Mat3

Prólogo

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en el curso de Matemática III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biología, Geoquímica, Química, Computación, Física y Matemática.

Para los estudiantes de estas licenciaturas que no cursan paralelamente asignaturas dé algebra y geometría se han incorporado los Capítulos 7, 10 y 11.

Los estudiantes de la Licenciatura en Matemática cursan paralelamente asignaturas dé algebra y geometría, por lo tanto podrán leer más rápidamente los capítulos dedicados a estos temas y tendrán la oportunidad de hacer lecturas adicionales. Estas lecturas se encuentran a lo largo del texto y están dedicadas especialmente a los estudiantes que próximamente se iniciarán en las asignaturas de Análisis Matemático. Creemos que estas lecturas podrían ser optativas para los estudiantes de otras licenciaturas y por eso las hemos diferenciado.

Ofrecemos esta versión preliminar con la intención de colaborar con el dictado de la asignatura y de ir recogiendo las observaciones del personal docente para mejorarla y adaptarla.

El trabajo de mecanografía y la elaboración de los gráficos está a cargo de los autores. Los fenómenos naturales que implican cambios se describen mejor mediante ecuaciones que relacionan cantidades variables.

La derivada dy/dt = f (t) de la función f puede ser considerada como la razón con la cual la cantidad y = f (t) cambia con respecto a la variable independiente t, por esto es natural que en las ecuaciones que describen el universo cambiante aparezcan derivadas.

Una ecuación que contiene una función desconocida y una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial. El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene los siguientes fines:

1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación física.

2. Encontrar la solución apropiada para esa ecuación.

A diferencia delálgebra elemental, en la cual buscamos los números desconocidos que satisfacen una ecuación tal como La ley física se traduce así a una ecuación diferencial. Esperamos que, si se nos dan los valores de A y k, podremos encontrar una fórmula explícita para T (t), que nos permita predecir la temperatura del cuerpo. fondo, es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del agua del tanque, es decir, dV dt = −ky 1/2 , donde y es la profundidad del tanque y k es una constante.

Si el tanque es un cilindro y A es elárea de su sección transversal, entonces V = Ay y dV/dt = A(dy/dt). En este caso la ecuación toma la forma dy dt = hy 1/2 , en la que h = k/A.

Conceptos básicos

Tal como dijimos una ecuación diferencial es una expresión que establece una relación entre una función y algunas de sus derivadas. Como es natural, las soluciones de la ecuación son las funciones que satisfacen la relación. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en la misma.

Por ejemplo, la ecuación entonces C 1 y C 2 deben satisfacer las ecuaciones

Por lo tanto la solución de la ecuación (1.1) que satisface la condición (1.2) es y = cos x + sen x.

Una condición del tipo (1.2) es lo que se llama una condición inicial.

Los conceptos que hemos explicado a través de este ejemplo se extienden de manera natural a cualquier ecuación diferencial: La solución general de una ecuación diferencial es la función más general que la satisface, una solución particular es una función que satisface la ecuación, una condición inicial está dada por igualdades en las que se fijan los valores de la función y algunas de sus derivadas en un punto dado.

Ejercicios.

(1) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Además identificar el orden de cada una de las ecuaciones.

(a) y = 0,

(2) Verifique, por sustitución, que la función dada y es solución de la ecuación diferencial correspondiente.

(a) y = 2e 3x + 1,

(3) Hallar la solución de la ecuación diferencial y = 0 que satisface la condición inicial y(0) = y (0) = 1.

Ecuaciones con variables separables y aplicaciones.

La ecuación diferencial de primer orden

se llama separable si la función H(x, y) puede escribirse como el producto de una función de

x y una función de y, o lo que es equivalente, como un cociente

En este caso las variables pueden ser separadas (aisladas en miembros opuestos de una ecuación) escribiendo, de manera informal, f (y) dy = g(x) dx.

Estaúltima expresión debe entenderse como la notación compacta de la ecuación diferencial

Para resolver esta ecuación diferencial integramos ambos miembros con respecto a x para obtener f (y)

es decir,

Por supuesto, para poder resolver la ecuación, necesitamos poder calcular las primitivas que aparecen en la expresión anterior.

Ejemplo 1.4. Hallar la solución general de la ecuación diferencial y = xy.

Procedemos de la siguiente manera:

Primero escribimos la ecuación en la forma dy y = x dx, integrando obtenemos, ln |y| = 1 2

donde C 1 es una constante real, por lo tanto,

La igualdad anterior implica que y no se anula y, en consecuencia, no puede cambiar de signo. Así que tenemos que

donde C es una constante real que será igual a e C 1ó −e C 1 según el signo de y.

Es importante notar lo siguiente: cuando escribimos la ecuación en la forma dy y = x dx, estamos suponiendo que y no se anula, sin embargo es inmediato que la función y ≡ 0 es solución de la ecuación que estamos resolviendo. Siempre que dividimos entre una variable o una función debemos tener este tipo de cuidado. En este ejemplo la solución y ≡ 0 quedó incluida en el caso C = 0.

Ejemplo 1.5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial

La ecuación la podemos reescribir de la siguiente manera:

(3y 2 + 1) dy = 1 + 1

Integrando ambos miembros obtenemos

Este ejemplo muestra que a veces no es posible o práctico, expresar a y explícitamente como función de x.

Ejemplo 1.6 (Desintegración de sustancias radiactivas). Una sustancia radiactiva se desintegra a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad.

Si de 200 gramos de determinada sustancia radiactiva quedan 50 gramos al cabo de 100

años.

(a) Calcular la vida media.

(b) ¿Cuántos gramos de sustancia radiactiva quedarán transcurridos otros cien años?

Sea t el tiempo y M = M (t) la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t. Entonces, de acuerdo a la ley enunciada al principio del ejemplo, tendremos que

donde k es una constante positiva.

La ecuación (1.3) es una ecuación con variables separables, para hallar la solución particular que corresponde con nuestro problema procedemos de la siguiente manera: En la Sección 7 volveremos a tratar temas relacionados con este ejemplo.

Ejemplo 1.7 (Crecimiento exponencial de poblaciones). A mediados de 1982, la población mundial era de 4,5 miles de millones de habitantes y después creció a razón de un cuarto de millón de personas diarias. Suponiendo que son constantes losíndices de natalidad y mortalidad ¿Para cuándo se puede esperar una población mundial de 10 mil millones de habitantes?

Sea P = P (t) el número de miles de millones de habitantes en el mundo en el instante t, el tiempo t lo mediremos en años y tomaremos el año 1982 como el instante t = 0.

Comencemos por establecer cuál condición o condiciones debe satisfacer P . Sean N a = N a (t) y M o = M o (t) la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad respectivamente.

Si ∆t es un intervalo de tiempo "pequeño" tendremos que

Como estamos suponiendo que la tasa de mortalidad y la tasa de natalidad son constantes Tal como veremos más adelante la ecuación diferencial del tipo

donde k, a, b son constantes reales, aparece en algunas aplicaciones. Veamos cual es la solución general de esta ecuación con variables separables.

Al separar las variables obtenemos dy (y − a)(y − b) = k dx descomponiendo en fracciones simples,

por la igualdad anterior (y − b)/(y − a) no se anula ni cambio de signo, por lo tanto

Ejercicios.

(1) Encontrar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) dy dx = x y 3 .

(b) y dy dx = x(y 2 + 1).

(c) x 2 y = 1 − x 2 + y 2 − x 2 y 2 .

(2) Encontrar la solución particular de la ecuación

que satisface y(0) = 2e.

(3) La vida media del cobalto radiactivo es de 5,27 años. Supóngase que en una región ha ocurrido un accidente nuclear que ha hecho que el nivel de cobalto radiactivo ascienda a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la región vuelva a ser habitable?

4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones con variables separables.

4.1.

La ecuación y = f (x, y), donde f es homogénea de grado cero.

Se dice que una función f : R 2 → R es homogénea de grado n si f (λx, λy) = λ n f (x, y)

para todo x, y, λ ∈ R.

Ejemplo 1. 9.

La función f (x, y) = x 2 + y 2 es homogénea de grado 2.

La función f (x, y) = x 2 + 3xy + y 2 es homogénea de grado 2.

La función f (x, y) = x 4 + x 3 y x + y es homogénea de grado 3.

La función f (x, y) = x 4 + x 3 y x 4 + y 4 + x 2 y 2 es homogénea de grado 0.

Supongamos que tenemos la ecuación diferencial

donde f es homogénea de grado 0.

Entonces

por lo tanto la ecuación equivale a y = f 1, y x .

Hacemos el cambio u = y x , nos queda y = u x y por lo tanto y = x u + u.

Luego

es decir

que es una ecuación con variables separables, ya que equivale a du f (1, u

Ejemplo 1.10. Hallar la solución general de la ecuación y = xy x 2 − y 2 .

Haciendo y = u x obtenemos

Ahora resolvemos esta ecuación con variables separables

La igualdad anterior implica que y no se anula y, por lo tanto, no cambia de signo. Así que tenemos que

donde C es una constante.

4.2.

La ecuación y = a x + b y + c p x + q y + r .

Consideremos una ecuación diferencial de la forma (1.5) y = a x + b y + c p x + q y + r , donde a, b, c, p, q, r son constantes reales.

Si c = r = 0 entonces la ecuación (1.5) es del tipo y = f (x, y). donde f es homogénea de grado cero y por lo tanto ya sabemos como resolverla.

Supongamos que c = 0ó r = 0.

Veremos que, en este caso, un cambio de variables del tipo    x = x 1 + k, y = y 1 + h, (1.6) donde h y k son constantes a determinar nos permite reducir a ecuación (1.5) a una del tipo y = a 1 x + b 1 y p 1 x + q 1 y .

Haciendo el cambio (1.6) y sustituyendo en la ecuación (1.5) obtenemos dy 1 dx 1 = dy dx = a (x 1 + k) + b (y 1 + h) + c p (x 1 + k) + q (y 1 + h) + r = a x 1 + b y 1 + a k + b h + c p x 1 + q y 1 + p k + q h + r Como es natural, debemos elegir h y k de manera que

Cada una de las ecuaciones anteriores es la ecuación de una recta en el plano kh. Si el sistema no tiene solución entonces las rectas tienen que ser paralelas y por lo tanto tiene que ocurrir que existe λ ∈ R tal que p = λa, q = λb.

la ecuación se reduce a una homogénea, que ya sabemos resolver.

Caso2: El sistema (1.7) no tiene solución.

Entonces existe λ ∈ R tal que p = λa, q = λb, luego la ecuación tiene la forma

Haciendo el cambio de variables z = a x + b y,

que es una ecuación con variables separables.

Ejemplo 1.11. Hallar la solución general de la ecuación diferencial

Haciendo el cambio    x = x 1 + k,

Por lo tanto debemos considerar el sistema de ecuaciones lineales

Al resolver el sistema obtenemos k = 2, h = 1.

Luego, con el cambio    x = x 1 + 2, y = y 1 + 1, la ecuación se transforma en

que es una ecuación del tipo y = f (x, y), donde f es homogénea de grado cero.

Para resolver esta ecuación debemos hacer el cambio u = y 1 /x 1 , es decir

Derivando y sustituyendo

integrando arctan u − 1 2 ln(1 + u 2 ) = ln |x 1 | + ln C,

tomando exponencial, C x 2 1 + y 2 1 = e arctan y 1

x 1 , finalmente, volvemos a la variable original y obtenemos la solución general:

C (x − 2) 2 + (y − 1) 2 = e arctan ( y−1 x−2 ) .

Observación 1.12. El procedimiento anterior también se le puede aplicar a una ecuación diferencial de la forma y = f ax + by + c px + qy + r .

Ejercicios.

(1) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y = y − x y + x ,

(c) y = x + y x + y + 4 ,

Ecuación lineal de primer orden.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la forma

donde p y q son funciones continuas definidas en un intervalo.

Si q(x) ≡ 0 la ecuación se llama homogénea.

Si q(x) no es nula la ecuación se llama no homogénea.

Observación 1.13. No debemos confundir la ecuación diferencial lineal de primer orden homogénea con la ecuación diferencial de la forma y = f (x, y), con f homogénea de grado 0, estudiada en la Sección 4.

Solución de la homogénea.

La ecuación homogénea tiene la forma dy dx + p(x) y = 0.

Esta ecuación es de variable separables, para hallar su solución general procedemos de la siguiente manera:

Separamos las variables,

esta igualdad implica que y no se anula y por lo tanto no puede cambiar de signo, luego,

Solución de la no homogénea.

En este caso la ecuación tiene la forma dy dx + p(x) y = q(x), multiplicando ambos miembros por e p(x) dx , obtenemos e p(x) dx dy dx + e p(x) dx p(x) y = q(x) e p(x) dx , es decir,

integrando, e p(x) dx y = q(x) e p(x) dx dx + C,

Ejemplo 1.14. Hallar la solución general de la ecuación diferencial

Multiplicando ambos miembros de la igualdad por e −x 2 /2 obtenemos

Por lo tanto, la solución general es

donde C es una constante.

Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación de Bernoulli es una ecuación de la forma y + p(x)y = q(x)y n , donde n = 0, 1 (notar que si n = 0ó n = 1 se trata de una ecuación lineal de primer orden).

El procedimiento para resolver esta ecuación es como sigue.

Primero reescribimos la ecuación de la siguiente manera

haciendo el cambio z = y −n+1 , tenemos que dz dx = (1 − n) y −n dy dx , de donde,

Por lo tanto la ecuación queda

que es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

7. Aplicaciones 7.1. Desintegración radiactiva y determinación de la antigüedad de un fósil.

Consideremos una muestra de sustancia que contiene N (t)átomos de cierto isótopo radiactivo en el instante t. Durante cada unidad de tiempo una fracción constante de estoś atomos se desintegra espontáneamente, transformándose enátomos de otro elemento o en otro isótopo del mismo elemento; por lo tanto la velocidad de desintegración de la sustancia es proporcional a la cantidad de sustancia presente. En términos de una ecuación diferencial

donde k es una constante positiva, que depende de la sustancia.

Al resolver esta ecuación diferencial obtenemos (1.9)

donde N o es la cantidad de sustancia en el instante t = 0 (ver Ejemplo 1.6).

Sea T tal que N (T ) = N o /2, es decir, transcurrido el tiempo T , de la cantidad de sustancia N o queda N o /2. Entonces tenemos que

Despejando obtenemos k = 1 T ln 2, sustituyendo en la fórmula (1.6)

Es importante notar lo siguiente:

por lo tanto, si en el instante t o tenemos cierta cantidad de sustancia, en el instante t o + T esta cantidad se habrá reducido a la mitad. Por esto se define la vida media de una sustancia radiactiva como el tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad. Los cálculos previos sirven para demostrar que la vida media está bien definida y además, si T es la vida media (1.10)

La clave del método de determinación de la antigüedad o fechado mediante radiocarbono de fósiles estriba en que una proporción constante deátomos de carbono de cualquier organismo viviente está formada por el isótopo radiactivo C 14 del carbono y una vez que el organismo muere estos isótopos radiactivos comienzan a desintegrarse.

Más en detalle: La concentración de C 14 en la atmósfera se conserva casi constante, ya que, aunque C 14 es radiactivo y se desintegra lentamente, se repone mediante la conversión de nitrógeno en C 14 por los rayos cósmicos de la atmósfera superior. Durante la larga historia de nuestro planeta, esta declinación y reposición se ha convertido en un estado cercano a la estabilidad. La materia viva está tomando carbono del aire continuamente, o está consumiendo otras materias vivientes que contienen la misma concentración constante deátomos de carbono C 14 . La misma concentración perdura toda la vida, debido a que los procesos orgánicos parecen no hacer distinción entre los dos isótopos. Cuando un organismo vivo muere, cesa su metabolismo de carbono y el proceso de desintegración radiactiva comienza a agotar su contenido de C 14 y, en consecuencia, la concentración de C 14 comienza a decrecer. Midiendo esa concentración, puede estimarse el tiempo transcurrido desde la muerte del organismo.

Para el C 14 se sabe que, midiendo el tiempo en años, la constante de decaimiento k vale aproximadamente 0,0001216.

Nota: Al aplicar la técnica de determinación de antigüedad mediante radiocarbono debe tomarse extremo cuidado para evitar la contaminación de la muestra con materia orgánica o aun aire fresco ordinario. Además, parece ser que los niveles de rayos cósmicos no han sido constantes durante la historia de la tierra, por lo que la proporción de carbono radiactivo en la atmósfera ha variado en los siglos pasados. Mediante el uso de métodos independientes de fechado de muestras, los investigadores de estaárea han compilado tablas de factores de corrección que han acrecentado la exactitud del proceso. Sea x(t) la cantidad de sal que se encuentra en el tanque en el instante t. Entonces

es decir dx dt + 3 90 + t x(t) = 8.

Resolviendo la ecuación y utilizando que x(0) = 90, obtenemos

x(t) = 2 (90 + t) − 90 4 (90 + t) 3 .

De la fórmula para V (t) sigue que el tanque se llena en 30 min, por lo tanto la respuesta es x(30) ≈ 202 lb de sal.

Modelos de poblaciones.

En el Ejemplo 1.7 consideramos un modelo de población cuyo crecimiento está gobernado por una ecuación de la forma dP/dt = k P . Este modelo es válido cuando losíndices de natalidad y mortalidad son constantes. En esta sección estudiaremos modelos más generales, que contemplan la posibilidad de que losíndices de natalidad y mortalidad sean variables.

Sea P (t) el número de individuos de una población en el instante t. Supongamos que la población cambia exclusivamente por la ocurrencia de nacimientos y muertes, es decir, suponemos que no hay inmigración ni emigración. Sean N (t) y M (t) el número de nacimientos y muertes, respectivamente, que han ocurrido desde el instante t = 0 hasta el instante t. Eĺ Por lo tanto (1.12) P (t) = (α(t) − β(t)) P (t).

Crecimiento exponencial.

Si losíndices de natalidad y mortalidad α(t) y β(t) son constantes tenemos una ecuación del tipo dP dt = k P, cuya solución es

donde P o es el número de individuos en el instante t = 0.

En la siguiente figura observamos los gráficos de P en función de t para los casos k > 0, k = 0 y k < 0. El primer gráfico (k > 0) corresponde con el caso en que elíndice de natalidad es mayor que el de mortalidad. La población crece muy rápidamente, llega un momento en que el modelo pierde validez, ya que el medio ambiente comienza a poner restricciones sobre el número de individuos.

El segundo gráfico (k = 0) corresponde con el caso en que elíndice de natalidad es igual al de mortalidad. La población permanece constante.

El tercer gráfico (k < 0) corresponde con el caso en que elíndice de mortalidad es mayor que el de natalidad. La población disminuye hasta extinguirse.

Crecimiento logístico.

En situaciones tan diversas como la población humana de una nación y la población de la mosca de la fruta en un recipiente cerrado, a menudo se observa que elíndice de natalidad disminuye cuando la población aumenta. Las razones pueden variar, incluyendo desde el refinamiento cultural hasta la limitación en los recursos alimenticios.

Supongamos que (a) Elíndice de nacimientos α es una función lineal decreciente de P , es decir

donde α o y α 1 son constantes positivas.

(b) Elíndice de mortalidad permanece constante.

Entonces la ecuación (1.12) toma la forma dP/dt = (α o − α 1 P − β) P , es decir,

Supondremos que α o > β, así que M > 0. Al resolver esta (ecuación ver Subsección 3.1)

obtenemos

Se observa que si t → ∞, entonces P (t) → M , es decir el número de individuos tiende a estabilizarse.

A continuación observamos los gráficos de P en los casos P o < M y P o > M . Nociones básicas y ecuaciones diferenciales de primer orden.

(1) Verifique, por sustitución, que la función dada y (explícita o implícitamente) es solución de la ecuación diferencial correspondiente.

(a) y = 2x; y = x 2 + 3.

(b) y y = e 2x ; y 2 = e 2x + 1.

(c) xy + y = y 1 − x 2 y 2 ; y = arcsen xy.

(d) (y cos y − sen y + x)y = y; y + sen y = x.

(e) y + y = 3 cos 2x; y = cos x − cos 2x.

(f) y + y = 3 cos 2x; y = sen x − cos 2x.

(g) x 2 y − xy + 2y = 0; y = x cos(ln x).

(h) x 2 y + 5xy + 4y = 0; y = 1 x 2 .

(2) En los siguientes problemas se describe una función y = g(x) mediante alguna propiedad geométrica de su gráfica. Escriba una ecuación diferencial de la forma y = f (x, y) cuya solución (o una de sus soluciones) sea g(x).

(a) La pendiente de la gráfica de g en el punto (x, y) es la suma de x e y.

(b) La recta tangente a la gráfica de g en el punto (x, y) interseca al eje de las x en el punto (x/2, 0).

(c) Toda línea recta, perpendicular a la gráfica de g, pasa por el punto (0, 1).

(3) En los siguientes problemas escribir una ecuación diferencial, que sea un modelo matemático de la situación descrita.

(a) La tasa de cambio con respecto al tiempo de una población P es proporcional a la raíz cuadrada de P .

(b) La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad v de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v.

(c) La aceleración dv/dt de cierto automóvil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 kilómetros por hora y la velocidad v del automóvil.

(d) En una ciudad que tiene una población fija de K personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del número N de personas que han oído un cierto rumor es proporcional al número de personas que todavía no lo han oído.

(4) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables.

(a) y = e 3x − x.

(d) y = arcsen x.

(g) x y y = y − 1.

(h) x y = (1 − 2x 2 ) tan y.

(j) y ln y dx − x dy = 0.

(k) y + y tan x = 0.

(m) sec 2 x dy + cosec y dx = 0.

(v) (1 + x 4 ) y = 1.

(Ayuda: 1+x 4 = 1+2x 2 +x 4 −2x 2 ).

(5) Determine si la función dada es homogénea. En caso de que sea homogénea, indique su grado de homogeneidad.

(6) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(7) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y = 2x − 5y 2x + 4y .

(8) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

(a) 3y + 12y = 4.

(h) y − y tan x = sec x.

(9) Hallar la solución que satisface la condición inicial indicada.

(c) y + y cos x = sen x cos x, y π 2 = 1.

(g) y − y tan x = sec x, y(π) = 0.

(10) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales (indique cuál o cuáles son de Bernoulli).

(a) y = 3 − 4 y + y 2 .

(11) Utilizando el método más apropiado, halle la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y = 17.

(m) (x + y − 1) dx + (x − y) dy = 0.

(n) xy + y = y 2 x.

(12) Sean a y λ números reales positivos y b un número real. Demostrar que toda solución de la ecuación diferencial

tiende a 0 cuando x tiende a +∞.

(13) Demostrar que la curva para la cual, la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto de la tangente con la curva, es una parábola. (i) Una vez que un individuo es infectado, permanecerá así durante todo el proceso y no será eliminado (no muere).

(ii) Si x(t) es el número de individuos sanos y y(t) es el número de individuos infectados en el instante t, entonces la velocidad a la que se propaga la infección es proporcional al producto de x(t) y y(t).

Si en diez días hay 20 individuos infectados, determinar en cuántos días habrá 50 individuos infectados.

(19) (Crecimiento limitado) Supongamos que en una población la velocidad de crecimiento es proporcional a una constante menos el número de individuos presentes.

Describir y analizar el modelo matemático correspondiente.

CAPÍTULO 2

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Solución general de la ecuación homogénea. Solución general de la ecuación ay + by + cy = f (x) en los casos en que f es un polinomio,

Aplicaciones: Caída libre, movimiento oscilatorio, caída libre en un medio resistente.

1. Solución general de la ecuación homogénea.

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes es una ecuación de la forma

donde a, b, c son constantes reales, a = 0 y f es una función continua definida en un intervalo.

Si f (x) ≡ 0 se dice que la ecuación es homogénea, en otro caso se dice no homogénea.

Primero vamos a considerar la ecuación la homogénea, es decir vamos a comenzar con la ecuación (2.2) a y + b y + c y = 0.

En este caso se cumple lo siguiente: Si y 1 e y 2 son soluciones de la ecuación (2.2) y C 1 y C 2 son constantes reales entonces C 1 y 1 + C 2 y 2 también es solución de la ecuación (2.2) (verificarlo como ejercicio).

Supongamos que una función de la forma y = e λx (λ es una constante a determinar) es solución de la ecuación. Tenemos que

por lo tanto debe cumplirse que

Así que tenemos que la función y = e λx es solución de la ecuación (2.2) si y sólo si

Al polinomio

se le llama polinomio característico de la ecuación (2.2).

Sean λ 1 y λ 2 las raíces del polinomio característico. Para hallar la solución general de la ecuación (2.2) debemos considerar tres casos.

Primer caso: Si λ 1 y λ 2 son reales y distintas (b 2 − 4ac > 0).

La solución general tiene la forma

donde C 1 y C 2 son constantes reales.

Segundo caso: Si λ 1 y λ 2 son reales e iguales (b 2 − 4ac = 0).

La solución general tiene la forma

donde C 1 y C 2 son constantes reales.

Tercer caso: Si λ 1 y λ 2 son complejas (b 2 − 4ac < 0).

En este caso tendremos que existen números reales α y β tales que

La solución general tiene la forma y = (C 1 sen βx + C 2 cos βx) e αx .

Ejemplo 2.1.

(1) Hallar la solución general de y + y − 2y = 0.

El polinomio característico es λ 2 + λ − 2 y sus raíces son 1 y −2, por lo tanto la solución general es

(2) Hallar la solución general de y + 2y + 5y = 0.

El polinomio característico es λ 2 + 2λ + 5 y sus raíces son

por lo tanto la solución general es

(3) Hallar la solución general de y − 4y + 4y = 0.

El polinomio característico es λ 2 − 4λ − 4 = (λ − 2) 2 y tiene una raíz doble en λ = 2, por lo tanto la solución general es

2. Solución general de la ecuación no homogénea.

En esta sección vamos a estudiar cómo resolver la ecuación (2.1) para algunos casos particulares de f , más precisamente, vamos a considerar la ecuación

en los casos en que f (x) = k 1 sen x + k 2 cos xó f (x) = P (x)e αx , donde P es un polinomio.

Observación 2.2. Si y 1 e y 2 son soluciones de la ecuación no homogénea (2.3) entonces y 1 −y 2 es solución de la ecuación homogénea a y +b y +c y = 0, por esto tenemos el siguiente resultado: La solución general de la ecuación no homogénea es igual a la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular de la ecuación no homogénea.

Por la observación anterior, para hallar la solución general de la ecuación no homogénea (2.3) basta hallar una solución particular de la no homogénea; después a esta solución particular le sumamos la solución general de la homogénea, que aprendimos a hallar en la sección previa.

Vamos a estudiar caso por caso.

Caso 1: f (x) = P n (x)e αx , donde P n es un polinomio de grado n.

Es necesario considerar tres subcasos.

(i) α no es raíz de la ecuación aλ 2 + bλ + c = 0.

Se debe buscar una solución particular de la forma

donde Q n es un polinomio de grado n.

(ii) α es raíz simple de la ecuación aλ 2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma

donde Q n es un polinomio de grado n.

(iii) α raíz doble de la ecuación aλ 2 + bλ + c = 0. Se debe buscar una solución particular de la forma

donde Q n es un polinomio de grado n.

Caso 2: f (x) = k 1 sen(βx) + k 2 cos(βx), donde k 1 , k 2 y β son constantes.

Es necesario considerar dos subcasos.

(i) β i no es raíz de la ecuación aλ 2 + bλ + c = 0.

Se debe buscar una solución particular de la forma

(ii) β i es raíz de la ecuación aλ 2 + bλ + c = 0.

Se debe buscar una solución particular de la forma y = x (A sen(βx) + B cos(βx) ), donde A y B son constantes.

Observación 2.3. En el Caso 1 están contenidos el caso en que f (x) es un polinomio (tomar α = 0) y el caso en que f (x) = a x (tomar P n (x) ≡ 1, α = ln a).

Observación 2.4. Para hallar una solución particular de la ecuación diferencial

basta sumar una solución particular de la ecuación a y + b y + c y = f 1 (x) con una solución particular de a y + b y + c y = f 2 (x). Esta propiedad se conoce con el nombre de principio de superposición.

Ejemplo 2.5.

(1) Hallar la solución general de la ecuación y + 4y + 3y = x.

El polinomio característico de la ecuación es λ 2 + 4λ + 3 y tiene raíces −1 y −3, por lo tanto la solución general de la ecuación homogénea es

Debemos buscar una solución particular de la forma

En este caso y = A, y = 0, sustituyendo en la ecuación

igualando los coeficientes y resolviendo el sistema lineal correspondiente, obtenemos

por lo tanto la solución general es

(2) Hallar la solución general de la ecuación y + 9y = xe 3x .

El polinomio característico de la ecuación es λ 2 + 9 y tiene raíces 3 i y −3 i, por lo tanto la solución general de la ecuación homogénea es C 1 sen(3x) + C 2 cos(3x).

Debemos buscar una solución particular de la forma

Tenemos que Igualando los coeficientes y resolviendo el sistema lineal correspondiente, obtenemos

por lo tanto la solución general es

(3) Hallar la solución general de la ecuación y + 2y + 5y = 2 cos x.

El polinomio característico es λ 2 + 2λ + 5 y sus raíces son

por lo tanto la solución general de la homogénea es y = (C 1 sen(2x)+C 2 cos(2x) ) e −x .

Debemos buscar una solución particular de la forma

Derivando y sustituyendo en la ecuación obtenemos

por lo tanto la solución general es y = (C 1 sen(2x) + C 2 cos(2x) ) e −x + 2 5 cos x + 1 5 sen x.

3. Aplicaciones 3.1. Caída libre en el vacío.

Supongamos que dejamos caer un cuerpo desde cierta altura h, con velocidad inicial 0.

Sea m es la masa del cuerpo, g la aceleración de gravedad y x(t) la altura del cuerpo en el instante t. Si despreciamos la resistencia del aire, entonces x satisface la ecuación

La solución de la ecuación anterior (verificarlo como ejercicio) es

Se observa que la velocidad del cuerpo es igual a

por lo tanto el valor absoluto de la velocidad se mantiene incrementándose de manera lineal, hasta que el cuerpo llega al suelo.

Caída libre en un medio resistente.

Nuevamente supongamos que dejamos caer un cuerpo desde cierta altura h, con velocidad inicial 0. Sea m es la masa del cuerpo, g la aceleración de gravedad y x(t) la altura del cuerpo en el instante t. En muchos casos la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo, por lo tanto x satisface la ecuación

Analicemos la ecuación. Si dividimos entre m obtenemos

La solución que satisface la condición inicial es (verificarlo como ejercicio)

Se observa que la velocidad del cuerpo, que es igual a

está acotada y tiende a estabilizarse a medida que t se incrementa..

Oscilaciones de un resorte.

Supongamos que tenemos un resorte suspendido verticalmente de un soporte fijo al que se le sujeta un cuerpo de masa m al extremo inferior. En este caso el peso P = m g de la masa estirará el resorte una distancia s o . Esto da la posición de equilibrio del sistema.

Las raíces del polinomio característico de esta ecuación son ω i y −ω i, por lo tanto su solución general es de la forma

Las constantes C 1 y C 2 se pueden calcular en función de la posición inicial x(0) y la velocidad inicial x (0).

El gráfico de la solución luce así.

x t Figura 2.2.

El modelo anterior es un tanto irreal, ya que según el mismo el resorte no se detiene jamás, obteniéndose un movimiento periódico perpetuo. Por la experiencia práctica sabemos que esto no puede ser.

Una forma simple de mejorar el modelo es suponer que sobre el resorte actúa una fuerza que se opone al movimiento y que es proporcional a dx/dt. En este caso debemos modificar la ecuación (2.4) de la siguiente manera

donde 2 λ = β/m y ω 2 = k/m (se escoge 2 λ para simplificar las operaciones).

Por supuesto existen otros tipos de modelo, en los que se supone que la resistencia proporcional al cuadrado de dx/dt y que nos lleva a ecuaciones más complicadas.

Las raíces del polinomio característico de la ecuación (2.7) son

Dependiendo del signo de λ 2 − ω 2 podemos distinguir tres casos.

Caso 1: λ 2 − ω 2 > 0. En este caso la solución tiene la forma

En este caso se produce un movimiento suave no oscilatorio y se dice que el sistema está sobreamortiguado.

Caso 2: λ 2 − ω 2 = 0. En este caso la solución tiene la forma

En este caso se produce un movimiento similar al del caso sobreamortiguado y se dice que el sistema está críticamente amortiguado.

Caso 3: λ 2 − ω 2 < 0. En este caso la solución tiene la forma

En este caso se produce un movimiento oscilatorio, cuyas amplitudes de oscilación tienden a 0 cuando t tiende a ∞. En esta caso se dice que el sistema está subamortiguado.

Las constantes C 1 y C 2 se pueden calcular en función de las condiciones iniciales del problema.

Las siguientes tres gráficas corresponden con los casos 1, 2 y 3 respectivamente

Ejercicios.

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes.

(1) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y = y.

(b) y − 4y = 0.

(c) y + 4y = 0.

(d) 4y + y = 0.

(e) y − y = 0.

(f) y + y = 0.

(g) y + 3y − 10y = 0.

(h) 2y − 7y + 3y = 0.

(i) y + 6y + 9y = 0.

(j) y − 6y + 13y = 0.

(k) 4y − 12y + 9y = 0.

(l) y + 8y + 25y = 0.

(m) 3y + 2y + y = 0.

(n) 2y + 2y + y = 0.

(2) Para cada una de las siguientes funciones, encontrar una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes, tal que la función dada es solución de la ecuación.

(a) f (x) = 3 e 2x .

(b) f (x) = cos x + 3 sen x.

(3) Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la solución que satisface la condición inicial dada.

(a) y = y; y (0) = y(0) = 1.

(b) 9y + 6y + 4y = 0; y(0) = 3, y (0) = 7.

(c) y − 4y + 3y = 0; y(0) = 7, y (0) = 11.

(d) y − 6y + 25y = 0; y(0) = 3, y (0) = 1.

(4) Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

(a) y = y + e x .

(b) y − 4y = e x + e 2x + sen 2x.

(c) y + 4y = x 3 + 5.

(d) 4y + y = cosh x.

(e) y − y = x 2 e x .

(f) y + 16y = e 3x .

(g) y − y − 2y = 3x + 4.

(h) y − y − 6y = 2 sen 3x + cos 5x.

(i) 4y + 4y + y = xe 3x .

(j) y + y + y = sen 2 x.

(k) 2y + 4y + 7y = x 2 .

(l) y − 4y = cosh 2x.

(5) Resuelva e interprete (en términos del movimiento de un resorte) el problema a valor inicial

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.

(1) Hallar la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales.

(a)

(e)   ẋ = 6x + 2y,

(2) Hallar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales con condición inicial.

(a) (4) Suponga que una población está formada por dos grupos: adultos y niños. Sean

x e y el número de niños y adultos, respectivamente, en el instante t. Suponga que los niños no se reproducen. Estudie la factibilidad de el modelo

donde δ 1 , δ 2 , α y β son constantes positivas.

Sucesiones.

(1) Sugiera el término general de cada una de las siguientes sucesiones:

(a) 2, 4, 6, 8, 10, . . .

(e) 0, 5, 0, 5, 0, 5, . . .

(2) Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies sobre la losa de concreto.

Cada vez que rebota alcanza una altura equivalente a 2/3 de la altura anterior.

Determine la altura que alcanza en el tercer rebote y en el n-ésimo rebote.

(3) Un objeto se deja caer desde una gran altura, de tal manera que recorre 16 pies durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 pies durante el tercero y así sucesivamente. ¿Cuánto recorre el objeto durante el sexto segundo?

(4) Sea {a n } una sucesión (infinita) con término general a n . Estudie la sucesión: Diga si es acotada superiormente, acotada inferiormente, acotada, no acotada, monótona creciente, monótona decreciente, no monótona. Dibuje el gráfico de la sucesión.

Determine si converge o diverge, y en caso de que converja halle su límite.

(a) a n = 1 n 2 (b) a n = −1 n + n + 1 n 2 (c) a n = (−1) n n (d) a n = sen(nπ) (e) a n = sen π 2 + nπ (f) a n = cos π 2 + nπ (g) a n = cos(nπ) (h) a n = 1 + (−1) n (i) a n = n 2 − 1 n − 1 (j) a n = n + 1 n − 1 (k) a n = n + 1 n − 1 7 (l) a n = n 4 (m) a n = (1/n) 3 (n) a n = 8 1/n (o) a n = (1/2) n (p) a n = 6 n (5) La sucesión de Fibonacci:

(a) Suponga que la vida de los conejos es eterna y que cada mes una pareja procrea una nueva pareja, que es fértil al mes. Si comenzamos con una pareja de recién nacidos y a n representa el número de parejas nacidas en el n-ésimo mes demuestre que a 1 = a 2 = 1, a n = a n−1 + a n−2 si n ≥ 3 (la igualdad de la derecha es una fórmula recurrente).

(b) Verifique que el término general de la sucesión de Fibonacci es

demostrando que esta expresión satisface la fórmula recurrente dada en (a).

(6) Sean c, r constantes reales. Considere la sucesión {a n } definida por a n = cr n−1 . Se define la sucesión {S n } por S n = a 1 + · · · + a n .

Probar que

(7) Dar ejemplos de sucesiones {a n } y {b n } tales que lim n→+∞ a n = lim

n→+∞ a n b n no existe.

(8) EL propósito de este ejercicio es recordar la fórmula para la derivada de un cociente, que no debe confundirse con el cociente de derivadas.

Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, en los puntos en los que son derivables:

(9) Calcular los siguientes límites de funciones:

(10) Sea {a n } una sucesión (infinita) con término general a n . Para cada uno de los siguientes casos determine si {a n } converge o diverge, y en caso de que converja halle su límite.

(a) a n = 4n − 3 3n + 4 (b) a n = √ n (c) a n = n 2 − 1 n 2 + 1 (d) a n = n 2 n + 1 (e) a n = 3 + (−1) n n 2 (f) a n = n ( 1 ln n ) (g) a n = (1/n) 1/n (h) a n = (−1) n n 2 1 + n 3 (i) a n = 4n 3 + 3n 2 + 1 5n 3 + 3 (j) a n = n2 −n (k) a n = n 2 1 − cos 1 n (l) a n = 1 + (−1) n (m) a n = sen n n (n) a n = sen n 2 n (o) a n = e n − e −n e n + e −n (p) a n = √ n + 8 − √ n (q) a n = 2 n 3 n + 1 (r) a n = 5 − 2 −n 6 + 4 −n (s) a n = ln(2 + e n ) 3n

(t) a n = ln(n + 1) − ln(n) (u) a n = 1 − 4 n n (v) a n = 5 + 5 n 3 n (w) a n = 10 (n+1)/n (x) a n = n 2/(n+1) (y) a n = √ n( √ n + 1 − √ n) (z) a n = n sen 1 n (11) * Demostrar que:

(c) Hallar el límite de la sucesión anterior. Series numéricas.

Definición y ejemplos. Criterios de convergencia para series de términos positivos: comparación, límites, raíz, razón, integral. Series alternadas:

¿Las expresiones indefinidamente largas, tales como

(lo que los matemáticos llaman series infinitas) pueden ser tratadas por medio de las reglas de la aritmética, o son necesarias técnicas especiales para poder abarcar su infinidad?

Enfrentada con tales dificultades conceptuales, la mente de los matemáticos del siglo XVIII empezó a titubear. Lagrange se desesperó tanto que abandonó las matemáticas durante un período de varios años, y, en una carta a su amigo y colega Jean Baptiste D'Alembert, en 1.781, expresó la opinión de que las matemáticas estaban ahondando demasiado, con peligro de ser destruidas. D'Alembert, en cambio, no sosegó a sus alumnos, sino que les exhortó:

"Seguid adelante y la fe vendrá a vosotros".

Series.

(1) Verifique que las siguientes series son divergentes

(2) Verifique que las siguientes series son convergentes (a) 2 + 3 2

(4) ¿Qué está mal en la siguiente "demostración" de que la serie geométrica divergente +∞ n=1 (−1) n+1 tiene por suma cero?

converge y determine su suma.

(b) Se cumple la siguiente igualdad +∞ n=1 1 (n + 2)(n + 3) = 1 3 .

Sugerencia: use la parte (a).

(6) Demuestre que la serie +∞ n=1 7 n(n + 1) − 2 3 n−1 converge y determine su suma.

(7) Encuentre una fórmula para S n y demuestre que la serie converge o diverge usando

(Sugerencia: racionalice el denominador). (a n+1 − 2a n + a n−1 ) = a 0 − a 1 + lim n→+∞ (a n+1 − a n ).

(11) Determine si las siguientes series telescópicas convergen o divergen.

Ayuda: use la fórmula:

(12) Aplique el criterio más conveniente para determinar si las siguientes series convergen o divergen.

Demuestre que

(c) La serie

1 a n es convergente.

(16) Use el criterio de series alternadas para determinar si las siguientes series son con-

Fórmula de Stirling y producto de Wallis.

Justificación elemental de la fórmula de Stirling y producto de Wallis.

La fórmula de Stirling da un estimado para n! y el producto de Wallis da una expresión para π/2 como límite de un cociente de números parecidos a los factoriales.

Fórmula de Stirling y producto de Wallis.

A continuación indicamos tres fórmulas que permiten calcular límites bastante complicados.

• Estimado para n √ n!:

• Fórmula de Stirling:

Deducir los siguientes límites con la ayuda de las fórmulas anteriores

Nota: EL producto t(t−1) . . . (t−n+1) es un polinomio en t de grado n llamado polinomio factorial n-ésimo. Se representa con el símbolo t (n) , así pues

Curvas en el plano y en el espacio.

(1) Sea

(a) Halle el dominio de g.

(b) Determine cuáles de los siguientes límites existen

(c) Indique los puntos de continuidad de g.

(d) Indique los puntos de discontinuidad de g.

(2) Demostrar que si g : R → R 3 si está definida por

Interpretar desde el punto de vista físico.

(3) Sea n = 2ó n = 3. Sea I un intervalo abierto y sean f : I → R n y g : I → R n funciones diferenciables.

Demuestre que (a) Si λ ∈ R y g es derivable en t, entonces λg es derivable en t y (λg) (t) = λg (t).

(b) Si f y g son derivables en t entonces f + g es derivable en t. Además

(c) Si f y g son derivables en t entonces f, g es derivable en t. Además

(d) Si f y g son derivables en t entonces f, g es derivable en t. Además

).

(e) Si g es derivable en t entonces

(f) Si g(t) es constante entonces g(t) es perpendicular a g (t).

(4) Hallar una parametrización de la elipse

recorrida en sentido anti-horario.

(5) Hallar la rapidez de la trayectoria g : R → R 2 dada por g(t) = (R cos ωt, R sen ωt),

(R y ω son constantes).

Encontrar una reparametrización que tenga rapidez 1.

(6) Hallar la rapidez de la trayectoria g : R → R 3 dada por g(t) = (R cos ωt, R sen ωt, bt),

Encontrar una reparametrización que tenga rapidez 1. (a) y = 1 2

(e) x = 3t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ π.

(9) Una partícula se mueve en el plano, de manera que en el instante t se encuentra ubicada en el punto 4t

Demostrar que la partícula se mueve en una circunferencia con centro en el origen.

(10) Sea g : R → R 2 la trayectoria definida por g(t) = (e t , t).

(a) Representar gráficamente la curva g.

(b) Representar gráficamente los vectores tangentes g (0) y g (1).

(11) Representar gráficamente la curva asociada a la trayectoria (x, y) = (t 4 , t 8 ). Verificar que esta parametrización no define un vector tangente en el origen. ¿Será posible encontrar otra parametrización que sí defina un vector tangente en el origen? CAPÍTULO 9 Integrales de línea.

Integrales de línea. Interpretación como trabajo mecánico.

1. Definición y ejemplos de integrales de línea.

Un campo vectorial es una función de R n en R m .

Si F : R n → R m es un campo vectorial, entonces

Por ejemplo F (x, y) = (x 2 , sen(x + y)) es un campo vectorial de R 2 en R 2 .

Definición 9.1. Sea F : R n → R n un campo vectorial y G una curva lisa orientada. La

) g 1 (t) + · · · + F n (g(t)) g n (t) ) dt.

donde g : [a, b] → R n es una parametrización de G y F 1 , . . . , F n son las funciones coordenadas de F .

La integral de línea mide el comportamiento de F a lo largo de G.

Observación 9.2. En el caso n = 2 es usual utilizar (x, y) en vez de (x 1 , x 2 ), así que, para n = 2 se suele escribir

Análogamente, para n = 3 se suele escribir

Es importante notar que, para calcular la integral de línea, formalmente consideramos

1.1. Independencia de la Trayectoria.

Tenemos que la integral de línea sobre una curva orientada G es independiente de la trayectoria, más precisamente.

Ejemplo 9.4. Sea F (x, y) = (x, −y) y G el segmento de la circunferencia de centro 0 y radio 1 que está en el primer cuadrante, orientado en sentido antihorario. Calcular

Ejemplo 9.5. Sea G la curva dada por g(t) = (t, t 2 , t) para 0 ≤ t ≤ 1. Calcular la integral de línea del campo vectorial F (x, y, z) = (x 2 , y 2 + 2, xz + y − 1)

sobre la trayectoria g.

Lo que debemos calcular es G x 2 dx + (y 2 + 2) dy + (xz + y − 1) dz.

CAPÍTULO 3

Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes, utilizando el método de eliminación. Aplicación: competencia entre especies. En nuestro modelo vamos a despreciar la resistencia del aire. Denotaremos por t el tiempo transcurrido desde el instante en que se lanza el proyectil, x(t) denotará la primera coordenada del proyectil en el instante t e y(t) la segunda.

Como en la dirección horizontal no actúa ninguna fuerza tenemos que d 2 x dt 2 = 0. En la dirección vertical actúa la fuerza de gravedad, por lo tanto tenemos que m d 2 y dt 2 = −m g, donde g es la aceleración de gravedad.

Además, ya que hemos colocado el origen de coordenadas en el punto de lanzamiento tenemos que

La velocidad inicial en la dirección horizontal es la componente horizontal del vector velocidad inicial y con la componente vertical la situación es análoga.

Por lo tanto tenemos que

El análisis anterior nos permite concluir que las funciones x(t) e y(t) satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales

Por lo que ya hemos estudiado de ecuaciones lineales de segundo orden tenemos que

continuación vamos a hacer un análisis detallado de la solución en el caso particular en que la rapidez inicial es de 100 metros/segundos, elángulo de lanzamiento de 60 • y la masa del proyectil es de 10 gramos (por simplicidad supondremos que la aceleración de gravedad es de 10 metros/segundos 2 ).

De la ecuación (3.2) obtenemos que, en este caso,

Las dos ecuaciones anteriores nos dan una descripción detallada del movimiento del proyectil, ya que para cada instante t, nos indican la posición (x(t), y(t)) del proyectil.

Para averiguar la forma de la trayectoria del proyectil procedemos de la siguiente manera:

después substituimos este valor de t en la ecuación (3.4) y obtenemos

De estaúltima fórmula, que nos expresa la altura y del proyectil, en función de su coordenada horizontal x, podemos deducir que la trayectoria del proyectil tiene forma de parábola. Esta parábola corta al eje x en los puntos 0 y x = 500 √ 3 ≈ 866, 02 y su valor máximo es de 375. Por lo tanto podemos concluir que el proyectil vuelve a tocar tierra a 866, 02 metros del punto de donde fue lanzado y alcanza una altura máxima de 375 metros.

Si resolvemos la ecuación y(t) = 0 (ver fórmula (3.4)) obtenemos t = 10 √ 3 ≈ 17, 32, por lo tanto el proyectil permaneció en el aire durante 17,32 segundos.

En la primera de las siguientes figuras mostramos el gráfico de x e y en función de t, observamos que x es una función lineal de t y que el gráfico de y en función de t es una parábola que corta al eje x en aproximadamente el punto 17, 32. La segunda figura corresponde con el gráfico de y como función de x, observamos que es un trozo de parábola, que corta al eje x en 0 y en 866, 02 y alcanza una altura máxima de 375. 2. El método de eliminación.

En la sección anterior resolvimos un sistema de dos ecuaciones lineales de segundo orden.

Fue muy fácil resolverlo, ya que el problema se redujo a resolver por separado dos ecuaciones lineales de segundo orden, debido a que las ecuaciones eran independientes.

El enfoque más elemental para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes consiste en la eliminación de variables dependientes mediante combinaciones adecuadas de parejas de ecuaciones. El objeto de este procedimiento es eliminar sucesivamente las variables dependientes hasta que quede solamente una ecuación con uná unica variable dependiente. En general esta ecuación será lineal y de orden superior y podrá resolverse con los métodos del capítulo anterior. Después de que se tenga la solución, las otras variables dependientes se determinarán a su vez usando las ecuaciones diferenciales originales o aquellas que hayan aparecido durante el proceso de eliminación. Este método de eliminación para sistemas diferenciales lineales se parece bastante al que se emplea para resolver sistemas algebraicos por eliminación de variables, hasta que queda sólo una. Es de lo más conveniente para el caso de sistemas pequeños y manejables.

Para grandes sistemas de ecuaciones diferenciales, así como para análisis teóricos, son preferibles los métodos matriciales, que están más allá de los objetivos de este curso.

En esta sección vamos a estudiar como resolver sistemas que constan de dos ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, utilizando el método de eliminación.

Después veremos algunos problemas en los que aparecen este tipo de sistemas.

Vamos a fijar y a explicar la notación que usaremos en lo que resta de este capítulo.

Cuando consideramos sistemas de dos ecuaciones diferenciales con dos incógnitas es usual denotar a la variable independiente por t y a las funciones incógnitas (o variables dependientes) por x e yó x(t) e y(y). Es importante notar la diferencia con el capítulo anterior en el que x denotaba la variable independiente y la incógnita (o variable dependiente) la denotábamos por y.

También es usual usarẋ para denotar la derivada primera de x(t) con respecto a t yẍ para la segunda. Análogamente se usanẏ yÿ. Con esta notación el sistema (3.1) queda así:

2.1. Un ejemplo sencillo. Para ilustrar el método de eliminación vamos a comenzar resolviendo un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos hallar la solución general del siguiente sistema

Si derivamos la primera ecuación del sistema obtenemos

x =ẋ +ẏ, si usamos la segunda ecuación del sistema y substituimos, obtenemos (3.6)ẍ =ẋ + x − y.

Si de la primera ecuación del sistema despejamos y obtenemos

Si substituimos en la ecuación (3.6), obtenemos

que es una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, que ya sabemos como resolver.

El polinomio característico de la ecuación es (3.8) p(λ) = λ 2 − 2, tiene dos raíces reales que son √ 2 y − √ 2, por lo tanto, su solución general es

donde C 1 y C 2 son constantes reales. Substituyendo en (3.7) obtenemos

En conclusión, la solución general de la ecuación (3.5) es

donde C 1 y C 2 son constantes reales.

Si además nos hubiesen dado una condición inicial, debemos resolver un sistema de ecuaciones para determinar C 1 y C 2 . Mas precisamente, supongamos que nos hubiesen pedido la solución del sistema (3.5) que satisface

Procedemos de la siguiente manera: substituimos en (3.9) y obtenemos el sistema

Resolviendo este sistema obtenemos C 1 = C 2 = 1, por lo tanto la solución particular que satisface la condición inicial dada es

2.2. El caso general. A continuación vamos a explicar cómo proceder con un sistema general (3.10) ẋ = a x + b y,

donde a, b, c y d son constantes reales.

Caso 1: b = 0. En este caso la primera ecuación del sistema eṡ

que es lineal de primer orden. Su solución general es

Al substituir en la segunda ecuación obtenemoṡ

Estaúltima ecuación es lineal de primer orden y ya sabemos como resolverla.

El primer paso es derivar con respecto a t la primera ecuación, para obtenerẍ = aẋ + bẏ.

Después substituimos la segunda ecuación del sistema en la ecuación anterior y obtenemos

Despejamos y de la primera ecuación del sistema (notar que en el caso anterior esto no era posible) y obtenemos

Finalmente substituimos en la ecuación anterior y obtenemos

Estaúltima ecuación es lineal, homogénea, de segundo orden y con coeficientes constantes, por lo tanto podemos hallar su solución general, utilizando el método estudiado en el capítulo anterior. Después que tenemos esta solución general utilizamos la igualdad

, para hallar y.

Si el problema incluya una condición inicial del tipo

después de obtener la solución general resolvemos el sistema (3.11) para hallar el valor que deben tener las constantes que aparecen en la solución general.

Ejemplo 3.1. Hallar la solución general del sistema

Derivando la primera ecuación obtenemos

x =ẋ + 3ẏ, sustituyendoẏ de la segunda ecuación,

x =ẋ − 18 x − 3 y, despejando y de la primera ecuación y sustituyendo,

En conclusión la solución general del sistema es

donde C 1 y C 2 son constantes arbitrarias.

Competencia e interacción entre especies.

Consideremos unárea cerrada en la que conviven dos especies de seres vivos (animales o vegetales). Sea t el tiempo y sean x = x(t) e y = y(t) el número de individuos de cada una de las especies, expresado como función de t.

Vamos a suponer que existe cierta interacción entre ambas especies, por ejemplo:

(i) Tenemos dos especies animales y una de las especies es alimento de la otra, tal como es el caso de zorros que devoran conejos, tiburones que devoran otros peces, escarabajos que devoran pulgones.

(ii) Especies de insectos que favorecen la polinización de plantas.

(iii) Especies deárboles que le dan sombra a otra especie deárbol, impidiendo y limitando su crecimiento. (b) La tasa de cambio en la especie 1 debido a la interacción con la especie 2 es proporcional al número de individuos de la especie 2 y viceversa.

Con esta suposición llegamos al siguiente sistema:

donde a, b, c y d son números reales, cuyo valor y signo depende del tipo de interacción entre las especies.

A continuación vamos a estudiar un ejemplo basados en este modelo.

Ejemplo 3.2. Supongamos que tenemos dos especies de animales, una de las cuales es presa y la otra es depredadora. Tal como antes t es el tiempo, que lo mediremos en años.

El número de presas en el instante t, contadas en miles de individuos, lo denotaremos por x(t).

El número de depredadores en el instante t, contados en miles de individuos, lo denotaremos por y(t).

Vamos a suponer que x e y satisfacen el siguiente sistema.

(3.14) ẋ = 3 x − y, y = 3 x + y, con condición inicial

Es decir, de acuerdo con la discusión previa, estamos suponiendo lo siguiente:

(a) La tasa de cambio de individuos en cada especie, sin interacción, es proporcional al número de individuos de la especie. La constante de proporcionalidad para las presas es 3 y para los depredadores es 1.

(b) La tasa de disminución en la especie presa, debido a su interacción con la especie depredadora, es proporcional al número de depredadores, la constante de proporcionalidad es 1 (que aparece con signo negativo porque es disminución).

(c) La tasa de aumento en la especie depredadora, debido a su interacción con la especie presa, es proporcional al número de presas y la constante de proporcionalidad es 3.

(d) Inicialmente hay 3.000 presas y 2.000 depredadores.

La solución de esta ecuación es (hacerlo a manera de ejercicio)

Examinemos el comportamiento del modelo en el intervalo 0 ≤ t ≤ 1. La primera de las siguientes figuras nos muestra los gráficos de x e y en función de t, la segunda nos muestra los puntos de la forma (x(t), y(t)), para 0 ≤ t ≤ 1 (esto es lo que se llama una trayectoria del sistema). Lo que se observa es bastante natural, al principio ambas especies comienzan a aumentar en número y después, cuando hay un aumento significativo del número de depredadores, comienza a disminuir el número de presas. La trayectoria del sistema refleja claramente esta situación.

Veamos ahora que ocurre si consideramos un intervalo de tiempo mayor, por ejemplo 0 ≤ t ≤ 2. En la siguiente figura tenemos los gráficos de x e y en función de t. Aquí comenzamos a observar una situación que no se corresponde con nuestro problema:

¡el número de individuos comienza a tomar valores negativos! Esta situación se nos presenta porque, para obtener un sistema de ecuaciones cuya solución estuviese a nuestro alcance, hemos simplificado excesivamente el modelo y esto introduce errores. Por ejemplo en el sistema (3.14), observamos queẏ puede ser positiva aunque

x sea igual a cero, es decir los depredadores se pueden reproducir sin alimento.

Lo anterior no quiere decir que debamos desechar nuestro modelo sencillo por malo, lo que realmente ocurre es que este modelo resulta adecuado para un intervalo pequeño de tiempo. Notemos que si los depredadores logran almacenar algo de alimento podrían seguirse reproduciendo durante un tiempo en ausencia de presas, pero esta situación está limitada en el tiempo.

Podemos hacer una analogía con el crecimiento exponencial y el logístico: la ecuación diferencial que corresponde con el crecimiento exponencial la podemos ver como una simplificación, para valores pequeños de la función, de la ecuación logística y el crecimiento exponencial es similar al logístico cerca de cero.

Las ecuaciones predador-presa de Lotka y Volterra.

En esta sección vamos a estudiar un modelo clásico para una situación depredador presa.

Este modelo fue ideado alrededor del año 1920 por el matemático italiano Vito Volterra, (1860-1940) y, desarrollado independientemente en la mismaépoca, por el biofísico austriaco Alfred James Lotka, (1880-1940).

Volterra estudiaba las variaciones periódicas observadas en las poblaciones de tiburones y sus peces-alimento en el Mar Adriático.

Tal como antes, sea x(t) el número de presas y sea y(t) el número de depredadores en el instante t. En este modelo se supone lo siguiente:

(a) En ausencia de depredadores la población de presas crecería a una tasa natural proporcional al número de individuos.

(b) En ausencia de presas la población de depredadores disminuye a una tasa proporcional al número de individuos.

(c) Cuando tanto las presas como los depredadores están presentes, ocurre una combinación de estas tasas de crecimiento y decrecimiento, en la que la población de presas disminuye y la de los depredadores aumenta, en proporción a la frecuencia de los encuentros entre individuos de las dos especies. Se supone además que la frecuencia de encuentros es proporcional al producto x y, ya que al aumentar cualquiera de las dos poblaciones aumenta el número de encuentros.

Al interpretar todo lo anterior, en términos de derivadas, obtenemos que x e y satisfacen un sistema de la forma Consideremos el siguiente caso particular

con condición inicial

Suponemos que x e y representan al número de presas y depredadores, contadas en miles de individuos y t es el tiempo medido en semanas.

En la siguiente figura tenemos los gráficos de las soluciones. Se observa que el número de presas y de depredadores comienza a disminuir muy rápidamente hasta casi extinguirse, con cierto desfase entre presas y depredadores. En el momento en que hay muy pocos depredadores comienza a aumentar el número de presas y después el número de depredadores alcanzándose valores máximos con desfase y entrando en un ciclo que se repite.

La siguiente figura muestra la trayectoria correspondiente. Hoy en día existen paquetes tales como el "Maple" que dan directamente la solución de una ecuación diferencial y también de un sistema de ecuaciones diferenciales.

Por ejemplo, si estamos usando el programa Maple y queremos hallar la solución general del sistema Una vez que hemos colocado la instrucción y pulsamos la tecla "Enter", obtenemos

Igualmente el Maple nos permite obtener gráficos de funciones y los gráficos de las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales. Muchos de los gráficos que aparecen en esta guía han sido elaborados usando este programa.

En este punto es importante hacerénfasis en lo siguiente: Aunque contamos con herramientas muy poderosas que permiten obviar cálculos y procedimientos tediosos, es muy importante practicar mucho "a mano" al momento de aprender las técnicas. La destreza así adquirida facilitará el trabajo a la hora de utilizar instrumentos más sofisticados. La siguiente analogía es válida: el uso que puede darle a una calculadora una persona que no domina la aritmética elemental es sumamente pobre, así que quien no domine los conceptos y las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales podrá aprovechar muy poco el computador como herramienta auxiliar.

Parte 2

Sucesiones y Series Numéricas. CAPÍTULO 4 Sucesiones numéricas.

Este capítulo es un repaso de cursos previos.

Concepto de sucesión y ejemplos. Límite de una sucesión. Propiedades del límite. Cálculo de límites de sucesiones.

Definiciones y resultados básicos

La idea de sucesión en R es la de una lista de puntos de R. También usaremos {a n }, (a n )ó {a 1 , a 2 , . . .}.

Ejemplo 4.2. La sucesión de Fibonacci {a n } está definida por a 1 = a 2 = 1, a n = a n−1 + a n−2 .

Esta sucesión fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relación con un problema de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y que después de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El número a n de parejas nacidas en el n-ésimo mes es a n−1 + a n−2 , puesto que nace una pareja por cada pareja nacida en el mes anterior, y además cada pareja nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva.

Una sucesión, al igual que toda función, tiene una representación gráfica.

Por ejemplo, sean Este tipo de diagramas nos indican "hacia donde va" la sucesión. Es decir, si existe K ∈ R tal que |a n | ≤ K para todo n ∈ N.

El número e.

Se puede probar que la siguiente sucesión converge:

Su límite esúnico y es conocido como el número e:

También se puede probar:

(a) 2 < e < 3

(b) el número e es irracional.

Sucesiones monótonas.

Definición 4.15. Una sucesión {a n } es monótona creciente si a n ≤ a n+1 para todo n ∈ N.

Ejemplo 4.16. Sea a n = n. Entonces la sucesión {a n } es monótona creciente. (i) Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente.

(ii) Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. lim n→+∞ x n + y n = x + y.

Operaciones con sucesiones

Demostración. Dado ε > 0 existen N 1 , N 2 ∈ N tales que (a) si n ≥ N 1 entonces |x n − x| < ε/2.

(b) si n ≥ N 2 entonces |y n − y| < ε/2.

De donde lim n→+∞ x n + y n = x + y. A los lectores interesados en el Análisis Matemático se les recomienda consultar en algunos de los libros de la bibliografía las demostraciones de estos dosúltimos teoremas.

6. Repaso de la regla de L'Hôpital.

La regla de L'Hôpital permite calcular límites indeterminados para funciones de variable real.

Las principales indeterminaciones las agruparemos en tres grupos:

Indeterminaciones de la forma

Entonces

La demostración del teorema anterior se puede ver en [6]. En este momento no estamos en capacidad de dar la prueba, pero podemos dar una justificación.

Como f y g son diferenciables en a, entonces f y g son continuas en a. Luego f (a) = 0 y g(a) = 0. Por lo tanto

Si x → a entonces la expresión de la derecha tiende a

El primer límite es de la forma 0 0 . para obtener un límite de la forma 0 0 . También se puede llevar a la forma ∞ ∞ . Ejemplo 4.27.

El primer límite es de la forma 0.(−∞), el segundo límite es de la forma −∞ ∞ , el tercer límite se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto límite que no es una indeterminación.

Estas indeterminaciones se resuelven haciendo operaciones algebraicas para llevarlo a alguna de las formas consideradas antes, es decir, 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞.

Ejemplo 4.28.

El primer límite es de la forma ∞ − ∞, el segundo límite es de la forma 0 0 , el tercer límite es de la forma 0 0 y el cuarto límite ya no es una indeterminación.

Estos límites se calculan usando la siguiente propiedad: Comenzaremos calculando lim x→0 + x ln(sen x). que es un límite de la forma 0.∞. Luego aplicaremos la exponencial.

El primer límite es de la forma 0.∞, el segundo límite es de la forma ∞ ∞ , el tercer límite se simplifica algebraicamente dando origen al cuarto límite que es de la forma 0 0 , el quinto límite no es una indeterminación.

Ahora aplicamos la exponencial lim x→0 + (sen x) x = lim x→0 + e x ln(sen x) = e lim x→0 + x ln(sen x) = e 0 = 1. Diremos que lim n→+∞ a n = +∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces a n ≥ λ.

Límite infinito

Diremos que lim n→+∞ a n = −∞ si para cada λ ∈ R existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces a n ≤ λ.

Es importante notar que las sucesiones que tienen límite infinito no son convergentes. 7.1. Cálculo de límite de sucesiones usando la regla de L'Hopital.

Para calcular el límite de una sucesión usando la regla de L'Hopital se deben usar una funciones auxiliares de variable real.

Por ejemplo, si la sucesión está dada por a n = n 2 la función auxiliar f puede ser

Otro ejemplo: si la sucesión está dada por a n = ln n la función auxiliar f puede ser f (x) = ln x. Estas funciones auxiliares son sencillas y en estos casos se calcula el límite cuando x → +∞. Este es un límite de sucesiones, de la forma 0.(−∞).

Para hallarlo, en lugar de n colocamos x y calculamos el siguiente límite:

A veces no conviene usar estas funciones auxiliares sencillas. Puede ser más conveniente considerar como funciones auxiliares algo aparentemente un poco más complicado. Por ejemplo, si la sucesión está dada por a n = n 2 la función auxiliar f puede ser f (x) = (1/x) 2 .

Otro ejemplo: si la sucesión está dada por a n = sen(1/n) la función auxiliar f puede ser

Por lo tanto lim n→+∞ n − 1 sen(1/n) = 0.

Sumas finitas y el símbolo sumatorio.

Cuando queremos referirnos a una suma con n sumandos, en la que tenemos una fórmula para cada sumando a k usamos la siguiente expresión a 1 + · · · + a n que también se escribe de la siguiente manera: n k=1 a k Es decir, n k=1 a k = a 1 + · · · + a n .

Ejemplo 4.36.

(1) Sumar el número 1, n veces:

(2) La suma de los n primeros números naturales es:

(3) La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es: n k=1 k 2 = 1 + 2 2 + · · · + n 2 .

Se puede probar que

Ejercicio Adicional: Usando el método de inducción completa demuestre las fórmulas 4.1 y 4.2.

Una propiedad importante de las sumas finitas es la llamada propiedad telescópica que afirma que:

Estas sumas son denominadas sumas telescópicas.

Series.

Las series permiten entender la idea de querer hacer sumas en las que hay una cantidad infinita de sumandos (tantos sumandos como números naturales).

Para dar la idea de una serie debemos considerar dos tipos de números reales:

(1) la expresión para cada sumando: a n (2) la expresión para la suma finita de los primeros n sumandos:

La siguiente terminología es usual:

(1) A a n se le llama término general de la serie.

(2) A s n se le llama la suma parcial de la serie.

Por lo tanto una serie está relacionada con dos sucesiones:

(1) la sucesión {a n } de los términos generales de la serie.

(2) la sucesión {s n } de sumas parciales de la serie.

La siguiente notación es usual: En vez de referirse a la serie como un par de sucesiones es usual hablar de la serie como +∞ n=1 a n .

Ejemplo 5.1. Para la serie +∞ n=1 n tenemos que a n = n

Para obtener laúltima expresión hemos usado la ecuación 4.1.

Una serie +∞ n=1 a n es una serie de términos positivos cuando a n > 0 para cada n.

Una serie +∞ n=1 a n es una serie alternada cuando a n = (−1) n c n para alguna sucesión {c n } tal que c n > 0 para cada n.

Ejemplo 5.2. La serie armónica es:

Para esta serie a n = 1 n .

Entonces se trata de una serie de términos positivos. Además

Una cuenta interesante es la siguiente:

En conclusión, para la serie armónica:

Entonces se trata de una serie alternada. Además Para esta serie a n = r n .

Si r > 0 entonces se trata de una serie de términos positivos. Si r < 0 entonces se trata de una serie alternada. Además

Un hecho curioso es que para eta serie: Entonces

Por lo tanto

En conclusión, si r = 1 para la serie geométrica:

A veces se puede decir con exactitud cuánto da la suma finita (la suma n k=1 a k ), pero en general es muy difícil decir cuánto da la suma infinita (la serie +∞ n=1 a n ).

Ejemplo 5.5. Para la serie

tenemos que a n = 2 + cos(n 3 ) 2 n + n Esta serie es de términos positivos. Además

Se dice que la serie +∞ n=1 a n converge o es una serie convergente cuando la sucesión de sumas parciales {s n } tiene límite finito.

Se dice que la serie +∞ n=1 a n diverge o es una serie divergente cuando la sucesión de sumas parciales {s n } no converge (ya sea porque el límite da +∞, da −∞ó no existe).

Sea s ∈ R, si la sucesión {s n } converge a s se suele escribir +∞ n=1 a n = s.

En otras palabras, la expresión anterior quiere decir: Dada +∞ n=1 a n . (i) Si lim n→+∞ a n = 0 entonces la serie +∞ n=1 a n diverge. (ii) Si lim n→+∞ a n = 0, no hay información (puede ser que la serie converja o puede ser que la serie diverja).

Note que si lim n→+∞ a n = 0, este criterio no permite llegar a ninguna conclusión. En este caso debe recurrir a otro criterio. Por otro lado se probó que si r = 1 entonces

Sabemos que lim

En conclusión, si |r| < 1 entonces la serie +∞ n=0 r n converge a 1 1−r , es decir,

Más adelante estudiaremos qué ocurre cuando |r| ≥ 1.

Este caso de la serie geométrica es uno de los pocos casos en los que se puede decir a qué valor converge la serie. En general no podemos decir cuánto vale.

Para saber si estamos trabajando con un número o no. Es conveniente dar varios criterios de convergencia de series.

Criterios de convergencia para series de términos positivos.

Vamos a estudiar las series de la forma +∞ n=1 a n donde a n > 0. En estas condiciones S n = a 1 + · · · + a n > 0.

Para indicar que una serie de términos positivos es convergente se suele escribir +∞ n=1 a n < +∞.

Esta notación no se usa para otro tipo de series.

Criterio 5.10 (Criterio de acotación).

Dada +∞ n=1 a n con a n > 0. Si la sucesión de sumas parciales {S n } es acotada entonces +∞ n=1 a n < +∞ .

El criterio de acotación es muy usado por los matemáticos para demostrar teoremas.

Muchas de las demostraciones de los criterios siguientes se basan enéste. Por otro lado, la demostración del criterio de acotación requiere una comprensión bien profunda del conjunto de los números reales, especialmente del axioma del supremo.

Criterio 5.11 (Criterio de comparación).

Sean {a n } y {b n } sucesiones tales que 0 < a n ≤ b n para todo n.

Ejemplo 5.12. Estudiar la convergencia de la siguiente serie +∞ n=1 2 + cos(n 3 ) 2 n + n .

Sean a n = 2 + cos(n 3 ) 2 n + n .

porque la serie de la derecha es una geométrica de razón 1/2 < 1. Es decir, tenemos que la serie +∞ n=1 b n converge. Por el criterio de comparación, obtenemos +∞ n=1 a n < +∞. Esto es, +∞ n=1 2 + cos(n 3 ) 2 n + n < +∞.

Ejemplo 5.13. Estudiar la convergencia de la siguiente serie ∞ n=1 1 n! usando que 2 n−1 ≤ n! para todo n ≥ 1.

(Los estudiantes de la Licenciatura en Matemática deberían ser capaces de probar esta desigualdad usando el método de inducción completa).

Se sigue que,

porque la serie de la derecha es una geométrica de razón 1/2 < 1.

Por el criterio de comparación

Criterio 5.14 (Criterio del límite).

Sean {a n }, {b n } dos sucesiones tales que 0 ≤ a n , 0 < b n y sea Sean a n = sen 1 n y b n = 1 n . Usando el límite anterior tenemos que

Como λ es finito y λ = 0 y Criterio 5.16 (Criterio de la raíz).

Sea {a n } una sucesión tal que a n > 0 y sea α = lim n→+∞ n √ a n . Entonces (i) Si α < 1, la serie +∞ n=1 a n converge. (ii) Si α > 1, la serie +∞ n=1 a n diverge. (iii) Si α = 1, no hay información (puede ser que la serie converja o puede ser que la serie diverja).

Cuando se aplica un criterio y se llega al caso en queéste no da información, se deja este criterio de lado y se trabaja con otro criterio.

Por el criterio de la raíz +∞ n=1 1 (ln n) n < +∞. Sea {a n } una sucesión tal que a n > 0 y sea β = lim n→+∞ a n+1 a n . Entonces (i) Si β < 1, la serie +∞ n=1 a n converge. (ii) Si β > 1, la serie +∞ n=1 a n diverge. (iii) Si β = 1, no hay información (puede ser que la serie converja o puede ser que la serie diverja).

Tenemos a n = n! n n ,

(porque e > 1).

Por el criterio del cociente +∞ n=1 n! n n < +∞.

Para dar el próximo criterio de series usaremos integrales impropias de la forma

Se dice que la integral impropia

Ejemplo 5.20. Estudiaremos la integral

Criterio 5.21 (Criterio de la integral).

Sea f una función positiva y estrictamente decreciente definida en [1, +∞) tal que f (n) = a n para todo n natural.

La integral +∞ 1 f (x) dx converge si y sólo si la serie +∞ n=1 a n converge.

Cuando queremos usar este criterio para estudiar una serie procedemos así a partir de a n escogemos f , revisamos que f cumpla las condiciones dadas en el criterio. Calculamos la integral y luego aplicamos lo siguiente:

Es claro que f es positiva. Por otro lado,

Estudiaremos la integral

4. Criterios de convergencia para series de términos alternadas.

Criterio 5.23 (Criterio de Leibnitz).

Entonces la serie +∞ n=1 (−1) n c n converge.

Recuerde que como la serie no es de términos positivos para decir que la serie converge no se usa la notación +∞ n=1 a n < +∞..

En este caso el término general es a n = (−1) n 1 n .

Sea c n = 1 n .

Entonces

Por el criterio de Leibnitz tenemos que +∞ n=1 (−1) n 1 n converge.

Series telescópicas.

Las series +∞ n=1 a n tales que el término general se puede representar como una diferencia de la forma:

se denominan series telescópicas y su comportamiento está garantizado por el siguiente teorema.

Teorema 5.25. Sean {a n } y {b n } dos sucesiones de números reales tales que a n = b n − b n+1 para n = 1, 2, . . . . Entonces la serie +∞ n=1 a n converge si y sólo si la sucesión {b n } converge, en cuyo caso tenemos +∞ n=1 a n = b 1 − L,

Ejemplo 5.26. Queremos determinar si converge o no la serie +∞ n=1 1 n 2 + n .

Sea a n = 1 n 2 + n .

Se tiene que a n = 1 n(n + 1)

.

Aplicando el teorema anterior obtenemos +∞ n=1 1 n 2 + n = 1.

La fórmula de Stirling.

Comenzamos dando un estimado para n √ n!.

Demostración.

El gráfico de la función logaritmo ayuda a entender las siguientes desigualdades:

ln((n − 1)!) = ln(1.2. . . . .(n − 1)) = ln 1 + ln 2 + · · · + ln(n − 1) ≤ n 1 ln xdx ≤ ln 2 + · · · + ln n = ln 1 + ln 2 + · · · + ln n

Por lo tanto (n − 1)! ≤ n n e −n e ≤ n!. Por otro lado, multiplicando por n en la fórmula (6.1) tenemos que n! ≤ n n e −n e n.

Como lim n→∞ n √ n = lim n→∞ n √ e = 1, de las desigualdades (6.2) y (6.3) obtenemos:

De donde,

Esta fórmula da un estimado para n!.

Varios refinamientos del método que acabamos de usar para estimar n √ n! permiten dar un estimado para n!. Más precisamente, se puede demostrar:

yésta es la conocida fórmula de Stirling.

Para no caer en aspectos demasiado técnicos no damos la prueba. Sin embargo, el lector interesado en ver una demostración de esta fórmula puede hallarla en: Introduction to Calculus and Analysis de R. Courant, F. John. Vol. I.

El producto de Wallis.

El producto de Wallis permite aproximar a π 2 y es el siguiente:

Para los estudiantes de la Licenciatura en Matemática damos la demostración. Recordemos que

Integrando entre 0 y π 2 se obtiene la siguiente igualdad:

Aplicando esta fórmula varias veces se obtienen las siguientes igualdades:

Resumiendo, llegamos a que

De las fórmulas anteriores

Dividiendo la fórmula (6.5) entre la fórmula (6.6), obtenemos que

A continuación estudiaremos el cociente de estas dos integrales.

(para laúltima igualdad hemos usado la ecuación (6.4)).

Volviendo a la ecuación (6.7) obtenemos que

y este es el conocido producto de Wallis.

Parte 3

Nociones de Geometría en el Plano y en el Espacio. Curvas. CAPÍTULO 7 Nociones de geometría plana y del espacio.

Subconjuntos de R 2 y R 3 . Vectores. Producto escalar y vectorial. Ecuación paramétrica de la recta. Representación de subconjuntos definidos mediante ecuaciones y desigualdades sencillas. Superficies en R 3 : plano, esfera, elipsoide, cilindro, cono, paraboloide, hiperboloide. Bolas abiertas y bolas cerradas en R 2 y R 3 . Idea de abierto, cerrado y frontera.

Distintos sistemas de coordenadas en R 2 y en R 3 : polares, cilíndricas y esféricas. Transformación de coordenadas. Parametrización de subconjuntos de R 2 y de R 3 en estas coordenadas.

El plano R 2 .

Comenzaremos recordando algunos conceptos de cursos previos de matemática y de física.

El espacio unidimensional R se identifica con una recta.

Es importante notar que para un número real x, la distancia de x al origen de la recta es

Esta distancia se conoce como el módulo o la norma de x.

Consideremos el espacio bidimensional

El espacio R 2 puede ser representado, de manera natural, mediante un plano: Trazamos una recta horizontal y una vertical, que llamaremos eje x y eje y respectivamente. Determinamos una escala en cada una de estas rectas (no es imprescindible que sean iguales). Para cada punto P del plano trazamos rectas paralelas a los ejes que pasen por P . De acuerdo a la identificación de la recta con el conjunto de los números reales, sea a el punto de corte de la paralela al eje y con el eje x y sea b el punto de corte de la paralela al eje x con el eje y. Al punto P le hacemos corresponder el par ordenado de números reales (a, b) ∈ R 2 . Cuando x > 0, y > 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el primer cuadrante.

Cuando x < 0, y > 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el segundo cuadrante.

Cuando x < 0, y < 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el tercer cuadrante.

Cuando x > 0, y < 0 decimos que el punto (x, y) se encuentra en el cuarto cuadrante.

Al punto (0, 0) se le suele llamar el origen de coordenadas, o simplemente, el origen. Existe una identificación natural entre los puntos de R 2 y los vectores en el plano: Al punto (x, y) le hacemos corresponder el vector de extremo inicial el origen y de extremo final el punto (x, y).

, definimos la suma de vectores de la siguiente manera:

Definimos el producto de un vector por un escalar de la siguiente manera:

Si λ > 0 entonces λ u y u tienen el mismo sentido. Si λ < 0 entonces λ u y u tienen sentido contrario.

Como es natural la diferencia de vectores u − v se define como u + (−1) v.

La suma y la diferencia de vectores se puede hacer geométricamente, de acuerdo con la ley del paralelogramo, que se ilustra en la siguiente figura.

Distancia entre dos puntos del plano y norma.

Supongamos que queremos hallar la distancia d entre dos puntos (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) del plano.

Notemos que u es la distancia del punto (x 1 , x 2 ) al origen, es decir, la longitud del vector u.

Circunferencias y círculos en el plano.

Sea r > 0, recordemos que la circunferencia con centro (a, b) ∈ R 2 y radio r es el conjunto de los puntos (x, y) del plano tales que la distancia de (x, y) al punto (a, b) es r, es decir, el

Otra manera equivalente de expresar este conjunto es

Recordemos también que, el círculo con centro (a, b) ∈ R 2 y radio r es el conjunto de los puntos (x, y) del plano tales que la distancia de (x, y) al punto (a, b) es menor o igual que r, es decir, el conjunto

Si en vez de tomar considerar el conjunto con "menor o igual", tomamos la desigualdad estricta, o sea, consideramos el conjunto

obtenemos el conjunto de los puntos que están dentro de la circunferencia, sin incluir la circunferencia.

2. El espacio R 3 .

Consideremos el espacio tridimensional

Al igual que R 2 se identifica con el plano, R 3 se identifica con el espacio ambiente.

Para establecer la correspondencia debemos considerar un eje adicional, usualmente llamado eje z, perpendicular al plano formado por el eje x y el eje y. Cada punto P del espacio está en correspondencia con un elemento (x, y, z) de R 3 .

El siguiente dibujo nos ilustra esta correspondencia, en el mismo vemos, de manera gráfica, como el punto P corresponde con la terna (a, b, c). Existen tres planos que resaltan en este espacio, que son: el plano "xy", el plano "yz" y el plano "xz".

Al igual que en el caso bidimensional, existe una identificación natural entre los puntos de R 3 y los vectores en el espacio: Al punto (x, y, z) le hacemos corresponder el vector de extremo inicial el origen y de extremo final el punto (x, y, z). El origen de coordenadas se identifica con el vector (0, 0, 0). Cuando x > 0, y > 0, z > 0 decimos que el punto (o el vector) (x, y, z) se encuentra en el primer octante.

La suma de vectores y el producto por un escalar se definen de manera natural:

Si λ > 0 entonces λ u y u tienen el mismo sentido. Si λ < 0 entonces λ u y u tienen sentido contrario.

También en el caso tridimensional, la suma y diferencia de vectores se puede hacer, de manera geométrica, siguiendo la ley del paralelogramo.

Distancia entre dos puntos del espacio y norma.

Supongamos que queremos hallar la distancia d entre dos puntos (

Distancia entre dos puntos del plano Sea d 1 la distancia entre los puntos (x 1 , y 1 , 0) y (x 2 , y 2 , 0). Por la fórmula de la distancia en el plano tenemos que

Si d 2 es la diferencia de alturas entre los puntos (x 1 , y 1 , z 1 ) y (x 2 , y 2 , z 2 ) entonces

Analizando la figura anterior y usando el teorema de Pitágoras obtenemos que

Al igual que en el caso bidimensional, dado un vector u = (x, y, z) ∈ R 3 , definimos la

Se tiene que u es la distancia del punto (x, y, z) al origen, es decir, la longitud del vector u.

Esferas en el espacio.

Sea r > 0, recordemos que la esfera con centro (a, b, c) ∈ R 3 y radio r es el conjunto de los puntos (x, y, z) del espacio tales que la distancia de (x, y, z) al punto (a, b, c) es r, es decir, el conjunto

Otra manera equivalente de expresar este conjunto es

Note que la parte de adentro de esta esfera es:

3. Producto escalar, norma y distancia.

A lo largo de esta sección por R n denotaremos el espacio R 2 o al espacio R 3 .

Producto escalar en

El producto escalar de estos vectores es

De manera abreviada,

3.2. Producto escalar en R 3 .

El producto escalar de estos vectores es

De manera abreviada,

Es muy importante notar que, tanto en el caso bidimensional como en el caso tridimensional, el producto escalar siempre es igual a la suma del producto de las coordenadas.

3.3. Propiedades del producto escalar en R n .

Proposición 7.1. Para todos los vectores u, v, w ∈ R n y para todo número λ ∈ R, tenemos que:

La demostración de las partes (i), (ii) y (iii) queda como ejercicio. Debe tratar de justificar geométricamente la propiedad (iv).

Si u, v = 0 se dice que u, v son perpendiculares u ortogonales .

3.4. Propiedades de la norma y la distancia en R n .

Decimos que u ∈ R n es unitario si u = 1.

obtenemos que v es unitario.

La demostración de estas proposiciones queda como ejercicio.

3.5. Lectura adicional: La desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Proposición 7.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea , el producto escalar en R n .

Entonces

Además se cumple la igualdad si y sólo si u = λ v para algún λ ∈ R, es decir, u y v están en la misma línea.

Demostración. Sean u, v ∈ R n . Entonces

Si v = 0 entonces v = 0 y la desigualdad de Cauchy-Schwarz es trivialmente cierta.

Si v > 0, tenemos una parábola que se abre hacia arriba. Usando el discriminante se concluye que

y de estoúltimo se deduce inmediatamente la desigualdad.

El resto de la demostración se deja como ejercicio.

Producto cruz o producto vectorial.

.

Este determinante de tercer orden está desarrollado por la primera fila.

El producto vectorial u × v se puede hallar geométricamente de la siguiente manera:

Si u y v no son colineales entonces u × v es un vector ortogonal al plano generado por u y por v, de longitud igual u v | sen θ , donde θ es elángulo entre u y v y cuya dirección se obtiene de acuerdo a la ley de la mano derecha. En los siguientes dibujos, si u y v se ubican en el plano correspondiente a esta hoja, en el primer caso u × v sale de la hoja apuntando hacia el lector mientras que en el segundo caso apunta en sentido contrario.

También se tienen los siguientes resultados.

Además, 5. Rectas y planos en el espacio.

Rectas en el espacio.

La definición de una recta en R 3 nace de la idea intuitiva de que una recta está determinada por un punto p o y una dirección u (donde u es un vector no nulo). El vector u es llamado el vector director de la recta.

Los puntos p sobre la L que pasa por p o en la dirección de u son todos los puntos de la

donde t ∈ R. Esta ecuación se llama ecuación vectorial de la recta.

Estas son las ecuaciones correspondientes entre las componentes y se llaman ecuaciones paramétricas de la recta .

Si u 1 = 0, u 2 = 0, u 3 = 0 se puede eliminar t y la ecuación se expresa en su forma

Una recta está determinada si damos dos puntos por los que pasa.

Supongamos que L es una recta que pasa por los puntos (diferentes)

Entonces L es la recta de dirección u que pasa por cualquiera de los

.Por lo tanto la ecuación de L es:

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son.

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos.

En R 3 , si dos rectas son paralelas, entonces son iguales o no se intersectan.

En R 3 , si dos rectas no son paralelas, entonces no se cortan o su intersección es un punto.

Planos en el espacio.

Existen varias maneras de determinar un plano. Algunas de ellas son las siguientes:

(1) Un plano está determinado si damos un punto por el que pasa el plano y un vector perpendicular aél.

Esta ecuación se llama ecuación cartesiana del plano.

(2) Un plano está determinado por dos rectas no paralelas que se cortan.

Sean L 1 y L 2 dos rectas no paralelas de direcciones respectivas u y v que se cortan en un punto p o . Los puntos p sobre el plano determinado por L 1 y L 2 son todos los puntos de la

Esta ecuación se llama también ecuación vectorial del plano y las ecuaciones correspondientes entre las componentes se llaman las ecuaciones paramétricas del plano,éstas son:

(3) Un plano está determinado si damos tres puntos por los que pasa el plano.

Sean p o , p 1 , p 2 tres puntos diferentes y no alineados por los que pasa el plano. Sean

Sean L 1 y L 2 dos rectas de direcciones respectivas u y v que pasan por p o . Entonces L 1 y L 2 se cortan en el punto p o . Estas dos rectas no paralelas que se cortan, determinan un plano.

Relaciones entre subconjuntos y desigualdades sencillas

Recordemos que en R desigualdades tales como x ≥ 4 delimitan intervalos:

En el plano R 2 ocurre algo semejante, que se precisa al despejar la variable y.

Ejemplo 7.10. Si se nos pide dibujar la región A de R 2 determinada por la desigualdad

Este conjunto está dado por los puntos del plano que se encuentran por encima de la recta y = 3 5

x + 2 5 incluyendo aésta. Haga el dibujo correspondiente.

Ejercicio 7.11. Representar gráficamente

En el espacio R 3 también ocurre algo semejante, que se precisa al despejar la variable z (o alguna de las otras).

Ejemplo 7.12. Si se nos pide dibujar la región A de R 3 determinada por la desigualdad

Este conjunto está dado por los puntos del plano que se encuentran por encima del plano

incluyendo aéste. Haga el dibujo de este plano.

Es decir,

En los siguientes gráficos vemos una esfera con centro (0, 0, 0). En el primero está completa y en el segundo la parte que se ubica en el primer octante. El intervalo

El calificativo abierto que usamos para el intervalo indica que no contiene los puntos extremos a y b. El calificativo cerrado que usamos para el intervalo indica que contiene los puntos extremos a y b.

Recordemos que en R dados un punto a ∈ R y r > 0, un intervalo abierto de centro a y radio r es el conjunto

Este intervalo se conoce como entorno o vecindad de a.

A continuación vamos a tratar de extender estas ideas a R 2 y R 3 . Tenemos la noción de distancia en estos espacios, con esta noción vamos a definir entornos en R 2 y R 3 .

8.2. Bolas abiertas y bolas cerradas en R 2 .

Definición 7.21. El disco abierto en R 2 con centro a = (a 1 , a 2 ) ∈ R 2 y radio r es el

(simplemente el interior de una circunferencia con centro a y radio r).

El disco abierto no incluye el borde, el disco cerrado sí lo incluye.

A las curvas que limitan un conjunto las llamaremos la frontera . Si esta frontera está contenida en el conjunto diremos que el conjunto es cerrado.

Los puntos interiores de un conjunto son los que satisfacen la siguiente propiedad: tienen un entorno con centro en el punto y radio r (para algún r > 0) tal que el entorno está contenido en el conjunto.

Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores..

Bolas abiertas y bolas cerradas en R 3 .

Definición 7.23. La bola abierta en R 3 con centro a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ R 3 y radio r es el conjunto

(simplemente el interior de una esfera con centro a y radio r).

Definición 7.24. La bola cerrada en R 3 con centro a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ R 3 y radio r es el

La bola abierta no incluye el borde, la bola cerrada sí lo incluye. Definición 7.27. Sea A un subconjunto de R 3 , la frontera de A se define así:

En R 2 todas las definiciones son análogas, cambiando bolas por discos.

Ejemplo 7.28. El disco abierto de centro a y radio r es abierto, no es cerrado. Su frontera es la circunferencia con centro a y radio r.

Ejemplo 7.29. El disco cerrado de centro a y radio r es cerrado, no es abierto. Su frontera es la circunferencia con centro a y radio r.

A no es abierto, no es cerrado y su frontera es

Ejemplo 7.31. R 2 es abierto, también es cerrado y su frontera es ∅.

Ejemplo 7.32. Sea

El conjunto A es cerrado, no es abierto, su frontera es el mismo.

Ejemplo 7.33. La bola abierta de centro a y radio r es abierta, no es cerrada. Su frontera es la circunferencia con centro a y radio r.

Ejemplo 7.34. La bola cerrada de centro a y radio r es cerrada, no es abierta. Su frontera es la esfera con centro a y radio r.

es abierto, no es cerrado. La frontera es

A no es abierto, no es cerrado. La frontera es

9. Distintos sistemas de coordenadas en R 2 y en R 3 .

Coordenadas Polares.

El punto (x, y) ∈ R 2 tiene coordenadas polares (r, θ) si

En este caso, Explícitamente

Ejemplo 7.37.

(a) Hallar las coordenadas polares del punto (6,6).

Tenemos que

Si un punto tiene coordenadas polares (8, 2π/3). ¿Cuáles son sus coordenadas cartesianas?

Tenemos que

Observación 7.38.

Sea θ o fijo. La gráfica de θ = θ o está formada por los puntos de una semirrecta que forma unángulo θ o con la recta y = 0.

Sea r o fijo. La gráfica de r = r o es una circunferencia con centro en el origen y radio r o .

En coordenadas cartesianas este conjunto se escribe así:

Ejercicio 7.39. Considere el siguiente conjunto dado en coordenadas cartesianas

Dibújelo. Indique en qué conjuntos varían las coordenadas polares r, θ.

Ejercicio 7.40. Expresar en coordenadas polares r y θ, el triángulo limitado por las rectas y = x, y = −x, y = 1.

Coordenadas Cilíndricas.

El punto (x, y, z) ∈ R 3 tiene coordenadas cilíndricas (r, θ, z) si

es decir, representamos la primera y la segunda coordenada en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera.

En general se toma r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π , z ∈ R.

Además Tenemos que

Ejemplo 7.44. Sea A el cono circular recto de radio R y altura h. En coordenadas cartesianas tenemos que A está dado por

En coordenadas cilíndricas tenemos

Ejemplo 7.45. Sea B el sólido dado por

La representación de B en coordenadas cilíndricas es:

Dibuje el sólido B.

Coordenadas Esféricas.

Recordemos que el punto (x, y, z) ∈ R 3 tiene coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) si x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cos ϕ.

En general se toma

Además,

Observación 7.46. Sea ρ 0 fijo. La gráfica de ρ = ρ 0 es una esfera con centro en el origen y radio ρ 0 .

Sea θ 0 fijo. La gráfica de θ = θ 0 es un semiplano que contiene al eje z.

Sea ϕ 0 fijo. La gráfica de ϕ = ϕ 0 es un cono con vértice en el origen y una abertura angular 2ϕ.

Observación 7.47.

(1) Si ρ es constante, las cantidades (ρ, θ, ϕ) forman un sistema de coordenadas en la superficie de una esfera.

(2) La latitud y la longitud en la superficie de la tierra también forman un sistema de coordenadas.

(3) Si restringimos θ de modo que −π < θ < π, entonces se llama la longitud del punto en coordenadas esféricas.

(4) ϕ se llama colatitud del punto y la latitud del punto es π/2 − ϕ.

Ejercicios.

Geometría plana y del espacio.

(1) Representar gráficamente el conjunto de los puntos (x, y) del plano R 2 que satisfacen las siguientes desigualdades.

(a) |x| ≤ 1,

(2) Identificar cada uno de los siguientes conjuntos de R 3 .

(a) Todos los puntos cuya distancia al plano yz es 5.

(b) Todos los puntos cuya distancia al eje z es 4.

(c) Todos los puntos cuya distancia al plano xy es 7.

(d) Todos los puntos cuya distancias al plano xz y al plano yz son iguales.

(e) Todos los puntos cuyas distancias a los puntos (1, 1, 1) y (1, −1, 1) son iguales.

(3) Hallar las coordenadas (x, y) del vector (o vectores) v de R 2 que cumplen:

(6) Hallar el volumen del paralelepípedo con lados

(7) Hallar el volumen del paralelepípedo con lados

(8) Describir todos los vectores unitarios que son ortogonales a los siguientes vectores. (e) pasa por el punto (1, 2, −3) y es perpendicular a la recta de ecuación

(12) Los puntos siguientes están dados en coordenadas cilíndricas; expresar cada uno en coordenadas rectangulares y en coordenadas esféricas.

(a) (1, 45 • , 1),

(13) Cambiar los puntos siguientes de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas y a coordenadas cilíndricas.

(a) (2, 1, −2),

(14) Describir el significado geométrico de las siguientes aplicaciones en coordenadas cilíndricas.

(a) (r, θ, z) −→ (r, θ, −z)

Representar gráficamente la región del plano cuyas coordenadas polares satisfacen: (20) Hallar la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio R en coordenadas cilíndricas.

(21) Representar gráficamente cada uno de los siguientes subconjuntos de R 3 y expresarlos en coordenadas cilíndricas.

(a) {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ z},

Motivación.

Descripción del movimiento de un proyectil, despreciando la resistencia del aire.

Supongamos que se lanza un proyectil, con velocidad inicial 10 m/seg. y unángulo de 45 • . ¿Cómo describir el movimiento del proyectil? Tomaremos g = −10 m/seg 2 . Así que tenemos que

El proyectil vuelve a tocar tierra cuando t = √ 2, ya que y se anula cuando t = 0 y cuando t = √ 2.

Queremos averiguar qué forma tiene la trayectoria y cuál es la altura máxima, y max , que alcanza el proyectil.

De donde sigue que la trayectoria del proyectil es una parábola.

Para hallar la altura máxima resolvemos la ecuación

Tenemos que dy dx = 0 si y sólo si x = 5. De donde

Este ejemplo nos muestra que, para describir el movimiento de un proyectil, debemos considerar cada una de sus coordenadas como una función del tiempo. Es decir, tenemos un par de funciones x(t), y(t), tales que el proyectil se encuentra ubicado en el punto (x(t), y(t)) en el instante t.

Esta es una de las razones por las que es muy natural considerar funciones a valores vectoriales.

Sea D ⊂ R. Si tenemos un par de funciones g 1 : D → R y g 2 : D → R, podemos considerar el par (g 1 (t), g 2 (t)) y definir

Así obtenemos una función g : D → R 2 .

Análogamente se definen funciones a valores en R 3 .

Sea D ⊂ R. Si tenemos g 1 : D → R, g 2 : D → R y g 3 : D → R, podemos definir g : D → R 3 mediante la fórmula g(t) = (g 1 (t), g 2 (t), g 3 (t)).

Curvas y trayectorias.

Con se le suele llamar curva orientada. A la trayectoria g se le suele llamar parametrización de la curva G.

También es usual considerar trayectorias cuyo dominio es toda la recta R. En este caso no tenemos punto inicial, ni punto final, pero sí un sentido de recorrido. Se dice que una curva G es cerrada cuando su extremo final coincide con su extremo inicial. (1) Sean p, v ∈ R n , g : R → R n definida por

Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es la recta que pasa por p en la dirección de v.

(2) Sean g : [0, 2π] → R 2 definida por g(t) = (r cos t, r sen t).

Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es una circunferencia de centro (0, 0) y radio r.

(

Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es la gráfica de f .

Entonces h es una trayectoria, la curva correspondiente es una hélice. Es importante notar que dos trayectorias diferentes pueden dar origen a la misma curva.

Podemos interpretar la existencia de dos trayectorias asociadas a la misma curva como dos formas diferentes de movimiento a lo largo de la curva dada.

Límites y continuidad de las trayectorias.

Nuevamente sea I ⊂ R un intervalo y sea n = 2ó 3.

Definición 8.4. Sean t o ∈ I, L ∈ R n , g : I → R n una trayectoria. Decimos que

Definición 8.5. Sean t o ∈ I, g : I → R n una trayectoria. Decimos que g es continua en

Sea g : I → R n una función, entones

Las funciones g k se llaman funciones coordenadas y, en este caso, escribiremos g = (g 1 , . . . , g n ).

Vector tangente a una curva.

Sea I un intervalo abierto de R.

Definición 8.7. Sean t o ∈ I, g : I → R n una trayectoria. Decimos que g derivable en

Decimos que g es derivable en I cuando g es derivable en todo punto de I. En este caso, g (t) = (g 1 (t), . . . , g n (t)).

Estaúltima igualdad nos proporciona una manera de calcular derivadas de trayectorias.

Definición 8.9. Sea g : I → R n una trayectoria derivable. El vector velocidad en g(t)

es g (t) = (g 1 (t), . . . , g n (t)).

Definición 8.10. Sea g : I → R n una trayectoria derivable. La rapidez en g(t) es la longitud del vector velocidad, es decir ||g (t)|| = (g 1 (t)) 2 + · · · + (g n (t)) 2 .

Ejemplo 8.11. Sea

Notar que g (t) no está definida para t = 0.

Por lo tanto

Interpretación geométrica de la derivada.

El vector derivada es paralelo a la recta tangente a la curva g en el punto g(t o ). Esto se expresa diciendo que g (t) es un vector tangente a la curva g en el punto g(t). A manera de ejercicio, justificar este hecho de manera geométrica. Entonces g es una trayectoria, la curva correspondiente es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 1.

Como ejercicio, verificar que el vector g (t) es ortogonal a g(t), e interpretar geométricamente.

Ejemplo 8.13. Sea

(−t 2 , t 2 ) si t < 0 Notar que la curva que corresponde con la trayectoria g es el gráfico de la función valor absoluto.

Entonces

Notemos que g (0) está definido y g (0) = (0, 0).

Tenemos que g (t) es el vector tangente a la curva g en el punto g(t). Además

Observación 8.14. Puede ocurrir que una trayectoria g sea diferenciable y sin embargo la curva G = g(I) tenga "picos". En ese caso no está definida una dirección tangente en el punto donde hay un "pico".

En la función del Ejemplo 8.13 tenemos que g (0) = (0, 0). Sin embargo g tiene un pico en g(0) = (0, 0). Por supuesto, no está definida una dirección tangente en (0, 0). La interpretación física es la siguiente: Una partícula se mueve sobre la curva en dirección al origen, va disminuyendo su velocidad, se detiene en el origen y cambia la dirección del movimiento.

Ejemplo 8.15. La cicloide es la trayectoria descrita por un punto moviéndose sobre una circunferencia que comienza a rodar, con velocidad constante. En el instante t el centro de la circunferencia está en el punto (t, 1).

A manera de ejercicio, verificar que la siguiente trayectoria corresponde con una cicloide.

x y 2π 4π

La cicloide tiene un "pico" en el punto (2π, 0), sin embargo es derivable en ese punto.

Observación 8.16. Para poder garantizar que una trayectoria diferenciable g no tenga "picos" es necesario pedirle g (t) = 0 para todo t en el dominio de g.

Definición 8.17. Se dice que una función es de clase C 1 cuando es diferenciable y su derivada es continua.

De ahora en adelante consideraremos trayectorias g, que son diferenciables y tales que su derivada es continua, es decir, son de clase C 1 . Las dos trayectorias g y h dan origen a la misma curva, que es una circunferencia en el plano, con centro (0, 0) y radio 1. La trayectoria g recorre la circunferencia en sentido antihorario, comenzando en el punto (1,0). La trayectoria h también recorre la circunferencia en sentido antihorario, también comenzando en el punto (1,0).

Reparametrización.

En este caso se dice que h es una reparametrización de la curva G y que las trayectorias (ii) α es derivable y α (t) > 0 para todo t ∈ [a, b].

En este caso se dice que h es una reparametrización de la curva g[a, b].

Longitud de arco.

Sea

existe y es finito.

Diremos que la curva G es rectificable si existe una parametrización de G que es rectificable. Justificación intuitiva.

Por el teorema del valor medio tenemos que

Si hacemos tender N a +∞ y la separación entre los t k la hacemos cada vez más pequeña esta suma se parece a

siempre que N sea "grande" y la separación entre los t k "pequeña".

Esto es porque g (t k ) (t k − t k−1 ) aproxima muy bien a la longitud de un pedazo "pequeño" de curva y al sumar aproximamos la longitud de la curva.

En Física y otras aplicaciones prácticas es usual pensar en g (t) dt como la longitud de un parte muy pequeña de la curva, se le suele llamar elemento de longitud de arco y es usual hacer razonamientos y deducciones sobre estos elementos, que después se extienden a toda la curva a través de la integral.

En el siguiente capítulo veremos un ejemplo, al estudiar trabajo mecánico. 1 + (f (t)) 2 dt.

Indicación: considerar la parametrización g : [a, b] → R 2 definida por g(t) = (t, f (t)).

Tenemos que

Ejemplo 9.6. Sea G la curva dada por

Tenemos que

Otra notación para las integrales de línea.

Es usual denotar la integral de línea del campo vectorial F a lo largo de la curva G por

Esta notación se justifica por el siguiente formalismo:

(a) u · v es otra notación para u, v ,

Cambio de orientación en una curva.

Si G es una curva orientada, por −G denotaremos la misma curva orientada en sentido contrario. Tenemos el siguiente resultado.

Note que en este ejemplo esta expresión depende de m.

Vamos a averiguar si existe el límite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la parábola y = x 2 . Notemos que (0, 0) está en esta parábola.

Lo primero que debemos hacer es dar una parametrización de esta parábola. Tomamos

Averiguaremos si existe lim t→0 f (g(t)). Tenemos que

(b) Damos una parametrización de la parábola x = y 2 . Tomamos g : R → R 2 dada por (t 2 , t).

∇f (x, y) = (y, x).

Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si x = y = 0. Luego (0, 0) es un punto crítico.

Luego f posee un punto de ensilladura en (0, 0). (c) Sea

∇f (x, y) = (0, −2y).

Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si y = 0. Luego todos los puntos de la forma (x, 0) son un puntos críticos.

El criterio del hessiano no es aplicable en este caso. Estudiando directamente el comportamiento de la función, podemos asegurar que f posee un máximo en cada punto de la forma (x, 0). (d) Sea

∇f (x, y) = (3x 2 − 3y 2 , −6xy). Debemos hallar los máximos de esta función de dos variables.

Se puede probar que

Por lo tanto (0, 0) es un punto crítico, pero carece de interés para resolver el problema planteado. Para buscar otro punto crítico resolvemos el sistema. Por lo tanto

3. Método de los multiplicadores de Lagrange.

3.1. Máximos y mínimos con restricciones. En los problemas de búsqueda de máximos y mínimos puede ocurrir que estos valores se alcancen en puntos interiores del dominio. En ese caso se hallan los puntos críticos usando las primeras derivadas (el gradiente), luego usando segundas derivadas (el hessiano) se trata de determinar cuáles son máximos, mínimos o puntos de ensilladura.

Sin embargo, cuando el punto en el que se alcanza un máximo o un mínimo se encuentra en la frontera la situación es muy distinta. La determinación de esos puntos es un típico problema de multiplicadores de Lagrange.

Los griegos antiguos propusieron el problema de hallar la curva cerrada plana de longitud dada que encerrara mayorárea. Este problema es llamado el problema isoperimétrico, y ellos fueron capaces de demostrar en una manera más o menos rigurosa que la respuesta correcta es: el círculo (para más información sobre este aspecto histórico ver Simmons, Differential

Equations, pág 367).

Consideremos el siguiente problema: Hallar los valores máximos y mínimos de f (x, y), sujeta a la restricción g(x, y) = 0.

Supongamos que g(x, y) = 0 define una curva C en el plano y que f alcanza un máximo Por lo tanto Tenemos pues: y = 2λ, x = 2λ. Y por lo tanto y = x.

De donde

Así que de todos los rectángulos de perímetro cuatro el cuadrado (de lado uno) es el de mayorárea.

∇F (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ 1 (2x, 2y, 0) + λ 2 (1, 0, 1).

Debemos buscar los puntos en los que ∇F (x, y, z) = (0, 0, 0).

Por lo tanto debemos resolver el sistema:

(1, 1, 1) + λ 1 (2x, 2y, 0) + λ 2 (1, 0, 1) = (0, 0, 0),

Así que

De donde λ 1 = 0. Y por lo tanto x = 0, z = 1.

Tenemos pues que (0, √ 2, 1) y (0, − √ 2, 1) son los puntos a considerar.

Sustituyendo en la fórmula para f observamos que el primero es un máximo y el segundo es un mínimo.

Interpretación como trabajo mecánico.

A continuación veremos la interpretación física de la integral de línea.

Notemos primero que

si la curva G corresponde con la trayectoria g.

Consideremos una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria g y que está sometida a un campo de fuerzas F .

Recordemos que, en movimiento unidimensional y cuando la fuerza es constante, el trabajo es igual al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, es decir, el trabajo es el producto de la longitud de la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento, multiplicado por la longitud del desplazamiento.

Cuando consideramos un elemento de longitud de arco, como el desplazamiento es tan pequeño, podemos aproximar el movimiento por un movimiento unidimensional en la dirección de la tangente a la curva, que es g (t) g (t) .

Tenemos que

es la proyección del vector F (g(t)) (la fuerza), en la dirección de g (t) (que es la dirección del desplazamiento),

es el elemento de longitud de arco.

Por lo tanto, el trabajo realizado al mover la partícula a lo largo del elemento de longitud de arco es

Para obtener el trabajo total debemos "sumar" los trabajos correspondientes a cada uno de los elementos de longitud de arco, para esto integramos y obtenemos que la integral de línea es el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la trayectoria g, que está sometida al campo de fuerzas F .

3. Lectura adicional: Integrales de línea sobre curvas lisas a trozos.

donde cada G i es una curva lisa y la integral de línea de F sobre G se define de la siguiente

Ejercicios.

Integrales de línea.

(1) En los siguientes casos, calcular

(a) C es la circunferencia con centro (0, 0) y radio 5, recorrida en sentido antihorario.

(b) C es la circunferencia con centro (0, 0) y radio 5, recorrida en sentido horario.

(c) C es el segmento que une a (0, 1) con (3,5).

(d) C es el cuadrado con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) recorrido en sentido antihorario.

(e) C es la elipse x 2 4 + y 2 25 = 1, recorrida en sentido horario.

(2) Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria

sometida al campo de fuerzas F (x, y, z) = (x + y, 3y, 2z).

Hallar el trabajo realizado.

(3) Calcular las siguientes integrales de línea:

G e x dx + z dy + sen z dz, donde G es (x, y, z) = (t, t 2 , t 6 ) para 0 ≤ t ≤ 1.

Parte 4

Algebra Lineal.

CAPÍTULO 10

Matrices y Sistemas lineales.

Matrices. Producto de matrices. Inversa de una matriz. Autovectores y autovalores.

Determinantes 2 × 2 y 3 × 3. Diagonalización de matrices. Sistemas de Ecuaciones Lineales. (1)

La suma de matrices se realiza sumando componente a componente.

Si A = (a ij ) y B = (b ij ) son dos matrices m × n entonces la suma de A y B es una matriz m × n dada por El producto de matrices producto de matrices se realiza multiplicando filas por columnas.

Más precisamente, fijemos una fila en la primera matriz y una columna en la segunda matriz. Se multiplican las entradas de la fila de la primera matriz por las entradas de la columna de la segunda matriz, luego se suman. El valor obtenido se coloca en la entrada de la matriz producto correspondiente a esa fila y esa columna. Note que para poder hacer esto: el número de entradas de una fila en la primera matriz debe ser igual al número de entradas de una columna de la segunda matriz. Esto lo podemos decir más fácilmente: el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

El producto de una matriz 1 × n por una matriz n × 1 da una matriz 1 × 1. Además el valor que aparece en laúnica entrada de esta matriz producto es básicamente el producto escalar del vector fila por el vector columna correspondientes.

Observe los siguientes casos:

(1) Una matriz 1 × 1 por una matriz 1 × 1 da una matriz 1 × 1.

Con el siguiente ejemplo se puede observar claramente que el producto de matrices no es conmutativo.

Ejemplo 10.12.

Sin embargo el producto de matrices sí es asociativo, es decir: Con el siguiente ejemplo veremos una aplicación en la que aparecen matrices mas grandes que las dadas en los ejemplos anteriores.

Ejemplo 10.14. Contacto directo e indirecto con una enfermedad contagiosa.

En este ejemplo se muestra cómo se puede usar la multiplicación de matrices para modelar la manera en que se extiende una enfermedad contagiosa.

Suponga que cuatro individuos han contraído esta enfermedad. Este grupo hace contacto con seis personas de un segundo grupo. Estos contactos, llamados contactos directos, se pueden representar por una matriz 4 × 6.

La matriz de contacto directo entre el primer y el segundo grupo es:

En este caso se hace a ij = 1 si la i-ésima persona del primer grupo hace contacto con la j-ésima persona del segundo grupo. Por ejemplo, el a 24 = 1 significa que la segunda del primer grupo (infectada) hizo contacto con la cuarta persona del segundo grupo.

Ahora suponga que un tercer grupo de cinco personas tiene varios contactos directos con individuos del segundo grupo. Esto también se puede representar por una matriz.

La matriz de contacto directo entre el segundo y el tercer grupo es:

Observe que b 64 = 0, quiere decir que la sexta persona del segundo grupo no tiene contacto con la cuarta persona del tercer grupo.

Los contactos indirectos entre los individuos del primero y tercer grupos se representan por la matriz C = AB.

Observe que una persona del tercer grupo puede quedar contagiada por alguien del segundo grupo, quien a su vez fue contagiado por alguien del primer grupo. Por ejemplo, como a 24 = 1 y b 45 = 1, se ve que, indirectamente la quinta persona del tercer grupo tuvo contacto (a través de la cuarta persona del segundo grupo) con la segunda persona del primer grupo.

El número total de contactos indirectos entre la segunda persona en el primer grupo y la quinta persona del tercer grupo está dado por La matriz de contacto indirecto entre el primer y el tercer grupo es:

Observe que sólo la segunda persona en el tercer grupo no tiene contactos indirectos con la enfermedad. La quinta persona de este grupo tiene 2 + 1 + 1 = 4 contactos indirectos.

Matrices diagonales. La matriz identidad.

En esta sección consideraremos solamente matrices cuadradas.

Entre los tipos sencillos de matrices están las diagonales.

Decimos que una matriz A = (a ij ) es diagonal cuando todos los elementos son cero excepto los de la diagonal que va desde el vértice superior izquierdo al inferior derecho. Es decir, cuando a ij = 0 para todo i = j. Esto es:

Entre las matrices diagonales hay unas más sencillas, que son las que tienen 1 en todas las componentes de la diagonal principal.

Observemos que para matrices 2 × 2: Para matrices 1 × 1 la matriz identidad es:

Para matrices 2 × 2 la matriz identidad es:

Para matrices 3 × 3 la matriz identidad es:

Reducción y diagonalización de matrices.

Vamos a introducir un método que nos permitirá resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Este método es muyútil cuando hay muchas ecuaciones y muchas incógnitas.

Comenzamos analizando si una matriz cumple las siguientes condiciones:

(i) Todas las filas (si las hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.

(ii) El primer número diferente de cero (a partir de la izquierda) en cualquier fila, que no contiene sólo ceros, es 1.

(iii) Si dos filas sucesivas no contienen solamente ceros, entonces el primer 1 en la fila inferior ocurre más a la derecha que el primer 1 en el renglón superior.

(iv) Cualquier columna que contenga el primer 1 de un renglón tiene ceros en las demás posiciones.

Una matriz es escalonada por filas si satisface (i), (ii) y (iii).

Una matriz es escalonada reducida si satisface (i), (ii), (iii) y (iv).

El primer número diferente de cero (si lo hay) se llama pivote de esa fila.

Operaciones elementales con filas:

• Multiplicar (o dividir) una fila por un número diferente de cero.

• Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.

• Intercambiar dos filas.

Notación: para c = 0 tenemos que • R i → cR i significa "sustituye la i-ésima fila por esa misma fila multiplicada por c".

• R i → R i + cR j significa "sustituye la i-ésima fila por la suma de la fila i más la fila j multiplicada por c".

• R i ↔ R j significa "intercambia las filas i y j".

El proceso de aplicar estas operaciones elementales con filas para simplificar una matriz se llama reducción por filas.

Principales métodos de reducción por filas de matrices:

• Método de Gauss: permite llevar una matriz a una matriz escalonada por filas, usando las operaciones elementales con filas.

• Método de Gauss-Jordan: permite llevar una matriz a una matriz escalonada reducida, usando las operaciones elementales con filas.

Técnica de cálculo en el método de Gauss:

• El primer paso es obtener un 1 en el vértice superior izquierdo de la matriz.

• El paso siguiente es convertir todos los elementos restantes de la primera columna en ceros, dejando el primero intacto.

• A continuación se repite el proceso para la matriz que se obtiene si se eliminan la primera fila y la primera columna.

Ejemplo 10.19. Usamos el método de Gauss para obtener la matriz escalonada por filas.

3 6 12

Si queremos obtener la matriz escalonada reducida debemos continuar el procedimiento:

Técnica de cálculo en el método de Gauss-Jordan:

• Se aplica el método de Gauss para obtener una matriz escalonada por filas.

• Se convierten en ceros todos los elementos por encima de la diagonal de unos. Siguiendo este orden: a 12 , a 13 , a 23 , a 14 , etc.

Cuando el método De Gauss-Jordan se aplica a matrices cuadradas puede ser que aparezca una matriz diagonal, o una matriz que tiene solamente ceros en las filas inferiores y que es diagonal en el recuadro superior izquierdo.

Diagonalización de matrices : cuando se llega a una matriz diagonal se dice que se diagonalizó la matriz.

Ejemplo 10.21.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Conceptos y resultados básicos.

Un conjunto de m ecuaciones de la forma

se llama un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Algunas reglas conocidas para resolver sistemas de ecuaciones son las siguientes:

• Si se intercambian dos ecuaciones no se altera la solución.

• Cuando se multiplican o se dividen ambos lados de una ecuación por un número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente.

• Si se suma el múltiplo de una ecuación a otra del mismo sistema se obtiene una ecuación equivalente.

Estas reglas son muyútiles para resolver sistemas de pocas ecuaciones con pocas incógnitas. Pero cuando aumenta el número de ecuaciones o aumenta el número de incógnitas la situación se complica. Sin embargo, usando la teoría de matrices se puede desarrollar una técnica que permite resolver estos casos más complicados.

Consideramos x 1 , . . . , x n como incógnitas. Una solución del sistema es una n-upla cualquiera de números (x 1 , . . . , x n ) para los cuales se satisfacen todas las ecuaciones.

Si c 1 = 0, . . . , c m = 0 se dice que el sistema es homogéneo.

Si existe un c j = 0 se dice que el sistema es no homogéneo.

El sistema homogéneo siempre tiene la solución x 1 = 0, . . . , x n = 0, pero puede tener otras. El conjunto de soluciones del sistema homogéneo es el núcleo.

Puede ocurrir que un sistema no homogéneo no tenga solución. no tiene solución porque la suma de dos números no puede ser a la vez 1 y 2. x + y = 10,

x − y = 6.

Resolviendo el sistema hallamos x = 8, y = 2.

Luego la velocidad del bote en agua tranquila es 8 kilómetros por hora y la velocidad del río es 2 kilómetros por hora.

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

Vamos a relacionar los sistemas de ecuaciones lineales con las matrices. y la matriz ampliada del sistema es:

Nuevamente usamos los métodos de reducción de matrices. Ellos permiten llevar un sistema de ecuaciones lineales a otro más sencillo que es equivalente (es decir el conjunto de soluciones es el mismo).

Reducción de sistemas de ecuaciones:

• Método de Gauss (matriz escalonada por filas).

• Método de Gauss-Jordan (matriz escalonada reducida).

Ejemplo 10.32. Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con cinco incógnitas: (i) Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3.

(ii) Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3.

(iii) Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3.

(iv) Cada semana se proporcionan al lago 25.000 unidades de alimento 1, se proporcionan 20.000 unidades del alimento 2 y 55.000 del alimento 3.

Si se supone que los peces se comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Solución:

Sean x 1 , x 2 y x 3 el número de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago.

Utilizando la información del problema se observa que:

(i) x 1 peces de la especie 1 consumen x 1 unidades de alimento 1.

(ii) x 2 peces de la especie 2 consumen 3x 2 unidades de alimento 1.

(iii) x 3 peces de la especie 3 consumen 2x 3 unidades de alimento 1.

Entonces

x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 25.000.

Análogamente se pueden obtenerlas ecuaciones para los otros dos alimentos.

Se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

.000

Hemos logrado una reducción del sistema de ecuaciones:    x 1 + 5x 3 = 40.000

Si x 3 se elige arbitrariamente se tiene un número infinito de soluciones dadas por:

Pero debemos tomar en cuenta otras restricciones: Por supuesto se debe tener

De x 2 ≥ 0 se sigue que x 3 ≥ 5.000.

De 0 ≤ x 1 = 40.000 − 5x 3 se sigue que x 3 ≤ 8.000.

Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido deben satisfacer: = −ρ 2 sen 2 ϕ cos 2 θ sen ϕ − ρ 2 sen ϕ sen 2 θ cos 2 ϕ − ρ 2 cos 2 ϕ cos 2 θ sen ϕ − ρ 2 sen 2 ϕ sen 2 θ sen ϕ = −ρ 2 sen ϕ(sen 2 ϕ cos 2 θ + sen 2 θ cos 2 ϕ + cos 2 ϕ cos 2 θ + sen 2 ϕ sen 2 θ) = −ρ 2 sen ϕ(sen 2 ϕ(cos 2 θ + sen 2 θ) + cos 2 ϕ(sen 2 θ + cos 2 θ)) = −ρ 2 sen ϕ(sen 2 ϕ + cos 2 ϕ) = −ρ 2 sen ϕ

Autovalores de matrices.

En esta sección consideraremos matrices cuadradas. Sea n ∈ N tal que 1 ≤ n ≤ 3.

Sea A una matriz n × n.

Ejemplo 10.39. Sea

Como este polinomio no tiene raíces reales, A no tiene autovalores (reales).

Polinomio característico y autovalores de matrices 3 × 3.

En el caso 3 × 3 tenemos:

Verificar, como ejercicio, que las raíces de p son 1 y 2, y que p se factoriza de la siguiente manera

Por lo tanto los autovalores de A son 1 y 2. Notar que 2 es raíz doble del polinomio, en este caso se dice que 2 es un autovalor de multiplicidad 2.

Observación 10.41. Se puede probar que λ es un autovalor de A cuando la matriz λI − A no es invertible. Generalmente esto se demuestra en los cursos deálgebra lineal.

Autovectores de matrices.

En esta sección consideraremos matrices cuadradas. Sea n ∈ N tal que 1 ≤ n ≤ 3.

Sea A una matriz n × n y sea λ un autovalor de A. Sea x ∈ R n , x no nulo, decimos que

x es un autovector de A correspondiente a λ cuando considerando a x como una matriz X, n × 1, se satisface la ecuación matricial (λI − A)X = 0.

Note que la ecuación matricial anterior es equivalente a esta otra

Por otro lado estaúltima ecuación matricial puede ser vista como un sistema de n ecuaciones lineales para los componentes x 1 , . . . , x n donde x = (x 1 , . . . , x n ).

Cuando se tiene un autovalor λ conocido, se pueden hallar sus autovectores resolviendo este sistema. A continuación veremos varios ejemplos, en uno de ellos la matriz tiene todos sus autovalores distintos, en otra la matriz tiene autovalores repetidos.

Ejemplo 10.42. Una matriz con todos sus autovalores distintos.

Hallaremos los autovectores de

Por lo tanto A tiene tres autovalores distintos: 1, −1 y 3.

Para hallar los autovectores correspondientes al autovalor λ = 1 debemos resolver el

Multiplicando las matrices de la izquierda obtenemos   

Para poder plantear el sistema correctamente debemos colocar a x 1 , x 2 , x 3 del mismo lado de la igualdad. Así obtenemos el sistema homogéneo

Sumando las ecuaciones primera y tercera encontramos −2x 3 = 0. De donde x 3 = 0. Y las tres ecuaciones se reducen a

De donde x 2 = −x 1 . Luego los autovectores correspondientes al autovalor λ = 1 son de la forma (t, −t, 0) para t ∈ R, t = 0.

Mediante cálculos parecidos encontramos los autovectores de λ = −1, ellos son de la forma (0, t, −t) para t ∈ R, t = 0. También podemos hallar los autovectores de λ = 3, ellos son de la forma (2t, 3t, −t) para t ∈ R, t = 0.

Ejemplo 10.43. Una matriz con autovalores repetidos.

Los autovalores son 4 y 2, además 2 aparece dos veces.

Para hallar los autovectores correspondientes al autovalor λ = 2 debemos resolver el

Multiplicando las matrices de la izquierda obtenemos   

De donde x 2 = x 2 = −x 1 . Luego los autovectores correspondientes al autovalor λ = 2 son de la forma (−t, t, t) para t ∈ R, t = 0.

Mediante cálculos parecidos encontramos los autovectores de λ = 4, ellos son de la forma

Ejercicios.

Matrices y Sistemas lineales.

(1) Sean

(2) Dadas las matrices

Halle, si es posible, valores para las constantes x, y, z de manera que se tenga: (5) Diga para cuáles pares de matrices de tamaño n × n se cumple que:

Justifique su respuesta. (Ayuda: tome en cuenta que el producto de matrices tiene la propiedad distributiva respecto a la suma de matrices, pero no tiene la propiedad conmutativa.) (6) Un torneo de tenis se puede organizar de la siguiente manera. Cada uno de los n tenistas juega contra todos los demás y se registran los resultados en una matriz R de tamaño n × n de la siguiente manera:

1 si el tenista i le gana al tenista j 0 si el tenista i pierde contra el tenista j

Después se asigna al tenista i la calificación (b) Demuestre que los autovectores de A correspondientes a λ = 7 son de la forma (t, 2t, 3t) para t ∈ R, t = 0.

(c) Demuestre que los autovectores de A correspondientes a λ = 1 son de la forma (t, 0, −t) + (0, s, −s) para t, s ∈ R, no ambos nulos.

CAPÍTULO 11

Transformaciones Lineales.

Concepto de transformación lineal (considerar los casos T : R n → R m , con n, m ≤ 3).

Concepto de base. Matriz asociada a una transformación lineal.

Transformación lineal

Trabajaremos principalmente en los espacios R, R 2 y R 3 .

Una transformación lineal de R n en R m es una función T :

A lo largo de esta sección a ij denotará un número real, para cualquier par de números naturales i y j.

A continuación veremos las transformaciones lineales que toman valores en R.

Una transformación lineal T : R → R es una función de la forma

Una transformación lineal T : R 2 → R es una función de la forma

Una transformación lineal T : R 3 → R es una función de la forma

Seguidamente veamos las transformaciones lineales que toman valores en R 2 .

Una transformación lineal T : R → R 2 es una función:

T (x) = (a 11 x, a 21 x).

Una transformación lineal T : R 2 → R 2 es una función:

T (x 1 , x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2 , a 21 x 1 + a 22 x 2 ).

Una transformación lineal T : R 3 → R 2 es una función:

Finalmente, las transformaciones lineales que toman valores en R 3 se dan a continuación.

Una transformación lineal T : R → R 3 es una función: (a 11 x, a 21 x, a 31 x).

Una transformación lineal T : R 2 → R 3 es una función:

Una transformación lineal T : R 3 → R 3 es una función:

Tal como lo habrán notado, se hace necesario dar una representación general para las funciones que acabamos de considerar. A continuación se da la forma general para las transformaciones lineales.

Sean n, m tales que 1 ≤ n ≤ 3 y 1 ≤ m ≤ 3. Una transformación lineal T : R n → R m es una función:

T (x 1 , . . . , x n ) = (a 11 x 1 + · · · + a 1n x n , . . . , a m1 x 1 + · · · + a mn x n ). (11.1) Ejemplo 11.1.

(1) Sea T : R → R 2 dada por

(2) Sea T :

(4) Para θ ∈ [0, 2π] y r > 0, fijos, sea T : R 2 → R 2 dada por

T (x 1 , x 2 ) = ((cos θ) x 1 − r(sen θ) x 2 , (sen θ) x 1 + r(cos θ) x 2 ).

Bases.

En R 2 , una base es un conjunto formado por dos vectores tales que cualquier vector de R 2 se puede obtener a partir deéstos dos de la siguiente manera: se multiplica cada uno de los vectores de la base por un escalar (un número) apropiado y sumándolos (posteriormente) se obtiene el vector dado.

Ejemplo 11.2. La base canónica de R 2 es:

Note que si damos un vector cualquiera (x 1 , x 2 ) de R 2 entonces

El escalar x 1 se multiplicó por (1, 0) y el escalar x 2 se multiplicó por (0, 1). Los resultados de estas multiplicaciones son (x 1 , 0) y (0, x 2 ). La suma es el vector dado: (x 1 , x 2 ).

Ejemplo 11.3. Otra base de R 2 es:

Si damos un vector cualquiera (

El escalar x 1 −x 2 se multiplicó por (1, 0) y el escalar x 2 se multiplicó por (1, 1). Los resultados de estas multiplicaciones son (x 1 − x 2 , 0) y (x 2 , x 2 ). La suma es el vector dado: (x 1 , x 2 ).

Matriz asociada a una transformación lineal.

Existe una correspondencia natural entre las transformaciones lineales de R n en R m y las matrices m × n.

Para estudiar esta correspondencia resulta más conveniente representar a los elementos de R n y de R m como vectores columna. El operador T : R n → R m está en correspondencia con la matriz A = (a ij ) 1≤i≤m,1≤j≤n cuando se cumple la siguiente relación:

Observación 11.8. La correspondencia entre transformaciones lineales y matrices depende de las bases que escojamos en los espacios. La correspondencia que hemos descrito corresponde con las bases canónicas de R n y R m . Ejemplo 11.9. Sea La transformación lineal asociada a la matriz A es T : R 2 → R 2 dada por

Ejemplo 11.10. Para θ ∈ [0, 2π] y r > 0, fijos, sea A = cos θ −r sen θ sen θ r cos θ En este caso A depende de r y de θ.

La transformación lineal asociada a la matriz A es T :

En este caso T depende de r y de θ.

En este caso A depende de x.

La transformación lineal asociada a la matriz A es T : R → R dada por

En este caso T depende de x. Note que estamos usando h para la variable de la transformación lineal ya que la x tiene otro significado.

Este ejemplo es importante para el estudio del cálculo diferencial en varias variables.

Ejercicios.

Transformaciones Lineales.

(1) Sea T :

Demuestre que T es una transformación lineal.

(2) Demuestre que las siguientes funciones f : R → R no son transformaciones lineales.

(a) f (x) = 3.

(c) f (x) = sen x.

(3) Demuestre que las siguientes funciones f : R → R son transformaciones lineales.

(a) f (x) = 3x.

Demuestre que T es una transformación lineal.

(10) En el plano uv sea B el rectángulo acotado por

En el plano xy sea P el paralelogramo acotado por

Demuestre que (f) Hallar la matriz de T (con respecto a las bases canónicas) y calcular su determinante.

(g) ¿Qué relación existe entre elárea de B y elárea de P . Cálculo Diferencial en Varias Variables. CAPÍTULO 12 Campos escalares.

Funciones de R 2 en R y de R 3 en R. Dominio y rango de estas funciones. Gráfico y representación gráfica de funciones de R 2 en R. Curvas y superficies de nivel.

1. Funciones de R 2 en R y de R 3 en R Queremos darle sentido a expresiones tales como

donde f es identidad, seno, coseno, ln. También queremos darle sentido a expresiones como (a) f :

En este caso f es el cuadrado de la norma (o distancia al origen) del punto (x, y, z).

para todo x ∈ R n (función constante).

(d) Elárea de un rectángulo de lados x e y es la función de (x, y) dada por f (x, y) = xy.

(e) El volumen de una caja de medidas x, y, z es la función de (x, y, z) dada por

es decir, la media geométrica.

(g) Sea f :

para todo (x, y, z) ∈ R 3 tal que z = 0. 2. Dominio y rango de funciones de R 2 en R y de R 3 en R.

A continuación daremos algunos ejemplos de funciones de R n en R (con n = 2ó n = 3).

A partir de la fórmula que las definen indicaremos cuál es el dominio más grande en el que pueden ser consideradas. El rango o imagen de f es el conjunto de todos los números reales w ∈ R tales que

Entonces

3. Gráfico y representación gráfica de funciones de R 2 en R.

Consideraremos funciones que toman valores en R. Igual que con funciones de una variable, se puede definir la gráfica de una función de dos variables. La gráfica de una función de una variable es un subconjunto de R 2 , y la gráfica de una función de dos variables es un subconjunto de R 3 .

Observemos que

El gráfico de f es una superficie que puede ser visualizada en casos particulares.

Ejemplo 12.7.

(a) Sea f (x, y) = 1 − x 2 − y 2 .

Veamos que su gráfico es la parte de arriba de una esfera de radio 1.

El domino de f es el conjunto

El gráfico de f es un paraboloide de revolución, obtenido al rotar z = y 2 alrededor del eje z (justifique). Si una función tiene dominio contenido en R 3 , no podemos representarla gráficamente.

Curvas de nivel y superficies de nivel.

Existe otro métodoútil para representar geométricamente una función de dos variables.

Esto es un método semejante al de representar un paisaje tridimensional por un mapa topográfico bidimensional.

al valor c es:

La curva de nivel γ c de f no es más que el conjunto de puntos de R 2 para los cuales f toma el mismo valor c.

Al considerar diferentes valores de c : c 1 , c 2 , . . . obtenemos un conjunto de curvas de nivel, que llamaremos mapa de contorno.

Si tratamos con funciones de tres variables la noción análoga a la de curva de nivel es la de superficie de nivel.

Por ejemplo, si f : R 3 → R nos da la distribución de temperaturas en un espacio tridimensional, entonces las superficies de nivel satisfacen f (x, y, z) = c y se llamarían superficies isotérmicas. (a) Sea f (x, y) = x 2 + y 2 , las curvas de nivel de f son circunferencias con centro en el origen.

Tenemos que

Por lo tanto, debe ser c ≥ 0.

La curva de nivel que corresponde a c es una circunferencia con centro en el origen y radio √ c.

La siguiente figura ilustra las curvas de nivel de f . La siguiente figura ilustra las curvas de nivel de f . Esta superficie es el paraboloide hiperbólico o "silla de montar"

El conocimiento de las curvas de nivel ayuda a resolver muchos problemas interesantes en el plano y en el espacio.

Ejercicios.

Campos escalares.

(1) Sea f : R 2 → R dada por f (x, y) = x + y + 2.

(a) Describa el gráfico de f .

(b) Dado c ∈ R describa la curva de nivel correspondiente a c.

(2) Determinar las curvas de nivel y las gráficas de las siguientes funciones

(c) f : R 2 → R dada por f (x, y) = xy.

(3) Dibujar las curvas de nivel (en el plano xy) para la función dada f y los valores de f dados.

(a) f (x, y) = 100 − x 2 − y 2 para c = 0, 2, 4, 6, 8, 10.

(b) f (x, y) = x 2 + y 2 para c = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

(c) f (x, y) = 3x − 7y para c = 0, 1, 2, 3, −1, −2, −3.

(4) Determinar las superficies de nivel de f

(b) f (x, y, z) = 4x 2 + y 2 + 9z 2 .

(c) f (x, y, z) = x 2 + y 2 .

CAPÍTULO 13

Límites de campos escalares. En forma más precisa se tiene:

Ejemplo 13.2.

(a) Los vectores (4,5), (4, 4) y (2, 4) son puntos de acumulación de

(b) El vector (1, π) es un punto de acumulación de

(c) El vector (0, 0) es un punto de acumulación de {(1/n, 1/n 2 ) para algún n ∈ N}.

(d) EL vector (0, −1) es un punto de acumulación de {(0, (−1) n + 1/n) para algún n ∈ N}.

Límite a lo largo de una curva para una función de R 2 en R.

Recordemos que si se tiene una función de R en R, en un punto se puede calcular el límite por la derecha y por la izquierda. Y al hacer esto estamos considerando todas las maneras posibles de acercarse a ese punto. Para que el límite exista debe ocurrir que el límite por la derecha sea igual al límite por la izquierda.

El procedimiento que vamos a desarrollar a continuación, en el plano, es análogo. Pero debemos tomar en cuenta que en un punto del plano no existen sólo dos maneras de acercarse, existen infinitas maneras de acercarse, además puede hacerse a través de diferentes curvas.

Sean D ⊂ R 2 y (x o , y o ) un punto de acumulación de D. Sea I un intervalo abierto, sea

(c) g es continua.

Consideremos Supongamos que queremos averiguar si existe el límite de f cuando (x, y) tiende a (0, 0) a lo largo de la recta y = mx. Notemos que (0, 0) está en esta recta.

Lo primero que debemos hacer es dar una parametrización de esta recta. Tomamos g : R → R 2 dada por g(t) = (t, mt). t→0 f (g(t)).

Luego averiguamos si existe lim

Comparación de límites a lo largo de varias curvas para una función de

En diversas situaciones uno puede querer acercase a un punto por varias rectas, por parábolas o por cualquier otra curva.

Ejemplo 13.6. Sea

Calcularemos el límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen.

Tomemos la recta y = mx. Tenemos que

En este ejemplo el límite que hemos encontrado depende claramente de la pendiente de la recta: m. Es decir el resultado es diferente si colocamos diferentes valores de m. En otras palabras si nos acercamos por diferentes rectas obtenemos diferentes resultados.

Ejemplo 13.7. Sea f (x, y) = 2x 2 y x 4 + y 2 .

Calcularemos

(1) el límite a lo largo de la recta y = mx.

(2) el límite a lo largo de la parábola y = x 2 .

En este ejemplo el límite buscado no depende de la pendiente de la recta: m.

Pero si nos acercamos por la parábola y = x 2 obtenemos:

2. Límite en R 2 .

Las propiedades del límite, ya conocidas para funciones reales de variable real se extienden de manera natural a las funciones reales de variable en el plano, más precisamente: Teorema 13.9 (Propiedades del límite para campos escalares).

existen y son finitos. Entonces

Demostración. Probaremos (a) y (b). Las pruebas de las propiedades (c) y (d) están en la lectura adicional.

Como lim x→ xo f ( x) y lim x→ xo g( x) existen y son finitos, existen L 1 ∈ R y L 2 ∈ R tales que

(a) Si λ = 0 se cumple la igualdad. Supongamos λ = 0, dado ε > 0 sea γ = ε/|λ| entonces γ > 0. Usando la definición de límite se sigue que existe δ > 0 tal que si x ∈ D y

Entonces

Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ D y si 0 <

Es decir,

Usando la definición de límite se sigue que:

Entonces

De donde

Hemos probado que: dado

Es decir,

3. Relación entre límite en R 2 y límite a lo largo de curvas.

En esta sección veremos la relación entre límite en R 2 y límite a lo largo de una curva para una función de R 2 en R.

(c) g es continua.

Es decir: Si x se acerca al punto x o a lo largo de g entonces f ( x) se tiene que acercar a

Tal como muestran los siguientes ejemplos, esta Proposición es muyútil para demostrar que un límite no existe.

Ejemplo 13.11.

(a) Supongamos que queremos averiguar si existe

Entonces tenemos que

Pero esta expresión varía con m, así que lim (x,y)→(0,0) xy x 2 + y 2 no existe.

A lo largo de la recta y = mx, tenemos

Claramente el límite depende de la recta, por lo tanto no existe el límite.

Límites iterados

Los límites iterados son:

Entonces El Teorema 13.13 puede serútil para demostrar que ciertos límites en R 2 no existen, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 13.14. Consideremos nuevamente la función

ya estudiada en el ejemplo previo.

Se observa que los límites iterados son diferentes, el teorema anterior nos permite asegurar que f (x, y) no tiene límite cuando (x, y) tiende a (0, 0).

Las hipótesis del Teorema anterior pueden ser debilitadas.

El recíproco del Teorema 13.13 no es cierto. Puede ocurrir que los límites iterados existan y sean iguales, y que no exista el límite en R 2 . El siguiente ejemplo ilustra esta situación.

Límite a lo largo de una curva para una función de R 3 en R.

El procedimiento que vamos a desarrollar a continuación, en el espacio, es análogo a lo hecho para la recta y para el plano. Pero debemos tomar en cuenta que en un punto del espacio existen infinitas maneras de acercarse, además puede hacerse a través de diferentes curvas que podrían no estar contenidas en ningún plano.

En diversas situaciones uno puede querer acercase a un punto por varias rectas, por parábolas o por cualquier otra curva. Lo más sencillo es tratar de acercarse por curvas que estén contenidas en los planos generados por los ejes cartesianos.

Consideremos una función f :

Calcularemos el límite en (0, 0, 0) a lo largo de algunas rectas que pasan por el origen.

La intersección del plano z = mx con el plano y = 0 da una recta. Sobre esa recta tenemos que

En este ejemplo el límite que hemos encontrado depende claramente de la pendiente de la recta: m. Es decir el resultado es diferente si colocamos diferentes valores de m. En otras palabras si nos acercamos por diferentes rectas obtenemos diferentes resultados.

Por supuesto que también podríamos acercarnos por parábolas y por otras curvas.

Límite en R 3 .

Para R 3 la definición es análoga a la que dimos para R 2 .

Abreviado:

lim

Las propiedades del límite, ya conocidas para funciones reales de variable real y para funciones reales de variable en el plano se extienden para funciones reales de variable en el espacio, más precisamente:

Teorema 13.19 (Propiedades del límite para campos escalares).

existen y son finitos. Entonces

La demostración para R 3 es análoga a la de R 2 .

7. Relación entre límite en R 3 y límite a lo largo de una curva.

En el espacio también hay una relación entre límite y límite por curvas. Es decir, existe un relación entre límite en R 3 y límite a lo largo de una curva para una función de R 3 en R.

Proposición 13.20. Sean D ⊂ R 3 , x o un punto de acumulación de D, I un intervalo abierto y g : I → D tales que:

(c) g es continua.

Es decir: Si x se acerca al punto x o a lo largo de g entonces f ( x) se tiene que acercar a

Esta Proposición es muyútil para demostrar que un límite no existe.

8. Continuidad. (b) f (x, y) = sen 2 (x + y) + xy cos y.

(c) f (x, y) = e x+y 2 +z 3 . Si

Demostración. Sea L = lim x→ x o f ( x). Considerando ε = 1 en la definición de límite

existen y son finitos. Entonces

).

Demostración.

Como lim x→ xo f ( x) y lim x→ xo g( x) existen y son finitos, existen Dado ε > 0 sea γ = ε/(M + |L 2 |) entonces γ > 0. Usando la definición de límite se sigue que:

De donde

Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ D y si 0 <

Es decir,

Lema 13.32. Sean D un subconjunto de R n , g : D → R una función y x o un punto de acumulación de D.

Demostración. Considerando ε = L /2 en la definición de límite obtenemos que

por lo tanto

Teorema 13.33 (Cociente de límites).

Sean D ⊂ R n , x o un punto de acumulación de D, sean f, g : D → R funciones tales que

existen y son finitos. Entonces

Si lim x→ xo

Demostración.

Como lim x→ xo f ( x) y lim x→ xo g( x) existen y son finitos, existen L 1 ∈ R y L 2 ∈ R tales que

Por el lema 13.32 existen m > 0 y δ o > 0 tales que si

Usando la definición de límite se sigue que:

Hemos probado que: dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ D y si 0 <

10. Lectura adicional: Continuidad de la norma y del producto interno.

Si a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ R n la norma de a es:

Teorema 13.34 (Continuidad de la norma). Sea

Si a = (a 1 , . . . , a n ), b = (b 1 , . . . , b n ) ∈ R n el producto interno usual es:

La desigualdad de Cauchy-Schwarz sigue siendo cierto para cualquier número natural n y la demostración es la misma que en el caso de n = 2ó n = 3.

(1) Si a, b ∈ R n entonces

Es decir, si a 1 , . . . , a n y b 1 , . . . , b n son números reales arbitrarios entonces .

de Cauchy-Schwarz:

Ejercicios.

Límites de campos escalares.

En lo que sigue usaremos [x] para denotar a la parte entera de x.

(1) Para las siguientes funciones f : R → R, dibuje su gráfica e indique los puntos en los que no es continua.

(2) Hallar los siguientes límites (en caso de que existan) sen(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 (7) Demuestre que no existe lim (x,y)→(0,0)

x 2 x 2 + y 2 .

(8) Demuestre que:

Sea v un vector de norma 1. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Además la igualdad ocurre si y sólo si v es paralelo a ∇f (

nos da la dirección de máximo crecimiento de f .

Del comentario previo a esta Proposición podemos concluir que (ver figura) Area (T P (B 1 )) = q 2 2 α 2 2 − q 2 2 α 1 2 − (q 2 1 α 2 2 + q 2 1 α 1 2 ) = (α 2 − α 1 )(q 2 − q 1 )(q 2 + q 1 ) 2 . Sea f : R 2 → R una función continua, entonces basándonos en el Teorema 18.9 podemos justificar, de manera informal, la fórmula para el cambio de variables a coordenadas polares de la siguiente manera: e −x 2 dx. 323

Demostración.

En este caso la región de integración es el primer cuadrante.

Aunque se trata de una región no acotada, se puede dar una versión del teorema del cambio de variables para coordenadas polares.

Aplicando este resultado se tiene que Usando la Proposición 18.28 tenemos que

Ejercicios.

Integrales dobles.

(1) Calcular las integrales iteradas que se indican, representar gráficamente la región de integración y describirla utilizando notación conjuntista. (2) Calcular la integral doble indicada y representar gráficamente la región R. (3) Hallar elárea de la región limitada por las curvas y = x 2 e y = x 3 .

(4) Hallar elárea de la región limitada por las curvas y = x e y = x 3 .

(5) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies z = 0, z = x, y 2 = 2 − x.

(6) Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x 2 + z 2 = 4, y = 0,

x + y + z = 3.

(7) Deducir la fórmula para el volumen de un cono recto de base circular, cuya base tiene radio R y cuya altura es h. El primer paso es notar que el elipsoide es la región comprendida entre los gráficos de las funciones

para (x, y) ∈ S, donde S = (x, y) ∈ R 2 : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 .

Por lo tanto, denotando por V al volumen del sólido, tenemos que (c) Finalmente, calcular la integral anterior para obtener V = 4 3 πabc.

(10) Utilizar el cambio a coordenadas polares para hallar el volumen del sólido formado por los puntos que están por encima del cono z = x 2 + y 2 y dentro de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

(11) Utilizar el cambio a coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado por el cilindro x 2 + y 2 = 2x y la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4.

CAPÍTULO 14

Diferenciación de campos escalares.

Diferenciabilidad de un campo escalar en un punto. Derivadas parciales y direccionales. Concepto de gradiente. Interpretación geométrica del gradiente: Dirección de máximo crecimiento para una función de R 2 en R.

Condición suficiente de diferenciabilidad. Regla de la cadena para la composición de un campo escalar con una aplicación de R en R 2 y de R en R 3 .

Diferenciación de funciones definidas en forma implícita.

Diferenciabilidad de un campo escalar en un punto.

Motivación.

Este límite se llama la derivada de f en el punto x o y se denota por f (x o ).

La generalización de este concepto a funciones de dos o tres variables no es nada inmediato. La primera dificultad que encontramos al tratar de extenderlo es que no podemos dividir entre un vector, sin embargo, vamos a tratar de reescribir la definición de derivada de manera tal que podamos generalizarla a funciones de varias variables.

Entonces tenemos que

Concepto de diferenciabilidad.

La discusión previa motiva la siguiente definición.

Al igual que en el caso de una variable, tenemos el siguiente resultado. Demostración. Por ser f diferenciable en x o , existe una transformación lineal

como toda transformación lineal es continua, tenemos que

Observación 14.5. Tal y cómo era de esperarse en el caso n = 1, la definición que hemos dado de diferenciabilidad, coincide con la definición usual de derivada. En efecto, en este caso la transformación lineal T es de la forma

Es muy importante notar que, en este caso, el diferencial de f en x o es la función lineal definida por

Observación 14.6. Tal como ocurre en el caso de una variable, se cumple lo siguiente:

(1) Si f y g son funciones diferenciables en x o y λ ∈ R, entonces λ f + g es diferenciable

(2) Si f es diferenciable en un abierto "conexo" D (de manera informal conexo quiere decir que está formado por una sola pieza) y d x f = 0 para todo x ∈ D, entonces f es constante en D.

Derivadas parciales y direccionales.

Caso n = 2.

La derivada parcial del campo escalar f con respecto a x en (x o , y o ) se define por

en caso de que el límite exista.

Esta derivada se calcula de la siguiente manera: se considera la variable y como constante y se deriva con respecto a x usando las reglas usuales de derivación. Si (x o , y o ) = (π/3, 2) tenemos que ∂f ∂x (π/3, 2) = e π/3+2 sen(π/3) + e π/3+2 cos(π/3) = √ 3 + 1 2 e 2+π/3 .

La derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x o , y o ) la podemos interpretar geométricamente de la siguiente manera: Intersectamos la superficie z = f (x, y) con el plano y = y o y obtenemos la curva señalada en el dibujo, la pendiente de la recta tangente a esta La derivada parcial del campo escalar f con respecto a y en (x o , y o ) se define por

en caso de que el límite exista.

Esta derivada se calcula de la siguiente manera: se considera la variable x como constante y se deriva con respecto a y usando las reglas usuales de derivación.

Ejercicio 14.13. Hacer dibujos, similares a la Figura 14.1, representado geométricamente la derivada parcial con respecto a y y con respecto a un vector v.

Caso n = 3.

Definición 14.14. Sean D ⊂ R 3 un abierto, f : D → R un campo escalar y

La derivada parcial del campo escalar f con respecto a x en (x o , y o , z o ) se define por

en caso de que el límite exista.

La derivada parcial del campo escalar f con respecto a y en (x o , y o , z o ) se define por

en caso de que el límite exista.

La derivada parcial del campo escalar f con respecto a z en (x o , y o , z o ) se define por

en caso de que el límite exista.

La derivada direccional se define de manera análoga y tenemos que

Derivadas de orden superior.

Si tenemos una función f : D → R, donde D ⊂ R 3 es un abierto y f tiene derivadas parciales, entonces ∂f ∂x también es una función de D en R, por lo tanto tiene sentido considerar sus derivas parciales.

Los siguientes ejemplos ilustran la notación usual

Bajo ciertas hipótesis se cumple que una derivada parcial de orden superior es independiente del orden de derivación. Más precisamente, si todas las derivadas parciales hasta el orden n son continuas, entonces las derivadas parciales de orden menor o igual que n son independientes del orden.

Por ejemplo si las derivadas parciales de primer y segundo orden de f son continuas,

entonces

En capítulos posteriores estudiaremos más en detalle las derivadas de orden superior.

Concepto de gradiente.

Caso n = 2.

Sean D ⊂ R 2 un abierto y supongamos que f : D → R una función diferenciable en

Entonces existe una transformación lineal (que esúnica), que denotamos por df (xo,yo) , tal que

En particular, si tomamos h = t(1, 0) y hacemos t tender a 0, obtenemos

Por otra parte,

y, por la linealidad de df (xo,yo) ,

El gradiente de f en (x o , y o ) es

en caso de que las derivadas parciales existan.

El símbolo ∇ que aparece en el gradiente se llama nabla.

Los cálculos que hemos hecho los resume el siguiente resultado.

Caso n = 3.

Definición 14.18. Sea D ⊂ R 3 un conjunto abierto, f : D → R un campo escalar y

El

en caso de que las derivadas parciales existan.

Ejemplo 14.

19. Sea f (x, y, z) = y(x 2 + y 3 x + cos z). Entonces ∇f (x, y, z) = (y(2x + y 3 ), (x 2 + y 3 x + cos z) + y(3y 2 x), −y sen z).

Al igual que en el caso bidimensional, tenemos el siguiente resultado.

Dirección de máximo crecimiento.

De la definición de derivada direccional sigue que D v f ( x o ) es una medida del crecimiento de f en x o , en la dirección del vector v. Además tenemos el siguiente resultado.

es un vector que apunta en la dirección de máximo crecimiento de f .

Condición suficiente de diferenciabilidad.

Hemos visto que si f es diferenciable en un punto, entonces existen las derivadas parciales de f en dicho punto. El recíproco no es cierto, puede ocurrir que existan las derivadas parciales en un punto dado y que la función no sea diferenciable en dicho punto. Sin embargo si las derivadas parciales satisfacen ciertas condiciones adicionales, podemos garantizar la diferenciabilidad, mas precisamente, se cumple el siguiente resultado. La demostración de este resultado está por encima del alcance de estas notas. Una demostración detallada se puede encontrar en [8].

6. Regla de la cadena.

La regla de la cadena se extiende para la composición de una campo escalar con una trayectoria de la siguiente manera. (a) α es diferenciable en t,

(b) f es diferenciable en α(t).

Entonces f • α es diferenciable en t y se tiene

No daremos la demostración de este teorema, una versión más general se puede encontrar en [8]. Es importante adquirir destreza operativa en lo que se refiere al manejo de la regla de la cadena.

En los siguientes ejemplos supondremos que las funciones involucradas son diferenciables y que las composiciones están todas bien definidas, de manera que aplicaremos la regla de la cadena sin tener que preocuparnos por las hipótesis.

Ejemplo 14.28.

Supongamos que tenemos f :

La función α está dada por tres funciones coordenadas, es decir, α(t) = (α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)) donde α i : R → R, i = 1, 2, 3.

Por la regla de la cadena

Es usual utilizar la siguiente notación, que aunque es menos explícita y puede resultar confusa, nos ayuda a entender mejor cómo hacer los cálculos. Las variables que están en el dominio de f las vamos a denotar por (x, y, x) y las variables que están en el dominio de ψ las vamos a denotar por (s, t), es decir f depende de (x, y, z) y ψ depende de (s, t), además ψ(s, t) = (ψ 1 (s, t), ψ 2 (s, t), ψ 3 (s, t)).

Tenemos que

,

En la práctica se suele usar la siguiente notación, que aunque es menos explícita porque no nos indica donde debemos evaluar cada función, nos ayuda a aplicar la regla de la cadena.

Sea w = f , es decir w es una función de (x, y, z), lo que se suela abreviar de la siguiente manera w = w(x, y, z).

Estamos haciendo el cambio

por la regla de la cadena

A manera de ejercicio, hallar explícitamente la expresión para F (u, v), derivar directamente y verificar que se obtiene el mismo resultado. Hacer lo mismo con la variable v.

Ejemplo 14.31. En cierto instante la altura de un cono recto circular es de 30 cm y está creciendo a razón de 2 cm/seg. En el mismo instante el radio de la base es de 20 cm y está creciendo a razón de 1 cm/seg. ¿A qué velocidad está creciendo el volumen del cono en ese instante?

Si r = r(t) y h = h(t = son el radio y la altura del cono en el instante t, respectivamente, tenemos que

7. Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.

Demostración. Supongamos primero que la curva G es lisa. Sea g :

).

Supongamos ahora que G es lisa a trozos, entonces G = G 1 ∪ · · · ∪ G N donde cada una de las curvas G i es lisa y el extremo inicial de G i es el extremo final de G i−1 . Si por y i denotamos el extremo final de G i tenemos que

Recordemos que se dice que una curva G es cerrada cuando su extremo final coincide con su extremo inicial. donde G es el segmento de recta que va del punto (1, 2) al punto (3,3).

Debemos calcular

8. Diferenciación de funciones definidas en forma implícita.

Lo que sigue a continuación debe entenderse intuitivamente, pues para que sea correcto hace falta agregar ciertas hipótesis de continuidad y de diferenciabilidad pedir que ciertos valores no sean nulos para poder dividir entre ellos.

Consideremos la ecuación definida por f (x, y) = 0 donde y es una función definida implícitamente por la variable x. Si tenemos x 2 + y 2 = 1 y queremos hallar la derivada de y con respecto a x podemos usar el resultado anterior.

En efecto sin necesidad de despejar y tenemos la fórmula para la derivada de y.

Consideramos la función f dada por

Note que para esta f particular se cumple que f (x, y) = 0.

Para hallar la derivada con respecto a x, vemos a y como constante y consideramos a z como función de x. Procedemos así:

Por otro lado, para hallar la derivada con respecto a y, vemos a x como constante y consideramos a z como función de y. Obtenemos:

Los teoremas que dan un marco teórico apropiado a lo que hemos estado haciendo son los siguientes: (5) Hallar la derivada en la dirección del vector (1,4) de la función f (x, y) = x 4 + ye y en el punto (2, 1).

(6) Hallar la dirección de máximo crecimiento de la función f (x, y) = x 4 + x y 3 en el punto (2, 3).

(7) Hallar la derivada en la dirección del vector (1, 1) de la función f (x, y) = sen x+cos y en el punto (π, π).

expresar ∂w ∂s y ∂w ∂t , en términos de las derivadas parciales de f .

Después aplicar la fórmula obtenida para el caso particular f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 .

(9) El cambio a coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ transforma f (x, y) en g(r, θ), es decir g(r, θ) = f (r cos θ, r sen θ). Hallar las derivadas parciales de primero y segundo orden de g en términos de las derivadas parciales de f (suponer que f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas).

El operador Laplaciano: El Laplaciano de una función f :

análogamente, el Laplaciano de una función f : R 3 → R se define por

Al describir el movimiento del electrón delátomo de hidrógeno alrededor de su núcleo, aparece una ecuación en derivadas parciales que, salvo ciertas constantes, es la siguiente:

En esta ecuación ψ es una función de las variables (x, y, z) y ψ es la incógnita a determinar.

El primer paso para resolver esta ecuación es cambiar de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas, por eso la importancia práctica de los siguientes ejercicios. (b)

Indicación: Utilizar el ejercicio anterior.

(11) Laplaciano tri-dimensional en coordenadas esféricas. La introducción de coordenadas esféricas

x = ρ cos θ sen ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos ϕ, transforma f (x, y, z) en F (ρ, θ, ϕ). Este ejercicio indica como hay que proceder para expresar el laplaciano ∇ 2 f en función de las derivadas parciales de F (suponer que f tiene derivadas de primer y segundo orden continuas).:

(a) Introducir primero las coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ para transformar f (x, y, z) en g(r, θ, z). Utilizar el ejercicio anterior para demostrar que

(b) Luego transformar g(r, θ, z) en F (ρ, θ, ϕ) tomando z = ρ cos ϕ, r = ρ sen ϕ.

Observar que, salvo un cambio de notación, esta es la misma transformación que se utilizó en la parte (a). Deducir que

(12) Suponga que u = f (x + at, y + bt), donde a y b son constantes. Demostrar que ∂u ∂t = a ∂u ∂x + b ∂u ∂y .

(13) Una caja rectangular cambia de forma de manera tal que su largo crece a razón de 3 cm/seg, su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg. ¿A qué velocidad crece el volumen de la caja cuando el largo es de 15 cm, el ancho de 10 cm y la altura de 8 cm? ¿A qué velocidad crece elárea de la caja en ese mismo instante? (14) Si z = f (y/x), demostrar que 1. Plano tangente a una superficie dada como un conjunto de nivel.

Consideraremos el plano tangente a una superficie dada en la forma: F (x, y, z) = 0 y daremos la ecuación de este plano tangente en términos de las derivadas parciales de F .

Es decir

Y la ecuación de la recta normal en (x o , y o , z o ) es:

∇F(α(to))

Demostración. Sea α :

De la regla de la cadena sigue que

para todo t ∈ I. En particular

2. Plano tangente a una superficie dada como un gráfico.

Consideraremos el plano tangente a una superficie dada en la forma: z = f (x, y) y daremos la ecuación del plano tangente en términos de las derivadas parciales de f .

Si f : R 2 → R una función tal que existen sus derivadas parciales y son continuas, entonces el gráfico de f define una superficie en R 3 .

A partir de esta función f construimos una nueva función F de la siguiente manera,

Notemos que decir z = f (x, y) es lo mismo que decir F (x, y, z) = 0.

Tal como ya lo hemos indicado la ecuación del plano tangente a la superficie dada por F (x, y, z) = 0 es:

Ejercicios.

Plano tangente a algunas superficies.

(1) Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto que se indica.

(a) z = 3x 2 + 2y 2 − 11 en (2, 1, 3).

(2) Probar que la ecuación del plano tangente a la superficie

(3) Demostrar que las superficies dadas por (2) . Esto es

A veces se puede derivar f (2) .

Así aparecen las derivadas de orden superior.

En general se usa la siguiente notación:

Cuando evaluamos en un punto a obtenemos las constantes f (a), f (a), . . . , f (k) (a).

donde a i puede ser x o y. Vamos a ver que, bajo ciertas condiciones de regularidad, una derivada parcial de orden N es independiente del orden de derivación. Bajo estas condiciones de regularidad una derivada de orden N tiene la forma

2.1. Lectura adicional: demostración del teorema que da una condición suficiente para poder cambiar el orden de derivación.

Demostración. Sea x = (x, y) ∈ D. Como D es abierto existe r > 0 tal que

Para h < r sea

Por el teorema del valor medio existe y)).

De la misma manera, existe c 2 = c 2 ( h) ∈ (y, y + h 2 ) tal que

(b) Análogamente, invirtiendo el orden y usando que

se puede demostrar que

De lo hecho en (a) y (b) obtenemos:

Haciendo h → 0 y usando la continuidad de f xy y f yx se obtiene

Observación 16.4. El teorema anterior se extiende de manera natural a funciones de R 3 en R y a derivadas de orden superior.

Desarrollo de Taylor para funciones de una variable.

Recordemos que para funciones de una variable se cumple el siguiente resultado. Entonces existe un punto c entre a y x tal que

El polinomio

se llama el polinomio de Taylor de grado N de f en a.

Si a las hipótesis del Teorema anterior agregamos que existe M > 0 tal que β], entonces tendremos que

En particular, (16.1) se cumple si suponemos que f (N +1) es continua.

Desarrollo de Taylor para funciones de dos variables.

Para poder introducir el desarrollo de Taylor en el caso de una función de dos variables debemos recordar el coeficiente binomial:

El coeficiente binomial aparece en la fórmula algebraica conocida como el binomio de Newton:

Ejemplo 16.7. Sea f (x, y) = 1 + x 2 + y 2 . Calcularemos el desarrollo de Taylor de grado 2 alrededor de (0,0). Tenemos que De donde P 2 (x, y) = 1 + 1 2 (x 2 + y 2 ).

Cálculos aproximados y errores.

Sea f : R → R una función diferenciable. Sea g la función cuya gráfica es una recta que pasa por (x o , f (x o )) con pendiente f (x o ). Esto es

Resulta que g aproxima bien a f en un entorno de

Estas expresiones son muyútiles para hacer aproximaciones, tal como lo muestra el siguiente ejemplo. h 2 )).

Entonces ϕ es una función de clase C 2 y, por la regla de la cadena, tenemos que

Aplicando el Teorema de Taylor en el caso N = 1 a ϕ obtenemos que existe ξ ∈ (0, 1) tal

Si suponemos que f es de clase C (N +1) , obtenemos que ϕ es también de clase C (N +1

Corolario 16.10. Con las mismas hipótesis que el Teorema anterior tenemos que

Este plano es ortogonal al vector

Si

Criterio del Hessiano en dos variables.

El criterio del Hessiano en dos variables nos permite clasificar los puntos críticos en el caso n = 2.

Consideraremos la matriz

Teorema 17.8 (Criterio del hessiano). Sean D ⊂ R 2 un abierto y f : D → R una

Ejemplo 17.9.

(a) Sea

Ya vimos que el gráfico de f es un paraboloide de revolución.Tenemos que ∇f (x, y) = (2x, 2y).

Por lo tanto ∇f (x, y) = (0, 0) si y sólo si x = y = 0. Luego (0, 0) es un punto crítico.

Luego f alcanza un mínimo en (0, 0).

(b) Sea

f (x, y) = xy.

La función de Lagrange.

Cuando hay una restricción: Sea f : R 3 → R. Pensemos ahora en el caso de hallar los máximos o los mínimos de f (x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0.

Definimos la función de Lagrange como

F (x, y, z) = f (x, y, z) + λg(x, y, z).

Luego buscamos los puntos críticos de F . Entre estos puntos están los máximos y los mínimos de f sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0.

Cuando hay dos restricciones: Sea f : R 3 → R. Pensemos ahora en el caso de hallar los máximos o los mínimos de f (x, y, z) sujeta a las restricciones g 1 (x, y, z) = 0 y g 2 (x, y, z) = 0.

F (x, y, z) = f (x, y, z) + λ 1 g 1 (x, y, z) + λ 2 g 2 (x, y, z).

Luego buscamos los puntos críticos de F . Entre estos puntos están los máximos y los mínimos de f sujeta a las restricciones g 1 (x, y, z) = 0 y g 2 (x, y, z) = 0.

Ejemplo 17.13. Hallar los extremos de f (x, y, z) = x + y + z sujeta a las condiciones

Sean

La función de Lagrange es

Lectura adicional: Teorema de los multiplicadores de Lagrange.

En general vale el siguiente resultado.

Teorema 17.14 (Teorema de los multiplicadores de Lagrange con una restricción).

Sea D ⊂ R 3 un abierto y sea g : D → R una función de clase C 1 .

Sea S la superficie definida implícitamente por la ecuación g( x) = 0, es decir,

Teorema 17.15 (Teorema de los multiplicadores de Lagrange con dos restricciones).

Sea D ⊂ R 3 un abierto y sea g : D → R 2 una función de clase C 1 tal que para g = (g 1 , g 2 ) los vectores ∇g 1 ( x), ∇g 2 ( x) son linealmente independientes para todo x ∈ D.

Sea C la curva definida implícitamente por las ecuaciones g 1 ( x) = 0, g 2 ( x) = 0, es decir,

Idea de la demostración en el caso de dos restricciones. Entonces el campo escalar ψ, definido en un entorno de 0 por 3.4. Lectura adicional: Caso en el que el método de Lagrange no es aplicable.

Si ∇g 1 y ∇g 2 son linealmente dependientes el método de Lagrange puede fallar, tal como lo ilustra el ejemplo que desarrollaremos a continuación.

Supongamos que intentamos la aplicación del método de Lagrange para encontrar los valores extremos de f (x, y, z) = x 2 + y 2 en la curva de intersección de las dos superficies

Sean g 1 (x, y, z) = z,

Las dos superficies, un plano y un cilindro, se cortan a lo largo de la recta C dibujada en la figura.

x y z C Figura 17.5.

El problema tiene evidentemente una solución, debido a que f (x, y, z) representa la distancia del punto (x, y, z) al eje z y esta distancia es un mínimo sobre C cuando el punto es

Sin embargo, en este punto los vectores gradientes son

y está claro que no existen escalares λ 1 y λ 2 que satisfagan la ecuación Razone su respuestas.

(4) Determinar todos los valores extremos (absolutos y relativos) y los puntos de ensilladura para la función

(5) Hallar los valores extremos de z = xy con la condición x + y = 1.

(6) Hallar las distancias máxima y mínima desde el origen a la curva 5x 2 +6xy+5y 2 = 8. (a) Hallar los valores extremos de z = x/a + y/b con la condición x 2 + y 2 = 1.

(b) Hallar los valores extremos de z = x 2 + y 2 con la condición x/a + y/b = 1.

En cada caso interpretar geométricamente el problema.

(8) Hallar los valores extremos de z = cos 2 x + cos 2 y con la condición x − y = π/4.

(9) Hallar los valores extremos del campo escalar f (x, y, z) = x − 2y + 2z en la esfera

(10) Hallar los puntos de la superficie z 2 − xy = 1 más próximos al origen.

(11) Hallar la mínima distancia desde el punto (1, 0) a la parábola y 2 = 4x.

Parte 6

Cálculo Integral en Varias Variables. CAPÍTULO 18 Integrales dobles.

Integrales dobles de funciones sencillas, haciendoénfasis en la determinación de los límites de integración en regiones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. Aplicación a cálculo deáreas. Cálculo

1. El caso de una dimensión.

En esta sección recordaremos algunos resultados y definiciones relacionados con la integral de Riemann en una dimensión.

El enfoque usual de la integral de Riemann, es como sigue. Los puntos de una partición pueden ser numerados como x 0 , x 1 , . . . , x k , de forma tal que el conjunto quede ordenado de la siguiente manera

Al hablar de una partición siempre supondremos que está ordenada de la forma anterior.

La suma inferior de f correspondiente a P , se denotará por L(f, P ) y es

La suma superior de f correspondiente a P , se denotará por U (f, P ) y es

Es importante notar que la hipótesis f acotada es esencial para poder garantizar que tanto M i como m i están definidos. También es necesario definirlos como supremo eínfimo y no como máximos y mínimos, ya que f no se supone continua.

El siguiente dibujo nos ilustra la suma superior para la función f (x) = sen x en el intervalo [0,10], con la partición {0, 1, 2, . . . , 10}.

El resultado anterior se suele expresar de la siguiente manera:

Las sumas que aparecen en la fórmula anterior se conocen con el nombre de sumas de

El par (P 1 , P 2 ) lo usaremos para denotar a P .

La suma inferior de f correspondiente a P , se denotará por L(f, P ) y es

La suma superior de f correspondiente a P , se denotará por U (f, P ) y es

2.1. Interpretación geométrica de la integral doble.

Sea f una función continua y no negativa definida en el rectángulo Q.

Cada sumando de la forma

que aparece en la suma superior U (f, P ) es el volumen de un paralelepípedo con base el

Cálculo de la integral doble mediante integración iterada.

Sea f : Q → R continua y no negativa.

El volumen del sólido

A manera de ejercicio, calcular la integral iterada en el otro orden y verificar que se obtiene el mismo resultado.

Propiedades de las integrales dobles en rectángulos.

Sea Q un rectángulo contenido en R 2 entonces la integral sobre Q tiene las siguientes propiedades (1) Linealidad: Si f y g son dos funciones integrables sobre Q, si c 1 , c 2 son números reales, entonces c 1 f + c 2 g es integrable sobre Q y

(2) Si f es una función integrable sobre Q y se tiene que Q = Q 1 ∪ Q 2 , donde Q 1 y Q 2 son rectángulos de lados paralelos a los ejes de coordenados, tales que Q 1 ∩ Q 2 es un segmento de recta, entonces f es integrable sobre cada Q i , i = 1, 2 y

(3) Monotonía: Si f y g son funciones integrables sobre Q y g(x, y) ≤ f (x, y) para todo

En particular, si f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ Q, entonces Q f (x, y) dxdy ≥ 0.

Integrales dobles sobre conjuntos más generales.

En esta sección extenderemos el concepto de integral doble a conjuntos más generales que rectángulos y veremos cómo calcularlas.

Supongamos que tenemos una región acotada R ⊂ R 2 y una función f : R → R 2 .

A continuación veremos cómo calcular esta integral, dependiendo del tipo de región.

Definición 18.12. Una región del tipo I es una región de la forma f (x, y) dx dy.

Ejemplo 18.14. Sea R la región representada en la siguiente figura. Veamos cómo escribir R f (x, y) dxdy como una integral iterada. f (x, y) dy.

De igual manera se usa la notación análoga en el otro orden. Así que las expresiones R es la unión de cuatro regiones tipo I, que son f (x, y) dy dx

f (x, y) dy dx + Identificar la región de integración, representarla gráficamente e intercambiar el orden de integración.

Tenemos que la región de integración está dada por 1 ≤ y ≤ e 0 ≤ x ≤ ln y y gráficamente corresponde con la región sombreada en la siguiente figura. Para cambiar el orden de integración, notemos que la curva x = ln y es la misma curva que y = e x , por lo tanto la región también la podemos expresar de la siguiente manera

Al cambiar el orden de integración obtenemos Ejemplo 18.18. Sea R la región acotada del plano limitada por el gráfico de la función y = |x| y la recta 3y = x + 4. Representar gráficamente R y expresar R f (x, y) dxdy en términos de integrales iteradas en ambosórdenes.

Para representar gráficamente la región trazamos el gráfico de la función y = |x| y de la recta 3y = x+4. Los puntos de corte de las curvas son (−1, 1) y (2, 2). La región corresponde con elárea sombreada en la siguiente figura. 3.1. Lectura adicional: justificación de la definición de integral doble sobre regiones de tipo I y regiones de tipo II.

Sea R 1 la región de tipo I dada por

Luego R 1

f (x, y) dxdy = f (x, y) dy. f (x, y) dy dx.

Por el Teorema de Fubini

Para regiones de tipo II se hace un razonamiento análogo.

Cálculo deáreas y volúmenes usando integrales dobles.

Sea R una región contenida en R 2 que es unión finita de regiones de tipo I y de tipo II. El elipsoide es la región comprendida entre los gráficos de las funciones

para (x, y) ∈ S, donde S = (x, y) ∈ R 2 : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . Por lo tanto, denotando por V al volumen del sólido, tenemos que V = S (f 1 (x, y) − f 2 (x, y)) dxdy.

Tomado en cuenta las simetrías del sólido tenemos que

Dejamos al lector verificar que la integral anterior es igual a 4 3 πabc,

(ver Ejercicio 9 ).

Luego V = 4 3 πabc.

Cambio de coordenadas cartesianas a polares.

Recordemos que el punto (x, y) ∈ R 2 tiene coordenadas polares (r, θ) si x = r cos θ, y = r sen θ.

En este caso, r = x 2 + y 2 tan θ = y/x.

Es usual suponer r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π. Más generalmente, se restringe θ a un intervalo semiabierto de longitud 2π. f (x, y) dxdy = B f (r cos θ, r sen θ)r drdθ.

Observación 18.22. El factor r que aparece en la integral de la derecha es det T P (r, θ).

En efecto, la matriz jacobiana para el cambio a coordenadas polares es:

T P (r, θ) = cos θ −r sen θ sen θ r cos θ .

Luego det T P (r, θ) = r. A continuación damos el resultado general para el cambio de variables en integrales dobles. Es bueno saber que J(u, v) también se designa con ∂(x, y) ∂(u, v) .

6. Lectura adicional: Justificación de la fórmula del cambio de variables para coordenadas polares.

A continuación vamos a justificar, de manera intuitiva y usando argumentos geométricos sencillos, la fórmula para el cambio de variables a coordenadas polares.

Tal como antes sea T P (r, θ) = (r cos θ, r sen θ). donde 0 ≤ α 1 ≤ α 2 < 2π y 0 ≤ q 1 < q 2 , entonces Area (T P (B 1 )) = (α 2 − α 1 )(q 2 − q 1 )(q 2 + q 1 ) 2 .

CAPÍTULO 19

Integrales triples.

Integrales triples de funciones sencillas, haciendoénfasis en la determinación de los límites de integración en regiones no triviales. Cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas y esféricas. Aplicación a cálculo de volúmenes.

Definiciones y resultados básicos.

La integral triple se define de manera análoga a la doble. Las definiciones y los resultados son completamente análogos, cambiando de manera adecuada y donde corresponda, rectángulo por paralelepípedo.

De manera análoga al caso bi-dimensional, podemos calcular integrales triples sobre regiones generales.

Por ejemplo, si R = {(x, y, z) ∈ R 3 : a ≤ x ≤ b, ϕ 1 (x) ≤ y ≤ ϕ 2 (x), α 1 (x, y) ≤ z ≤ α 2 (x, y)} donde ϕ 1 y ϕ 2 son funciones continuas en [a, b] siendo ϕ 1 ≤ ϕ 2 , α 1 y α 2 son funciones continuas con α 1 ≤ α 2 .

Si f es integrable en R entonces f (x, y, z) dx.

Una región arbitraria debe descomponerse en la unión de regiones análogas a las anteriores para poder así colocar los límites de integración.

Por lo tanto Recordemos que el punto (x, y, z) ∈ R 3 tiene coordenadas cilíndricas (r, θ, z) si x = r cos θ, y = r sen θ, es decir, representamos la primera y la segunda coordenada en términos de coordenadas polares y no alteramos la tercera.

En general se toma r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π , z ∈ R.

Además r 2 = x 2 + y 2 , tan θ = y x , z = z.

Teorema 19.3 (Cambio de variables a Coordenadas Cilíndricas).

Sean B ⊂ {(r, θ, z) ∈ R 3 : r ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π} acotado, T C (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) y f : T C (B) → R continua y acotada. Entonces

f (x, y, z) dxdydz = B f (r cos θ, r sen θ, z)r drdθdz.

Sea T E (ρ, θ, ϕ) = (ρ sen ϕ cos θ, ρ sen ϕ sen θ, ρ cos ϕ).

El jacobiano para el cambio a coordenadas esféricas es:

Las matrices 2 × 3 y 3 × 2 son: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22