GOBERNADOR DE LA PROVINCIA DE CÓRDOBA Juan Schiaretti VICE – GOBERDADOR DE LA PROVINCIA DE CÓRDOBA Martín Llaryora MINISTRO DE EDUCACIÓN DE LA PROVINCIA DE CÓRDOBA Walter Mario Grahovac SECRETARIA DE EDUCACIÓN Delia María Provinciali DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOS Carlos Omar Brene INSPECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOS Mercedes Carignano Equipo de Producción de Materiales Coordinación General: Prof. Parrello María Ángela Generalista: Lic. Castro Claudia Área de Matemática: Prof. Perales Raquel Alejandra Área de Producción e Interpretación de Texto – Lengua y Literatura: Prof. y Lic. Martínez María Área de Producción e Interpretación de Texto – Lengua Extranjera: Inglés: Prof. Pereyra Gabriela Lorena Área de Ciencias Naturales: Lic. Garrone Florencia Área de Ciencias Sociales: Lic. Trucco Dalmas Ana Belén Maravillas Área de Ciencias Sociales – Psicología Social: Lic. Herranz Silvana Melisa Área Técnico Profesional – Módulo 8: Prof. Molina Mariana Noé Lic. Castro Julio Dra. Carbonell Patricia Alejandra Cra. Peralta Ana Colaboradores: Prof. y Lic. Gianola Mercedes Prof. y Lic. Martínez María Revisor: Prof. y Lic. De Gisi Ricardo Diseño y Diagramación: Ing. Martín Salinas, Jesús Prof. Rocha Kermolj Ana Bárbara Un especial agradecimiento al Sindicato Regional de Luz y Fuerza - SiReLyF por su acompañamiento en toda la producción realizada. Educación de Jóvenes y Adultos FUNCIÓN LINEAL Con el estudio del módulo 4, hemos aprendido qué es una función, cómo se puede representar y como se encuentran sus valores máximos y mínimos, sus tramos donde crece o decrece y sus raíces. Además, estudiamos un tipo de funciones especiales llamadas funciones de proporcionalidad, las cuales tenían una fórmula y un gráfico especial. A continuación, estudiaremos las llamadas funciones lineales, que permiten representar situaciones concretas como el espacio recorrido por un móvil, el estiramiento de un resorte, el aumento de temperatura de una sustancia al calentarla, entre otras, en las que la relación entre las variables se caracteriza por una velocidad de cambio constante. La función lineal fue el primer tipo de función que se expresó por medio de una fórmula. El primero que habló de ellas fue James J. Sylvester en 1853, quien fue presidente de la Sociedad Matemática de Londres, su ciudad natal. Para comenzar con el estudio de este tipo especial de funciones, resolveremos las siguientes situaciones: Una fábrica de pisos antideslizantes está desarrollando un tipo de plastificado de alta resistencia para uso industrial que requiere un pulido especial. Los técnicos de la fábrica establecieron que el costo del pulido por metro cuadrado es $100 y que además, le cobran al cada cliente un costo fijo de $500 por única vez, para evaluación y asesoramiento. a. Completa la siguiente tabla de valores. 10 Precio ($) 500 + 100 . 10 = 1400 b. Ubica en el gráfico los puntos obtenidos en la tabla de valores y analizar si es posible unirlos. c. ¿Cuáles son las variables consideradas en esta situación? d. Escribe la fórmula que vincula dichas variables. e. ¿Es cierto que el precio del plastificado es directamente proporcional a la superficie de piso cubierta? 20 30 40 50 500 + 100 . 50 = 5500 Precio ($) ÁREA DE MATEMÁTICA Superficie (m2) Superficie (m2) 7 Educación de Jóvenes y Adultos En sus vacaciones, la familia Gonzales viajó al sur en avión y desea alquilar un auto para conocer los alrededores. Consiguieron dos folletos en la secretaría de turismo. ¿Cuál será el costo del alquiler, en cada empresa, para un día? ¿Para dos días? ¿Para diez días? Para cada empresa, ¿cuál es la fórmula que relaciona el precio del alquiler de acuerdo a la cantidad de días? Dado el siguiente gráfico, completa la tabla de valores y encontrar su fórmula. x y -2 -1 0 1 2 En las tres situaciones anteriores se involucraron funciones lineales. Estas tienen una fórmula y un gráfico particulares. Volvamos a las actividades propuestas e intentemos descubrir estas particularidades. ÁREA DE MATEMÁTICA Se llama función lineal a toda función cuya fórmula es y = ax + b donde a y b son dos números reales cualesquiera. Al número real a se lo llama pendiente y a b, ordenada al origen. El dominio y la imagen de estas funciones es R, y su representación gráfica es una recta en el plano que no es paralela al eje y. 8 Educación de Jóvenes y Adultos A trabajar… Actividad 1. Identifica si cada una de las siguientes ecuaciones puede corresponder a la fórmula de una función lineal. 1 x 3 a. y = −3x + 2 c. 3x = 2 e. y= b. y = 4 : (5x ) d. y = 3+ x f. y = −3x 2 Actividad 2. Completa la siguiente tabla sabiendo que f es una función lineal. y Pendiente Ordenada al origen y = 3x + 1 y = x −4 y = 2 x............. -5 y = ................... 0,5 3  y = −0,3 x Actividad 3. Completa las tablas de valores y grafica cada una de las siguientes funciones lineales. y x y x -2 -2 -3 -1 -1 0 0 0 3 1 1 6 y ÁREA DE MATEMÁTICA x Actividad 4. En cada caso, escribe la fórmula de una función lineal que cumpla que: i. Su pendiente sea el doble de su ordenada al origen. ii. Que su pendiente sea un número real positivo menor que 1. Representa gráficamente las funciones obtenidas en los ítems anteriores. 9 Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 5. Un tanque tiene una capacidad de 8000 litros de agua que se extrae con una bomba que saca 1000 litros de agua por hora. El gráfico relaciona le cantidad de agua que queda en el tanque al funcionar la bomba, de acuerdo al tiempo transcurrido. a. ¿Cuántos litros quedan en el tanque a las 2 horas? ¿Y cuántos a las 4 horas? Cantidad de agua (l) b. ¿Cuántas horas transcurrieron si en el tanque quedan 2000 litros? c. ¿En cuánto tiempo se desagotará el tanque? d. Confecciona una tabla con 6 valores. Tiempo (hs) Actividad 6. El gráfico muestra la evolución del capital invertido en dos empresas durante cinco años. Si tuviera que invertir en las empresas A o B, ¿en cuál lo haría? Ganancias B A Tiempo (años) Actividad 7. Un águila inicia su vuelo desde la cima de un cerro. El gráfico muestra la altura alcanzada por el ave, en función del tiempo. Altura (m) a. ¿Desde qué altura partió el águila? ÁREA DE MATEMÁTICA b. ¿Qué altura alcanzó a los tres minutos? c. Escribe la fórmula que relaciona la altura alcanzada y el tiempo. d. La función representada ¿alcanza un valor máximo? ¿y un valor mínimo? e. ¿Cuál es el dominio y la imagen de tal función? 10 Tiempo (min) Educación de Jóvenes y Adultos Raíz de una función lineal Estudiamos en el módulo 4 que las raíces de una función son los valores de x para los cuales la función se anula, es decir, para los cuales y vale cero, y que las raíces determinan los puntos de intersección de la función con el eje x. • Dados los siguientes gráficos de funciones lineales, indica cuáles son sus raíces. y y 6 6 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 6 y 1 -3 -2 -1 -1 1 x 1 2 3 4 1 x 5 -3 -2 -2 -1 -1 1 2 3 x -3 -2 -2 -1 -1 1 2 3 4 -2 Debido a que el gráfico de la función lineal es una recta, ésta puede intersectar al eje x en un único punto, lo que implica que las funciones lineales poseen a lo sumo una única raíz. Como la fórmula de una función lineal es , para hallar su raíz bastará con despejar x en A trabajar… Actividad 8. En cada caso, calcula la raíz de las funciones lineales representadas en la actividad 3. Debido a que el gráfico de una función lineal es una recta que no es paralela al eje y, sabemos que dicha recta cortará siempre al eje y en un punto. ¿Podemos saber qué coordenadas posee ese punto? Al ubicarse en el eje y, su coordenada x es 0 y para hallar su coordenada y deberemos reemplazar a x por 0 en la fórmula de la función. Como y = a ⋅ 0 + b = 0 + b = b , entonces el punto (0 ; b) pertenece al gráfico de la función y al eje y. ÁREA DE MATEMÁTICA La ordenada al origen En toda función lineal la ordenada al origen determina el punto de intersección de su gráfico con el eje y, el cual es (0 ; b). 11 Educación de Jóvenes y Adultos La ordenada al origen es 1 y el punto de intersección es (0 ; 1) 5 Por ejemplo, la función lineal y = − x + 1 2 representada tiene ordenada al origen 1, por lo que su gráfico cortará al eje y en el punto (0 ; 1) . La pendiente de la recta La pendiente de una función lineal es un número que tiene gran incidencia en el gráfico de dicha función. A este número se lo asocia con la inclinación de la recta respecto al eje de las abscisas. Para reconocer su efecto en el gráfico de una función lineal, comenzaremos resolviendo la siguiente actividad • Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones lineales y x y 6 -2 5 0 4 2 3 2 x y 1 -3 0 -4 -3 -2 -1 -1 3 ÁREA DE MATEMÁTICA -2 x -1 0 2 12 y 1 2 3 4 5 6 x Educación de Jóvenes y Adultos • Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones lineales y x x y -2 -3 0 0 2 3 y 6 5 4 3 2 x 1 y -2 -4 0 1 -3 -2 -1 1 -1 2 3 4 5 6 x -2 • Observa los gráficos obtenidos, luego compara tanto las pendientes como los gráficos de las funciones y extrae conclusiones. Sería conveniente comparar las conclusiones obtenidas con algunos de nuestros compañeros y tutores. Cuando la pendiente de la función lineal es positiva, su gráfico es una recta creciente y cuando es negativa, es una recta decreciente. Además, a mayor módulo de la pendiente le corresponde un mayor ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x. Actividad 9. Realiza, en cada caso, el gráfico de una función lineal cuya pendiente a y ordenada al origen b, cumplan la condición dada. a. a>0 b<0 b. a<0 b=0 c. a<0 b<0 13 ÁREA DE MATEMÁTICA A trabajar… Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 10. A continuación hay cinco fórmulas de funciones y cinco gráficos. Teniendo en cuenta la información que contienen tanto las fórmulas dadas como los gráficos, a. Vincula cada gráfico con su fórmula. b. Determina la o las raíces de cada función representada. Gráfico 1 Gráfico 3 ÁREA DE MATEMÁTICA Gráfico 5 14 Gráfico 2 Gráfico 4 Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 11. Dados los siguientes gráficos de funciones lineales, a. Determina la ordenada al origen de cada una de tales funciones. b. Clasifica cada función graficada en creciente o decreciente. Gráfico 2 ÁREA DE MATEMÁTICA Gráfico 1 15 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Son funciónes lineales la a, la d y la e. Actividad 2. Pendiente y ordenada al origen. y Pendiente Ordenada al origen y = 3x + 1 3 1 y = x −4 1 -4 y = 2x − 5 2 -5 y = 0,5x + 3 0,5 3  y = −0,3 x  − 0,3 0 ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 3. Tablas de valores y gráfico. 16 x y -2 -8 -1 -5 0 -2 1 1 x y -2 1 -1 0 0 -1 1 -2 Educación de Jóvenes y Adultos x y -3 0 0 1 3 2 6 3 Actividad 4. Condición. 1 b. Puede ser y = 0,5x , y = x + 1 , etc. 3 Los gráficos dependen de las fórmulas propuestas en los ítems anteriores. a. Puede ser y = 2 x + 1 , y = −6 x − 3 , etc. Actividad 5. Tanque de agua. a. A las 2 horas quedan 6000 litros, y a las 4 horas, 4000 litros. b. Transcurrieron 6 horas. c. En 8 horas se desagotará el tanque d. Tabla de valores. Tiempo (hs) 0 1 5 6 7 8 Cantidad de agua (l) 8000 7000 3000 2000 1000 0 Actividad 6. La empresa A es la más conveniente ya que con una inversión inicial menor, en 5 años, logra tener las mismas ganancias que la empresa B. Actividad 7. Vuelo del águila. A los 100 metros. 400 metros. y = 100 x + 100 d. Su valor máximo es 500 metros a los 4 minutos y su valor mínimo es 100 metros en el momento inicial e. Su dominio es el conjunto formado por los valores de x que cumplen que 0 ≤ x ≤ 4, y la imagen es el conjunto formado por los valores de y que cumplen que 100 ≤ y ≤ 500 1 2 Actividad 8. La raíz de y = 3x − 2 es x = , de y = − x − 1 es x = −1 y de y = x + 1 es x = −3 . 3 3 17 ÁREA DE MATEMÁTICA a. b. c. Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 9. a. En este caso se debre graficar una recta creciente que corte al eje y en algún valor negativo. b. La recta debe ser decreciente y pasar por el origen de coordenadas. c. La recta debe ser decreciente y cortar al eje y en algún valor negativo. Actividad 10. Gráfico Fórmula Raíces 1 f ( x ) = 2x − 8 x =1 2 f (x) = x 2 − 5 x = −2,2 y x = 2,2 aproximadamente 3 y = 5x + 3 x = −3 / 5 4 f ( x ) = 2x − 8 x =4 5 y = x3 x =0 ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 11. 18 Gráfico Ordenada al origen Orientación 1 -1 Decreciente 2 2 Creciente Educación de Jóvenes y Adultos ALGO MÁS SOBRE FUNCIÓN LINEAL En la sección anterior, hemos aprendido cómo se define una función lineal, cómo es su gráfico, cómo se calcula su raíz y qué influencia tienen su pendiente y ordenada al origen en el gráfico. A continuación, veremos cómo se obtiene la fórmula de una función lineal a partir de las coordenadas de dos puntos de su gráfico y aprenderemos a graficar una función lineal sin realizar su tabla de valores. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Dados dos puntos distintos del plano hay una única recta que pasa por ellos. Para hallar la fórmula de la función lineal cuyo gráfico es tal recta, basta con calcular su pendiente y ordenada al origen. Al conocer las coordenadas de dos puntos distintos de una recta, y podemos calcular su pendiente mediante la fórmula Por ejemplo, para hallar la fórmula de la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por dos ( ) ( ) puntos, por ejemplo 1 ; 3 y 2 ; 5 podemos hacer así:  Primero calculamos la pendiente, aplicando la fórmula anterior a= y 2 − y1 5 − 3 2 = = =2 x 2 − x1 2 − 1 1 ⇒a=2 Como y = ax + b y a = 2 entonces y = 2 x + b .  Para calcular la ordenada al origen consideramos uno de los puntos dados, por ejemplo el punto (1 ; 3). Como dicho punto pertenece al gráfico de la función lineal y = 2x + c , al reemplazar x por 1 e y por 3, obtenemos la ecuación 3 = 2 ⋅ 1 + b cuya incógnita es b. Al despejar su valor, tenemos que b =1. A trabajar… Actividad 1. En cada caso, encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. a. (2 ; 3) y (4 ; 2) b. (2 ; 3) y (-2 ; -5) Con la fórmula obtenida en cada caso, realizar una tabla de valores y un gráfico para verificar que la recta pasa por los puntos dados. 19 ÁREA DE MATEMÁTICA Por lo tanto, y = 2 x + 1 es la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 2. Dados los siguientes gráficos de funciones lineales, Gráfico 1 Gráfico 2 a. Determina la ordenada al origen y la raíz de cada una de tales funciones. b. Escribe la fórmula de cada función lineal. c. Clasifica cada función graficada en creciente o decreciente. Para hallar la pendiente, buscar en el gráfico dos puntos cualesquiera sobre la recta. Para el gráfico 1 pueden ser (0 ; -1), (1,5 ; -2) o (-1,5 ; 0) entre otros. Actividad 3. En cada caso, halla la fórmula de la función lineal que cumpla: a. Que su gráfico pase por el origen de coordenadas y tenga pendiente – 2. b. Que su gráfico corte al eje de las ordenadas en y = −2 y pase por el punto (2 ; 4). En esta actividad, tener en cuenta que si una recta para por el eje y en -2 significa que el punto (0 ; -2) pertenece al gráfico, y que si 3 es su raíz, la recta pasa por (3 ; 0) c. Que pase por el punto (-1 , 4) y su raíz sea 3. Gráfico de una función lineal a partir de su pendiente y su ordenada al origen ÁREA DE MATEMÁTICA Para realizar el gráfico de una función lineal es necesario conocer sólo dos puntos del mismo. Uno de ellos está dado por la ordenada al origen, pues si y = mx + c se cumple que (0; c ) pertenece a su gráfico. El otro punto se puede obtener a partir de su pendiente. Para ello, observemos los siguientes ejemplos. 20 Educación de Jóvenes y Adultos Ejemplo 1: Gráfico de a partir de su fórmula. y X 3 0 2 x 5 5 5 Observemos que, en el gráfico, a partir del punto (0 ; 2), a un desplazamiento de 5 unidades hacia la derecha le corresponde un desplazamiento de 3 unidades hacia arriba. Esto ocurre en cualquier punto de la recta, como puedes observar en la siguiente figura. y 3 3 2 x 5 5 Ejemplo 2: Gráfico de a partir de su fórmula. y X 2 2 x 3 En este gráfico, a partir del punto (0 ; 4), a un desplazamiento de 3 unidades hacia la derecha le corresponde un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo. Esto ocurre en cualquier punto de la recta, como puedes observar en la siguiente figura. 3 y 3 4 ÁREA DE MATEMÁTICA 0 3 2 2 3 x 3 2 21 Educación de Jóvenes y Adultos Así, por ejemplo, para realizar el gráfico de la función lineal y = 4 x − 2 sin construir su tabla de 5 valores, podemos proceder de la siguiente manera: y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x -1 1 -1 2 3 4 5 6 7 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 Ubicar el punto (0 ; -2) en el eje y 1 2 3 4 5 6 7 El segundo punto se obtiene al avanzar 5 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba A trabajar… Actividad 4. Representa gráficamente las siguientes funciones lineales sin construir su tabla de valores. 4 3 a. y = − x + 1  b. y = −2 + 0,6 x c. y = 4 x + d. y = 1 x 3 5 2 Cuando la pendiente es un número entero, podemos pensar que su denominador es 1, y si es un número decimal, podemos escribirla primero como fracción. Actividad 5. a. Escribe la fórmula correspondiente a cada una de las funciones definidas por los siguientes enunciados. i. ii. ÁREA DE MATEMÁTICA iii. La función que a cada número real le asigna su doble. La función que a cada número real le asigna su cuadrado. La función que a cada número real le asigna su mitad aumentada en una unidad. b. Indica cuáles de las fórmulas anteriores corresponden a funciones lineales, y para cada una de éstas, realiza su gráfico sin tabla de valores. 22 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Ecuación de la recta que pasa por los puntos dados. x Y -1 4,5 0 4 1 3,5 2 3 x Y -1 -3 0 -1 1 1 2 3 Actividad 2. Gráfico Ordenada al origen Raíz Fórmula Orientación 1 -1 -1,5 2 y = − x −1 3 Decreciente 2 2 -1 y = 2x + 2 Creciente a. y = −2 x b. y = 3x − 2 c. ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 3. Fórmula de la función lineal. y = −x + 3 23 Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 4. Gráfico. 4 y = − x +1 3 Actividad 5. b. Fórmula. i. y = 2x ii. ÁREA DE MATEMÁTICA c. Son funciones lineales la i y la iii. 24 y = x2 iii. 1 y = x +1 2 Educación de Jóvenes y Adultos RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES En las secciones anteriores estudiamos el comportamiento de una función lineal. A continuación nos interesará relacionar dos funciones lineales de acuerdo a la ubicación de sus gráficos. Estos, al ser rectas, puede que sean rectas paralelas, en cuyo caso no se intersecaran, pueden ser perpendiculares, en cuyo caso se intersecaran formando cuatro ángulos rectos o puede que no sean ni paralelas ni perpendiculares. Funciones lineales cuyos gráficos son rectas paralelas Para analizar las funciones lineales cuyos gráficos son rectas paralelas, comencemos resolviendo la siguiente actividad: Representa en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las funciones lineales: y x Sabemos que la pendiente de una recta determina su inclinación con respecto al eje de las abscisas, por lo que si dos rectas poseen la misma inclinación podemos afirmar que sus pendientes son iguales. Los gráficos de dos funciones lineales que poseen la misma pendiente son rectas paralelas. 25 ÁREA DE MATEMÁTICA ¿Qué particularidades tienen las funciones anteriores tanto en su fórmula como en su gráfico? Educación de Jóvenes y Adultos A trabajar… Actividad 1. Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas. a. y = 2x − 3 e. y = 2x − 1 b. 0,5x − 1 = y f. c. y = 8 + 0,2 x g. 1 1+ x = y 5 x +1 = y d. x −3 = y h. 2x + 3 = y Actividad 2. a. Representa gráficamente las siguientes funciones lineales en un mismo sistema. i. Recta r, dada por y = 0,5x − 3 ii. Recta f, paralela a r que corta al eje de las abscisas en x = 1. iii. Recta g, paralela a r que corta al eje de las ordenadas en y = -5. Al ser paralelas las rectas r, f y g deben tener la misma pendiente. La ordenada al origen se obtendrá usando el otro dato presenta en cada consigna. b. Encontrar la ecuación de las rectas f y g. Actividad 3. a. En cada caso, determina la fórmula de la función lineal cuyo gráfico sea: i. Una recta paralela a y = 2 x − 3 que pase por el punto (8 ; 3). ii. Una recta paralela a y = 3x + 6 cuya raíz sea x = 6. 3 iii. Una recta paralela a y = − x + 2 que pase por el origen de coordenadas. 4 ÁREA DE MATEMÁTICA b. Representa, en cada caso, el par de rectas paralelas. Funciones lineales cuyos gráficos son rectas perpendiculares Para que los gráficos de dos funciones lineales sean dos rectas perpendiculares, necesariamente una debe ser creciente y otra decreciente, por lo que sus pendientes deben ser una positiva y otra negativa. Esto es sencillo de comprender. 26 Educación de Jóvenes y Adultos Pero para que además, dos rectas se corten formando cuatro ángulos rectos, es necesario que se cumplan otras dos condiciones: una de ellas es que sus pendientes sean inversas, y otra, es que el gráfico se realice en un sistema de coordenadas en el que ambos ejes respeten la misma escala. Los gráficos de dos funciones lineales que poseen pendientes opuestas e inversas son rectas perpendiculares, siempre que se grafiquen en un mismo sistema de coordenadas cartesianas utilizando la misma escala en ambos ejes. En la siguiente actividad, observar que las pendientes son opuestas, pues tienen diferente signos, y son inversas. Realiza los gráficos de dichas funciones y verifica cada par de funciones lineales determinan rectas perpendiculares. b. ÁREA DE MATEMÁTICA a. 27 Educación de Jóvenes y Adultos A trabajar… Actividad 4. a. Escribe la ecuación de dos rectas perpendiculares a la dada por y = − 2 x +5. 3 b. Representa las tres funciones lineales en un mismo sistema de coordenadas cartesianas. Actividad 5. En cada caso, determina la fórmula de la función lineal cuyo gráfico sea: a. i. Una recta perpendicular a y = 4 x − 2 que pase por el punto (3 ; -2). ii. Una recta perpendicular a y = 2 x + 2 que pase por el Cuando la pendiente de una recta es un número entero, por ejemplo a = 4, sabemos que posee denominador 1, por lo que la pendiente de su origen de coordenadas. perpendicular será ÁREA DE MATEMÁTICA b. Representa, en cada caso, el par de rectas perpendiculares. 28 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Rectas paralelas. Son paralelas y = 2 x − 3 , y = 2 x − 1 y 2 x + 3 = y por tener pendiente 2. Tambiés son paralelas 1 x − 3 = y y x + 1 = y por tener pendiente 1 y además, y = 8 + 0,2 x y 1 + x = y por tener pendiente 5 0,2. Actividad 2. Recta f: Recta g: Actividad 3. i. ii. iii. Actividad 4. Para ser perpendiculares deben tener pendiente a = 3 y cualquier ordenada al origen. 2 ÁREA DE MATEMÁTICA a. b. Los gráficos dependen de la respuesta dada en a. Actividad 5. i. 1 5 y=− x− 4 4 ii. 1 y=− x 2 29 Educación de Jóvenes y Adultos EXPRESIONES ALGEBRAICAS En todos los temas que estudiamos hasta aquí usamos fórmulas o expresiones válidas para cualquier número, utilizando el lenguaje simbólico o algebraico de la matemática, en el cual las letras representaban números desconocidos o cantidades cuyo valor no deseábamos especificar. Es todos esos casos, ya estuvimos usando expresiones algebraicas. Para profundizar el estudio de las expresiones algebraicas, comenzaremos con las siguientes actividades. En los inicios de la matemática, las fórmulas y las ecuaciones, así como sus resoluciones, se expresaban verbalmente. Entre los numerosos problemas hallados en los papiros egipcios, en el famoso papiro de Rhin (1650 a.C.) se encuentra: “un montón y un séptimo del mismo es igual a 24”. Los métodos algebraicos más antiguos surgieron porque los matemáticos se interesaron por las operaciones y sus propiedades más allá de los números en sí mismos. Luego de una clase de matemática, en el pizarrón quedaron escritas algunas fórmulas. ¿Qué utilidad fórmulas? tienen ¿Qué representan utilizadas? las dichas h letras Escribe otras fórmulas que conozcan, indicando su utilidad. A=b.h P = 2.b +2. h b Completa la siguiente tabla. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico El cuadrado de un número a a2 ÁREA DE MATEMÁTICA El siguiente de un número x b-1 La mitad de un número m a+b 30 Educación de Jóvenes y Adultos En una cuenta bancaria en la que inicialmente había una suma $ x de dinero, se realizaron dos retiros de $ y cada uno y luego, se depositó un cheque de $ z. Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas representan la cantidad $ h de dinero que quedó en la cuenta. h = x + z −2⋅y h = x −2⋅y +2⋅ z h = x −2⋅y + z h= x−y−y+z En geometría es muy importante el uso de expresiones algebraicas para expresar distintas fórmulas. Tomando como referencia las longitudes desconocidas de dos segmentos, indicadas por las letras x e y, representa: b. El perímetro de estas figuras. y x a. Las longitudes de estos segmentos. A los números que intervienen en las expresiones algebraicas se los llama coeficientes y a las letras, variables. Un polinomio es una expresión algebraica en la que las variables están afectadas sólo a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potencia de exponente natural. Por ejemplo, de las siguientes expresiones algebraicas, solo la última es un polinomio, ya que la primera tiene una raíz que afecta a las variables y en la segunda, hay una variable en el divisor. x 2 +y 2 Los exponentes y los índices no son considerados coeficientes. 3m + 4a 4 5x (− 2m + 5y )2 Las variables son m e y ÁREA DE MATEMÁTICA 3 Los coeficientes son -2 y 5 31 Educación de Jóvenes y Adultos Algunos polinomios reciben un nombre especial de acuerdo a la cantidad de términos que poseen. Cantidad de términos Nombre Ejemplo 1 Monomio 4x 3s 2 Binomio 2m 2 − n 3 3 Trinomio 6a − 5b + 9,3ab 4 Cuatrinomio 2x 3 − x 4 + 2x + 4 Es importante tener en cuenta que, como las variables representan números, cumplen con todas las propiedades estudiadas. Operaciones con polinomios Suma y resta de polinomios En un polinomio, se dice que dos o más de sus términos son semejantes si poseen la misma parte literal, es decir, si tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. La suma de dos polinomios es otro polinomio cuyos coeficientes se obtienen sumando, los coeficientes de los términos semejantes. Lo mismo sucede para la resta de dos polinomios. Si dos o más términos no son semejantes, la suma o resta no se puede resolver y se deja indicada. Ejemplos: Primero eliminamos los paréntesis ÁREA DE MATEMÁTICA Ordenamos los términos asociando los semejantes Para sumar debemos resolver . En el caso, de debemos hacer y por último, 3 – 1 = 2 32 Educación de Jóvenes y Adultos En la resta se procede igual que en la suma, solo que al eliminar los paréntesis, se cambian todos los signos de los términos del sustraendo por su contrario. A trabajar… Actividad 1. Resuelve las siguientes sumas y restas. ( ) ( a. 3x − 4 x − 0,5x + 25 − 2 x + 3x − 4 + 2 x 5 2 (   1 2 5 2 )= ) b.  x + 5x 2 − 16 + 2 x 3  + 0,2 x 2 − x − 2 x 3 − 1 =     1 3 c.  m + 3 − 4 m2  −  5 − 2m 3 + 3 2  m − m = 2  Actividad 2. Utiliza el lenguaje simbólico para expresar el perímetro de las siguientes figuras. m b 2a b a a Actividad 3. Completa los polinomios de manera tal que se cumpla la igualdad. ( (− x ) ( ) a. 2 x 3 + .....x 2 − 0,5x + 1 + − x 3 + 1,5x 2 + ......x + ...... = .........x 3 + 3x 2 − x + 6 4 ) ( ) − 1 − − x 3 + .......x 2 − 6 x + 8 = ......x 4 + ......x 3 + 7,5x 2 + .... 1 Actividad 4. Encuentra un polinomio que cumpla que sumado a 5 − x 2 + 3x 3 + 5x 4 dé por resultado 2 − 2 x 3 + 3x 2 − 2 x + 3 33 ÁREA DE MATEMÁTICA b. Educación de Jóvenes y Adultos Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos monomios, por ejemplo 2x3 y 3xy2, podemos recurrir a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación de la siguiente manera: Propiedad asociativa Producto de potencias de igual base Propiedad conmutativa Recordar que al multiplicar dos potencias de igual base, por ejemplo x3 ∙ x, la base permanece igual y se suman los exponentes. A trabajar… Actividad 5. Multiplica los siguientes monomios. a. 3ab ⋅ 5ab 2 = b. 1 n ⋅ 4m = 2 c. 2 3 xy ⋅ x = 3 4 d. a ⋅ 3a ⋅ 4a 2 = Actividad 6. Utiliza el lenguaje algebraico para expresar el área de las siguientes figuras. n b ÁREA DE MATEMÁTICA a x m El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada término de uno de ellos por todos los términos del otro, y sumando o restando los términos semejantes. Es decir, que para multiplicar dos polinomios debemos utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma y a la resta de la siguiente manera: 34 Educación de Jóvenes y Adultos (− 3x 2 )( ) + 2 x − 1 ⋅ x 2 − 3x = = −3x 4 + 2 x 3 − x 2 + 9 x 3 − 6 x 2 + 3x = −3x 4 + 11x 3 − 7 x 2 + 3x Resultado de multiplicar x2 por cada término de Resultado de multiplicar -3x por cada término de A trabajar… Actividad 7. Realiza los siguientes productos. a. (x 2 ) − 7 xy + y 2 ⋅ (x − y ) = ( ) b. (a − b ) ⋅ 5a 2 + 3ab + 3b 2 = ( )  15   c. 2m 3 n − 3m 2 n 2 + 5 ⋅  mn 3 + n 4  = Actividad 8. Observa cuáles de los resultados son incorrectos y en ese caso corregirlos. a. x + x + x = 3x f. x ⋅ x = 2x b. x 3 ⋅ x = 2x 4 g. 2 x 2 + 3x 3 = 5x 5 c. 2x 2 ⋅ 4 x 2 = 8 x 4 h. (3x )2 i. x 2 + x 2 = 2x 2 j. x5 : x = x5 2 e. 4 (x + 2)2 = x 2 + 4 Cuadrado de un binomio El nombre de esta operación ya nos está indicando que para aplicarla debemos tener una potencia en la que la base es un polinomio de dos términos y su exponente es dos. Para resolver esta operación existe una fórmula o regla general que nos permite hallar su resultado. Para obtener el enunciado de dicha regla, primero resolvamos los siguientes cuadrados, pensando la potencia como multiplicación: 35 ÁREA DE MATEMÁTICA 2 d. 2 x + 3x = 5x = 3x 2 Educación de Jóvenes y Adultos • (x + y )2 = (x + y ) ⋅ (x + y ) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ( • 3a + b 3 ) = (3a + b )⋅ (3a + b ) 2 3 3 ...................................................................................................... ...................................................................................................... • (2 x − 3y )2 = (2 x − 3y ) ⋅ (2 x − 3y ) ...................................................................................................... ...................................................................................................... Observemos ahora los resultados obtenidos e intentemos relacionar cada uno de sus términos con los dos del binomio original. En general, el cuadrado de un binomio es el trinomio formado por:  El cuadrado del primer término.  El doble del producto de los dos términos.  El cuadrado del segundo término. Por lo tanto, al resolver una potencia en la que tenemos dos términos elevados al cuadrado, obtendremos tres términos que respetan la siguiente fórmula: (primer término)2 + 2 . primer término . segundo término + (segundo término)2 ( ) 2 Para el ejemplo x 2 − 3x , basta con reemplazar en la fórmula al primer término por x2 y al ÁREA DE MATEMÁTICA segundo, por -3x de la siguiente manera: (x 2 − 3x ) = (x ) 2 2 2 + 2 ⋅ x 2 ⋅ (− 3x ) + (− 3x )2 = x 4 − 6x 3 + 9x 2 36 Para el primer término, recordar que en la potencia de otra potencia se multiplican los exponentes. Para el tercero, tener en cuenta que el exponente afecta al signo, al coeficiente y a la variable. Educación de Jóvenes y Adultos A trabajar… Actividad 9. Calcula los siguientes cuadrados. a. (a + 2b )2 b.  1  x + 5  2 c. 2 d. (m 3 − m2 ) 2  3 1 5 x + x  2   2 Actividad 10. Une con flechas cada operación con su resultado. (x + 3) . (x – 3) x2 – 6x + 9 (x - 3)2 x2 – 9 (x + 3)2 x2 + 6x + 9 (x - 3) . (x + 3) Cubo de un binomio Para el cubo de un binomio también existe una regla general para hallar su resultado. Observemos el siguiente procedimiento y su resultado, para poder comprender luego la regla general. (x + y )3 = (x + y ) ⋅ (x + y ) ⋅ (x + y ) = (x + y )2 ⋅ (x + y ) ( ) = x 2 + 2 xy + y 2 ⋅ (x + y ) = x 3 + 2 x 2 y + xy 2 + x 2 y + 2 xy 2 + y 3 ÁREA DE MATEMÁTICA = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 En general, el cubo de un binomio es el cuatrinomio formado por:  El cubo del primer término.  El triple del cuadrado del primer término por el segundo.  El triple del primer término por el cuadrado del segundo.  El cubo del segundo término. 37 Educación de Jóvenes y Adultos De la misma forma que en el cuadrado, para resolver una potencia en la que tenemos dos términos elevados al cubo, obtendremos cuatro términos que respetan la siguiente fórmula: ( ) primer 3 término ( +3. )( ) + 3 .( primer 2 segundo término . término ( ).( primer término ) ( ) segundo 2 segundo 3 + término término ) 3 Para el ejemplo x 2 − 3x , basta con reemplazar en la fórmula al primer término por x2 y al segundo, por -3x de la siguiente manera: (x 2 − 3x ) = (x ) 2 2 3 ( ) ⋅ (− 3x ) + 3 ⋅ x + 3 ⋅ x2 2 2 ⋅ (− 3x )2 + (− 3x )3 ( = x 6 + 3 ⋅ x 4 ⋅ (− 3x ) + 3 ⋅ x 2 ⋅ 9 x 2 + − 27 x 3 = x 6 − 9 x 5 + 27 x 4 − 27 x 3 En los dos triples, se resuelven primero los cuadrados y luego, las multiplicaciones. A trabajar… Actividad 11. Calcula los siguientes cubos. a. ÁREA DE MATEMÁTICA c. 38 (m 2 +1 ) b. (− x − 1)3 d. 4 2 3  a +b   3 3  1  xy − 3   3 3 3 ) Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Sumas y restas. a. − 6 x − 2,5x + 29 − 2 x b. − 2 1 x + 5,2 x 2 − 17 2 c. − 2 11 m − 2 − m 2 − 2m 3 2 3 Actividad 2. El perímetro del rectángulo es 6s , el del hexágono es 6m y el del triángulo es 2b + a. Actividad 3. Igualdades. a. b. (2x + 1,5x − 0,5x + 1) + (− x + 1,5x + (−0,5)x + (−7)) = 1x + 3x (− x − 1) − (− x + (−7,5)x − 6 x + 8) = − x + x + 7,5x + 6 x − 9 3 2 4 3 3 Actividad 4. − 5x 3 + 2 2 3 4 3 2 −x +6 2 7 2 x − 2 x − 2 − 5x 4 2 Actividad 5. Multiplicación. 2 3 b. 2nm a. 15a b c. 1 2 x y 2 d. 12a 4 Actividad 6. El área del rectángulo a . b , el del cuadrado es x 2 y el del triángulo es m⋅n . 2 Actividad 7. Multiplicación. a. x 3 − 8 x 2 y + 8 xy 2 + y 3 b. 5a 3 − 2a 2 b − 3b 3 Actividad 8. Cálculos. a. Correcto b. Incorrecto x 3 ⋅ x = x 4 c. Correcto d. Incorrecto f. 2 4 4 7 3 5 m n + m n − 3m 2 n 6 + mn 3 + 5n 4 5 5 Incorrecto x ⋅ x = x 2 g. Incorrecto 2 x 2 + 3x 3 h. Incorrecto (3x ) = 9 x 2 2 x 2 + 3x 2 = 5x 2 e. Incorrecto (x + 2) = x + 4 x + 4 2 c. i. Correcto j. Incorrecto x : x = x 2 5 2 4 a. a 2 + 4ab + 4 b 2 b. 1 2 x + 5x + 25 4 c. m 6 − 2m 5 + m 4 d. x6 + x2 + 1 10 x 4 39 ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 9. Cuadrado de un binomio. Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 10. Une con flechas. (x + 3) . (x – 3) x2 – 6x + 9 (x - 3)2 x2 – 9 (x + 3)2 x2 + 6x + 9 (x - 3) . (x + 3) Actividad 11. Calcula los siguientes cubos. m 6 + 3m 4 + 3m2 + 1 b. − x 3 − 3x 2 − 3x − 1 c. 1 3 3 x y − x 2 y 2 + 9 xy − 27 27 d. 64 6 16 4 3 a + a b + 4a 2 b 6 + b 6 27 3 ÁREA DE MATEMÁTICA a. 40 Educación de Jóvenes y Adultos FUNCIÓN CUADRÁTICA En esta sección estudiaremos otro tipo especial de funciones llamadas funciones cuadráticas, las cuales son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, física y economía. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresas, y así obtener información sin necesidad de recurrir a la experimentación. Para comenzar con el estudio de la función cuadrática, realizaremos la siguiente actividad: • Desde un barco que se encuentra en situación de emergencia, se efectúa un disparo en forma vertical, con una pistola de señales. El destello podrá verse desde la base naval más cercana únicamente si alcanza una altura no menor a 195 m sobre el nivel del mar. Los técnicos que integran la tripulación estiman que, de acuerdo con las características de la pistola de señales y con las condiciones en que se disparó, la altura del destello estará dada por la siguiente fórmula: y = 80 x − 5x 2 donde y es la altura sobre el nivel del mar, en metros, cuando hayan transcurrido x segundos desde el momento del disparo. Como todo objeto lanzado verticalmente hacia arriba, el destello que produce la señal luminosa ascenderá hasta cierto punto y luego comenzará caer. Completar la siguiente tabla, luego marcar los puntos en el gráfico y unirlos con una curva. Tiempo (seg) Altura (m) 0 80 ⋅ 0 − 5 ⋅ 0 2 = 0 2 3 6 80 ⋅ 6 − 5 ⋅ 6 2 = 300 Podemos facilitarnos la tarea recurriendo a una calculadora. ÁREA DE MATEMÁTICA 4 8 10 12 14 16 80 ⋅ 16 − 5 ⋅ 162 = 0 41 Educación de Jóvenes y Adultos Altura (m) Tiempo (seg) Observando el gráfico, responde: a. ¿Cuántos segundos estuvo el destello en el aire? b. ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada por el destello? ¿En qué momento ocurrió? c. ¿Fue visible el destello desde la base naval? En caso afirmativo, ¿durante cuánto tiempo lo fue? Se llama función cuadrática a toda función cuya fórmula es ÁREA DE MATEMÁTICA números reales y a El dominio de estas funciones es R y su gráfico en un sistema de coordenadas es una curva llamada parábola. Ésta siempre es simétrica a una recta paralela al eje y. A tal recta se la llama eje de simetría y divide a la parábola en dos partes llamadas ramas. Al punto de intersección de la parábola con el eje de simetría se lo llama vértice. 42 donde a, b y c son 0 y Eje de simetría x Vértice Educación de Jóvenes y Adultos A trabajar… Actividad 1. ¿Cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas? a. 3x 2 + y = 5 c. y = −5x b. y = 2 ⋅ ( x − 3) 2 2 d. y = x 4 e. y = 3x − 6 x + 4 f. −2 Para analizar cuáles de las fórmulas correspondes a funciones cuadráticas, debemos primero resolver las operaciones y dejar despejada la variable y. +4 y = 4 x 2 − 3 ⋅ ( x − 6) Actividad 2. Completa la siguiente tabla. y = ax 2 + bx + c a b c 0,5 0 -6 Recordar que a es el número que multiplica a x2 y que b es el número que multiplica a x. y = 5x − 6 + 3x 2 Cuando en la fórmula no aparece el término que contiene x significa que b = 0 2 y = −7 x − 2 x Actividad 3. Para la siguiente función cuadrática, completar la tabla de valores, representa la curva y señala en el gráfico el vértice y el eje de simetría. f (x) = x 2 + 4x + 3 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y y x ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 4. Observa los siguientes gráficos y sus respectivas fórmulas, y luego completa las frases. 43 Educación de Jóvenes y Adultos ............................................ Su vértice es ............................................................................................ Cuando a es positivo, las ramas están orientadas hacia ................................................ Cuando a es negativo, las ramas están orientadas hacia ............................................... A medida que el módulo de a aumenta, se observa que las ramas son ............................... a. El eje de simetría de todas las parábolas representadas es b. c. d. e. ............................................................................................................ Puntos de intersección de la parábola con los ejes cartesianos • Ordenada al origen Para encontrar el punto de intersección de la parábola con el eje y debemos hallar sus dos coordenadas. Como tal punto se encuentra en el eje y, su coordenada x es cero. Para hallar su ordenada, reemplazamos dicho valor de x en la fórmula y = ax 2 + bx + c de la parábola y obtenemos y = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c El punto de intersección de la parábola con el eje y es (0 ; c) La función representada es ÁREA DE MATEMÁTICA Debido a que , la parábola corta al eje y en -4 44 que Al número c de la fórmula se lo llama ordenada al origen Educación de Jóvenes y Adultos • Raíces Estudiamos anteriormente que, gráficamente, la raíz de una función determina el punto de intersección de su gráfico con el eje de las abscisas. En el caso de las funciones cuadráticas puede que exista una raíz, dos o ninguna, como se observa en los siguientes gráficos. Al igual que con las funciones lineales, para encontrar las raíces de una función cuadrática basta con hallar los valores de x para los cuales la función se anula, es decir, los valores de x satisfacen la ecuación ax 2 + bx + c = 0 . Este tipo especial de ecuaciones no se resuelven despejando la incógnita con los métodos aprendidos anteriormente. Para resolverlas se debe utilizar una fórmula especial llamada fórmula resolvente, la cual es El doble signo ± de la fórmula es el que permite hallar las dos raíces de la función. − b ± b 2 − 4ac x= 2a Si consideramos la función y = x 2 − 2 x − 8 , sabemos que:  su gráfico cortará al eje y en -8 ya que c = −8 .  Para hallar sus raíces debemos reconocer los valores de a, b y c en y = x 2 − 2 x − 8 y reemplazarlos en x = − b ± b 2 − 4ac . Como a = 1 , b = −2 y c = −8 , entonces 2a − b ± b 2 − 4ac − (− 2) ± = x= 2a (− 2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 8 ) 2 ⋅1 = 2 ± 4 + 32 2 ± 36 2 ± 6 = = 2 2 2 45 ÁREA DE MATEMÁTICA  sus ramas están orientadas hacia arriba porque a = 1 es positivo, de acuerdo a las conclusiones obtenidas en la actividad 4. Educación de Jóvenes y Adultos A continuación, para hallar una de las raíces se calcula calcula 2+6 8 = = 4 , y para hallar la otra, se 2 2 2−6 −4 = = −2 . Por lo tanto, la parábola cortará al eje x en -2 y 4. 2 2 Raíz Raíz Ordenada al origen A trabajar… Actividad 5. En cada uno de los siguientes gráficos, determina cuál es el signo de a, cuáles son sus raíces siempre que existan y cuál es el valor de c. Además, traza en cada gráfico su eje de simetría y su vértice. Gráfico 1 Gráfico 2 ÁREA DE MATEMÁTICA Gráfico 3 46 Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 6. Completa la siguiente tabla. Función a b c Orientación de las ramas Raíces y = x2 + x − 2 y = x2 − 4 0 y = −2 x 2 + 4 x − 2 y = 3x 2 − 6 x 0 Eje de simetría Como dijimos anteriormente, el eje de simetría de una parábola es una recta en el plano que es paralela al eje de las ordenadas, por lo que, basta con determinar el valor de la abscisa del punto b donde corta al el eje x para poder determinar su posición en el plano. Tal valor es x = − 2a Por ejemplo, para la función y = 2x 2 − 4 x − 6 , su eje de simetría es la recta paralela al eje y que pasa por el punto (1 ; 0), pues b (−4) x=− =− = 1. 2a 2⋅2 Como el vértice es el punto de intersección entre la parábola y el eje de simetría, tenemos que: • Su abscisa ( x v ) es − b . 2a • Su ordenada ( y v ) se obtiene de reemplazar x v en la fórmula de la función. 47 ÁREA DE MATEMÁTICA Vértice Educación de Jóvenes y Adultos Para el gráfico anterior, calculamos x v = − b = 1 . Para hallar y v debemos reemplazar x por 1 2a en la fórmula de la función y = 2 x 2 − 4 x − 6 . Como y v = 2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 1 − 6 = −8 , el vértice de la parábola es (1 ; -8) Construcción del gráfico de una función cuadrática Para realizar el gráfico de una función cuadrática se puede realizar primero una tabla de valores, pero no es sencillo que en dicha tabla aparezcan los puntos que determinaran la forma de la parábola a trazar, es por ellos que siempre es conveniente aplicar todo lo aprendido sobre estas funciones en esta sección. Por ejemplo, para representar y = x 2 + 2 x − 8 primero debemos realizar los siguientes cálculos y razonamientos:  Las ramas están orientadas hacia arriba, ya que a = 1 es positivo.  El eje de simetría es la recta paralela al eje y que corta al eje x en x = − b 2 =− = −1 2a 2 ⋅1  Las coordenadas del vértice son: x v = −1 e y v = (−1) 2 + 2 ⋅ (−1) − 8 = −9  La parábola corta al eje y en -8 pues c = −8 .  Para hallar sus raíces hacemos x= 2 − b ± b 2 − 4ac − 2 ± 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−8) − 2 ± 4 + 32 − 2 ± 6 = = = 2a 2 ⋅1 2 2 por lo tanto, la parábola corta al eje x en −2+6 4 −2−6 −8 = = 2 y en = = −4 2 2 2 2 Luego en un sistema de coordenadas cartesianas debemos: ubicar las raíces en el eje x, trazar el eje de simetría, ubicar el vértice sobre el eje de simetría y ubicar la ordenada al origen en el eje y de lo que resulta el siguiente gráfico: ÁREA DE MATEMÁTICA Uniendo los puntos con una curva, se obtiene aproximadamente la siguiente parábola 48 Educación de Jóvenes y Adultos De la misma manera, si deseamos representar y = −3x 2 + 6 x podemos proceder así:  Las ramas están orientadas hacia abajo, ya que a = −3 es negativo.  El eje de simetría es la recta paralela al eje y que corta al eje x en x = − b (−4) =− =1 2a 2⋅2  Las coordenadas del vértice son: x v = 1 e y v = −3 ⋅ 12 + 6 ⋅ 1 = 3  La parábola corta al eje y en 0 pues c = 0 .  Para hallar sus raíces hacemos x= 2 − b ± b 2 − 4ac − 6 ± 6 − 4 ⋅ (−3) ⋅ 0 − 6 ± 36 − 0 − 6 ± 6 = = = −6 2a 2 ⋅ (−3) −6 por lo tanto, la parábola corta al eje x en −6+6 0 = =0 6 −6 y en − 6 − 6 − 12 = = −2 6 −6 A trabajar… Actividad 7. Completa la siguiente tabla. Función Orientación de las ramas Ordenada al origen Raíces Eje de simetría Vértice y = x2 − x − 6 y = −2 x 2 + 8 Actividad 8. Para cada una de las funciones de la actividad 7, traza un sistema de coordenadas, ubica los elementos del gráfico y luego traza la parábola. 49 ÁREA DE MATEMÁTICA y = x 2 − 2x + 1 Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 9. En 1980 se introdujeron en un lago 100 peces de una especie para analizar su evolución en un hábitat natural. En un comienzo, se observó que la población creció rápidamente, pero después de un tiempo decreció. Se estimó que la fórmula que permitía calcular la cantidad de peces en cada momento era y = −1 ⋅ x 2 + 15 ⋅ x + 100 . a. Grafica la función para los valores 0 ≤ x ≤ 20. b. ¿En qué año se extinguió la población? c. ¿En qué año comenzó a decrecer? Actividad 10. Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, en segundos, se calcula por medio de la siguiente fórmula y = 20 ⋅ x − 5 ⋅ x 2 . a. Grafica la función. b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanzó la pelota?¿En qué momento ocurrió? ÁREA DE MATEMÁTICA c. ¿Después de cuánto tiempo cayó la pelota al piso? 50 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Son funciones cuadráticas a, b, c y f. Actividad 2. Completa la siguiente tabla. y = ax 2 + bx + c a b c y = 5x − 6 + 3x 2 3 5 -6 y = 0,5x 2 − 6 0,5 0 -6 y = −7 x 2 − 2 x -7 -2 0 Actividad 3. Tabla de valores y gráfico. Eje de simetria f (x) = x 2 + 4x + 3 x -5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 y 8 -1 0 3 8 15 3 0 Vértice Actividad 4. a. El eje de simetría de todas las parábolas representadas es el eje y. b. Su vértice es (0 ; 0). c. Cuando a es positivo, las ramas están orientadas hacia arriba. d. Cuando a es negativo, las ramas están orientadas hacia abajo. e. A medida que el módulo de a aumenta, se observa que las ramas son más próximas al eje de Actividad 5. Gráfico Signo de a Raíces c 1 Positivo -1 y 2 -4 2 Positivo No posee 1 3 Negativo 1 y 4 -4 Para el trazado del eje de simetría y del vértice se procede de la misma manera que en el ejercicio anterior. 51 ÁREA DE MATEMÁTICA simetría. Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 6. Tabla. Función a b c Orientación de las ramas Raíces y = x2 + x − 2 1 1 -2 Arriba 1 y -2 y = x2 − 4 1 0 -4 Arriba 2 y -2 y = −2 x 2 + 4 x − 2 -2 4 -2 Abajo 1 y = 3x 2 − 6 x 3 -6 0 Arriba 0 y 2 Actividad 7. Tabla. Función Orientación de las ramas Ordenada al origen Raíces y = x 2 − 2x + 1 Arriba 1 1 y = x2 − x − 6 Arriba -6 3 y -2 y = −2 x 2 + 8 Abajo 8 2 y -2 ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 8. 52 Eje de simetría Recta paralela al eje y que pasa por x = 1 Recta paralela al eje y que pasa por x = 0,5 Eje y Vértice (1 ; 0) (0,5 ; -6,25) (0 ; 8) Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 9. Evolucion de una especie de peces. La población se extinguió a los 20 años. b. Comenzó a decrecer a los 7 años y medio. c. Actividad 10. Lanzamiento de pelota. . b. La altura máxima que alcanzó la pelota fue 20 metros a los 2 segundos. ÁREA DE MATEMÁTICA c. A los 4 segundos cayó la pelota al piso. 53 Educación de Jóvenes y Adultos ALGO MÁS SOBRE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA En el módulo 4 aprendimos a analizar algunos aspectos del comportamiento de una función como lo son el dominio y la imagen, los valores máximos y mínimos, los valores del dominio donde la función crece o decrece y las raíces. Para las funciones cuadráticas este análisis es muy sencillo de realizar primero a partir de la observación del gráfico. Para ello, comenzaremos con las siguientes actividades: • La velocidad de un misil medida en metros por segundo, en cada momento desde que es lanzado, está representada en el siguiente gráfico: Velocidad (m/seg) a. ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza el misil y en qué momento se produce? b. ¿Luego de cuánto tiempo se detiene el misil? • Tiempo (seg) Para cada uno de los gráficos, completa las siguientes frases: Su valor mínimo es………………………..…….………….. Sus raíces son………………………………………………….. Es creciente para los valores de x que cumplen que…………………………………………………………………. Es decreciente para los valores de x que cumplen que…………………………………………………… Su imagen está formada por los valores de y que cumplen que ……………………………………………. Su valor máximo es……………………………………. Sus raíces son………………………………………… ÁREA DE MATEMÁTICA Es creciente para los valores de x que cumplen que…………………………………………………… Es decreciente para los valores de x que cumplen que…………………………………………………… Su imagen está formada por los valores de y que cumplen que ………………………………………… 54 Educación de Jóvenes y Adultos • Responder la siguientes preguntas: a. ¿Si las ramas están orientadas hacia arriba, la parábola alcanza algún valor máximo o mínimo? ¿Qué sucede cuando las ramas están orientadas hacia abajo? b. ¿Qué relación existe entre la imagen de una función cuadrática y su vértice? Es conveniente comparar las respuestas obtenidas en las actividades anteriores con nuestros compañeros o recurrir a nuestro tutor y nuestro coordinador pedagógico para profundizar o modificar si es necesario las conclusiones obtenidas. A trabajar… Actividad 1. Marca, en cada caso, la o las opciones correctas. a. Si una función cuadrática y = ax 2 + bx + c no tiene raíces y a < 0, entonces: i. Su conjunto imagen contiene solo valores positivos. ii. El vértice puede estar en el tercer o cuarto cuadrante. iii. La ordenada al origen es negativa. iv. Su eje de simetría debe coincidir con el eje de las ordenadas. b. Las raíces de la función cuadrática y = x 2 + 3x + 2 son: i. 1 y 2. ii. –1 y –2. iii. 1 y –2. iv. –1 y 2. c. Si el vértice de una parábola y = ax 2 + bx + c es el punto (-2 ; 3) y a < 0, entonces su conjunto imagen asume los siguientes valores: y≥3 ii. y≤3 iii. y ≥ -2 iv. y ≤ -2 Para facilitar estas actividades, se puede realizar un gráfico aproximado de una parábola que cumpla las condiciones propuestas. ÁREA DE MATEMÁTICA i. 55 Educación de Jóvenes y Adultos Actividad 2. Dada la función cuadrática y = ax 2 + bx + c , en la cual a > 0 y su vértice es el punto (2 ; 1), responde: a. ¿Cuál es su dominio e imagen? b. ¿Cuántas raíces tiene? c. ¿Alcanza algún valor máximo o mínimo?. En caso afirmativo, indica cuál es dicho valor. d. ¿Cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento? Actividad 3. Dada la función cuadrática y = 5x ⋅ (2 x − 1) : a. Determina sus puntos de intersección con los ejes cartesianos. b. ¿Tal función alcanza un valor máximo?¿y un valor mínimo? Actividad 4. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas. a. La función cuadrática y = −5x 2 no interseca al eje de las ordenadas. b. La función y = − x 2 + 6 x − 2 no alcanza valores máximos ni mínimos. c. Si la función y = ax 2 + bx + c tiene dos raíces y su vértice es el punto (-2 , 5) entonces a es un número negativo. d. La función cuadrática y = −5x 2 + 3x no interseca al eje de las abscisas. ÁREA DE MATEMÁTICA e. El valor máximo de y = 2 x − x 2 + 3 es 1. 56 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Multiple opción. a. Son correctas las opciones ii y iii.: b. Es correcta la opción 2. c. Es correcta la opción 2. Actividad 2. Preguntas. a. Su dominio es R y su imagen asume los valores y ≥ 1. b. No posee raíces. c. El valor mínimo es y = 2. d. Decrece en x ≤ 2 y crece en x > 2. Actividad 3. a. Corta al eje x en (0,5 ; 0) y en (0 ; 0). Corta al eje y en (0 ; 0) b. Como sus ramas están orientadas hacia arriba, solo posee valor mínimo. Actividad 4. Verdadero o falso. a. Falso, lo corta en y = 0. b. Falso, al ser a < 0, alcanza un valor máximo. c. Verdadero por estar su vértice en el segundo cuadrante y sus ramas estar orientadas hacia abajo. d. Falso, posee dos raíces. ÁREA DE MATEMÁTICA e. Falso, es 4. 57 Educación de Jóvenes y Adultos SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Hemos estudiado en el módulo 1 que las ecuaciones pueden ser utilizadas como una estrategia de resolución en situaciones en las que se involucra un número desconocido. En esta sección estudiaremos situaciones en las que se desconocen dos números, considerados como incógnitas, y veremos cómo los sistemas de ecuaciones pueden ser usados para hallarlos. Por el momento, entenderemos que los sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones que involucran las mismas incógnitas y cuyas soluciones deben dichas ecuaciones simultáneamente. Los sistemas de ecuaciones y la informática permitieron que el matemático inglés G. Hounsfield compartiera con otros científicos el premio Nobel de Medicina en 1979 por inventar el tomógrafo computado. Éste es un aparato que emite miles de rayos X en diferentes ángulos. Cada rayo X se representa con una ecuación. Las miles de ecuaciones forman un sistema que se resuelve por computadora. El conjunto solución está formado por números que verifican todas las ecuaciones simultáneamente e indican los tonos de gris, negro y blanco que va a tener cada punto de la imagen tridimensional. La tomografía computada representa un gran aporte de la matemática a la medicina. Para comenzar el estudio de los sistemas de ecuaciones, comenzaremos resolviendo las siguientes situaciones: • ¿Existen dos números enteros que cumplan que su suma es 36 y su diferencia o resta es 4? • La familia Castro decidió realizar una ampliación de su casa, por lo que todas las semanas debe comprar materiales de construcción. La semana pasada compró 3 bolsas de cemento y 2 bolsas de cal viva por $400. Esta semana pagó $250 por 1 bolsa de cemento y 3 bolsas de cal viva. Asumiendo que no hubo variación en los precios, ¿cuál es el costo de cada producto? ÁREA DE MATEMÁTICA • El perímetro de un campo rectangular es 100 m y se sabe que la diferencia entre la base y la altura es 10 m. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho campo? Sería conveniente que, luego de pensar y proponer una respuesta para cada actividad, recurramos a nuestros compañeros para comparar los procedimientos realizados o que le consultemos a nuestro tutor y coordinador pedagógico si las soluciones propuestas son pertinentes. Seguramente no ha sido sencillo hallar la respuesta a cada uno de los interrogantes planeados en las actividades. Lo primero que deberíamos reconocer, es que en todos los casos había dos números desconocidos y dos datos que los relacionaban. Volvamos a mirar los enunciados para diferenciar esto. 58 Educación de Jóvenes y Adultos De las tres actividades tomaremos la tercera y veremos juntos cómo es posible utilizar las ecuaciones como una estrategia de resolución. Sabemos que el campo es rectangular y que deseamos conocer las longitudes de su ancho y su largo. Como son dos números desconocidos diferentes, debemos representarlos con dos letras, por ejemplo x e y. Sabiendo que su perímetro es 100 m, podemos plantear la ecuación ym xm Sabiendo que diferencia entre la base y la altura es 10 m, podemos plantear la ecuación Soluciones posibles Soluciones posibles x y x y 10 40 50 40 20 30 40 30 30 20 30 20 35 15 35 25 Se llama sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a dos ecuaciones que involucran dos incógnitas de exponente 1. Para indicar que dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones se las encierra con una llave de la siguiente manera: ÁREA DE MATEMÁTICA Resolver un sistema de ecuaciones de este tipo es encontrar, cuando existan, el o los valores de las incógnitas que verifican las dos ecuaciones simultáneamente 59 Educación de Jóvenes y Adultos Métodos de resolución En la actividad que hallamos las dimensiones del campo, luego de plantear las dos ecuaciones, fuimos probando posibles soluciones para cada ecuación hasta hallar aquella que compartían las dos ecuaciones. Claramente, ésta no es una estrategia muy eficiente a la hora de resolver un problema. A continuación, estudiaremos dos métodos de resolución que nos permitirán hallar, cuando existan, las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Existen otros métodos además de los que estudiaremos aquí que pueden ser hallados en cualquier libro de texto que desarrolle el tema o explicado en tutoriales en internet. 1. La solución de un sistema de ecuaciones no depende del método utilizado, ni de la incógnita que se desee despejar inicialmente. Método de sustitución Consideremos nuevamente el sistema de ecuaciones propuesto para hallar las dimensiones del campo rectangular. 2 x + 2y = 100   x − y = 10 Elegir una de las ecuaciones y despejar una de las incógnitas. Sustituir en la otra ecuación la incógnita despejada por la expresión obtenida en el paso anterior. En el paso anterior se obtiene una ecuación con una sola incógnita. Despejar tal incógnita ÁREA DE MATEMÁTICA Reemplazar el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incógnita. Ecuación 1 Verificar la solución encontrada, reemplazando las incógnitas por sus valores en las dos ecuaciones. 60 Ecuación 2 Educación de Jóvenes y Adultos El método empleado para resolver una ecuación es el que estudiamos en el módulo 1, pero insistimos en que es posible utilizar el método que cada uno de nosotros sabe. A trabajar… Actividad 1. Resolve los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método de sustitución. 2 x − 4 y = −7  x + 8y = −1 a.  − 3 x − 4 y = 5  x + 2y = −2 b.  5m − 3n = 22 2m + n = 0 c.  Actividad 2. Verifica en cada caso, si el par de valores indicado es solución del sistema. En caso contrario, encuentra la solución. 2 x − y = 7   x + 2y = 6 Solución: x = 3 , y = 1 1  x + 7y = −20 b.  2 9 x + y = 15 Solución: x = 2 , y = −3 a. 2. Método de igualación Resolveremos nuevamente el sistema de ecuaciones propuesto para explicar el método anterior. 2 x + 2y = 100   x − y = 10 Primera ecuación Segunda ecuación ÁREA DE MATEMÁTICA Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones. Igualar las expresiones obtenidas, de lo que se obtiene una ecuación con una sola incógnita. 61 Educación de Jóvenes y Adultos Despejar tal incógnita Reemplazar el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incógnita. La verificación de los valores hallados se realiza de la misma manera que en el método anterior. A trabajar… Actividad 3. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método de igualación. x − y = 5 a.  3x − 2y = 25  4 y + 12 =x  b.  2 y − 2 + 2 x = 0 2 ⋅ (− x − 9 ) = 4 y  x + 5y = −36 c.  Planteo de sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones estudiados pueden ser pensados como una herramienta para resolver situaciones que involucran dos incógnitas. Veremos ahora algunas cuestiones que debemos tener en cuenta a la hora de plantear un sistema. ÁREA DE MATEMÁTICA Ejemplo 1: Javier es mozo en un bar y decidió guardar las monedas de $0,50 y $0,25 que recibía de propina. Cuando juntó 100 monedas, las cambió en billetes y recibió $35. ¿Cuántas monedas de cada valor tenía?  Primero debemos identificar los dos números desconocidos y representarlos con una letra. En este ejemplo deseamos averiguar la cantidad de monedas de cada valor, por lo que llamaremos x a la cantidad de monedas de $0,50 e y a la cantidad de monedas de $0,25 62 Educación de Jóvenes y Adultos  Luego debemos reconocer dos datos que nos permitan plantear las dos ecuaciones. En este ejemplo, un dato es que posee 100 monedas y el otro, es que esa cantidad de monedas suma $35. Cada dato nos permitirá plantear una ecuación. Primero sumaremos las cantidades de monedas para obtener las 100 monedas y luego sumaremos la cantidad de dinero que representan esas monedas para obtener $35. Información Lenguaje simbólico Cantidad de monedas de $0,50 x Cantidad de monedas de $0,25 y Dinero en x monedas de $0,50 0,50x Dinero en y monedas de $0,25 0,25y Cantidad total de monedas x + y = 100 Cantidad total de dinero 0,50 x + 0,25y = 35  Por último debemos emplear uno de los métodos de resolución aprendidos para hallar el valor de las incógnitas. Ejemplo 2: Un teatro tiene 180 butacas, entre platea y pullman. La entrada para pullman cuesta $ 12 y para la platea $ 20. Si la recaudación total de la función de hoy, a sala llena, fue de $ 2800, ¿cuántas butacas en platea y cuántas en pullman tiene el teatro?  Identificar las incógnitas. En este ejemplo deseamos averiguar qué cantidad de butacas posee cada sector del teatro. Llamamos x a la cantidad de butacas en platea e y a la cantidad de butacas en pulman.  Reconocer dos datos para plantear dos ecuaciones Información Lenguaje simbólico Cantidad de butacas en platea x Cantidad de butacas en pullman y Dinero recaudado en platea 20x Dinero recaudado en pulman 12y Cantidad total de butacas x + y = 180 Cantidad total de dinero recaudado 20 x + 12y = 2800 ÁREA DE MATEMÁTICA En este ejemplo, sabemos que el teatro tiene 180 butacas y que se recaudó $2800, entonces al sumar las butacas de cada sector obtendremos el total de butacas y al sumar el dinero recaudado en cada sector, obtendremos la recaudación total. 63 Educación de Jóvenes y Adultos A trabajar… Actividad 4. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para cada una de las siguientes situaciones. a. La suma de un número y el triple de otro es 11. Si la diferencia entre el triple del primero y el doble del segundo es -22, ¿cuáles son esos números? b. Paula compró en un negocio una jarra y una fuente y pagó por estos productos $150. Si el precio de la fuente fue $ 30 más que el precio de la jarra, ¿Cuál fue el costo de cada producto? c. Marcos, mientras esperaba que lo atendiera el vendedor de una bicicletería, observó que en el total de bicicletas y triciclos había 50 manubrios y 127 ruedas. ¿Cuántos triciclos había en el local? d. La suma de dos números es 50. Si la suma entre el doble del primero y el triple del segundo es 120, ¿cuáles son dichos números? e. En un rectángulo, su perímetro es 50 cm y la suma de un largo y el doble del ancho es 30 cm. ¿Cuáles son las medidas del largo y el ancho de dicho rectángulo? f. Con los 34 billetes de 2 y 5 pesos que tenía ahorrados, María contó que tenía $143. ¿Cuántos billetes de cada valor tenía? g. El precio de las entradas a un espectáculo es $ 50 para los adultos y $ 30 para los niños menores a 10 años. Ayer asistieron 60 personas y la recaudación fue $ 2100. ¿Cuántos niños asistieron? ÁREA DE MATEMÁTICA No todos los sistemas de ecuaciones poseen una solución única. Hay sistemas que no poseen solución y hay otros, que tienen infinitas soluciones. Para todo aquel que le interese profundizar sobre este tema puede recurrir a libros de texto o tutoriales de internet. 64 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Método de sustitución. a. x = −3 , y = 0,25 b. x = −1 , y = −0,5 Actividad 2. Solución a. La solución es x = 4 , y = 1 c. m = 2 , n = −4 b. La solución es correcta. Actividad 3. Método de igualación. a. x = −3 , y = 0,25 b. x = 2 , y = −2 c. x = 9 , y = −9 Situación Sistema de ecuaciones Solución a  x + 3y = 11  3x − 2y = −22 El primer números es -4 y el segundo, 5. b  x + y = 150  y = x + 30 La jarra cuesta $60 y la fuente, $90. c  x + y = 50  2 x + 3y = 127 Había 23 bicicletas y 27 triciclos. d  x + y = 50  2 x + 3y = 120 El primer números es 30 y el segundo, 20. e 2 x + 2y = 50   x + 2y = 30 El largo mide 20 cm y el ancho, 5 cm. f  x + y = 34  2 x + 5y = 143 Tenía 9 billetes de $2 y 25 billetes de $5. g  x + y = 60  50 x + 30y = 2100 Asistieron 45 niños. ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 4. Planteo y resolución de sistema de ecuaciones. 65 Educación de Jóvenes y Adultos ALGO MÁS SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En la sección anterior aprendimos dos métodos de resolución, el de sustitución y el de igualación, que nos permitían hallar los valores de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales. A continuación, estudiaremos otro método de resolución, llamado método gráfico, que posee un fuerte vínculo con lo aprendido sobre función lineal, por lo que deberemos recordar cómo se representa gráficamente una recta a partir de su fórmula. Consideremos nuevamente el sistema de ecuaciones usado para hallar las dimensiones del rectángulo propuesto al comienzo de esta sección. 2 x + 2y = 100   x − y = 10 Primera ecuación Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones Segunda ecuación Es conveniente en este método representar las incógnitas con las letras x e y para continuar con la misma notación que aprendimos en función lineal y despejar y, para facilitar el trazado del gráfico. y Representar gráficamente la recta ÁREA DE MATEMÁTICA Cada uno de los puntos de dicha recta cumplen que el valor de y se obtiene calculando 50 - x 66 x Educación de Jóvenes y Adultos y En el mismo sistema, representar gráficamente la recta (30 ; 20) Cada uno de los puntos de dicha recta cumplen que el valor de y se obtiene calculando x -10 x Observamos en el gráfico que las dos rectas se cortan en un punto. Debido a que las coordenadas de dicho punto verifican las dos ecuaciones, éstas serán la solución al sistema propuesto. Por lo tanto, x = 30 e y = 20 , como obtuvimos empleando los dos métodos aprendidos anteriormente. Este método no siempre es el más conveniente si los gráficos de realizan con papel y lápiz. Pero si tenemos acceso a una computadora, podemos utilizar programas graficadores de funciones, a los que con ingresar la fórmula de las dos rectas nos muestran los gráficos y su intersección cuando existe. ÁREA DE MATEMÁTICA Los gráficos de funciones realizados en estos módulos se realizaron con un software libre y gratuito, llamado fooplot. Si ingresamos esta palabra en google u otro buscador lo hallaremos. Una imagen del programa mencionado es la siguiente: 67 Educación de Jóvenes y Adultos En internet podemos hallar muchos software gratuitos que permiten graficar funciones. Otro ejemplo es graphmatica, pero debe ser descargado en la computadora para poder utilizarlo, a diferencia de fooplot que se trabaja en línea. A trabajar… ÁREA DE MATEMÁTICA Actividad 1. Halla gráficamente las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 1  x+y =1 2  x + y = −5  x + y = 12 a.  x − y = 6 c. 4 y + 3x = 10 b.  2 x + y = 0 5x = 12 + 4 y d.  x + y = 6 68 Educación de Jóvenes y Adultos SOLUCIONES POSIBLES DE LAS ACTIVIDADES Actividad 1. Método gráfico. b. x = −2 , y = 4 c. x = −12 , y = 7 d. x = −12 , y = 2 ÁREA DE MATEMÁTICA a. x = 9 , y = 3 69 ÁREA DE MATEMÁTICA Educación de Jóvenes y Adultos 70