Theory of Errors

В книге рассмотрены основы современной теории погрешностей округления, полноценно представлен механизм расчета как погрешностей, так и точностей и других числовых характеристик при различных видах вычислений чисел. Впервые построено распределение погрешностей и точностей чисел, на основе которого образованы числовые уровни, являющиеся основой всей теории погрешностей. Впервые выведены законы равновесия погрешностей и точностей для различных видов вычислений чисел, а также закон сложения погрешностей. Впервые разработан универсальный способ оставления знаков у чисел, который немного меняет представление о действующих правилах вычисления чисел. Подробно разработано проектирование числовых характеристик различными методами с вероятностью 100 % и 50 %, которое представлено соответствующими программами.

Введены понятия и рассмотрены три метода округления чисел: L-округление, C-округление и R-округление,
Впервые построено распределение погрешностей и точностей чисел на всей числовой прямой, на основе которого сформированы так называемые числовые уровни, являющиеся основой не только теории погрешностей округления, но и основой для всех остальных погрешностей и точностей, имеющих место в десятичной системе счисления,
Значения чисел являются основной стороной, а их погрешность и точность - оборотной стороной медали, на основе распределения которых доказано, что числа распределены на всей числовой прямой в строгом порядке и по определенным законам, а не хаотично.

Trilateration networks in 2D and 3D space, ranging from a local to a global scale, are continuously designed and established with a wide variety of objectives such as: cartographic, geodynamics, civil engineering, cadastral among others, using Geotechnologies through – for example - receivers which operate with the Global Positioning System (GPS) among others Global Navigation Satellite Systems (GNSS).
To evaluate the quality of the trilateration network is fundamental to characterize properly the Geodetic Reference Frame (GRF) given in the adjustment solution by the adjusted network point coordinates.
The geodetic datum definition is the set of all conventions, algorithms and constants necessaries to define and realize the origin, orientation, scale and their time evolution of a Geodetic Reference System (GRS), in such a way that these attributes be accessible to the users through occupation, direct or indirect observation.
In this work, we deal with the adjustment of a two-dimensional trilateration network constituted by physical points, where distances between these points have been observed. 
For the network adjustment, it is used a coordinate based formulation in a no stochastic linear model through a underdetermined consistent system of indirect linear observational equations.
The network point positions are defined in a Geodetic Reference System of Cartesian Coordinate (x,y) :GRS(x,y).
The GRS(x,y) is characterized by : a) right-handed convention is adopted for the axis; b) the origin is a point not specified of the Earth ; c) the ox (+) and oy(+) axis do not have specified orientations; d) the scale or length defined of the unit vectors along ox and oy is the meter (SI), and it is realized by the observed distances of the trilateration network.
The lack of definition in the origin and orientation of the GRS(x,y) cause a datum defect and a rank-deficiency  in the design matrix. 
A solution to the adjustment of the trilateration network called Minimum Norm Solution with respect to the R –seminorm (R-MINOS) of the underdetermined consistent system of indirect linear observational equations is obtained based in optimum criterions.
In this work, the Geodetic Reference Frame (GRF) of the solution R-MINOS in the adjustment of a trilateration network is characterized when R is the identity and a positive semidefinite matrix respectively.
As a numerical example, the GRF of the solution R-MINOS is characterized in the adjustment of a two-dimensional trilateration network with six points.

Впервые дано понятие и в полном объеме разработано так называемое проектирование числовых характеристик с вероятностью 100 % и 50 %,
Разработано проектирование числовых характеристик как при умножении, делении, сложении, вычитании, так и при смешанном вычислении чисел,
Проектирование позволяет осуществлять контроль числовых характеристик на разных стадиях вычислений чисел,
На основе проектирования можно произвести оценку погрешности и точности окончательного результата до выполнения каких-либо расчетов - таким образом, можно заранее знать, какую точность использовать при вычислении чисел, чтобы получить заданную точность окончательного результата.