Mat3

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Fundamentos de Cálculo y Aplicaciones Ramón Bruzual Marisela Domı́nguez Caracas, Venezuela Septiembre 2005 Ramón Bruzual Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve Marisela Domı́nguez Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve Laboratorio de Formas en Grupos Centro de Análisis Escuela de Matemática Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg Nota: Este material está disponible en la página web http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm En general mantenemos una réplica en un servidor externo a la Universidad Central de Venezuela, el vı́nculo se encuentra indicado en esa misma página web. Prólogo Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en el curso de Matemática III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biologı́a, Geoquı́mica, Quı́mica, Computación, Fı́sica y Matemática. Para los estudiantes de estas licenciaturas que no cursan paralelamente asignaturas de álgebra y geometrı́a se han incorporado los Capı́tulos 7, 10 y 11. Los estudiantes de la Licenciatura en Matemática cursan paralelamente asignaturas de álgebra y geometrı́a, por lo tanto podrán leer más rápidamente los capı́tulos dedicados a estos temas y tendrán la oportunidad de hacer lecturas adicionales. Estas lecturas se encuentran a lo largo del texto y están dedicadas especialmente a los estudiantes que próximamente se iniciarán en las asignaturas de Análisis Matemático. Creemos que estas lecturas podrı́an ser optativas para los estudiantes de otras licenciaturas y por eso las hemos diferenciado. Ofrecemos esta versión preliminar con la intención de colaborar con el dictado de la asignatura y de ir recogiendo las observaciones del personal docente para mejorarla y adaptarla. El trabajo de mecanografı́a y la elaboración de los gráficos está a cargo de los autores. Agradecemos cualquier observación o comentario que deseen hacernos llegar. Ramón Bruzual. Marisela Domı́nguez. Septiembre 2005. iii CONTENIDO Parte 1. Ecuaciones Diferenciales. 1 Capı́tulo 1. Conceptos básicos y ecuaciones diferenciales de primer orden. 3 1. Motivación. 3 2. Conceptos básicos 5 3. Ecuaciones con variables separables y aplicaciones. 6 4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones con variables separables. 14 5. Ecuación lineal de primer orden. 19 6. Ecuación de Bernoulli. 21 7. Aplicaciones 22 Ejercicios. Nociones básicas y ecuaciones diferenciales de primer orden. 29 Capı́tulo 2. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. 37 1. Solución general de la ecuación homogénea. 37 2. Solución general de la ecuación no homogénea. 39 3. Aplicaciones 43 Ejercicios. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Capı́tulo 3. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden. 48 51 1. Motivación. 51 2. El método de eliminación. 54 3. Competencia e interacción entre especies. 59 4. Las ecuaciones predador-presa de Lotka y Volterra. 63 5. Sección optativa: Uso del computador para resolver y analizar ecuaciones diferenciales. v 65 vi CONTENIDO Ejercicios. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden. Parte 2. Sucesiones y Series Numéricas. Capı́tulo 4. Sucesiones numéricas. 67 69 71 1. Definiciones y resultados básicos 71 2. Sucesiones convergentes. 74 3. El número e. 75 4. Sucesiones monótonas. 75 5. Operaciones con sucesiones 75 6. Repaso de la regla de L’Hôpital. 76 7. Lı́mite infinito 79 8. Sumas finitas y el sı́mbolo sumatorio. 81 Ejercicios. Sucesiones. Capı́tulo 5. Series numéricas. 83 89 1. Series. 89 2. Convergencia y divergencia de series. 92 3. Criterios de convergencia para series de términos positivos. 94 4. Criterios de convergencia para series de términos alternadas. 100 5. Series telescópicas. 100 Ejercicios. Series. 102 Capı́tulo 6. Fórmula de Stirling y producto de Wallis. 107 1. La fórmula de Stirling. 107 2. El producto de Wallis. 108 Ejercicios. Fórmula de Stirling y producto de Wallis. Parte 3. 111 Nociones de Geometrı́a en el Plano y en el Espacio. Curvas. 113 Capı́tulo 7. Nociones de geometrı́a plana y del espacio. 115 2 1. El plano R . 115 2. El espacio R3 . 119 CONTENIDO vii 3. Producto escalar, norma y distancia. 121 4. Producto cruz o producto vectorial. 124 5. Rectas y planos en el espacio. 125 6. Relaciones entre subconjuntos y desigualdades sencillas 128 7. Superficies en R3 . 129 8. Lectura adicional: Abiertos y cerrados. 133 9. Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 . 136 Ejercicios. Geometrı́a plana y del espacio. Capı́tulo 8. Curvas en el plano y en el espacio. 141 147 1. Motivación. Descripción del movimiento de un proyectil, despreciando la resistencia del aire. 147 2. Curvas y trayectorias. 149 3. Lı́mites y continuidad de las trayectorias. 151 4. Vector tangente a una curva. 151 5. Reparametrización. 155 6. Longitud de arco. 155 Ejercicios. Curvas en el plano y en el espacio. Capı́tulo 9. Integrales de lı́nea. 159 163 1. Definición y ejemplos de integrales de lı́nea. 163 2. Interpretación como trabajo mecánico. 166 3. Lectura adicional: Integrales de lı́nea sobre curvas lisas a trozos. 167 Ejercicios. Integrales de lı́nea. Parte 4. Álgebra Lineal. Capı́tulo 10. Matrices y Sistemas lineales. 169 171 173 1. Matrices. 173 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 187 3. Determinantes 194 Ejercicios. Matrices y Sistemas lineales. 202 viii CONTENIDO Capı́tulo 11. Transformaciones Lineales. 207 1. Transformación lineal 207 2. Bases. 209 Ejercicios. Transformaciones Lineales. Parte 5. 212 Cálculo Diferencial en Varias Variables. Capı́tulo 12. Campos escalares. 2 215 217 3 1. Funciones de R en R y de R en R 2 217 3 2. Dominio y rango de funciones de R en R y de R en R. 218 3. Gráfico y representación gráfica de funciones de R2 en R. 219 4. Curvas de nivel y superficies de nivel. 221 Ejercicios. Campos escalares. Capı́tulo 13. Lı́mites de campos escalares. 1. Lı́mite a lo largo de curvas para una función de R2 en R. 2 224 225 225 2. Lı́mite en R . 229 3. Relación entre lı́mite en R2 y lı́mite a lo largo de curvas. 230 4. Lı́mites iterados 232 5. Lı́mite a lo largo de curvas para una función de R3 en R. 233 3 6. Lı́mite en R . 235 7. Relación entre lı́mite en R3 y lı́mite a lo largo de una curva. 235 8. Continuidad. 236 9. Lectura adicional: Demostraciones de algunos teoremas de lı́mites. 237 10. Lectura adicional: Continuidad de la norma y del producto interno. 241 Ejercicios. Lı́mites de campos escalares. Capı́tulo 14. Diferenciación de campos escalares. 243 245 1. Diferenciabilidad de un campo escalar en un punto. 245 2. Derivadas parciales y direccionales. 248 3. Concepto de gradiente. 252 4. Dirección de máximo crecimiento. 254 5. Condición suficiente de diferenciabilidad. 255 6. Regla de la cadena. 256 CONTENIDO ix 7. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lı́nea. 260 8. Diferenciación de funciones definidas en forma implı́cita. 261 Ejercicios. Diferenciación de campos escalares. 264 Capı́tulo 15. Plano tangente a algunas superficies. 269 1. Plano tangente a una superficie dada como un conjunto de nivel. 270 2. Plano tangente a una superficie dada como un gráfico. 271 Ejercicios. Plano tangente a algunas superficies. 273 Capı́tulo 16. Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor. 275 1. Derivadas de orden superior para funciones de una variable. 275 2. Derivadas de orden superior para funciones de dos variables. 276 3. Desarrollo de Taylor para funciones de una variable. 278 4. Desarrollo de Taylor para funciones de dos variables. 278 5. Cálculos aproximados y errores. 280 Ejercicios. Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor. Capı́tulo 17. Máximos y mı́nimos. 283 285 1. Máximos y mı́nimos locales. 285 2. Criterio del Hessiano en dos variables. 287 3. Método de los multiplicadores de Lagrange. 292 Ejercicios. Máximos y mı́nimos. Parte 6. Cálculo Integral en Varias Variables. 297 299 Capı́tulo 18. Integrales dobles. 301 1. El caso de una dimensión. 301 2. Integrales dobles sobre rectángulos. 304 3. Integrales dobles sobre conjuntos más generales. 309 4. Cálculo de áreas y volúmenes usando integrales dobles. 316 5. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. 318 6. Lectura adicional: Justificación de la fórmula del cambio de variables para coordenadas polares. 321 x CONTENIDO 7. Cálculo de Ejercicios. R +∞ 0 2 e−x dx. 322 Integrales dobles. 325 Capı́tulo 19. Integrales triples. 329 1. Definiciones y resultados básicos. 329 2. Cambio de coordenadas cartesianas a cilı́ndricas. 331 3. Cambio de coordenadas cartesianas a esféricas. 332 4. Aplicación a cálculo de volúmenes. 334 Ejercicios. Integrales triples. Capı́tulo 20. Lectura adicional: El teorema de Green. 339 341 Ejercicios. El teorema de Green. 345 Bibliografı́a 347 Índice 349 Parte 1 Ecuaciones Diferenciales. CAPÍTULO 1 Conceptos básicos y ecuaciones diferenciales de primer orden. Este capı́tulo es un repaso de cursos previos. Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Revisión de los métodos ya estudiados anteriormente. Ecuaciones con variables separables y reducibles a éstas. Aplicaciones de la ecuación diferencial de primer orden: Crecimiento de poblaciones (exponencial, logı́stico, limitado). Epidemias. Desintegración radioactiva. Enfriamiento. 1. Motivación. La filosofı́a [la naturaleza] está escrita en ese gran libro que siempre está ante nuestros ojos -el universo- pero no lo podemos entender si no aprendemos primero el lenguaje y comprendemos los sı́mbolos en los que está escrito. El libro está escrito en lenguaje matemático y los sı́mbolos son triángulos, cı́rculos y otras figuras geométricas, sin cuya ayuda es imposible comprender una sola palabra; sin ello, uno vaga en un obscuro laberinto. Galileo Galilei (1564-1642). La cita anterior ilustra la creencia, popular en la época de Galileo, de que buena parte del conocimiento de la naturaleza podı́a reducirse a matemática. Al final del siglo XVII se reforzó este modo de pensar, cuando Newton enunció la ley de la gravitación y usó el naciente cálculo para deducir las tres leyes de Kepler del movimiento celeste. A raı́z de esto muchos cientı́ficos trataron de “matematizar” la naturaleza. La gran cantidad de matemática que hoy se utiliza en las ciencias naturales y, cada vez más, en la economı́a y las ciencias sociales, es testigo del éxito de estos intentos. Lo que conocemos como álgebra elemental es suficiente para resolver muchos de los problemas “estáticos” que se nos presentan a diario (problemas de porcentajes, intereses, etc). 3 4 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Los fenómenos naturales que implican cambios se describen mejor mediante ecuaciones que relacionan cantidades variables. La derivada dy/dt = f ′ (t) de la función f puede ser considerada como la razón con la cual la cantidad y = f (t) cambia con respecto a la variable independiente t, por esto es natural que en las ecuaciones que describen el universo cambiante aparezcan derivadas. Una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene los siguientes fines: 1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación fı́sica. 2. Encontrar la solución apropiada para esa ecuación. A diferencia del álgebra elemental, en la cual buscamos los números desconocidos que satisfacen una ecuación tal como x3 + 7x2 − 11x + 41 = 0, al resolver una ecuación diferencial se nos reta a que encontremos las funciones desconocidas y = g(x) que satisfagan una identidad tal como g ′ (x) − 2xg(x) = 0. Ejemplo 1.1 (Ley de enfriamiento de Newton). Esta ley establece lo siguiente: La tasa de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo con respecto al tiempo t es proporcional a la diferencia entre T (t) y la temperatura A del medio ambiente, es decir dT = k(A − T ), dt donde k es una constante positiva. La ley fı́sica se traduce ası́ a una ecuación diferencial. Esperamos que, si se nos dan los valores de A y k, podremos encontrar una fórmula explı́cita para T (t), que nos permita predecir la temperatura del cuerpo. Ejemplo 1.2 (Poblaciones). La tasa de cambio con respecto al tiempo de una población P (t), con ı́ndices constantes de nacimiento y mortalidad es, en muchos casos simples, proporcional al tamaño de la población, es decir dP = kP, dt donde k es la constante de proporcionalidad. Ejemplo 1.3 (Ley de Torricelli). Esta ley establece que la tasa de cambio con respecto al tiempo del volumen V de agua en un tanque que se vacı́a, a través de un orificio en el 2. CONCEPTOS BÁSICOS 5 fondo, es proporcional a la raı́z cuadrada de la profundidad del agua del tanque, es decir, dV = −ky 1/2 , dt donde y es la profundidad del tanque y k es una constante. Si el tanque es un cilindro y A es el área de su sección transversal, entonces V = Ay y dV/dt = A(dy/dt). En este caso la ecuación toma la forma dy = hy 1/2 , dt en la que h = k/A. 2. Conceptos básicos Tal como dijimos una ecuación diferencial es una expresión que establece una relación entre una función y algunas de sus derivadas. Como es natural, las soluciones de la ecuación son las funciones que satisfacen la relación. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la misma. Por ejemplo, la ecuación (1.1) y ′′ + y = 0 es una ecuación diferencial de orden 2 ó segundo orden. La función f (x) = sen x es solución de esta ecuación. Se puede probar que cualquier solución de la ecuación (1.1) tiene la forma f (x) = C1 cos x + C2 sen x, donde C1 y C2 son constantes reales. Por eso decimos que la solución general de la ecuación es y = C1 cos x + C2 sen x. También decimos que y = sen x es una solución particular . Si queremos hallar una solución que satisface las condiciones (1.2) y(0) = 1, y ′ (0) = 1, entonces C1 y C2 deben satisfacer las ecuaciones C1 = 1 C2 = 1. Por lo tanto la solución de la ecuación (1.1) que satisface la condición (1.2) es y = cos x + sen x. Una condición del tipo (1.2) es lo que se llama una condición inicial. 6 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Los conceptos que hemos explicado a través de este ejemplo se extienden de manera natural a cualquier ecuación diferencial: La solución general de una ecuación diferencial es la función más general que la satisface, una solución particular es una función que satisface la ecuación, una condición inicial está dada por igualdades en las que se fijan los valores de la función y algunas de sus derivadas en un punto dado. Ejercicios. (1) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. Además identificar el orden de cada una de las ecuaciones. (a) y ′′′ = 0, (b) y ′ = 9e3x , (c) y ′′ = x. (2) Verifique, por sustitución, que la función dada y es solución de la ecuación diferencial correspondiente. (a) y = 2e3x + 1, dy = 3y − 3 dx (b) y = ex , dy = 2xy dx (c) y = x + 3, y′ = 2 y−3 x (3) Hallar la solución de la ecuación diferencial y ′′ = 0 que satisface la condición inicial y(0) = y ′ (0) = 1. 3. Ecuaciones con variables separables y aplicaciones. La ecuación diferencial de primer orden dy = H(x, y) dx se llama separable si la función H(x, y) puede escribirse como el producto de una función de x y una función de y, o lo que es equivalente, como un cociente H(x, y) = g(x) . f (y) 3. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Y APLICACIONES. 7 En este caso las variables pueden ser separadas (aisladas en miembros opuestos de una ecuación) escribiendo, de manera informal, f (y) dy = g(x) dx. Esta última expresión debe entenderse como la notación compacta de la ecuación diferencial dy = g(x). dx Para resolver esta ecuación diferencial integramos ambos miembros con respecto a x para f (y) obtener Z dy dx = f (y) dx Z g(x) dx + C, Z g(x) dx + C. es decir, Z f (y) dy = Por supuesto, para poder resolver la ecuación, necesitamos poder calcular las primitivas que aparecen en la expresión anterior. Ejemplo 1.4. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y ′ = xy. Procedemos de la siguiente manera: Primero escribimos la ecuación en la forma dy = x dx, y integrando obtenemos, 1 ln |y| = x2 + C1 , 2 donde C1 es una constante real, por lo tanto, 1 2 |y| = eC1 e 2 x . La igualdad anterior implica que y no se anula y, en consecuencia, no puede cambiar de signo. Ası́ que tenemos que 1 2 y = C e2x , donde C es una constante real que será igual a eC1 ó −eC1 según el signo de y. Es importante notar lo siguiente: cuando escribimos la ecuación en la forma dy = x dx, y 8 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN estamos suponiendo que y no se anula, sin embargo es inmediato que la función y ≡ 0 es solución de la ecuación que estamos resolviendo. Siempre que dividimos entre una variable o una función debemos tener este tipo de cuidado. En este ejemplo la solución y ≡ 0 quedó incluida en el caso C = 0. Ejemplo 1.5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial x2 + 1 dy = 2 . x dx 3y + 1 2 La ecuación la podemos reescribir de la siguiente manera: µ ¶ 1 2 (3y + 1) dy = 1 + 2 dx. x Integrando ambos miembros obtenemos 1 + C. x Este ejemplo muestra que a veces no es posible o práctico, expresar a y explı́citamente y3 + y = x − como función de x. Ejemplo 1.6 (Desintegración de sustancias radiactivas). Una sustancia radiactiva se desintegra a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad. Si de 200 gramos de determinada sustancia radiactiva quedan 50 gramos al cabo de 100 años. (a) Calcular la vida media. (b) ¿Cuántos gramos de sustancia radiactiva quedarán transcurridos otros cien años? Sea t el tiempo y M = M (t) la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t. Entonces, de acuerdo a la ley enunciada al principio del ejemplo, tendremos que (1.3) dM = −kM, dt donde k es una constante positiva. La ecuación (1.3) es una ecuación con variables separables, para hallar la solución particular que corresponde con nuestro problema procedemos de la siguiente manera: Paso 1: Separamos las variables dM = −k dt. M 3. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Y APLICACIONES. 9 Paso 2: Integramos y despejamos a M como función de t Z Z dM = −k dt, M de donde, ln |M | = −kt + C1 , donde C1 es una constante, tomando exponencial a ambos miembros de la igualdad y usando que M > 0, obtenemos M = eC1 e−kt , si tomamos C = eC1 , entonces C es una constante y tenemos que M = Ce−kt . Paso 3: Utilizamos la información que tenemos para hallar el valor de las constantes. Inicialmente tenemos 200 gramos de sustancia radiactiva, esto quiere decir que M (0) = 200, por lo tanto, M = 200 e−kt , nos dicen que M (100) = 50, por lo tanto 50 = 200 e−100k , de donde obtenemos que, k= 1 ln 2, 50 por lo tanto, 1 t M = 200 e−( 50 ln 2)t = 200 · 2− 50 . 10 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una vez que tenemos a la masa M como función del tiempo t ya podemos proceder a responder las preguntas. Si T es la vida media tendremos que M (T ) = 100, por lo tanto, T 1 2− 50 = , 2 de donde T = 50 años. Finalmente M (200) = 200 · 2−4 gr. = 12, 5 gr. En la Sección 7 volveremos a tratar temas relacionados con este ejemplo. Ejemplo 1.7 (Crecimiento exponencial de poblaciones). A mediados de 1982, la población mundial era de 4,5 miles de millones de habitantes y después creció a razón de un cuarto de millón de personas diarias. Suponiendo que son constantes los ı́ndices de natalidad y mortalidad ¿Para cuándo se puede esperar una población mundial de 10 mil millones de habitantes? Sea P = P (t) el número de miles de millones de habitantes en el mundo en el instante t, el tiempo t lo mediremos en años y tomaremos el año 1982 como el instante t = 0. Comencemos por establecer cuál condición o condiciones debe satisfacer P . Sean Na = Na (t) y Mo = Mo (t) la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad respectivamente. Si ∆t es un intervalo de tiempo “pequeño” tendremos que P (t + ∆t) − P (t) = Na (t)P (t)∆t − Mo (t)P (t)∆t. Como estamos suponiendo que la tasa de mortalidad y la tasa de natalidad son constantes tenemos que Na (t) y Mo (t) son constantes, al dividir entre ∆t y tomar lı́mite cuando ∆t → 0, obtenemos dP = k P, dt donde la constante k, que es igual a Na − Mo , es la tasa de crecimiento neto. (1.4) 3. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Y APLICACIONES. 11 Al resolver la ecuación (1.4) obtenemos P = P (t) = Po ekt . Tenemos que Po = 4, 5 ya que la población en el instante t = 0 (1982) es de 4,5 miles de millones de habitantes. Además, como la población crece a razón de un cuarto de millón de personas diarias, tenemos que 250.000 × 10−9 miles de millones de personas/año P (0) = 450.000 personas/dı́a = 1/365 ′ ≈ 0, 0913 miles de millones de personas/año y por lo tanto 0, 0913 P ′ (0) ≈ ≈ 0, 0203. k= P (0) 4, 5 Por lo tanto P (t) = (4, 5) e(0,0203)t . Si resolvemos la ecuación P (T ) = 10, obtenemos T = ln(10/4, 5) ≈ 39, 0, 0203 es decir, deben transcurrir 39 años para que la población llegue a 10 mil millones de habitantes y por lo tanto la respuesta es el año 2021. Ejemplo 1.8 (Ley de enfriamiento de Newton). La ley de enfriamiento de Newton dice que la tasa de cambio con respecto al tiempo de la temperatura T = T (t) de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura constante A es proporcional a la diferencia A − T . Es decir, dT = k(A − T ), dt donde k es una constante positiva. Resolvamos el siguiente problema: Una chuleta de 5 lb., originalmente a 50o F, se pone en el horno a 375o F a las 5 : 00p.m. A los 75 minutos se encontró que la temperatura de la carne era de 125o F. ¿A qué hora estará la carne a 150o F? 12 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sea t el tiempo, medido en minutos, con t = 0 correspondiente a las 5 : 00 p.m. De acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton dT = k(375 − T ), dt de donde, Z dT = 375 − T Z k dt, como T (t) < 375, tenemos que − ln(375 − T ) = kT + C1 , por lo tanto T = 375 − C e−kt , donde C es una constante. Como T (0) = 50 tenemos que C = 325. De que T (75) = 125 obtenemos que 1 k = − ln 75 µ 250 325 ¶ ≈ 0, 0035. Despejando t de la ecuación T (t) = 150 (hacer los detalles), obtenemos t ≈ 105minutos. Por lo tanto la chuleta estará a 150o F a las 6 : 45 p.m. 3.1. La ecuación y ′ = k(y − a)(y − b). Tal como veremos más adelante la ecuación diferencial del tipo y ′ = k(y − a)(y − b), donde k, a, b son constantes reales, aparece en algunas aplicaciones. Veamos cual es la solución general de esta ecuación con variables separables. Al separar las variables obtenemos dy = k dx (y − a)(y − b) 3. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Y APLICACIONES. 13 descomponiendo en fracciones simples, 1 b−a µ 1 1 − y−b y−a ¶ dy = k dx, luego, ¯ ¯ ¯y − b¯ ¯ = k(b − a)x + C1 , ln ¯¯ y − a¯ por la igualdad anterior (y − b)/(y − a) no se anula ni cambio de signo, por lo tanto y−b = C ek(b−a)x , y−a despejando obtenemos y =a+ b−a . 1 − C ek(b−a)x Ejercicios. (1) Encontrar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) dy = x y3. dx (b) y dy = x(y 2 + 1). dx (c) x2 y ′ = 1 − x2 + y 2 − x2 y 2 . (2) Encontrar la solución particular de la ecuación dy = y ex , dx que satisface y(0) = 2e. (3) La vida media del cobalto radiactivo es de 5,27 años. Supóngase que en una región ha ocurrido un accidente nuclear que ha hecho que el nivel de cobalto radiactivo ascienda a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la región vuelva a ser habitable? 14 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones con variables separables. 4.1. La ecuación y ′ = f (x, y), donde f es homogénea de grado cero. Se dice que una función f : R2 → R es homogénea de grado n si f (λx, λy) = λn f (x, y) para todo x, y, λ ∈ R. Ejemplo 1.9. La función f (x, y) = x2 + y 2 es homogénea de grado 2. La función f (x, y) = x2 + 3xy + y 2 es homogénea de grado 2. La función f (x, y) = x4 + x3 y es homogénea de grado 3. x+y La función f (x, y) = x4 + x3 y es homogénea de grado 0. x4 + y 4 + x2 y 2 Supongamos que tenemos la ecuación diferencial y ′ = f (x, y) donde f es homogénea de grado 0. Entonces f (x, y) = f por lo tanto la ecuación equivale a µ 1 1 · x, · y x x ³ y´ = f 1, , x y´ . y = f 1, x ′ Hacemos el cambio ¶ ³ u= y , x nos queda y = u x y por lo tanto y ′ = x u′ + u. Luego x u′ + u = f (1, u), es decir x du = f (1, u) − u, dx 4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES. 15 que es una ecuación con variables separables, ya que equivale a du dx = . f (1, u) − u x Ejemplo 1.10. Hallar la solución general de la ecuación xy . y′ = 2 x − y2 Haciendo y = u x obtenemos xu′ + u = de donde xu′ = que equivale a x2 u u = , 2 2 2 x −x u 1 − u2 u u3 − u = , 1 − u2 1 − u2 1 − u2 dx du = . 3 u x Ahora resolvemos esta ecuación con variables separables ¶ Z Z µ 1 dx 1 − , du = 3 u u x 1 − 2 − ln |u| = ln |x| + C1 , 2u 1 ln |ux| = − 2 − C1 , 2u como y = u x, tenemos ln |y| = − x2 − C1 , 2y 2 de donde, − |y| = C2 e x2 2y 2 . La igualdad anterior implica que y no se anula y, por lo tanto, no cambia de signo. Ası́ que tenemos que y =Ce donde C es una constante. − x2 2y 2 , 16 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4.2. La ecuación y ′ = ax + by + c px + qy + r . Consideremos una ecuación diferencial de la forma ax + by + c , (1.5) y′ = px + qy + r donde a, b, c, p, q, r son constantes reales. Si c = r = 0 entonces la ecuación (1.5) es del tipo y ′ = f (x, y). donde f es homogénea de grado cero y por lo tanto ya sabemos como resolverla. Supongamos que c 6= 0 ó r 6= 0. Veremos que, en este caso, un cambio de variables del tipo  x = x + k, 1 (1.6) y = y + h, 1 donde h y k son constantes a determinar nos permite reducir a ecuación (1.5) a una del tipo y′ = a1 x + b1 y . p 1 x + q1 y Haciendo el cambio (1.6) y sustituyendo en la ecuación (1.5) obtenemos dy1 dy a (x1 + k) + b (y1 + h) + c = = dx1 dx p (x1 + k) + q (y1 + h) + r a x1 + b y 1 + a k + b h + c = p x1 + q y1 + p k + q h + r Como es natural, debemos elegir h y k de manera que (1.7)  a k + b h + c = 0, p k + q h + r = 0. Cada una de las ecuaciones anteriores es la ecuación de una recta en el plano kh. Si el sistema no tiene solución entonces las rectas tienen que ser paralelas y por lo tanto tiene que ocurrir que existe λ ∈ R tal que p = λa, q = λb. Tenemos dos casos. 4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES. Caso1: El sistema (1.7) tiene solución (ko , ho ). Con el cambio  x = x + k , 1 o y = y + h , 1 o la ecuación se reduce a una homogénea, que ya sabemos resolver. Caso2: El sistema (1.7) no tiene solución. Entonces existe λ ∈ R tal que p = λa, q = λb, luego la ecuación tiene la forma dy ax + by + c = . dx λ(a x + b y) + r Haciendo el cambio de variables z = a x + b y, obtenemos dy z+c dz =a+b =a+b , dx dx λz + r de donde, 1 z + c dz = dx, a+b λz + r que es una ecuación con variables separables. Ejemplo 1.11. Hallar la solución general de la ecuación diferencial x+y−3 dy = . dx x−y−1 Haciendo el cambio  x = x + k, 1 y = y + h, 1 obtenemos dy1 x1 + y1 + k + h − 3 = . dx1 x1 − y1 + k − h − 1 17 18 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por lo tanto debemos considerar el sistema de ecuaciones lineales  k + h − 3 = 0, k − h − 1 = 0. Al resolver el sistema obtenemos k = 2, h = 1. Luego, con el cambio  x = x + 2, 1 y = y + 1, 1 la ecuación se transforma en dy1 x1 + y1 = , dx1 x1 − y 1 que es una ecuación del tipo y ′ = f (x, y), donde f es homogénea de grado cero. Para resolver esta ecuación debemos hacer el cambio u = y1 /x1 , es decir y1 = u x 1 . Derivando y sustituyendo x1 1+u du +u= , dx1 1−u de donde, 1−u dx1 du = , 2 1+u x1 integrando arctan u − 1 ln(1 + u2 ) = ln |x1 | + ln C, 2 sustituyendo u = y1 /x1 , arctan µ y1 x1 ¶ à = ln C |x1 | s tomando exponencial,   q y arctan x1 2 2 1 , C x1 + y 1 = e y2 1 + 12 x1 ! µ q ¶ 2 2 = ln C x1 + y1 , 5. ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER ORDEN. 19 finalmente, volvemos a la variable original y obtenemos la solución general: C p (x − 2)2 + (y − 1)2 = earctan( x−2 ) . y−1 Observación 1.12. El procedimiento anterior también se le puede aplicar a una ecuación diferencial de la forma ′ y =f µ ax + by + c px + qy + r ¶ . Ejercicios. (1) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) y ′ = y−x , y+x (b) y ′ = y−x−3 , y+x+4 (c) y ′ = x+y , x+y+4 5. Ecuación lineal de primer orden. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma (1.8) y ′ + p(x) y = q(x), donde p y q son funciones continuas definidas en un intervalo. Si q(x) ≡ 0 la ecuación se llama homogénea. Si q(x) no es nula la ecuación se llama no homogénea. Observación 1.13. No debemos confundir la ecuación diferencial lineal de primer orden homogénea con la ecuación diferencial de la forma y ′ = f (x, y), con f homogénea de grado 0, estudiada en la Sección 4. 20 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Solución de la homogénea. La ecuación homogénea tiene la forma dy + p(x) y = 0. dx Esta ecuación es de variable separables, para hallar su solución general procedemos de la siguiente manera: Separamos las variables, dy = −p(x) dx, y integrando, ln |y| = − Z p(x) dx + ln C1 , de donde |y| = C1 e− R p(x) dx , esta igualdad implica que y no se anula y por lo tanto no puede cambiar de signo, luego, y = C e− R p(x) dx . Solución de la no homogénea. En este caso la ecuación tiene la forma dy + p(x) y = q(x), dx R multiplicando ambos miembros por e R e p(x) dx p(x) dx , obtenemos R R dy + e p(x) dx p(x) y = q(x) e p(x) dx , dx es decir, R d ³ R p(x) dx ´ e y = q(x) e p(x) dx , dx integrando, e de donde, y= µZ R p(x) dx R q(x) e y= p(x) dx Z R q(x) e dx + C ¶ e− p(x) dx R dx + C, p(x) dx . 6. ECUACIÓN DE BERNOULLI. 21 Ejemplo 1.14. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y ′ − x y = x. 2 /2 Multiplicando ambos miembros de la igualdad por e−x ³ x2 ´′ x2 e− 2 y = x e− 2 , obtenemos de donde, x2 x2 e− 2 y = − e− 2 + C. Por lo tanto, la solución general es x2 y = −1 + C e 2 , donde C es una constante. 6. Ecuación de Bernoulli. Una ecuación de Bernoulli es una ecuación de la forma y ′ + p(x)y = q(x)y n , donde n 6= 0, 1 (notar que si n = 0 ó n = 1 se trata de una ecuación lineal de primer orden). El procedimiento para resolver esta ecuación es como sigue. Primero reescribimos la ecuación de la siguiente manera y −n dy + p(x) y −n+1 = q(x), dx haciendo el cambio z = y −n+1 , tenemos que dz dy = (1 − n) y −n , dx dx de donde, Por lo tanto la ecuación queda dy 1 dz = y −n . 1 − n dx dx 1 dz + p(x) z = q(x), 1 − n dx que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. 22 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 7. Aplicaciones 7.1. Desintegración radiactiva y determinación de la antigüedad de un fósil. Consideremos una muestra de sustancia que contiene N (t) átomos de cierto isótopo radiactivo en el instante t. Durante cada unidad de tiempo una fracción constante de estos átomos se desintegra espontáneamente, transformándose en átomos de otro elemento o en otro isótopo del mismo elemento; por lo tanto la velocidad de desintegración de la sustancia es proporcional a la cantidad de sustancia presente. En términos de una ecuación diferencial dN = −k N, dt donde k es una constante positiva, que depende de la sustancia. Al resolver esta ecuación diferencial obtenemos (1.9) N (t) = No e−kt , donde No es la cantidad de sustancia en el instante t = 0 (ver Ejemplo 1.6). Sea T tal que N (T ) = No /2, es decir, transcurrido el tiempo T , de la cantidad de sustancia No queda No /2. Entonces tenemos que No = No e−kT . 2 Despejando obtenemos k= 1 ln 2, T sustituyendo en la fórmula (1.6) t N (t) = No 2− T . Es importante notar lo siguiente: 2− to +T T = 1 − to 2 T, 2 por lo tanto, si en el instante to tenemos cierta cantidad de sustancia, en el instante to + T esta cantidad se habrá reducido a la mitad. Por esto se define la vida media de una sustancia radiactiva como el tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad. Los cálculos previos sirven para demostrar que la vida media está bien definida y además, si T es la vida media (1.10) t N (t) = No 2− T . 7. APLICACIONES 23 La clave del método de determinación de la antigüedad o fechado mediante radiocarbono de fósiles estriba en que una proporción constante de átomos de carbono de cualquier organismo viviente está formada por el isótopo radiactivo C 14 del carbono y una vez que el organismo muere estos isótopos radiactivos comienzan a desintegrarse. Más en detalle: La concentración de C 14 en la atmósfera se conserva casi constante, ya que, aunque C 14 es radiactivo y se desintegra lentamente, se repone mediante la conversión de nitrógeno en C 14 por los rayos cósmicos de la atmósfera superior. Durante la larga historia de nuestro planeta, esta declinación y reposición se ha convertido en un estado cercano a la estabilidad. La materia viva está tomando carbono del aire continuamente, o está consumiendo otras materias vivientes que contienen la misma concentración constante de átomos de carbono C 14 . La misma concentración perdura toda la vida, debido a que los procesos orgánicos parecen no hacer distinción entre los dos isótopos. Cuando un organismo vivo muere, cesa su metabolismo de carbono y el proceso de desintegración radiactiva comienza a agotar su contenido de C 14 y, en consecuencia, la concentración de C 14 comienza a decrecer. Midiendo esa concentración, puede estimarse el tiempo transcurrido desde la muerte del organismo. Para el C 14 se sabe que, midiendo el tiempo en años, la constante de decaimiento k vale aproximadamente 0,0001216. Nota: Al aplicar la técnica de determinación de antigüedad mediante radiocarbono debe tomarse extremo cuidado para evitar la contaminación de la muestra con materia orgánica o aun aire fresco ordinario. Además, parece ser que los niveles de rayos cósmicos no han sido constantes durante la historia de la tierra, por lo que la proporción de carbono radiactivo en la atmósfera ha variado en los siglos pasados. Mediante el uso de métodos independientes de fechado de muestras, los investigadores de esta área han compilado tablas de factores de corrección que han acrecentado la exactitud del proceso. Ejemplo 1.15 (Fechado por radiocarbono). El carbono extraı́do de un cráneo antiguo contenı́a solamente una sexta parte del carbono C 14 extraı́do de un hueso de los tiempos actuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo? Tomemos como instante t = 0 el momento de la muerte del individuo, entonces, si t1 es el tiempo transcurrido desde la muerte, tenemos que N (t1 ) = N (0) , 6 donde N (t) es el número de átomos de carbono C 14 en el cráneo en el instante t. 24 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por otra parte sabemos que N (t) = N (0) e−(0,0001216)t , luego, N (0) = N (0) e−(0,0001216)t1 , 6 de donde, t1 = ln 6 = 1473, 86. 0, 0001216 Por lo tanto el tiempo transcurrido es de aproximadamente 1.474 años. Ejercicio 1.16. Utilizar que, midiendo el tiempo en años, el valor de la constante de decaimiento k del carbono 14 vale aproximadamente 0, 0001216, para establecer que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5.700 años. 7.2. Dilución en un tanque con flujo de entrada y salida constantes. Consideremos un tanque que contiene una solución (una mezcla de soluto y solvente, tal como sal y agua). Supondremos que hay un flujo tanto de entrada como de salida y queremos calcular la cantidad x(t) de soluto que hay en el tanque en el instante t. Supóngase además que: (a) La solución que entra al tanque tiene una concentración de ce gramos de soluto por litro de solución (b) El flujo de entrada Fe de solución al tanque es constante. (c) En el tanque hay agitación continua, por lo que la solución que se encuentra en el tanque es homogénea. (d) El flujo de salida Fs de solución al tanque es constante. Para establecer una ecuación diferencial para x(t), estimemos el cambio ∆x en x durante un intervalo de tiempo pequeño [t, t + ∆t]. La cantidad de soluto que entra al tanque durante ∆t segundos es Fe ce ∆t. La cantidad de soluto que fluye hacia afuera del tanque depende de la concentración c(t) de la solución que se encuentra en el tanque en el instante t y es igual a Fs c(t) ∆t. Si V (t) es 7. APLICACIONES 25 el volumen de solución en el tanque en el instante t, entonces c(t) = x(t)/V (t), por lo tanto ∆x = [gramos que ingresan] − [gramos que salen] ≈ Fe ce ∆t − Fs c(t) ∆t = Fe ce ∆t − Fs x(t) ∆t. V (t) Entrada: Fe ce ∆t Cantidad de soluto: x(t) Volumen: V(t) c(t) =x(t)/V(t) Salida: Fs c(t) ∆t Figura 1.1. Dilución en un tanque con flujo de entrada y salida constantes Dividiendo entre ∆t y tomando el lı́mite cuando ∆t → 0, obtenemos (1.11) dx Fs = Fe ce − x(t). dt V (t) Si Vo = V (0), entonces V (t) = Vo + (Fe − Fs )t. Por lo tanto, la ecuación (1.11) es una ecuación diferencial lineal de primer orden para la cantidad x(t) de soluto en el tanque en el instante t. Ejemplo 1.17. Un tanque de 120 galones (gal) inicialmente contiene 90 lb de sal disueltas en 90 gal de agua. Hacia el tanque fluye salmuera que contiene 2 lb/gal a razón de 4 gal/min y la mezcla fluye hacia afuera a razón de 3 gal/min. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando se llena? El volumen de solución V (t), que se encuentra en el tanque en el instante t, es igual a 90 + t galones. Sea x(t) la cantidad de sal que se encuentra en el tanque en el instante t. Entonces 3 dx =4·2− x(t), dt 90 + t 26 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN es decir 3 dx + x(t) = 8. dt 90 + t Resolviendo la ecuación y utilizando que x(0) = 90, obtenemos x(t) = 2 (90 + t) − 904 . (90 + t)3 De la fórmula para V (t) sigue que el tanque se llena en 30 min, por lo tanto la respuesta es x(30) ≈ 202 lb de sal. 7.3. Modelos de poblaciones. En el Ejemplo 1.7 consideramos un modelo de población cuyo crecimiento está gobernado por una ecuación de la forma dP/dt = k P . Este modelo es válido cuando los ı́ndices de natalidad y mortalidad son constantes. En esta sección estudiaremos modelos más generales, que contemplan la posibilidad de que los ı́ndices de natalidad y mortalidad sean variables. Sea P (t) el número de individuos de una población en el instante t. Supongamos que la población cambia exclusivamente por la ocurrencia de nacimientos y muertes, es decir, suponemos que no hay inmigración ni emigración. Sean N (t) y M (t) el número de nacimientos y muertes, respectivamente, que han ocurrido desde el instante t = 0 hasta el instante t. El Índice de natalidad es 1 dN N (t + ∆t) − N (t) = , ∆t→0 P (t) ∆t P dt α(t) = lim y el Índice de mortalidad es β(t) = lim ∆t→0 M (t + ∆t) − M (t) 1 dM = . P (t) ∆t P dt Tenemos que P (t + ∆t) − P (t) ∆t [N (t + ∆t) − N (t)] − [M (t + ∆t) − M (t)] = lim ∆t→0 ∆t ′ ′ = N (t) − M (t). P ′ (t) = lim ∆t→0 Por lo tanto (1.12) P ′ (t) = (α(t) − β(t)) P (t). 7. APLICACIONES 27 Crecimiento exponencial. Si los ı́ndices de natalidad y mortalidad α(t) y β(t) son constantes tenemos una ecuación del tipo dP = k P, dt cuya solución es P (t) = Po ekt , donde Po es el número de individuos en el instante t = 0. En la siguiente figura observamos los gráficos de P en función de t para los casos k > 0, k = 0 y k < 0. P P P t t t Figura 1.2. Distintos casos de crecimiento con tasas de natalidad y mortalidad constantes El primer gráfico (k > 0) corresponde con el caso en que el ı́ndice de natalidad es mayor que el de mortalidad. La población crece muy rápidamente, llega un momento en que el modelo pierde validez, ya que el medio ambiente comienza a poner restricciones sobre el número de individuos. El segundo gráfico (k = 0) corresponde con el caso en que el ı́ndice de natalidad es igual al de mortalidad. La población permanece constante. El tercer gráfico (k < 0) corresponde con el caso en que el ı́ndice de mortalidad es mayor que el de natalidad. La población disminuye hasta extinguirse. Crecimiento logı́stico. En situaciones tan diversas como la población humana de una nación y la población de la mosca de la fruta en un recipiente cerrado, a menudo se observa que el ı́ndice de natalidad disminuye cuando la población aumenta. Las razones pueden variar, incluyendo desde el refinamiento cultural hasta la limitación en los recursos alimenticios. Supongamos que 28 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (a) El ı́ndice de nacimientos α es una función lineal decreciente de P , es decir α(t) = αo − α1 P (t), donde αo y α1 son constantes positivas. (b) El ı́ndice de mortalidad permanece constante. Entonces la ecuación (1.12) toma la forma dP/dt = (αo − α1 P − β) P , es decir, dP = k P (M − P ). dt Supondremos que αo > β, ası́ que M > 0. Al resolver esta (ecuación ver Subsección 3.1) obtenemos P (t) = donde Po es la población inicial. M Po , Po + (M − Po ) e−kM t Se observa que si t → ∞, entonces P (t) → M , es decir el número de individuos tiende a estabilizarse. A continuación observamos los gráficos de P en los casos Po < M y Po > M . P P M M t Figura 1.3. Crecimiento logı́stico t EJERCICIOS. NOCIONES BÁSICAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 29 Ejercicios. Nociones básicas y ecuaciones diferenciales de primer orden. (1) Verifique, por sustitución, que la función dada y (explı́cita o implı́citamente) es solución de la ecuación diferencial correspondiente. (a) y ′ = 2x; y = x2 + 3. (b) y y ′ = e2x ; y 2 = e2x + 1. (c) xy ′ + y = y ′ p 1 − x2 y 2 ; y = arcsen xy. (d) (y cos y − sen y + x)y ′ = y; y + sen y = x. (e) y ′′ + y = 3 cos 2x; y = cos x − cos 2x. (f) y ′′ + y = 3 cos 2x; y = sen x − cos 2x. (g) x2 y ′′ − xy ′ + 2y = 0; y = x cos(ln x). (h) x2 y ′′ + 5xy ′ + 4y = 0; y = 1 . x2 (2) En los siguientes problemas se describe una función y = g(x) mediante alguna propiedad geométrica de su gráfica. Escriba una ecuación diferencial de la forma y ′ = f (x, y) cuya solución (o una de sus soluciones) sea g(x). (a) La pendiente de la gráfica de g en el punto (x, y) es la suma de x e y. (b) La recta tangente a la gráfica de g en el punto (x, y) interseca al eje de las x en el punto (x/2, 0). (c) Toda lı́nea recta, perpendicular a la gráfica de g, pasa por el punto (0, 1). 30 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (3) En los siguientes problemas escribir una ecuación diferencial, que sea un modelo matemático de la situación descrita. (a) La tasa de cambio con respecto al tiempo de una población P es proporcional a la raı́z cuadrada de P . (b) La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad v de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v. (c) La aceleración dv/dt de cierto automóvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 kilómetros por hora y la velocidad v del automóvil. (d) En una ciudad que tiene una población fija de K personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han oı́do un cierto rumor es proporcional al número de personas que todavı́a no lo han oı́do. (4) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables. (a) y ′ = e3x − x. (b) x y ′ = 1. (i) (1 + x2 ) dy + 1 + y 2 = 0. dx (j) y ln y dx − x dy = 0. 2 (c) y ′ = x ex . (d) y ′ = arcsen x. (e) (1 + x) y ′ = x. (f) (1 + x3 ) y ′ = x. (g) x y y ′ = y − 1. (h) x y ′ = (1 − 2x2 ) tan y. (k) y ′ + y tan x = 0. (l) xy + 2y − x − 2 dy = . dx xy − 3y + x − 3 (m) sec2 x dy + cosec y dx = 0. (n) 2 dy 1 2x − = . dx y y (o) (1 + x2 + y 2 + x2 y 2 ) dy = y 2 dx. EJERCICIOS. NOCIONES BÁSICAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. dx (p) y ln x = dy µ y+1 x ¶2 . (t) 31 dy = 3 x. dx (q) (1 + x2 )−1/2 dy = . dx (1 + y 2 )1/2 (u) (1 + x4 ) y ′ = x3 . (r) 1 + 2 y2 dx = . dy y sen x (v) (1 + x4 ) y ′ = 1. (Ayuda: 1+x4 = 1+2x2 +x4 −2x2 ). dy (s) = 3 y. dx (5) Determine si la función dada es homogénea. En caso de que sea homogénea, indique su grado de homogeneidad. y4 (a) f (x, y) = 2 x + 2 x y − . x 3 (b) f (x, y) = (3x + 2y) 2 √ x + y. x3 (c) f (x, y) = x + y (d) f (x, y) = cos µ ¶ x2 . x+y x3 y µ (e) f (x, y) = x2 + (f) f (x, y) = sen ¶ x . x+y (6) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) (x − y) dx + x dy = 0. √ √ (d) ( x + y)2 dx = x dy. (b) (y 2 + xy) dx − x2 dy = 0. (e) (c) 2 x2 y dx = (3 x3 + y 3 ) dy. (f) dy y ³y´ = ln . dx x x dy x + 3y = . dx 3x + y (7) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. 32 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (a) y ′ = 2x − 5y . 2x + 4y (c) y ′ = (b) y ′ = 2x − 5y + 3 . 2x + 4y − 6 (d) y ′ = 2x − 5y + 3 . 2x − 5y − 6 2x + y . x−y (8) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. (a) 3y ′ + 12y = 4. (b) x (e) dy + 2y = 3. dx (f) y ′ − y = 2 x ex (c) x dy = (x sen x − y) dx. (d) (1 + ex ) 1 − e−2x dy +y = x . dx e + e−x (h) y ′ − y tan x = sec x. (9) Hallar la solución que satisface la condición inicial indicada. 2 (a) y ′ − 2 x y = 2 x e−x , y(0) = (e) 2 x y ′ − y = 3 x2 , (f) y ′ − y = 2 x ex 2 +x π . 2 y(1) = e−4 . (c) y ′ + y cos x = sen x cos x, (d) x y ′ − y = x2 sen x, y y ³π ´ 4 ³π ´ 2 = 0. y(1) = 1. , (g) y ′ − y tan x = sec x, . (g) x y ′ − y = x2 sen x. dy + ex y = 0. dx (b) y ′ + 2 y = x2 + 2 x, 2 +x √ y( 2) = e2 . y(π) = 0. = 1. EJERCICIOS. NOCIONES BÁSICAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 33 (10) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales (indique cuál o cuáles son de Bernoulli). (a) y ′ = 3 − 4 y + y 2 . y (c) y ′ = − (3 − y). 2 (b) y ′ = (2 − y) (5 − y). (d) y ′ = 4 − y 2 . (11) Utilizando el método más apropiado, halle la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) y ′′′ = 17. (b) y ′ = y 2 − y − 12. (c) x(sen x) y ′ + (sen x − x cos x) y = sen x cos x − x. (d) dy 3 x y 2 − x3 = 3 . dx y − 3 x2 y (e) x2 + x y ′ = 3 x + y ′ . (f) x2 dy dx = . 2 2 − xy + y 2y − xy (g) (x − y + 2) dx + (x − y + 3) dy = 0. (h) e−y (1 + y ′ ) = 1. (i) (x − y 2 x) dx + (y − x2 y) dy = 0. (j) (1 + y 2 ) dx + (1 + x2 ) dy = 0. (k) y ′ = (y − 1)(y − 2). 34 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (l) y ′ = 2 x2 − y 2 . 2 x2 + y 2 (m) (x + y − 1) dx + (x − y) dy = 0. (n) xy ′ + y = y 2 x. (12) ⋆ Sean a y λ números reales positivos y b un número real. Demostrar que toda solución de la ecuación diferencial y ′ + a y = b e−λ x tiende a 0 cuando x tiende a +∞. (13) Demostrar que la curva para la cual, la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto de la tangente con la curva, es una parábola. (14) Un termómetro se encontraba guardado en una habitación cuya temperatura era de 75◦ F. Cinco minutos después de haberlo sacado al exterior el termómetro marcó 65◦ F y otros cinco minutos después marcó 60◦ F. Calcular la temperatura exterior. (15) Una sustancia radioactiva se desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad de material presente. Si un gramo de esta sustancia se reduce a 1/4 de gramo en 4 horas, determinar cuánto tiempo debe transcurrir para que un gramo se reduzca a 1/10 de gramo. Encuentre la vida media de la sustancia (recuerde que la vida media es el tiempo necesario para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad). (16) El carbono 14 es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de aproximadamente 5.700 años. Es importante en arqueologı́a porque el carbono 14 existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. Determinar el tiempo transcurrido desde la muerte de un animal si la concentración de carbono 14 en sus restos es igual a la tercera parte de la que corresponde con un animal que vive actualmente. EJERCICIOS. NOCIONES BÁSICAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. 35 (17) El número de bacterias en cierto cultivo crece a una velocidad que es igual a la mitad del número de bacterias presente. Si inicialmente hay 10.000 bacterias, hallar el número de bacterias en el instante t. (18) En una población sana de 100 individuos, igualmente susceptibles a una enfermedad infecciosa, se introduce un individuo infectado. Supongamos lo siguiente: (i) Una vez que un individuo es infectado, permanecerá ası́ durante todo el proceso y no será eliminado (no muere). (ii) Si x(t) es el número de individuos sanos y y(t) es el número de individuos infectados en el instante t, entonces la velocidad a la que se propaga la infección es proporcional al producto de x(t) y y(t). Si en diez dı́as hay 20 individuos infectados, determinar en cuántos dı́as habrá 50 individuos infectados. (19) (Crecimiento limitado) Supongamos que en una población la velocidad de crecimiento es proporcional a una constante menos el número de individuos presentes. Describir y analizar el modelo matemático correspondiente. CAPÍTULO 2 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Solución general de la ecuación homogénea. Solución general de la ecuación ay ′′ + by ′ + cy = f (x) en los casos en que f es un polinomio, f (x) = ax y f (x) = k1 sen x + k2 cos x. Aplicaciones: Caı́da libre, movimiento oscilatorio, caı́da libre en un medio resistente. 1. Solución general de la ecuación homogénea. Una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes es una ecuación de la forma (2.1) a y ′′ + b y ′ + c y = f (x), donde a, b, c son constantes reales, a 6= 0 y f es una función continua definida en un intervalo. Si f (x) ≡ 0 se dice que la ecuación es homogénea, en otro caso se dice no homogénea. Primero vamos a considerar la ecuación la homogénea, es decir vamos a comenzar con la ecuación (2.2) a y ′′ + b y ′ + c y = 0. En este caso se cumple lo siguiente: Si y1 e y2 son soluciones de la ecuación (2.2) y C1 y C2 son constantes reales entonces C1 y1 + C2 y2 también es solución de la ecuación (2.2) (verificarlo como ejercicio). Supongamos que una función de la forma y = eλx (λ es una constante a determinar) es solución de la ecuación. Tenemos que y ′ = λeλx y ′′ = λ2 eλx , 37 38 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN por lo tanto debe cumplirse que 0 = a y ′′ + b y ′ + c y = (a λ2 + b λ + c) eλx . Ası́ que tenemos que la función y = eλx es solución de la ecuación (2.2) si y sólo si a λ2 + b λ + c = 0. Al polinomio p(λ) = a λ2 + b λ + c se le llama polinomio caracterı́stico de la ecuación (2.2). Sean λ1 y λ2 las raı́ces del polinomio caracterı́stico. Para hallar la solución general de la ecuación (2.2) debemos considerar tres casos. Primer caso: Si λ1 y λ2 son reales y distintas (b2 − 4ac > 0). La solución general tiene la forma y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x , donde C1 y C2 son constantes reales. Segundo caso: Si λ1 y λ2 son reales e iguales (b2 − 4ac = 0). La solución general tiene la forma y = (C1 + C2 x) eλ1 x , donde C1 y C2 son constantes reales. Tercer caso: Si λ1 y λ2 son complejas (b2 − 4ac < 0). En este caso tendremos que existen números reales α y β tales que λ1 = α + iβ, λ2 = α − iβ, donde i s la unidad imaginaria (i2 = −1). La solución general tiene la forma y = (C1 sen βx + C2 cos βx) eαx . 2. SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA. 39 Ejemplo 2.1. (1) Hallar la solución general de y ′′ + y ′ − 2y = 0. El polinomio caracterı́stico es λ2 + λ − 2 y sus raı́ces son 1 y −2, por lo tanto la solución general es y = C1 ex + C2 e−2x . (2) Hallar la solución general de y ′′ + 2y ′ + 5y = 0. El polinomio caracterı́stico es λ2 + 2λ + 5 y sus raı́ces son √ −2 ± 4 i −2 ± 4 − 20 = = −1 ± 2 i, 2 2 por lo tanto la solución general es y = (C1 sen(2x) + C2 cos(2x) ) e−x . (3) Hallar la solución general de y ′′ − 4y ′ + 4y = 0. El polinomio caracterı́stico es λ2 − 4λ − 4 = (λ − 2)2 y tiene una raı́z doble en λ = 2, por lo tanto la solución general es y = (C1 + C2 x) e2x . 2. Solución general de la ecuación no homogénea. En esta sección vamos a estudiar cómo resolver la ecuación (2.1) para algunos casos particulares de f , más precisamente, vamos a considerar la ecuación (2.3) a y ′′ + b y ′ + c y = f (x), en los casos en que f (x) = k1 sen x + k2 cos x ó f (x) = P (x)eαx , donde P es un polinomio. Observación 2.2. Si y1 e y2 son soluciones de la ecuación no homogénea (2.3) entonces y1 −y2 es solución de la ecuación homogénea a y ′′ +b y ′ +c y = 0, por esto tenemos el siguiente resultado: La solución general de la ecuación no homogénea es igual a la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación no homogénea. 40 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Por la observación anterior, para hallar la solución general de la ecuación no homogénea (2.3) basta hallar una solución particular de la no homogénea; después a esta solución particular le sumamos la solución general de la homogénea, que aprendimos a hallar en la sección previa. Vamos a estudiar caso por caso. Caso 1: f (x) = Pn (x)eαx , donde Pn es un polinomio de grado n. Es necesario considerar tres subcasos. (i) α no es raı́z de la ecuación aλ2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma y = Qn (x)eαx , donde Qn es un polinomio de grado n. (ii) α es raı́z simple de la ecuación aλ2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma y = x Qn (x)eαx , donde Qn es un polinomio de grado n. (iii) α raı́z doble de la ecuación aλ2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma y = x2 Qn (x)eαx , donde Qn es un polinomio de grado n. Caso 2: f (x) = k1 sen(βx) + k2 cos(βx), donde k1 , k2 y β son constantes. Es necesario considerar dos subcasos. (i) β i no es raı́z de la ecuación aλ2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma y = A sen(βx) + B cos(βx), donde A y B son constantes. (ii) β i es raı́z de la ecuación aλ2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma y = x (A sen(βx) + B cos(βx) ), donde A y B son constantes. 2. SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA. 41 Observación 2.3. En el Caso 1 están contenidos el caso en que f (x) es un polinomio (tomar α = 0) y el caso en que f (x) = ax (tomar Pn (x) ≡ 1, α = ln a). Observación 2.4. Para hallar una solución particular de la ecuación diferencial a y ′′ + b y ′ + c y = f1 (x) + f2 (x) basta sumar una solución particular de la ecuación a y ′′ + b y ′ + c y = f1 (x) con una solución particular de a y ′′ + b y ′ + c y = f2 (x). Esta propiedad se conoce con el nombre de principio de superposición. Ejemplo 2.5. (1) Hallar la solución general de la ecuación y ′′ + 4y ′ + 3y = x. El polinomio caracterı́stico de la ecuación es λ2 + 4λ + 3 y tiene raı́ces −1 y −3, por lo tanto la solución general de la ecuación homogénea es C1 e−x + C2 e−3x . Debemos buscar una solución particular de la forma y = A x + B. En este caso y ′ = A, y ′′ = 0, sustituyendo en la ecuación 4A + 3(Ax + B) = x, de donde 3Ax + 4A + 3B = x, igualando los coeficientes y resolviendo el sistema lineal correspondiente, obtenemos 1 A= , 3 4 B=− , 9 por lo tanto la solución general es y = C1 e−x + C2 e−3x + 4 1 x− . 3 9 (2) Hallar la solución general de la ecuación y ′′ + 9y = xe3x . El polinomio caracterı́stico de la ecuación es λ2 + 9 y tiene raı́ces 3 i y −3 i, por lo tanto la solución general de la ecuación homogénea es C1 sen(3x) + C2 cos(3x). 42 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Debemos buscar una solución particular de la forma y = (A x + B) e3x . Tenemos que y ′ = A e3x + (A x + B) 3 e3x = (3Ax + A + 3B) e3x , y ′′ = 3A e3x + (3Ax + A + 3B) 3 e3x = (9Ax + 6A + 9B) e3x , de donde, y ′′ + 9y = (9Ax + 6A + 9B + 9Ax + 9B) e3x = (18Ax + 6A + 18B) e3x , por lo tanto, debe cumplirse la igualdad (18Ax + 6A + 18B) e3x = x e3x , o, lo que es lo mismo 18Ax + 6A + 18B = x. Igualando los coeficientes y resolviendo el sistema lineal correspondiente, obtenemos A= 1 , 18 B=− 1 , 54 por lo tanto la solución general es y = C1 sen(3x) + C2 cos(3x) + µ 1 1 x− 18 54 ¶ e3x . (3) Hallar la solución general de la ecuación y ′′ + 2y ′ + 5y = 2 cos x. El polinomio caracterı́stico es λ2 + 2λ + 5 y sus raı́ces son √ −2 ± 4 i −2 ± 4 − 20 = = −1 ± 2 i, 2 2 por lo tanto la solución general de la homogénea es y = (C1 sen(2x)+C2 cos(2x) ) e−x . Debemos buscar una solución particular de la forma y = A cos x + B sen x. Derivando y sustituyendo en la ecuación obtenemos 2 A= , 5 1 B= , 5 3. APLICACIONES 43 por lo tanto la solución general es y = (C1 sen(2x) + C2 cos(2x) ) e−x + 1 2 cos x + sen x. 5 5 3. Aplicaciones 3.1. Caı́da libre en el vacı́o. Supongamos que dejamos caer un cuerpo desde cierta altura h, con velocidad inicial 0. Sea m es la masa del cuerpo, g la aceleración de gravedad y x(t) la altura del cuerpo en el instante t. Si despreciamos la resistencia del aire, entonces x satisface la ecuación d2 x m 2 = −mg, dt dx (0) = 0. dt La solución de la ecuación anterior (verificarlo como ejercicio) es g x(t) = h − t2 . 2 Se observa que la velocidad del cuerpo es igual a con condición inicial x(0) = h, dx = −g t, dt por lo tanto el valor absoluto de la velocidad se mantiene incrementándose de manera lineal, hasta que el cuerpo llega al suelo. 3.2. Caı́da libre en un medio resistente. Nuevamente supongamos que dejamos caer un cuerpo desde cierta altura h, con velocidad inicial 0. Sea m es la masa del cuerpo, g la aceleración de gravedad y x(t) la altura del cuerpo en el instante t. En muchos casos la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo, por lo tanto x satisface la ecuación m dx d2 x = −mg − k , dt2 dt dx (0) = 0. dt Analicemos la ecuación. Si dividimos entre m obtenemos d2 x dx +K = −g, 2 dt dt k es una constante positiva. donde K = m con condición inicial x(0) = h, 44 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN La solución que satisface la condición inicial es (verificarlo como ejercicio) x(t) = h − g g −Kt g + e − t. K2 K2 K Se observa que la velocidad del cuerpo, que es igual a g dx = − (e−Kt + 1) dt K está acotada y tiende a estabilizarse a medida que t se incrementa.. 3.3. Oscilaciones de un resorte. Supongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte fijo al que se le sujeta un cuerpo de masa m al extremo inferior. En este caso el peso P = m g de la masa estirará el resorte una distancia so . Esto da la posición de equilibrio del sistema. No estirado so Equilibrio m x Movimiento m Figura 2.1. Resorte Si la masa se desplaza de su posición de equilibrio y después se le suelta, en ciertas condiciones ideales, el desplazamiento x satisface la ecuación diferencial (2.4) d2 x m 2 = −k x, dt 3. APLICACIONES 45 donde k es una constante positiva que depende del resorte (este hecho se conoce como ley de Hooke). Si dividimos la ecuación (2.4) entre m obtenemos d2 x + ω 2 x = 0, dt2 (2.5) donde ω 2 = k/m. Las raı́ces del polinomio caracterı́stico de esta ecuación son ω i y −ω i, por lo tanto su solución general es de la forma x(t) = C1 sen ωt + C2 cos ωt. Las constantes C1 y C2 se pueden calcular en función de la posición inicial x(0) y la velocidad inicial x′ (0). El gráfico de la solución luce ası́. x t Figura 2.2. El modelo anterior es un tanto irreal, ya que según el mismo el resorte no se detiene jamás, obteniéndose un movimiento periódico perpetuo. Por la experiencia práctica sabemos que esto no puede ser. Una forma simple de mejorar el modelo es suponer que sobre el resorte actúa una fuerza que se opone al movimiento y que es proporcional a dx/dt. En este caso debemos modificar la ecuación (2.4) de la siguiente manera (2.6) dx d2 x m 2 = −k x − β . dt dt 46 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Dividiendo entre m obtenemos dx d2 x + 2λ + ω 2 x = 0, 2 dt dt (2.7) donde 2 λ = β/m y ω 2 = k/m (se escoge 2 λ para simplificar las operaciones). Por supuesto existen otros tipos de modelo, en los que se supone que la resistencia proporcional al cuadrado de dx/dt y que nos lleva a ecuaciones más complicadas. Las raı́ces del polinomio caracterı́stico de la ecuación (2.7) son α1 = −λ + √ λ2 − ω 2 α2 = −λ − √ λ2 − ω 2 . Dependiendo del signo de λ2 − ω 2 podemos distinguir tres casos. Caso 1: λ2 − ω 2 > 0. En este caso la solución tiene la forma √ λ2 −ω 2 t x(t) = e−λt (C1 e √ + C2 e− λ2 −ω 2 t ). En este caso se produce un movimiento suave no oscilatorio y se dice que el sistema está sobreamortiguado. Caso 2: λ2 − ω 2 = 0. En este caso la solución tiene la forma x(t) = e−λt (C1 + C2 t ). En este caso se produce un movimiento similar al del caso sobreamortiguado y se dice que el sistema está crı́ticamente amortiguado. Caso 3: λ2 − ω 2 < 0. En este caso la solución tiene la forma x(t) = e−λt (C1 cos √ λ2 − ω 2 t + C2 sen √ λ2 − ω 2 t ). En este caso se produce un movimiento oscilatorio, cuyas amplitudes de oscilación tienden a 0 cuando t tiende a ∞. En esta caso se dice que el sistema está subamortiguado. Las constantes C1 y C2 se pueden calcular en función de las condiciones iniciales del problema. 3. APLICACIONES 47 Las siguientes tres gráficas corresponden con los casos 1, 2 y 3 respectivamente x x t x t Figura 2.3. t 48 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ejercicios. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. (1) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) y ′′ = y. (h) 2y ′′ − 7y ′ + 3y = 0. (b) y ′′ − 4y = 0. (i) y ′′ + 6y ′ + 9y = 0. (c) y ′′ + 4y = 0. (j) y ′′ − 6y ′ + 13y = 0. (d) 4y ′′ + y = 0. (k) 4y ′′ − 12y ′ + 9y = 0. (e) y ′′ − y ′ = 0. (l) y ′′ + 8y ′ + 25y = 0. (f) y ′′ + y ′ = 0. (m) 3y ′′ + 2y ′ + y = 0. (g) y ′′ + 3y ′ − 10y = 0. (n) 2y ′′ + 2y ′ + y = 0. (2) Para cada una de las siguientes funciones, encontrar una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, tal que la función dada es solución de la ecuación. (a) f (x) = 3 e2x . (c) f (x) = C1 ex + C2 x ex . (b) f (x) = cos x + 3 sen x. (d) f (x) = 3 e2x + 5 e−x . (3) Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la solución que satisface la condición inicial dada. (a) y ′′ = y; y ′ (0) = y(0) = 1. EJERCICIOS. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 49 (b) 9y ′′ + 6y ′ + 4y = 0; y(0) = 3, y ′ (0) = 7. (c) y ′′ − 4y ′ + 3y = 0; y(0) = 7, y ′ (0) = 11. (d) y ′′ − 6y ′ + 25y = 0; y(0) = 3, y ′ (0) = 1. (4) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. (a) y ′′ = y + ex . (g) y ′′ − y ′ − 2y = 3x + 4. (b) y ′′ − 4y = ex + e2x + sen 2x. (h) y ′′ − y ′ − 6y = 2 sen 3x + cos 5x. (c) y ′′ + 4y = x3 + 5. (i) 4y ′′ + 4y ′ + y = xe3x . (d) 4y ′′ + y = cosh x. (j) y ′′ + y ′ + y = sen2 x. (e) y ′′ − y ′ = x2 ex . (k) 2y ′′ + 4y ′ + 7y = x2 . (f) y ′′ + 16y = e3x . (l) y ′′ − 4y = cosh 2x. (5) Resuelva e interprete (en términos del movimiento de un resorte) el problema a valor inicial d2 x + 16 x = 0 dt2 x(0) = 10 ¯ dx ¯¯ = 0. dt ¯t=0 CAPÍTULO 3 Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden. Resolución de sistemas de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes, utilizando el método de eliminación. Aplicación: competencia entre especies. 1. Motivación. Hasta ahora hemos considerado ecuaciones diferenciales donde la incógnita (o variable dependiente) es una función a valores reales. Al modelar situaciones de la vida real aparecen, de manera natural, ecuaciones diferenciales con dos o más funciones incógnitas, siendo cada una función de una misma variable dependiente (por lo general, el tiempo). Tales problemas conducen a un sistema de ecuaciones diferenciales. Vamos a ilustrar esta situación considerando un ejemplo muy sencillo. Supongamos que lanzamos un proyectil de masa m, desde el suelo, con rapidez inicial v y ángulo de lanzamiento α. Este proyectil se va a mover en un plano. Para describir el movimiento consideraremos un sistema de coordenadas xy en este plano, tal como se ilustra en la siguiente figura. y vector velocidad inicial, de longitud v vy proyectil a fuerza de gravedad vx x Figura 3.1. Lanzamiento de un proyectil 51 52 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. En nuestro modelo vamos a despreciar la resistencia del aire. Denotaremos por t el tiempo transcurrido desde el instante en que se lanza el proyectil, x(t) denotará la primera coordenada del proyectil en el instante t e y(t) la segunda. Como en la dirección horizontal no actúa ninguna fuerza tenemos que d2 x = 0. dt2 En la dirección vertical actúa la fuerza de gravedad, por lo tanto tenemos que d2 y m 2 = −m g, dt donde g es la aceleración de gravedad. Además, ya que hemos colocado el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento tenemos que x(0) = y(0) = 0. La velocidad inicial en la dirección horizontal es la componente horizontal del vector velocidad inicial y con la componente vertical la situación es análoga. Por lo tanto tenemos que dy dx (0) = vx = v cos α , (0) = vy = v sen α. dt dt El análisis anterior nos permite concluir que las funciones x(t) e y(t) satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales (3.1) con condiciones iniciales  2 dx    2 = 0, dt 2    d y = − g, dt2   x(0) = 0,         y(0) = 0, dx  (0) = v cos α,   dt       dy (0) = v sen α. dt Por lo que ya hemos estudiado de ecuaciones lineales de segundo orden tenemos que 1. MOTIVACIÓN. 53   x(t) = (v cos α)t (3.2)  y(t) = (v sen α)t − 1 g t2 2 A continuación vamos a hacer un análisis detallado de la solución en el caso particular en que la rapidez inicial es de 100 metros/segundos, el ángulo de lanzamiento de 60◦ y la masa del proyectil es de 10 gramos (por simplicidad supondremos que la aceleración de gravedad es de 10 metros/segundos2 ). De la ecuación (3.2) obtenemos que, en este caso, (3.3) x(t) = 50 t, √ y(t) = 50 3 t − 5 t2 . (3.4) Las dos ecuaciones anteriores nos dan una descripción detallada del movimiento del proyectil, ya que para cada instante t, nos indican la posición (x(t), y(t)) del proyectil. Para averiguar la forma de la trayectoria del proyectil procedemos de la siguiente manera: primero despejamos t de la ecuación (3.3) y obtenemos x t= , 50 después substituimos este valor de t en la ecuación (3.4) y obtenemos y= √ 3x − √ 5 x2 x =( 3− ) x. 2500 500 De esta última fórmula, que nos expresa la altura y del proyectil, en función de su coordenada horizontal x, podemos deducir que la trayectoria del proyectil tiene forma de √ parábola. Esta parábola corta al eje x en los puntos 0 y x = 500 3 ≈ 866, 02 y su valor máximo es de 375. Por lo tanto podemos concluir que el proyectil vuelve a tocar tierra a 866, 02 metros del punto de donde fue lanzado y alcanza una altura máxima de 375 metros. √ Si resolvemos la ecuación y(t) = 0 (ver fórmula (3.4)) obtenemos t = 10 3 ≈ 17, 32, por lo tanto el proyectil permaneció en el aire durante 17,32 segundos. En la primera de las siguientes figuras mostramos el gráfico de x e y en función de t, observamos que x es una función lineal de t y que el gráfico de y en función de t es una parábola que corta al eje x en aproximadamente el punto 17, 32. La segunda figura 54 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. corresponde con el gráfico de y como función de x, observamos que es un trozo de parábola, que corta al eje x en 0 y en 866, 02 y alcanza una altura máxima de 375. y 350 800 300 x(t) 600 250 200 400 150 y(t) 100 200 50 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 t 200 400 600 800 x Figura 3.2. 2. El método de eliminación. En la sección anterior resolvimos un sistema de dos ecuaciones lineales de segundo orden. Fue muy fácil resolverlo, ya que el problema se redujo a resolver por separado dos ecuaciones lineales de segundo orden, debido a que las ecuaciones eran independientes. El enfoque más elemental para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes consiste en la eliminación de variables dependientes mediante combinaciones adecuadas de parejas de ecuaciones. El objeto de este procedimiento es eliminar sucesivamente las variables dependientes hasta que quede solamente una ecuación con una única variable dependiente. En general esta ecuación será lineal y de orden superior y podrá resolverse con los métodos del capı́tulo anterior. Después de que se tenga la solución, las otras variables dependientes se determinarán a su vez usando las ecuaciones diferenciales originales o aquellas que hayan aparecido durante el proceso de eliminación. Este método de eliminación para sistemas diferenciales lineales se parece bastante al que se emplea para resolver sistemas algebraicos por eliminación de variables, hasta que queda sólo una. Es de lo más conveniente para el caso de sistemas pequeños y manejables. Para grandes sistemas de ecuaciones diferenciales, ası́ como para análisis teóricos, son preferibles los métodos matriciales, que están más allá de los objetivos de este curso. En esta sección vamos a estudiar como resolver sistemas que constan de dos ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, utilizando el método de eliminación. Después veremos algunos problemas en los que aparecen este tipo de sistemas. Vamos a fijar y a explicar la notación que usaremos en lo que resta de este capı́tulo. 2. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN. 55 Cuando consideramos sistemas de dos ecuaciones diferenciales con dos incógnitas es usual denotar a la variable independiente por t y a las funciones incógnitas (o variables dependientes) por x e y ó x(t) e y(y). Es importante notar la diferencia con el capı́tulo anterior en el que x denotaba la variable independiente y la incógnita (o variable dependiente) la denotábamos por y. También es usual usar ẋ para denotar la derivada primera de x(t) con respecto a t y ẍ para la segunda. Análogamente se usan ẏ y ÿ. Con esta notación el sistema (3.1) queda ası́: ( ẍ = 0, ÿ = −m g. 2.1. Un ejemplo sencillo. Para ilustrar el método de eliminación vamos a comenzar resolviendo un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos hallar la solución general del siguiente sistema (3.5) ( ẋ = x + y, ẏ = x − y. Si derivamos la primera ecuación del sistema obtenemos ẍ = ẋ + ẏ, si usamos la segunda ecuación del sistema y substituimos, obtenemos (3.6) ẍ = ẋ + x − y. Si de la primera ecuación del sistema despejamos y obtenemos (3.7) y = ẋ − x. Si substituimos en la ecuación (3.6), obtenemos (3.8) ẍ = 2 x, que es una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que ya sabemos como resolver. El polinomio caracterı́stico de la ecuación es (3.8) p(λ) = λ2 − 2, tiene dos raı́ces reales √ √ que son 2 y − 2, por lo tanto, su solución general es √ x = C1 e 2t √ + C2 e− 2t , donde C1 y C2 son constantes reales. Substituyendo en (3.7) obtenemos √ √ √ √ y = ( 2 − 1) C1 e 2 t − ( 2 + 1) C2 e− 2 t . 56 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. En conclusión, la solución general de la ecuación (3.5) es √ √ (3.9) x = C1 e 2 t + C2 e− 2 t , √ √ √ √ y = ( 2 − 1) C1 e 2 t − ( 2 + 1) C2 e− 2 t , donde C1 y C2 son constantes reales. Si además nos hubiesen dado una condición inicial, debemos resolver un sistema de ecuaciones para determinar C1 y C2 . Mas precisamente, supongamos que nos hubiesen pedido la solución del sistema (3.5) que satisface x(0) = 2, y(0) = −2. Procedemos de la siguiente manera: substituimos en (3.9) y obtenemos el sistema   C1 + C2 = 2, √ √  ( 2 − 1) C1 − ( 2 + 1) C2 = −2. Resolviendo este sistema obtenemos C1 = C2 = 1, por lo tanto la solución particular que satisface la condición inicial dada es √ √ x = e 2 t + e− 2 t , √ √ √ √ y = ( 2 − 1) e 2 t − ( 2 + 1) e− 2 t , 2.2. El caso general. A continuación vamos a explicar cómo proceder con un sistema general (3.10) ( ẋ = a x + b y, ẏ = c x + d y, donde a, b, c y d son constantes reales. Caso 1: b = 0. En este caso la primera ecuación del sistema es ẋ = a x, que es lineal de primer orden. Su solución general es x = C1 ea t . Al substituir en la segunda ecuación obtenemos ẏ = c C1 ea t + d y, es decir ẏ − d y = c C1 ea t . 2. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN. 57 Esta última ecuación es lineal de primer orden y ya sabemos como resolverla. Caso 2: b 6= 0. El primer paso es derivar con respecto a t la primera ecuación, para obtener ẍ = a ẋ + b ẏ. Después substituimos la segunda ecuación del sistema en la ecuación anterior y obtenemos ẍ = a ẋ + b c x + b d y. Despejamos y de la primera ecuación del sistema (notar que en el caso anterior esto no era posible) y obtenemos 1 y = (ẋ − a x). b Finalmente substituimos en la ecuación anterior y obtenemos 1 ẍ = a ẋ + b c x + b d (ẋ − a x), b o, lo que es lo mismo, ẍ − (a + d)ẋ + (a d − b c) x = 0. Esta última ecuación es lineal, homogénea, de segundo orden y con coeficientes constantes, por lo tanto podemos hallar su solución general, utilizando el método estudiado en el capı́tulo anterior. Después que tenemos esta solución general utilizamos la igualdad 1 y = (ẋ − a x), para hallar y. b Si el problema incluya una condición inicial del tipo ( x(to ) = xo , (3.11) y(to ) = yo , después de obtener la solución general resolvemos el sistema (3.11) para hallar el valor que deben tener las constantes que aparecen en la solución general. Ejemplo 3.1. Hallar la solución general del sistema (3.12) ( ẋ = x + 3 y, ẏ = −6 x − y, Derivando la primera ecuación obtenemos ẍ = ẋ + 3 ẏ, 58 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. sustituyendo ẏ de la segunda ecuación, ẍ = ẋ − 18 x − 3 y, despejando y de la primera ecuación y sustituyendo, ẍ = ẋ − 18 x − 3 ẋ − x , 3 es decir, ẍ = ẋ − 18 x − ẋ + x, simplificando, ẍ + 17 x = 0. Luego √ √ x(t) = C1 sen( 17 t) + C2 cos( 17 t). Usando que ẏ = ẋ − x , 3 obtenemos y(t) = √ √ √ √ √ 1 1 17 17 C1 cos( 17 t) − C2 sen( 17 t) − C1 sen( 17 t) − C2 cos( 17 t). 3 3 3 3 √ En conclusión la solución general del sistema es √ √ x(t) = C1 sen( 17 t) + C2 cos( 17 t) √ √ √ √ √ √ 17 17 1 1 y(t) = C1 cos( 17 t) − C2 sen( 17 t) − C1 sen( 17 t) − C2 cos( 17 t), 3 3 3 3 donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. 3. COMPETENCIA E INTERACCIÓN ENTRE ESPECIES. 59 3. Competencia e interacción entre especies. Consideremos un área cerrada en la que conviven dos especies de seres vivos (animales o vegetales). Sea t el tiempo y sean x = x(t) e y = y(t) el número de individuos de cada una de las especies, expresado como función de t. Vamos a suponer que existe cierta interacción entre ambas especies, por ejemplo: (i) Tenemos dos especies animales y una de las especies es alimento de la otra, tal como es el caso de zorros que devoran conejos, tiburones que devoran otros peces, escarabajos que devoran pulgones. (ii) Especies de insectos que favorecen la polinización de plantas. (iii) Especies de árboles que le dan sombra a otra especie de árbol, impidiendo y limitando su crecimiento. Es de mucho interés encontrar modelos matemáticos que permitan describir y predecir el comportamiento de las especies que interactúan. Vamos a trabajar con modelos muy simples, la primera simplificación es que supondremos que el crecimiento de cada una de las dos especies que interactúan depende solamente de ellas dos, es decir, ignoraremos los factores externos (factores ambientales, interacción con otras especies diferentes, abundancia o escasez de alimento para la presa, etc). También vamos a suponer que, en un intervalo de tiempo ∆t, el proceso de cambio en el número de individuos de cada especie se rige por las siguientes ecuaciones: ( ( ∆x = variación en la especie 1 ∆y = variación en la especie 2 ) )    variación en la = especie 1 sin   interacción       variación en la = especie 2 sin   interacción      cambios debidos     + a la interacción       con la especie 2   cambios debidos     + a la interacción       con la especie 1 Si dividimos entre ∆t y hacemos tender t a 0, obtenemos 60 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.   tasa de cambio debido     a la interacción con +       la especie 2    tasa de cambio ẋ = en la especie 1   sin interacción       tasa de cambio ẏ = en la especie 2   sin interacción      tasa de cambio debido     + a la interacción con       la especie 1 Como simplificación adicional vamos a suponer lo siguiente: (a) La tasa de cambio de individuos en cada especie, sin interacción, es proporcional al número de individuos de la especie. (b) La tasa de cambio en la especie 1 debido a la interacción con la especie 2 es proporcional al número de individuos de la especie 2 y viceversa. Con esta suposición llegamos al siguiente sistema: ( ẋ = a x + b y, (3.13) ẏ = c x + d y, donde a, b, c y d son números reales, cuyo valor y signo depende del tipo de interacción entre las especies. A continuación vamos a estudiar un ejemplo basados en este modelo. Ejemplo 3.2. Supongamos que tenemos dos especies de animales, una de las cuales es presa y la otra es depredadora. Tal como antes t es el tiempo, que lo mediremos en años. El número de presas en el instante t, contadas en miles de individuos, lo denotaremos por x(t). El número de depredadores en el instante t, contados en miles de individuos, lo denotaremos por y(t). Vamos a suponer que x e y satisfacen el siguiente sistema. (3.14) ( ẋ = 3 x − y, ẏ = 3 x + y, con condición inicial x(0) = 3 y(0) = 2. 3. COMPETENCIA E INTERACCIÓN ENTRE ESPECIES. 61 Es decir, de acuerdo con la discusión previa, estamos suponiendo lo siguiente: (a) La tasa de cambio de individuos en cada especie, sin interacción, es proporcional al número de individuos de la especie. La constante de proporcionalidad para las presas es 3 y para los depredadores es 1. (b) La tasa de disminución en la especie presa, debido a su interacción con la especie depredadora, es proporcional al número de depredadores, la constante de proporcionalidad es 1 (que aparece con signo negativo porque es disminución). (c) La tasa de aumento en la especie depredadora, debido a su interacción con la especie presa, es proporcional al número de presas y la constante de proporcionalidad es 3. (d) Inicialmente hay 3.000 presas y 2.000 depredadores. La solución de esta ecuación es (hacerlo a manera de ejercicio) ! Ã√ √ √ 2 sen( 2 t) + 3 cos( 2 t) e2t , x(t) = 2 à √ ! √ √ 7 2 sen( 2 t) + 2 cos( 2 t) e2t . y(t) = 2 Examinemos el comportamiento del modelo en el intervalo 0 ≤ t ≤ 1. La primera de las siguientes figuras nos muestra los gráficos de x e y en función de t, la segunda nos muestra los puntos de la forma (x(t), y(t)), para 0 ≤ t ≤ 1 (esto es lo que se llama una trayectoria del sistema). y 35 35 30 30 25 25 y(t) 20 20 15 15 10 10 x(t) 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 5 1 t 3 4 5 6 7 Figura 3.3. Comportamiento del sistema para 0 ≤ t ≤ 1 8 9 x 62 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Lo que se observa es bastante natural, al principio ambas especies comienzan a aumentar en número y después, cuando hay un aumento significativo del número de depredadores, comienza a disminuir el número de presas. La trayectoria del sistema refleja claramente esta situación. Veamos ahora que ocurre si consideramos un intervalo de tiempo mayor, por ejemplo 0 ≤ t ≤ 2. En la siguiente figura tenemos los gráficos de x e y en función de t. y(t) 50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0 –50 2 t x(t) –100 Figura 3.4. Comportamiento del sistema para 0 ≤ t ≤ 2 Aquı́ comenzamos a observar una situación que no se corresponde con nuestro problema: ¡el número de individuos comienza a tomar valores negativos! Esta situación se nos presenta porque, para obtener un sistema de ecuaciones cuya solución estuviese a nuestro alcance, hemos simplificado excesivamente el modelo y esto introduce errores. Por ejemplo en el sistema (3.14), observamos que ẏ puede ser positiva aunque x sea igual a cero, es decir los depredadores se pueden reproducir sin alimento. Lo anterior no quiere decir que debamos desechar nuestro modelo sencillo por malo, lo que realmente ocurre es que este modelo resulta adecuado para un intervalo pequeño de tiempo. Notemos que si los depredadores logran almacenar algo de alimento podrı́an seguirse reproduciendo durante un tiempo en ausencia de presas, pero esta situación está limitada en el tiempo. Podemos hacer una analogı́a con el crecimiento exponencial y el logı́stico: la ecuación diferencial que corresponde con el crecimiento exponencial la podemos ver como una simplificación, para valores pequeños de la función, de la ecuación logı́stica y el crecimiento exponencial es similar al logı́stico cerca de cero. 4. LAS ECUACIONES PREDADOR-PRESA DE LOTKA Y VOLTERRA. 63 4. Las ecuaciones predador-presa de Lotka y Volterra. En esta sección vamos a estudiar un modelo clásico para una situación depredador presa. Este modelo fue ideado alrededor del año 1920 por el matemático italiano Vito Volterra, (1860-1940) y, desarrollado independientemente en la misma época, por el biofı́sico austriaco Alfred James Lotka, (1880-1940). Volterra estudiaba las variaciones periódicas observadas en las poblaciones de tiburones y sus peces-alimento en el Mar Adriático. Tal como antes, sea x(t) el número de presas y sea y(t) el número de depredadores en el instante t. En este modelo se supone lo siguiente: (a) En ausencia de depredadores la población de presas crecerı́a a una tasa natural proporcional al número de individuos. (b) En ausencia de presas la población de depredadores disminuye a una tasa proporcional al número de individuos. (c) Cuando tanto las presas como los depredadores están presentes, ocurre una combinación de estas tasas de crecimiento y decrecimiento, en la que la población de presas disminuye y la de los depredadores aumenta, en proporción a la frecuencia de los encuentros entre individuos de las dos especies. Se supone además que la frecuencia de encuentros es proporcional al producto x y, ya que al aumentar cualquiera de las dos poblaciones aumenta el número de encuentros. Al interpretar todo lo anterior, en términos de derivadas, obtenemos que x e y satisfacen un sistema de la forma (3.15) ( ẋ = A x − B x y, ẏ = −C y + D x y, donde A, B, C y D son constantes positivas. 64 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Este sistema de ecuaciones, que a simple vista se parece a los que hemos estudiado, no es nada sencillo. No es posible hallar sus solución de manera explı́cita, mediante métodos numéricos es posible aproximar sus soluciones. Consideremos el siguiente caso particular ( (3.16) ẋ = x − x y, ẏ = (0, 3) x y − (0, 3) y, con condición inicial x(0) = 2 y(0) = 2. Suponemos que x e y representan al número de presas y depredadores, contadas en miles de individuos y t es el tiempo medido en semanas. En la siguiente figura tenemos los gráficos de las soluciones. 3.5 x(t) 3 2.5 2 y(t) 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 t Figura 3.5. Comportamiento del sistema para 0 ≤ t ≤ 50 Se observa que el número de presas y de depredadores comienza a disminuir muy rápidamente hasta casi extinguirse, con cierto desfase entre presas y depredadores. En el momento en que hay muy pocos depredadores comienza a aumentar el número de presas y después el número de depredadores alcanzándose valores máximos con desfase y entrando en un ciclo que se repite. La siguiente figura muestra la trayectoria correspondiente. 5. USO DEL COMPUTADOR 65 y 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x Figura 3.6. Trayectoria del sistema 5. Sección optativa: Uso del computador para resolver y analizar ecuaciones diferenciales. Hoy en dı́a existen paquetes tales como el “Maple” que dan directamente la solución de una ecuación diferencial y también de un sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, si estamos usando el programa Maple y queremos hallar la solución general del sistema ( (3.17) ẋ = x + 3 y, ẏ = −6 x − y, (ver Ejemplo 3.1) debemos colocar la siguiente instrucción: sys1 := [diff(x(t),t) = x(t)+3*y(t), diff(y(t),t) = -6*x(t)-y(t)]; soll := dsolve(sys1); Una vez que hemos colocado la instrucción y pulsamos la tecla “Enter”, obtenemos sys1 := [ d d x(t) = x(t) + 3 y(t), y(t) = −6 x(t) − y(t)] dt dt √ √ sol1 := {x(t) = C1 sin( 17 t) + C2 cos( 17 t), √ √ √ √ √ √ 1 1 1 1 y(t) = C1 cos( 17 t) 17 − C2 sin( 17 t) 17 − C1 sin( 17 t) − C2 cos( 17 t)} 3 3 3 3 66 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. Igualmente el Maple nos permite obtener gráficos de funciones y los gráficos de las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales. Muchos de los gráficos que aparecen en esta guı́a han sido elaborados usando este programa. En este punto es importante hacer énfasis en lo siguiente: Aunque contamos con herramientas muy poderosas que permiten obviar cálculos y procedimientos tediosos, es muy importante practicar mucho “a mano” al momento de aprender las técnicas. La destreza ası́ adquirida facilitará el trabajo a la hora de utilizar instrumentos más sofisticados. La siguiente analogı́a es válida: el uso que puede darle a una calculadora una persona que no domina la aritmética elemental es sumamente pobre, ası́ que quien no domine los conceptos y las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales podrá aprovechar muy poco el computador como herramienta auxiliar. EJERCICIOS. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN. 67 Ejercicios. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden. (1) Hallar la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales.  ẋ = 3x + y, (a) ẏ = −2x. (h)  ẋ = −4y, ẏ = x.  ẋ = x, (b) ẏ = x − y. (i)  ẋ = 3y, ẏ = −3x.  ẋ = x − 2y, (c) ẏ = −2x + 4y. (j)  ẋ = 2x − y, ẏ = 2x.  ẋ = 3x + y, (d) ẏ = −6x − 2y. (k)  ẋ = 3x − 5y, ẏ = −x + y.  ẋ = 6x + 2y, (e) ẏ = 2x + 3y. (l)  ẋ = 5x + 2y, ẏ = −4x + y.  ẋ = 3x + y, (f) ẏ = −5x − 3y. (m)  ẋ = x − y, ẏ = 5x − y.  v̇ = 2v − 2w, (g) ẇ = −5w − 2v. (n)  ẋ = x − y, ẏ = 5x − 5y. (2) Hallar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales con condición inicial.  ẋ = 3x − y, (a) ẏ = 5x − y, x(0) = 0, y(0) = 3. 68 3. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.  ẋ = −x − y, (b) ẏ = x − y,  v̇ = 2v − 2w, (c) ẇ = 3v + 5w, x(0) = 1, y(0) = −1. v(0) = 0, w(0) = 2. (3) ⋆ Dos envases están inicialmente llenos de agua pura. El envase A tiene una capacidad de 0, 5 litros y el envase B una capacidad de 0, 25 litros. Se comienza a agregar agua con una concentración de sal de 100 g/l en el envase A a una tasa de 0, 5 litros/hora. El agua fluye del envase A al envase B a una tasa de 0, 5 litros/hora. El agua sale del envase B al desagüe a una tasa de 0, 5 litros/hora. Encuentre las cantidades de sal en cada envase como una función del tiempo t. (4) ⋆ Suponga que una población está formada por dos grupos: adultos y niños. Sean x e y el número de niños y adultos, respectivamente, en el instante t. Suponga que los niños no se reproducen. Estudie la factibilidad de el modelo  dx   = −(δ1 + α)x + βy,    dt x(to ) = xo ≥ 0,      dy = −δ2 y + αx, y(to ) = yo ≥ 0. dt donde δ1 , δ2 , α y β son constantes positivas. (5) ⋆ Se establecen dos cuentas de inversión con $1.000 iniciales en la cuenta A y $2.000 iniciales en la cuenta B. La cuenta A, es una cuenta a largo plazo, gana 10%de interés anual compuesto diariamente. La cuenta B gana 5% de interés anual compuesto diariamente. Se hacen depósitos en B a una tasa de $10 al dı́a. Cada dı́a el Banco transfiere dinero de B a A a una tasa anual de 20% de la diferencia entre B y $2.000. Establezca las ecuaciones diferenciales que modelan esta situación. Parte 2 Sucesiones y Series Numéricas. CAPÍTULO 4 Sucesiones numéricas. Este capı́tulo es un repaso de cursos previos. Concepto de sucesión y ejemplos. Lı́mite de una sucesión. Propiedades del lı́mite. Cálculo de lı́mites de sucesiones. 1. Definiciones y resultados básicos La idea de sucesión en R es la de una lista de puntos de R. Son ejemplos de sucesiones: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . 2, 4, 6, 8, 10, . . . 1, 4, 9, 25, 36, . . . 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . 1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . . 1, −1, 1, −1, 1, . . . Lo importante acerca de una sucesión es que a cada número natural n le corresponde un punto de R, por esto damos la siguiente definición. Definición 4.1. Una sucesión es una función de N en R. Si a : N → R es una sucesión en vez de escribir a(1), a(2), a(3), . . . suele escribirse a 1 , a2 , a3 , . . . La misma sucesión suele designarse mediante un sı́mbolo tal como {an }, (an ) ó {a1 , a2 , . . .}. También usaremos {an }, (an ) ó {a1 , a2 , . . .}. Ejemplo 4.2. La sucesión de Fibonacci {an } está definida por a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 . 71 72 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. Esta sucesión fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relación con un problema de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y que después de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El número an de parejas nacidas en el n-ésimo mes es an−1 + an−2 , puesto que nace una pareja por cada pareja nacida en el mes anterior, y además cada pareja nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva. Una sucesión, al igual que toda función, tiene una representación gráfica. Por ejemplo, sean αn = n βn = (−1)n γn = 1 n Las gráficas de {αn }, {βn } y {γn } son las siguientes: 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Figura 4.1. {αn } 1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BÁSICOS 73 1 2 1 3 4 5 -1 Figura 4.2. {βn } 1 2 1 3 4 5 Figura 4.3. {γn } Sin embargo se obtiene una mejor representación de una sucesión marcando los puntos a1 , a2 , a3 , . . . sobre una recta: α1 0 0 α3 α2 α4 β 2 = β4 = ... β1= β3 = ... 0 γ3 γ 2 γ1 Figura 4.4. Este tipo de diagramas nos indican “hacia donde va” la sucesión. Definición 4.3. Una sucesión {an } es acotada si {a1 , a2 , . . .} es un conjunto acotado. Es decir, si existe K ∈ R tal que |an | ≤ K para todo n ∈ N. Definición 4.4. Una sucesión {an } es acotada superiormente si existe M ∈ R tal que an ≤ M . 74 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. Ejemplo 4.5. Sea an = 1/n. Entonces la sucesión {an } es acotada superiormente por M = 1. Definición 4.6. Una sucesión {an } es acotada inferiormente si existe m ∈ R tal que an ≥ m. Ejemplo 4.7. Sea an = n. Entonces la sucesión {an } es acotada inferiormente por m = 1. Proposición 4.8. Sea {an } una sucesión, {an } es acotada si y sólo si {an } es acotada superiormente y {an } es acotada inferiormente. 2. Sucesiones convergentes. En lo que sigue {an } denotará una sucesión de números reales. Definición 4.9. limn→∞ an = L si: para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces |an − L| < ε. En este caso se dice que la sucesión {an } converge a L ∈ R, o lı́mite de {an } es L. Se dice que una sucesión {an } es convergente si existe L ∈ R tal que {an } converge a L; se dice que es divergente (o que diverge) si no es convergente. Ejemplo 4.10. Sea an = 1/n entonces limn→∞ an = 0. Ejemplo 4.11. Sea an = n! entonces {an } es divergente. Teorema 4.12 (unicidad del lı́mite). Una sucesión convergente tiene uno y sólo un lı́mite. Proposición 4.13. si {an } es una sucesión que converge a cero y {bn } es una sucesión acotada entonces la sucesión {an bn } converge a cero. y Teorema 4.14. Si {an }, {bn } y {cn } son sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n lim an = lim cn = L. n→+∞ n→+∞ Entonces lim bn = L. n→+∞ 5. OPERACIONES CON SUCESIONES 75 3. El número e. Se puede probar que la siguiente sucesión converge: ¶n µ 1 . an = 1 + n Su lı́mite es único y es conocido como el número e: ¶n µ 1 = e. lim 1 + n→+∞ n También se puede probar: (a) 2 < e < 3 (b) el número e es irracional. 4. Sucesiones monótonas. Definición 4.15. Una sucesión {an } es monótona creciente si an ≤ an+1 para todo n ∈ N. Ejemplo 4.16. Sea an = n. Entonces la sucesión {an } es monótona creciente. Definición 4.17. Una sucesión {an } es monótona decreciente si an+1 ≤ an para todo n ∈ N. Ejemplo 4.18. Sea an = 1/n. Entonces la sucesión {an } es monótona decreciente. Teorema 4.19. (i) Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente. (ii) Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. 5. Operaciones con sucesiones Teorema 4.20. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes. Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Entonces: lim xn + yn = x + y. n→+∞ Demostración. Dado ε > 0 existen N1 , N2 ∈ N tales que (a) si n ≥ N1 entonces |xn − x| < ε/2. (b) si n ≥ N2 entonces |yn − y| < ε/2. 76 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. Sea N = max{N1 , N2 }. Si n ≥ N entonces |(xn + yn ) − (x + y)| = |(xn − x) + (yn ) − y)| ≤ |xn − x| + |yn − y| < ε/2 + ε/2 = ε. De donde lim xn + yn = x + y. n→+∞ ¤ Teorema 4.21. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes. Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Entonces: lim xn · yn = x · y. n→+∞ Teorema 4.22. Sean {xn }, {yn } sucesiones convergentes. Sean x = limn→+∞ xn , y = limn→+∞ yn . Si yn 6= 0 para todo n, y 6= 0, entonces x xn = . lim n→+∞ yn y A los lectores interesados en el Análisis Matemático se les recomienda consultar en algunos de los libros de la bibliografı́a las demostraciones de estos dos últimos teoremas. 6. Repaso de la regla de L’Hôpital. La regla de L’Hôpital permite calcular lı́mites indeterminados para funciones de variable real. Las principales indeterminaciones las agruparemos en tres grupos: ∞ , ∞ (a) 0 , 0 (b) ∞ − ∞, (c) 0 0, ∞ 0.∞, 1 , −∞ + ∞, ∞0 . 6.1. Indeterminaciones de la forma 0 , 0 ∞ , ∞ 0.∞. Teorema 4.23 (Regla de L’Hopital). Sean f y g funciones diferenciables en un intervalo de la forma (a − r, a + r) a, r ∈ R, r > 0. Supongamos que (a) lim f (x) = lim g(x) = 0 x→a x→a (b) g ′ (x) 6= 0 para todo x en (a − r, a + r), x 6= a. f ′ (x) = L. (c) limx→a ′ g (x) 6. REPASO DE LA REGLA DE L’HÔPITAL. Entonces 77 f (x) = L. x→a g(x) lim La demostración del teorema anterior se puede ver en [6]. En este momento no estamos en capacidad de dar la prueba, pero podemos dar una justificación. Como f y g son diferenciables en a, entonces f y g son continuas en a. Luego f (a) = 0 y g(a) = 0. Por lo tanto f (x) − f (a) f (x) − f (a) f (x) x−a = = . g(x) − g(a) g(x) g(x) − g(a) x−a Si x → a entonces la expresión de la derecha tiende a f ′ (x) = L. x→a g ′ (x) lim Luego f (x) = L. x→a g(x) lim Ejemplo 4.24. 3x2 3 x3 − 1 = lim = . x→1 12x2 − 1 x→1 4x3 − x − 3 11 lim El primer lı́mite es de la forma 0 . 0 Observación 4.25. La regla de L’Hopital también es válida cuando se consideran (a) lı́mites laterales (x → a+ ó x → a− ), (b) lı́mites infinitos (x → +∞ ó x → −∞), (c) lı́mites de la forma ∞ . ∞ Observación 4.26. El resultado anterior permite calcular lı́mites de la forma 0.∞, to1 mando en cuenta que si lim h(x) = ∞ entonces lim = 0. En este caso la regla de x→a x→a h(x) 1 para obtener un lı́mite de la forma 00 . También se puede L’Hopital se aplica a g(x) = h(x) llevar a la forma ∞ . ∞ Ejemplo 4.27. lim+ x ln x = lim+ x→0 x→0 1/x ln x = lim+ = lim (−x) = 0. 1/x x→0 −1/x2 x→0+ El primer lı́mite es de la forma 0.(−∞), el segundo lı́mite es de la forma −∞ , ∞ el tercer lı́mite se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto lı́mite que no es una indeterminación. 78 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. ∞ − ∞, 6.2. Indeterminaciones de la forma −∞ + ∞. Estas indeterminaciones se resuelven haciendo operaciones algebraicas para llevarlo a ∞ , ∞ 0 , 0 alguna de las formas consideradas antes, es decir, 0.∞. Ejemplo 4.28. lim+ x→0 (4x + 1) sen x − x 1 4x + 1 − = lim+ x sen x x→0 x sen x 4 sen x + (4x + 1)(cos x) − 1 = lim+ x→0 sen x + x cos x 4 cos x + 4 cos x − (4x + 1) sen x = lim+ x→0 cos x + cos x − x sen x 4+4 = 4. = 2 El primer lı́mite es de la forma ∞ − ∞, el segundo lı́mite es de la forma 00 , el tercer lı́mite es de la forma 0 0 y el cuarto lı́mite ya no es una indeterminación. 00 , 6.3. Indeterminaciones de la forma 1∞ , Estos lı́mites se calculan usando la siguiente propiedad: ∞0 . Proposición 4.29. Si limx→a f (x) existe, entonces lim ef (x) = elimx→a f (x) . x→a Observación 4.30. Esta Proposición también es válida cuando se consideran (a) lı́mites laterales (x → a+ ó x → a− ), (b) lı́mites infinitos (x → +∞ ó x → −∞). Ejemplo 4.31. Calcularemos lim+ (sen x)x x→0 Este lı́mite es de la forma 00 . Tenemos que x (sen x)x = eln((sen x) ) = ex ln(sen x) . Comenzaremos calculando lim x ln(sen x). x→0+ que es un lı́mite de la forma 0.∞. Luego aplicaremos la exponencial. 7. LÍMITE INFINITO ln(sen x) = lim+ x→0 1/x lim+ x ln(sen x) = lim+ x→0 x→0 79 cos x sen x −1 x2 −x2 cos x −2x cos x + x2 sen x = lim+ = 0. x→0 sen x cos x = lim+ x→0 El primer lı́mite es de la forma 0.∞, el segundo lı́mite es de la forma ∞ , ∞ el tercer lı́mite se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto lı́mite que es de la forma 00 , el quinto lı́mite no es una indeterminación. Ahora aplicamos la exponencial lim (sen x)x = lim+ ex ln(sen x) = elimx→0+ x ln(sen x) = e0 = 1. x→0+ x→0 7. Lı́mite infinito Definición 4.32. Sea {an } una sucesión. Diremos que limn→+∞ an = +∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces an ≥ λ. Diremos que limn→+∞ an = −∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces an ≤ λ. Es importante notar que las sucesiones que tienen lı́mite infinito no son convergentes. Proposición 4.33. Si {an } es una sucesión convergente y {bn } es una sucesión tal que an = 0. bn 6= 0 para todo n y lim bn = +∞. Entonces lim n→+∞ n→+∞ bn 7.1. Cálculo de lı́mite de sucesiones usando la regla de L’Hopital. Para calcular el lı́mite de una sucesión usando la regla de L’Hopital se deben usar una funciones auxiliares de variable real. Por ejemplo, si la sucesión está dada por an = n2 la función auxiliar f puede ser f (x) = x2 . Otro ejemplo: si la sucesión está dada por an = ln n la función auxiliar f puede ser f (x) = ln x. Estas funciones auxiliares son sencillas y en estos casos se calcula el lı́mite cuando x → +∞. Ejemplo 4.34. Consideremos 1 lim ln n→+∞ n µ ¶ 1 . n Este es un lı́mite de sucesiones, de la forma 0.(−∞). 80 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. Para hallarlo, en lugar de n colocamos x y calculamos el siguiente lı́mite: µ ¶ 1 −1 ¡ ¢ ln x1 −x −1 1/x x2 = lim = lim = lim = 0. lim 2 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ x 1 x x Luego µ ¶ 1 1 lim ln = 0. n→+∞ n n A veces no conviene usar estas funciones auxiliares sencillas. Puede ser más conveniente considerar como funciones auxiliares algo aparentemente un poco más complicado. Por ejemplo, si la sucesión está dada por an = n2 la función auxiliar f puede ser f (x) = (1/x)2 . Otro ejemplo: si la sucesión está dada por an = sen(1/n) la función auxiliar f puede ser f (x) = sen x. En estos casos se calcula el lı́mite cuando x → 0+. Ejemplo 4.35. Consideremos lim n − n→+∞ 1 . sen(1/n) Este es un lı́mite de sucesiones, de la forma ∞ − ∞. Para hallarlo, podrı́amos calcular el siguiente lı́mite auxiliar. 1 . x→+∞ sen(1/x) En lugar de n hemos colocado x. Este es un lı́mite de funciones, de la forma ∞ − ∞. Usted lim x − podrı́a tratar de calcularlo. Hemos hecho una cambio sencillo, pero el lı́mite que se debe calcular no es sencillo. Sin embargo si hacemos un cambio un poco más complicado el lı́mite que tendremos que calcular es más sencillo. En efecto, en lugar de n colocamos 1/x y obtenemos 1 1 − . x→0+ x sen x Este también es un lı́mite de funciones, de la forma ∞ − ∞. A continuación lo calcularemos. lim 1 sen x − x cos x − 1 1 − = lim = lim x→0+ x x→0+ sen x + x cos x sen x x→0+ x sen x − sen x 0 = lim = = 0. x→0+ cos x + cos x − x sen x 2 lim Por lo tanto lim n − n→+∞ 1 = 0. sen(1/n) 8. SUMAS FINITAS Y EL SÍMBOLO SUMATORIO. 81 8. Sumas finitas y el sı́mbolo sumatorio. Cuando queremos referirnos a una suma con n sumandos, en la que tenemos una fórmula para cada sumando ak usamos la siguiente expresión a1 + · · · + an que también se escribe de la siguiente manera: n X ak k=1 Es decir, n X k=1 ak = a1 + · · · + an . Ejemplo 4.36. (1) Sumar el número 1, n veces: n X 1 = n. k=1 (2) La suma de los n primeros números naturales es: n X k=1 k = 1 + · · · + n. (3) La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es: n X k=1 k 2 = 1 + 22 + · · · + n2 . Se puede probar que (4.1) n X k= k=1 (4.2) n X k=1 k2 = n(n + 1) . 2 n 3 n2 n + + . 3 2 6 Ejercicio Adicional: Usando el método de inducción completa demuestre las fórmulas 4.1 y 4.2. 82 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. Una propiedad importante de las sumas finitas es la llamada propiedad telescópica que afirma que: n X k=1 (bk − bk+1 ) = b1 − bn+1 . Estas sumas son denominadas sumas telescópicas. EJERCICIOS. SUCESIONES. 83 Ejercicios. Sucesiones. (1) Sugiera el término general de cada una de las siguientes sucesiones: (a) 2, 4, 6, 8, 10, . . . (c) 1, 8, 27, 64, . . . 1 1 1 (b) 1, , , , . . . 4 9 16 (d) (e) 0, 5, 0, 5, 0, 5, . . . 1 −2 3 −4 , , , ,... 2 3 4 5 (f) 1 √ 1 √ , 0, 3, , 0, 3, . . . 2 2 (2) Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre la losa de concreto. Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2/3 de la altura anterior. Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-ésimo rebote. (3) Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 pies durante el tercero y ası́ sucesivamente. ¿Cuánto recorre el objeto durante el sexto segundo? (4) Sea {an } una sucesión (infinita) con término general an . Estudie la sucesión: Diga si es acotada superiormente, acotada inferiormente, acotada, no acotada, monótona creciente, monótona decreciente, no monótona. Dibuje el gráfico de la sucesión. Determine si converge o diverge, y en caso de que converja halle su lı́mite. (a) an = 1 n2 (h) an = 1 + (−1)n (b) an = −1 n + 1 + n n2 (i) an = (c) an = (−1)n n (f) an = cos ³π 2 ³π 2 n+1 n−1 µ ¶7 n+1 (k) an = n−1 (j) an = (d) an = sen(nπ) (e) an = sen n2 − 1 n−1 + nπ + nπ (g) an = cos(nπ) ´ ´ (l) an = n4 (m) an = (1/n)3 84 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. (o) an = (1/2)n (n) an = 81/n (p) an = 6n (5) La sucesión de Fibonacci: (a) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es fértil al mes. Si comenzamos con una pareja de recién nacidos y an representa el número de parejas nacidas en el n-ésimo mes demuestre que a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 (la igualdad de la derecha es una fórmula recurrente). si n ≥ 3 (b) Verifique que el término general de la sucesión de Fibonacci es à à √ !n √ !n 1+ 5 1− 5 1 1 −√ an = √ 2 2 5 5 demostrando que esta expresión satisface la fórmula recurrente dada en (a). (6) Sean c, r constantes reales. Considere la sucesión {an } definida por an = crn−1 . Se define la sucesión {Sn } por Sn = a1 + · · · + an . Probar que c − crn (a) Sn = 1−r (b) {Sn } converge si y sólo si |r| < 1. (c) Si |r| < 1 entonces lim Sn = n→+∞ c . 1−r (7) Dar ejemplos de sucesiones {an } y {bn } tales que lim an = lim bn = 0, n→+∞ n→+∞ pero an = −∞ n→+∞ bn an =0 n→+∞ bn (c) lim an = +∞ n→+∞ bn (d) lim (a) lim (b) lim an no existe. n→+∞ bn EJERCICIOS. SUCESIONES. 85 (8) EL propósito de este ejercicio es recordar la fórmula para la derivada de un cociente, que no debe confundirse con el cociente de derivadas. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, en los puntos en los que son derivables: arctan x x−1 (a) f (x) = tan x ln x (c) f (x) = (b) f (x) = ax csc x sec x (d) f (x) = √ x (9) Calcular los siguientes lı́mites de funciones: µ ¶ 1 1 (a) lim+ − x→0 sen x x µ ¶ 1 1 1 − (b) lim+ x→0 x sen x x (d) lim x( ln x ) 1 x→+∞ 1 (e) lim+ x x−1 x→1 sen x (c) lim+ (sen x) x→0 (f) lim+ (sen(3x))sen(5x) x→0 (10) Sea {an } una sucesión (infinita) con término general an . Para cada uno de los siguientes casos determine si {an } converge o diverge, y en caso de que converja halle su lı́mite. (a) an = 4n − 3 3n + 4 (f) an = n( ln n ) (b) an = √ (g) an = (1/n)1/n (c) an = n2 − 1 n2 + 1 n 1 (h) an = (−1)n n2 1 + n3 n2 (d) an = n+1 (i) an = 4n3 + 3n2 + 1 5n3 + 3 3 + (−1)n (e) an = n2 (j) an = n2−n 86 4. SUCESIONES NUMÉRICAS. (k) an = n 2 µ 1 1 − cos n ¶ ln(2 + en ) (s) an = 3n (l) an = 1 + (−1)n (t) an = ln(n + 1) − ln(n) sen n (m) an = n (u) an = µ 4 1− n 5n 3n ¶n (n) an = sen n2 n (v) an = 5 + (o) an = en − e−n en + e−n (w) an = 10(n+1)/n (p) an = √ (q) an = 2n 3n + 1 n+8− √ (x) an = n2/(n+1) n (y) an = µ ¶ 1 (z) an = n sen n 5 − 2−n (r) an = 6 + 4−n (11) * Demostrar que: (a) Si 0 < a < 2 entonces a < (b) La sucesión √ √ √ √ n( n + 1 − n) √ 2a < 2. p √ q p √ 2, 2 2, 2 2 2, . . . es convergente. (c) Hallar el lı́mite de la sucesión anterior. (12) * Demostrar que si {an } es una sucesión que converge a cero y {bn } es una sucesión acotada entonces la sucesión {an bn } converge a cero. (13) * Sean {an }, {bn } y {cn } sucesiones tales que an ≤ bn ≤ cn para todo n y lim an = lim cn = L. n→+∞ n→+∞ Demostrar que lim bn = L. n→+∞ EJERCICIOS. SUCESIONES. 87 (14) * Sean {an } una sucesión convergente y {bn } una sucesión tal que bn 6= 0 para todo n y lim bn = +∞. Demuestre que n→+∞ an = 0. n→+∞ bn lim CAPÍTULO 5 Series numéricas. Definición y ejemplos. Criterios de convergencia para series de términos positivos: comparación, lı́mites, raı́z, razón, integral. Series alternadas: criterio de Leibnitz. ¿Las expresiones indefinidamente largas, tales como x + x2 + x3 . . . (lo que los matemáticos llaman series infinitas) pueden ser tratadas por medio de las reglas de la aritmética, o son necesarias técnicas especiales para poder abarcar su infinidad? Enfrentada con tales dificultades conceptuales, la mente de los matemáticos del siglo XVIII empezó a titubear. Lagrange se desesperó tanto que abandonó las matemáticas durante un perı́odo de varios años, y, en una carta a su amigo y colega Jean Baptiste D’Alembert, en 1.781, expresó la opinión de que las matemáticas estaban ahondando demasiado, con peligro de ser destruidas. D’Alembert, en cambio, no sosegó a sus alumnos, sino que les exhortó: ”Seguid adelante y la fe vendrá a vosotros”. 1. Series. Las series permiten entender la idea de querer hacer sumas en las que hay una cantidad infinita de sumandos (tantos sumandos como números naturales). Para dar la idea de una serie debemos considerar dos tipos de números reales: (1) la expresión para cada sumando: an (2) la expresión para la suma finita de los primeros n sumandos: sn = a1 + · · · + an = La siguiente terminologı́a es usual: (1) A an se le llama término general de la serie. (2) A sn se le llama la suma parcial de la serie. 89 n X k=1 ak 90 5. SERIES NUMÉRICAS. Por lo tanto una serie está relacionada con dos sucesiones: (1) la sucesión {an } de los términos generales de la serie. (2) la sucesión {sn } de sumas parciales de la serie. La siguiente notación es usual: En vez de referirse a la serie como un par de sucesiones es usual hablar de la serie como +∞ X an . n=1 Ejemplo 5.1. Para la serie +∞ X n n=1 tenemos que an = n sn = 1 + · · · + n = n X k= k=1 n(n + 1) . 2 Para obtener la última expresión hemos usado la ecuación 4.1. Una serie Una serie P+∞ n=1 P+∞ n=1 an es una serie de términos positivos cuando an > 0 para cada n. an es una serie alternada cuando an = (−1)n cn para alguna sucesión {cn } tal que cn > 0 para cada n. Ejemplo 5.2. La serie armónica es: +∞ X 1 . n n=1 Para esta serie 1 . n Entonces se trata de una serie de términos positivos. Además an = n 1 X1 1 . sn = 1 + + · · · + = 2 n k=1 k 1. SERIES. 91 Una cuenta interesante es la siguiente: ¶ µ ¶ µ 1 1 1 1 1 1 + ··· + − 1 + + ··· + s2n − sn = 1 + + ··· + + 2 n n+1 2n 2 n 1 1 1 1 = + ··· + ≥ + ··· + n+1 2n 2n 2n 1 1 = n = . 2n 2 En conclusión, para la serie armónica: 1 s2n − sn ≥ . 2 Ejemplo 5.3. Para la serie +∞ X (−1)n n=1 tenemos que an = (−1)n . Entonces se trata de una serie alternada. Además ( n X −1 sn = (−1)k = −1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n = 0 k=1 si n es impar si n es par Ejemplo 5.4. La serie geométrica (de razón r) es: +∞ X rn . n=0 Para esta serie an = rn . Si r > 0 entonces se trata de una serie de términos positivos. Si r < 0 entonces se trata de una serie alternada. Además n sn = 1 + r + · · · + r = Un hecho curioso es que para eta serie: Entonces n X rk . k=0 rsn = r + r2 + · · · + rn+1 . Por lo tanto (1 − r)sn = sn − rsn = (1 + r + · · · + rn ) − (r + r2 + · · · + rn+1 ) = 1 − rn+1 92 5. SERIES NUMÉRICAS. En conclusión, si r 6= 1 para la serie geométrica: sn = 1 − rn+1 1−r A veces se puede decir con exactitud cuánto da la suma finita (la suma P en general es muy difı́cil decir cuánto da la suma infinita (la serie +∞ n=1 an ). Pn k=1 ak ), pero Ejemplo 5.5. Para la serie +∞ X 2 + cos(n3 ) 2n + n n=1 tenemos que . 2 + cos(n3 ) 2n + n Esta serie es de términos positivos. Además an = sn = n X 2 + cos(k 3 ) 2k + k k=1 2. Convergencia y divergencia de series. P Se dice que la serie +∞ n=1 an converge o es una serie convergente cuando la sucesión de sumas parciales {sn } tiene lı́mite finito. Se dice que la serie P+∞ n=1 an diverge o es una serie divergente cuando la sucesión de sumas parciales {sn } no converge (ya sea porque el lı́mite da +∞, da −∞ ó no existe). Sea s ∈ R, si la sucesión {sn } converge a s se suele escribir +∞ X an = s. n=1 En otras palabras, la expresión anterior quiere decir: lim n→+∞ n X k=1 ak = lim sn = s. n→+∞ En esto último debe quedar claro que s no se obtiene simplemente por adición, s es el lı́mite de una sucesión de sumas. 2. CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES. 93 Ejemplo 5.6. Para la serie +∞ X (−1)n n=1 ya vimos que sn = ( −1 si n es impar 0 si n es par P n Como lim sn no existe tenemos que +∞ n=1 (−1) diverge. n→+∞ Ejemplo 5.7. La serie armónica es: +∞ X 1 . n n=1 Anteriormente vimos que 1 ≤ s2n − sn . 2 (5.1) Supongamos que existe un número real s tal que lim sn = s. Usando la ecuación (5.1) n→+∞ tenemos que 1 ≤ lim s2n − lim sn . n→+∞ 2 n→+∞ Como lim s2n = s tenemos que n→+∞ 1 ≤ s − s = 0. 2 Y esta es una contradicción (porque 0 < 12 ). La contradicción proviene de haber supuesto que existe un número real s tal que lim sn = s. n→+∞ Por el método de reducción al absurdo concluimos que no existe un número real s tal que lim sn = s. n→+∞ Es decir, la serie armónica P+∞ 1 n=1 n diverge. Criterio 5.8 (Criterio del término general). P Dada +∞ n=1 an . P (i) Si lim an 6= 0 entonces la serie +∞ n=1 an diverge. n→+∞ (ii) Si lim an = 0, no hay información (puede ser que la serie converja o puede ser n→+∞ que la serie diverja). Note que si lim an = 0, este criterio no permite llegar a ninguna conclusión. En este n→+∞ caso debe recurrir a otro criterio. 94 5. SERIES NUMÉRICAS. Ejemplo 5.9. Consideremos la serie geométrica (de razón r): +∞ X rn . n=0 Si |r| ≥ 1 entonces lim rn 6= 0. Por el criterio del término general. n→+∞ |r| ≥ 1. P+∞ n=0 rn diverge si Por otro lado se probó que si r 6= 1 entonces sn = 1 − rn+1 . 1−r Sabemos que lim rn = 0 si |r| < 1. Luego n→+∞ 1 1 − rn+1 = . n→+∞ 1 − r 1−r lim sn = lim n→+∞ En conclusión, si |r| < 1 entonces la serie +∞ X P+∞ rn = n=0 n=0 rn converge a 1 , 1−r es decir, 1 . 1−r Más adelante estudiaremos qué ocurre cuando |r| ≥ 1. Este caso de la serie geométrica es uno de los pocos casos en los que se puede decir a qué valor converge la serie. En general no podemos decir cuánto vale. Para saber si estamos trabajando con un número o no. Es conveniente dar varios criterios de convergencia de series. 3. Criterios de convergencia para series de términos positivos. P Vamos a estudiar las series de la forma +∞ n=1 an donde an > 0. En estas condiciones Sn = a1 + · · · + an > 0. Para indicar que una serie de términos positivos es convergente se suele escribir +∞ X an < +∞. n=1 Esta notación no se usa para otro tipo de series. Criterio 5.10 (Criterio de acotación). P Dada +∞ n=1 an con an > 0. Si la sucesión de sumas parciales {Sn } es acotada entonces P+∞ n=1 an < +∞ . 3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 95 El criterio de acotación es muy usado por los matemáticos para demostrar teoremas. Muchas de las demostraciones de los criterios siguientes se basan en éste. Por otro lado, la demostración del criterio de acotación requiere una comprensión bien profunda del conjunto de los números reales, especialmente del axioma del supremo. Criterio 5.11 (Criterio de comparación). Sean {an } y {bn } sucesiones tales que 0 < an ≤ bn para todo n. P+∞ P (i) Si +∞ n=1 an también converge. n=1 bn converge entonces P+∞ P+∞ (ii) Si n=1 an diverge entonces n=1 bn también diverge. Ejemplo 5.12. Estudiar la convergencia de la siguiente serie +∞ X 2 + cos(n3 ) n=1 Sabemos que 2n + n . 2 + cos(n3 ) 3 0≤ ≤ n =3 n 2 +n 2 Sean µ ¶n 1 . 2 2 + cos(n3 ) . 2n + n µ ¶n 1 bn = 3 2 an = entonces 0 ≤ an ≤ bn . Como +∞ µ ¶n +∞ µ ¶n X X 1 1 =3 < +∞ 3 bn = 2 2 n=1 n=1 n=1 +∞ X porque la serie de la derecha es una geométrica de razón 1/2 < 1. Es decir, tenemos que la P serie +∞ n=1 bn converge. P Por el criterio de comparación, obtenemos +∞ n=1 an < +∞. Esto es, +∞ X 2 + cos(n3 ) n=1 2n + n < +∞. Ejemplo 5.13. Estudiar la convergencia de la siguiente serie ∞ X 1 n! n=1 usando que 2n−1 ≤ n! para todo n ≥ 1. 96 5. SERIES NUMÉRICAS. (Los estudiantes de la Licenciatura en Matemática deberı́an ser capaces de probar esta desigualdad usando el método de inducción completa). Se sigue que, 1 1 ≤ n−1 . n! 2 Sean an = 1 , n! bn = 1 2n−1 . Además +∞ +∞ +∞ µ ¶k X X X 1 1 1 = = < +∞, n−1 k 2 2 2 n=1 k=0 k=0 porque la serie de la derecha es una geométrica de razón 1/2 < 1. Por el criterio de comparación ∞ X 1 < +∞. n! n=1 Criterio 5.14 (Criterio del lı́mite). Sean {an }, {bn } dos sucesiones tales que 0 ≤ an , 0 < bn y sea λ = lim n→∞ an . bn P∞ P b converge si y sólo si (i) Si λ es finito y λ 6= 0, entonces ∞ n n=1 an converge. n=1 P∞ P∞ (ii) Si λ = ∞ y n=1 bn diverge entonces n=1 an diverge . (iii) En los otros casos no hay información. Ejemplo 5.15. Estudiaremos +∞ X µ ¶ 1 sen . n n=1 Recuerde que sen x = 1. x→0 x ¡ ¢ Sean an = sen n1 y bn = n1 . Usando el lı́mite anterior tenemos que ¡ ¢ sen n1 an = 1. = lim λ = lim 1 n→∞ n→∞ bn n lim +∞ X 1 Como λ es finito y λ 6= 0 y diverge, por el criterio del lı́mite tenemos que: n n=1 µ ¶ +∞ X 1 diverge. sen n n=1 3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. Criterio 5.16 (Criterio de la raı́z). Sea {an } una sucesión tal que an > 0 y sea α = lim n→+∞ P+∞ (i) Si α < 1, la serie n=1 an converge. P (ii) Si α > 1, la serie +∞ n=1 an diverge. √ n 97 an . Entonces (iii) Si α = 1, no hay información (puede ser que la serie converja o puede ser que la serie diverja). Cuando se aplica un criterio y se llega al caso en que éste no da información, se deja este criterio de lado y se trabaja con otro criterio. Ejemplo 5.17. Estudiaremos la serie +∞ X 1 . (ln n)n n=1 Tenemos an = √ n an = α = lim n→+∞ Por el criterio de la raı́z √ n +∞ X n=1 s n 1 , (ln n)n 1 1 = . n (ln n) ln n 1 = 0 < 1. n→+∞ ln n an = lim 1 < +∞. (ln n)n Criterio 5.18 (Criterio del cociente o de la razón). an+1 . Entonces Sea {an } una sucesión tal que an > 0 y sea β = lim n→+∞ an P (i) Si β < 1, la serie +∞ n=1 an converge. P+∞ (ii) Si β > 1, la serie n=1 an diverge. (iii) Si β = 1, no hay información (puede ser que la serie converja o puede ser que la serie diverja). Ejemplo 5.19. Estudiaremos la serie Tenemos +∞ X n! . nn n=1 an = n! , nn 98 5. SERIES NUMÉRICAS. an+1 = (n + 1)! . (n + 1)n+1 (n + 1)! an+1 (n + 1)! nn (n + 1)n+1 β = lim = lim = lim n! n→+∞ an n→+∞ n! (n + 1)n+1 n→+∞ nn nn 1 (n + 1)n! nn = lim = lim ¡ n+1 ¢n = lim n→+∞ (n + 1)n n→+∞ n→+∞ n! (n + 1) (n + 1)n n = lim ¡ n→+∞ = 1 <1 e 1 ¶n µ 1 lim 1 + n→+∞ n 1 ¢n = 1 + n1 (porque e > 1). Por el criterio del cociente +∞ X n! < +∞. nn n=1 Para dar el próximo criterio de series usaremos integrales impropias de la forma Z +∞ f (x) dx. 1 Se dice que la integral impropia Z +∞ f (x) dx converge 1 cuando el lı́mite lim b→+∞ Z b f (x) dx existe y es finito. 1 Ejemplo 5.20. Estudiaremos la integral Z +∞ 1 Tenemos Z 1 Luego +∞ 1 dx = lim b→+∞ x Z 1 b 1 dx. x 1 dx = lim [(ln x)]b1 = lim ln b = +∞. b→+∞ b→+∞ x Z 1 +∞ 1 dx diverge x 3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. 99 Criterio 5.21 (Criterio de la integral). Sea f una función positiva y estrictamente decreciente definida en [1, +∞) tal que f (n) = an para todo n natural. La integral Z +∞ f (x) dx converge 1 si y sólo si la serie +∞ X an converge. n=1 Cuando queremos usar este criterio para estudiar una serie procedemos ası́ a partir de an escogemos f , revisamos que f cumpla las condiciones dadas en el criterio. Calculamos la integral y luego aplicamos lo siguiente: Z +∞ +∞ X an converge. f (x) dx converge entonces (1) Si 1 (2) Si Z n=1 +∞ f (x) dx diverge entonces 1 +∞ X an diverge. n=1 Ejemplo 5.22. Estudiaremos la serie +∞ X 1 . 2 n n=1 Sea f (x) = 1 . x2 Es claro que f es positiva. Por otro lado, f ′ (x) = −2x−3 < 0 si x > 0 de donde f es estrictamente decreciente en [1, +∞). Estudiaremos la integral Z +∞ 1 Tenemos Z 1 Luego +∞ 1 dx = lim b→+∞ x2 Z b 1 Z 1 1 dx. x2 · ¸b 1 −1 1 dx = lim = lim 1 − = 1. 2 b→+∞ x x 1 b→+∞ b +∞ 1 dx converge x2 100 5. SERIES NUMÉRICAS. entonces la serie +∞ X 1 < +∞. n2 n=1 4. Criterios de convergencia para series de términos alternadas. Criterio 5.23 (Criterio de Leibnitz). Sea {cn } una sucesión tal que (a) c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0. (b) lim cn = 0. n→+∞ P n Entonces la serie +∞ n=1 (−1) cn converge. Recuerde que como la serie no es de términos positivos para decir que la serie converge P no se usa la notación +∞ n=1 an < +∞.. Ejemplo 5.24. Estudiaremos la serie +∞ X 1 (−1)n . n n=1 En este caso el término general es 1 an = (−1)n . n Sea cn = Entonces c1 ≥ c2 ≥ · · · ≥ 0. 1 . n 1 = 0. n→+∞ n lim cn = lim n→+∞ Por el criterio de Leibnitz tenemos que +∞ X 1 (−1)n converge. n n=1 5. Series telescópicas. Las series de la forma: P+∞ n=1 an tales que el término general se puede representar como una diferencia an = bn − bn+1 se denominan series telescópicas y su comportamiento está garantizado por el siguiente teorema. 5. SERIES TELESCÓPICAS. 101 Teorema 5.25. Sean {an } y {bn } dos sucesiones de números reales tales que an = bn − bn+1 P para n = 1, 2, . . . . Entonces la serie +∞ n=1 an converge si y sólo si la sucesión {bn } converge, en cuyo caso tenemos +∞ X n=1 donde L = lim bn . an = b1 − L, n→+∞ Ejemplo 5.26. Queremos determinar si converge o no la serie +∞ X n=1 Sea n2 an = Se tiene que an = 1 . +n n2 1 . +n 1 1 1 = − . n(n + 1) n n+1 Tomando bn = 1/n tenemos que an = bn − bn+1 . Además sabemos que b1 = 1 y lim bn = lim 1/n = 0. n→+∞ n→+∞ Aplicando el teorema anterior obtenemos +∞ X n=1 n2 1 = 1. +n 102 5. SERIES NUMÉRICAS. Ejercicios. Series. (1) Verifique que las siguientes series son divergentes (a) (b) (c) (d) 1 2 3 4 + + + + ... 2 3 4 5 +∞ X 3n n+1 n=1 +∞ X n=1 +∞ X n=1 9 27 81 + − + ... 2 4 8 +∞ µ ¶n X 4 (f) 3 n=1 (e) 3 − n 2n + 3 (g) n2 n2 + 1 (h) +∞ n X 2 +1 2n+1 n=1 +∞ X √ n=1 n n2 + 1 (2) Verifique que las siguientes series son convergentes (a) 2 + (b) +∞ X 3 9 27 + + + ... 2 8 32 (0.9)n (c) 2 − 1 + (d) n=1 +∞ X 1 1 1 − + − ... 2 4 8 (−0.6)n n=1 (3) Pruebe que la serie +∞ X (−1)n−1 diverge. n=1 (4) ¿Qué está mal en la siguiente “demostración” de que la serie geométrica divergente +∞ X (−1)n+1 tiene por suma cero? n=1 “Demostración”: +∞ X n=1 (−1)n+1 = [1 + (−1)] + [1 + (−1)] + · · · + [1 + (−1)] + . . . (5) Demuestre que +∞ X (a) La serie = 0 + 0 + ··· + 0 + ··· = 0 1 converge y determine su suma. n(n + 1) n=1 +∞ X 1 1 (b) Se cumple la siguiente igualdad = . (n + 2)(n + 3) 3 n=1 EJERCICIOS. SERIES. 103 Sugerencia: use la parte (a). (6) Demuestre que la serie +∞ X n=1 2 7 − n−1 n(n + 1) 3 converge y determine su suma. (7) Encuentre una fórmula para Sn y demuestre que la serie converge o diverge usando lim Sn . n→∞ (a) ∞ X n=1 (b) ∞ X 1 2 4n − 1 ln( n=1 (c) ∞ X n=1 n ) n+1 (d) ∞ X n=1 9n2 √ −1 + 3n − 2 1 √ . n+1+ n (Sugerencia: racionalice el denominador). ¶ +∞ µ X 1 1 + converge o diverge. (8) Determine si la serie 5n n n=1 (9) Demuestre o dé un contraejemplo: “Si +∞ X an y +∞ X bn divergen entonces n=1 n=1 +∞ X an + bn diverge”. n=1 (10) Supongamos que lim (an+1 − an ) existe. Demostrar que n→+∞ +∞ X n=1 (an+1 − 2an + an−1 ) = a0 − a1 + lim (an+1 − an ). n→+∞ (11) Determine si las siguientes series telescópicas convergen o divergen. (a) (b) (c) +∞ X n=1 +∞ X n=1 +∞ X n=1 1 √ √ n+1− n √ √ √ ( n + 2 − 2 n + 1 + n) ln µ n2 − 1 n2 ¶ (d) +∞ X ln((1 + 1/n)n (1 + n)) ln(nn ) ln((n + 1)n+1 ) ¶ µ 1 (e) arctan n2 + n + 1 n=1 µ ¶ +∞ X 2 arctan (f) n2 n=1 n=1 +∞ X 104 5. SERIES NUMÉRICAS. Ayuda: use la fórmula: arctan α ± arctan β = arctan µ α±β 1 ∓ αβ ¶ . (12) Aplique el criterio más conveniente para determinar si las siguientes series convergen o divergen. ∞ X ∞ X 1 √ (a) n e n=1 ¶ µ ∞ X 5 5 − (b) n + 2 n+3 n=1 ∞ X n (c) ln(n + 1) n=1 µ ¶ 2n ln (d) 7n − 5 n=1 ¶n µ ¶n ¶ µµ ∞ X 2 3 + (e) 2 3 n=1 ¶ µ ∞ X 4 1 − (f) n(n + 1) n n=1 (13) *** Determine los valores positivos de p, para los cuales converge la serie indicada (a) ∞ X np ∞ X µ ¶n 2 (b) n p n=1 n n=1 2 (14) *** Determine los valores reales de p, para los cuales converge la serie indicada (a) ∞ X np n=1 (b) n! ∞ X ln n n=1 np (15) Sea {an } la sucesión de Fibonacci. Sea an+1 bn = . an Demuestre que 1 , (a) bn−1 = 1 + bn−2 √ 1+ 5 (b) lim bn = . n→+∞ 2 (c) La serie 1+1+ es convergente. ∞ X 1 1 1 1 1 + + + + ··· = 2 3 5 8 a n=1 n EJERCICIOS. SERIES. 105 (16) Use el criterio de series alternadas para determinar si las siguientes series son convergentes (a) ∞ X n+1 (−1) n=1 (b) (c) ∞ X 1 (−1)n−1 √ n n=1 ∞ X (−1)n+1 n=1 (d) ∞ X (−1)n+1 n=1 (e) (f) 1 n+2 ∞ X n=1 ∞ X n=1 n+1 (−1) n2 n +1 n+2 n3 n n+2 −1 n+5 n−1 3n (−1) (g) ∞ X (−1) n+1 n=1 ∞ X µ 1 1 + n n 3 n+1 4n n=1 √ ∞ X n+1 4 n (i) (−1) 2n + 3 n=1 √ ∞ X n2 + 1 cos(nπ) (j) n3 n=1 (h) (k) (l) ∞ X n=1 ∞ X n=1 (−1)n (−1)n+1 ln n n 10 n+1 ln n (−1) n2 ¶ CAPÍTULO 6 Fórmula de Stirling y producto de Wallis. Justificación elemental de la fórmula de Stirling y producto de Wallis. La fórmula de Stirling da un estimado para n! y el producto de Wallis da una expresión para π/2 como lı́mite de un cociente de números parecidos a los factoriales. 1. La fórmula de Stirling. √ Comenzamos dando un estimado para n n!. Proposición 6.1. Se tiene que lim n→∞ √ n 1 n! = . n e Demostración. El gráfico de la función logaritmo ayuda a entender las siguientes desigualdades: ln((n − 1)!) = ln(1.2. . . . .(n − 1)) = ln 1 + ln 2 + · · · + ln(n − 1) Z n ln xdx ≤ ln 2 + · · · + ln n = ln 1 + ln 2 + · · · + ln n ≤ 1 = ln(1.2. . . . .(n − 1).n) = ln n! Pero Z 1 De donde n ln xdx = [x ln x − x]n1 = n ln n − n + 1 = ln(nn ) − n + 1. ln((n − 1)!) ≤ ln nn − n + 1 ≤ ln n!. Por lo tanto (6.1) (n − 1)! ≤ nn e−n e ≤ n!. De la segunda desigualdad en (6.1) obtenemos √ n 1√ n! n (6.2) . e≤ e n 107 108 6. FÓRMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. Por otro lado, multiplicando por n en la fórmula (6.1) tenemos que n! ≤ nn e−n e n. Luego √ n Y ası́ n! ≤ n √ 1√ n n n e. e √ n (6.3) √ n √ n e = 1, de las desigualdades (6.2) y (6.3) obtenemos: √ n √ √ √ 1 1 1 n! 1√ 1√ n n e ≤ lim n n e = lim n n n e = . = lim ≤ lim n→∞ n n→∞ e e n→∞ e e n→∞ e Como lim n→∞ n = lim 1√ √ n! ≤ n n n e. n e n→∞ De donde, lim n→∞ √ n 1 n! = . n e Esta fórmula da un estimado para n!. Varios refinamientos del método que acabamos de usar para estimar √ n n! permiten dar un estimado para n!. Más precisamente, se puede demostrar: √ 2πne−n nn lim =1 n→∞ n! y ésta es la conocida fórmula de Stirling. Para no caer en aspectos demasiado técnicos no damos la prueba. Sin embargo, el lector interesado en ver una demostración de esta fórmula puede hallarla en: Introduction to Calculus and Analysis de R. Courant, F. John. Vol. I. 2. El producto de Wallis. El producto de Wallis permite aproximar a π 2 y es el siguiente: π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 6.6.4.4.2.2 = lim . 2 m→∞ (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 7.5.5.3.3.1 Para los estudiantes de la Licenciatura en Matemática damos la demostración. Recordemos que Z n−1 −1 n−1 sen x cos x + senn−2 x dx. sen x dx = n n Integrando entre 0 y π2 se obtiene la siguiente igualdad: Z π/2 Z n − 1 π/2 n sen xdx = (6.4) senn−2 xdx. n 0 0 Z n 2. EL PRODUCTO DE WALLIS. 109 Aplicando esta fórmula varias veces se obtienen las siguientes igualdades: Z Z Z π/2 (2m − 1)(2m − 3) π/2 2m − 1 π/2 2m−2 2m sen x dx = sen2m−4 x dx sen x dx = 2m 2m(2m − 2) 0 0 0 Z π/2 (2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 π (2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 dx = . = 2m(2m − 2) . . . 4.2 2m(2m − 2) . . . 4.2 2 0 Z π/2 2m+1 sen 0 Z π/2 (2m)(2m − 2) sen x dx = sen2m−3 x dx (2m + 1)(2m − 1) 0 0 Z π/2 (2m)(2m − 2) . . . 4.2 (2m)(2m − 2) . . . 4.2 = sen xdx = . (2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3 0 (2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3 2m x dx = 2m + 1 Z π/2 2m−1 Resumiendo, llegamos a que Z π/2 (2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 π , sen2m x dx = 2m(2m − 2) . . . 4.2 2 0 Z π/2 (2m)(2m − 2) . . . 4.2 sen2m+1 x dx = . (2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3 0 De las fórmulas anteriores Z π/2 2m(2m − 2) . . . 4.2 π (6.5) sen2m xdx, = 2 (2m − 1)(2m − 3) . . . 3.1 0 (2m + 1)(2m − 1) . . . 5.3 1= (2m)(2m − 2) . . . 4.2 (6.6) Z π/2 sen2m+1 xdx. 0 Dividiendo la fórmula (6.5) entre la fórmula (6.6), obtenemos que R π/2 sen2m xdx π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 4.4.2.2 0 (6.7) = R π/2 2 (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 5.3.3.1 sen2m+1 xdx 0 A continuación estudiaremos el cociente de estas dos integrales. En [0, π/2] ası́ que 0 ≤ sen x ≤ 1. Luego sen2m+1 x ≤ sen2m x ≤ sen2m−1 x. Integrando Z π/2 sen 2m+1 0 R π/2 2m+1 xdx ≤ Z 0 π/2 sen 2m xdx ≤ Z π/2 sen2m−1 xdx. 0 xdx se obtiene Dividiendo entre 0 sen R π/2 R π/2 R π/2 sen2m xdx sen2m−1 xdx sen2m+1 xdx 2m + 1 0 0 0 ≤ R π/2 ≤ R π/2 = 1 = R π/2 2m sen2m+1 xdx sen2m+1 xdx sen2m+1 xdx 0 0 0 (para la última igualdad hemos usado la ecuación (6.4)). 110 6. FÓRMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. Entonces R π/2 0 1 ≤ R π/2 0 De donde sen2m xdx sen2m+1 xdx R π/2 lim R 0 m→∞ π/2 ≤ 2m + 1 1 =1+ . 2m 2m sen2m xdx sen2m+1 xdx 0 Volviendo a la ecuación (6.7) obtenemos que =1 π 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 6.6.4.4.2.2 = lim , 2 m→∞ (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 7.5.5.3.3.1 y este es el conocido producto de Wallis. EJERCICIOS. FÓRMULA DE STIRLING Y PRODUCTO DE WALLIS. 111 Ejercicios. Fórmula de Stirling y producto de Wallis. A continuación indicamos tres fórmulas que permiten calcular lı́mites bastante complicados. • Estimado para √ n n!: lim n→∞ • Fórmula de Stirling: lim n→∞ √ √ n 1 n! = . n e 2πne−n nn =1 n! • Producto de Wallis 2m2m(2m − 2)(2m − 2) . . . 6.6.4.4.2.2 π = lim , 2 m→∞ (2m + 1)(2m − 1)(2m − 1)(2m − 3) . . . 7.5.5.3.3.1 Deducir los siguientes lı́mites con la ayuda de las fórmulas anteriores (1) * lim n→∞ n = e. (n!)1/n √ (n!)2 22n √ = π. n→∞ (2n)! n (2) * lim n (3) * lim (−1) n→∞ donde µ ¶ −1/2 1 n= √ . n π µ ¶ t t(t − 1) . . . (t − n + 1) . = n! n Nota: EL producto t(t−1) . . . (t−n+1) es un polinomio en t de grado n llamado polinomio factorial n-ésimo. Se representa con el sı́mbolo t(n) , ası́ pues t(n) = t(t − 1) . . . (t − n + 1). Parte 3 Nociones de Geometrı́a en el Plano y en el Espacio. Curvas. CAPÍTULO 7 Nociones de geometrı́a plana y del espacio. Subconjuntos de R2 y R3 . Vectores. Producto escalar y vectorial. Ecuación paramétrica de la recta. Representación de subconjuntos definidos mediante ecuaciones y desigualdades sencillas. Superficies en R3 : plano, esfera, elipsoide, cilindro, cono, paraboloide, hiperboloide. Bolas abiertas y bolas cerradas en R2 y R3 . Idea de abierto, cerrado y frontera. Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 : polares, cilı́ndricas y esféricas. Transformación de coordenadas. Parametrización de subconjuntos de R2 y de R3 en estas coordenadas. 1. El plano R2 . Comenzaremos recordando algunos conceptos de cursos previos de matemática y de fı́sica. El espacio unidimensional R se identifica con una recta. Es importante notar que para un número real x, la distancia de x al origen de la recta es √ |x| = x2 . Esta distancia se conoce como el módulo o la norma de x. Consideremos el espacio bidimensional R2 = R × R = {(x, y) : x, y ∈ R}. El espacio R2 puede ser representado, de manera natural, mediante un plano: Trazamos una recta horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y respectivamente. Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindible que sean iguales). Para cada punto P del plano trazamos rectas paralelas a los ejes que pasen por P . De acuerdo a la identificación de la recta con el conjunto de los números reales, sea a el punto de corte de la paralela al eje y con el eje x y sea b el punto de corte de la paralela al eje x con el eje y. Al punto P le hacemos corresponder el par ordenado de números reales (a, b) ∈ R2 . 115 116 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Cuando x > 0, y > 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el primer cuadrante. Cuando x < 0, y > 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el segundo cuadrante. Cuando x < 0, y < 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el tercer cuadrante. Cuando x > 0, y < 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el cuarto cuadrante. Al punto (0, 0) se le suele llamar el origen de coordenadas, o simplemente, el origen. y y P b segundo cuadrante a primer cuadrante x x tercer cuadrante cuarto cuadrante Figura 7.1. Identificación de R2 y el plano Tomando en cuenta esta identificación es usual hablar de puntos del plano R2 , o simplemente, puntos de R2 . Existe una identificación natural entre los puntos de R2 y los vectores en el plano: Al punto (x, y) le hacemos corresponder el vector de extremo inicial el origen y de extremo final el punto (x, y). Sean ~u = (x1 , y1 ), ~v = (x2 , y2 ) ∈ R2 , definimos la suma de vectores de la siguiente manera: ~u + ~v = (x1 + x2 , y1 + y2 ). Definimos el producto de un vector por un escalar de la siguiente manera: si ~u = (x, y) ∈ R2 y λ ∈ R, entonces λ~u = (λx, λy). Si λ > 0 entonces λ~u y ~u tienen el mismo sentido. Si λ < 0 entonces λ~u y ~u tienen sentido contrario. 1. EL PLANO R2 . 117 Como es natural la diferencia de vectores ~u − ~v se define como ~u + (−1)~v . La suma y la diferencia de vectores se puede hacer geométricamente, de acuerdo con la ley del paralelogramo, que se ilustra en la siguiente figura. u+v u u-v v v -v u Figura 7.2. Ley del paralelogramo Se dice que ~u y ~v son paralelos cuando existe λ 6= 0 tal que ~v = λ~u. Distancia entre dos puntos del plano y norma. Supongamos que queremos hallar la distancia d entre dos puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) del plano. y (x2,y2) y2 d y1 |y2-y1| (x1,y1) |x2-x1| x1 x2 x Figura 7.3. Distancia entre dos puntos del plano Analizando la figura anterior y usando el teorema de Pitágoras obtenemos que d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 , 118 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. es decir d= p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . Dado un vector ~u = (x1 , x2 ) ∈ R2 , definimos la norma de ~u como k~uk = q x21 + x22 . Notemos que k~uk es la distancia del punto (x1 , x2 ) al origen, es decir, la longitud del vector ~u. Circunferencias y cı́rculos en el plano. Sea r > 0, recordemos que la circunferencia con centro (a, b) ∈ R2 y radio r es el conjunto de los puntos (x, y) del plano tales que la distancia de (x, y) al punto (a, b) es r, es decir, el conjunto { (x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 = r2 }. Otra manera equivalente de expresar este conjunto es { (x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (a, b)k = r}. Recordemos también que, el cı́rculo con centro (a, b) ∈ R2 y radio r es el conjunto de los puntos (x, y) del plano tales que la distancia de (x, y) al punto (a, b) es menor o igual que r, es decir, el conjunto { (x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 }. o, equivalentemente { (x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (a, b)k ≤ r}. Si en vez de tomar considerar el conjunto con “menor o igual”, tomamos la desigualdad estricta, o sea, consideramos el conjunto { (x, y) ∈ R2 : k(x, y) − (a, b)k < r}., obtenemos el conjunto de los puntos que están dentro de la circunferencia, sin incluir la circunferencia. 2. EL ESPACIO R3 . 119 2. El espacio R3 . Consideremos el espacio tridimensional R3 = R × R × R = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}. Al igual que R2 se identifica con el plano, R3 se identifica con el espacio ambiente. Para establecer la correspondencia debemos considerar un eje adicional, usualmente llamado eje z, perpendicular al plano formado por el eje x y el eje y. Cada punto P del espacio está en correspondencia con un elemento (x, y, z) de R3 . El siguiente dibujo nos ilustra esta correspondencia, en el mismo vemos, de manera gráfica, como el punto P corresponde con la terna (a, b, c). z c P b y a x Figura 7.4. Correspondencia entre puntos del espacio y elementos de R3 Al igual que en el plano, al punto (0, 0, 0) se le suele llamar el origen de coordenadas, o simplemente, el origen. Existen tres planos que resaltan en este espacio, que son: el plano “xy”, el plano “yz” y el plano “xz”. Al igual que en el caso bidimensional, existe una identificación natural entre los puntos de R3 y los vectores en el espacio: Al punto (x, y, z) le hacemos corresponder el vector de extremo inicial el origen y de extremo final el punto (x, y, z). El origen de coordenadas se identifica con el vector (0, 0, 0). Cuando x > 0, y > 0, z > 0 decimos que el punto (o el vector) (x, y, z) se encuentra en el primer octante. La suma de vectores y el producto por un escalar se definen de manera natural: 120 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Si ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 y λ ∈ R, ~u + ~v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ), λ~u = (λx1 , λy1 , λz1 ). Si λ > 0 entonces λ~u y ~u tienen el mismo sentido. Si λ < 0 entonces λ~u y ~u tienen sentido contrario. Se dice que ~u y ~v son paralelos cuando existe λ 6= 0 tal que ~v = λ~u. También en el caso tridimensional, la suma y diferencia de vectores se puede hacer, de manera geométrica, siguiendo la ley del paralelogramo. Distancia entre dos puntos del espacio y norma. Supongamos que queremos hallar la distancia d entre dos puntos (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) del espacio. z (x1,y1,z1) d d2 d1 (x2,y2,z2) y x d1 (x2,y2,0) (x1,y1,0) Figura 7.5. Distancia entre dos puntos del plano Sea d1 la distancia entre los puntos (x1 , y1 , 0) y (x2 , y2 , 0). Por la fórmula de la distancia en el plano tenemos que d21 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 . 3. PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. 121 Si d2 es la diferencia de alturas entre los puntos (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ) entonces d2 = |z2 − z1 |, Analizando la figura anterior y usando el teorema de Pitágoras obtenemos que d2 = d21 + d22 , es decir d= p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . Al igual que en el caso bidimensional, dado un vector ~u = (x, y, z) ∈ R3 , definimos la norma de ~u como k~uk = p x2 + y 2 + z 2 . Se tiene que k~uk es la distancia del punto (x, y, z) al origen, es decir, la longitud del vector ~u. Esferas en el espacio. Sea r > 0, recordemos que la esfera con centro (a, b, c) ∈ R3 y radio r es el conjunto de los puntos (x, y, z) del espacio tales que la distancia de (x, y, z) al punto (a, b, c) es r, es decir, el conjunto { (x, y, z) ∈ R3 : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 }. Otra manera equivalente de expresar este conjunto es { (x, y, z) ∈ R3 : k(x, y, z) − (a, b, c)k = r}. Note que la parte de adentro de esta esfera es: {(x, y, z) ∈ R3 : ||(x, y, z) − (a, b, c)|| < r}. 3. Producto escalar, norma y distancia. A lo largo de esta sección por Rn denotaremos el espacio R2 o al espacio R3 . 3.1. Producto escalar en R2 . Sean ~u = (x1 , y1 ), ~v = (x2 , y2 ) ∈ R2 . El producto escalar de estos vectores es h(x1 , y1 ), (x2 , y2 )i = x1 x2 + y1 y2 . De manera abreviada, h~u, ~v i = x1 x2 + y1 y2 . 122 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. 3.2. Producto escalar en R3 . Sean ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 . El producto escalar de estos vectores es h(x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 )i = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . De manera abreviada, h~u, ~v i = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Es muy importante notar que, tanto en el caso bidimensional como en el caso tridimensional, el producto escalar siempre es igual a la suma del producto de las coordenadas. 3.3. Propiedades del producto escalar en Rn . Proposición 7.1. Para todos los vectores ~u, ~v , w ~ ∈ Rn y para todo número λ ∈ R, tenemos que: (i) h~u, ~v i = h~v , ~ui (Ley conmutativa). (ii) hλ~u, ~v i = λh~u, ~v i. (iii) h~u + ~v , wi ~ = h~u, wi ~ + h~v , wi ~ (Ley distributiva). (iv) h~u, ~v i = k~ukk~v k cos θ donde θ es el ángulo entre ~u y ~v . La demostración de las partes (i), (ii) y (iii) queda como ejercicio. Debe tratar de justificar geométricamente la propiedad (iv). Si h~u, ~v i = 0 se dice que ~u, ~v son perpendiculares u ortogonales . 3.4. Propiedades de la norma y la distancia en Rn . Observación 7.2. Si ~u ∈ Rn entonces k~uk = p h~u, ~ui. Proposición 7.3. Sean ~u, ~v ∈ Rn y λ ∈ R, entonces (i) k~uk ≥ 0, (ii) ~u = ~0 implica k~uk = 0, (iii) k~uk = 0 implica ~u = ~0, (iv) kλ~uk = |λ| k~uk, (v) k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k. Decimos que ~u ∈ Rn es unitario si k~uk = 1. Dado ~u ∈ Rn si consideramos obtenemos que ~v es unitario. ~v = ~u , k~uk 3. PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. 123 Observación 7.4. Si ~u, ~v ∈ Rn entonces d(~u, ~v ) = k~u − ~v k. Proposición 7.5. Sean ~u, ~v , w ~ ∈ Rn (i) d(~u, ~v ) ≥ 0, (ii) ~u = ~v implica d(~u, ~v ) = 0, (iii) d(~u, ~v ) = 0 implica ~u = ~v , (iv) d(~u, ~v ) = d(~v , ~u), (v) d(~u, w) ~ ≤ d(~u, ~v ) + d(~v , w). ~ La demostración de estas proposiciones queda como ejercicio. 3.5. Lectura adicional: La desigualdad de Cauchy-Schwarz. Proposición 7.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea h , i el producto escalar en Rn . Entonces |h~u, ~v i| ≤ k~uk k~v k para todo ~u, ~v ∈ Rn . Además se cumple la igualdad si y sólo si ~u = λ~v para algún λ ∈ R, es decir, ~u y ~v están en la misma lı́nea. Demostración. Sean ~u, ~v ∈ Rn . Entonces hx~v − ~u, x~v − ~ui ≥ 0 para todo x ∈ R, por lo tanto h~v , ~v ix2 − 2h~u, ~v ix + h~u, ~ui ≥ 0 para todo x ∈ R, es decir, k~v k2 x2 − 2h~u, ~v ix + k~uk2 ≥ 0 para todo x ∈ R. Si k~v k = 0 entonces ~v = 0 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz es trivialmente cierta. Si k~v k > 0, tenemos una parábola que se abre hacia arriba. Usando el discriminante se concluye que 4h~u, ~v i2 − 4k~uk2 k~v k2 ≤ 0 y de esto último se deduce inmediatamente la desigualdad. El resto de la demostración se deja como ejercicio. ¤ 124 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. 4. Producto cruz o producto vectorial. Sean ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 . El producto cruz o producto vectorial de estos vectores es ~u × ~v = ((y1 z2 − z1 y2 ) , (z1 x2 − x1 z2 ) , (x1 y2 − y1 x2 )) . Sean ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1), entonces tenemos que ~u × ~v es igual al determinante formal  ~i ~j ~k    det x1 y1 z1  . x2 y2 z2 Este determinante de tercer orden está desarrollado por la primera fila. El producto vectorial ~u × ~v se puede hallar geométricamente de la siguiente manera: Si ~u y ~v son colineales entonces ~u × ~v = ~0. Si ~u y ~v no son colineales entonces ~u ×~v es un vector ortogonal al plano generado por ~u y por ~v , de longitud igual k~uk k~v k | sen θk, donde θ es el ángulo entre ~u y ~v y cuya dirección se obtiene de acuerdo a la ley de la mano derecha. En los siguientes dibujos, si ~u y ~v se ubican en el plano correspondiente a esta hoja, en el primer caso ~u × ~v sale de la hoja apuntando hacia el lector mientras que en el segundo caso apunta en sentido contrario. u v v uxv u uxv Figura 7.6. Dirección del producto vectorial También se tienen los siguientes resultados. Proposición 7.7. (i) ~u × ~0 = ~0 × ~u = ~0, (ii) ~u × ~u = ~0, (iii) ~u × ~v = −~v × ~u, (iv) (λ~u) × ~v = ~u × (λ~v ) = λ(~u × ~v ), 5. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. 125 (v) ~u ×~v es ortogonal a ~u, ~u ×~v es ortogonal a ~v . Es decir, h~u ×~v , ~ui = 0 y h~u ×~v , ~v i = 0, (vi) ~u × (~v + w) ~ = ~u × ~v + ~u × w ~ (propiedad distributiva). Además, ~i × ~j = ~k = −~j × ~i, ~j × ~k = ~i = −~k × ~j, ~k × ~i = ~j = −~i × ~k. Proposición 7.8. Si ~u, ~v ∈ R3 entonces k~u ×~v k es el área del paralelogramo determinado por ~u y ~v . Proposición 7.9. Si ~u, ~v , w ~ ∈ R3 entonces |h~u × ~v , wi| ~ es el volumen del paralelepı́pedo formado por ellos. El volumen es cero si los vectores están en el mismo plano. 5. Rectas y planos en el espacio. 5.1. Rectas en el espacio. La definición de una recta en R3 nace de la idea intuitiva de que una recta está determinada por un punto p~o y una dirección ~u (donde ~u es un vector no nulo). El vector ~u es llamado el vector director de la recta. Los puntos p~ sobre la L que pasa por p~o en la dirección de ~u son todos los puntos de la forma p~ = p~o + t ~u, donde t ∈ R. Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta. z po + tu po tu L u y x Figura 7.7. Recta que pasa por p~o en la dirección de ~u 126 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Si p~o = (xo , yo , zo ), ~u = (u1 , u2 , u3 ) y p~ = (x, y, z) tenemos (x, y, z) = (xo , yo , zo ) + t(u1 , u2 , u3 ). Luego x = xo + tu1 , y = yo + tu2 , z = zo + tu3 . Estas son las ecuaciones correspondientes entre las componentes y se llaman ecuaciones paramétricas de la recta . Si u1 6= 0, u2 6= 0, u3 6= 0 se puede eliminar t y la ecuación se expresa en su forma cartesiana y − yo z − zo x − xo = = u1 u2 u3 Una recta está determinada si damos dos puntos por los que pasa. Supongamos que L es una recta que pasa por los puntos (diferentes) p~o = (xo , yo , zo ) y p~1 = (x1 , y1 , z1 ). Sea ~u = p~1 − p~o . Entonces L es la recta de dirección ~u que pasa por cualquiera de los puntos p~o = (xo , yo , zo ) ó p~1 = (x1 , y1 , z1 ).Por lo tanto la ecuación de L es: x − xo y − yo z − zo = = x1 − xo y1 − yo z1 − zo Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son. Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos. En R3 , si dos rectas son paralelas, entonces son iguales o no se intersectan. En R3 , si dos rectas no son paralelas, entonces no se cortan o su intersección es un punto. 5.2. Planos en el espacio. Existen varias maneras de determinar un plano. Algunas de ellas son las siguientes: (1) Un plano está determinado si damos un punto por el que pasa el plano y un vector perpendicular a él. Sea p~o = (xo , yo , zo )un punto del plano y ~u = (a, b, c) un vector perpendicular al plano. Si p~ = (x, y, z) es otro punto del plano entonces p~ − p~o = (x, y, z) − (xo , yo , zo ) es perpen- dicular a ~u = (a, b, c), es decir, h(a, b, c), (x, y, z) − (xo , yo , zo )i = 0. 5. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. 127 z u p-po po p y x Figura 7.8. Plano que pasa por p~o y es perpendicular a ~u Por lo tanto a(x − xo ) + b(y − yo ) + c(z − zo ) = 0. Y ası́ ax + by + cz + d = 0 donde d = −axo − byo − czo . Esta ecuación se llama ecuación cartesiana del plano. (2) Un plano está determinado por dos rectas no paralelas que se cortan. Sean L1 y L2 dos rectas no paralelas de direcciones respectivas ~u y ~v que se cortan en un punto p~o . Los puntos p~ sobre el plano determinado por L1 y L2 son todos los puntos de la forma p~ = p~o + t~u + s~v , donde t, s ∈ R. Esta ecuación se llama también ecuación vectorial del plano y las ecuaciones correspon- dientes entre las componentes se llaman las ecuaciones paramétricas del plano, éstas son: x = xo + tu1 + sv1 , y = yo + tu2 + sv2 , z = zo + tu3 + sv3 . (3) Un plano está determinado si damos tres puntos por los que pasa el plano. Sean p~o , p~1 , p~2 tres puntos diferentes y no alineados por los que pasa el plano. Sean ~u = p~1 − p~o y ~v = p~2 − p~o . Sean L1 y L2 dos rectas de direcciones respectivas ~u y ~v que 128 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. pasan por p~o . Entonces L1 y L2 se cortan en el punto p~o . Estas dos rectas no paralelas que se cortan, determinan un plano. 6. Relaciones entre subconjuntos y desigualdades sencillas Recordemos que en R desigualdades tales como x ≥ 4 delimitan intervalos: [4, +∞) = {x ∈ R : 4 ≤ x}. En el plano R2 ocurre algo semejante, que se precisa al despejar la variable y. Ejemplo 7.10. Si se nos pide dibujar la región A de R2 determinada por la desigualdad −3x + 5y ≥ 2 debemos dibujar el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : −3x + 5y ≥ 2}. Este conjunto está dado por los puntos del plano que se encuentran por encima de la recta 2 3 y = x+ 5 5 incluyendo a ésta. Haga el dibujo correspondiente. Ejercicio 7.11. Representar gráficamente D = {(x, y) ∈ R2 : 3x + 1 > 0 y 5x + 2y ≤ 0}. En el espacio R3 también ocurre algo semejante, que se precisa al despejar la variable z (o alguna de las otras). Ejemplo 7.12. Si se nos pide dibujar la región A de R3 determinada por la desigualdad −3x + 5y + 2z ≥ 2 debemos dibujar el conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3 : −3x + 5y + 2z ≥ 2}. Este conjunto está dado por los puntos del plano que se encuentran por encima del plano 3 5 z = x− y+1 2 2 incluyendo a éste. Haga el dibujo de este plano. 7. SUPERFICIES EN R3 . 129 7. Superficies en R3 . Daremos varios ejemplos de superficies en R3 . Los gráficos que presentamos fueron hechos con la ayuda del programa Maple. Este programa es muy útil para visualizar superficies, ya que permite visualizarlas, rotarlas, verlas desde diferentes ángulos, etc. La instrucción que hace falta para construir el primer gráfico que mostramos es with(plots): cylinderplot([(1-z^2)^(1/2),theta,z],theta=0..2*Pi,z=-1..1, shading = ZGREYSCALE, style = PATCH, axes=normal, tickmarks=[0,0,0], numpoints=220, orientation=[55,70], scaling=constrained ); Notar que en la instrucción no usamos coordenadas cartesianas (x, y, z). Las coordenadas usadas fueron las cilı́ndricas (r, θ, z), que se estudiarán más adelante. Ejemplo 7.13. La ecuación de la esfera de centro (xo , yo , zo ) y radio r es (x − xo )2 + (y − yo )2 + (z − zo )2 = r2 . Es decir, ||(x, y, z) − (xo , yo , zo )|| = r. En los siguientes gráficos vemos una esfera con centro (0, 0, 0). En el primero está completa y en el segundo la parte que se ubica en el primer octante. z z x x y Figura 7.9. Esfera y 130 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Ejemplo 7.14. Sea z = x2 + y 2 . Esta igualdad representa un paraboloide de revolución, obtenido al rotar z = y 2 alrededor del eje z (justifique). z x y Figura 7.10. Paraboloide Ejemplo 7.15. El elipsoide es x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c z y x Figura 7.11. Elipsoide 7. SUPERFICIES EN R3 . 131 Ejemplo 7.16. El cilindro x2 + y 2 = c2 (en R3 ) z x y Figura 7.12. Cilindro Ejemplo 7.17. El cono z = p x2 + y 2 . z x y Figura 7.13. Cono 132 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Ejemplo 7.18. El hiperboloide de una hoja es x2 + y 2 − z 2 = c. z x y Figura 7.14. Hiperboloide de una hoja Ejemplo 7.19. El hiperboloide de dos hojas es x2 − y 2 − z 2 = c. z x y Figura 7.15. Hiperboloide de dos hojas 8. LECTURA ADICIONAL: ABIERTOS Y CERRADOS. 133 Ejemplo 7.20. El paraboloide hiperbólico o “silla de montar”. es z = x2 − y 2 . z x y Figura 7.16. Paraboloide hiperbólico 8. Lectura adicional: Abiertos y cerrados. 8.1. Motivación e idea principal. El intervalo (a, b) = {x ∈ R : a < x < b} es abierto. El intervalo [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} es cerrado. El calificativo abierto que usamos para el intervalo indica que no contiene los puntos extremos a y b. El calificativo cerrado que usamos para el intervalo indica que contiene los puntos extremos a y b. Recordemos que en R dados un punto a ∈ R y r > 0, un intervalo abierto de centro a y radio r es el conjunto D(a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r}. Este intervalo se conoce como entorno o vecindad de a. 134 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. A continuación vamos a tratar de extender estas ideas a R2 y R3 . Tenemos la noción de distancia en estos espacios, con esta noción vamos a definir entornos en R2 y R3 . 8.2. Bolas abiertas y bolas cerradas en R2 . Definición 7.21. El disco abierto en R2 con centro a = (a1 , a2 ) ∈ R2 y radio r es el conjunto D(a, r) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y) − (a1 , a2 )|| < r} (simplemente el interior de una circunferencia con centro a y radio r). Definición 7.22. El disco cerrado en R2 con centro a = (a1 , a2 ) ∈ R2 y radio r es el conjunto D(a, r) = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y) − (a1 , a2 )|| ≤ r}. El disco abierto no incluye el borde, el disco cerrado sı́ lo incluye. A las curvas que limitan un conjunto las llamaremos la frontera . Si esta frontera está contenida en el conjunto diremos que el conjunto es cerrado. Los puntos interiores de un conjunto son los que satisfacen la siguiente propiedad: tienen un entorno con centro en el punto y radio r (para algún r > 0) tal que el entorno está contenido en el conjunto. Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores.. 8.3. Bolas abiertas y bolas cerradas en R3 . Definición 7.23. La bola abierta en R3 con centro a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 y radio r es el conjunto B(a, r) = {(x, y, z) ∈ R3 : ||(x, y, z) − (a1 , a2 , a3 )|| < r}. (simplemente el interior de una esfera con centro a y radio r). Definición 7.24. La bola cerrada en R3 con centro a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ R3 y radio r es el conjunto BC (a, r) = {(x, y, z) ∈ R3 : ||(x, y, z) − (a1 , a2 , a3 )|| ≤ r}. La bola abierta no incluye el borde, la bola cerrada sı́ lo incluye. 8. LECTURA ADICIONAL: ABIERTOS Y CERRADOS. 135 8.4. Definición de conjunto abierto, conjunto cerrado y frontera. Definición 7.25. Sea A un subconjunto de R3 , se dice que A es un conjunto abierto si para todo a ∈ A existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Definición 7.26. Sea A un subconjunto de R3 , se dice que A es un conjunto cerrado si su complemento R3 − A es abierto. Definición 7.27. Sea A un subconjunto de R3 , la frontera de A se define ası́: ∂A = {u ∈ R3 : toda bola con centro u intersecta a A y al complemento de A}. En R2 todas las definiciones son análogas, cambiando bolas por discos. Ejemplo 7.28. El disco abierto de centro a y radio r es abierto, no es cerrado. Su frontera es la circunferencia con centro a y radio r. Ejemplo 7.29. El disco cerrado de centro a y radio r es cerrado, no es abierto. Su frontera es la circunferencia con centro a y radio r. Ejemplo 7.30. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, x2 + y 2 = 1} A no es abierto, no es cerrado y su frontera es {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Ejemplo 7.31. R2 es abierto, también es cerrado y su frontera es ∅. Ejemplo 7.32. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. El conjunto A es cerrado, no es abierto, su frontera es el mismo. Ejemplo 7.33. La bola abierta de centro a y radio r es abierta, no es cerrada. Su frontera es la circunferencia con centro a y radio r. Ejemplo 7.34. La bola cerrada de centro a y radio r es cerrada, no es abierta. Su frontera es la esfera con centro a y radio r. Ejemplo 7.35. A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 < 1} es abierto, no es cerrado. La frontera es {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1}. 136 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Ejemplo 7.36. Sea A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 < 1}. A no es abierto, no es cerrado. La frontera es {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y 2 ≤ 1}. 9. Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3 . Coordenadas Polares. El punto (x, y) ∈ R2 tiene coordenadas polares (r, θ) si x = r cos θ, y = r sen θ. En este caso, r= p x2 + y 2 tan θ = y/x. (x,y) y = r sen θ r θ x = r cos θ Figura 7.17. Coordenadas polares Es usual suponer r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π. Más generalmente, se restringe θ a un intervalo semiabierto de longitud 2π. Explı́citamente θ= donde arctan ¡y¢ x      arctan ¡y¢ x π + arctan ¡y¢ 2π + arctan está entre −π/2 y π/2 . ¡xy ¢ x x > 0, y ≥ 0 x<0 x > 0, y < 0 9. DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y EN R3 . 137 Ejemplo 7.37. (a) Hallar las coordenadas polares del punto (6, 6). Tenemos que r= p x2 + y 2 = √ √ 62 + 62 = 6 2, θ = arctan(6/6) = arctan 1 = π/4. (b) Si un punto tiene coordenadas polares (8, 2π/3). ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas? Tenemos que x = r cos θ = 8 cos(2π/3) = −8/2 = −4, √ √ y = r sen θ = 8 sen(2π/3) = 8 3/2 = 4 3, Observación 7.38. Sea θo fijo. La gráfica de θ = θo está formada por los puntos de una semirrecta que forma un ángulo θo con la recta y = 0. Sea ro fijo. La gráfica de r = ro es una circunferencia con centro en el origen y radio ro . En coordenadas cartesianas este conjunto se escribe ası́: {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = ro2 }. Ejercicio 7.39. Considere el siguiente conjunto dado en coordenadas cartesianas {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}. Dibújelo. Indique en qué conjuntos varı́an las coordenadas polares r, θ. Ejercicio 7.40. Expresar en coordenadas polares r y θ, el triángulo limitado por las rectas y = x, y = −x, y = 1. 9.1. Coordenadas Cilı́ndricas. El punto (x, y, z) ∈ R3 tiene coordenadas cilı́ndricas (r, θ, z) si x = r cos θ, y = r sen θ, es decir, representamos la primera y la segunda coordenada en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. En general se toma r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π , z ∈ R. Además r 2 = x2 + y 2 , tan θ = y , x z = z. 138 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. Note que cos θ = x , r sen θ = y r Ejemplo 7.41. Si un punto tiene coordenadas cilı́ndricas (8, 2π/3, −3), ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas? Tenemos que x = r cos θ = 8 cos 2π/3 = −8/2 = −4, √ √ y = r sen θ = 8 sen 2π/3 = 8 3/2 = 4 3, z = −3. Observación 7.42. Sea zo fijo. El conjunto z = zo está formada por todos los puntos de un plano paralelo al plano xy. Sea θo fijo. El conjunto θ = θo está formada por todos los puntos de un semiplano que contiene al eje z y que forma un ángulo θo con el plano y = 0. En particular θ = 0 corresponde al plano xz. Sea ro fijo. El conjunto r = ro está formada por todos los puntos de un cilindro circular recto cuyo eje central es el eje z y que tiene radio r0 . Ejemplo 7.43. El conjunto dado en coordenadas cilı́ndricas por r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π], z ∈ [0, h] es un cilindro de radio 1 y altura h. En coordenadas cartesianas este conjunto se escribe ası́: {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h}. Ejemplo 7.44. Sea A el cono circular recto de radio R y altura h. En coordenadas cartesianas tenemos que A está dado por 0 ≤ z ≤ h, En coordenadas cilı́ndricas tenemos 0 ≤ z ≤ h, p x2 + y 2 ≤ z. 0 ≤ r ≤ z. Ejemplo 7.45. Sea B el sólido dado por x2 + y 2 ≤ 1, 0≤z≤ p x2 + y 2 . La representación de B en coordenadas cilı́ndricas es: r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π], z ∈ [0, r]. Dibuje el sólido B. 9. DISTINTOS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y EN R3 . 139 Coordenadas Esféricas. Recordemos que el punto (x, y, z) ∈ R3 tiene coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) si x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ. En general se toma ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. Además, ρ2 = x2 + y 2 + z 2 , tan θ = y , x z . cos ϕ = p x2 + y 2 + z 2 z ρ (x,y,z) ϕ y θ ρ senϕ x Figura 7.18. Coordenadas esféricas Note que: x , r z cos ϕ = , ρ cos θ = y sen θ = , r r sen ϕ = . ρ Observación 7.46. Sea ρ0 fijo. La gráfica de ρ = ρ0 es una esfera con centro en el origen y radio ρ0 . Sea θ0 fijo. La gráfica de θ = θ0 es un semiplano que contiene al eje z. Sea ϕ0 fijo. La gráfica de ϕ = ϕ0 es un cono con vértice en el origen y una abertura angular 2ϕ. Observación 7.47. (1) Si ρ es constante, las cantidades (ρ, θ, ϕ) forman un sistema de coordenadas en la superficie de una esfera. (2) La latitud y la longitud en la superficie de la tierra también forman un sistema de coordenadas. 140 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. (3) Si restringimos θ de modo que −π < θ < π, entonces se llama la longitud del punto en coordenadas esféricas. (4) ϕ se llama colatitud del punto y la latitud del punto es π/2 − ϕ. EJERCICIOS. GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. 141 Ejercicios. Geometrı́a plana y del espacio. (1) Representar gráficamente el conjunto de los puntos (x, y) del plano R2 que satisfacen las siguientes desigualdades. (a) |x| ≤ 1, (g) y > x2 y |x| < 2, (b) |x| ≤ 1 y |y| ≤ 1, (h) (2x − x2 − y 2 )(x2 + y 2 − x) > 0, (c) |x| < 1 y |y| < 1, (i) x < y < x2 , (d) |x| < 1 y |y| ≤ 1, (j) x2 + y 2 + 2x − 2y − 7 ≥ 0, (e) 3x2 + 2y 2 < 6, (k) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 ≤ 0, (f) |x − 3| < 1 y |y| < |, (l) 9x2 − 4y 2 > 36. (2) Identificar cada uno de los siguientes conjuntos de R3 . (a) Todos los puntos cuya distancia al plano yz es 5. (b) Todos los puntos cuya distancia al eje z es 4. (c) Todos los puntos cuya distancia al plano xy es 7. (d) Todos los puntos cuya distancias al plano xz y al plano yz son iguales. (e) Todos los puntos cuyas distancias a los puntos (1, 1, 1) y (1, −1, 1) son iguales. (3) Hallar las coordenadas (x, y) del vector (o vectores) ~v de R2 que cumplen: (a) k~v k = √ 2 y ~v forma un ángulo de 45◦ con el eje x. 142 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. (b) k~v k = 1 y ~v es perpendicular al vector (1, 0). (c) k~v k = (d) k~v k = √ 2 y ~v es paralelo a (−2, 2). √ √ 3 y ~v forma un ángulo de 30◦ con el vector ( 3, 1). (4) Calcular ~a × ~b, donde ~a = ~i − 2~j + ~k ~b = 2~i + ~j + ~k. (5) Calcular h~a, ~b × ~ci donde ~a, ~b son los vectores del ejercicio anterior y ~c = 3~i − ~j + 2~k. (6) Hallar el volumen del paralelepı́pedo con lados 2~i + ~j − ~k, 5~i − 3~k, ~i − 2~j + ~k. (7) Hallar el volumen del paralelepı́pedo con lados ~i, 3~j − ~k, 4~i + 2~j − ~k. (8) Describir todos los vectores unitarios que son ortogonales a los siguientes vectores. (a) ~i, ~j (b) −5~i + 9~j − 4~k, 7~i + 8~j + 9~k (c) −5~i + 9~j − 4~k, 7~i + 8~j + 9~k, ~0 (d) 2~i − 4~j − 3~k, −4~i + 8~j − 6~k (9) Sean ~u = ~i − 2~j + ~k y ~v = 2~i − ~j + 2~k. Calcular ~u + ~v , h~u, ~v i, k~uk, k~v k, ~u × ~v . EJERCICIOS. GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. 143 (10) Hallar una ecuación para el plano que (a) es perpendicular a ~v = (1, 1, 1) y pasa por (1, 0, 0); (b) es perpendicular a ~v = (1, 2, 3) y pasa por (1, 1, 1); (c) es perpendicular a la recta de ecuación l(t) = (5, 0, 2)t + (3, −1, 1) y pasa por (5, −1, 0); (d) es perpendicular a la recta de ecuación l(t) = (−1, −2, 3)t + (0, 7, 1) y pasa por (2, 4, −1); (e) pasa por el punto (1, 2, −3) y es perpendicular a la recta de ecuación l(t) = (0, −2, 1) + (1, −2, 3)t. (11) (a) Demostrar que (~u × ~v ) × w ~ = ~u × (~v × w), ~ si y sólo si, (~u × ~v ) × w ~ = ~0. (b) Demostrar que (~u ×~v )× w+(~ ~ v × w)×~ ~ u +(w×~ ~ u)×~v = ~0 (identidad de Jacobi ). (12) Los puntos siguientes están dados en coordenadas cilı́ndricas; expresar cada uno en coordenadas rectangulares y en coordenadas esféricas. (a) (1, 45◦ , 1), ´ ³ π (b) 2, , −4 , 2 (c) (0, 45◦ , 0), π ´ 3, , 4 , 6 ³ π ´ (e) 1, , 0 , 6 ¶ µ 3π (f) 2, , −2 . 4 (d) ³ (13) Cambiar los puntos siguientes de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas y a coordenadas cilı́ndricas. (a) (2, 1, −2), (b) (0, 3, 4), √ (c) ( 2, 1, 1), √ (d) (−2 3, −2, 3). 144 7. NOCIONES DE GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. (14) Describir el significado geométrico de las siguientes aplicaciones en coordenadas cilı́ndricas. (a) (r, θ, z) −→ (r, θ, −z) (b) (r, θ, z) −→ (r, θ + π, −z) ¢ ¡ (c) (r, θ, z) −→ −r, θ − π4 , z (15) Representar gráficamente la región del plano cuyas coordenadas polares satisfacen: (a) π ≤ θ ≤ π, 1 ≤ r ≤ 2 2 (b) r senθ ≤ 1, 3π π ≤θ≤ 4 4 (c) r ≤ 1, |θ| ≤ π 4 (d) r ≤ 4 cos θ, − π π ≤θ≤ 2 2 (16) Representar gráficamente el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 que satisfacen la ecuación x2 + 2x + y 2 − 6y + z 2 − 15 = 0. (17) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 4, 5) y es ortogonal al vector (1, 0, 0). (18) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (5, 2, 4) y es ortogonal al vector (1, 2, 3). (19) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 3, 0) y es paralelo al plano de ecuación x + 5y − 10z = 8. (20) Hallar la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio R en coordenadas cilı́ndricas. EJERCICIOS. GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO. 145 (21) Representar gráficamente cada uno de los siguientes subconjuntos de R3 y expresarlos en coordenadas cilı́ndricas. (a) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z}, (b) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z 2 }, (c) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 9}, (d) {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 9, −1 ≤ z ≤ 1}. (22) Opcional: Decir cuáles de los conjuntos que aparecen en el Ejercicio 1 son abiertos, cuáles son cerrados y hallar su frontera. CAPÍTULO 8 Curvas en el plano y en el espacio. Funciones de R en R2 y de R en R3 . Ejemplos y motivación: movimiento circular uniforme, parabólico, etc. Vector tangente a una curva en términos de las funciones coordenadas. Recta tangente a una curva en términos del vector tangente a dicha curva. Reparametrización y longitud de arco. Trayectoria y forma de la trayectoria de una partı́cula en movimiento. (Interpretar la reparametrización de una curva como una forma de movimiento a lo largo de esa curva). 1. Motivación. Descripción del movimiento de un proyectil, despreciando la resistencia del aire. Supongamos que se lanza un proyectil, con velocidad inicial 10 m/seg. y un ángulo de 45◦ . ¿Cómo describir el movimiento del proyectil? y proyectil vy fuerza de gravedad 45 o vx x Figura 8.1. Lanzamiento de un proyectil Tenemos que √ vx = 10 cos 45◦ = 5 2, √ vy = 10 sen 45◦ = 5 2. 147 148 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. Tomaremos g = −10 m/seg2 . Ası́ que tenemos que √ √ 1 y = yo + vy t + gt2 = 5 2t − 5t2 = 5t( 2 − t) 2 √ x = xo + vx t = 5 2t √ El proyectil vuelve a tocar tierra cuando t = 2, ya que y se anula cuando t = 0 y √ cuando t = 2. Queremos averiguar qué forma tiene la trayectoria y cuál es la altura máxima, ymax , que alcanza el proyectil. √ x Como x = 5 2t entonces t = √ , luego 5 2 √ x2 y = 5 2t − 5t2 = x − . 10 De donde sigue que la trayectoria del proyectil es una parábola. Para hallar la altura máxima resolvemos la ecuación x dy = 1 − = 0. dx 5 Tenemos que dy = 0 si y sólo si x = 5. De donde dx 25 ymax = 5 − = 2, 5. 10 Este ejemplo nos muestra que, para describir el movimiento de un proyectil, debemos considerar cada una de sus coordenadas como una función del tiempo. Es decir, tenemos un par de funciones x(t), y(t), tales que el proyectil se encuentra ubicado en el punto (x(t), y(t)) en el instante t. Esta es una de las razones por las que es muy natural considerar funciones a valores vectoriales. Sea D ⊂ R. Si tenemos un par de funciones g1 : D → R y g2 : D → R, podemos considerar el par (g1 (t), g2 (t)) y definir g(t) = (g1 (t), g2 (t)) para t ∈ R. Ası́ obtenemos una función g : D → R2 . Análogamente se definen funciones a valores en R3 . 2. CURVAS Y TRAYECTORIAS. 149 Sea D ⊂ R. Si tenemos g1 : D → R, g2 : D → R y g3 : D → R, podemos definir g : D → R3 mediante la fórmula g(t) = (g1 (t), g2 (t), g3 (t)). 2. Curvas y trayectorias. Con frecuencia se piensa en una curva como una lı́nea, de diferentes formas, trazada en el papel o en el espacio. Debe quedar claro que para describir el movimiento de una partı́cula esto es bastante impreciso. La definición precisa de curva y de trayectoria las daremos a continuación. Sea n = 2 ó n = 3. Sea I = [a, b] ⊂ R un intervalo. Definición 8.1. Una trayectoria es una función g : I → Rn . El concepto de trayectoria tiene una interpretación muy natural: Si queremos describir el movimiento de una partı́cula en el plano o en el espacio, debemos indicar en que posición se encuentra la partı́cula en cada instante. En otras palabras, a cada instante t, debemos asignarle un punto g(t) en el plano o en el espacio. Por lo tanto, podemos pensar en una trayectoria como una función que nos permite describir el movimiento de una partı́cula en el espacio n-dimensional. Definición 8.2. Una curva es la imagen de una trayectoria. Es decir, G ⊂ Rn es una curva si existe una trayectoria g : [a, b] → Rn tal que G = g([a, b]). Los puntos g(a) y g(b) se llaman los extremos de la trayectoria, g(a) es el extremo inicial y g(b) el extremo final. Si indicamos cual es la curva G, cual es su extremo inicial y cual es su extremo final, estamos indicando la dirección en que fue recorrida G. Por esto a la terna (g([a, b]), g(a), g(b)) se le suele llamar curva orientada. A la trayectoria g se le suele llamar parametrización de la curva G. También es usual considerar trayectorias cuyo dominio es toda la recta R. En este caso no tenemos punto inicial, ni punto final, pero sı́ un sentido de recorrido. Se dice que una curva G es cerrada cuando su extremo final coincide con su extremo inicial. 150 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. Ejemplo 8.3. (1) Sean p~, ~v ∈ Rn , g : R → Rn definida por g(t) = p~ + t~v . Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es la recta que pasa por p~ en la dirección de ~v . (2) Sean g : [0, 2π] → R2 definida por g(t) = (r cos t, r sen t). Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es una circunferencia de centro (0, 0) y radio r. (3) Dada f : R → R. Sea g : R → R2 dada por g(t) = (t, f (t)). Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es la gráfica de f . (4) Sea h : R → R3 dada por h(t) = (cos 2πt, sen 2πt, t). Entonces h es una trayectoria, la curva correspondiente es una hélice. z y x Figura 8.2. Hélice Es importante notar que dos trayectorias diferentes pueden dar origen a la misma curva. Podemos interpretar la existencia de dos trayectorias asociadas a la misma curva como dos formas diferentes de movimiento a lo largo de la curva dada. 4. VECTOR TANGENTE A UNA CURVA. 151 3. Lı́mites y continuidad de las trayectorias. Nuevamente sea I ⊂ R un intervalo y sea n = 2 ó 3. Definición 8.4. Sean to ∈ I, L ∈ Rn , g : I → Rn una trayectoria. Decimos que lim g(t) = L t→to si para cada ε > 0 existe δε > 0 tal que si 0 < |t − to | < δ entonces kg(t) − Lk < ε. Definición 8.5. Sean to ∈ I, g : I → Rn una trayectoria. Decimos que g es continua en to si lim g(t) = g(to ). t→to Sea g : I → Rn una función, entones g(t) = (g1 (t), . . . , gn (t)), donde gk : I → R. Las funciones gk se llaman funciones coordenadas y, en este caso, escribiremos g = (g1 , . . . , gn ). Proposición 8.6. Sean to ∈ I, L = (L1 , . . . , Ln ) ∈ Rn , g : I → Rn una trayectoria. (a) lim g(t) = L si y sólo si lim gk (t) = Lk para k = 1, . . . , n. t→to t→to (b) g es continua en to si y sólo si gk es continua en to para k = 1, . . . , n. 4. Vector tangente a una curva. Sea I un intervalo abierto de R. Definición 8.7. Sean to ∈ I, g : I → Rn una trayectoria. Decimos que g derivable en to si existe g(to + h) − g(to ) . h→0 h Decimos que g es derivable en I cuando g es derivable en todo punto de I. lim 152 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. Proposición 8.8. Sean to ∈ I, L = (L1 , . . . , Ln ) ∈ Rn , g : I → Rn una trayectoria. g es derivable en to si y sólo si gk es derivable en to para k = 1, . . . , n. En este caso, g ′ (t) = (g1′ (t), . . . , gn′ (t)). Esta última igualdad nos proporciona una manera de calcular derivadas de trayectorias. es Definición 8.9. Sea g : I → Rn una trayectoria derivable. El vector velocidad en g(t) g ′ (t) = (g1′ (t), . . . , gn′ (t)). Definición 8.10. Sea g : I → Rn una trayectoria derivable. La rapidez en g(t) es la longitud del vector velocidad, es decir ||g ′ (t)|| = p (g1′ (t))2 + · · · + (gn′ (t))2 . Ejemplo 8.11. Sea g(t) = ( g ′ (t) = ( (t, t) si t ≥ 0 (−t, t) si t < 0 Entonces (1, 1) si t > 0 (−1, 1) si t < 0 Notar que g ′ (t) no está definida para t = 0. Por lo tanto ||g ′ (t)|| = √ 2 t 6= 0. 4.1. Interpretación geométrica de la derivada. El vector derivada es paralelo a la recta tangente a la curva g en el punto g(to ). Esto se expresa diciendo que g ′ (t) es un vector tangente a la curva g en el punto g(t). A manera de ejercicio, justificar este hecho de manera geométrica. 4. VECTOR TANGENTE A UNA CURVA. 153 z g’(to) g(to) y x Figura 8.3. Vector tangente a una curva La ecuación de la tangente a la curva g en g(to ) en términos del vector tangente a dicha curva es: ~u = g(to ) + tg ′ (to ), donde ~u = (x, y) o ~u = (x, y, z), según n sea 2 ó 3. Ejemplo 8.12. Sean g : R → R2 definida por g(t) = (cos t, sen t). Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 1. Como ejercicio, verificar que el vector g ′ (t) es ortogonal a g(t), e interpretar geométricamente. Ejemplo 8.13. Sea g(t) = ( g ′ (t) = ( (t2 , t2 ) 2 2 si t ≥ 0 (−t , t ) si t < 0 Notar que la curva que corresponde con la trayectoria g es el gráfico de la función valor absoluto. Entonces ′ (2t, 2t) si t > 0 (−2t, 2t) si t < 0 ′ Notemos que g (0) está definido y g (0) = (0, 0). Tenemos que g ′ (t) es el vector tangente a la curva g en el punto g(t). Además √ √ kg ′ (t)k = 4t2 + 4t2 = 2 2t. 154 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. Observación 8.14. Puede ocurrir que una trayectoria g sea diferenciable y sin embargo la curva G = g(I) tenga “picos”. En ese caso no está definida una dirección tangente en el punto donde hay un “pico”. En la función del Ejemplo 8.13 tenemos que g ′ (0) = (0, 0). Sin embargo g tiene un pico en g(0) = (0, 0). Por supuesto, no está definida una dirección tangente en (0, 0). La interpretación fı́sica es la siguiente: Una partı́cula se mueve sobre la curva en dirección al origen, va disminuyendo su velocidad, se detiene en el origen y cambia la dirección del movimiento. Ejemplo 8.15. La cicloide es la trayectoria descrita por un punto moviéndose sobre una circunferencia que comienza a rodar, con velocidad constante. En el instante t el centro de la circunferencia está en el punto (t, 1). A manera de ejercicio, verificar que la siguiente trayectoria corresponde con una cicloide. g(t) = (t − sen t, 1 − cos t) = (t, 1) − (sen t, cos t). y 2π 4π x Figura 8.4. Cicloide La cicloide tiene un “pico” en el punto (2π, 0), sin embargo es derivable en ese punto. Observación 8.16. Para poder garantizar que una trayectoria diferenciable g no tenga “picos” es necesario pedirle g ′ (t) 6= 0 para todo t en el dominio de g. Definición 8.17. Se dice que una función es de clase C 1 cuando es diferenciable y su derivada es continua. 6. LONGITUD DE ARCO. 155 De ahora en adelante consideraremos trayectorias g, que son diferenciables y tales que su derivada es continua, es decir, son de clase C 1 . 5. Reparametrización. Ejemplo 8.18. Sean g : [0, 2π] → R2 definida por g(t) = (cos t, sen t) y consideremos la curva cerrada G = g([0, 2π]). Sea h : [−π, π] → R2 definida por h(t) = (− cos t, − sen t). Las dos trayectorias g y h dan origen a la misma curva, que es una circunferencia en el plano, con centro (0, 0) y radio 1. La trayectoria g recorre la circunferencia en sentido antihorario, comenzando en el punto (1, 0). La trayectoria h también recorre la circunferencia en sentido antihorario, también comenzando en el punto (1, 0). Note que si definimos α : [0, 2π] → [−π, π] por α(t) = t − π tenemos g = h ◦ α. En este caso se dice que h es una reparametrización de la curva G y que las trayectorias g y h son equivalentes. En general, si tenemos dos trayectorias g : [a, b] → Rn y h : [c, d] → Rn ,diremos que g y h son equivalentes si existe una función α : [a, b] → [c, d] tal que (i) α(a) = c, α(b) = d. (ii) α es derivable y α′ (t) > 0 para todo t ∈ [a, b]. (iii) g = h ◦ α, esto es g(t) = h(α(t)) para todo t ∈ [a, b]. En este caso se dice que h es una reparametrización de la curva g[a, b]. 6. Longitud de arco. Sea I = [a, b] ⊂ R un intervalo acotado y sea g : I → Rn una trayectoria. Supongamos que P = {to , t1 , . . . , tN } es una partición de I, entonces P da origen a una poligonal, que se obtiene uniendo los puntos g(to ), g(t1 ), . . . , g(tN ) en ese orden. La longitud de esta poligonal es N X k=1 kg(tk ) − g(tk−1 )k. 156 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. g(t4) g(t3) g(to) g(t2) g(t1) Figura 8.5. Poligonal Definición 8.19. Se dice que una trayectoria g : I → Rn es rectificable si sup P partición de I existe y es finito. N X kg(tk ) − g(tk−1 )k k=1 Diremos que la curva G es rectificable si existe una parametrización de G que es rectificable. Definición 8.20. Si g es una trayectoria rectificable, se define su longitud por l(g) = sup P partición de I N X k=1 kg(tk ) − g(tk−1 )k Vamos a considerar cierta clase muy especial de trayectorias: las trayectorias lisas. Sea g : [a, b] → Rn una trayectoria. Se dice que g es lisa si g es de clase C 1 . Es decir, cuando existe un intervalo abierto V , que contiene a [a, b] y una extensión de g a V que tiene derivada continua. Tenemos el siguiente resultado, que no vamos a demostrar. Sin embargo daremos una justificación intuitiva. Teorema 8.21. Sea g : [a, b] → Rn una trayectoria lisa. Entonces g es rectificable y l(g) = Zb a Justificación intuitiva. Sea g : [a, b] → R3 una trayectoria lisa. kg ′ (t)kdt. 6. LONGITUD DE ARCO. 157 Sea a = to < t1 < . . . < tN = b entonces p kg(tk ) − g(tk−1 )k = (g1 (tk ) − g1 (tk−1 ))2 + (g2 (tk ) − g2 (tk−1 ))2 + (g3 (tk ) − g3 (tk−1 ))2 . Por el teorema del valor medio tenemos que g1 (tk ) − g1 (tk−1 ) = g1′ (t1k )(tk − tk−1 ), g2 (tk ) − g2 (tk−1 ) = g2′ (t2k )(tk − tk−1 ), g3 (tk ) − g3 (tk−1 ) = g3′ (t3k )(tk − tk−1 ), donde t1k , t2k y t3k son puntos que se encuentran entre tk−1 y tk . Por lo tanto kg(tk ) − g(tk−1 )k = Luego N X k=1 µq (g1′ (t1k ))2 + (g2′ (t2k ))2 + (g3′ (t3k ))2 ¶ (tk − tk−1 ). ¶ N µq X ′ 1 2 ′ 2 2 ′ 3 2 kg(tk ) − g(tk−1 )k = (g1 (tk )) + (g2 (tk )) + (g3 (tk )) (tk − tk−1 ). k=1 Si hacemos tender N a +∞ y la separación entre los tk la hacemos cada vez más pequeña esta suma se parece a N X k=1 que a su vez tiende a kg ′ (tk )k (tk − tk−1 ), Z b a kg ′ (t)k dt. ¤ Observación 8.22. En la justificación anterior tenemos que Z a b ′ kg (t)k dt ≈ N X k=1 kg ′ (tk )k (tk − tk−1 ), siempre que N sea “grande” y la separación entre los tk “pequeña”. Esto es porque kg ′ (tk )k (tk − tk−1 ) aproxima muy bien a la longitud de un pedazo “pe- queño” de curva y al sumar aproximamos la longitud de la curva. 158 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. En Fı́sica y otras aplicaciones prácticas es usual pensar en kg ′ (t)k dt como la longitud de un parte muy pequeña de la curva, se le suele llamar elemento de longitud de arco y es usual hacer razonamientos y deducciones sobre estos elementos, que después se extienden a toda la curva a través de la integral. En el siguiente capı́tulo veremos un ejemplo, al estudiar trabajo mecánico. Definición 8.23. Diremos que una curva G es lisa si puede ser parametrizada por una trayectoria lisa. En este caso definimos la longitud de G como l(G) = l(g) donde g es una parametrización lisa de G. Se puede probar que la longitud de una curva es independiente de su parametrización. Ejemplo 8.24. La función g : [0, 2π] → R2 definida por g(t) = (R cos t, R sen t) es una parametrización de la circunferencia de radio R y su longitud es: Z 2π Z 2π ′ R dt = 2πR. kg (t)k dt = 0 0 Ejercicio 8.25. Demostrar que la longitud del gráfico de una función diferenciable, con derivada continua f : [a, b] → R es Z bp 1 + (f ′ (t))2 dt. a Indicación: considerar la parametrización g : [a, b] → R2 definida por g(t) = (t, f (t)). EJERCICIOS. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. 159 Ejercicios. Curvas en el plano y en el espacio. (1) Sea g(t) = µ sen t t , [t], t 3 ¶ . (a) Halle el dominio de g. (b) Determine cuáles de los siguientes lı́mites existen lim g(t), t→o+ lim g(t), t→o− lim g(t). t→o (c) Indique los puntos de continuidad de g. (d) Indique los puntos de discontinuidad de g. (2) Demostrar que si g : R → R3 si está definida por g(t) = (c1 , c2 , c3 ), donde c1 , c2 , c3 ∈ R, entonces g ′ (t) = (0, 0, 0). Interpretar desde el punto de vista fı́sico. (3) Sea n = 2 ó n = 3. Sea I un intervalo abierto y sean f : I → Rn y g : I → Rn funciones diferenciables. Demuestre que (a) Si λ ∈ R y g es derivable en t, entonces λg es derivable en t y (λg)′ (t) = λg ′ (t). 160 8. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. (b) Si f y g son derivables en t entonces f + g es derivable en t. Además (f + g)′ (t) = f ′ (t) + g ′ (t). (c) Si f y g son derivables en t entonces hf, gi es derivable en t. Además hf, gi′ (t) = hf ′ (t), g(t)i + hf (t), g ′ (t)i. (d) Si f y g son derivables en t entonces hf, gi es derivable en t. Además (f × g)′ (t) = (f ′ (t) × g(t)) + (f (t) × g ′ (t)). (e) Si g es derivable en t entonces d hg(t), g ′ (t)i kg(t)k = . dt kg(t)k (f) Si kg(t)k es constante entonces g(t) es perpendicular a g ′ (t). (4) Hallar una parametrización de la elipse x2 y 2 + = 1, 9 16 recorrida en sentido anti-horario. (5) Hallar la rapidez de la trayectoria g : R → R2 dada por g(t) = (R cos ωt, R sen ωt), (R y ω son constantes). Encontrar una reparametrización que tenga rapidez 1. (6) Hallar la rapidez de la trayectoria g : R → R3 dada por g(t) = (R cos ωt, R sen ωt, bt), (R, ω y b son constantes). Encontrar una reparametrización que tenga rapidez 1. (7) Parametrizar el segmento de recta que une los puntos (1, 3) y (4, 5) EJERCICIOS. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. 161 (8) Hallar la longitud de cada una de las siguientes curvas. (a) y = 1 2 1 x − ln x, 2 2 (b) y = 2 x3/2 , (c) y = √ 0 ≤ x ≤ 2. 36 − x2 , (d) y = x2 , 1 ≤ x ≤ 2. 0 ≤ x ≤ 4. 0 ≤ x ≤ 2. (e) x = 3t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ π. (9) Una partı́cula se mueve en el plano, de manera que en el instante t se encuentra ubicada en el punto µ 4t t2 − 4 , t2 + 4 t2 + 4 ¶ . Demostrar que la partı́cula se mueve en una circunferencia con centro en el origen. (10) Sea g : R → R2 la trayectoria definida por g(t) = (et , t). (a) Representar gráficamente la curva g. (b) Representar gráficamente los vectores tangentes g ′ (0) y g ′ (1). (11) Representar gráficamente la curva asociada a la trayectoria (x, y) = (t4 , t8 ). Verificar que esta parametrización no define un vector tangente en el origen. ¿Será posible encontrar otra parametrización que sı́ defina un vector tangente en el origen? CAPÍTULO 9 Integrales de lı́nea. Integrales de lı́nea. Interpretación como trabajo mecánico. 1. Definición y ejemplos de integrales de lı́nea. Un campo vectorial es una función de Rn en Rm . Si F : Rn → Rm es un campo vectorial, entonces F = (F1 , . . . , Fm ), donde Fk : Rn → R. Por ejemplo F (x, y) = (x2 , sen(x + y)) es un campo vectorial de R2 en R2 . Definición 9.1. Sea F : Rn → Rn un campo vectorial y G una curva lisa orientada. La integral de lı́nea de F a lo largo de G es Z F1 dx1 + · · · + Fn dxn = Zb ( F1 (g(t)) g1′ (t) + · · · + Fn (g(t)) gn′ (t) ) dt. a G donde g : [a, b] → Rn es una parametrización de G y F1 , . . . , Fn son las funciones coordenadas de F . La integral de lı́nea mide el comportamiento de F a lo largo de G. Observación 9.2. En el caso n = 2 es usual utilizar (x, y) en vez de (x1 , x2 ), ası́ que, para n = 2 se suele escribir Z F1 dx + F2 dy = Zb ( F1 (g(t)) g1′ (t) + F2 (g(t)) g2′ (t) ) dt. a G Análogamente, para n = 3 se suele escribir Z G F1 dx + F2 dy + F3 dz = Zb ( F1 (g(t)) g1′ (t) + F2 (g(t)) g2′ (t) + F3 (g(t)) g3′ (t) ) dt. a 163 164 9. INTEGRALES DE LÍNEA. Ejemplo 9.3. Calcular Z (x2 + y) dx + y 2 dy + z 2 dz, G donde g(t) = (t, t2 , t3 ) para 0 ≤ t ≤ 1 y G = g[0, 1] Sea F (x, y, z) = (x2 + y, y 2 , z 2 ), entonces Z Z 2 2 2 (x + y) dx + y dy + z dz = F1 dx + F2 dy + F3 dz G G = Z 1 0 = Z 1 ¡ F1 (t, t2 , t3 ) · 1 + F2 (t, t2 , t3 ) 2t + F3 (t, t2 , t3 ) 3t2 (t2 + t2 + t4 2 t + t6 3 t2 ) dt ¢ dt 0 = Z 0 1 4 (2t2 + 2t5 + 3t8 ) dt = . 3 Es importante notar que, para calcular la integral de lı́nea, formalmente consideramos x = g1 (t), y = g2 (t), z = g3 (t). Ası́ Fk (x, y, z) = Fk (g(t)) = Fk (g1 (t), g2 (t), g3 (t)) y dx = g1′ (t) dt, dy = g2′ (t) dt, dz = g3′ (t) dt. 1.1. Independencia de la Trayectoria. Tenemos que la integral de lı́nea sobre una curva orientada G es independiente de la trayectoria, más precisamente. Sean g : [a, b] → R3 una trayectoria lisa y sea h : [c, d] → R3 una reparametrización de g. Sea F : Rn → Rn un campo vectorial, entonces Zb (F1 (g(t)) g1′ (t) + ... + Fn (g(t)) gn′ (t)) a dt = Zd (F1 (h(t)) h′1 (u) + . . . + Fn (h(u)) h′n (u)) du. c Ejemplo 9.4. Sea F (x, y) = (x, −y) y G el segmento de la circunferencia de centro ~0 y radio 1 que está en el primer cuadrante, orientado en sentido antihorario. Calcular Z F1 dx + F2 dy. G 1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE INTEGRALES DE LÍNEA. 165 Sea g(t) = (cos t, sen t) para 0 ≤ t ≤ π/2, ası́ G = g[0, π/2] . Luego Z Z π/2 ( F1 (cos t, sen t) (− sen t) + F2 (cos t, sen t) cos t ) dt F1 dx + F2 dy = 0 G = Z π/2 (cos t (− sen t) − sen t cos t) dt 0 =− Z π/2 sen(2t) dt a ¯π/2 cos(2t) ¯¯ = −1. = 2 ¯0 Ejemplo 9.5. Sea G la curva dada por g(t) = (t, t2 , t) para 0 ≤ t ≤ 1. Calcular la integral de lı́nea del campo vectorial F (x, y, z) = (x2 , y 2 + 2, xz + y − 1) sobre la trayectoria g. Lo que debemos calcular es Z x2 dx + (y 2 + 2) dy + (xz + y − 1) dz. G Tenemos que Z 1 x dx + (y + 2) dy + (xz + y − 1) dz = Z 1 = Z 2 2 G 0 = 0 ¢ F1 (t, t2 , t) + F2 (t, t2 , t) 2t + F3 (t, t2 , t) dt (t2 + (t4 + 2) 2 t + (t t + t2 − 1)) dt 0 Z ¡ 1 7 (2t5 + 3t2 + 4t − 1) dt = . 3 Ejemplo 9.6. Sea G la curva dada por g(t) = (t, −t, t2 , −t2 ) para 0 ≤ t ≤ 1. Calcular Z (x − y) dx + (y − z) dy + (z − w) dz + (w − x) dw. G 166 9. INTEGRALES DE LÍNEA. Tenemos que Z (x − y) dx + (y − z) dy + (z − w) dz + (w − x) dw = G = Z 1 [2t − (−t − t2 ) + 2t2 2t − (−t2 − t)2t] dt = · · · = 4. 0 Otra notación para las integrales de lı́nea. Es usual denotar la integral de lı́nea del campo vectorial F a lo largo de la curva G por Z F · d~x. G Esta notación se justifica por el siguiente formalismo: (a) ~u · ~v es otra notación para h~u, ~v i, (b) ~x = (x, y, z), de manera que d~x = (dx, dy, dz), (c) como F = (F1 , F2 , F3 ), tenemos que F · d~x = (F1 , F2 , F3 ) · (dx, dy, dz) = h(F1 , F2 , F3 ), (dx, dy, dz)i = F1 dx + F2 dy + F3 dz. Cambio de orientación en una curva. Si G es una curva orientada, por −G denotaremos la misma curva orientada en sentido contrario. Tenemos el siguiente resultado. Proposición 9.7. Sea G una curva lisa entonces Z Z F · d~x = − F · d~x. −G G 2. Interpretación como trabajo mecánico. A continuación veremos la interpretación fı́sica de la integral de lı́nea. Notemos primero que Z G F · d~x = Z a b ′ hF (g(t)), g (t)i dt = si la curva G corresponde con la trayectoria g. Z a b hF (g(t)), g ′ (t) ikg ′ (t)k dt ′ kg (t)k 3. LECTURA ADICIONAL: INTEGRALES DE LÍNEA SOBRE CURVAS LISAS A TROZOS. 167 Consideremos una partı́cula que se mueve a lo largo de la trayectoria g y que está sometida a un campo de fuerzas F . Recordemos que, en movimiento unidimensional y cuando la fuerza es constante, el trabajo es igual al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, es decir, el trabajo es el producto de la longitud de la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento, multiplicado por la longitud del desplazamiento. Cuando consideramos un elemento de longitud de arco, como el desplazamiento es tan pequeño, podemos aproximar el movimiento por un movimiento unidimensional en la dirección g ′ (t) de la tangente a la curva, que es ′ . kg (t)k Tenemos que hF (g(t)), g ′ (t) i kg ′ (t)k es la proyección del vector F (g(t)) (la fuerza), en la dirección de g ′ (t) (que es la dirección del desplazamiento), kg ′ (t)kdt es el elemento de longitud de arco. Por lo tanto, el trabajo realizado al mover la partı́cula a lo largo del elemento de longitud de arco es g ′ (t) ikg ′ (t)k dt. kg ′ (t)k Para obtener el trabajo total debemos “sumar” los trabajos correspondientes a cada uno hF (g(t)), de los elementos de longitud de arco, para esto integramos y obtenemos que la integral de lı́nea es el trabajo realizado al mover una partı́cula a lo largo de la trayectoria g, que está sometida al campo de fuerzas F . 3. Lectura adicional: Integrales de lı́nea sobre curvas lisas a trozos. Definición 9.8. Sea g : [a, b] → Rn una trayectoria. Diremos que g es lisa a trozos si g es continua y si existe una partición P = {to , . . . , tN } de [a, b] tal que, para i = 1, . . . , N , g|[ti−1 ,ti ] 168 9. INTEGRALES DE LÍNEA. es una trayectoria lisa Se dice que una curva G es lisa a trozos si puede ser parametrizada por una trayectoria lisa a trozos. Figura 9.1. Curva lisa a trozos En este caso G = G1 ∪ · · · ∪ GN , donde cada Gi es una curva lisa y la integral de lı́nea de F sobre G se define de la siguiente manera Z G F · d~x = Z G1 F · d~x + · · · + Z GN F · d~x. EJERCICIOS. INTEGRALES DE LÍNEA. 169 Ejercicios. Integrales de lı́nea. (1) En los siguientes casos, calcular Z −y dx + x dy Z y C x dx + y dy. C (a) C es la circunferencia con centro (0, 0) y radio 5, recorrida en sentido antihorario. (b) C es la circunferencia con centro (0, 0) y radio 5, recorrida en sentido horario. (c) C es el segmento que une a (0, 1) con (3, 5). (d) C es el cuadrado con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) recorrido en sentido antihorario. (e) C es la elipse x2 y 2 + = 1, recorrida en sentido horario. 4 25 (2) Una partı́cula se mueve a lo largo de la trayectoria x = t + 1, y = 2t2 + t + 3, z = 2t, 0 ≤ t ≤ 5, sometida al campo de fuerzas F (x, y, z) = (x + y, 3y, 2z). Hallar el trabajo realizado. (3) Calcular las siguientes integrales de lı́nea: (a) Z L (b) Z P (c) Z G x dx + x dy + y dz, donde L está dada por g(t) = (t, t, t) para 2 ≤ t ≤ 1. (x + y) dx + dy, donde P está dada por g(t) = (t, t2 ) para 1 ≤ t ≤ 3. ex dx + z dy + sen z dz, donde G es (x, y, z) = (t, t2 , t6 ) para 0 ≤ t ≤ 1. Parte 4 Álgebra Lineal. CAPÍTULO 10 Matrices y Sistemas lineales. Matrices. Producto de matrices. Inversa de una matriz. Autovectores y autovalores. Determinantes 2 × 2 y 3 × 3. Diagonalización de matrices. Sistemas de Ecuaciones Lineales. 1. Matrices. 1.1. Matrices m × n. Una matriz m × n es un arreglo rectangular de m.n números dispuestos en m filas y n columnas  a11  . . A=  . am1 ··· .. .. .. ... ···  a1n ..  .   amn La igualdad anterior la abreviaremos mediante A = (aij ). Los números de este arreglo se denotan mediante aij donde i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Aclaratoria: una matriz es una función de {1, . . . , m} × {1, . . . , n} en R, la imagen de (i,j) se denota mediante aij . Tenemos: j  a11  .  ..   i  ai1  .  ..  am1 ··· .. .. .. ... a1j .. . ··· .. .. .. ... ··· .. .. .. ... aij .. . ··· .. .. .. ... ··· amj ···  a1n ..  .    ain  ..  .   amn Dos matrices A y B son iguales si son del mismo tamaño y sus componentes correspondientes son iguales. Es decir, A = B cuando aij = bij para todo i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. 173 174 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. El arreglo se denomina la fila i o el renglón i. i h ai1 · · · ain El arreglo  a1j  .   ..    amj  se denomina la columna j. Casos particulares: Un vector fila (o vector renglón ) es una matriz de la forma h i a11 · · · a1n Un vector columna es una matriz de la forma   a11  .   ..    am1 Por ejemplo: Un vector fila 1 × 3 es una matriz 1 × 3: i h a11 a12 a13 y un vector columna 3 × 1 es una matriz 3 × 1:   a11   a21  a31 La matriz que tiene todas sus componentes iguales a cero, se denomina matriz nula . Por ejemplo, la matriz nula 3 × 2 es:   0 0   0 0 0 0 1. MATRICES. y la matriz nula 4 × 4 es:  0  0  0  0 175  0 0 0  0 0 0  0 0 0  0 0 0 Una matriz cuadrada es una matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas (m = n). Veamos primero las matrices cuadradas: 1 × 1, 2 × 2 y 3 × 3 respectivamente: h i a11 " Ejemplo 10.1. a11 a12 a21 a22   a11 a12 a13   a21 a22 a23  a31 a32 a33 (1) " (2)  5  −4 " 6 # 8 −3 6 7 Las matrices 2 × 3 y 3 × 2 son: # 1/3 π 1 0   0 1 a11 a12 a13 a21 a22 a23   a11 a12   a21 a22  a31 a32 # 176 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Ejemplo 10.2. (1) " # 3 −1 1/2 √ 2 0 6 (2)  1/5     π  √ 2 2 1.2. Suma de matrices. La suma de matrices se realiza sumando componente a componente. Si A = (aij ) y B = (bij ) son dos matrices m × n entonces la suma de A y B es una matriz m × n dada por A + B = (aij + bij ) es decir  a11  .  ..  am1 ··· .. .. .. ... ···   a1n b11   ..   .. . + . amn bm1 ··· .. .. .. ... ···   b1n a11 + b11   ..   .. . = . bmn am1 + bm1 ··· .. .. .. ... ···  a1n + b1n  ..  .  amn + bmn Ejemplo 10.3. " # " # " # 3 −1 1/2 2 1 1/2 5 0 1 √ √ √ + = 6 2 0 2 4 0 6 2 2 4 1.3. Producto de una matriz por un escalar. El producto de una matriz por un escalar se realiza multiplicando el escalar por cada componente. Si λ ∈ R y A = (aij ) es una matriz m × n entonces λA = (λaij ) es decir  a11  .  λ  .. am1 ··· .. .. .. ...   λa11 a1n  . ..    .  =  .. · · · amn λam1 ··· .. .. .. ...  λa1n ..  .   · · · λamn 1. MATRICES. Ejemplo 10.4. 177 " # " # 3 −1 1/2 12 −4 2 √ √ 4 = 6 2 0 24 4 2 0 Proposición 10.5. Si A y B son matrices m × n entonces −A = (−1)A, A − B = A + (−1)B. Ejemplo 10.6. Si A= " entonces −A = # 3 −1 2 " 0 −3 1 −2 0 # 1.4. Producto de matrices. El producto de matrices producto de matrices se realiza multiplicando filas por columnas. Más precisamente, fijemos una fila en la primera matriz y una columna en la segunda matriz. Se multiplican las entradas de la fila de la primera matriz por las entradas de la columna de la segunda matriz, luego se suman. El valor obtenido se coloca en la entrada de la matriz producto correspondiente a esa fila y esa columna. Sea A = (aij ) una matriz m × n y B = (bij ) una matriz n × p. Entonces el producto de A y B es una matriz C = (cij ) de tamaño m × p donde cij = n X aik bkj . k=1 Note que para poder hacer esto: el número de entradas de una fila en la primera matriz debe ser igual al número de entradas de una columna de la segunda matriz. Esto lo podemos decir más fácilmente: el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. El producto de una matriz 1 × n por una matriz n × 1 da una matriz 1 × 1. Además el valor que aparece en la única entrada de esta matriz producto es básicamente el producto escalar del vector fila por el vector columna correspondientes. Observe los siguientes casos: (1) Una matriz 1 × 1 por una matriz 1 × 1 da una matriz 1 × 1. h ih i h i a11 b11 = a11 b11 178 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. (2) Una matriz 1 × 2 por una matriz 2 × 1 da una matriz 1 × 1. " # h i b h i 11 = a11 b11 + a12 b21 a11 a12 b21 (3) Una matriz 1 × 3 por una matriz 3 × 1 da una matriz 1 × 1.   h i b11 h i   a11 a12 a13 b21  = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 b31 Ejemplo 10.7.   h i 8 h i h i   3 2 −1 3 = 3 · 8 + 2 · 3 + (−1)5 = 25 5 Ejemplo 10.8. Producto de un vector demanda y un vector de precios. Suponga que un fabricante produce cuatro artı́culos. Su demanda está dada por el vector de demanda h i d = 30 20 40 10 (una matriz 1 × 4). El precio por unidad que recibe el fabricante por los artı́culos está dado por el vector de precios   2000Bs   1500Bs   p=  1800Bs 4000Bs (una matriz 4 × 1). Si se cumple la demanda, ¿cuánto dinero recibirá el fabricante? Solución: La demanda del primer artı́culo es 30 y el fabricante recibe 2000 Bs por cada artı́culo vendido. Entonces recibe 60000 Bs de las ventas del primer artı́culo. Si se sigue este razonamiento, se ve que la cantidad total de bolı́vares que recibe es 30 · 2000 + 20 · 1500 + 40 · 1800 + 10 · 4000 = 202000 Este resultado se puede escribir como   2000  h i 1500  30 20 40 10  1800 = 202000.   4000 Es decir, se multiplicó un vector fila por un vector columna y se obtuvo un escalar. 1. MATRICES. 179 Una matriz n × n por una matriz n × n da una matriz n × n. Tal como se indica en los siguientes casos: (1) Una matriz 2 × 2 por una matriz 2 × 2 da una matriz 2 × 2. " #" # " # a11 a12 b11 b12 a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 = a21 a22 b21 b22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 (2) Una matriz 3 × 3 por una matriz 3 × 3 da una matriz 3 × 3.    b11 b12 b13 a11 a12 a13    a21 a22 a23  b21 b22 b23  = b31 b32 b33 a31 a32 a33   a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33   = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33  a31 b11 + a32 b21 + a33 b31 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33 Ejemplo 10.9. Dadas  2  A= 2 1 1   4 −1 −1 −2 Tenemos que 3   1   B= 1 1 1 −1 −1 1 1 0   2 0 4     AB =  2 + 3 − 4 0 + 3 − 4 2 + 3 + 4  = 1 −1 9  0 1 −4 −1 − 1 + 2 0 − 1 + 2 −1 − 1 − 2  2+1−1 0+1−1 2+1+1  Le sugerimos al estudiante que analice los productos generales, para matrices m × n con n, m ≤ 3 que damos a continuación (1) Una matriz 2 × 1 por una matriz 1 × 2 da una matriz 2 × 2. # " " # i a11 b11 a11 b12 a11 h b11 b12 = a21 b11 a21 b12 a21 (2) Una matriz 3 × 1 por una matriz 1 × 3 da una matriz 3 × 3.     a11 b11 a11 b12 a11 b13 a11 h i     a21  b11 b12 b13 = a21 b11 a21 b12 a21 b13  a31 a31 b11 a31 b12 a31 b13 180 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. (3) Una matriz 3 × 2 por una matriz 2 × 3 da una matriz 3 × 3.     # a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 a11 b13 + a12 b23 a11 a12 "     b11 b12 b13 = a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 a21 b13 + a22 b23  a21 a22  b21 b22 b23 a31 b11 + a32 b21 a31 b12 + a32 b22 a31 b13 + a32 b23 a31 a32 (4) Una matriz 2 × 3 por una matriz 3 × 2 da una matriz 2 × 2.   " # " # b11 b12 a b + a b + a b a b + a b + a b a11 a12 a13  11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32  b21 b22  = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a21 a22 a23 b31 b32 Ejemplo 10.10.       8·3 8·2 8 · (−1) 24 16 −8 8 h i       π·2 π · (−1)  =  3π 2π −π   π  3 2 −1 =  π · 3 √ √ √ √ √ √ √ 3 5 2 5 − 5 5 5·3 5·2 5 · (−1) Ejemplo 10.11.   " # " " √ # −2 0 √ √ √ # √ 6 2 2  6·0+2·0+ 2·1 −10 + 2 2 6 · (−2) + 2 · 1 + 2  =  1 0 = 1 e −4 1 · (−2) + e · 1 + (−4) · 1 1 · 0 + e · 0 + (−4) · 1 −6 + e −4 1 1 Con el siguiente ejemplo se puede observar claramente que el producto de matrices no es conmutativo. Ejemplo 10.12. (1) " #" # 3 1 1 −1 5 2 2 0 = " # 3 · 1 + 1 · 2 3 · (−1) + 1 · 0 5 · 1 + 2 · 2 5 · (−1) + 2 · 0 = " # 5 −3 9 −5 (2) " #" # 1 −1 3 1 2 0 5 2 = " # 1 · 3 + (−1) · 5 1 · 1 + (−1) · 2 2·3+0·5 2·1+0·2 Sin embargo el producto de matrices sı́ es asociativo, es decir: = " # −2 −1 6 2 1. MATRICES. 181 Proposición 10.13. Sean A una matriz m × n, B una matriz n × p y C una matriz p × q entonces A(BC) = (AB)C y esta matriz es m × q. Con el siguiente ejemplo veremos una aplicación en la que aparecen matrices mas grandes que las dadas en los ejemplos anteriores. Ejemplo 10.14. Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa. En este ejemplo se muestra cómo se puede usar la multiplicación de matrices para modelar la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa. Suponga que cuatro individuos han contraı́do esta enfermedad. Este grupo hace contacto con seis personas de un segundo grupo. Estos contactos, llamados contactos directos, se pueden representar por una matriz 4 × 6. La matriz de contacto directo entre el  0  1 A= 0  1 primer y el segundo grupo es:  1 0 0 1 0  0 0 1 0 1  0 0 1 1 0  0 0 0 0 1 En este caso se hace aij = 1 si la i-ésima persona del primer grupo hace contacto con la j-ésima persona del segundo grupo. Por ejemplo, el a24 = 1 significa que la segunda del primer grupo (infectada) hizo contacto con la cuarta persona del segundo grupo. Ahora suponga que un tercer grupo de cinco personas tiene varios contactos directos con individuos del segundo grupo. Esto también se puede representar por una matriz. La matriz de contacto directo entre el segundo y  0 0 1 0  0 0 0 1  0 1 0 0  B= 1 0 0 0  0 0 0 1  el tercer grupo es:  1  0  0   1  0  0 0 1 0 0 Observe que b64 = 0, quiere decir que la sexta persona del segundo grupo no tiene contacto con la cuarta persona del tercer grupo. Los contactos indirectos entre los individuos del primero y tercer grupos se representan por la matriz C = AB. 182 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Observe que una persona del tercer grupo puede quedar contagiada por alguien del segundo grupo, quien a su vez fue contagiado por alguien del primer grupo. Por ejemplo, como a24 = 1 y b45 = 1, se ve que, indirectamente la quinta persona del tercer grupo tuvo contacto (a través de la cuarta persona del segundo grupo) con la segunda persona del primer grupo. El número total de contactos indirectos entre la segunda persona en el primer grupo y la quinta persona del tercer grupo está dado por c25 = a21 b15 + a22 b25 + a23 b35 + a24 b45 + a25 b55 + a26 b65 = 2. La matriz de contacto indirecto entre el primer y  0 0 0  1 0 2 C = AB =  1 0 0  0 0 2 el tercer grupo es:  2 0  0 2  1 1  0 1 Observe que sólo la segunda persona en el tercer grupo no tiene contactos indirectos con la enfermedad. La quinta persona de este grupo tiene 2 + 1 + 1 = 4 contactos indirectos. 1.5. Matrices diagonales. La matriz identidad. En esta sección consideraremos solamente matrices cuadradas. Entre los tipos sencillos de matrices están las diagonales. Decimos que una matriz A = (aij ) es diagonal cuando todos los elementos son cero excepto los de la diagonal que va desde el vértice superior izquierdo al inferior derecho. Es decir, cuando aij = 0 para todo i 6= j. Esto es:  a11 0 · · ·   0 a22 · · · A= .. . .  .. . .  . 0 Ejemplo 10.15. 0  7 0  0 π ··· 0 0 0 .. . ann         0  √ 3 0 0 Entre las matrices diagonales hay unas más sencillas, que son las que tienen 1 en todas las componentes de la diagonal principal. Observemos que para matrices 2 × 2: #" " # a11 a12 1 0 a21 a22 0 1 = " a11 a12 a21 a22 # 1. MATRICES. " #" # 1 0 a11 a12 0 1 a21 a22 = " 183 a11 a12 a21 a22 # Análogamente para matrices 3 × 3 tenemos:      a11 a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13      a21 a22 a23  0 1 0 = a21 a22 a23  a31 a32 a33 0 0 1 a31 a32 a33      1 0 0 a11 a12 a13 a11 a12 a13      0 1 0 a21 a22 a23  = a21 a22 a23  0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33 A continuación definimos la matriz identidad . Ella puede ser de diferentes tamaños, pero siempre es una matriz cuadrada. Para matrices 1 × 1 la matriz identidad es: h i I1 = I = 1 Para matrices 2 × 2 la matriz identidad es: I2 = I = " # 1 0 0 1 Para matrices 3 × 3 la matriz identidad es:   1 0 0   I3 = I = 0 1 0 0 0 1 1.6. Inversa de una matriz. En esta sección consideraremos solamente matrices cuadradas. Dada una matriz cuadrada A de tamaño n × n, su inversa es una matriz cuadrada B tal que AB = BA = I, donde I es la matriz identidad n × n. A esta matriz B la llamaremos A−1 , es decir, A−1 = B donde AB = BA = I. De donde AA−1 = A−1 A = I. Ejemplo 10.16. Sean   2 4 0   A = 0 2 1 3 0 2  4/20  B =  3/20 −8/20 4/20   −2/20 −6/20 12/20 4/20 4/20 184 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Demuestre que AB = BA = I3 . Se sigue que  4/20 −8/20 4/20   4 −8 4  1    4 −2 −2/20 = 3 20 −6 12 4 −6/20 12/20 4/20  A−1 =  3/20 4/20 Es importante observar que si A es una matriz 2 × 2 dada por " # a b A= c d su inversa es la matriz dada por A−1 esta matriz se abrevia mediante   −b ad − bc    a  ad − bc d  ad − bc  =  −c ad − bc A−1 = " d 1 ad − bc −c −b a # Ejercicio 10.17. Verifique que (1) (2)   −b " # ad − bc  1 0  = 0 1 a  ad − bc d  ad − bc    −c ad − bc  −b " # " # ad − bc  1 0  a b =  0 1 a  c d ad − bc d " # a b   ad − bc  c d  −c ad − bc  Proposición 10.18. Sean A y B matrices n × n, invertibles. Entonces la matriz AB es invertible y (AB)−1 = B −1 A−1 . 1. MATRICES. 185 1.7. Reducción y diagonalización de matrices. Vamos a introducir un método que nos permitirá resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método es muy útil cuando hay muchas ecuaciones y muchas incógnitas. Comenzamos analizando si una matriz cumple las siguientes condiciones: (i) Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz. (ii) El primer número diferente de cero (a partir de la izquierda) en cualquier fila, que no contiene sólo ceros, es 1. (iii) Si dos filas sucesivas no contienen solamente ceros, entonces el primer 1 en la fila inferior ocurre más a la derecha que el primer 1 en el renglón superior. (iv) Cualquier columna que contenga el primer 1 de un renglón tiene ceros en las demás posiciones. Una matriz es escalonada por filas si satisface (i), (ii) y (iii). Una matriz es escalonada reducida si satisface (i), (ii), (iii) y (iv). El primer número diferente de cero (si lo hay) se llama pivote de esa fila. Operaciones elementales con filas: • Multiplicar (o dividir) una fila por un número diferente de cero. • Sumar un múltiplo de una fila a otra fila. • Intercambiar dos filas. Notación: para c 6= 0 tenemos que • Ri → cRi significa “sustituye la i-ésima fila por esa misma fila multiplicada por c”. • Ri → Ri + cRj significa “sustituye la i-ésima fila por la suma de la fila i más la fila j multiplicada por c”. • Ri ↔ Rj significa “intercambia las filas i y j”. El proceso de aplicar estas operaciones elementales con filas para simplificar una matriz se llama reducción por filas. Principales métodos de reducción por filas de matrices: • Método de Gauss: permite llevar una matriz a una matriz escalonada por filas, usando las operaciones elementales con filas. • Método de Gauss-Jordan: permite llevar una matriz a una matriz escalonada reducida, usando las operaciones elementales con filas. Técnica de cálculo en el método de Gauss: 186 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. • El primer paso es obtener un 1 en el vértice superior izquierdo de la matriz. • El paso siguiente es convertir todos los elementos restantes de la primera columna en ceros, dejando el primero intacto. • A continuación se repite el proceso para la matriz que se obtiene si se eliminan la primera fila y la primera columna. Ejemplo 10.19. Usamos el método de Gauss para obtener la matriz escalonada por filas. " # " # " # 3 6 12 1 2 4 1 2 4 1 R1 → R1 R2 → R2 − 5R1 3−→ 5 11 23 −−−−−−−−−−−→ 0 1 3 5 11 23 −−−−−− Si queremos obtener la matriz escalonada reducida debemos continuar el procedimiento: " # " # 1 0 −2 1 2 4 R1 → R1 − 2R2 0 1 3 −−−−−−−−−−−→ 0 1 3 Técnica de cálculo en el método de Gauss-Jordan: • Se aplica el método de Gauss para obtener una matriz escalonada por filas. • Se convierten en ceros todos los elementos por encima de la diagonal de unos. Siguiendo este orden: a12 , a13 , a23 , a14 , etc. Ejemplo 10.20. Usamos el método de Gauss-Jordan para obtener la matriz escalonada reducida.    1 3 2 | 25 1    1 4 1 | 20R2 → R2 − R1 0 −−−−−−−−−−→ 2 5 5 | 55 2  1  R → R − 2R 0 −−3−−−−−3−−−−→1 0  1  R → R − 3R 0 −−1−−−−−1−−−−→2 0  1  R → R + 3R 0 −−3−−−−−3−−−−→2 0 3 2 | 25   1 −1 | −5 5 5 | 55 3 2 | 25   −1 | −5 −1 1 | 5  0 5 | 40  1 −1 | −5 −1 1 | 5  0 5 | 40  1 −1 | −5 0 0 | 0 1 Cuando el método De Gauss-Jordan se aplica a matrices cuadradas puede ser que aparezca una matriz diagonal, o una matriz que tiene solamente ceros en las filas inferiores y que es diagonal en el recuadro superior izquierdo. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 187 Diagonalización de matrices : cuando se llega a una matriz diagonal se dice que se diagonalizó la matriz. Ejemplo 10.21. " # 1 3 " # 1 3 " # 1 0 R2 → R2 − R1 R1 → R1 − 3R2 1 4 −−−−−−−−−−→ 0 1 −−−−−−−−−−−→ 0 1 2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2.1. Conceptos y resultados básicos. Un conjunto de m ecuaciones de la forma   a11 x1 + · · · + a1n xn = c1 ,   .. (10.1) .    a x + · · · + a x = c . m1 1 mn n m se llama un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Algunas reglas conocidas para resolver sistemas de ecuaciones son las siguientes: • Si se intercambian dos ecuaciones no se altera la solución. • Cuando se multiplican o se dividen ambos lados de una ecuación por un número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente. • Si se suma el múltiplo de una ecuación a otra del mismo sistema se obtiene una ecuación equivalente. Estas reglas son muy útiles para resolver sistemas de pocas ecuaciones con pocas incógnitas. Pero cuando aumenta el número de ecuaciones o aumenta el número de incógnitas la situación se complica. Sin embargo, usando la teorı́a de matrices se puede desarrollar una técnica que permite resolver estos casos más complicados. Consideramos x1 , . . . , xn como incógnitas. Una solución del sistema es una n-upla cualquiera de números (x1 , . . . , xn ) para los cuales se satisfacen todas las ecuaciones. Si c1 = 0, . . . , cm = 0 se dice que el sistema es homogéneo. Si existe un cj 6= 0 se dice que el sistema es no homogéneo. El sistema homogéneo siempre tiene la solución x1 = 0, . . . , xn = 0, pero puede tener otras. El conjunto de soluciones del sistema homogéneo es el núcleo. Puede ocurrir que un sistema no homogéneo no tenga solución. 188 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Ejemplo 10.22. Un sistema sin solución. El sistema  x + y = 1, x + y = 2. no tiene solución porque la suma de dos números no puede ser a la vez 1 y 2. Ejemplo 10.23. Un sistema con solución única. El sistema  x + y = 1, x − y = 0. tiene exactamente una solución: x = 1/2, y = 1/2. Ejemplo 10.24. Un sistema con más de una solución. El sistema  x + y = 1, 3x + 3y = 3. Este sistema tiene infinitas soluciones porque dos números cualesquiera cuya suma sea igual a 1 es una solución. A cada sistema lineal no homogéneo de la forma (10.1) le podemos asociar otro sistema    a x + · · · + a1n xn = 0,   11 1 .. .    a x + · · · + a x = 0. m1 1 mn n obtenido reemplazando cada ci por 0. La solución general del sistema no homogéneo se obtiene sumando la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del sistema no homogéneo. Más precisamente: Proposición 10.25. Sea (b1 , . . . , bn ) y (d1 , . . . , dn ) son soluciones del sistema no homogéneo    a x + · · · + a1n xn = c1 ,   11 1 .. .    a x + · · · + a x = c m1 1 mn n m entonces (d1 − b1 , . . . , dn − bn ) es una solución del correspondiente sistema homogéneo. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 189 Proposición 10.26. Sea (b1 , . . . , bn ) una solución particular del sistema no homogéneo    a x + · · · + a1n xn = c1 ,   11 1 .. .    a x + · · · + a x = c . m1 1 mn n m si (v1 , . . . , vn ) es una solución del sistema homogéneo entonces (x1 , . . . , xn ) = (v1 + b1 , . . . , vn + bn ) es una solución del sistema no homogéneo. Ejemplo 10.27. El sistema x+y =2 tiene como sistema homogéneo asociado la ecuación x + y = 0. Por consiguiente el núcleo está formado por todos los vectores de la forma (t, −t) donde t es un número real cualquiera. Es decir, todas las soluciones del sistema homogéneo asociado son de la forma (t, −t) donde t ∈ R. Una solución particular del sistema no homogéneo es (0, 2). Por lo tanto la solución general del sistema no homogéneo viene dada por (x, y) = (t, 2 − t), t ∈ R. Ejemplo 10.28. Un problema de navegación. Un bote navega a velocidad constante por un rı́o. Recorre 15 kilómetros en una hora y media a favor de la corriente y recorre 12 kilómetros en 2 horas contra la corriente. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del rı́o. Solución: Sean x = velocidad del bote y = velocidad del rı́o vf = velocidad del bote a favor de la corriente vc = velocidad del bote contra la corriente entonces  x + y = v , f x − y = v . c 190 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Mediremos el tiempo en horas y la velocidad en kilómetros por hora. Tenemos que vf = 15/1, 5 = 10 vc = 12/2 = 6 Luego  x + y = 10, x − y = 6. Resolviendo el sistema hallamos x = 8, y = 2. Luego la velocidad del bote en agua tranquila es 8 kilómetros por hora y la velocidad del rı́o es 2 kilómetros por hora. 2.2. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Vamos a relacionar los sistemas de ecuaciones lineales con las matrices. Consideremos el sistema (10.1). La matriz m × n dada por   a11 · · · a1n  . .. .. .. ..  . A= ... .   .  am1 · · · amn es llamada la matriz de coeficientes del sistema. Agregando los m números c1 , . . . , cm . Obtenemos  a11 · · · a1n |  . .. .. .. ..  .. ... . |  am1 · · · amn | Ejemplo 10.29. Para el sistema  x + y = 1, x + y = 2. la matriz de coeficientes del sistema es: A= " 1 1 1 1 # y la matriz ampliada del sistema es: " # 1 1 | 1 1 1 | 2 la matriz ampliada del sistema es:  c1 ..  .   cm 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 191 Ejemplo 10.30. Para el sistema  x + y = 1, x − y = 0. la matriz de coeficientes del sistema es: A= " 1 1 # 1 −1 y la matriz ampliada del sistema es: " 1 1 # | 1 1 −1 | 0 Ejemplo 10.31. Para el sistema  x + y = 1, 3x + 3y = 3. la matriz de coeficientes del sistema es: A= " # 1 1 3 3 y la matriz ampliada del sistema es: " # 1 1 | 1 3 3 | 3 Nuevamente usamos los métodos de reducción de matrices. Ellos permiten llevar un sistema de ecuaciones lineales a otro más sencillo que es equivalente (es decir el conjunto de soluciones es el mismo). Reducción de sistemas de ecuaciones: • Método de Gauss (matriz escalonada por filas). • Método de Gauss-Jordan (matriz escalonada reducida). Ejemplo 10.32. Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con cinco incógnitas:    2x − 5y + 4z + u − v = −3   x − 2y + z − u + v = 5     x − 4y + 6z + 2u − v = 10 192 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. La correspondiente matriz ampliada es   2 −5 4 1 −1 | −3   1 −2 1 −1 1 | 5  1 −4 6 2 −1 | 10 Se pueden hacer operaciones elementales con filas hasta llegar a la matriz escalonada reducida   1 0 0 −16 19 | 124   0 1 0 −9 11 | 75  0 0 1 −3 4 | 31 El correspondiente sistema de ecuaciones puede resolverse respecto a x, y, z en función de u y v: Las soluciones son de la forma    x = 124 + 16u − 19v   y = 75 + 9u − 11v    z = 31 + 3u − 4v (124 + 16u − 19v, 75 + 9u − 11v, 31 + 3u − 4v, u, v). Ejemplo 10.33. Un problema de administración de recursos. Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. (i) Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. (ii) Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. (iii) Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. (iv) Cada semana se proporcionan al lago 25.000 unidades de alimento 1, se proporcionan 20.000 unidades del alimento 2 y 55.000 del alimento 3. Si se supone que los peces se comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? Solución: Sean x1 , x2 y x3 el número de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Utilizando la información del problema se observa que: (i) x1 peces de la especie 1 consumen x1 unidades de alimento 1. 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (ii) x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades de alimento 1. (iii) x3 peces de la especie 3 consumen 2x3 unidades de alimento 1. Entonces x1 + 3x2 + 2x3 = 25.000. Análogamente se pueden obtenerlas ecuaciones para los otros dos alimentos. Se llega al siguiente sistema de ecuaciones:    x + 3x2 + 2x3   1 x1 + 4x2 + x3    2x + 5x + 5x 1 2 = 25.000 = 20.000 3 = 55.000 La matriz ampliada del sistema es   1 3 2 | 25.000   A = 1 4 1 | 20.000 2 5 5 | 55.000 Usamos el método de Gauss-Jordan para obtener la matriz escalonada reducida.     1 3 2 | 25.000 1 3 2 | 25.000     1 4 1 | 20.000R2 → R2 − R1 0 1 −1 | −5.000 −−−−−−−−−−→ 2 5 5 | 55.000 2 5 5 | 55.000   1 3 2 | 25.000   R3 → R3 − 2R1 0 1 −1 | −5.000 −−−−−−−−−−−→ 0 −1 1 | 5.000   1 0 5 | 40.000   R1 → R1 − 3R2 0 1 −1 | −5.000 −−−−−−−−−−−→ 0 −1 1 | 5.000   1 0 5 | 40.000   R3 → R3 + 3R2 0 1 −1 | −5.000 −−−−−−−−−−−→ 0 0 0 | 0 Hemos logrado una reducción del sistema de ecuaciones:  x + 5x = 40.000 1 3 x − x = −5.000 2 3 193 194 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Si x3 se elige arbitrariamente se tiene un número infinito de soluciones dadas por:    x = 40.000 − 5x3   1 x2 = x3 − 5.000    x 3 Pero debemos tomar en cuenta otras restricciones: Por supuesto se debe tener x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0. De x2 ≥ 0 se sigue que x3 ≥ 5.000. De 0 ≤ x1 = 40.000 − 5x3 se sigue que x3 ≤ 8.000. Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido deben satisfacer:    x = 40.000 − 5x3   1 x2 = x3 − 5.000    5.000 ≤ x ≤ 8.000 3 Nota: El sistema de ecuaciones lineales que hemos resuelto tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo el problema de administración de recursos tiene sólo un número finito de soluciones porque x1 , x2 y x3 deben ser enteros positivos y existen nada más 3.001 enteros en el intervalo [5.000, 8.000]. 3. Determinantes 3.1. Determinantes 2 × 2. El determinante de una matriz 2 × 2 se define mediante: " # a b det = ad − bc. c d Ejemplo 10.34. det " 6 2 # 4 −1 = 6(−1) − 2 · 4 = −14. Ejemplo 10.35. Sean r, θ fijos " # cos θ −r sen θ det = cos θ (r cos θ) − (−r sen θ) sen θ = r(cos2 θ + sen2 θ) = r. sen θ r cos θ 3. DETERMINANTES Note que si A= " a b c d 195 # su inversa es la matriz dada por A −1 " # d −b 1 = det A −c a 3.2. Determinantes 3 × 3. El determinante de una matriz 3 × 3 se define mediante:   # # " # " " a11 a12 a13 a21 a22 a21 a23 a22 a23   + a13 det − a12 det det a21 a22 a23  = a11 det a31 a32 a31 a33 a32 a33 a31 a32 a33 Es decir:   a11 a12 a13   det a21 a22 a23  = a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 − a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ) a31 a32 a33 = (a11 a22 a33 − a11 a23 a32 ) − (a12 a21 a33 − a12 a23 a31 ) + (a13 a21 a32 − a13 a22 a31 ) De donde   a11 a12 a13   det a21 a22 a23  = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 a31 a32 a33 Ejemplo 10.36.   1 5 0 √ √  det  3 4 1/2 = −4 + 5 · (1/2) · 3 + 0 − 1 · (1/2) · π − 0 − 5 · 3 · (−1) 3 π −1 √ = 7/2 − π/2 + 5 3 Ejemplo 10.37. Dados r, θ fijos, sea   cos θ −r sen θ 0   A = sen θ r cos θ 0 0 0 1 Como tenemos una fila en la que todas las entradas son cero, salvo una entrada, las cuentas se simplifican (lo mismo se puede decir para las columnas). 196 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Tenemos que " # cos θ −r sen θ det A = det = cos θ (r cos θ) − (−r sen θ) sen θ = r(cos2 θ + sen2 θ) = r. sen θ r cos θ Ejemplo 10.38. Dados ρ, θ, ϕ fijos, sea   sen ϕ cos θ −ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ   A = sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ sen θ cos ϕ −ρ sen ϕ 0 Como a32 = 0 tenemos que det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 = sen ϕ cos θρ sen ϕ cos θ(−ρ sen ϕ) + (−ρ sen ϕ sen θ)ρ cos ϕ sen θ cos ϕ − ρ cos ϕ cos θρ sen ϕ cos θ cos ϕ − (−ρ sen ϕ sen θ) sen ϕ sen θ(−ρ sen ϕ) = −ρ2 sen2 ϕ cos2 θ sen ϕ − ρ2 sen ϕ sen2 θ cos2 ϕ − ρ2 cos2 ϕ cos2 θ sen ϕ − ρ2 sen2 ϕ sen2 θ sen ϕ = −ρ2 sen ϕ(sen2 ϕ cos2 θ + sen2 θ cos2 ϕ + cos2 ϕ cos2 θ + sen2 ϕ sen2 θ) = −ρ2 sen ϕ(sen2 ϕ(cos2 θ + sen2 θ) + cos2 ϕ(sen2 θ + cos2 θ)) = −ρ2 sen ϕ(sen2 ϕ + cos2 ϕ) = −ρ2 sen ϕ 3.3. Autovalores de matrices. En esta sección consideraremos matrices cuadradas. Sea n ∈ N tal que 1 ≤ n ≤ 3. Sea A una matriz n × n. El polinomio caracterı́stico de A es p(λ) = det(λI − A). Sea λ un número real, decimos que λ es un autovalor de A cuando λ es una raı́z del polinomio caracterı́stico de A, es decir, cuando det(λI − A) = 0. 3.4. Polinomio caracterı́stico y autovalores de matrices 2 × 2. En el caso 2 × 2 tenemos: # " a11 a12 A= a21 a22 λI − A = " λ − a11 −a21 −a12 λ − a22 # 3. DETERMINANTES 197 El polinomio caracterı́stico de A es p(λ) = det(λI − A) = det " λ − a11 −a12 −a21 λ − a22 # = (λ − a11 )(λ − a22 ) − (−a12 )(−a21 ) = (λ − a11 )(λ − a22 ) − a12 a21 Ejemplo 10.39. Sea A= " # 0 −1 1 entonces λI − A = 0 " λ 1 −1 λ # El polinomio caracterı́stico de A es p(λ) = det(λI − A) = det " λ 1 −1 λ # = λ2 + 1. Como este polinomio no tiene raı́ces reales, A no tiene autovalores (reales). 3.5. Polinomio caracterı́stico y autovalores de matrices 3 × 3. En el caso 3 × 3 tenemos:   a11 a12 a13   A = a21 a22 a23   λ − a11 −a12  λI − A =  −a21 λ − a22 −a31 a31 a32 a33 El polinomio caracterı́stico de A es  λ − a11 −a12  p(λ) = det(λI − A) = det  −a21 λ − a22 −a31 −a32 −a32 −a13 −a13  −a23  λ − a33   −a23  λ − a33 = (λ − a11 )(λ − a22 )(λ − a33 ) − a12 a23 a31 − a13 a21 a32 − (λ − a11 )a23 a32 − (λ − a22 )a13 a31 − (λ − a33 )a12 a21 Ejemplo 10.40. Sea   −6 −6   A = −1 4 2 3 −6 −4 5  198 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. entonces   λ−5 6 6   λI − A =  1 λ − 4 −2  −3 6 λ+4 El polinomio caracterı́stico de A es p(λ) = det(λI − A) = = (λ − 5)(λ − 4)(λ + 4) + 6 · 2 · 3 + 6 · 1 · 6 + (λ − 5) · 2 · 6 + (λ − 4) · 6 · 3 − (λ + 4) · 6 · 1 = = (λ − 5)(λ2 − 16) + 72 + (λ − 5) · 12 + (λ − 4) · 18 − (λ + 4) · 6 = λ3 − 5λ2 − 16λ + 80 + 72 + 12λ − 60 + 18λ − 72 − 6λ − 24 = λ3 − 5λ2 − 16λ + 12λ + 18λ − 6λ + 80 + 72 − 60 − 72 − 24 = λ3 − 5λ2 + 8λ − 4 Verificar, como ejercicio, que las raı́ces de p son 1 y 2, y que p se factoriza de la siguiente manera p(λ) = (λ − 1)(λ − 2)2 . Por lo tanto los autovalores de A son 1 y 2. Notar que 2 es raı́z doble del polinomio, en este caso se dice que 2 es un autovalor de multiplicidad 2. Observación 10.41. Se puede probar que λ es un autovalor de A cuando la matriz λI − A no es invertible. Generalmente esto se demuestra en los cursos de álgebra lineal. 3.6. Autovectores de matrices. En esta sección consideraremos matrices cuadradas. Sea n ∈ N tal que 1 ≤ n ≤ 3. Sea A una matriz n × n y sea λ un autovalor de A. Sea ~x ∈ Rn , ~x no nulo, decimos que ~x es un autovector de A correspondiente a λ cuando considerando a ~x como una matriz X, n × 1, se satisface la ecuación matricial (λI − A)X = 0. Note que la ecuación matricial anterior es equivalente a esta otra AX = λX. 3. DETERMINANTES 199 Por otro lado esta última ecuación matricial puede ser vista como un sistema de n ecuaciones lineales para los componentes x1 , . . . , xn donde ~x = (x1 , . . . , xn ). Cuando se tiene un autovalor λ conocido, se pueden hallar sus autovectores resolviendo este sistema. A continuación veremos varios ejemplos, en uno de ellos la matriz tiene todos sus autovalores distintos, en otra la matriz tiene autovalores repetidos. Ejemplo 10.42. Una matriz con todos sus autovalores distintos. Hallaremos los autovectores de  2 1  A= 2 3 1   4 −1 −1 −2 Tenemos que  λ − 2 −1  λI − A =  −2 λ − 3 1 1 El polinomio caracterı́stico de A es −1  −4  λ+2  λ − 2 −1  p(λ) = det(λI − A) = det  −2 λ − 3 1 Es decir  1 −1   −4  λ+2 p(λ) = (λ − 2)(λ − 3)(λ + 2) + 4 + 2 − (λ − 2)(−4) − (λ − 3)(−1) − (λ + 2) · 2 = (λ2 − 4)(λ − 3) + 6 + 4(λ − 2) + (λ − 3) − 2(λ + 2) = λ3 − 3λ2 − 4λ + 12 + 6 + 4λ − 8 + λ − 3 − 2λ − 4 = λ3 − 3λ2 − λ + 3 = λ2 (λ − 3) − 1(λ − 3) = (λ2 − 1)(λ − 3) = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 3) Por lo tanto A tiene tres autovalores distintos: 1, −1 y 3. Para hallar los autovectores correspondientes al autovalor λ = 1 debemos resolver el sistema AX = X. Esto es     x1 x1      3 4  x2  = x2  2 x3 −1 −1 −2 x3  2 1 1 200 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Multiplicando las matrices de la izquierda obtenemos     x1 2x1 + x2 + x3     2x1 + 3x2 + 4x3  = x2  x3 −x1 − x2 − 2x3 De donde    2x + x2 + x3 = x1 ,   1 2x1 + 3x2 + 4x3 = x2 ,    −x − x − 2x = x . 1 2 3 3 Para poder plantear el sistema correctamente debemos colocar a x1 , x2 , x3 del mismo lado de la igualdad. Ası́ obtenemos el sistema homogéneo    x + x2 + x3 = 0,   1 2x1 + 2x2 + 4x3 = 0,    −x − x − 3x = 0. 1 2 3 Sumando las ecuaciones primera y tercera encontramos −2x3 = 0. De donde x3 = 0. Y las tres ecuaciones se reducen a x1 + x2 = 0. De donde x2 = −x1 . Luego los autovectores correspondientes al autovalor λ = 1 son de la forma (t, −t, 0) para t ∈ R, t 6= 0. Mediante cálculos parecidos encontramos los autovectores de λ = −1, ellos son de la forma (0, t, −t) para t ∈ R, t 6= 0. También podemos hallar los autovectores de λ = 3, ellos son de la forma (2t, 3t, −t) para t ∈ R, t 6= 0. Ejemplo 10.43. Una matriz con autovalores repetidos. Hallaremos los autovectores de Tenemos que   2 −1 1   A = 0 3 −1 2 1 3  λ−2 1  λI − A =  0 λ−3 −2 −1 −1   1  λ−3 3. DETERMINANTES 201 El polinomio caracterı́stico de A es  λ−2 1  p(λ) = det(λI − A) = det  0 λ−3 −2 Es decir −1 −1   1  λ−3 p(λ) = (λ − 2)(λ − 3)(λ − 3) − 2 − (λ − 2)(−1) − (λ − 3)(−1)(−2) = (λ − 2)(λ2 − 6λ + 9) − 2 + (λ − 2) − 2(λ − 3) = λ3 − 6λ2 + 9λ − 2λ2 + 12λ − 18 − 4 + λ − 2λ + 6 = λ3 − 8λ2 + 20λ − 16 = (λ − 2)(λ − 2)(λ − 4) Los autovalores son 4 y 2, además 2 aparece dos veces. Para hallar los autovectores correspondientes al autovalor λ = 2 debemos resolver el sistema AX = 2X. Esto es      2x1 x1 2 −1 1      0 3 −1 x2  = 2x2  2x3 x3 2 1 3 Multiplicando las matrices de la izquierda obtenemos     2x1 2x1 − x2 + x3     3x2 + −x3  = 2x2   2x3 2x1 + x2 + 3x3 que se reduce a    −x + x3 = 0,   2 x2 − x3 = 0,    2x + x + x = 0. 1 2 3 De donde x2 = x2 = −x1 . Luego los autovectores correspondientes al autovalor λ = 2 son de la forma (−t, t, t) para t ∈ R, t 6= 0. Mediante cálculos parecidos encontramos los autovectores de λ = 4, ellos son de la forma (t, −t, t) para t ∈ R, t 6= 0. 202 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. Ejercicios. Matrices y Sistemas lineales. (1) Sean # 1 4 A= √ 2 −7 " Hallar A + B, (2) Dadas las matrices " # 1 2 0 A= 0 2 3 B= A − B, B= 5A + 2B, " x 2 y 0 z 1 " # 3 −1 2 5 AB, # A2 . C= " # 5 4 3 0 1 4 Halle, si es posible, valores para las constantes x, y, z de manera que se tenga: A + B = C. (3) Una matriz de probabilidades es una matriz cuadrada que tiene dos propiedades (a) todos sus elementos son mayores o iguales que cero. (b) la suma de los elementos en cada fila es igual a 1. Las siguientes matrices son de probabilidades.   1/3 1/3 1/3   P = 1/4 1/2 1/4 0 0 1   1/6 1/6 2/3   Q= 0 1 0  1/5 1/5 3/5 Pruebe que la matriz producto P Q es una matriz de probabilidades. (4) Determine si la matriz dada es invertible o no. Si la matriz es invertible, halle su inversa. (a) " 1/6 3 0 # 1   −2 2 2   (b)  6 3 1 0 1 1 (c) " # 4 6 2 3   4 1 2   (d) 3 3 1 0 2 1 (e) " (f) " 7 2 3 # 0 1 −7 # 4 2 0 0 EJERCICIOS. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. 203 (5) Diga para cuáles pares de matrices de tamaño n × n se cumple que: (A + B)(A − B) = A2 − B 2 Justifique su respuesta. (Ayuda: tome en cuenta que el producto de matrices tiene la propiedad distributiva respecto a la suma de matrices, pero no tiene la propiedad conmutativa.) (6) Un torneo de tenis se puede organizar de la siguiente manera. Cada uno de los n tenistas juega contra todos los demás y se registran los resultados en una matriz R de tamaño n × n de la    1   Rij = 0    0 siguiente manera: si el tenista i le gana al tenista j si el tenista i pierde contra el tenista j si i = j Después se asigna al tenista i la calificación n X n 1X 2 (R )ij Si = Rij + 2 j=1 j=1 (donde (R2 )ij es la componente ij de la matriz R2 . (a) Para un torneo entre cuatro tenistas  0 1 0  0 0 1 R= 1 0 0  1 0 1  0  1  0  0 Clasifique a los tenistas según sus calificaciones. (b) Interprete el significado de la calificación. (7) Para las siguientes matrices halle su matriz escalonada reducida:   3 0 0   (a) 6 3 1 0 1 1   0 0 0   (b) 2 2 1 0 1 1  −2  6 (c)  0  1 2 2 1   3 1 −1  1 1 2  0 0 0 204 10. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. (8) * Demuestre que una matriz diagonal es invertible si y sólo si cada uno de los elementos de la diagonal es diferente de cero. (9) Sea  a11 0 · · ·   0 a22 · · · A= .. . .  .. . .  . 0 0 0 .. . ··· 0 ann       una matriz diagonal tal que sus componentes en la diagonal principal son todas diferentes de cero. Calcule A−1 . (10) Indicar si el siguiente sistema de ecuaciones se puede resolver. Si tiene solución encuéntrela.    x + 2y + 3z   2x + 2y − 3z    −x − y + z (11) Considere el sistema de ecuaciones    x + y + 2z   2x − y + 3z    5x − y + rz = 1, = 4, = 0. = 2, = 2, = 6. Hallar el valor de r para que el siguiente sistema: (a) Tenga una única solución. Hállela. (b) Tenga infinitas soluciones. Hállelas. (c) No tenga soluciones. (12) Encuentre el determinante de las siguientes matrices: " # 1 4 (a) √ 2 −7 (c)   3 −1 0   (b) 2 2 1 0 1 1   4 0 0   (d) 2 2 1 " # 3 −1 2 5 0 1 1 (e) " # 3 −1 2 5  0 0   √ (f) π 7 1 0 1 1  0 EJERCICIOS. MATRICES Y SISTEMAS LINEALES. (13) Sea 205   2 1 1   A = 2 3 2 3 3 4 (a) Demuestre que los autovalores de A son 7 y 1. (b) Demuestre que los autovectores de A correspondientes a λ = 7 son de la forma (t, 2t, 3t) para t ∈ R, t 6= 0. (c) Demuestre que los autovectores de A correspondientes a λ = 1 son de la forma (t, 0, −t) + (0, s, −s) para t, s ∈ R, no ambos nulos. CAPÍTULO 11 Transformaciones Lineales. Concepto de transformación lineal (considerar los casos T : Rn → Rm , con n, m ≤ 3). Concepto de base. Matriz asociada a una transformación lineal. 1. Transformación lineal Trabajaremos principalmente en los espacios R, R2 y R3 . Una transformación lineal de Rn en Rm es una función T : Rn → Rm , tal que (a) T (~u + ~v ) = T (~u) + T (~v ), para todo ~u, ~v ∈ Rn , (b) T (λ~u) = λT (~u), para todo ~u ∈ Rn , λ ∈ R. A lo largo de esta sección aij denotará un número real, para cualquier par de números naturales i y j. A continuación veremos las transformaciones lineales que toman valores en R. Una transformación lineal T : R → R es una función de la forma T (x) = a11 x. Una transformación lineal T : R2 → R es una función de la forma T (x1 , x2 ) = a11 x1 + a12 x2 . Una transformación lineal T : R3 → R es una función de la forma T (x1 , x2 , x3 ) = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 . Seguidamente veamos las transformaciones lineales que toman valores en R2 . Una transformación lineal T : R → R2 es una función: T (x) = (a11 x, a21 x). 207 208 11. TRANSFORMACIONES LINEALES. Una transformación lineal T : R2 → R2 es una función: T (x1 , x2 ) = (a11 x1 + a12 x2 , a21 x1 + a22 x2 ). Una transformación lineal T : R3 → R2 es una función: T (x1 , x2 , x3 ) = (a11 x1 + a12 x3 + a13 x3 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ). Finalmente, las transformaciones lineales que toman valores en R3 se dan a continuación. Una transformación lineal T : R → R3 es una función: T (x) = (a11 x, a21 x, a31 x). Una transformación lineal T : R2 → R3 es una función: T (x1 , x2 ) = (a11 x1 + a12 x2 , a21 x1 + a22 x2 , a31 x1 + a32 x2 ). Una transformación lineal T : R3 → R3 es una función: T (x1 , x2 , x3 ) = (a11 x1 + a12 x3 + a13 x3 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ). Tal como lo habrán notado, se hace necesario dar una representación general para las funciones que acabamos de considerar. A continuación se da la forma general para las transformaciones lineales. Sean n, m tales que 1 ≤ n ≤ 3 y 1 ≤ m ≤ 3. Una transformación lineal T : Rn → Rm es una función: (11.1) T (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 + · · · + a1n xn , ..., am1 x1 + · · · + amn xn ). Ejemplo 11.1. (1) Sea T : R → R2 dada por √ T (x) = (5 6x, (sen 3) x). (2) Sea T : R3 → R dada por T (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + x2 + e6 x3 . (3) Sea T : R2 → R3 dada por T (x1 , x2 ) = (5x1 + √ 2x2 , πx1 + 1/3 x2 , 8x2 ). (4) Para θ ∈ [0, 2π] y r > 0, fijos, sea T : R2 → R2 dada por T (x1 , x2 ) = ((cos θ) x1 − r(sen θ) x2 , (sen θ) x1 + r(cos θ) x2 ). 2. BASES. 209 2. Bases. En R2 , una base es un conjunto formado por dos vectores tales que cualquier vector de R2 se puede obtener a partir de éstos dos de la siguiente manera: se multiplica cada uno de los vectores de la base por un escalar (un número) apropiado y sumándolos (posteriormente) se obtiene el vector dado. Ejemplo 11.2. La base canónica de R2 es: {(1, 0) , (0, 1)}. Note que si damos un vector cualquiera (x1 , x2 ) de R2 entonces x1 (1, 0) + x2 (0, 1) = (x1 , 0) + (0, x2 ) = (x1 , x2 ). El escalar x1 se multiplicó por (1, 0) y el escalar x2 se multiplicó por (0, 1). Los resultados de estas multiplicaciones son (x1 , 0) y (0, x2 ). La suma es el vector dado: (x1 , x2 ). Ejemplo 11.3. Otra base de R2 es: {(1, 0) , (1, 1)}. Si damos un vector cualquiera (x1 , x2 ) de R2 entonces (x1 − x2 )(1, 0) + x2 (1, 1) = (x1 − x2 , 0) + (x2 , x2 ) = (x1 , x2 ). El escalar x1 −x2 se multiplicó por (1, 0) y el escalar x2 se multiplicó por (1, 1). Los resultados de estas multiplicaciones son (x1 − x2 , 0) y (x2 , x2 ). La suma es el vector dado: (x1 , x2 ). Ejemplo 11.4. El conjunto dado por {(1, 0) , (3, 0)} no es una base de R2 . En R3 , una base es un conjunto formado por tres vectores tales que cualquier vector de R3 se puede obtener a partir de éstos dos de la siguiente manera: se multiplica cada uno de los vectores de la base por un escalar (un número) apropiado y sumándolos (posteriormente) se obtiene el vector dado. Ejemplo 11.5. La base canónica de R3 es: {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}. Dado un vector cualquiera (x1 , x2 , x3 ) de R3 entonces x1 (1, 0, 0) + x2 (0, 1, 0) + x3 (0, 0, 1) = (x1 , 0, 0) + (0, x2 , 0) + (0, 0, x3 ) = (x1 , x2 , x3 ). 210 11. TRANSFORMACIONES LINEALES. El escalar x1 se multiplicó por (1, 0, 0), el escalar x2 se multiplicó por (0, 1, 0) y el escalar x3 se multiplicó por (0, 0, 1). Los resultados de estas multiplicaciones son (x1 , 0, 0), (0, x2 , 0) y (0, 0, x3 ). La suma es el vector dado: (x1 , x2 , x3 ). Ejemplo 11.6. Otra base de R3 es: {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)}. Ejemplo 11.7. El conjunto dado por {(1, 0, 0) , (−1, 0, 0) , (0, 0, 1)} no es una base de R3 . 2.1. Matriz asociada a una transformación lineal. Existe una correspondencia natural entre las transformaciones lineales de Rn en Rm y las matrices m × n. Para estudiar esta correspondencia resulta más conveniente representar a los elementos de Rn y de Rm como vectores columna. El operador T : Rn → Rm está en correspondencia con la matriz A = (aij )1≤i≤m,1≤j≤n cuando se cumple la siguiente relación: (11.2) es decir, (11.3)    ··· .. .. .. ... a11 x1 .  .    T  ..  =  .. am1 xn   a1n x1 . ..    .   ..  , · · · amn xn     x1 a11 x1 + · · · + a1n xn .  . .. .. .. ..  ..  =  .. T . . . .     . xn am1 x1 + · · · + amn xn Observación 11.8. La correspondencia entre transformaciones lineales y matrices depende de las bases que escojamos en los espacios. La correspondencia que hemos descrito corresponde con las bases canónicas de Rn y Rm . Ejemplo 11.9. Sea A= " 7 e4 # cos(3π) √ − 2 La transformación lineal asociada a la matriz A es T : R2 → R2 dada por √ T (x1 , x2 ) = (7 x1 − cos(3π) x2 , e4 x1 − 2 x2 ). 2. BASES. 211 Ejemplo 11.10. Para θ ∈ [0, 2π] y r > 0, fijos, sea " # cos θ −r sen θ A= sen θ r cos θ En este caso A depende de r y de θ. La transformación lineal asociada a la matriz A es T : R2 → R2 dada por T (x1 , x2 ) = ((cos θ) x1 − r(sen θ) x2 , (sen θ) x1 + r(cos θ) x2 ). En este caso T depende de r y de θ. Ejemplo 11.11. Sean D ⊂ R un abierto, f : D → R una función y x ∈ D tal que f es derivable en x. Sea En este caso A depende de x. h i A = f ′ (x) La transformación lineal asociada a la matriz A es T : R → R dada por T (h) = f ′ (x)h. En este caso T depende de x. Note que estamos usando h para la variable de la transformación lineal ya que la x tiene otro significado. Este ejemplo es importante para el estudio del cálculo diferencial en varias variables. 212 11. TRANSFORMACIONES LINEALES. Ejercicios. Transformaciones Lineales. (1) Sea T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x + y, x − y). Demuestre que T es una transformación lineal. (2) Demuestre que las siguientes funciones f : R → R no son transformaciones lineales. (a) f (x) = 3. (b) f (x) = x2 . (c) f (x) = sen x. (3) Demuestre que las siguientes funciones f : R → R son transformaciones lineales. (a) f (x) = 3x. (b) f (x) = (sen α) x. (4) Sea T : R3 → R4 dada por T (x, y, z) = (2x + y − z, x − 2y, z − x, x) Demuestre que T es una transformación lineal. (5) Sea T : Rn → Rm una transformación lineal. Demuestre que la imagen del vector nulo es el vector nulo. Es decir, T (0, . . . , 0) = (0, . . . , 0) . | {z } | {z } n m (6) Use el ejercicio anterior para demostrar que las siguientes funciones no son transformaciones lineales. (a) f : R → R dada por f (x) = cos x. (b) T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (2x + y − z, 5). EJERCICIOS. TRANSFORMACIONES LINEALES. 213 (7) Encuentre la fórmula para una transformación lineal T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 0) = (2, 1), T (0, 1, 0) = (−1, 5), T (0, 0, 1) = (4, 3) (8) Encuentre la fórmula para una transformación lineal T : R2 → R3 tal que T (1, 0) = (3, 2, 1), T (0, 1) = (1, −1, 0) (9) Sea T : R2 → R3 una transformación lineal. Demuestre que el rango de T es un plano en R2 que pasa por el origen. Sugerencia: tome en cuenta que las transformaciones lineales T : R2 → R3 se pueden escribir como T (t, s) = (u1 t + v1 s, u2 t + v2 s, u3 t + v3 s). (10) En el plano uv sea B el rectángulo acotado por v = 0, v = −2, u = 0, u = 1. En el plano xy sea P el paralelogramo acotado por y = 2x, y = 2x − 2, y = x + 1, y = x. Sea T (u, v) = (u − v, 2u − v). Demuestre que (a) T (0, 0) = (0, 0), (b) T (1, 0) = (1, 2), (c) T (0, −2) = (2, 2), (d) T (1, −2) = (3, 4), (e) T (B) = P . (f) Hallar la matriz de T (con respecto a las bases canónicas) y calcular su determinante. (g) ¿Qué relación existe entre el área de B y el área de P . 214 11. TRANSFORMACIONES LINEALES. (11) Sea B el rectángulo considerado en el ejercicio anterior. Sea S : R2 → R2 la transformación lineal definida por S(x, y) = (2x + y, y). (a) Hallar S(B). (b) Hallar la matriz de S (con respecto a las bases canónicas) y calcular su determinante. (c) ¿Qué relación existe entre el área de B y el área de S(B)? Parte 5 Cálculo Diferencial en Varias Variables. CAPÍTULO 12 Campos escalares. Funciones de R2 en R y de R3 en R. Dominio y rango de estas funciones. Gráfico y representación gráfica de funciones de R2 en R. Curvas y superficies de nivel. 1. Funciones de R2 en R y de R3 en R Queremos darle sentido a expresiones tales como f (x + y), f (xy), f (x2 + y 2 ), f (x/y), donde f es identidad, seno, coseno, ln. También queremos darle sentido a expresiones como f (x − y + z), f (xy − z), f (x2 + y 2 + z 2 ), f (xz/y), donde f es como antes. Sea n = 2 ó n = 3. Consideraremos funciones f definidas en un conjunto D ⊂ Rn y que toman valores en R. D podrı́a ser todo Rn . Definición 12.1. Sea D ⊂ Rn . Un campo escalar o función f : D → R es una asociación que a cada vector ~u de D le asigna un número real f (~u) y ese número es único (a ese número se le llama la imagen del vector). El conjunto D se llama el dominio de la función f y a veces lo denotaremos mediante Dom(f ). Ejemplo 12.2. (a) f : R3 → R definida por f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 para todo (x, y, z) ∈ R3 . En este caso f es el cuadrado de la norma (o distancia al origen) del punto (x, y, z). 217 218 12. CAMPOS ESCALARES. (b) f : R3 → R definida por f (x, y, z) = cos(x + y) + z para todo (x, y, z) ∈ R3 . (c) f : Rn → R dada por f (~x) = c para todo ~x ∈ Rn (función constante). (d) El área de un rectángulo de lados x e y es la función de (x, y) dada por f (x, y) = xy. (e) El volumen de una caja de medidas x, y, z es la función de (x, y, z) dada por f (x, y, z) = xyz. (f) Sea f : R → R dada por f (x, y) = √ xy, es decir, la media geométrica. (g) Sea f : R3 → R dada por f (x, y, z) = (3x + 4y − ln(y))/5z para todo (x, y, z) ∈ R3 tal que z 6= 0. Ry (h) La expresión x f (t)dt depende de x y de y, por lo tanto define una función de (x, y), dada por g(x, y) = Z y f (t)dt. x 2. Dominio y rango de funciones de R2 en R y de R3 en R. A continuación daremos algunos ejemplos de funciones de Rn en R (con n = 2 ó n = 3). A partir de la fórmula que las definen indicaremos cuál es el dominio más grande en el que pueden ser consideradas. Ejemplo 12.3. (a) La fórmula 1 + y2 − 1 define una función en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6= 1}. f (x, y) = x2 3. GRÁFICO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DE R2 EN R. 219 (b) La fórmula 1 f (x, y) = p 2 x + y2 − 1 define una función en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1}. (c) La fórmula xy − 5 f (x, y) = p 2 y − x2 define una función en el conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 < y}. (d) La fórmula f (x, y, z) = z p x2 + y 2 − 25 define una función en el conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ 25}. Ejercicio 12.4. Dibuje el dominio de z = √ y cos x. El rango o imagen de f es el conjunto de todos los números reales w ∈ R tales que w = f (~u) para algún ~u ∈ D ⊂ Rn . Ejemplo 12.5. Sea f : R3 → R definida por f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 para todo (x, y, z) ∈ R3 . Entonces Rango(f ) = {w ∈ R : w ≥ 0}. 3. Gráfico y representación gráfica de funciones de R2 en R. Consideraremos funciones que toman valores en R. Igual que con funciones de una variable, se puede definir la gráfica de una función de dos variables. La gráfica de una función de una variable es un subconjunto de R2 , y la gráfica de una función de dos variables es un subconjunto de R3 . Definición 12.6. Sea f : D ⊂ R2 → R . El gráfico de f es el conjunto Graf(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Domf, z = f (x, y)}, Observemos que Graf(f ) ⊂ R2 × R = R3 . El gráfico de f es una superficie que puede ser visualizada en casos particulares. 220 12. CAMPOS ESCALARES. Ejemplo 12.7. (a) Sea f (x, y) = p 1 − x2 − y 2 . Veamos que su gráfico es la parte de arriba de una esfera de radio 1. El domino de f es el conjunto Si consideramos z = p {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. 1 − x2 − y 2 para x2 + y 2 ≤ 1 entonces z≥0 x2 + y 2 + z 2 = 1. z x y Figura 12.1. gráfico de f (x, y) = p 1 − x2 − y 2 (b) Sea f (x, y) = x2 + y 2 . El gráfico de f es un paraboloide de revolución, obtenido al rotar z = y 2 alrededor del eje z (justifique). z x y Figura 12.2. gráfico de f (x, y) = x2 + y 2 Si una función tiene dominio contenido en R3 , no podemos representarla gráficamente. 4. CURVAS DE NIVEL Y SUPERFICIES DE NIVEL. 221 4. Curvas de nivel y superficies de nivel. Existe otro método útil para representar geométricamente una función de dos variables. Esto es un método semejante al de representar un paisaje tridimensional por un mapa topográfico bidimensional. Definición 12.8. Sean c ∈ R y f : D ⊂ R2 → R. La curva de nivel de f , correspondiente al valor c es: γc = {(x, y) ∈ D : f (x, y) = c}. La curva de nivel γc de f no es más que el conjunto de puntos de R2 para los cuales f toma el mismo valor c. Al considerar diferentes valores de c : c1 , c2 , . . . obtenemos un conjunto de curvas de nivel, que llamaremos mapa de contorno. Si tratamos con funciones de tres variables la noción análoga a la de curva de nivel es la de superficie de nivel. Por ejemplo, si f : R3 → R nos da la distribución de temperaturas en un espacio tridi- mensional, entonces las superficies de nivel satisfacen f (x, y, z) = c y se llamarı́an superficies isotérmicas. Definición 12.9. Sean c ∈ R y f : D ⊂ R3 → R. La superficie de nivel de f , corres- pondiente al valor c es: Sc = {(x, y, z) ∈ D : f (x, y, z) = c}. Ejemplo 12.10. (a) Sea f (x, y) = x2 + y 2 , las curvas de nivel de f son circunferencias con centro en el origen. Tenemos que f (x, y) = c si y sólo si c ≥ 0 y x2 + y 2 = c. Por lo tanto, debe ser c ≥ 0. La curva de nivel que corresponde a c es una circunferencia con centro en el √ origen y radio c. La siguiente figura ilustra las curvas de nivel de f . 222 12. CAMPOS ESCALARES. y 3 c=9 2 c=4 1 3 2 1 c=1 0 1 2 x 3 1 2 3 Figura 12.3. curvas de nivel de f (x, y) = x2 + y 2 (b) Si f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 entonces las superficies de nivel son esferas (justifique). (c) Sea f (x, y) = p 1 − x2 − y 2 . Como no se define el dominio explı́citamente, se entiende que es el mayor subconjunto de R2 para el cual la fórmula tiene sentido. Sea c ≥ 0. Tenemos que f (x, y) = c si y sólo si x2 + y 2 = 1 − c2 . Por lo tanto, debe ser 0 ≤ c ≤ 1. La curva de nivel que corresponde a c es una circunferencia con centro en el origen y radio 1 − c2 . La siguiente figura ilustra las curvas de nivel de f . y 1 c=0 c=1/2 c=3/4 1 0 1 x 1 Figura 12.4. curvas de nivel de f (x, y) = p 1 − x2 − y 2 4. CURVAS DE NIVEL Y SUPERFICIES DE NIVEL. 223 (d) Sea f (x, y) = x2 − y 2 entonces las curvas de nivel de f son los conjuntos en los que x2 − y 2 = c. Estos conjuntos nos dan una idea de como es el gráfico de f . 3 y 2 c=-3 1 2 1 c=-1 c=1 c=3 c=3 c=1 3 z 0 1 1 c=-1 2 c=-3 2 3 x x y 3 Figura 12.5. curvas de nivel y gráfico de f (x, y) = x2 − y 2 Esta superficie es el paraboloide hiperbólico o “silla de montar” El conocimiento de las curvas de nivel ayuda a resolver muchos problemas interesantes en el plano y en el espacio. 224 12. CAMPOS ESCALARES. Ejercicios. Campos escalares. (1) Sea f : R2 → R dada por f (x, y) = x + y + 2. (a) Describa el gráfico de f . (b) Dado c ∈ R describa la curva de nivel correspondiente a c. (2) Determinar las curvas de nivel y las gráficas de las siguientes funciones (a) f : R2 → R dada por f (x, y) = x − y + 2. (b) f : R2 → R dada por f (x, y) = x2 + 4y 2 . (c) f : R2 → R dada por f (x, y) = xy. (3) Dibujar las curvas de nivel (en el plano xy) para la función dada f y los valores de f dados. (a) f (x, y) = p 100 − x2 − y 2 para c = 0, 2, 4, 6, 8, 10. (b) f (x, y) = x2 + y 2 para c = 0, 1, 2, 3, 4, 5. (c) f (x, y) = 3x − 7y para c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3. (d) f (x, y) = x/y para c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3. (4) Determinar las superficies de nivel de f (a) f (x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 . (b) f (x, y, z) = 4x2 + y 2 + 9z 2 . (c) f (x, y, z) = x2 + y 2 . CAPÍTULO 13 Lı́mites de campos escalares. Lı́mite a lo largo de una curva de una función de R2 en R. Introducción al concepto de lı́mite en un punto a través del concepto de lı́mite a lo largo de una curva. Noción de continuidad. Lı́mites iterados. 1. Lı́mite a lo largo de curvas para una función de R2 en R. 1.1. Punto de acumulación en R2 . Sean x~o ∈ R2 y D ⊂ R2 . Se dice que x~o es un punto de acumulación de D cuando en cada disco de centro x~o hay al menos un punto de D, distinto de x~o . En forma más precisa se tiene: Definición 13.1. Sean x~o ∈ R2 , D ⊂ R2 . Se dice que x~o es un punto de acumulación de D cuando para cada r > 0 se tiene que existe ~v ∈ D tal que ~v 6= x~o y k~v − x~o k < r. Ejemplo 13.2. (a) Los vectores (4, 5), (4, 4) y (2, 4) son puntos de acumulación de {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x ≤ 6, 4 ≤ y < 7}. (b) El vector (1, π) es un punto de acumulación de {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x < 1, 2 < y < π}. (c) El vector (0, 0) es un punto de acumulación de {(1/n, 1/n2 ) para algún n ∈ N}. (d) EL vector (0, −1) es un punto de acumulación de {(0, (−1)n + 1/n) para algún n ∈ N}. 225 226 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. 1.2. Lı́mite a lo largo de una curva para una función de R2 en R. Recordemos que si se tiene una función de R en R, en un punto se puede calcular el lı́mite por la derecha y por la izquierda. Y al hacer esto estamos considerando todas las maneras posibles de acercarse a ese punto. Para que el lı́mite exista debe ocurrir que el lı́mite por la derecha sea igual al lı́mite por la izquierda. El procedimiento que vamos a desarrollar a continuación, en el plano, es análogo. Pero debemos tomar en cuenta que en un punto del plano no existen sólo dos maneras de acercarse, existen infinitas maneras de acercarse, además puede hacerse a través de diferentes curvas. Sean D ⊂ R2 y (xo , yo ) un punto de acumulación de D. Sea I un intervalo abierto, sea g : I → D una curva tal que (a) existe to ∈ I tal que g(to ) = (xo , yo ), (b) g(t) 6= (xo , yo ) si t 6= to , (c) g es continua. Consideremos una función f : D → R, el lı́mite de f cuando (x, y) tiende a (xo , yo ) a lo largo de la curva g es lim f (g(t)). t→to Ejemplo 13.3. Sea f (x, y) = x2 xy . + y2 Supongamos que queremos averiguar si existe el lı́mite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la recta y = mx. Notemos que (0, 0) está en esta recta. Lo primero que debemos hacer es dar una parametrización de esta recta. Tomamos g : R → R2 dada por g(t) = (t, mt). Luego averiguamos si existe limt→0 f (g(t)). Tenemos que mt2 m f (g(t)) = f (t, mt) = 2 = 2 2 t +m t 1 + m2 Luego lim f (g(t)) = lim f (t, mt) = t→0 t→0 Note que en este ejemplo esta expresión depende de m. m . 1 + m2 1. LÍMITE A LO LARGO DE CURVAS PARA UNA FUNCIÓN DE R2 EN R. 227 Ejemplo 13.4. Sea xy . + y2 Vamos a averiguar si existe el lı́mite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la f (x, y) = x2 parábola y = x2 . Notemos que (0, 0) está en esta parábola. Lo primero que debemos hacer es dar una parametrización de esta parábola. Tomamos g : R → R2 dada por g(t) = (t, t2 ). Averiguaremos si existe limt→0 f (g(t)). Tenemos que f (g(t)) = f (t, t2 ) = t3 t = . t2 + t4 1 + t2 t = 0. t→0 1 + t2 lim f (g(t)) = lim f (t, t2 ) = lim t→0 t→0 Ejemplo 13.5. Sea 2xy 2 . x2 + y 4 Vamos a averiguar si existe el lı́mite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de las f (x, y) = parábolas (a) y = x2 , (b) x = y 2 . Notemos que (0, 0) está en ambas parábolas. (a) Damos una parametrización de la parábola y = x2 . Tomamos g : R → R2 dada por g1 (t) = (t, t2 ). Tenemos que f (g1 (t)) = f (t, t2 ) = 2t5 2t3 = . t2 + t8 1 + t6 2t3 = 0. t→0 1 + t6 lim f (g1 (t)) = lim f (t, t2 ) = lim t→0 t→0 (b) Damos una parametrización de la parábola x = y 2 . Tomamos g : R → R2 dada por g2 (t) = (t2 , t). Tenemos que f (g2 (t)) = f (t2 , t) = 2t4 2t2 t2 = = 1. t4 + t4 2t4 lim f (g2 (t)) = lim f (t2 , t) = 1. t→0 t→0 228 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. 1.3. Comparación de lı́mites a lo largo de varias curvas para una función de 2 R en R. En diversas situaciones uno puede querer acercase a un punto por varias rectas, por parábolas o por cualquier otra curva. Ejemplo 13.6. Sea f (x, y) = x2 − y 2 . x2 + y 2 Calcularemos el lı́mite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. Tomemos la recta y = mx. Tenemos que x 2 − m2 x 2 f (x, mx) = 2 . x + m 2 x2 Luego x2 (1 − m2 ) 1 − m2 x2 − m 2 x2 = lim . = x→0 x2 (1 + m2 ) x→0 x2 + m2 x2 1 + m2 lim f (x, mx) = lim x→0 En este ejemplo el lı́mite que hemos encontrado depende claramente de la pendiente de la recta: m. Es decir el resultado es diferente si colocamos diferentes valores de m. En otras palabras si nos acercamos por diferentes rectas obtenemos diferentes resultados. Ejemplo 13.7. Sea 2x2 y . f (x, y) = 4 x + y2 Calcularemos (1) el lı́mite a lo largo de la recta y = mx. (2) el lı́mite a lo largo de la parábola y = x2 . 2x2 mx 2mx = lim 2 = 0. 4 2 x→0 x + (mx) x→0 x + m2 lim f (x, mx) = lim x→0 En este ejemplo el lı́mite buscado no depende de la pendiente de la recta: m. Pero si nos acercamos por la parábola y = x2 obtenemos: 2x4 2x2 x2 = lim = 1. x→0 2x4 x→0 x4 + (x2 )2 lim f (x, x2 ) = lim x→0 2. LÍMITE EN R2 . 229 2. Lı́mite en R2 . Definición 13.8. Sean D ⊂ R2 , x~o ∈ R2 un punto de acumulación de D, f : D → R una función y L ∈ R. Decimos que el lı́mite de f (~x) cuando ~x tiende al punto x~o es L si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces |f (~x) − L| < ε. Abreviado: lim f (~x) = L. ~ x→x~o Las propiedades del lı́mite, ya conocidas para funciones reales de variable real se extienden de manera natural a las funciones reales de variable en el plano, más precisamente: Teorema 13.9 (Propiedades del lı́mite para campos escalares). Sean λ ∈ R, D ⊂ R2 , x~o un punto de acumulación de D, sean f, g : D → R funciones tales que lim f (~x) existen y son finitos. Entonces y ~ x→x~o lim g(~x) ~ x→x~o (a) lim λf (~x) = λ lim f (~x). ~ x→x~o ~ x→x~o (b) lim (f (~x) + g(~x)) = lim f (~x) + lim g(~x). ~ x→x~o ~ x→x~o ~ x→x~o (c) lim (f (~x) g(~x)) = ( lim f (~x)) ( lim g(~x)). ~ x→x~o ~ x→x~o ~ x→x~o (d) Si lim g(~x) 6= 0 entonces ~ x→x~o lim ~ x→x~o µ f (~x) g(~x) ¶ lim f (~x) = ~ x→x~o lim g(~x) . ~ x→x~o Demostración. Probaremos (a) y (b). Las pruebas de las propiedades (c) y (d) están en la lectura adicional. que Como lim~x→x~o f (~x) y lim~x→x~o g(~x) existen y son finitos, existen L1 ∈ R y L2 ∈ R tales L1 = lim f (~x) ~ x→x~o y L2 = lim g(~x). ~ x→x~o (a) Si λ = 0 se cumple la igualdad. Supongamos λ 6= 0, dado ε > 0 sea γ = ε/|λ| entonces γ > 0. Usando la definición de lı́mite se sigue que existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces |f (~x) − L1 | < γ. Entonces |λf (~x) − λL1 | = |λ| |f (~x) − L1 | < |λ|γ = ε. 230 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. De donde |λf (~x) − λL1 | < ε. Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces |λf (~x) − λL1 | < ε. Es decir, lim λf (~x) = λL1 ~ x→x~o (b) Dado ε > 0 sea γ = ε/2 entonces γ > 0. Usando la definición de lı́mite se sigue que: Existe δ1 > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ1 entonces |f (~x) − L1 | < γ Y existe δ2 > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ2 entonces |g(~x) − L2 | < γ. Sea δ = min{δ1 , δ2 }. Sea ~x ∈ D tal que 0 < k~x − x~o k < δ. Entonces |(f (~x)+g(~x))−(L1 +L2 )| = |f (~x)−L1 +g(~x))−L2 | ≤ |f (~x)−L1 |+|g(~x))−L2 | = 2γ = 2ε/2 = ε. De donde |(f (~x) + g(~x)) − (L1 + L2 )| < ε. Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces |(f (~x) + g(~x)) − (L1 + L2 )| < ε. Es decir, lim f (~x) + g(~x) = L1 + L2 . ~ x→x~o ¤ 3. Relación entre lı́mite en R2 y lı́mite a lo largo de curvas. En esta sección veremos la relación entre lı́mite en R2 y lı́mite a lo largo de una curva para una función de R2 en R. Proposición 13.10. Sean D ⊂ R2 , x~o un punto de acumulación de D, I un intervalo abierto y g : I → D tales que: (a) existe to ∈ I tal que g(to ) = x~o , (b) g(t) 6= x~o si t 6= to , (c) g es continua. 3. RELACIÓN ENTRE LÍMITE EN R2 Y LÍMITE A LO LARGO DE CURVAS. 231 Sea f : D → R una función. Si existe lim~x→x~o f (~x) entonces lim f (g(t)) = lim f (~x). t→to ~ x→x~o Es decir: Si ~x se acerca al punto x~o a lo largo de g entonces f (~x) se tiene que acercar a lim~x→x~o f (~x). Tal como muestran los siguientes ejemplos, esta Proposición es muy útil para demostrar que un lı́mite no existe. Ejemplo 13.11. (a) Supongamos que queremos averiguar si existe lim (x,y)→(0,0) x2 xy . + y2 Ponemos y = mx para f (x, y) = xy . x2 + y 2 Entonces tenemos que f (x, mx) = mx2 m = x 2 + m2 x 2 1 + m2 Luego lim f (x, mx) = x→0 m . 1 + m2 Pero esta expresión varı́a con m, ası́ que xy (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim no existe. (b) Estudiemos x2 − y 2 . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim A lo largo de la recta y = mx, tenemos x 2 − m2 x 2 x2 (1 − m2 ) 1 − m2 = lim = . x→0 x2 + m2 x2 x→0 x2 (1 + m2 ) 1 + m2 lim Claramente el lı́mite depende de la recta, por lo tanto no existe el lı́mite. 232 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. 4. Lı́mites iterados Los lı́mites iterados son: lim (lim f (x, y)), lim(lim f (x, y)) x→a y→b Ejemplo 13.12. Sea f (x, y) = y→b x→a x−y si x + y 6= 0. x+y Entonces −y x−y = = −1, x→0 x→0 x + y y x−y x lim f (x, y) = lim = = 1. y→0 y→0 x + y x lim f (x, y) = lim Ası́ que lim (lim f (x, y)) = 1, x→0 y→0 lim (lim f (x, y)) = −1. y→0 x→0 Teorema 13.13. Sea D ⊂ R2 y sea (a, b) ∈ R2 tal que existe un entorno de (a, b) contenido en D. Sea f : D → R una función. Si existe lim (x,y)→(a,b) f (x, y) = L, si existen los siguientes lı́mites unidimensionales lim f (x, y) x→a y lim f (x, y) y→b entonces lim (lim f (x, y)) = lim(lim f (x, y)) = L. x→a y→b y→b x→a El Teorema 13.13 puede ser útil para demostrar que ciertos lı́mites en R2 no existen, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo. Ejemplo 13.14. Consideremos nuevamente la función x−y si x + y 6= 0, f (x, y) = x+y ya estudiada en el ejemplo previo. Se observa que los lı́mites iterados son diferentes, el teorema anterior nos permite asegurar que f (x, y) no tiene lı́mite cuando (x, y) tiende a (0, 0). 5. LÍMITE A LO LARGO DE CURVAS PARA UNA FUNCIÓN DE R3 EN R. 233 Las hipótesis del Teorema anterior pueden ser debilitadas. El recı́proco del Teorema 13.13 no es cierto. Puede ocurrir que los lı́mites iterados existan y sean iguales, y que no exista el lı́mite en R2 . El siguiente ejemplo ilustra esta situación. Ejemplo 13.15. Sea f (x, y) =   x2 xy + y2  0 si (x, y) 6= (0, 0), si (x, y) = (0, 0). Usando lı́mite a lo largo de una curva ya probamos que lim (x,y)→(0,0) x2 xy + y2 no existe. Sin embargo lim f (x, y) = lim x→0 x→0 x2 0 xy = 2 = 0, 2 +y y luego lim lim f (x, y)) = 0. y→0 x→0 También lim f (x, y) = lim y→0 y→0 x2 xy 0 = 2 = 0, 2 +y x luego lim lim f (x, y)) = 0. x→0 y→0 5. Lı́mite a lo largo de curvas para una función de R3 en R. 5.1. Punto de acumulación en R3 . Sean x~o ∈ R3 y D ⊂ R3 . Se dice que x~o es un punto de acumulación de D cuando en cada esfera de centro x~o hay al menos un punto de D, distinto de x~o . En forma más precisa se tiene: Definición 13.16. Sean x~o ∈ R3 , D ⊂ R3 . Se dice que x~o es un punto de acumulación de D cuando para cada r > 0 se tiene que existe ~v ∈ D tal que ~v 6= x~o y k~v − x~o k < r. 234 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. 5.2. Lı́mite a lo largo de una curva para una función de R3 en R. El procedimiento que vamos a desarrollar a continuación, en el espacio, es análogo a lo hecho para la recta y para el plano. Pero debemos tomar en cuenta que en un punto del espacio existen infinitas maneras de acercarse, además puede hacerse a través de diferentes curvas que podrı́an no estar contenidas en ningún plano. En diversas situaciones uno puede querer acercase a un punto por varias rectas, por parábolas o por cualquier otra curva. Lo más sencillo es tratar de acercarse por curvas que estén contenidas en los planos generados por los ejes cartesianos. Sean D ⊂ R3 y (xo , yo , zo ) un punto de acumulación de D. Sea I un intervalo abierto, sea g : I → D una curva tal que (a) existe to ∈ I tal que g(to ) = (xo , yo , zo ), (b) g(t) 6= (xo , yo , zo ) si t 6= to , (c) g es continua. Consideremos una función f : D → R, el lı́mite de f cuando (x, y, z) tiende a (xo , yo , zo ) a lo largo de la curva g es lim f (g(t)). t→to Ejemplo 13.17. Sea f (x, y, z) = x2 − y 2 − z 2 . x2 + y 2 + z 2 Calcularemos el lı́mite en (0, 0, 0) a lo largo de algunas rectas que pasan por el origen. La intersección del plano z = mx con el plano y = 0 da una recta. Sobre esa recta tenemos que f (x, 0, mx) = x2 − m 2 x2 . x 2 + m2 x 2 Luego x2 (1 − m2 ) 1 − m2 x2 − m 2 x2 = lim . = x→0 x2 (1 + m2 ) x→0 x2 + m2 x2 1 + m2 lim f (x, 0, mx) = lim x→0 En este ejemplo el lı́mite que hemos encontrado depende claramente de la pendiente de la recta: m. Es decir el resultado es diferente si colocamos diferentes valores de m. En otras palabras si nos acercamos por diferentes rectas obtenemos diferentes resultados. Por supuesto que también podrı́amos acercarnos por parábolas y por otras curvas. 7. RELACIÓN ENTRE LÍMITE EN R3 Y LÍMITE A LO LARGO DE UNA CURVA. 235 6. Lı́mite en R3 . Para R3 la definición es análoga a la que dimos para R2 . Definición 13.18. Sean D ⊂ R3 , x~o ∈ R3 un punto de acumulación de D, f : D → R una función y L ∈ R. Decimos que el lı́mite de f (~x) cuando ~x tiende al punto x~o es L si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces |f (~x) − L| < ε. Abreviado: lim f (~x) = L. ~ x→x~o Las propiedades del lı́mite, ya conocidas para funciones reales de variable real y para funciones reales de variable en el plano se extienden para funciones reales de variable en el espacio, más precisamente: Teorema 13.19 (Propiedades del lı́mite para campos escalares). Sean λ ∈ R, D ⊂ R3 , x~o un punto de acumulación de D, sean f, g : D → R funciones tales que lim f (~x) existen y son finitos. Entonces lim g(~x) y ~ x→x~o ~ x→x~o (a) lim λf (~x) = λ lim f (~x). ~ x→x~o ~ x→x~o (b) lim (f (~x) + g(~x)) = lim f (~x) + lim g(~x). ~ x→x~o ~ x→x~o ~ x→x~o (c) lim (f (~x) g(~x)) = ( lim f (~x)) ( lim g(~x)). ~ x→x~o ~ x→x~o ~ x→x~o (d) Si lim g(~x) 6= 0 entonces ~ x→x~o lim ~ x→x~o µ f (~x) g(~x) ¶ lim f (~x) = ~ x→x~o lim g(~x) . ~ x→x~o La demostración para R3 es análoga a la de R2 . 7. Relación entre lı́mite en R3 y lı́mite a lo largo de una curva. En el espacio también hay una relación entre lı́mite y lı́mite por curvas. Es decir, existe un relación entre lı́mite en R3 y lı́mite a lo largo de una curva para una función de R3 en R. Proposición 13.20. Sean D ⊂ R3 , x~o un punto de acumulación de D, I un intervalo abierto y g : I → D tales que: 236 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. (a) existe to ∈ I tal que g(to ) = x~o , (b) g(t) 6= x~o si t 6= to , (c) g es continua. Sea f : D → R una función. Si existe lim~x→x~o f (~x) entonces lim f (g(t)) = lim f (~x). t→to ~ x→x~o Es decir: Si ~x se acerca al punto x~o a lo largo de g entonces f (~x) se tiene que acercar a lim~x→x~o f (~x). Esta Proposición es muy útil para demostrar que un lı́mite no existe. 8. Continuidad. Definición 13.21. Sean D ⊂ Rn , x~o ∈ D, f : D → R una función. Decimos que f es continua en x~o si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si k~x − x~o k < δ entonces |f (~x) − f (x~o )| < ε. Observación 13.22. Notar que si x~o es un punto de acumulación de D entonces f es continua en x~o si y sólo si lim~x→x~o f (~x) = f (x~o ). Definición 13.23. Sean D ⊂ Rn y f : D → R una función . Decimos que f es continua en D cuando f es continua en x~o para todo x~o ∈ D. Observación 13.24. Una función de dos variables puede ser continua en cada variable separadamente y, sin embargo, no ser continua como función de dos variables, tal como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 13.25. Sea f (x, y) = Tenemos que para un y fijo    x2 0 lim f (x, y) = lim x→0 xy + y2 x→0 x2 si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0) xy 0 = = 0 = f (0, y) 2 +y 0 + y2 ası́ que f es continua en la primera variable. Tenemos que para un x fijo lim f (x, y) = lim y→0 y→0 x2 xy 0 = 2 = 0 = f (x, 0) 2 +y x +0 ası́ que f es continua en la segunda variable. 9. LECTURA ADICIONAL: DEMOSTRACIONES DE ALGUNOS TEOREMAS DE LÍMITES. 237 Sin embargo, tal como ya lo probamos lim (x,y)→(0,0) x2 xy + y2 no existe. Ası́ que f no es continua en (0, 0) (como función de dos variables). Las propiedades ya conocidas de las funciones continuas de R en R se extienden de manera natural a las funciones de varias variables. Como ejercicio demostrar los siguientes resultados. Proposición 13.26. (a) La suma de funciones continuas es una función continua. (b) El producto de funciones continuas es una función continua. (c) El cociente de una función continua entre otra función continua que no se anula también es una función continua. Proposición 13.27. Sea n = 2 ó n = 3. Sean A ⊂ Rn y B ⊂ R. Si f : A → R y g : B → R son continuas y f (A) ⊂ B entonces la función g ◦ f : A → R es una función continua. Ejemplo 13.28. Las siguientes funciones son continuas: (a) f (x, y) = (x + y)2 . (b) f (x, y) = sen2 (x + y) + xy cos y. (c) f (x, y) = ex+y 2 +z 3 . Proposición 13.29. Sea D ⊂ Rn . Si f : D → Rm es continua entonces la función g : D → R definida por g(~x) = kf (~x)k es continua. 9. Lectura adicional: Demostraciones de algunos teoremas de lı́mites. Sea n = 2 ó n = 3. Lema 13.30. Sean D ⊂ Rn , f : D → R una función y x~o un punto de acumulación de D. Si lim~x→x~o f (~x) existe entonces existe δo > 0 tal que f es acotada en D ∩ (B(x~o , δo ) \ {x~o }). Donde B(x~o , δo ) = {~x ∈ Rn : k~x − x~o k < δo }. ~ = lim~x→x~o f (~x). Considerando ε = 1 en la definición de lı́mite Demostración. Sea L obtenemos que existe δo > 0 tal que si ~x ∈ D y 0 < k~x − x~o k < δo entonces ~ < 1. kf (~x) − Lk 238 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. Como ~ ≤ | kf (~x)k − kLk ~ | ≤ kf (~x) − Lk, ~ kf (~x)k − kLk tenemos que ~ +1 kf (~x)k < kLk para ~x ∈ D ∩ B(x~o , δo ) y ~x 6= x~o . ¤ Teorema 13.31 (Producto de lı́mites). Sean D ⊂ Rn , x~o un punto de acumulación de D, sean f, g : D → R funciones tales que lim f (~x) ~ x→x~o y lim g(~x) ~ x→x~o existen y son finitos. Entonces lim (f (~x) g(~x)) = ( lim f (~x)) ( lim g(~x)). ~ x→x~o ~ x→x~o ~ x→x~o Demostración. que Como lim~x→x~o f (~x) y lim~x→x~o g(~x) existen y son finitos, existen L1 ∈ R y L2 ∈ R tales L1 = lim f (~x) ~ x→x~o y L2 = lim g(~x). ~ x→x~o Por el lema 13.30 existe δo > 0 tal que f es acotada en D ∩ B(x~o , δo ). Sea M la cota, es decir, |f (~x)| ≤ M si ~x ∈ D ∩ B(x~o , δo ). Dado ε > 0 sea γ = ε/(M + |L2 |) entonces γ > 0. Usando la definición de lı́mite se sigue que: Existe δ1 > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ1 entonces |f (~x) − L1 | < γ Y existe δ2 > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ2 entonces |g(~x) − L2 | < γ. Sea δ = min{δo , δ1 , δ2 }. Sea ~x ∈ D tal que 0 < k~x − x~o k < δ. Entonces |f (~x)g(~x) − L1 L2 | = |f (~x)g(~x) − f (~x)L2 + f (~x)L2 − L1 L2 | ≤ |f (~x)||g(~x)) − L2 | + |L2 ||f (~x) − L1 | ≤ M γ + |L2 |γ = (M + |L2 |)γ = ε. De donde |f (~x)g(~x) − L1 L2 | < ε. 9. LECTURA ADICIONAL: DEMOSTRACIONES DE ALGUNOS TEOREMAS DE LÍMITES. 239 Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces |f (~x)g(~x) − L1 L2 | < ε. Es decir, lim f (~x)g(~x) = L1 L2 . ~ x→x~o ¤ Lema 13.32. Sean D un subconjunto de Rn , g : D → R una función y x~o un punto de acumulación de D. ~ 6= ~0 entonces existen m > 0 y δo > 0 tales que |g(~x)| ≥ m para todo Si lim~x→x~o g(~x) = L ~x ∈ D ∩ (B(x~o , δo ) \ {x~o }). Donde B(x~o , δo ) = {~x ∈ Rn : k~x − x~o k < δo }. ~ Demostración. Considerando ε = kLk/2 en la definición de lı́mite obtenemos que existe δo > 0 tal que si ~x ∈ D y 0 < k~x − x~o k < δo entonces ~ < kg(~x) − Lk ~ kLk . 2 Supongamos que ~x ∈ D ∩ (B(x~o , δo ) \ {x~o }) entonces ~ ~ ≤ kg(~x) − Lk ~ < kLk , |kg(~x)k − kLk| 2 por lo tanto − ~ ~ kLk ~ < kLk , < kg(~x)k − kLk 2 2 de donde kg(~x)k > ~ kLk . 2 ¤ Teorema 13.33 (Cociente de lı́mites). Sean D ⊂ Rn , x~o un punto de acumulación de D, sean f, g : D → R funciones tales que lim f (~x) ~ x→x~o y lim g(~x) ~ x→x~o existen y son finitos. Entonces Si lim g(~x) 6= 0 entonces ~ x→x~o lim ~ x→x~o µ f (~x) g(~x) ¶ lim f (~x) = ~ x→x~o lim g(~x) ~ x→x~o . 240 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. Demostración. que Como lim~x→x~o f (~x) y lim~x→x~o g(~x) existen y son finitos, existen L1 ∈ R y L2 ∈ R tales L1 = lim f (~x) ~ x→x~o y L2 = lim g(~x). ~ x→x~o Por el lema 13.32 existen m > 0 y δo > 0 tales que si ~x ∈ D ∩ (B(x~o , δo ) \ {x~o }) entonces |g(~x)| ≥ m y por lo tanto 1 1 ≤ . |g(~x)| m Dado ε > 0 sea γ= entonces γ > 0. m|L2 | ε |L2 | + |L1 | Usando la definición de lı́mite se sigue que: Existe δ1 > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ1 entonces |f (~x) − L1 | < γ Y existe δ2 > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ2 entonces |g(~x) − L2 | < γ. Sea δ = min{δo , δ1 , δ2 }. Sea ~x ∈ D tal que 0 < k~x − x~o k < δ. Entonces ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (~x) L1 ¯ ¯ f (~x)L2 − g(~x)L1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ g(~x) − L2 ¯ = ¯ g(~x)L2 |f (~x)L2 − L1 L2 + L1 L2 − g(~x)L1 | = |g(~x)L2 | |L2 ||f (~x) − L1 | + |L1 ||L2 − g(~x))| ≤ m|L2 | |L2 |γ + |L1 |γ ≤ m|L2 | |L2 | + |L1 | γ = ε. = m|L2 | De donde ¯ ¯ ¯ f (~x) L1 ¯ ¯ ¯ ¯ g(~x) − L2 ¯ < ε. Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si ~x ∈ D y si 0 < k~x − x~o k < δ entonces ¯ ¯ ¯ f (~x) L1 ¯ ¯ ¯ ¯ g(~x) − L2 ¯ < ε. ¤ 10. LECTURA ADICIONAL: CONTINUIDAD DE LA NORMA Y DEL PRODUCTO INTERNO. 241 10. Lectura adicional: Continuidad de la norma y del producto interno. Si ~a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn la norma de ~a es: v u n uX a2k . k~ak = t k=1 Teorema 13.34 (Continuidad de la norma). Sea x~o ∈ Rn entonces lim k~xk = kx~o k. ~ x→x~o Demostración. Dado ε > 0 sea δ = ε. Si ~x ∈ D y 0 < k~x − x~o k < δ entonces |k~xk − kx~o k| ≤ k~x − x~o k < δ = ε. Luego lim k~xk = kx~o k. ~ x→x~o ¤ Si ~a = (a1 , . . . , an ), ~b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn el producto interno usual es: h~a, ~bi = n X ak bk . k=1 La desigualdad de Cauchy-Schwarz sigue siendo cierto para cualquier número natural n y la demostración es la misma que en el caso de n = 2 ó n = 3. (1) Si ~a, ~b ∈ Rn entonces |h~a, ~bi| ≤ k~akk~bk. Es decir, si a1 , . . . , an y b1 , . . . , bn son números reales arbitrarios entonces !à n à n !2 à n ! X X X a2k ≤ ak bk b2k . (2) Si algún ai 6= 0 entonces: à n X k=1 k=1 k=1 k=1 ak bk !2 = à n X k=1 a2k !à n X k=1 b2k ! si y sólo si existe xo ∈ R tal que ak xo + bk = 0 para k = 1, . . . , n. 242 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. Teorema 13.35 (Continuidad del producto interno). Sean x~o , ~v ∈ Rn entonces lim h~x, ~v i = hx~o , ~v i. ~ x→x~o Demostración. Si k~v k = ~0 entonces h~x, ~v i = 0 para todo ~x ∈ Rn . Supongamos k~v k 6= ~0. Dado ε > 0 sea δ = ε/k~v k. Sea ~x ∈ D tal que 0 < k~x − x~o k < δ. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz: kh~x, ~v i − hx~o , ~v ik = kh~x − x~o , ~v ik ≤ k~x − x~o kk~v k < δk~v k = ε. Luego lim h~x, ~v i = hx~o , ~v i. ~ x→x~o ¤ EJERCICIOS. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. 243 Ejercicios. Lı́mites de campos escalares. En lo que sigue usaremos [x] para denotar a la parte entera de x. (1) Para las siguientes funciones f : R → R, dibuje su gráfica e indique los puntos en los que no es continua. (a) f (x) = [x] (b) f (x) = [−x] (c) f (x) = [x] + [−x] (d) f (x) = [sen x] (2) Hallar los siguientes lı́mites (en caso de que existan) (a) lim x→xo (b) lim x→xo sen2 x x→0 x x2 − x2o x − xo (c) lim sen2 x x→0 x2 x3 − x3o x − xo (d) lim (3) Hallar los siguientes lı́mites (en caso de que existan) (a) lim (x3 , cos x) (c) lim (x3 − 7, tan x) x→0 x→0 (b) lim (ex , [−x]) (d) lim (sen x, [sen x]) x→0 x→0 (4) Hallar los siguientes lı́mites (en caso de que existan) (a) lim (x,y)→(0,1) x3 y (b) (5) Calcular x2 + 3y 2 (x,y,z)→(0,0,0) x + 1 lim (6) Determinar si el siguiente lı́mite existe sen(x2 + y 2 ) (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim lim (x,y)→(0,1) ex y 244 13. LÍMITES DE CAMPOS ESCALARES. (7) Demuestre que no existe x2 . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim (8) Demuestre que: p (a) |y| ≤ x2 + y 2 x2 <1 x2 + y 2 ¯ 2 ¯ ¯ xy ¯ ¯ < |y| (c) ¯¯ 2 x + y2 ¯ (b) (d) x2 y =0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim (9) Para (x, y) 6= (0, 0) sea 7 x y2 . x2 + y 2 (a) Hallar el lı́mite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la recta f (x, y) = y = mx. (b) Hallar el lı́mite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la curva y = x2 . (c) ¿Existe lim (x,y)→(0,0) f (x, y)? (d) Diga si es posible definir f (0, 0) de modo que f sea continua en (0, 0). (10) Para (x, y) 6= (0, 0) sea x2 − y 2 . x2 + y 2 Hallar el lı́mite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la recta y = mx. f (x, y) = Diga si es posible definir f (0, 0) de modo que f sea continua en (0, 0). CAPÍTULO 14 Diferenciación de campos escalares. Diferenciabilidad de un campo escalar en un punto. Derivadas parciales y direccionales. Concepto de gradiente. Interpretación geométrica del gradiente: Dirección de máximo crecimiento para una función de R2 en R. Condición suficiente de diferenciabilidad. Regla de la cadena para la composición de un campo escalar con una aplicación de R en R2 y de R en R3 . Diferenciación de funciones definidas en forma implı́cita. 1. Diferenciabilidad de un campo escalar en un punto. Motivación. Sea f : R → R una función y sea xo ∈ R. Recordemos que f es diferenciable en xo si existe f (xo + h) − f (xo ) . h→0 h Este lı́mite se llama la derivada de f en el punto xo y se denota por f ′ (xo ). lim La generalización de este concepto a funciones de dos o tres variables no es nada inmediato. La primera dificultad que encontramos al tratar de extenderlo es que no podemos dividir entre un vector, sin embargo, vamos a tratar de reescribir la definición de derivada de manera tal que podamos generalizarla a funciones de varias variables. Sea f : R → R una función diferenciable en xo ∈ R y sea a = f ′ (xo ), es decir f (xo + h) − f (xo ) = a. h→0 h lim Entonces tenemos que f (xo + h) − f (xo ) − a h = 0, h→0 h lim o, lo que es equivalente | f (xo + h) − f (xo ) − a h | = 0. h→0 |h| lim 245 246 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. La función T : R → R dada por T (h) = a h es una transformación lineal. Por lo tanto tenemos el siguiente resultado: Sea f : R → R una función y sea xo ∈ R. f es diferenciable en xo si y sólo si existe una transformación lineal T : R → R tal que | f (xo + h) − f (xo ) − T (h) | = 0. |h| lim h→0 Concepto de diferenciabilidad. La discusión previa motiva la siguiente definición. Definición 14.1. Sean D ⊂ Rn un abierto, f : D → R una función y ~xo ∈ D. que Decimos que f es diferenciable en ~xo si existe una transformación lineal T : Rn → R tal (14.1) |f (~xo + ~h) − f (~xo ) − T (~h)| = 0. ~h→~0 k~hk lim Observación 14.2. Se puede demostrar (ver [8]) que si f es diferenciable en xo entonces existe una única transformación lineal T que satisface (14.1). Definición 14.3. Si f es diferenciable en ~xo , el diferencial de f en ~xo es la única transformación lineal que satisface (14.1), y se denota por df~xo . Resumiendo: Si f es diferenciable en ~xo , entonces existe una única transformación lineal, que denotaremos por df~xo , tal que |f (~xo + ~h) − f (~xo ) − df~xo (~h)| = 0. ~h→~0 k~hk lim Al igual que en el caso de una variable, tenemos el siguiente resultado. Teorema 14.4. Si f es diferenciable en ~xo , entonces f es continua en ~xo . 1. DIFERENCIABILIDAD DE UN CAMPO ESCALAR EN UN PUNTO. 247 Demostración. Por ser f diferenciable en ~xo , existe una transformación lineal T : Rn → R tal que |f (~xo + ~h) − f (~xo ) − T (~h)| = 0, ~h→~0 k~hk lim como toda transformación lineal es continua, tenemos que lim T (~h) = 0, ~h→~0 luego ! ~h) − f (~xo ) − T (~h) + T (~h)| |f (~ x + o lim |f (~xo + ~h) − f (~xo )| = lim k~hk ~h→~0 ~h→~0 k~hk ! à ~h) − f (~xo ) − T (~h) |f (~ x + o ≤ lim k~hk + lim |T (~h)| ~ ~h→~0 ~h→~0 khk à = 0, de donde lim f (~xo + ~h) = f (~xo ). ~h→~0 ¤ Observación 14.5. Tal y cómo era de esperarse en el caso n = 1, la definición que hemos dado de diferenciabilidad, coincide con la definición usual de derivada. En efecto, en este caso la transformación lineal T es de la forma T (h) = a h para algún a ∈ R. Luego |f (xo + h) − f (xo ) − a h| = 0, h→0 |h| lim de donde f (xo + h) − f (xo ) = a. h→0 h lim Es muy importante notar que, en este caso, el diferencial de f en xo es la función lineal definida por T (h) = f ′ (xo )h. 248 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Observación 14.6. Tal como ocurre en el caso de una variable, se cumple lo siguiente: (1) Si f y g son funciones diferenciables en ~xo y λ ∈ R, entonces λ f + g es diferenciable en ~xo y d~xo (λ f + g) = λ d~xo f + d~xo g. (2) Si f es diferenciable en un abierto “conexo” D (de manera informal conexo quiere decir que está formado por una sola pieza) y d~x f = 0 para todo ~x ∈ D, entonces f es constante en D. 2. Derivadas parciales y direccionales. Caso n = 2. Definición 14.7. Sean D ⊂ R2 un abierto, f : D → R un campo escalar y (xo , yo ) ∈ D. La derivada parcial del campo escalar f con respecto a x en (xo , yo ) se define por ∂f f ((xo , yo ) + (t, 0)) − f (xo , yo ) (xo , yo ) = lim t→0 ∂x t f (xo + t, yo ) − f (xo , yo ) = lim , t→0 t en caso de que el lı́mite exista. Esta derivada se calcula de la siguiente manera: se considera la variable y como constante y se deriva con respecto a x usando las reglas usuales de derivación. Ejemplo 14.8. Sea f (x, y) = ex+y sen x. Entonces ∂f (x, y) = ex+y sen x + ex+y cos x. ∂x Si (xo , yo ) = (π/3, 2) tenemos que ∂f (π/3, 2) = eπ/3+2 sen(π/3) + eπ/3+2 cos(π/3) = ∂x √ 3 + 1 2+π/3 e . 2 La derivada parcial de f con respecto a x en el punto (xo , yo ) la podemos interpretar geométricamente de la siguiente manera: Intersectamos la superficie z = f (x, y) con el plano y = yo y obtenemos la curva señalada en el dibujo, la pendiente de la recta tangente a esta ∂f curva en el punto (xo , yo , f (xo , yo )) es igual a (xo , yo ). ∂x 2. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. 249 z z = f(x,y) yo y xo (xo,yo ) x Figura 14.1. Interpretación geométrica de la derivada parcial Definición 14.9. Sean D ⊂ R2 un abierto, f : D → R un campo escalar y (xo , yo ) ∈ D. La derivada parcial del campo escalar f con respecto a y en (xo , yo ) se define por f ((xo , yo ) + (0, t)) − f (xo , yo ) ∂f (xo , yo ) = lim t→0 ∂y t f (xo , yo + t) − f (xo , yo ) , = lim t→0 t en caso de que el lı́mite exista. Esta derivada se calcula de la siguiente manera: se considera la variable x como constante y se deriva con respecto a y usando las reglas usuales de derivación. Ejemplo 14.10. Sea f (x, y) = ex+y sen x. Entonces ∂f (x, y) = ex+y sen x. ∂y Como ejercicio halle ∂f (4, π). ∂y 250 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Definición 14.11. Sean D ⊂ R2 un abierto, f : D → R, ~v ∈ R2 un vector de norma uno y (xo , yo ) ∈ D. La derivada direccional del campo escalar f en la dirección del vector ~v en el punto (xo , yo ) es D~v f (xo , yo ) = lim t→0 f ((xo , yo ) + t~v ) − f (xo , yo ) t siempre que el lı́mite exista. De la definición sigue que D~v f (xo , yo ) mide la variación de f en la dirección del vector ~v en el punto (xo , yo ). Observación 14.12. Notar que ∂f (xo , yo ) = D(1,0) f (xo , yo ), ∂x ∂f (xo , yo ) = D(0,1) f (xo , yo ). ∂y Ejercicio 14.13. Hacer dibujos, similares a la Figura 14.1, representado geométricamente la derivada parcial con respecto a y y con respecto a un vector ~v . Caso n = 3. Definición 14.14. Sean D ⊂ R3 un abierto, f : D → R un campo escalar y (xo , yo , zo ) ∈ D. La derivada parcial del campo escalar f con respecto a x en (xo , yo , zo ) se define por ∂f f ((xo , yo , zo ) + (t, 0, 0)) − f (xo , yo , zo ) (xo , yo , zo ) = lim t→0 ∂x t f (xo + t, yo , zo ) − f (xo , yo , zo ) , = lim t→0 t en caso de que el lı́mite exista. La derivada parcial del campo escalar f con respecto a y en (xo , yo , zo ) se define por ∂f f ((xo , yo , zo ) + (0, t, 0)) − f (xo , yo , zo ) (xo , yo , zo ) = lim , t→0 ∂y t en caso de que el lı́mite exista. 2. DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. 251 La derivada parcial del campo escalar f con respecto a z en (xo , yo , zo ) se define por f ((xo , yo , zo ) + (0, 0, t)) − f (xo , yo , zo ) ∂f (xo , yo , zo ) = lim , t→0 ∂z t en caso de que el lı́mite exista. Ejemplo 14.15. Sea f (x, y, z) = y(x2 + y 3 x + cos z). Entonces ∂f (x, y, z) = y(2x + y 3 ), ∂x ∂f (x, y, z) = (x2 + y 3 x + cos z) + y(3y 2 x), ∂y ∂f (x, y, z) = −y sen z. ∂z La derivada direccional se define de manera análoga y tenemos que ∂f (xo , yo , zo ) = D(1,0,0) f (xo , yo , zo ), ∂x ∂f (xo , yo , zo ) = D(0,1,0) f (xo , yo , zo ), ∂y ∂f (xo , yo , zo ) = D(0,0,1) f (xo , yo , zo ). ∂z Derivadas de orden superior. Si tenemos una función f : D → R, donde D ⊂ R3 es un abierto y f tiene derivadas par∂f también es una función de D en R, por lo tanto tiene sentido considerar ciales, entonces ∂x sus derivas parciales. Los siguientes ejemplos ilustran la notación usual µ ¶ ∂ 2f ∂ ∂f = , ∂x2 ∂x ∂x µ ¶ ∂ ∂f ∂ 2f = , ∂y∂x ∂y ∂x µ ¶ ∂ 2f ∂ ∂f , = ∂x∂y ∂x ∂y µ µ µ µ ¶¶¶¶ ∂5f ∂ ∂ ∂ ∂ ∂f = . 2 2 ∂x ∂z ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z ∂y 252 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Bajo ciertas hipótesis se cumple que una derivada parcial de orden superior es independiente del orden de derivación. Más precisamente, si todas las derivadas parciales hasta el orden n son continuas, entonces las derivadas parciales de orden menor o igual que n son independientes del orden. Por ejemplo si las derivadas parciales de primer y segundo orden de f son continuas, entonces ∂2f ∂ 2f = . ∂y∂x ∂x∂y En capı́tulos posteriores estudiaremos más en detalle las derivadas de orden superior. 3. Concepto de gradiente. Caso n = 2. Sean D ⊂ R2 un abierto y supongamos que f : D → R una función diferenciable en (xo , yo ) ∈ D. Entonces existe una transformación lineal (que es única), que denotamos por df(xo ,yo ) , tal que |f ((xo , yo ) + ~h) − f ((xo , yo )) − df(xo ,yo ) (~h)| = 0. ~h→~0 k~hk lim En particular, si tomamos ~h = t(1, 0) y hacemos t tender a 0, obtenemos |f ((xo , yo ) + t(1, 0)) − f ((xo , yo )) − df(xo ,yo ) (t(1, 0))| = 0, t→0 kt(1, 0)k lim como kt(1, 0)k = |t| y df(xo ,yo ) (t(1, 0)) = t df(xo ,yo ) (1, 0), tenemos que |f ((xo , yo ) + (t, 0)) − f ((xo , yo )) − t df(xo ,yo ) (1, 0)| = 0, t→0 |t| lim es decir, ¯ ¯ ¯ ¯ f ((xo , yo ) + (t, 0)) − f ((xo , yo )) − df(xo ,yo ) (1, 0) = 0¯¯ . lim ¯¯ t→0 t Este cálculo nos muestra que si f es diferenciable en (xo , yo ) entonces existe f ((xo , yo ) + (t, 0)) − f ((xo , yo )) t→0 t y es igual a df(xo ,yo ) (1, 0), o, dicho de otra manera, si f es diferenciable en (xo , yo ) entonces lim existe la derivada parcial de f con respecto a x en (xo , yo ) y además ∂f (xo , yo ) = df(xo ,yo ) (1, 0). ∂x 3. CONCEPTO DE GRADIENTE. 253 De igual manera se prueba que si f es diferenciable en (xo , yo ) entonces existe la derivada parcial de f con respecto a y en (xo , yo ) y además ∂f (xo , yo ) = df(xo ,yo ) (0, 1), ∂y y más generalmente, considerando ~h = t~v , se prueba que si f es diferenciable en (xo , yo ) y ~v es un vector de norma 1, entonces existe la derivada de f en la dirección de ~v y además D~v f (xo , yo ) = df(xo ,yo ) (~v ). Por otra parte, si ~v = (v1 , v2 ), tenemos que ~v = v1 (1, 0) + v2 (0, 1) y, por la linealidad de df(xo ,yo ) , df(xo ,yo ) (~v ) = v1 df(xo ,yo ) ((1, 0)) + v2 df(xo ,yo ) ((0, 1)) ∂f ∂f (xo , yo ) + v2 (xo , yo ) = v1 ∂x ∂y ¶ À ¿µ ∂f ∂f (xo , yo ), (xo , yo ) , (v1 , v2 ) . = ∂x ∂y Definición 14.16. Sea D ⊂ R2 un abierto, f : D → R un campo escalar y (xo , yo ) ∈ D. El gradiente de f en (xo , yo ) es ∇f (xo , yo ) = µ ¶ ∂f ∂f (xo , yo ), (xo , yo ) , ∂x ∂y en caso de que las derivadas parciales existan. El sı́mbolo ∇ que aparece en el gradiente se llama nabla. Los cálculos que hemos hecho los resume el siguiente resultado. Teorema 14.17. Sean D ⊂ R2 un abierto, (xo , yo ) ∈ D y f : D → R una función. Si f es diferenciable en (xo , yo ) entonces (a) Existen las derivadas parciales ∂f ∂f (xo , yo ) y (xo , yo ). ∂x ∂y (b) La derivada direccional, D~v f (xo , yo ), existe para todo ~v ∈ R2 de norma uno y D~v f (xo , yo ) = h∇f (xo , yo ), ~v i. 254 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Caso n = 3. Definición 14.18. Sea D ⊂ R3 un conjunto abierto, f : D → R un campo escalar y (xo , yo , zo ) ∈ D. El gradiente de f en (xo , yo , zo ) es µ ¶ ∂f ∂f ∂f ∇f (xo , yo , zo ) = (xo , yo , zo ), (xo , yo , zo ), (xo , yo , zo ) , ∂x ∂y ∂z en caso de que las derivadas parciales existan. Ejemplo 14.19. Sea f (x, y, z) = y(x2 + y 3 x + cos z). Entonces ∇f (x, y, z) = (y(2x + y 3 ), (x2 + y 3 x + cos z) + y(3y 2 x), −y sen z). Al igual que en el caso bidimensional, tenemos el siguiente resultado. Teorema 14.20. Sean D ⊂ R3 un abierto y f : D → R una función. Si f es diferenciable en (xo , yo , zo ) entonces (a) Existen las derivadas parciales ∂f ∂f ∂f (xo , yo , zo ), (xo , yo , zo ) y (xo , yo , zo ). ∂x ∂y ∂z (b) La derivada direccional, D~v f (xo , yo , zo ), existe para todo ~v ∈ R3 de norma uno y D~v f (xo , yo , zo ) = h∇f (xo , yo , zo ), ~v i. 4. Dirección de máximo crecimiento. De la definición de derivada direccional sigue que D~v f (~xo ) es una medida del crecimiento de f en ~xo , en la dirección del vector ~v . Además tenemos el siguiente resultado. Teorema 14.21. Sea f : Rn → R diferenciable en ~xo . Si ∇f (~xo ) 6= 0 entonces ∇f (~xo ) es un vector que apunta en la dirección de máximo crecimiento de f . Demostración. Sea ~v un vector de norma 1. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz |D~v f (~xo )| = |h∇f (~xo ), ~v i| ≤ k∇f (~xo )kk~v k = k∇f (~xo )k. Además la igualdad ocurre si y sólo si ~v es paralelo a ∇f (~xo ). Queremos hallar un vector ~v tal que D~v f (~xo ) sea lo más grande posible. Estos valores están acotados por k∇f (~xo )k. 5. CONDICIÓN SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD. 255 Como ∇f (~xo ) 6= 0, el vector v~o = 1 ∇f (~xo ) k∇f (~xo )k nos da la dirección de máximo crecimiento de f . ¤ 5. Condición suficiente de diferenciabilidad. Hemos visto que si f es diferenciable en un punto, entonces existen las derivadas parciales de f en dicho punto. El recı́proco no es cierto, puede ocurrir que existan las derivadas parciales en un punto dado y que la función no sea diferenciable en dicho punto. Sin embargo si las derivadas parciales satisfacen ciertas condiciones adicionales, podemos garantizar la diferenciabilidad, mas precisamente, se cumple el siguiente resultado. Teorema 14.22. Sean D ⊂ Rn un abierto, f : D → R una función y ~xo ∈ D. Si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas en un entorno de ~xo entonces f es diferenciable en ~xo . Este resultado permite probar que algunas funciones son diferenciables. Ejemplo 14.23. Demostrar que la función definida por f (x, y) = 3x2 y − xy 2 es diferen- ciable en todo R2 Tenemos que ∂f (x, y) = 6xy − y 2 , ∂x ∂f (x, y) = 3x2 − 2xy. ∂y Las dos derivadas parciales son continuas en todo R2 , por el teorema f es diferenciable en todo R2 . Observación 14.24. Es importante notar que del Teorema anterior sigue que si D ⊂ Rn es un abierto y f : D → R es una función, tal que todas las derivadas parciales de f existen y son continuas en D, entonces f es diferenciable en todo punto de D. 256 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Lectura adicional: funciones continuamente diferenciables. Definición 14.25. Sean D ⊂ Rn un abierto, f : D → Rm una función y ~xo ∈ D, se dice que f es continuamente diferenciable en ~xo si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas en un entorno de ~xo . Por eso en muchos libros el teorema anterior aparece enunciado de la siguiente manera: Teorema 14.26. Sean D ⊂ Rn un abierto, f : D → Rm una función y ~xo ∈ D. Si f es continuamente diferenciable en ~xo entonces f es diferenciable en ~xo . La demostración de este resultado está por encima del alcance de estas notas. Una demostración detallada se puede encontrar en [8]. 6. Regla de la cadena. La regla de la cadena se extiende para la composición de una campo escalar con una trayectoria de la siguiente manera. Teorema 14.27 (Regla de la cadena). Sean D ⊂ Rn un abierto y f : D → R una función. Sea α : (a, b) → Rn una función y sea t ∈ (a, b) tal que α(t) ∈ D. Supongamos que: (a) α es diferenciable en t, (b) f es diferenciable en α(t). Entonces f ◦ α es diferenciable en t y se tiene (f ◦ α)′ (t) = h∇f (α(t)), α′ (t)i. No daremos la demostración de este teorema, una versión más general se puede encontrar en [8]. Es importante adquirir destreza operativa en lo que se refiere al manejo de la regla de la cadena. En los siguientes ejemplos supondremos que las funciones involucradas son diferenciables y que las composiciones están todas bien definidas, de manera que aplicaremos la regla de la cadena sin tener que preocuparnos por las hipótesis. Ejemplo 14.28. Supongamos que tenemos f : R3 → R y α : R → R3 . La función α está dada por tres funciones coordenadas, es decir, α(t) = (α1 (t), α2 (t), α3 (t)) donde αi : R → R, i = 1, 2, 3. 6. REGLA DE LA CADENA. 257 Por la regla de la cadena (f ◦ α)′ (t) = h∇f (α(t)), α′ (t)i ¶ À ¿µ ∂f ∂f ∂f ′ ′ ′ (α(t)), (α(t)), (α(t)) , (α1 (t), α2 (t), α3 (t)) = ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f (α(t)) α1′ (t) + (α(t)) α2′ (t) + (α(t)) α3′ (t). = ∂x ∂y ∂z Es usual utilizar la siguiente notación, que aunque es menos explı́cita y puede resultar confusa, nos ayuda a entender mejor cómo hacer los cálculos. Sea w = f (x, y, z) y x = α1 (t), y = α2 (t), z = α3 (t), entonces dw ∂w dx ∂w dy ∂f dz = + + . dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt Ejemplo 14.29. Si tenemos f : R3 → R y ψ : R2 → R3 entonces f ◦ψ : R2 → R. Veamos cómo calcular las derivadas parciales de f ◦ ψ en términos de las derivadas parciales de f y de ψ. Las variables que están en el dominio de f las vamos a denotar por (x, y, x) y las variables que están en el dominio de ψ las vamos a denotar por (s, t), es decir f depende de (x, y, z) y ψ depende de (s, t), además ψ(s, t) = (ψ1 (s, t), ψ2 (s, t), ψ3 (s, t)). Tenemos que ∂f ∂ψ1 ∂f ∂ψ2 ∂f ∂ψ3 ∂(f ◦ ψ) (s, t) = (ψ(s, t)) (s, t) + (ψ(s, t)) (s, t) + ψ(s, t) (s, t), ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂(f ◦ ψ) ∂f ∂ψ1 ∂f ∂ψ2 ∂f ∂ψ3 (s, t) = (ψ(s, t)) (s, t) + (ψ(s, t)) (s, t) + ψ(s, t) (s, t). ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t En la práctica se suele usar la siguiente notación, que aunque es menos explı́cita porque no nos indica donde debemos evaluar cada función, nos ayuda a aplicar la regla de la cadena. Sea w = f , es decir w es una función de (x, y, z), lo que se suela abreviar de la siguiente manera w = w(x, y, z). 258 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Al hacer la composición f ◦ ψ estamos poniendo (x, y, z) en función de (s, t), lo que se suele abreviar ası́ x = x(s, t) y = y(s, t) z = z(s, t). Las fórmulas para las derivadas parciales quedan ası́ ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ∂w = + + , ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = + + . ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t Ejemplo 14.30. Si f (x, y) = x3 − y 3 y F (u, v) = f (u v, u − v), hallar ∂F . ∂u Estamos haciendo el cambio x = uv y = u − v, por la regla de la cadena ∂F ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u = 3 x2 v − 3 y 2 1 = 3(u v)2 v − 3(u − v)2 = 3 u2 v 3 − 3(u − v)2 . A manera de ejercicio, hallar explı́citamente la expresión para F (u, v), derivar directamente y verificar que se obtiene el mismo resultado. Hacer lo mismo con la variable v. Ejemplo 14.31. En cierto instante la altura de un cono recto circular es de 30 cm y está creciendo a razón de 2 cm/seg. En el mismo instante el radio de la base es de 20 cm y está creciendo a razón de 1 cm/seg. ¿A qué velocidad está creciendo el volumen del cono en ese instante? Si r = r(t) y h = h(t = son el radio y la altura del cono en el instante t, respectivamente, tenemos que V = 1 2 π r h. 3 6. REGLA DE LA CADENA. 259 Por lo tanto ∂V ∂r ∂V ∂h dV = + dt ∂r ∂t ∂h ∂t ∂r 1 2 ∂h 2 + πr . = πrh 3 ∂t 3 ∂t En el instante dado 2 1 2000 dV = π (20) (30) (1) + π (20)2 (2) = π. dt 3 3 3 Ejemplo 14.32. Si f = f (x, y) es una función de R2 en R, con derivadas parciales de primero y segundo orden continuas y F (r, θ) = f (r cos θ, r sen θ), expresar ∂ 2F en términos de las derivadas parciales de f . ∂r∂θ Estamos haciendo el cambio x = r cos θ y = r sen θ, por la regla de la cadena ∂F ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂f ∂f sen θ + r cos θ. = −r ∂x ∂y Nuevamente, por la regla de la cadena, ∂f ∂ 2F =− sen θ − r ∂r∂θ ∂x ∂f + cos θ + r ∂y µ µ ∂ 2 f ∂x ∂ 2 f ∂y + ∂ 2 x ∂r ∂y∂x ∂r ∂ 2 f ∂x ∂ 2 f ∂y + 2 ∂x∂y ∂r ∂ y ∂r ¶ ¶ sen θ cos θ, ∂y ∂x = cos θ, = sen θ y usando que las derivadas mixtas de orden 2 son ∂r ∂r iguales, obtenemos substituyendo ∂ 2F ∂f ∂f =− sen θ + cos θ + r ∂r∂θ ∂x ∂y µ ∂ 2f ∂2f − ∂ 2y ∂ 2x ¶ sen θ cos θ + r ∂ 2f (cos2 θ − sen2 θ). ∂y∂x 260 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. 7. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lı́nea. Teorema 14.33. Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : D → R una función con derivadas parciales continuas. Sean ~xo y ~x1 dos puntos de D y sea G ⊂ D una curva lisa a trozos con extremo inicial ~xo y extremo final ~x1 . Entonces Z ∇f · d~x = f (~x1 ) − f (~xo ). G Demostración. Supongamos primero que la curva G es lisa. Sea g : [a, b] → Rn una parametrización de clase C 1 de G. Entonces Z Z b h∇f (g(t)), g ′ (t)i dt ∇f · d~x = a G = Z b a d (f (g(t))) dt dt = f (g(b)) − f (g(a)). Supongamos ahora que G es lisa a trozos, entonces G = G1 ∪ · · · ∪ GN donde cada una de las curvas Gi es lisa y el extremo inicial de Gi es el extremo final de Gi−1 . Si por ~yi denotamos el extremo final de Gi tenemos que Z Z Z ∇f · d~x = ∇f · d~x + · · · + ∇f · d~x G GN G1 = f (~y1 ) − f (~xo ) + f (~y2 ) − f (~y1 ) + · · · + f (~yN ) − f (~xN −1 ) = f (~x1 ) − f (~xo ). ¤ Recordemos que se dice que una curva G es cerrada cuando su extremo final coincide con su extremo inicial. Corolario 14.34. Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y sea f : D → R una función con derivadas parciales continuas. La integral de lı́nea de ∇f sobre cualquier curva cerrada es igual a 0. Ejemplo 14.35. Calcular Z G x dx + y dy, 8. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS EN FORMA IMPLÍCITA. 261 donde G es el segmento de recta que va del punto (1, 2) al punto (3, 3). Debemos calcular Z G F · d~x, donde F (x, y) = (x, y), como F = ∇f , donde f (x, y) = x2 /2 + y 2 /2, tenemos que Z Z x dx + y dy = ∇f · d~x G G = f (3, 3) − f (1, 2) 9 9 1 4 + − − 2 2 2 2 13 = . 2 = 8. Diferenciación de funciones definidas en forma implı́cita. Lo que sigue a continuación debe entenderse intuitivamente, pues para que sea correcto hace falta agregar ciertas hipótesis de continuidad y de diferenciabilidad pedir que ciertos valores no sean nulos para poder dividir entre ellos. Consideremos la ecuación definida por f (x, y) = 0 donde y es una función definida implı́citamente por la variable x. Si f (x, y(x)) = 0, entonces d f (x, y(x)) = 0, dx luego, por la regla de la cadena ∂f dx ∂f dy + = 0. ∂x dx ∂y dx De donde ∂f dy = − ∂x . ∂f dx ∂y Ejemplo 14.36. Si tenemos x2 + y 2 = 1 y queremos hallar la derivada de y con respecto a x podemos usar el resultado anterior. En efecto sin necesidad de despejar y tenemos la fórmula para la derivada de y. Consideramos la función f dada por f (x, y) = x2 + y 2 − 1. Note que para esta f particular se cumple que f (x, y) = 0. Tenemos que ∂f = 2x, ∂x ∂f = 2y. ∂y 262 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Luego x dy =− . dx y Es decir dy x =− . dx y(x) Podemos considerar también una ecuación definida por f (x, y, z) = 0 donde z es una función definida implı́citamente por las variables x, y. En este caso ∂f ∂z ∂y . =− ∂f ∂y ∂z ∂f ∂z = − ∂x ∂f ∂x ∂z Ejemplo 14.37. Calcularemos de x y de y, mediante la ecuación ∂z ∂z y para z definida implı́citamente como una función ∂x ∂y x3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1. Para hallar la derivada con respecto a x, vemos a y como constante y consideramos a z como función de x. Procedemos ası́: 3x2 + 3z 2 ∂z ∂z + 6yz + 6xy = 0. ∂x ∂x Luego (3z 2 + 6xy) De donde ∂z = −3x2 − 6yz. ∂x −3x2 − 6yz −x2 − 2yz ∂z = = . ∂x 3z 2 + 6xy z 2 + 2xy Por otro lado, para hallar la derivada con respecto a y, vemos a x como constante y consideramos a z como función de y. Obtenemos: 3y 2 + 3z 2 ∂z ∂z + 6xz + 6xy = 0. ∂y ∂y Luego (3z 2 + 6xy) De donde ∂z = −3y 2 − 6xz. ∂y ∂z −3y 2 − 6xz −y 2 − 2xz = = . ∂y 3z 2 + 6xy z 2 + 2xy 8. DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS EN FORMA IMPLÍCITA. 263 Los teoremas que dan un marco teórico apropiado a lo que hemos estado haciendo son los siguientes: Teorema 14.38. Si f (x, y) es continua en una región que incluye un punto (xo , yo ) para ∂f ∂f y son continuas en esa región y si el cual f (xo , yo ) = 0, si ∂x ∂y ∂f (xo , yo ) 6= 0 ∂y entonces existe un entorno de (xo , yo ) sobre el que se puede despejar en f (x, y) = 0 la y como una función continua diferenciable de variable x, esto es y = φ(x), con yo = φ(xo ) y ∂f dy = − ∂x . ∂f dx ∂y Extendiendo este teorema se tiene: Teorema 14.39. Si f (x, y, z) es continua en una región que incluye un punto (xo , yo , zo ) ∂f ∂f ∂f , y son continuas en esa región y si para el cual f (xo , yo , zo ) = 0, si ∂x ∂y ∂z ∂f (xo , yo , zo ) 6= 0 ∂z entonces existe un entorno de (xo , yo , zo ) sobre el que se puede despejar en f (x, y, z) = 0 la z como una función continua diferenciable de variables x e y, esto es z = φ(x, y), con zo = φ(xo , yo ) y ∂f ∂z = − ∂x ∂f ∂x ∂z ∂f ∂z ∂y . =− ∂f ∂y ∂z 264 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. Ejercicios. Diferenciación de campos escalares. (1) Calcular todas las derivadas parciales de primer orden (a) f (x, y) = tan(x2 /y) para y 6= 0. (b) f (x, y) = arctan(y/x) (c) f (x, y) = arctan (d) f (x, y) = x(y 2) (e) f (x, y) = arccos (f) f (x, y, z) = µ para x 6= 0. x+y 1 − xy ¶ para xy 6= 1. para x > 0. p x/y xyz x+y+z para y 6= 0. para x + y + z 6= 0. (2) Demostrar que cada una de las siguientes funciones es diferenciable en su dominio. (a) f (x, y) = xy cos(xy). (b) f (x, y, z) = xyz . x+y+z (c) f (x, y, z) = xy + z 5 . (3) Sea f : R2 → R definida por  2 2  x − y f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) 6= (0, 0), si (x, y) = (0, 0). Hallar el conjunto de los puntos (x, y) de R2 en los que f es diferenciable. (4) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la función f (x, y) = x2 + y 2 en el punto (1, 1). EJERCICIOS. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. 265 (5) Hallar la derivada en la dirección del vector (1, 4) de la función f (x, y) = x4 + yey en el punto (2, 1). (6) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la función f (x, y) = x4 + x y 3 en el punto (2, 3). (7) Hallar la derivada en la dirección del vector (1, 1) de la función f (x, y) = sen x+cos y en el punto (π, π). (8) Si w = f (x, y, z) y x = s + t, expresar y = s − t, z = s t, ∂w ∂w y , en términos de las derivadas parciales de f . ∂s ∂t Después aplicar la fórmula obtenida para el caso particular f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . (9) El cambio a coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ transforma f (x, y) en g(r, θ), es decir g(r, θ) = f (r cos θ, r sen θ). Hallar las derivadas parciales de primero y segundo orden de g en términos de las derivadas parciales de f (suponer que f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas). por El operador Laplaciano: El Laplaciano de una función f : R2 → R se define ∇2 f = ∂ 2f ∂ 2f + , ∂x2 ∂y 2 análogamente, el Laplaciano de una función f : R3 → R se define por ∇2 f = ∂2f ∂ 2f ∂ 2f + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Al describir el movimiento del electrón del átomo de hidrógeno alrededor de su núcleo, aparece una ecuación en derivadas parciales que, salvo ciertas constantes, es la siguiente: − µ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z ¶ ψ +p = ψ, x2 + y 2 + z 2 266 14. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. es decir ψ = ψ. −∇2 ψ + p x2 + y 2 + z 2 En esta ecuación ψ es una función de las variables (x, y, z) y ψ es la incógnita a determinar. El primer paso para resolver esta ecuación es cambiar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, por eso la importancia práctica de los siguientes ejercicios. (10) ⋆ Laplaciano bi-dimensional en coordenadas polares. La introducción de coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ, transforma f (x, y) en g(r, θ). Demostrar las siguientes fórmulas (suponer que f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas): 2 (a) k∇f (r cos θ, r sen θ)k = (b) µ ∂g ∂r ¶2 1 + 2 r ∂ 2f ∂ 2g 1 ∂ 2 g 1 ∂g ∂ 2f + = + + . ∂x2 ∂y 2 ∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r µ ∂g ∂θ ¶2 . Indicación: Utilizar el ejercicio anterior. (11) ⋆ Laplaciano tri-dimensional en coordenadas esféricas. La introducción de coordenadas esféricas x = ρ cos θ sen ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos ϕ, transforma f (x, y, z) en F (ρ, θ, ϕ). Este ejercicio indica como hay que proceder para expresar el laplaciano ∇2 f en función de las derivadas parciales de F (suponer que f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas).: (a) Introducir primero las coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ para transformar f (x, y, z) en g(r, θ, z). Utilizar el ejercicio anterior para demostrar que ∇2 f = ∂ 2g 1 ∂ 2 g 1 ∂g ∂ 2 g + + + . ∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r ∂z 2 (b) Luego transformar g(r, θ, z) en F (ρ, θ, ϕ) tomando z = ρ cos ϕ, r = ρ sen ϕ. Observar que, salvo un cambio de notación, esta es la misma transformación EJERCICIOS. DIFERENCIACIÓN DE CAMPOS ESCALARES. 267 que se utilizó en la parte (a). Deducir que ∇2 f = ∂ 2F 2 ∂F 1 ∂ 2F cos ϕ ∂F 1 ∂ 2F + + + + . ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂ϕ2 ρ2 sen ϕ ∂ϕ ρ2 sen ϕ ∂θ2 (12) Suponga que u = f (x + at, y + bt), donde a y b son constantes. Demostrar que ∂u ∂u ∂u =a +b . ∂t ∂x ∂y (13) Una caja rectangular cambia de forma de manera tal que su largo crece a razón de 3 cm/seg, su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg. ¿A qué velocidad crece el volumen de la caja cuando el largo es de 15 cm, el ancho de 10 cm y la altura de 8 cm? ¿A qué velocidad crece el área de la caja en ese mismo instante? (14) Si z = f (y/x), demostrar que x (15) Calcular Z ∂z ∂z +y = 0. ∂x ∂y F1 (x, y) dx + F2 (x, y) dy, G en los siguientes casos: (a) F1 (x, y) = y cos(xy), F2 (x, y) = x cos(xy) y G es el segmento de recta que va del punto (0, 0) al punto (1, π/2). (b) F1 (x, y) = y cos(xy), F2 (x, y) = x cos(xy) y G es una curva cerrada. (c) F1 (x, y) = y, F2 (x, y) = x y G es una curva con extremo inicia (0, 1) y extremo final (3, 3). (16) Hallar ∂z ∂z y , si ∂x ∂y (a) z 3 + x3 + y 3 + z 2 y 2 = 0. (b) z + cos(xyz) = 1 CAPÍTULO 15 Plano tangente a algunas superficies. Plano tangente a una superficie dada en la forma: (a) F (x, y, z) = 0 y (b) z = f (x, y). Ecuación del plano tangente en cada uno de estos casos en términos de las derivadas parciales de F y f . Una superficie en R3 puede estar dada como un conjunto de nivel, como el gráfico de un campo escalar en dos variables y también en forma paramétrica. Estudiaremos cómo son los planos tangentes a los dos primeros tipos de superficies, las superficies dadas en forma paramétrica también pueden ser estudiadas (ver [8]). Dados (a, b, c), (x, y, z) ∈ R3 sabemos que el producto escalar de estos vectores es h(a, b, c), (x, y, z)i = ax + by + cz. Estos dos vectores son ortogonales cuando este producto escalar es igual a 0, es decir, cuando ax + by + cz = 0. En lo que acabamos de indicar (a, b, c) y (x, y, z) eran dos vectores fijos de R3 . A continuación (a, b, c) seguirá fijo pero (x, y, z) variará en R3 . Sabemos que la ecuación del plano es: (15.1) ax + by + cz = d donde (x, y, z) es un vector cualquiera de R3 . Por lo tanto ax + by + cz = 0 es la ecuación de un plano que pasa por el origen y tal que todos sus vectores son ortogonales al vector (a, b, c), esto lo abreviamos diciendo que el plano es ortogonal al vector (a, b, c). Trasladándonos podemos considerar planos que no pasan por el origen. En efecto a(x − xo ) + b(y − yo ) + c(z − zo ) = 0 269 270 15. PLANO TANGENTE A ALGUNAS SUPERFICIES. es la ecuación de un plano que pasa por el punto (xo , yo , zo ) y tal que todos sus vectores son ortogonales al vector (a, b, c), es decir, el plano es ortogonal al vector (a, b, c). Si tomamos d = axo + byo + czo obtenemos la ecuación 15.1. 1. Plano tangente a una superficie dada como un conjunto de nivel. Consideraremos el plano tangente a una superficie dada en la forma: F (x, y, z) = 0 y daremos la ecuación de este plano tangente en términos de las derivadas parciales de F . Sea F : R3 → R una función tal que existen sus derivadas parciales y son continuas y sea S0 la superficie de nivel de F dada por F (x, y, z) = 0. El plano tangente a la superficie dada como un conjunto de nivel, en el punto (xo , yo , zo ) es el plano de ecuación: (x − xo ) ∂F ∂F ∂F (xo , yo , zo ) + (y − yo ) (xo , yo , zo ) + (z − zo ) (xo , yo , zo ) = 0. ∂x ∂y ∂z Es decir h∇F (xo , yo , zo ), (x − xo , y − yo , z − zo )i = 0, siempre que ∇F (xo , yo , zo ) 6= ~0. Y la ecuación de la recta normal en (xo , yo , zo ) es: x − xo ∂F (xo , yo , zo ) ∂x = y − yo ∂F (xo , yo , zo ) ∂y = z − zo . ∂F (x , y , z ) o o o ∂z ∇F(α(to)) α(to) α’(to) Figura 15.1. 2. PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE DADA COMO UN GRÁFICO. 271 1.1. Lectura adicional: Justificación. Definición 15.1. Sea S una superficie en R3 y (xo , yo , zo ) ∈ S. Decimos que el vector ~v es ortogonal a S en (xo , yo , zo ) si para cada curva α : I → R3 tal que α(I) ⊂ S y α(to ) = (xo , yo , zo ) para algún to ∈ I se tiene que ~v es ortogonal a α′ (to ). Proposición 15.2. Sea F : R3 → R una función tal que existen sus derivadas parciales y son continuas. Sea Sc la superficie de nivel de F dada por Sc = {(x, y, z) ∈ R3 : F (x, y, z) = c}. Si (xo , yo , zo ) ∈ Sc y ∇F (xo , yo , zo ) 6= 0 entonces ∇F (xo , yo , zo ) es ortogonal a Sc en (xo , yo , zo ). Demostración. Sea α : I → R3 una curva tal que α(I) ⊂ Sc y α(to ) = (xo , yo , zo ) para algún to ∈ I. Entonces tenemos que F ◦ α ≡ c y por lo tanto (F ◦ α)′ (t) = 0. De la regla de la cadena sigue que (F ◦ α)′ (t) = h∇F (α(t)), α′ (t)i, para todo t ∈ I. En particular 1 = h∇F (α(to )), α′ (to )i = h∇F (xo , yo , zo ), α′ (to )i. ¤ 2. Plano tangente a una superficie dada como un gráfico. Consideraremos el plano tangente a una superficie dada en la forma: z = f (x, y) y daremos la ecuación del plano tangente en términos de las derivadas parciales de f . Si f : R2 → R una función tal que existen sus derivadas parciales y son continuas, entonces el gráfico de f define una superficie en R3 . A partir de esta función f construimos una nueva función F de la siguiente manera, F : R3 → R está definida por F (x, y, z) = −z + f (x, y). Notemos que decir z = f (x, y) es lo mismo que decir F (x, y, z) = 0. Tal como ya lo hemos indicado la ecuación del plano tangente a la superficie dada por F (x, y, z) = 0 es: 0 = (x − xo ) ∂F ∂F ∂F (xo , yo , zo ) + (y − yo ) (xo , yo , zo ) + (z − zo ) (xo , yo , zo ). ∂x ∂y ∂z 272 15. PLANO TANGENTE A ALGUNAS SUPERFICIES. Si buscamos la relación entre las derivadas parciales de F y las derivadas parciales de f encontramos que ∂f ∂F (x, y, z) = (x, y), ∂x ∂x ∂F ∂f (x, y, z) = (x, y), ∂y ∂y ∂F (x, y, z) = −1. ∂z Usando que zo = f (xo , yo ) y reemplazando en la ecuación del plano tangente obtenemos z = f (xo , yo ) + (x − xo ) ∂f ∂f (xo , yo ) + (y − yo ) (xo , yo ). ∂x ∂y Esta última es la ecuación del plano tangente a la superficie dada por el gráfico z = f (x, y) en el punto (xo , yo , f (xo , yo )) . Este plano es ortogonal al vector µ ¶ ∂f ∂f (xo , yo ), (xo , yo ), −1 . ∂x ∂y Hemos dado la ecuación del plano tangente en términos de las derivadas parciales de f . EJERCICIOS. PLANO TANGENTE A ALGUNAS SUPERFICIES. 273 Ejercicios. Plano tangente a algunas superficies. (1) Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto que se indica. (a) z = 3x2 + 2y 2 − 11 en (2, 1, 3). (b) F (x, y, z) = x2 + 3y 2 − 4z 2 + 3xy − 10yz + 4x − 5z − 22 = 0 en (1, −2, 1). (2) Probar que la ecuación del plano tangente a la superficie x2 y 2 z 2 − 2 − 2 =1 a2 b c en el punto Po = (xo , yo , zo ) es xxo yyo zzo − 2 − 2 = 1. a2 b c (3) Demostrar que las superficies dadas por F (x, y, z) = x2 + 4y 2 − 4z 2 − 4 = 0 y G(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 6x − 6y + 2z + 10 = 0 son tangentes en el punto (2, 1, 1). Sugerencia: (a) Halle los vectores direccionales de las rectas normales de cada una de las superficies y vea que éstos son proporcionales. (b) Pruebe que ambas superficies tienen el mismo plano tangente en el punto dado. (4) Probar que las superficies dadas por F (x, y, z) = xy + yz − 4zx = 0 y G(x, y, z) = 3z 2 − 5x + y = 0 se cortan en ángulo recto en el punto (1, 2, 1). Sugerencia: pruebe que los vectores direccionales de las rectas normales de cada una de las superficies son perpendiculares. CAPÍTULO 16 Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor. Derivadas de orden superior. Polinomio de Taylor para funciones de una variable. Desarrollo de Taylor para funciones de dos variables. 1. Derivadas de orden superior para funciones de una variable. Si bien es cierto que la derivada de una función f en un punto a es un número real al que llamamos f ′ (a), también es cierto que si variamos el punto obtenemos una función. A esa función la llamamos f ′ . A veces se puede derivar f ′ . Si evaluamos en a obtenemos el número real (f ′ )′ (a). A este valor se le llama la segunda derivada de f en a y se denota por f (2) (a), es decir, f (2) (a) = (f ′ )′ (a). Note que derivamos primero y evaluamos después, si lo hubiésemos hecho al revés estarı́amos derivando a la constante f ′ (a), cuya derivada es evidentemente igual a 0. Repitamos el razonamiento: Si bien es cierto que la segunda derivada de una función f en un punto a es un número real al que llamamos f (2) (a), también es cierto que si variamos el punto obtenemos una función. A esa función la llamamos f (2) . Esto es f (2) (x) = (f ′ )′ (x) A veces se puede derivar f (2) . Ası́ aparecen las derivadas de orden superior. En general se usa la siguiente notación: f (0) (x) = f (x) f (1) (x) = f ′ (x) f (k) (x) = (f (k−1) )′ (x) Cuando evaluamos en un punto a obtenemos las constantes f (a), f ′ (a), . . . , f (k) (a). 275 276 16. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y DESARROLLO DE TAYLOR. Ejemplo 16.1. Sea f (x) = ex . Entonces f ′ (x) = ex . Además f (2) (x) = ex . En general se tiene que: f (k) (x) = ex para todo k ∈ N. Ejemplo 16.2. Sea f (x) = sen x. Entonces f ′ (x) = cos x. Además f (2) (x) = − sen x y f (3) (x) = − cos x. En general se tiene que:   sen x     cos x f (k) (x) =  − sen x     − cos x si k = 4j para algún j ∈ N si k = 4j + 1 para algún j ∈ N si k = 4j + 2 para algún j ∈ N si k = 4j + 3 para algún j ∈ N 2. Derivadas de orden superior para funciones de dos variables. Sea f una función de dos variables. Las derivadas parciales de primer orden son fx = ∂f , ∂x fy = ∂f . ∂y Las derivadas parciales de segundo orden son fxy ∂ 2f ∂ = = ∂y∂x ∂y µ ∂f ∂x ¶ , µ ¶ ∂2f ∂ ∂f fyx = = , ∂x∂y ∂x ∂y µ ¶ ∂ ∂f ∂ 2f = , fxx = ∂x2 ∂x ∂x µ ¶ ∂ ∂f ∂2f fyy = 2 = . ∂y ∂y ∂y Ası́ sucesivamente las derivadas parciales de orden N son de la forma fa1 a2 a3 ...aN 2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES. 277 donde ai puede ser x o y. Vamos a ver que, bajo ciertas condiciones de regularidad, una derivada parcial de orden N es independiente del orden de derivación. Bajo estas condiciones de regularidad una derivada de orden N tiene la forma −k fxk N y ∂ N −k ∂N f = N −k k = N −k ∂y ∂x ∂y µ ∂kf ∂xk ¶ . Teorema 16.3. Sean D ⊂ R2 un abierto, f : D → R una función. Si las derivadas parciales de primero y segundo orden de f existen y son continuas en D entonces ∂ 2f ∂ 2f = . ∂y∂x ∂x∂y 2.1. Lectura adicional: demostración del teorema que da una condición suficiente para poder cambiar el orden de derivación. Demostración. Sea ~x = (x, y) ∈ D. Como D es abierto existe r > 0 tal que B(~x, r) ⊂ D. Sea ~h = (h1 , h2 ) ∈ R2 tal que k~hk < r. Entonces ~x + ~h ∈ B(~x, r) ⊂ D. Para k~hk < r sea F (~h) = (f (x + h1 , y + h2 ) − f (x + h1 , y)) − f (x, y + h2 ) + f (x, y). (a) Sea G(t) = f (t, y + h2 ) − f (t, y). Entonces F (~h) = G(x + h1 ) − G(x). Por el teorema del valor medio existe c1 = c1 (~h) ∈ (x, x + h1 ) tal que F (~h) = G(x + h1 ) − G(x) = h1 G′ (c1 ) = h1 (fx (c1 , y + h2 ) − fx (c1 , y)). De la misma manera, existe c2 = c2 (~h) ∈ (y, y + h2 ) tal que fx (c1 , y + h2 ) − fx (c1 , y) = h2 fxy (c1 , c2 ). Luego F (~h) = h1 h2 fxy (c1 , c2 ) = h1 h2 fxy (c1 (~h), c2 (~h)) donde lim~h→~0 (c1 (~h), c2 (~h)) = ~x. (b) Análogamente, invirtiendo el orden y usando que F (~h) = (f (x + h1 , y + h2 ) − f (x, y + h2 )) − f (x + h1 , y) + f (x, y) se puede demostrar que F (~h) = h1 h2 fyx (d1 (~h), d2 (~h)) donde lim~h→~0 (d1 (~h), d2 (~h)) = ~x. De lo hecho en (a) y (b) obtenemos: fxy (c1 (~h), c2 (~h)) = fyx (d1 (~h), d2 (~h)). 278 16. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y DESARROLLO DE TAYLOR. Haciendo ~h → ~0 y usando la continuidad de fxy y fyx se obtiene fxy (~x) = fyx (~x). ¤ Observación 16.4. El teorema anterior se extiende de manera natural a funciones de R3 en R y a derivadas de orden superior. 3. Desarrollo de Taylor para funciones de una variable. Recordemos que para funciones de una variable se cumple el siguiente resultado. Teorema 16.5 (Taylor). Sea f : [α, β] → R una función tal que f ′ , f ′′ , . . . , f (N +1) están definidas en [α, β], (N un entero positivo). Sean a y x distintos puntos del intervalo [a, b]. Entonces existe un punto c entre a y x tal que f (x) = N X f (k) (a) k=0 k! (x − a)k + f (N +1) (c) (x − a)N +1 . (N + 1)! El polinomio PN (x) = N X f (k) (a) k=0 k! (x − a)k se llama el polinomio de Taylor de grado N de f en a. Si a las hipótesis del Teorema anterior agregamos que existe M > 0 tal que |f (N +1) (x)| ≤ M para todo x ∈ [α, β], entonces tendremos que (16.1) f (x) − PN (x) = 0. x→a (x − a)N lim En particular, (16.1) se cumple si suponemos que f (N +1) es continua. 4. Desarrollo de Taylor para funciones de dos variables. Para poder introducir el desarrollo de Taylor en el caso de una función de dos variables debemos recordar el coeficiente binomial: µ ¶ N N! = k k!(N − k)! 4. DESARROLLO DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES. 279 El coeficiente binomial aparece en la fórmula algebraica conocida como el binomio de Newton: N (x + y) = N µ ¶ X N k k=0 xk y N −k . Definición 16.6. Sean (xo , yo ) ∈ R2 y D ⊂ R2 un entorno de (xo , yo ). Sea f : D → R una función de clase C N en D, el desarrollo de Taylor de f de grado N alrededor de (xo , yo ) es el polinomio PN (x, y) = f (xo , yo ) 1 ((x − xo )fx (xo , yo ) + (y − yo )fy (xo , yo )) 1! 1 + ((x − xo )2 fxx (xo , yo ) + 2(x − xo )(y − yo )fxy (xo , yo ) + (y − yo )2 fyy (xo , yo )) 2! + ... N µ ¶ 1 X N −k (x − xo )k (y − yo )N −k fxk N (xo , yo ) + y N ! k=0 k + Ejemplo 16.7. Sea f (x, y) = p 1 + x2 + y 2 . Calcularemos el desarrollo de Taylor de grado 2 alrededor de (0, 0). Tenemos que fx (x, y) = p fy (x, y) = p fxx (x, y) = p x 1 + x2 + y 2 y 1 + x2 + y 2 , , 1 + x2 + y 2 − x2 (1 + x2 + y 2 )−1/2 , 1 + x2 + y 2 fxy (x, y) = −xy(1 + x2 + y 2 )−3/2 , p 1 + x2 + y 2 − y 2 (1 + x2 + y 2 )−1/2 fyy (x, y) = . 1 + x2 + y 2 Luego f (0, 0) = 1, fx (0, 0) = 0, fy (0, 0) = 0, fxx (0, 0) = 1, fxy (0, 0) = 0 y fyy (0, 0) = 1. De donde 1 P2 (x, y) = 1 + (x2 + y 2 ). 2 280 16. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y DESARROLLO DE TAYLOR. 5. Cálculos aproximados y errores. Sea f : R → R una función diferenciable. Sea g la función cuya gráfica es una recta que pasa por (xo , f (xo )) con pendiente f ′ (xo ). Esto es g(x) = f (xo ) + f ′ (xo )(x − xo ). Resulta que g aproxima bien a f en un entorno de xo . Es decir, si kx − xo k ≈ 0 entonces f (x) ≈ f (xo ) + f ′ (xo )(x − xo ). Para f : R2 → R diferenciable tendremos que k~x − ~xo k ≈ ~0 entonces f (~x) ≈ f (~xo ) + h∇f (~xo ), (~x − ~xo )i. Estas expresiones son muy útiles para hacer aproximaciones, tal como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 16.8. Hallar aproximadamente el valor de Sea f (x, y) = p p (5.98)2 + (8.01)2 . x2 + y 2 queremos hallar f (5.98, 8.01). Es fácil ver que p √ √ f (6, 8) = (6)2 + (8)2 = 36 + 64 = 100 = 10. Por lo tanto se aproximará el punto (5.98, 8.01) por el punto (6, 8). Sean ~x = (5.98, 8.01) y ~xo = (6, 8) entonces ~x − ~xo = (5.98, 8.01) − (6, 8) = (−0.02, 0.01) Además 2x x ∂f = p =p , ∂x 2 x2 + y 2 x2 + y 2 y ∂f 2y =p = p 2 2 2 ∂y 2 x +y x + y2 à ! x y ∇f (x, y) = p ,p x2 + y 2 x2 + y 2 Luego ∇f (6, 8) = (6/10, 8/10). De donde df~xo (~x − ~xo ) = h∇f (~xo ), ~x − ~xo i = h(6/10, 8/10), (−0.02, 0.01)i = −0.004. Por lo tanto p (5.98)2 + (8.01)2 ≈ 10 − 0.004 = 9.996. 5. CÁLCULOS APROXIMADOS Y ERRORES. 281 5.1. Lectura adicional. Sea (xo , yo ) ∈ R2 y r > 0. Supongamos que tenemos una función que es dos veces derivable y que sus segundas derivadas son continuas f : B((xo , yo ), r) → R. Sea (h1 , h2 ) ∈ R2 tal que k(h1 , h2 )k < r y, para t ∈ [0, 1], sea ϕ(t) = f ((xo , yo ) + t(h1 , h2 )). Entonces ϕ es una función de clase C 2 y, por la regla de la cadena, tenemos que ∂f ∂f ((xo , yo ) + t(h1 , h2 )) + h2 ((xo , yo ) + t(h1 , h2 )), ∂x ∂y 2 ∂2f ∂ f ((xo , yo ) + t(h1 , h2 )) ϕ′′ (t) = h21 2 ((xo , yo ) + t(h1 , h2 )) + 2h1 h2 ∂x ∂x∂y ∂ 2f + h22 2 ((xo , yo ) + t(h1 , h2 )), ∂y ϕ′ (t) = h1 para todo t ∈ [0, 1]. que Aplicando el Teorema de Taylor en el caso N = 1 a ϕ obtenemos que existe ξ ∈ (0, 1) tal (16.2) 1 ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′ (0) + ϕ′′ (ξ). 2 Si (c, d) = (xo , yo ) + ξ(h1 , h2 ) tenemos que (c, d) ∈ B((xo , yo ), r) y de (16.2) obtenemos (16.3) ∂f ∂f f (xo + h1 , yo + h2 ) = f (xo , yo ) + h1 ((xo , yo )) + h2 ((xo , yo )) ∂x ∂y ¶ µ 2 2 2 1 ∂ f 2∂ f 2∂ f + (c, d) + h2 2 (c, d) . h1 2 (c, d) + 2h1 h2 2 ∂x ∂x∂y ∂y Si suponemos que f es de clase C (N +1) , obtenemos que ϕ es también de clase C (N +1) . Por lo tanto podemos considerar los análogos de (16.2) y (16.3), pero derivando hasta el orden N + 1. Esto nos lleva a una generalización del teorema de Taylor para funciones de dos variables. Esta generalización la vamos a describir a continuación sin demostraciones. Teorema 16.9. Sea D ⊂ R2 un abierto y sea f : D → R una función de clase C (N +1) . Sean (xo , yo ), (x, y) ∈ R2 tales que el segmento que los une está contenido en D. Entonces existe un punto (c, d) ∈ D tal que ¶ N +1 µ X N +1 1 (x − xo )k (y − yo )N +1−k fxk yN +1−k (c, d). f (x, y) = PN (x, y) + k (N + 1)! k=0 282 16. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y DESARROLLO DE TAYLOR. Corolario 16.10. Con las mismas hipótesis que el Teorema anterior tenemos que f (x, y) − PN (x, y) = 0. (x,y)→(xo ,yo ) k(x, y) − (xo , yo )kN lim El caso de varias variables. Los casos de tres variables o más son bastante complicados. Para una lectura sobre estos temas remitimos al lector a [8]. EJERCICIOS. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y DESARROLLO DE TAYLOR. 283 Ejercicios. Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor. (1) Calcular todas las derivadas parciales de primer orden y las derivadas parciales de segundo orden mixtas, es decir ∂ 2f , ∂y∂x ∂ 2f . ∂x∂y Comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales. (a) f (x, y) = x4 + y 4 − 4x2 y 2 . (b) f (x, y) = log(x2 + y 2 ) (c) f (x, y) = 1 cos x2 y para (x, y) 6= (0, 0). para y 6= 0. (2) Dada z = u(x, y)eax+by donde u es tal que manera que ∂2u = 0. Hallar valores de a y b de ∂x∂y ∂ 2z ∂z ∂z − − + z = 0. ∂x∂y ∂x ∂y (3) Sea r2 v(r, t) = tu e− 4t . Hallar un valor de la constante u tal que v satisfaga la siguiente ecuación µ ¶ ∂v 1 ∂ 2 ∂v = 2 r . ∂t r ∂r ∂r (4) Hallar el desarrollo de Taylor de grado 2, alrededor del punto (0, 0), para la función f (x, y) = ex+y . (5) Hallar el desarrollo de Taylor de grado 2, alrededor del punto (0, 0), para la función f (x, y) = x + y + xy + x2 + x4 + y 8 . (6) Hallar el desarrollo de Taylor de grado 2, alrededor del punto (π/2, 0), para la función f (x, y) = sen(x + y 2 ). CAPÍTULO 17 Máximos y mı́nimos. Máximos y mı́nimos. Criterio del Hessiano en dos variables. Método de los multiplicadores de Lagrange. 1. Máximos y mı́nimos locales. Sea n = 2 ó n = 3. Definición 17.1. Sean D ⊂ Rn un abierto y f : D → R una función y ~xo ∈ D. Decimos que ~xo es un punto crı́tico para f cuando ∇f (~xo ) = ~0. Definición 17.2. Sean D ⊂ Rn un abierto y f : D → R una función y ~xo ∈ D. Decimos que f alcanza un máximo local en ~xo si existe un abierto V ⊂ D tal que ~xo ∈ V y f (~xo ) ≥ f (~x) para todo ~x ∈ V . Definición 17.3. Sean D ⊂ Rn un abierto y f : D → R una función y ~xo ∈ D. Decimos que f alcanza un mı́nimo local en ~xo si existe un abierto V ⊂ D tal que ~xo ∈ V y f (~xo ) ≤ f (~x) para todo ~x ∈ V . Proposición 17.4. Si f es diferenciable en ~xo y f alcanza un máximo o un mı́nimo local en ~xo entonces ∇f (~xo ) = ~0. Demostración. Solamente lo probaremos cuando f alcanza un máximo local en ~xo , para un mı́nimo local la demostración es análoga. Sean ~v ∈ Rn y α : R → Rn dada por α(t) = ~xo + t~v . Entonces α(0) = ~xo y α′ (t) = ~v . Sea β : R → R definida por β = f ◦ α. Como f tiene un máximo local en ~xo , resulta que β tiene un máximo local en t = 0. Ası́ que 0 = β ′ (0) = (f ◦ α)′ (0) = h∇f (α(0)), α′ (0)i = h∇f (~xo ), ~v i. Como ~v es arbitrario, tenemos que ∇f (~xo ) = ~0. 285 ¤ 286 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Observación 17.5. Al igual que en el caso de una variable puede ocurrir que ∇f (~xo ) sea igual a ~0 y sin embargo en ~xo no se alcance ni máximo ni mı́nimo para f . Definición 17.6. Un punto crı́tico en el que f no alcanza ni máximo ni mı́nimo se llama punto de ensilladura. para f . Observación 17.7. La Proposición 17.4 tiene una interpretación geométrica muy clara en el caso n = 2: Sea f : R2 → R una función diferenciable. Sabemos que el gráfico de f es una superficie en R3 y el plano tangente a esa superficie en el punto (xo , yo , f (xo , yo )) tiene ecuación z = f (xo , yo ) + (x − xo ) ∂f ∂f (xo , yo ) + (y − yo ) (xo , yo ). ∂x ∂y Este plano es ortogonal al vector ~v = µ ¶ df df (xo , yo ), (xo , yo ), −1 . dx dy Si suponemos que f alcanza un máximo en (xo , yo ) entonces ∇f (xo , yo ) = (0, 0). Luego ~v = (0, 0, −1) . Obviamente el plano también es ortogonal al vector (0, 0, 1) . De donde, el plano tangente a la superficie dada por el gráfico de f en el punto (xo , yo , f (xo , yo )) es paralelo al plano z = 0. z ∇F(xo,yo,zo) y x Figura 17.1. 2. CRITERIO DEL HESSIANO EN DOS VARIABLES. 287 2. Criterio del Hessiano en dos variables. El criterio del Hessiano en dos variables nos permite clasificar los puntos crı́ticos en el caso n = 2. Consideraremos la matriz A(x,y) = " # fxx (x, y) fxy (x, y) fxy (x, y) fyy (x, y) y su determinante ∆(x, y) = detA(x,y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − (fxy (x, y))2 . Teorema 17.8 (Criterio del hessiano). Sean D ⊂ R2 un abierto y f : D → R una función de clase C 2 . Sea (xo , yo ) ∈ D un punto crı́tico de f y sea ∆(xo , yo ) = fxx (xo , yo )fyy (xo , yo )) − (fxy (xo , yo ))2 (i) Si fxx (xo , yo ) > 0 y ∆(xo , yo ) > 0 entonces en (xo , yo ) se alcanza un mı́nimo. (ii) Si fxx (xo , yo ) < 0 y ∆(xo , yo ) > 0 entonces en (xo , yo ) se alcanza un máximo. (iii) Si ∆(xo , yo ) < 0 entonces (xo , yo ) es un punto de ensilladura. (iv) Si ∆(xo , yo ) = 0, el criterio no decide nada. Ejemplo 17.9. (a) Sea f (x, y) = x2 + y 2 . Ya vimos que el gráfico de f es un paraboloide de revolución.Tenemos que ∇f (x, y) = (2x, 2y). Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si x = y = 0. Luego (0, 0) es un punto crı́tico. ∂2f (0, 0) = 2, ∂x2 ∂2f (0, 0) = 2, ∂y 2 ∂2f (0, 0) = 0. ∂x∂y Entonces ∆(0, 0) = fxx (0, 0)fyy (0, 0)) − (fxy (0, 0))2 = 4 > 0. Luego f alcanza un mı́nimo en (0, 0). 288 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. (b) Sea f (x, y) = xy. Tenemos que ∇f (x, y) = (y, x). Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si x = y = 0. Luego (0, 0) es un punto crı́tico. ∂ 2f (0, 0) = 0, ∂x2 ∂ 2f (0, 0) = 0, ∂y 2 ∂ 2f (0, 0) = 1. ∂x∂y Luego f posee un punto de ensilladura en (0, 0). z y x Figura 17.2. Gráfico de f (x, y) = xy. (c) Sea f (x, y) = 1 − y 2 . Tenemos que ∇f (x, y) = (0, −2y). Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si y = 0. Luego todos los puntos de la forma (x, 0) son un puntos crı́ticos. ∂ 2f (x, 0) = 0, ∂x2 ∂ 2f (x, 0) = −2, ∂y 2 ∂ 2f (x, 0) = 0. ∂x∂y El criterio del hessiano no es aplicable en este caso. Estudiando directamente el comportamiento de la función, podemos asegurar que f posee un máximo en cada punto de la forma (x, 0). 2. CRITERIO DEL HESSIANO EN DOS VARIABLES. 289 z x y Figura 17.3. Gráfico de f (x, y) = 1 − y 2 . (d) Sea f (x, y) = x3 − 3xy 2 . Tenemos que ∇f (x, y) = (3x2 − 3y 2 , −6xy). Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si x = y = 0. Luego (0, 0) es un punto crı́tico. ∂ 2f (0, 0) = 0, ∂x2 ∂ 2f (0, 0) = 0, ∂y 2 ∂ 2f (0, 0) = 0. ∂x∂y El criterio del hessiano no da información en este caso. Estudiando directamente el comportamiento de la función, podemos asegurar que f posee un punto de ensilladura en (0, 0) z x y Figura 17.4. Gráfico de f (x, y) = x3 − 3xy 2 . 290 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Ejemplo 17.10. Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de volumen máximo, si se conoce que el área superficial es igual a 144 m2 . La función a maximizar es v(x, y, z) = xyz. Esta es una función de tres variables. Sin embargo el dato adicional nos va a permitir expresarla como una función de dos variables. Como xy + 2xz + 2yz = 144 se sigue que z= 144 − xy 2x + 2y (si x + y 6= 0). Sea f (x, y) = xy 144 − xy . 2x + 2y Debemos hallar los máximos de esta función de dos variables. Se puede probar que ∇f (x, y) = µ 2y 2 (144 − 2xy − x2 ) 2x2 (144 − 2xy − y 2 ) , (2x + 2y)2 (2x + 2y)2 ¶ . Por lo tanto (0, 0) es un punto crı́tico, pero carece de interés para resolver el problema planteado. Para buscar otro punto crı́tico resolvemos el sistema.  144 − 2xy − x2 = 0, 144 − 2xy − y 2 = 0. De este sistema se deduce que x2 = y 2 . Luego y = x ó y = −x. Pero como deben ser medidas positivas eliminamos y = −x y sólo queda y = x. Por lo tanto 3x2 = 144. √ √ De donde x = 4 3. Luego y = 4 3. Finalmente √ √ √ √ 144 − (4 3)(4 3) 144 − 16 · 3 96 6 6 3 √ √ √ z= = = √ =√ = = 2 3. 3 2(4 3) + 2(4 3) 16 3 16 3 3 2. CRITERIO DEL HESSIANO EN DOS VARIABLES. 291 2.1. Lectura adicional: Justificación del criterio del hessiano. Demostración. Solamente probaremos la parte (i), el resto queda como ejercicio. Es decir, probaremos que: Si fxx (xo , yo ) > 0 y ∆(xo , yo ) > 0 entonces en (xo , yo ) se alcanza un mı́nimo. Usando argumentos algebraicos se puede probar (ver [8]) que si fxx (xo , yo ) > 0 y ∆(xo , yo ) > 0 entonces h21 fxx (xo , yo ) + 2h1 h2 fxy (xo , yo ) + h22 fyy (xo , yo ) ≥ 0. (17.1) Como (xo , yo ) es un punto crı́tico tenemos que ∇f (xo , yo ) = ~0 y por lo tanto fx (xo , yo ) = fy (xo , yo ) = 0. Usando la fórmula (16.3) de los resultados de Taylor sigue que si r > 0 es tal que B((xo , yo ), r) ⊂ D, k(h1 , h2 )k < r entonces existe un vector (c, d) que está en el segmento que une (xo , yo ) y (xo + h1 , yo + h2 ) tal que f (xo + h1 , yo + h2 ) = f (xo , yo ) + ¢ 1¡ 2 h1 fxx (c, d) + 2h1 h2 fxy (c, d) + h22 fyy (c, d) . 2 Por hipótesis las derivadas parciales de segundo orden son continuas. Luego para k(h1 , h2 )k pequeño tenemos que h21 fxx (c, d) + 2h1 h2 fxy (c, d) + h22 fyy (c, d) y h21 fxx (xo , yo ) + 2h1 h2 fxy (xo , yo ) + h22 fyy (xo , yo ) tienen el mismo signo. Por la fórmula 17.1 tenemos que ambos son mayores o iguales que 0. De donde f (xo + h, yo + k) − f (xo , yo ) ≥ 0 para todo (h, k) ∈ V . Por lo tanto en (xo , yo ) se alcanza un mı́nimo. ¤ Observación 17.11. Usando resultados de álgebra lineal y el teorema de Taylor es posible establecer criterios análogos al anterior para funciones de tres o más variables. 292 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 3. Método de los multiplicadores de Lagrange. 3.1. Máximos y mı́nimos con restricciones. En los problemas de búsqueda de máximos y mı́nimos puede ocurrir que estos valores se alcancen en puntos interiores del dominio. En ese caso se hallan los puntos crı́ticos usando las primeras derivadas (el gradiente), luego usando segundas derivadas (el hessiano) se trata de determinar cuáles son máximos, mı́nimos o puntos de ensilladura. Sin embargo, cuando el punto en el que se alcanza un máximo o un mı́nimo se encuentra en la frontera la situación es muy distinta. La determinación de esos puntos es un tı́pico problema de multiplicadores de Lagrange. Los griegos antiguos propusieron el problema de hallar la curva cerrada plana de longitud dada que encerrara mayor área. Este problema es llamado el problema isoperimétrico, y ellos fueron capaces de demostrar en una manera más o menos rigurosa que la respuesta correcta es: el cı́rculo (para más información sobre este aspecto histórico ver Simmons, Differential Equations, pág 367). Consideremos el siguiente problema: Hallar los valores máximos y mı́nimos de f (x, y), sujeta a la restricción g(x, y) = 0. Supongamos que g(x, y) = 0 define una curva C en el plano y que f alcanza un máximo (o un mı́nimo) en (xo , yo ) ∈ C. Sea α : [a, b] → R2 una trayectoria diferenciable de una parte de C que contiene a (xo , yo ). Sea to ∈ (a, b) tal que α(to ) = (xo , yo ) entonces f ◦ α tiene un máximo (o un mı́nimo) en to . Por lo tanto 0 = (f ◦ α)′ (to ) = h∇f (α(to )), α′ (to )i = h∇f (xo , yo ), α′ (to )i. Es decir, ∇f (xo , yo ) y α′ (to ) son ortogonales. Por otro lado, ya sabemos que ∇g(xo , yo ) es ortogonal a C. Ası́ que, ∇f (xo , yo ) y ∇g(xo , yo ) están en la misma recta. Esto es, existe λ ∈ R tal que ∇f (xo , yo ) = λ∇g(xo , yo ). Ejemplo 17.12. De todos los rectángulos de perı́metro cuatro ¿Cuál tiene área máxima? Para resolver este problema tendremos que considerar las funciones f (x, y) = xy, g(x, y) = 2x + 2y − 4. 3. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 293 Entonces ∇f (x, y) = (y, x), ∇g(x, y) = (2, 2). Debemos hallar los puntos (x, y) tales que ∇f (x, y) = λ∇g(x, y). Esto es, los puntos (x, y) tales que (y, x) = λ(2, 2). Tenemos pues: y = 2λ, x = 2λ. Y por lo tanto y = x. Pero 0 = g(x, y) = 2x + 2y − 4 = 2x + 2x − 4 = 4x − 4. De donde y = x = 1. Ası́ que de todos los rectángulos de perı́metro cuatro el cuadrado (de lado uno) es el de mayor área. 3.2. La función de Lagrange. Cuando hay una restricción: Sea f : R3 → R. Pensemos ahora en el caso de hallar los máximos o los mı́nimos de f (x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Definimos la función de Lagrange como F (x, y, z) = f (x, y, z) + λg(x, y, z). Luego buscamos los puntos crı́ticos de F . Entre estos puntos están los máximos y los mı́nimos de f sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Cuando hay dos restricciones: Sea f : R3 → R. Pensemos ahora en el caso de hallar los máximos o los mı́nimos de f (x, y, z) sujeta a las restricciones g1 (x, y, z) = 0 y g2 (x, y, z) = 0. Definimos la función de Lagrange como F (x, y, z) = f (x, y, z) + λ1 g1 (x, y, z) + λ2 g2 (x, y, z). Luego buscamos los puntos crı́ticos de F . Entre estos puntos están los máximos y los mı́nimos de f sujeta a las restricciones g1 (x, y, z) = 0 y g2 (x, y, z) = 0. 294 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Ejemplo 17.13. Hallar los extremos de f (x, y, z) = x + y + z sujeta a las condiciones 2 x + y 2 = 2, x + z = 1. Sean g1 (x, y, z) = x2 + y 2 − 2, g2 (x, y, z) = x + z − 1. La función de Lagrange es F (x, y, z) = x + y + z + λ1 (x2 + y 2 − 2) + λ2 (x + z − 1). Tenemos que ∇F (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ1 (2x, 2y, 0) + λ2 (1, 0, 1). Debemos buscar los puntos en los que ∇F (x, y, z) = (0, 0, 0). Por lo tanto debemos resolver el sistema:   (1, 1, 1) + λ1 (2x, 2y, 0) + λ2 (1, 0, 1) = (0, 0, 0),    x2 + y 2 = 2,     x + z = 1. o equivalentemente   2λ1 x + λ2       2λ1 y    λ2      x2 + y 2      x+z Ası́ que λ2 = −1, 2λ1 x = 0 = −1 = −1 = −1 =2 =1 y 2λ1 y = −1. De donde λ1 6= 0. Y por lo tanto x = 0, z = 1. √ √ Se sigue que y = 2 ó y = − 2. √ √ Tenemos pues que (0, 2, 1) y (0, − 2, 1) son los puntos a considerar. Sustituyendo en la fórmula para f observamos que el primero es un máximo y el segundo es un mı́nimo. 3. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 295 3.3. Lectura adicional: Teorema de los multiplicadores de Lagrange. En general vale el siguiente resultado. Teorema 17.14 (Teorema de los multiplicadores de Lagrange con una restricción). Sea D ⊂ R3 un abierto y sea g : D → R una función de clase C 1 . Sea S la superficie definida implı́citamente por la ecuación g(~x) = 0, es decir, S = {~x ∈ D : g(~x) = 0}. Sea f : Rn → R diferenciable, si f |S alcanza un máximo o un mı́nimo en x~o entonces existe constante λ ∈ R tal que ∇f (x~o ) = λ∇g(x~o ). Teorema 17.15 (Teorema de los multiplicadores de Lagrange con dos restricciones). Sea D ⊂ R3 un abierto y sea g : D → R2 una función de clase C 1 tal que para g = (g1 , g2 ) los vectores ∇g1 (~x), ∇g2 (~x) son linealmente independientes para todo ~x ∈ D. Sea C la curva definida implı́citamente por las ecuaciones g1 (~x) = 0, g2 (~x) = 0, es decir, C = {~x ∈ D : g1 (~x) = 0, g2 (~x) = 0}. Sea f : Rn → R diferenciable, si f |C alcanza un máximo o un mı́nimo en x~o entonces existen constantes λ1 , λ2 ∈ R tales que ∇f (x~o ) = λ1 ∇g1 (x~o ) + λ2 ∇g2 (x~o ). Idea de la demostración en el caso de dos restricciones. Sea x~o ∈ C tal que f alcanza un máximo o un mı́nimo en x~o . Usando la independencia lineal de los gradientes, se puede probar que existe una parametrización derivable de la curva C alrededor de x~o , es decir, existen un intervalo abierto I, una función derivable α : I → R3 tal que α(to ) = x~o para algún to ∈ I y la intersección de C con un entorno de x~o es α(I). Entonces el campo escalar ψ, definido en un entorno de 0 por ψ(t) = f (α(to + t)) alcanza un máximo o un mı́nimo en 0. Por lo tanto ψ ′ (0) = 0, de donde sigue que h∇f (α(to )), α′ (to )i = 0, es decir, el vector ∇f (α(to )) = ∇f (x~o ) es ortogonal al espacio (recta) tangente a S en x~o . Por lo tanto ∇f (x~o ) está en el subespacio generado por ∇g1 (x~o ) y ∇g2 (x~o ). ¤ 296 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 3.4. Lectura adicional: Caso en el que el método de Lagrange no es aplicable. Si ∇g1 y ∇g2 son linealmente dependientes el método de Lagrange puede fallar, tal como lo ilustra el ejemplo que desarrollaremos a continuación. Supongamos que intentamos la aplicación del método de Lagrange para encontrar los valores extremos de f (x, y, z) = x2 + y 2 en la curva de intersección de las dos superficies z = 0, z 2 − (y − 1)3 = 0. Sean g1 (x, y, z) = z, g2 (x, y, z) = z 2 − (y − 1)3 . Las dos superficies, un plano y un cilindro, se cortan a lo largo de la recta C dibujada en la figura. z C y x Figura 17.5. El problema tiene evidentemente una solución, debido a que f (x, y, z) representa la distancia del punto (x, y, z) al eje z y esta distancia es un mı́nimo sobre C cuando el punto es x~0 = (0, 1, 0). Sin embargo, en este punto los vectores gradientes son ∇g1 (x~0 ) = (0, 0, 1), ∇g2 (x~0 ) = (0, 0, 0), ∇f (x~0 ) = (0, 2, 0). y está claro que no existen escalares λ1 y λ2 que satisfagan la ecuación ∇f (x~0 ) = λ1 ∇g1 (x~0 ) + λ2 ∇g2 (x~0 ). EJERCICIOS. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 297 Ejercicios. Máximos y mı́nimos. (1) Hallar los puntos crı́ticos de las superficies que tienen las ecuaciones cartesianas que se dan (a) z = x2 + (y − 1)2 . (g) z = x3 − 3xy 2 + y 3 . (b) z = x2 − (y − 1)2 . (h) z = x2 y 3 (6 − x − y). (c) z = 1 + x2 − y 2 . (i) z = x3 + y 3 − 3xy. (d) z = (x − y + 1)2 . (j) z = sen x cosh y. (e) z = 2x2 − xy − 3y 2 − 3x + 7y. (k) z = e2x+3y (8x2 − 6xy + 3y 2 ). (f) z = x2 − xy + y 2 − 2x + y. (l) z = (5x + 7y − 25)e−(x (m) z = sen x sen y sen(x + y), (n) z = x − 2y + ln p (o) z = (x2 + y 2 )e−(x . para 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π. y x2 + y 2 + 3 arctan , x 2 +y 2 ) 2 +xy+y 2 ) para x > 0. . (2) Sea f (x, y) = 3x4 − 4x2 y + y 2 . (a) Demostrar que sobre toda recta de la forma y = mx la función tiene un mı́nimo en (0, 0), (b) Demostrar que f no tiene mı́nimo relativo en ningún entorno bidimensional del origen. (c) Hacer un dibujo indicando el conjunto de puntos (x, y) en los que f (x, y) > 0 y el conjunto de puntos en los que f (x, y) < 0. (3) Sea f (x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3). 298 17. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. (a) Trazar una figura indicando el conjunto de puntos (x, y) en los que f (x, y) ≥ 0. (b) Hallar todos los puntos (x, y) del plano en los que ∂f ∂f (x, y) = (x, y) = 0. ∂x ∂y ∂f (x, y) contiene (3 − y) como factor. ∂x (c) Diga cuáles puntos crı́ticos son máximos relativos, cuáles son máximos relativos Indicación: y cuáles no son ni una cosa ni la otra. Razone sus respuestas. (d) Diga si f tiene un máximo absoluto o un máximo absoluto en todo el plano. Razone su respuestas. (4) Determinar todos los valores extremos (absolutos y relativos) y los puntos de ensilladura para la función f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. (5) Hallar los valores extremos de z = xy con la condición x + y = 1. (6) Hallar las distancias máxima y mı́nima desde el origen a la curva 5x2 +6xy+5y 2 = 8. (7) Supongamos que a y b son números positivos fijos. (a) Hallar los valores extremos de z = x/a + y/b con la condición x2 + y 2 = 1. (b) Hallar los valores extremos de z = x2 + y 2 con la condición x/a + y/b = 1. En cada caso interpretar geométricamente el problema. (8) Hallar los valores extremos de z = cos2 x + cos2 y con la condición x − y = π/4. (9) Hallar los valores extremos del campo escalar f (x, y, z) = x − 2y + 2z en la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1. (10) Hallar los puntos de la superficie z 2 − xy = 1 más próximos al origen. (11) Hallar la mı́nima distancia desde el punto (1, 0) a la parábola y 2 = 4x. Parte 6 Cálculo Integral en Varias Variables. CAPÍTULO 18 Integrales dobles. Integrales dobles de funciones sencillas, haciendo énfasis en la determinación de los lı́mites de integración en regiones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. Aplicación a cálculo de áreas. Cálculo R +∞ 2 de 0 e−x dx. 1. El caso de una dimensión. En esta sección recordaremos algunos resultados y definiciones relacionados con la integral de Riemann en una dimensión. El enfoque usual de la integral de Riemann, es como sigue. Definición 18.1. Sean a, b ∈ R, a < b. Una partición del intervalo [a, b] es una colección finita de puntos de [a, b], de los cuales uno es a y otro es b. Los puntos de una partición pueden ser numerados como x0 , x1 , . . . , xk , de forma tal que el conjunto quede ordenado de la siguiente manera a = xo < x1 < · · · < xk−1 < xk = b. Al hablar de una partición siempre supondremos que está ordenada de la forma anterior. Definición 18.2. Sean a, b ∈ R, a < b y f : [a, b] → R una función acotada. Sea P = {xo , x1 , . . . , xk } una partición del intervalo [a, b]. Para 1 ≤ i ≤ n, sean mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }, Mi = sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }. La suma inferior de f correspondiente a P , se denotará por L(f, P ) y es L(f, P ) = n X i=1 mi (xi − xi−1 ). 301 302 18. INTEGRALES DOBLES. La suma superior de f correspondiente a P , se denotará por U (f, P ) y es U (f, P ) = n X i=1 Mi (xi − xi−1 ). Es importante notar que la hipótesis f acotada es esencial para poder garantizar que tanto Mi como mi están definidos. También es necesario definirlos como supremo e ı́nfimo y no como máximos y mı́nimos, ya que f no se supone continua. El siguiente dibujo nos ilustra la suma superior para la función f (x) = sen x en el intervalo [0, 10], con la partición {0, 1, 2, . . . , 10}. y 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x -1 Figura 18.1. Suma superior para f (x) = sen x El siguiente dibujo nos ilustra la suma inferior para la función f (x) = sen x en el mismo intervalo [0, 10], con la misma partición {0, 1, 2, . . . , 10}. y 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x -1 Figura 18.2. Suma inferior para f (x) = sen x Es importante notar que cada una de estas sumas representa el área algebraica de los rectángulos sombreados (área algebraica se refiere a lo siguiente: si el rectángulo está por encima del eje x, el área se toma como positiva, si está por debajo, se toma negativa). 1. EL CASO DE UNA DIMENSIÓN. 303 Definición 18.3. Una función acotada f definida en [a, b] es integrable Riemann o integrable sobre [a, b] si sup{L(f, P ) : P es una partición de [a, b]} = inf{U (f, P ) : P es una partición de [a, b]}. En este caso, este número común recibe el nombre de integral de f sobre [a, b] y se denota por Z b f. a Si la función f es no negativa, la integral de f sobre [a, b] representa el área de la región plana limitada por el gráfico de f , el eje x y las verticales x = a y x = b. Tenemos que si f es continua en [a, b], salvo en una cantidad finita de puntos, entonces f es integrable sobre [a, b]. Además, para funciones continuas tenemos lo siguiente. Si P = {x0 , x1 , . . . , xk } es una partición del intervalo [a, b], la norma de P se define por |P | = max{xi − xi−1 : i = 1, . . . , k}. Teorema 18.4. Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que ¯ Z b ¯¯ k ¯X ¯ ¯ f¯ < ε f (ci )(xi − xi−1 ) − ¯ ¯ ¯ a i=1 para toda partición P = {x0 , x1 , . . . xk } de [a, b] tal que |P | < δ y para cualquier conjunto de puntos {ci } tales que ci ∈ [xi−1 , xi ]. El resultado anterior se suele expresar de la siguiente manera: Si f es continua en [a, b] entonces Z a ci ∈ [xi−1 , xi ]. b f = lim |P |→0 k X i=1 f (ci )(xi − xi−1 ) Las sumas que aparecen en la fórmula anterior se conocen con el nombre de sumas de Riemann de f . 304 18. INTEGRALES DOBLES. Es muy importante recordar el siguiente resultado, que establece una conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral, y que es sumamente útil en el momento de calcular integrales. Teorema 18.5 (Teorema fundamental del cálculo). Si f es integrable sobre [a, b] y f = g ′ para alguna función g, entonces Z a b f = g(b) − g(a). 2. Integrales dobles sobre rectángulos. Definición 18.6. Sea Q = [a, b] × [c, d] un rectángulo contenido en R2 . Sea P una colección de subrectángulos de Q. Se dice que P es una partición de Q si existen una partición P1 = {x0 , . . . , xN1 } de [a, b] y una partición P2 = {y0 , . . . , yN2 } de [c, d] tales que P = { [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] : 1 ≤ i ≤ N1 , 1 ≤ j ≤ N2 }. El par (P1 , P2 ) lo usaremos para denotar a P . Notar que si P1 divide el intervalo [a, b] en N1 intervalos y P2 divide el intervalo [c, d] en N2 intervalos entonces P contiene N1 · N2 subrectángulos. y y2=d y1 yo=c xo=a x1 x2 x3=b x Figura 18.3. Partición de [a, b] × [c, d] Consideremos ahora una función acotada f definida en el rectángulo Q = [a, b] × [c, d]. Sea P = (P1 , P2 ) una partición de Q donde P1 = {x0 , . . . , xN1 } son particiones de [a, b] y [c, d] respectivamente. P2 = {y0 , . . . , yN2 } 2. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 305 Para 1 ≤ i ≤ N1 y 1 ≤ j ≤ N2 , sean mij = inf{f (x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj }, Mij = sup{f (x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj }. La suma inferior de f correspondiente a P , se denotará por L(f, P ) y es L(f, P ) = N1 X N2 X i=1 j=1 mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ). La suma superior de f correspondiente a P , se denotará por U (f, P ) y es U (f, P ) = N1 X N2 X i=1 j=1 Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ). Es importante notar que la hipótesis f acotada es esencial para poder garantizar que tanto Mij como mi están definidos. Definición 18.7. Una función acotada f definida en Q es integrable Riemann o integrable sobre Q si sup{L(f, P ) : P es una partición de Q} = inf{U (f, P ) : P es una partición de Q}. Definición 18.8. En caso de que f sea integrable el número común de la definición anterior recibe el nombre de integral doble de f sobre Q y se denota por ZZ f (x, y) dxdy, Q o simplemente por ZZ f. Q Al igual que en el caso unidimensional, tenemos que toda función continua en un rectángulo es integrable. Más generalmente se cumple lo siguiente: si f es acotada en un rectángulo y continua, salvo en un conjunto de “área nula”, entonces f es integrable sobre el rectángulo (los segmentos y las curvas lisas son ejemplos de conjuntos de área nula). También se cumple el siguiente resultado. 306 18. INTEGRALES DOBLES. Teorema 18.9. Sea Q ⊂ R2 un rectángulo, sea f : Q → R una función continua. Sea P = (Qij ) = (P1 , P2 ) una partición de Q. Si cij ∈ Qij , entonces ZZ N2 N1 X X f (cij ) Area (Qij ). f dV = lim |P 1|→0, |P2 |→0 Q i=1 j=1 2.1. Interpretación geométrica de la integral doble. Sea f una función continua y no negativa definida en el rectángulo Q. Cada sumando de la forma Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ), que aparece en la suma superior U (f, P ) es el volumen de un paralelepı́pedo con base el rectángulo [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] y altura Mij . Además, por definición, Mij es el supremo de f en el rectángulo [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ]. z z = f(x,y) Mij Volumen = Mij(xi-xi-1)(yj-yj-1) yj-1 yj xi-1 y xi x Figura 18.4. Por lo tanto, la suma superior U (f, P ) es igual al volumen de un sólido, formado por paralelepı́pedos cuyas bases son los rectángulos [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] y cuyas alturas son Mij , i = 1, . . . , N1 , j = 1, . . . , N2 . De lo anterior concluimos que la suma superior es una aproximación por exceso del volumen del sólido dado por 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ Q. 2. INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS. 307 De forma análoga tenemos que la suma inferior L(f, P ) es una aproximación por defecto del volumen del mismo del sólido 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ Q. Por otra parte, por ser f integrable sobre Q, tenemos que RR f es el único número real Q que está entre U (f, P ) y L(f, P ) para toda partición P de Q. Luego, para una función continua y no negativa f , tenemos que ZZ f (x, y) dxdy Q es igual al volumen del sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Q, 0 ≤ z ≤ f (x, y) }. 2.2. Cálculo de la integral doble mediante integración iterada. Sea f : Q → R continua y no negativa. El volumen del sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ Q, 0 ≤ z ≤ f (x, y) }, lo podemos calcular integrando el área de su sección transversal. En la figura Z d f (xo , y) dy. A(xo ) = c z z = f(x,y) Area = A(xo) y xo x Figura 18.5. De manera que si Q = [a, b] × [c, d], tenemos que 308 18. INTEGRALES DOBLES. ZZ f (x, y) dxdy = Z b µZ f (x, y) dy c a Q d ¶ dx. ¶ dy. De manera análoga podemos ver que también ZZ f (x, y) dxdy = Z d b f (x, y) dx a c Q µZ En general, si Q = [a, b] × [c, d] y f es una función continua entonces ZZ f (x, y) dxdy = Z b µZ f (x, y) dy c a Q d ¶ dx = Z c d µZ b a f (x, y) dx ¶ dy. Observación 18.10. El resultado anterior se conoce como Teorema de Fubini . El resultado se cumple bajo ciertas condiciones más generales que las que hemos considerado y su justificación rigurosa está fuera del alcance de estas notas. Para más detalles ver [9]. Ejemplo 18.11. Calcular ZZ (x2 + y) dxdy. [0,1]×[0,1] Z 0 luego Z 0 1 Z 0 1 ¯x=1 ¯ x3 1 (x + y) dx = + yx¯¯ = + y, 3 3 x=0 2 1 2 (x + y) dxdy = Z 1 µZ 1 2 (x + y) dx dy 0 0 µ ¶ 1 = + y dy 3 0 ¯x=1 y 2 ¯¯ 1 = y+ ¯ 3 2 x=0 1 1 5 = + = . 3 2 6 Z 1 ¶ A manera de ejercicio, calcular la integral iterada en el otro orden y verificar que se obtiene el mismo resultado. 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 309 2.3. Propiedades de las integrales dobles en rectángulos. Sea Q un rectángulo contenido en R2 entonces la integral sobre Q tiene las siguientes propiedades (1) Linealidad: Si f y g son dos funciones integrables sobre Q, si c1 , c2 son números reales, entonces c1 f + c2 g es integrable sobre Q y ZZ ZZ ZZ (c1 f (x, y) + c2 g(x, y)) dxdy = c1 f (x, y) dxdy + c2 g(x, y) dxdy. Q Q Q (2) Si f es una función integrable sobre Q y se tiene que Q = Q1 ∪ Q2 , donde Q1 y Q2 son rectángulos de lados paralelos a los ejes de coordenados, tales que Q1 ∩ Q2 es un segmento de recta, entonces f es integrable sobre cada Qi , i = 1, 2 y ZZ ZZ ZZ f (x, y) dxdy. f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy = Q2 Q1 Q1 ∪Q2 (3) Monotonı́a: Si f y g son funciones integrables sobre Q y g(x, y) ≤ f (x, y) para todo (x, y) ∈ Q, entonces ZZ g(x, y) dxdy ≤ ZZ f (x, y) dxdy. Q Q En particular, si f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ Q, entonces ZZ f (x, y) dxdy ≥ 0. Q 3. Integrales dobles sobre conjuntos más generales. En esta sección extenderemos el concepto de integral doble a conjuntos más generales que rectángulos y veremos cómo calcularlas. Supongamos que tenemos una región acotada R ⊂ R2 y una función f : R → R2 . Sea Q ⊂ R2 un rectángulo tal que R ⊂ Q, definimos ZZ R f (x, y) dxdy = ZZ Q f˜(x, y) dxdy, 310 18. INTEGRALES DOBLES. donde  f (x, y) f˜(x, y) = 0 si (x, y) ∈ R, si (x, y) ∈ Q \ R. A continuación veremos cómo calcular esta integral, dependiendo del tipo de región. Definición 18.12. Una región del tipo I es una región de la forma R1 = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} donde ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas en [a, b], tales que ϕ1 ≤ ϕ2 . y y = ϕ2(x) y = ϕ1(x) a b x Figura 18.6. Región tipo I Em este caso ZZ R1 f (x, y) dxdy = Z b ÃZ a ϕ2 (x) ϕ1 (x) f (x, y) dy ! dx. Definición 18.13. Una región del tipo II es una región de la forma R2 = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)} donde ψ1 y ψ2 son funciones continuas en [c, d] tales que ψ1 ≤ ψ2 . 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 311 y c x = ψ2(y) x = ψ (y) 1 d x Figura 18.7. Región tipo II En este caso Z f (x, y)dxdy = Z c R2 d ÃZ ψ2 (y) f (x, y) dx ψ1 (y) ! dy. Ejemplo 18.14. Sea R la región representada en la siguiente figura. Veamos cómo escribir ZZ f (x, y) dxdy R como una integral iterada. y 4 y=x2 2 x Figura 18.8. La región de integración está dada por 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4, por lo tanto, ZZ R f (x, y) dxdy = Z 0 2 µZ 4 x2 f (x, y) dy ¶ dx. 312 18. INTEGRALES DOBLES. Notemos que otra manera de describir la región es 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ √ y, por lo tanto también tenemos que ZZ f (x, y)dxdy = Z 4 0 R µZ √ y ¶ f (x, y)dx dy. 0 Finalmente, para calcular una integral sobre una región arbitraria, descomponemos la región como una unión de regiones tipo I y tipo II y sumamos las integrales sobre cada una de estas regiones. Observación 18.15. La siguiente notación es muy utilizada. En vez de escribir ! Z ÃZ ϕ2 (x) b f (x, y) dy dx, ϕ1 (x) a se suele escribir Z b dx Z ϕ2 (x) f (x, y) dy. ϕ1 (x) a De igual manera se usa la notación análoga en el otro orden. Ası́ que las expresiones ¶ Z 4 µZ √y f (x, y)dx dy 0 0 y Z 4 dy 0 Z √ y f (x, y)dx 0 tienen exactamente el mismo significado. Ejemplo 18.16. Sea R la región {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}. Escribir ZZ f dxdy R en términos de integrales iteradas. R es la unión de cuatro regiones tipo I, que son 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 313 √ √ − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }, √ √ R2 = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, 1 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }, √ √ R3 = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, − 4 − x2 ≤ y ≤ − 1 − x2 }, √ √ R4 = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }. R1 = {(x, y) ∈ R2 : −2 ≤ x ≤ 1, y -1 -2 1 x 2 Figura 18.9. Tenemos que ZZ f (x, y)dxdy = Z −1 Z 1 −2 R + −1 ÃZ √ 4−x2 √ − 4−x2 ÃZ √ − 1−x2 √ − 4−x2 f (x, y) dy f (x, y) dy ! ! dx + Z 1 Z 2 −1 dx + 1 ÃZ √ √ ÃZ dx ! dx f (x, y) dy 1−x2 √ 4−x2 √ − 4−x2 f (x, y) dy Ejemplo 18.17. Considerar la siguiente integral iterada Z e Z ln y dy f (x, y) dx. 1 ! 4−x2 0 Identificar la región de integración, representarla gráficamente e intercambiar el orden de integración. Tenemos que la región de integración está dada por 1≤y≤e 0 ≤ x ≤ ln y y gráficamente corresponde con la región sombreada en la siguiente figura. 314 18. INTEGRALES DOBLES. y e x = ln y 1 0 1 x Figura 18.10. Región de integración Para cambiar el orden de integración, notemos que la curva x = ln y es la misma curva que y = ex , por lo tanto la región también la podemos expresar de la siguiente manera ex ≤ y ≤ e. 0≤x≤1 Al cambiar el orden de integración obtenemos Z 0 1 dx Z e f (x, y) dy. ex Ejemplo 18.18. Sea R la región acotada del plano limitada por el gráfico de la función RR y = |x| y la recta 3y = x + 4. Representar gráficamente R y expresar f (x, y) dxdy en términos de integrales iteradas en ambos órdenes. R Para representar gráficamente la región trazamos el gráfico de la función y = |x| y de la recta 3y = x+4. Los puntos de corte de las curvas son (−1, 1) y (2, 2). La región corresponde con el área sombreada en la siguiente figura. 3. INTEGRALES DOBLES SOBRE CONJUNTOS MÁS GENERALES. 2 315 (2,2) 3y = x+4 y=x 1 (-1,1) y = -x 0 -1 2 Figura 18.11. Región de integración La región la podemos escribir de la siguiente manera {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 0, −x ≤ y ≤ (x+4)/3}∪{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ (x+4)/3}, por lo tanto RR f (x, y) dxdy es igual a R Z 0 dx −1 Z (x+4)/3 f (x, y) dy + −x Z 2 dx 0 Z (x+4)/3 f (x, y) dy. x Procedamos ahora con el otro orden. La región también la podemos escribir de la siguiente manera {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, −y ≤ x ≤ y} ∪ {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ y ≤ 2, 3y − 4 ≤ x ≤ y}, por lo tanto la integral también es igual a Z 1 Z y Z dy f (x, y) dx + 0 −y 1 2 dy Z y f (x, y) dx. 3y−4 Observación 18.19. Para regiones generales valen resultados análogos a los enunciados en la Subsección 2.3. 316 18. INTEGRALES DOBLES. 3.1. Lectura adicional: justificación de la definición de integral doble sobre regiones de tipo I y regiones de tipo II. Sea R1 la región de tipo I dada por R1 = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}. Si c = inf{ϕ1 (x) : a ≤ x ≤ b}, d = sup{ϕ2 (x) : a ≤ x ≤ b} entonces R1 ⊂ [a, b] × [c, d]. Luego ZZ ZZ f (x, y) dxdy = R1 f˜(x, y) dxdy, [a,b]×[c,d] donde  f (x, y) f˜(x, y) = 0 si (x, y) ∈ R1 , si (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] \ R1 . Por ser f continua tenemos que, para cada x ∈ [a, b], la función y 7→ f˜(x, y) es integrable sobre [c, d] y de la definición de f˜ sigue que Z d f˜(x, y) dy = c Por el Teorema de Fubini ZZ f (x, y) dxdy = R1 Z ϕ2 (x) f (x, y) dy. ϕ1 (x) Z b ÃZ a ϕ2 (x) f (x, y) dy ϕ1 (x) ! dx. Para regiones de tipo II se hace un razonamiento análogo. 4. Cálculo de áreas y volúmenes usando integrales dobles. Sea R una región contenida en R2 que es unión finita de regiones de tipo I y de tipo II. Sea f : R → R, si f ≥ 0 entonces ZZ f R es el volumen de la región limitada por el gráfico de f y el plano xy, es decir el volumen del sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f (x, y) }. 4. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES USANDO INTEGRALES DOBLES. 317 Si tomamos f ≡ 1 entonces el volumen de S es igual al área de R, por lo tanto el área de una región R del plano es igual a ZZ 1 dx dy. R Ejemplo 18.20. Calcular el volumen del sólido limitado por el elipsoide x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c El elipsoide es la región comprendida entre los gráficos de las funciones r r x2 y 2 x2 y 2 y f2 (x, y) = −c 1 − 2 − 2 , f1 (x, y) = c 1 − 2 − 2 a b a b para (x, y) ∈ S, donde ¾ ½ 2 y2 2 x S = (x, y) ∈ R : 2 + 2 ≤ 1 . a b Por lo tanto, denotando por V al volumen del sólido, tenemos que ZZ V = (f1 (x, y) − f2 (x, y)) dxdy. S Tomado en cuenta las simetrı́as del sólido tenemos que ZZ r x2 y 2 V = 8c 1 − 2 − 2 dxdy, a b S1 donde Por lo tanto ½ ¾ x2 y 2 2 S1 = (x, y) ∈ R : x ≥ 0, y ≥ 0, 2 + 2 ≤ 1 . a b V = 8c Z 0 a   Z 0 q 2 b 1− x2 a r 1− x2 a2 − y2 b2  dy  dx. Dejamos al lector verificar que la integral anterior es igual a 4 πabc, 3 (ver Ejercicio 9 ). Luego 4 V = πabc. 3 318 18. INTEGRALES DOBLES. 5. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. Recordemos que el punto (x, y) ∈ R2 tiene coordenadas polares (r, θ) si x = r cos θ, y = r sen θ. En este caso, r= p x2 + y 2 tan θ = y/x. Es usual suponer r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π. Más generalmente, se restringe θ a un intervalo semiabierto de longitud 2π. Explı́citamente θ= donde arctan ¡y¢ x      arctan ¡y¢ x π + arctan ¡y¢ 2π + arctan está entre −π/2 y π/2 . ¡xy ¢ x x > 0, y ≥ 0 x<0 x > 0, y < 0 Teorema 18.21 (Cambio de variables a Coordenadas Polares). Sea B ⊂ {(r, θ) ∈ R2 : r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π} un conjunto acotado y sea TP (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) la transformación de coordenadas polares. Sea TP (B) la imagen de B por TP y sea f : TP (B) → R continua y acotada. Entonces ZZ ZZ f (x, y) dxdy = f (r cos θ, r sen θ)r drdθ. TP (B) B Observación 18.22. El factor r que aparece en la integral de la derecha es det TP′ (r, θ). En efecto, la matriz jacobiana para el cambio a coordenadas polares es: à ! cos θ −r sen θ TP′ (r, θ) = . sen θ r cos θ Luego det TP′ (r, θ) = r. 5. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES. 319 Ejemplo 18.23. Calcular ZZ p x2 + y 2 dxdy R donde R = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}. Sean TP (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y B = [1, 2] × [0, 2π], entonces TP (B) = R. Luego ZZ p R x2 + y2 ZZ p dxdy = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 r drdθ B = ZZ 2 r drdθ = 0 B = Z 2π dθ Z ¯ r ¯ = 2π ¯ 3 3 ¯r=2 2π Z 2 2 r2 drdθ 1 2 r dr = 2π Z 2 r2 dr 1 1 0 = Z = r=1 2π (8 − 1) 3 14π . 3 Ejemplo 18.24. Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 , el cilindro x2 + y 2 = 1 y el plano xy. Debemos calcular ZZ (x2 + y 2 ) dxdy, D donde D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. ¿Por qué? Sean TP (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y B = [0, 1] × [0, 2π], entonces TP (B) = D. 320 18. INTEGRALES DOBLES. Por lo tanto ZZ (x + y ) dxdy = ZZ = ZZ 2 2 D ¡ B (r cos θ)2 + (r sen θ)2 3 r drdθ = 0 B = Z 2π dθ Z 2π Z 3 ¯ r ¯ = 2π ¯ 4 4 ¯r=1 1 r drdθ r3 drdθ 0 1 r dr = 2π Z 1 r3 dr 0 0 0 π = . 2 Z ¢ = r=0 2π 4 A continuación damos el resultado general para el cambio de variables en integrales dobles. Teorema 18.25 (Cambio de variables para integrales dobles). Sea Ruv un subconjunto acotado del plano. Sean x = x(u, v), y = y(u, v) funciones con derivadas parciales continuas y sea T la transformación definida por T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Sea Rxy = T (Ruv ) y sea f : Rxy → R continua, entonces ZZ ZZ f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)| dudv f (x, y) dxdy = Rxy Ruv Observación 18.26. El factor |J(u, v)| que aparece en la integral de la derecha es el módulo de J(u, v). Donde J(u, v) es el siguiente determinante  ∂x  ∂u J(u, v) = det   ∂y ∂u  ∂x ∂v   = ∂x ∂y − ∂x ∂y . ∂y  ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v Es bueno saber que J(u, v) también se designa con ∂(x, y) . ∂(u, v) 6. LECTURA ADICIONAL. 321 6. Lectura adicional: Justificación de la fórmula del cambio de variables para coordenadas polares. A continuación vamos a justificar, de manera intuitiva y usando argumentos geométricos sencillos, la fórmula para el cambio de variables a coordenadas polares. Tal como antes sea TP (r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Es un hecho básico de geometrı́a (ver figura) que si Bo = [0, q] × [0, α], donde α ∈ [0, π/2] y q ≥ 0, entonces Area (TP (Bo )) = q 2 α . 2 y q α x Figura 18.12. TP (Bo ) Proposición 18.27. Si B1 = [q1 , q2 ] × [α1 , α2 ], donde 0 ≤ α1 ≤ α2 < 2π y 0 ≤ q1 < q2 , entonces Area (TP (B1 )) = (α2 − α1 )(q2 − q1 )(q2 + q1 ) . 2 Demostración. Del comentario previo a esta Proposición podemos concluir que (ver figura) α2 α1 α2 α1 − q22 − (q12 + q12 ) 2 2 2 2 (α2 − α1 )(q2 − q1 )(q2 + q1 ) . = 2 Area (TP (B1 )) = q22 ¤ 322 18. INTEGRALES DOBLES. θ y TP TP(B1) B1 x r Figura 18.13. TP (B1 ) Consideremos ahora una región B en el plano rθ. Supongamos B ⊂ [a, b] × [γ, δ] y sea TP (B) la imagen de B por TP . Sean P1 = {ro , r1 , . . . , rn1 } una partición de [a, b] y P2 = {θo , θ1 , . . . , θn2 } una partición de [γ, δ] . Sean Bij = [ri−1 , ri ] × [θj−1 , θj ] y dij ∈ Bij . Sea f : R2 → R una función continua, entonces basándonos en el Teorema 18.9 podemos justificar, de manera informal, la fórmula para el cambio de variables a coordenadas polares de la siguiente manera: ZZ f (x, y) dxdy = TP (B) = lim (|P1 |,|P2 |)→(0,0) lim (|P1 |,|P2 |)→(0,0) n1 X n2 X f (TP (dij ))Area (Tp (Bij )) i=1 j=1 n2 n1 X X f (TP (dij )) i=1 j=1 = ZZ f (Tp (r, θ))r drdθ = ZZ f (r cos θ, r sen θ)r drdθ. ri + ri−1 (ri − ri−1 )(θj − θj−1 ) 2 B B 7. Cálculo de Lo haremos en dos partes. Proposición 18.28. Z 0 +∞ Z 0 +∞ e−(x R +∞ 0 2 +y 2 ) 2 e−x dx. dx dy = π . 4 R +∞ 7. CÁLCULO DE 0 2 e−x dx. 323 Demostración. En este caso la región de integración es el primer cuadrante. Aunque se trata de una región no acotada, se puede dar una versión del teorema del cambio de variables para coordenadas polares. Aplicando este resultado se tiene que Z Z +∞ Z +∞ −(x2 +y 2 ) e dx dy = Pero Z +∞ −r2 e 0 Luego Z Z +∞ +∞ −(x2 +y 2 ) e dx dy = Z π/2 0 Proposición 18.29. Z 2 e−r r dr dθ. ¯r=+∞ 1 1 −r2 ¯¯ = . r dr = − e ¯ 2 2 r=0 0 0 +∞ 0 0 0 0 Z π/2 +∞ −x2 e π . 2 dx = a= Z +∞ Z +∞ ¤ √ 0 Demostración. Sea π 1 dθ = . 2 4 2 e−x dx. 0 Por supuesto que a= 2 e−y dy. 0 y ası́ tenemos que 2 a =a µZ +∞ e −y 2 dy 0 Pero −y 2 e a=e −y 2 Z +∞ −x2 e 2 a =a Z +∞ ¶ Z dx = e = Z +∞ 2 e−y a dy. 0 −y 2 e −x2 dx = µZ 0 +∞ e −y 2 dy = Z +∞ e−(x 2 +y 2 ) 0 0 0 De donde ¶ +∞ 0 Usando la Proposición 18.28 tenemos que a2 = π . 4 Z 0 +∞ e−(x 2 +y 2 ) dx dy. dx. 324 18. INTEGRALES DOBLES. Luego a= √ π . 2 ¤ Observación 18.30. Del cálculo anterior también se concluye que Z +∞ √ 2 e−x dx = π . −∞ EJERCICIOS. INTEGRALES DOBLES. 325 Ejercicios. Integrales dobles. (1) Calcular las integrales iteradas que se indican, representar gráficamente la región de integración y describirla utilizando notación conjuntista. (a) Z Z 4 dy (b) Z 2 dx (c) 1 dx (d) Z 4 Z 1 dx 3 0 ÃZ 2 3 (x + 2x y − y + xy) dy, (x2 + 2xy − 3y 2 ) dy, (x2 + 2xy − 3y 2 ) dy, x2 x3 (g) (x3 − xy) dy ! dx, Z 2 (h) √ −2 − 4−x2 Z 3 µZ √y 2 2 (x y + xy ) dy Z 3 dy Z Z √18−2y2 − 3 dx Z Z √ ! ¶ dx, dx, x dx, 18−2y 2 18−x2 xy 3 dy, x2 −3 (j) (x3 − xy) dy 1+y −3 (i) √ 4−x2 ÃZ 2 x2 √ x 1 (e) Z (f) 2 x2 0 2 (x − y + xy − 3) dx, −3 Z √x 0 Z 2 2 1 Z 5 2 dx 1 Z 4x3 x3 1 dy. y (2) Calcular la integral doble indicada y representar gráficamente la región R. (a) (b) (c) (d) (e) (f) ZZ ZRZ ZRZ ZRZ ZRZ ZRZ (x2 + y 2 ) dxdy, R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ x cos y dxdy, x dxdy, 2 x + y2 ln y dxdy, p π/2 , 0 ≤ y ≤ x2 }, R = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ √ 3, 0 ≤ y ≤ x}, R = {(x, y) ∈ R2 : 2 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ x − 1}, 1 (x/√y) e dxdy, y2 xy dxdy, R = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}, R = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ √ 2, x2 ≤ y ≤ 2}. R es la región limitada por las curvas y = x e y = x2 . R (3) Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x2 e y = x3 . 326 18. INTEGRALES DOBLES. (4) Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x3 . (5) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies z = 0, z = x, y 2 = 2 − x. (6) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x2 + z 2 = 4, y = 0, x + y + z = 3. (7) Deducir la fórmula para el volumen de un cono recto de base circular, cuya base tiene radio R y cuya altura es h. (8) En cada uno de los siguientes problemas calcular la integral iterada dada, expresándola primero como una integral doble y pasando luego a coordenadas polares. ¿Se simplifican los cálculos en todos los casos? (a) Z 2 (b) Z Z 4 Z √4−y2 p x2 + y 2 dx, dy 2 dx −2 dx 0 (d) Z √ Z 4−x2 √ − 4−x2 Z √4x−x2 π √ − π √ dy e−(x √ − 4x−x2 p Z √π−y2 √ − 2 +y 2 ) x2 + (f) dx, y2 2 Z (g) sen(x2 + y 2 ) dx, (h) Z 1 Z 1 0 2 2 (x + y ) dy Z √π−y2 ¶ dx, sen(x2 + y 2 ) dx. √ − π−y 2 √ Z 1−y2 dy x y dx. dy 0 π−y 2 x √ π 0 dy, µZ 0 0 0 0 (c) (e) Z 0 dy Z √1−y2 − √ x y dx. 1−y 2 (9) El propósito del siguiente ejercicio es calcular el volumen del sólido limitado por el elipsoide x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c El primer paso es notar que el elipsoide es la región comprendida entre los gráficos de las funciones r x2 y 2 f1 (x, y) = c 1 − 2 − 2 a b y f2 (x, y) = −c r 1− x2 y 2 − 2, a2 b EJERCICIOS. INTEGRALES DOBLES. 327 para (x, y) ∈ S, donde ¾ ½ 2 y2 2 x S = (x, y) ∈ R : 2 + 2 ≤ 1 . a b Por lo tanto, denotando por V al volumen del sólido, tenemos que V = ZZ S ZZ r x2 y 2 1 − 2 − 2 dxdy. (f1 (x, y) − f2 (x, y)) dxdy = 2c a b S (a) Introducir coordenadas polares generalizadas TP G (r, θ) = (ar cos θ, br sen θ). Demostrar que el determinante jacobiano de esta transformación es igual a abr y que S = TP G (B), donde B = [0, 1] × [0, 2π]. (b) Utilizar la fórmula del cambio de variables para integrales dobles para concluir que V = 2c ZZ √ abr 1 − r2 drdθ. B (c) Finalmente, calcular la integral anterior para obtener 4 V = πabc. 3 (10) Utilizar el cambio a coordenadas polares para hallar el volumen del sólido formado por los puntos que están por encima del cono z = x2 + y 2 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . (11) Utilizar el cambio a coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x2 + y 2 = 2x y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4. CAPÍTULO 19 Integrales triples. Integrales triples de funciones sencillas, haciendo énfasis en la determinación de los lı́mites de integración en regiones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a cilı́ndricas y esféricas. Aplicación a cálculo de volúmenes. 1. Definiciones y resultados básicos. La integral triple se define de manera análoga a la doble. Consideramos un paralelepı́pedo Q = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a2 , b3 ] contenido en R3 y una función f : Q → R. Una partición P = {Qijk } de Q estará dada por tres particiones P1 , P2 y P3 de [a1 , b1 ], [a2 , b2 ] y [a2 , b3 ] respectivamente. Las definiciones y los resultados son completamente análogos, cambiando de manera adecuada y donde corresponda, rectángulo por paralelepı́pedo. De manera análoga al caso bi-dimensional, podemos calcular integrales triples sobre regiones generales. Por ejemplo, si R = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x), α1 (x, y) ≤ z ≤ α2 (x, y)} donde ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas en [a, b] siendo ϕ1 ≤ ϕ2 , α1 y α2 son funciones continuas con α1 ≤ α2 . Si f es integrable en R entonces ZZZ Z b ÃZ f (x, y, z) dxdydz = ϕ1 (x) a R Z a b dx ϕ2 (x) Z ÃZ f (x, y, z)dz α1 (x,y) ϕ2 (x) dy ϕ1 (x) α2 (x,y) Z ! ! dy dx α2 (x,y) f (x, y, z) dz α1 (x,y) Otro ejemplo, si R = {(x, y, z) ∈ R3 : c ≤ y ≤ d, h1 (y) ≤ z ≤ h2 (y), β1 (y, z) ≤ x ≤ β2 (y, z)} 329 330 19. INTEGRALES TRIPLES. entonces ZZZ f (x, y, z) dxdydz = Z d dy h2 (y) dz h1 (y) c R Z Z β2 (y,z) f (x, y, z) dx. β1 (y,z) Una región arbitraria debe descomponerse en la unión de regiones análogas a las anteriores para poder ası́ colocar los lı́mites de integración. Ejemplo 19.1. Sea R el sólido limitado por los planos coordenados y el plano x+y +z = 1. Escribir ZZZ f (x, y, z) dxdydz R como una integral iterada. La representación gráfica de R es la siguiente. z 1 x+y+z=1 1 y x+y=1 1 x Figura 19.1. Sólido R Tenemos que R = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}. Por lo tanto ZZZ R f (x, y, z) dxdydz = Z 0 1 µZ 0 1−x µZ 0 1−x−y ¶ ¶ f (x, y, z) dz dy dx. 2. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A CILÍNDRICAS. 331 Observación 19.2. Sea f : R3 → R, f ≥ 0. Entonces ZZZ f (x, y, z) dxdydz R representa la masa de un sólido que ocupa la región R y cuya densidad en cada punto es f . Si tomamos f ≡ 1 obtenemos que ZZZ dxdydz R es igual al volumen de R. 2. Cambio de coordenadas cartesianas a cilı́ndricas. Recordemos que el punto (x, y, z) ∈ R3 tiene coordenadas cilı́ndricas (r, θ, z) si x = r cos θ, y = r sen θ, es decir, representamos la primera y la segunda coordenada en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera. En general se toma r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π , z ∈ R. Además r 2 = x2 + y 2 , tan θ = y , x z = z. Sea TC (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) la transformación de coordenadas cilı́ndricas, entonces su jacobiano es:   cos θ −r sen θ 0   TC′ (r, θ, z) = sen θ r cos θ 0 0 0 1 Luego det Tc′ (r, θ, z) = r. Del teorema general de cambio de variables obtenemos. Teorema 19.3 (Cambio de variables a Coordenadas Cilı́ndricas). Sean B ⊂ {(r, θ, z) ∈ R3 : r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π} acotado, TC (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) y f : TC (B) → R continua y acotada. Entonces ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz = f (r cos θ, r sen θ, z)r drdθdz. TC (B) B 332 19. INTEGRALES TRIPLES. Ejemplo 19.4. Sea S el sólido dado por x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ ZZZ zdxdydz. p x2 + y 2 . Hallar S Cambiando a coordenadas cilı́ndricas obtenemos ZZZ z dxdydz = Z 2π Z 2π = 0 = 1 Z 1 π . 4 0 Z r rz dzdrdθ = Z 2π 0 0 0 0 S Z 1 r3 drdθ = 2 2 Z 2π 0 Z 0 1 µ ¯z=r ¶ rz 2 ¯¯ drdθ = 2 ¯z=0 r4 1 dθ = 4 8 Z 2π dθ 0 3. Cambio de coordenadas cartesianas a esféricas. Recordemos que el punto (x, y, z) ∈ R3 tiene coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) si x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ. En general se toma ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. Además, ρ2 = x2 + y 2 + z 2 , tan θ = y , x z . cos ϕ = p x2 + y 2 + z 2 z ρ (x,y,z) ϕ y θ ρ senϕ x Figura 19.2. Coordenadas esféricas 3. CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A ESFÉRICAS. 333 Sea TE (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ). El jacobiano para el cambio a coordenadas esféricas es:  sen ϕ cos θ −ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ  TE′ (ρ, θ, ϕ) = sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ cos ϕ   ρ cos ϕ sen θ −ρ sen ϕ 0 Luego det TE′ (ρ, θ, ϕ) = −ρ2 sen ϕ. Y ası́ | det TE′ (ρ, θ, ϕ)| = ρ2 sen ϕ. Teorema 19.5 (Cambio de variables a Coordenadas Esféricas). Sean B ⊂ {(ρ, θ, ϕ) ∈ R3 : ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π} acotado, TE (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ) y f : TE (B) → R continua y aco- tada, entonces ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz = f (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos θ)ρ2 sen ϕ dρdθdϕ B TE (B) Ejemplo 19.6. Sea D la esfera de radio a y centro (0, 0, 0), hallar el volumen de D. V ol(D) = ZZZ D 1 dxdydz = Z 0 π Z 0 2π Z a ρ2 sen ϕ dρdθdϕ = 0 Z π Z 2π Z 2πa3 π a sen ϕ dθdϕ = = sen ϕ dϕ 3 0 0 3 0 2πa3 (− cos π + cos 0) = 3 4πa3 . = 3 3 334 19. INTEGRALES TRIPLES. 4. Aplicación a cálculo de volúmenes. Ejemplo 19.7. Calcular el volumen del sólido R limitado por los planos coordenados y el plano x + y + z = 1. Ya en el ejemplo 19.1 vimos cómo colocar los lı́mites de integración para la región R. Luego, tenemos que Vol (R) = = ZZZ Z R 1 0 dxdydz = Z 0 µZ 1 µZ 1−x (1 − x − y) dy 0 1−x−y ¶ ¶ ¶ 1 dz dy dx 0 0 1−x µZ dx, por otra parte ¯y=1−x Z 1−x (1 − x)2 y 2 ¯¯ (1 − x)2 = , (1 − x − y) dy = (1 − x)y − ¯ = (1 − x)2 − 2 y=o 2 2 0 de donde Vol (R) = Z 0 1 ¯x=1 1 (1 − x)2 1 (1 − x)3 ¯¯ = . dx = − ¯ 2 2 3 6 x=0 Ejemplo 19.8. Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies z = x2 y z = 4 − x2 − y 2 . Veamos primero el gráfico de las superficies z = x2 y z = 4 − x2 − y 2 . z z x x y y Figura 19.3. Gráfico de las superficies z = x2 y z = 4 − x2 − y 2 4. APLICACIÓN A CÁLCULO DE VOLÚMENES. 335 Al colocar las dos superficies juntas obtenemos lo siguiente z x y Figura 19.4. De este gráfico ya podemos concluir que, en nuestra región, x2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 . Nos falta hallar el conjunto donde varı́a (x, y). Para esto debemos hallar la intersección de las dos superficies y proyectar sobre el plano xy. En las siguientes figuras hemos ido rotando las superficies, de manera que en la última las vemos desde arriba; se observa que la intersección de las superficies proyecta una curva con forma de elipse, sobre el plano xy. z x x x y y y Figura 19.5. Intersección de las superficies z = x2 y z = 4 − x2 − y 2 Para hallar la proyección de la intersección de las dos superficies sobre el plano xy igualamos las ecuaciones que definen ambas superficies y obtenemos x2 = 4 − x2 − y 2 , es decir x2 y 2 + = 1. 2 4 336 19. INTEGRALES TRIPLES. Esta es la ecuación de una elipse, centrada en el origen y con semiejes de longitud √ 2y 2 respectivamente. La representación gráfica de esta elipse es la siguiente, y x = ψ2(y) x = ψ1(y) x Figura 19.6. Elipse donde ψ1 (y) = − p 4 − y2 √ , 2 x2 y 2 + =1 2 4 ψ2 (y) = p 4 − y2 √ . 2 Por lo tanto nuestro sólido está dado por x2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 , − p 4 − y2 √ ≤x≤ 2 p 4 − y2 √ , 2 −2 ≤ y ≤ 2. El volumen del sólido será igual a (los detalles de los cálculos se los dejamos al lector) 4. APLICACIÓN A CÁLCULO DE VOLÚMENES. V = Z 2 Z 2 dy −2 dx Z (4 − 2x2 − y 2 ) dx √ √ 4−y 2 / 2 √ √ − 4−y 2 / 2 dy √ − √ 4−y 2 / 2 Z 4−x2 −y 2 dz x2 − −2 = Z −√4−y2 /√2 337 √ √ Z 2 2 2 4 2 2 2 3/2 = (4 − y 2 )3/2 dy (4 − y ) dy = 3 3 −2 0 √ Z π/2 √ Z π/2 16 2 64 2 cos4 θ dθ = (1 + 2 cos 2θ + cos2 θ) dθ = 3 3 0 0 " √ #π/2 √ √ Z π/2 8π 2 16 2 8 2 = (1 + cos 4θ dθ + sen 2θ + 3 3 3 0 0 √ = 4π 2. Z Ejemplo 19.9. Calcular el volumen del sólido S que está encima del cono z 2 = x2 + y 2 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2az . Este cono está dado por ϕ = π/4 y la ecuación de la esfera dada es x2 + y 2 + (z − a)2 = a2 , es decir tiene centro (0, 0, a) y radio a. Sea (x, y, z) un punto de la esfera, entonces a2 = x2 + y 2 + (z − a)2 = x2 + y 2 + z 2 − 2az + a2 = ρ2 sen2 ϕ cos2 θ + ρ2 sen2 ϕ sen2 θ + ρ2 cos2 ϕ − 2aρ cos ϕ + a2 = ρ2 sen2 ϕ(cos2 θ + sen2 θ) + ρ2 cos2 ϕ − 2aρ cos ϕ + a2 = ρ2 sen2 ϕ + ρ2 cos2 ϕ − 2aρ cos ϕ + a2 = ρ2 (sen2 ϕ + cos2 ϕ) − 2aρ cos ϕ + a2 = ρ2 − 2aρ cos ϕ + a2 . Luego ρ2 = 2aρ cos ϕ y por lo tanto ρ = 2a cos ϕ. Cómo los puntos de S están por encima del cono tenemos que 0 ≤ ϕ ≤ π/4 y cómo están dentro de la esfera tenemos que 0 ≤ ρ ≤ 2a cos ϕ. 338 19. INTEGRALES TRIPLES. z esfera cono ρ ϕ y x Figura 19.7. Corte de las superficies que limitan a S Por lo tanto S está dado por 0 ≤ ρ ≤ 2a cos ϕ, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π/4. Utilizando el cambio a coordenadas esféricas obtenemos Vol (R) = ZZZ dxdydz S = Z π/4 0 = Z Z 2π 0 π/4 0 Z 2a cos ϕ ρ2 sen ϕ dρdθdϕ 0 µZ 2π 0 Z 2a cos ϕ 0 2 ¶ ρ dρdθ sen ϕ dϕ ¶ 8a3 3 cos ϕ dθ sen ϕ dϕ = 3 0 0 µZ 2π ¶ Z 8a3 π/4 3 dθ sen ϕ dϕ cos ϕ = 3 0 0 Z 16πa3 π/4 = cos3 ϕ sen ϕ dϕ. 3 0 Z π/4 µZ 2π el resto de los cálculos se los dejamos al lector. EJERCICIOS. INTEGRALES TRIPLES. 339 Ejercicios. Integrales triples. (1) Calcular las integrales iteradas que se indican, expresar la región de integración en notación conjuntista y dar una idea de cómo luce la región de integración en R3 . (a) Z 1 Z 1 Z 4 dx −1 (c) x dy 0 ÃZ 1−y 2 0 dx Z Z x−y x dz, 0 0 0 (b) Z ÃZ √ 16−x2 √ x √ − x dy 0 2y √ 2 x dz ! Z √16−x2 −y2 dx ! dy, (x + y + z) dz, 0 (2) Calcular ZZZ f (x, y, z) dxdydz, S donde S está limitada por las superficies indicadas y f es la función dada. (a) z = 0, y = 0, y = x, x + y = 2, x + y + z = 3; f (x, y, z) = x, (b) x = 0, x = p 1 − y 2 − z 2 ; f (x, y, z) = y, (c) x2 + z 2 = 4, y = 0, y = 4; f (x, y, z) = z. (d) x2 + y 2 + z 2 = 9; f (x, y, z) = z. (3) Expresar la integral iterada Z Z 2 dz 0 z dx 0 Z x f (x, y, z) dy 0 en los otros cinco órdenes posibles. (4) Calcular ZZZ p x2 + y 2 + z 2 dxdydz, S donde S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 9}. 340 19. INTEGRALES TRIPLES. (5) Calcular ZZZ p x2 + y 2 dxdydz, S donde S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3}. (6) ⋆ Calcular ZZZ p y 2 + z 2 dxdydz, S donde S = {(x, y, z) ∈ R3 : y 2 + z 2 ≤ 16, −1 ≤ x ≤ 1}. CAPÍTULO 20 Lectura adicional: El teorema de Green. Este capı́tulo es una introducción al teorema de Green que es, en cierto sentido, similar al Teorema Fundamental del Cálculo. Comenzaremos definiendo lo que llamaremos región simple. Recordemos que una región del tipo I es una región de la forma R1 = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} donde ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas en [a, b], tales que ϕ1 ≤ ϕ2 y que una región del tipo II es una región de la forma R2 = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)} donde ψ1 y ψ2 son funciones continuas en [c, d] tales que ψ1 ≤ ψ2 . Definición 20.1. Sea D ⊂ R2 decimos que D es una región simple si D es una región tanto de tipo I como de tipo II y además ∂D es una curva lisa a trozos. y x Figura 20.1. Región simple Definición 20.2. Sea D ⊂ R2 . Decimos que ∂D está positivamente orientada con respecto a D si al “caminar” por ∂D con esa orientación, la región D queda a la izquierda de ∂D. 341 342 20. LECTURA ADICIONAL: EL TEOREMA DE GREEN. y x Figura 20.2. ∂D positivamente orientada con respecto a D Teorema 20.3 (Green). Sea D ⊂ R2 acotado y unión finita de regiones simples. Sean P y Q campos escalares de clase C 1 en un abierto que contiene a D. Entonces ¶ ZZ µ Z ∂Q ∂P − dxdy = P dx + Qdy ∂x ∂y D ∂D donde ∂D está orientada positivamente con respecto a D. Observación 20.4. Tal como es natural, la integral sobre dos curvas disjuntas se define como la suma de las integrales sobre cada una de las curvas. Ejemplo 20.5. (a) Sea G la circunferencia de centro en el origen y radio 1, recorrida en sentido antihorario y sea D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}. Calcular Z y cos(xy) dx + x cos(xy) dy. G Por el teorema de Green, tenemos que esta integral de lı́nea es igual a ZZ (cos(xy) − xy sen(xy) − cos(xy) + xy sen(xy)) dxdy = 0. D (b) Calcular Z G (−y + 1) dx + x dy 20. LECTURA ADICIONAL: EL TEOREMA DE GREEN. 343 donde G es la curva orientada positivamente que limita el triángulo τ de vértices (0, 0), (0, 1) y (1, 0). Aplicamos el teorema de Green con P (x, y) = −y + 1, Q(x, y) = x. Entonces ∂P = −1 ∂y Luego Z (−y + 1) dx + x dy = y ZZ ∂Q = 1. ∂x (1 + 1) dxdy = 2Area(τ ) = 1. τ G (c) Calcular 1 2 Z −y dx + x dy G donde G es la circunferencia de centro el origen y radio 1 recorrida en sentido antihorario. Sea D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} entonces Z ZZ 1 1 −y dx + x dy = (1 − (−1)) dxdy 2 2 G D ZZ = 1 dxdy D = Area(D) = π. Proposición 20.6. Sea D una región simple de R2 cuya frontera ∂D es una curva lisa a trozos. Si ∂D está positivamente orientada con respecto a D, entonces el área de D es Z 1 −ydx + xdy. Area(D) = 2 ∂D La demostración de esta Proposición queda como ejercicio. Sugerencia: Utilizar el teorema de Green. Ejemplo 20.7. Calcular el área de la región D limitada por la elipse x2 y 2 + 2 = 1. a2 b Sea g : [0, 2π] → R2 dada por g(t) = (a cos t, b sen t). 344 20. LECTURA ADICIONAL: EL TEOREMA DE GREEN. Entonces g ′ (t) = (−a sen t, b cos t). Luego 1 Area(D) = 2 Z −y dx + x dy ∂D 1 = 2 1 = 2 Z 2π (−b sen t(−a sen t) + a cos tb cos t) dt 0 Z 0 2π ab dt = πab. EJERCICIOS. EL TEOREMA DE GREEN. 345 Ejercicios. El teorema de Green. (1) Comprobar, calculando las integrales correspondientes, el teorema de Green para Z (x2 − xy 3 ) dx + (y 2 − 2xy) dy, G donde G es un cuadrado con vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2). (2) Hallar el área encerrada por la hipocicloide x2/3 + y 2/3 = a2/3 , donde a es una constante positiva. (Sugerencia: la curva se puede parametrizar de la siguiente manera x = a cos3 t, y = a sen3 t, 0 ≤ t ≤ 2π). (3) Calcular Z x dx + y dy, G donde G es un cuadrado con vértices (0, 0), (4, 0), (4, 4) y (0, 4), recorrido en sentido antihorario. (4) Calcular Z y cos(xy) dx + x cos(xy) dy, G donde G es una circunferencia con centro en (1,3) y radio 5, recorrida en sentido horario. Bibliografı́a [1] Alson, P. Cálculo Básico. Editorial Erro. [2] Apostol, T. Calculus Volumen 1. Editorial Reverté. [3] Apostol, T. Calculus Volumen 2. Editorial Reverté. [4] Batschelet, E. Introduction to Mathematics for Life Scientist. Springer Verlag. [5] Bruzual, R. y Domı́nguez, M. Guı́a de problemas de Cálculo III para Matemáticos. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [6] Bruzual, R. y Domı́nguez, M. Cálculo diferencial en una variable. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. 77 [7] Bruzual, R. y Domı́nguez, M. Cálculo integral en una variable. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [8] Bruzual, R. y Domı́nguez, M. Cálculo diferencial en varias variables. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. 246, 256, 269, 282, 291 [9] Bruzual, R. y Domı́nguez, M. Cálculo integral en varias variables. Publicaciones del Laboratorio de Formas en Grupos, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. 308 [10] Deminovich, B. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo. [11] Edwards, C. H. y Penney, D.E. Ecuaciones diferenciales elementales con aplicaciones. Prentice Hall. [12] Hoffman, K. y Kunze, R. Linear algebra. Prentice Hall. [13] Kiseliov, A., Krasnov, M. y Makarenko, G. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Editorial MIR. [14] Kreider, D., Kuller, R., Ostberg, D. y Perkins, F. Introducción an análisis lineal, Parte 1. Editorial fondo educativo interamericano. [15] Marsden, J. y Tromba, A. Cálculo Vectorial Fondo Educativo Interamericano. Addison-Wesley. [16] Miranda, Guillermo Matemática III - Fı́sica Fac. Ciencias. UCV. [17] Olivares, M. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [18] Pérez, A. Guı́a de problemas de Matemática III para Biologı́a y Quı́mica. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [19] Protter, M. H. and Morrey, C. B. A First Course in Real Analysis. [20] Quintana, Y. Guı́a de problemas de Matemática III. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. [21] Salas, J. y Suárez, J. Guı́a de problemas de Matemática III para Computación. Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela. 347 348 BIBLIOGRAFÍA [22] Swokowsky, E. W. Cálculo con Geometrı́a Analı́tica. Grupo Editorial Iberoamericana. [23] Williamson, Crowell, Trotter. Cálculo de Funciones Vectoriales. Editorial Prentice/Hall Internacional. Índice coordenadas esféricas, 139 autovalor, 196 coordenadas polares, 136 base crecimiento canónica en el plano, 209 exponencial de poblaciones, 10, 27 en el espacio, 209 limitado de poblaciones, 35 en el plano, 209 logı́stico de poblaciones, 27 bola criterio abierta, 134 de acotación, 94 cerrada, 134 de comparación, 95 de la integral, 99 cı́rculo, 118 de la raı́z, 97 cambio de variables, 320 de la razón, 97 campo escalar, 217 de Leibniz, 100 Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 123 del cociente, 97 cilindro, 131 del lı́mite, 96 circunferencia, 118 del término general, 93 columna, 174 criterio del hessiano, 287 condición inicial, 5 curva, 149 conjunto cerrada, 149, 260 abierto, 134, 135 lisa, 158 cerrado, 134, 135 lisa a trozos, 168 cono, 131 orientada, 149 Contacto rectificable, 156 directo, 181 curva de nivel, 221 indirecto, 181 continua, 236 decaimiento radiactivo, 8, 22 continuamente diferenciable, 256 derivada coordenadas direccional, 250 ciı́ndricas, 331 parcial en el espacio, 250 esféricas, 332 parcial en el plano, 248 polares, 318, 321 determinante de una matriz 2 × 2, 194 coordenadas cilı́ndricas, 137 349 350 ÍNDICE de una matriz 3 × 3, 195 imagen, 219 diagonalizar matrices, 187 integrable, 303, 305 diferenciable, 246 integral, 303 diferencial, 246 doble, 305 dirección de máximo crecimiento, 254 triple, 329 disco integral de lı́nea, 163 abierto, 134 cerrado, 134 distancia L’Hopital, regla de, 76 lı́mite en el espacio, 121 a lo largo de una curva en R2 , 226 en el plano, 117 a lo largo de una curva en R3 , 234 dominio, 217 de una función en el espacio, 235 de una función en el plano, 229 ecuación diferencial, 4, 5 infinito, 79 lı́mites iterados, 232 de Bernoulli, 21 Lagrange, 295 homogénea, 14 laplaciano, 266 lineal de primer orden, 19 Ley de enfriamiento de Newton, 11 lineal de segundo orden, 37 longitud separable, 6 elipsoide, 130 de una curva, 158 de una trayectoria, 156 esfera, 121, 129 método de eliminación, 54 fechado mediante radiocarbono, 23 mapa de contorno, 221 fila, 174 matriz, 173 frontera, 134, 135 cuadrada, 175 Fubini, teorema, 308 diagonal, 182 función escalonada por filas, 185 continua, 236 escalonada reducida, 185 diferenciable, 246 identidad, 183 inversa, 183 gráfico, 219 nula, 174 gradiente ampliada de un sistema, 190 en el espacio, 254 en el plano, 253 Green, teorema de, 342 hélice, 150 hiperboloide de dos hojas, 132 de coeficientes de un sistema, 190 máximo local, 285 mı́nimo local, 285 multiplicadores de Lagrange, 295 multiplicidad, 198 orden, 5 de una hoja, 132 homogénea de grado n, 14 paraboloide ÍNDICE de revolución, 130, 220 351 reparametrización, 155 hiperbólico, 133 parametrización de una curva, 149 partición, 301, 304 pivote, 185 plano, 126 ecuación cartesiana, 127 ecuaciones paramétricas, 127 otra ecuación vectorial, 127 plano tangente, 270 plano tangente a una superficie dada como un conjunto de nivel, 270, 272 polinomio caracterı́stico, 196 producto cruz, 124 producto de matrices, 177 producto escalar en el espacio, 122 en el plano, 121 serie, 89 alternada, 90 armónica, 90 convergente, 92 de términos positivos, 90 divergente, 92 geométrica, 91 solución general, 5 solución particular, 5 sucesión, 71 convergente, 74 divergente, 74 suma inferior, 301, 305 suma superior, 302, 305 sumas de Riemann, 303 superficie de nivel, 221 Taylor, teorema de, 278 producto vectorial, 124 teorema fundamental del cálculo, 304 punto transformación lineal, 207 crı́tico, 285 de ensilladura, 286 de acumulación, 225, 233 trayectoria, 149 lisa a trozos, 167 trayectorias equivalentes, 155 de acumulación en el espacio, 233 puntos interiores, 134 vector columna, 174 rango, 219 fila, 174 recta renglón, 174 ecuación vectorial, 125 vector director, 125 ecuaciones paramétricas, 126 vectores ortogonales, 122 recta en el espacio, 125 rectas paralelas, 126 perpendiculares, 126 rectificable, 156 región simple, 341 región tipo I, 310 región tipo II, 310 regla de la cadena, 256 renglón, 174 vectores paralelos en el espacio, 120 en el plano, 117 vectores perpendiculares, 122 vida media, 22