al ir a salir para una misión de reconocimiento, hacía un viento en contra de 40 km/h, que se mantendría, según los pronósticos, durante todo el trayecto.

¿Cuántos kilómetros pudo alejarse de su base de modo que pudiese regresar sin repostar?

A la ida vuela a 560 km/h, a la vuelta vuela a 640 km/h Como mucho puede estar 4 horas volando.

→ x + y = 4

Tiene que hacer los mismos kilómetros a la ida que a la vuelta: 560x = 640y

+ y 2 = 34 x 2 -y 2 x + y = 5 x 2 y 2