Resumo: O objetivo principal desse livro é abordar as equações diferenciais parciais de primeira ordem, suprindo uma falha comum dos cursos de graduação e dos diversos livros de equações diferenciais parciais, que geralmente só tratam dos...
moreResumo: O objetivo principal desse livro é abordar as equações diferenciais parciais de primeira ordem, suprindo uma falha comum dos cursos de graduação e dos diversos livros de equações diferenciais parciais, que geralmente só tratam dos métodos de solução das de segunda ordem. As EDPs de primeira ordem aparecem em modelos de diversos ramos da matemática pura e aplicada. Como na construção de superfícies características das EDPs hiperbólicas, no cálculo variacional, na geometria diferencial e em outros problemas geométricos. Assim como nos modelos simples da dinâmica de gases, nos modelos de transporte, ou da difusão dos fenômenos convectivos-difusivos, como a transferência de calor em um fluído pelos processos de convecção e condução, na equação de Burger, ou nas equações de continuidade de massa ou de carga. Ainda podemos constatar que existem determinados tipos de EDPs de segunda ordem que podem ser reduzidas as de primeira ordem, como é o caso da EDP p-Laplaciana. As aplicações em biologia, meteorologia, e em outras áreas com frequência recaem em sistemas de EDPs de primeira ordem não lineares, como em sistemas dinâmicos e em processos estocásticos. Serão abordadas as origens, os tipos de solução de EDPs em geral, seguindo com a apresentação dos métodos clássicos de solução das EDPs de primeira ordem, ressaltando o método de Charpit. Na sequência é apresentado um novo método de obtenção de soluções gerais para determinados tipos de EDPs de primeira ordem, lineares ou não. Esses geram uma série de aplicações, como por exemplo, a solução geral da equação de Hamilton-Jacobi unidimensional, solução generalizada da equação p-Laplace, e aplicações da solução envoltória e da consequência de sua existência no desenvolvimento dos fundamentos da mecânica analítica Hamiltoniana.
The main goal of this book is to deal with partial differential equations of first order, improving a common failure of undergraduate courses and numerous books of partial differential equations, which usually only handle with methods of solving second order one. The first order PDEs appear in models of various branches of pure and applied mathematics. As in the construction of characteristic surfaces of hyperbolic PDEs in variational calculus, in differential geometry and other geometric problems. Just like in simple models of gas dynamics, in models of transmission, or dissemination of convective-diffusive phenomena, such as heat transfer in a fluid by convection and conduction processes, in Burger's equation, or the mass or charge equations of continuity. It can still be observed that there are certain types of PDEs second order which can be reduced to the first order, such as the p-Laplacian PDEs. Applications in biology, meteorology, and other areas often fall into the non-linear PDEs systems of first order, as in dynamical systems and stochastic processes. First the definition, the genesis, and the types of solution of PDEs are presented, following by the study of classical methods used to solve first order PDEs, highlighting the Charpit method. Further is presented a new method of obtaining general solutions to certain types of first order partial differential equations, linear or not. These generate a big number of applications, for example, the general solution of the one-dimensional Hamilton-Jacobi equation, the generalized solution of p-Laplace equation. A very important application is the result of the existence of the envelope solutions in the development for the foundations of analytical Hamiltonian mechanics.
