EL MÉTODO Los casos relacionados con cuerpos rígidos y fuerzas en equilibr io han sido el ant ecedent e para conocer ahora acerca de lasa r m a du r a s, que no son ot ra cosa que e st r u ct u r as for m a da s por e lem e n t os r ígidos unidos ent re sí. En est os casos se det erm inarán las fu e r za s e x t e r n a s que act úan sobre la est ruct ura y se analizarán las fu e r za s int e r n as que m ant ienen unidas sus part es. En el cont enido de ést e t em a podrás encont rar im ágenes ilust rat ivas, videos, ej em plos y aplicaciones del análisis est ruct ural. Est á diseñado con recursos de varios aut ores, com pilado y resum ido de m anera que puedas realizar el análisis de est ruct uras por el m ét odo de los nodos siem pre com prendiendo el obj et ivo final del cálculo de las fuerzas, com encem os con las definiciones de los elem ent os que se ut ilizarán: Ar m a du r a : Es ingenier ía. un Proporciona t ipo de est ruct ura de m ayor im port ancia en soluciones t ant o pr á ct ica s com oe con óm ica s a m uchos problem as, principalm ent e en el diseño de pu e n t es y e dificios. Las arm aduras que a cont inuación vam os a analizar se t rat an de est ruct uras planas en dos dim ensiones, pero que, varios planos unidos ent re sí pueden form ar elem ent os t r idim ensionales. Una ar m adura const a de: M ie m br os: Son los elem ent os rect os conect ados ent re sí por m edio de n odos o nudos. Por lo general, los m iem bros de una arm adura son delgados y pueden soport ar poca carga lat eral, por lo t ant o, las cargas deben aplicarse sobre los nudos y no direct am ent e sobre los m ie m br os. De est a t eoría suponem os que t odos los m iem bros sólo son som et idos a cargas de com presión o t ensión a lo largo de su ej e, y de eso se t rat a el análisis, de e n con t r ar la s m a gn it u des de la t e nsión o com pr e sión de ca da m ie m br o. N odos: Son las conexiones ent re cada m iem bro. Las fuerzas que act úan sobre ellos se reducen a un solo punt o, porque son las m ism as fuerzas t ransm it idas desde los ej es de los m iem br os. A t ravés de los nodos nunca se puede at ravesar un m iem br o. Las conexiones en los nudos est án form adas usualm ent e por pe r n os o solda dur a en los ext rem os de los m iem bros unidos a una placa com ún llam ada pla ca de u n ión . Apoyos: Toda est ruct ura necesariam ent e debe est ar apoyada en uno o m ás punt os, los cuales se llam an punt os de a poyo, y com o t ransm it en su carga a t ravés de esos punt os, en el diagram a de fuerzas debem os considerar los vect ores que indiquen lasr e a ccione s en esos apoyos. Cada diferent e t ipo de apoyo generará a su vez un t ipo de Re a cción: Son las fuerzas generadas en los apoyos, son opuest as en dirección de las fuerzas de la est ruct ura que act úan en ese punt o, exist en t res t ipos de reacciones: Reacciones equivalent es a una fuerza con línea de acción conocida. Generadas por apoyos t ipo: pa t ine s o r oda m ie nt os, balancines, superficies sin fricción, eslabones y cables cort os, collarines sobre barras sin fricción y pernos en ranuras lisas. En las reacciones de ést e t ipo hay una sola incógnit a Reacciones equivalent es a una fuerza de dirección desconocida. Generadas por pe r nos lisos en orificios aj ust ados, art iculaciones y superficies rugosas. En las reacciones de est e grupo int ervienen dos incógnit as. Reacciones equivalent es a una fuerza y a un par. Producidas por sopor t e s fij os que im piden cualquier m ovim ient o del cuerpo inm ovilizándolo por com plet o y obligándolo a reaccionar con t res fuerzas incógnit as ( dos com ponent es de t raslación y un m om ent o) . Equ ilibr io: Cuando las fuerzas y el par son am bos iguales a ce r o form an un sist em a equivalent e nulo se dice que el cuerpo rígido est á en equilibr io. Por consiguient e, las condiciones necesarias y suficient es para el equilibr io de un cuerpo rígido pueden obt enerse haciendo R y M RO iguales a cero. Descom poniendo cada fuerza y cada m om ent o en sus com ponent es rect angulares, podem os expresar las condiciones necesarias y suficient es para el equilibrio de un cuerpo rígido por m edio de las seis ecuaciones escalares siguient es: Las ecuaciones obt enidas pueden usarse para det erm inar las fuerzas desconocidas aplicadas a cuerpos rígidos o las reacciones desconocidas que ej ercen sobre ést e sus apoyos. Not am os que las prim eras t res ecuaciones expresan el hecho de que las fuerzas en X, Y y Z est án equilibradas; las ot ras t res ecuaciones indican que los m om ent os con respect o a los t res ej es X, Y y Z t am bién est án equilibrados, o sea, ni se va a m ove r ha cia ninguna pa r t e y t a m poco va a gir a r e n ningún se nt ido , el cuerpo est á en equilibrio. Cada caso present a diferencias, pero la t ar ea principal es de spe j a r de las seis ecuaciones ant eriores la m a yor ca n t ida d de va r ia ble s posibles, a part ir del diagram a de fuerzas. Por lo t ant o el diagram a de fuerzas es la clave para el plant eam ient o correct o de las ecuaciones y el cálculo exact o de cada fuerza en cada nudo. Veam os los siguient es ej em plos: PROBLEM A 1 . Usando el m ét odo de los nudos, det erm ine la fuerza en cada m iem bro de la arm adura que se m uest ra: El pr im er paso será represent ar el dia gr a m a de fu e r zas de la arm adura com plet a, dibuj ando t odos los ve ct or es que afect an a la ar m adura y sin olvidar las r e a ccion e s en los apoyos. Es im port ant e t am bién colocar las m edidas conocidas de cada m iem bro y las m agnit udes de los vect ores de cada fuerza. Com o la condición para que exist an las ar m aduras es su e st a bilida d, recordam os que t enem os que aplicar las ecuaciones de la sum a de t odas las fuerzas y t odos los m om ent os e igualar los a ce r o. Sería convenient e com enzar por un nodo donde sólo exist au n a in cógn it a ; la ecuación del m om ent o en el nodo C nos podría dar el valor del vect or que genera la reacción en el apoyo E. Porque aut om át icam ent e se elim inan las fuerzas Cx y Cy, puest o que no provocan ningún giro en C Enseguida podem os darnos cuent a de que la sum at oria de fuerzas en X im plica u n solo vect or, por lo que su ecuación t endrá u n a sola in cógn it a . Y será fácil su deducción: Una vez que conocem os la m agnit ud en la reacción del nodo E, nos dam os cuent a de que la ecuación que incluye a las fuerzas en el sent ido vert ical ( Y) sólo t endrá u n a incógnit a, por lo que procedem os a resolverla para encont rar el vect or generado por la reacción vert ical en el nodo C. Y ent onces, ahora sí procedem os a calcular las fu erzas en cada nodo. Com encem os con el nodo A. En pr im er lugar vam os a dibuj ar el dia gr a m a de fu e r za s que conocem os que int ervienen en est e nodo, dej ando con líneas punt eadas los vect ores de los m iem bros que t odavía no conocem os. Enseguida hacem os un polígon o de fu e r za s en e qu ilibr io, es decir, un polígono con los vect ores involucrados en el nodo, acom odados de pu nt a a cola , de t al m anera que se cierre el polígono. Sólo exist e una com binación para equilibrar t r iángulos. Con las m e dida s de los m iem bros podem os deducir el ángulo de inclinación de ést os y por lo t ant o es el m ism o ángulo de inclinación de los vect ores. La función t a n ge n t e nos servirá para encont rar el ángulo de inclinación. Y com o conocem os el valor del vect or que est á aplicado v ert icalm ent e en A, y t enem os el ángulo, podem os fácilm ent e conocer la m agnit ud de cualquiera de los ot ros dos vect ores, ut ilizando las funciones seno, coseno y/ o t angent e. Ahora, m ediant e la obse r va ción únicam ent e, deducirem os el sent ido de los vect ores recién encont rados. El vect or F AB se dirige hacia la derecha, si lo t rasladáram os al diagram a de fuerzas ( en la línea punt eada) podem os darnos cuent a de que “ t ir a ” del nodoA, por lo t ant o deducim os que el m iem bro est á en t e nsión . Así m ism o si t rasladam os el vect or del polígono en equilibr io al diagram a de fuerzas, podem os ver que el vect or F AD “ presiona” al nodo, por lo que deducim os que est á en com pr e sión . Ahora cont inuarem os con el nodo D : En pr im er lugar vam os a dibuj ar el dia gr a m a de fu e r za s que conocem os que int ervienen en est e nodo, dej ando con líneas punt eadas los vect ores de los m iem bros que t odavía no conocem os, pero la vent aj a es que ahora sí conocem os una de las fuerzas de los m iem bros, la que fue calculada en el nodo A: F AD = 2,500 lb en com presión. Quedan dos fuerzas sin det erm inar, por lo que las dej am os com o líneas punt eadas. Enseguida dibuj am os el polígon o de fue r za s en equilibr io para el nodo D , donde inciden t r e s vect ores, uno de ellos conocido, recordem os que la condición de equilibr io se cum ple si los vect ores se acom odan de pu nt a a cola . Con las m edidas de los m iem bros podem os obt ener los ángulos int ernos del t riángulo, y con la ley de los senos, podrem os encont rar las m agnit udes de los vect ores que falt an. Ahora, m ediant e la obse r va ción únicam ent e, deducirem os el sent ido de los vect ores recién encont rados. El vect or F D B se dir ige hacia arr iba a la derecha, si lo t rasladáram os al diagram a de fuerzas ( en la línea punt eada) podem os darnos cuent a de que “ t ira” del nodo A, por lo t ant o deducim os que el m iem bro est á en t e n sión . Así m ism o si t rasladam os el vect or del polígono en equilibr io al diagram a de fuerzas, podem os ver que el vect or F ED “ presiona” al nodo, por lo que deducim os que est á en com pr e sión . Ahora cont inuarem os con el nodo B: En pr im er lugar vam os a dibuj ar el dia gr a m a de fu e r za s que conocem os que int ervienen en est e nodo, dej ando con líneas punt eadas los vect ores de los m iem bros que t odavía no conocem os, pero la vent aj a es que ahora ya conocem os t r e s de las fuerzas involucradas, las que fueron calculadas en el nodo A y en el nodo D . Quedan dos fuerzas sin det erm inar, por lo que las dej am os com o líneas punt eadas. Es im port ant e dibuj ar el vect or de la carga vert ical del nodo hacia abaj o, para evit ar confusiones. Enseguida dibuj am os los ve ct or e s fa lt an t e s, suponiendo arbit r ariam ent e que los m iem bros est án en t ensión, est o es, que est án “ t irando” del nodo B. Las fuerzas que no son horizont ales o vert icales ( es decir, t oda s la s in clin a da s) deberán descom ponerse en sus dos com ponent es X y Y, ut ilizando las funciones seno, coseno y t angent e. Prim ero que nada, se deducirán los ángulos de los vect ores inclinados. Ahora se dibuj an dos vect ores rect angulares en vez de cada u no de los vect ores inclinados, de esa m anera t endrem os en el diagram a de fuerzas sola m e nt e fue r za s ve r t ica le s y hor izont a le s, por lo que ya podem os aplicar las ecuaciones del equilibrio. Com enzam os con la sum at oria de fuerzas en Y, de donde podem os deducir la m agnit ud del vect or FBE I nm ediat am ent e nos dam os cuent a de que el m iem bro est á en com presión, porque fue arbit rar iam ent e dibu j a do en t e nsión , y e l r e su lt a do fu e n e ga t ivo, por lo t ant o el m iem bro est á en com pr e sión . Ahora cont inuam os con la ecuación donde sum am os t odas las fuerzas en X, de ahí deducirem os la m agnit ud del vect or F BC. Tam bién podem os observar que est e m iem bro sí est á en t en sión , pues el result ado obt enido es de signo posit ivo. Vam os bien. Ahora vam os a calcular los vect ores del nodo E. Dibuj em os el diagram a de fuerzas de los vect ores que inciden en C, de los cuales conocem os 3, sólo exist e una incógnit a, la cual es F EC, la cual t am bién será incluida en el diagram a de fuerzas, la supondrem os arbit rar iam ent e a t ensión, el result ado nos com probará si fue buena la suposición. Com o los vect ores F BE y F D E y la reacción E “ presionan” al nodo E, podem os pasarlos del ot ro lado del nodo, lo cual nos facilit ará la com prensión del diagram a de fuerzas y no lo afect a para nada. Dibuj am os el vect or desconocido F EC, suponiendo arbit rar iam ent e que est á en t ensión. Calculam os los ángulos con las m edidas de los m iem bros y la función t angent e. Con la aplicación de la ecuación de la sum at oria de las fuerzas en X, podem os deducir la m agnit ud de F EC. La cual result a negat iva, lo que quier e decir que la fuerza realm ent e est á en com presión, al cont rar io de cóm o fue supuest a ant es de hacer el cálculo. Aplicando la ecuación de la sum at or ia de las fuerzas en Y nos perm it e ver ificar los result ados de la ecuación ( que debe result ar cero) . Ya por últ im o rest a el nodo C; con los valores obt enidos en los ot ros nodos para los vect ores FBC y FEC, y los valor es de las reacciones obt enidas al principio del problem a podem os dibuj ar el diagram a de fuerzas en el nodo C. No olvidem os anot ar las m edidas conocidas de los m iem bros. Recordem os que los vect ores que inciden en com presión al nodo, deben pasarse del ot ro lado del nodo, en la m ism a línea de acción, para evit ar confusiones. Enseguida se proceden a calcular los ángulos de inclinación de los m iem bros inclinados ( no hor izont ales ni vert icales) . Se sust it uyen los vect ores inclinados por dos com ponent es rect angulares ( en X y Y) . Ahora se procede a aplicar la ecuación de las fuerzas en X, com o conocem os t odos los valores, sim plem ent e nos sir ve de com probación. Lo m ism o hacem os con la ecuación de las fuerzas en Y. Tam bién para com probar.