Abraham Robinson

“O infinito! Nenhuma outra questão tem tocado tão profundamente o espírito do homem; nenhuma outra idéia tem estimulado de forma tão frutífera seu intelecto; no entanto, nenhum outro conceito permanece com tanta necessidade de esclarecimento que o de infinito” (Hilbert 1926, 163)

As noções de infinito muitas vezes nos levam a colher frutos do paradoxo. Sobre isto, este trabalho pretende mostrar as várias características, assumidas e construídas pelos pensadores da filosofia e da matemática, ao longo da história, a respeito dos infinitésimos e infinitos.
Não há como separar absolutamente as noções de infinitamente grande e infinitamente pequeno, chamadas, respectivamente, de Infinito e Infinitésimo. Os dois conceitos estão atrelados por dois outros: o infinito não-pensável – definido pela impossibilidade de se pensar infinitos elementos - e o conceito de medida ou tamanho. Por esse caminho confuso e, ao mesmo tempo, iluminador, veremos que, mesmo depois da aritmetização da Análise Matemática e do Cálculo Diferencial e Integral no século XIX, que adotou majoritariamente a Teoria dos Limites deixando de lado a interpretação infinitesimal do cálculo, Abraham Robinson introduz pela Teoria dos Modelos os números infinitesimais e infinitos na Análise, seguindo, segundo suas próprias palavras, os passos deixados por Leibniz e surgindo, então, uma nova área de pesquisa em matemática pela Teoria dos Infinitesimais e outras abstrações como os números Hiperreais e os Surreais, por exemplo.
Resta, no entanto, se perguntar aonde essas abstrações formais irão nos levar enquanto não se entende plenamente seus significados, ou melhor, até que nível poderemos interpretar uma construção abstrata na obtenção de outra. Por exemplo, a questão ainda reminiscente disso sobre o problema lógico-simbólico na definição formal dos infinitos: por mais que a intuição nos pareça evoluir para a elaboração de uma formalização de uma dada quantidade infinitamente grande ou pequena – por exemplo, pelos axiomas de Peano, números Hiperreais ou números Surreais -, ainda estamos limitados pela quantidade finita de símbolos e ideias empregados e submetidos a uma interpretação mental, da onde vem a dificuldade de se entender seus significados. Nesse ponto, voltamos ao infinito não-pensável mencionado acima e ficamos tentados a questionar o título deste trabalho: não só um problema matemático, mas também, cognitivo, epistemológico e filosófico.
Uma explicação bem definida desse nosso ranço lógico do discreto e do finito, até mesmo numa construção formal incluindo infinitos e infinitésimos, se estendendo, consequentemente, por exemplo, aos conceitos da física, ainda é pendente.