Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применения в информатике. Лекция 01

Äåñÿòàÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà
Ðåøåíèå è ïðèëîæåíèÿ â èíôîðìàòèêå

Þ. Â. Ìàòèÿñåâè÷

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîå îòäåëåíèå

Ìàòåìàòè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Â. À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ

…‚vX http://logic.pdmi.ras.ru/ ˜ yumat

Äàâèä Ãèëüáåðò, Ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû , [1900]


IHF ints™heidung der v¤s˜—rkeit einer dioph—ntis™hen
o
qlei™hungF iine dioph—ntis™he qlei™hung mit irgendwel™hen
…n˜ek—nnten und mit g—nzen r—tion—len —hlkoe0™ienten sei
vorgelegtX m—n soll ein †erf—hren —nge˜enD n—™h wel™hen si™h
mittels einer endli™hen enz—hl von yper—tionen ents™heiden l¤sstD
—
o˜ die qlei™hung in g—nzen r—tion—len —hlen l¤s˜—r istF
o


IHF ints™heidung der v¤s˜—rkeit einer dioph—ntis™hen
o
qlei™hungF iine dioph—ntis™he qlei™hung mit irgendwel™hen
…n˜ek—nnten und mit g—nzen r—tion—len —hlkoe0™ienten sei
vorgelegtX m—n soll ein †erf—hren —nge˜enD n—™h wel™hen si™h
mittels einer endli™hen enz—hl von yper—tionen ents™heiden l¤sstD
—
o˜ die qlei™hung in g—nzen r—tion—len —hlen l¤s˜—r istF
o

IHF Ðåøåíèå ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
äèîôàíòîâà óðàâíåíèÿF Ïóñòü äàíî ïðîèçâîëüíîå
äèîôàíòîâî óðàâíåíèå ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ è
öåëûìè ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìèY òðåáóåòñÿ óêàçàòü
îáùèé ìåòîäD ñëåäóÿ êîòîðîìó ìîæíî áûëî áû â êîíå÷íîå
÷èñëî øàãîâ óçíàòüD èìååò ëè äàííîå óðàâíåíèå ðåøåíèå â
öåëûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ èëè íåòF

Äèîôàíòîâû óðàâíåíèÿ

ÎïðåäåëåíèåF Äèîôàíòîâî óðàâíåíèå èìååò âèä

w (x1 , . . . , xm ) = H,

ãäå w ! ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìèF



w (x1 , . . . , xm ) = H,


Ãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê Äèîôàíò æèëD ñêîðåå âñåãîD â QEåì âåêå
íàøåé ýðûF

Ïîëèíîìèàëüíûå óðàâíåíèÿ ó äðåâíèõ ãðåêîâ

x2 = P


x2 = P

I

I


x2 = P

x I

I



Öåëûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ÷òî ýòî òàêîåc



Öåëûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ! ýòî ÷èñëà HD ±ID ±PD ±QD F F F



w (x1 , . . . , xm ) = H,


Äèîôàíò èñêàë ðåøåíèÿ â @ïîëîæèòåëüíûõA ðàöèîíàëüíûõ
÷èñëàõ



w (x1 , . . . , xm ) = H,


÷èñëàõ

Ãèëüáåðò ñïðàøèâàë ïðî ðåøåíèå äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â
öåëûõ ÷èñëàõ



w (x1 , . . . , xm ) = H,


÷èñëàõ

Ãèëüáåðò ñïðàøèâàë ïðî ðåøåíèå äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â

Ìîæíî òàêæå îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ðåøåíèÿìè â
ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñëàõ èëè òîëüêî â íåîòðèöàòåëüíûõ

Îò Äèîôàíòà äî Ãèëüáåðòà

Äèîôàíò æèë ! êîãäàc


Äèîôàíò æèëD ñêîðåå âñåãîD â QEåì âåêå íàøåé ýðûF



Ãèëüáåðò ñôîðìóëèðîâàë ïðîáëåìû ! êîãäàc



Ãèëüáåðò ñôîðìóëèðîâàë ïðîáëåìû â IWHH ãîäó

Ìàññîâûå ïðîáëåìû

Â ñîâðåìåííîé òåðìèíîëîãèè IHEÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà
ÿâëÿåòñÿ ìàññîâîé ïðîáëåìîéD òî åñòü ïðîáëåìîéD ñîñòîÿùåé
èç ñ÷åòíîãî ÷èñëà âîïðîñîâD íà êàæäûé èç êîòîðûõ òðåáóåòñÿ
äàòü îòâåò ÄÀ èëè ÍÅÒF Ñóòü ìàññîâîé ïðîáëåìû ñîñòîèò â
òðåáîâàíèè íàéòè åäèíûé óíèâåðñàëüíûé ìåòîäD êîòîðûé
ïîçâîëÿë áû îòâåòèòü íà ëþáîé èç ýòèõ âîïðîñîâF



Ñðåäè äâàäöàòè òð¼õ Ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðîáëåì Ãèëüáåðòà
IHEÿ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ìàññîâîé ïðîáëåìîé



Ñðåäè äâàäöàòè òð¼õ Ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðîáëåì Ãèëüáåðòà
IHEÿ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé ìàññîâîé ïðîáëåìîé è îíà ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïðîáëåìà èíôîðìàòèêèF

Îòâåò

Ñåãîäíÿ ìû çíàåìD ÷òî IHEÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà ðåøåíèÿ íå
èìååòF Ýòî îçíà÷àåòD ÷òî îíà íåðàçðåøèìà êàê ìàññîâàÿ
ïðîáëåìàX

Îòâåò

ïðîáëåìàX

Òåîðåìà @Íåðàçðåøèìîñòü IHEé ïðîáëåìû ÃèëüáåðòàA Íå
ñóùåñòâóåò àëãîðèòìàD êîòîðûé ïî óçíàâàë áû ïî
ïðîèçâîëüíîìó äèîôàíòîâó óðàâíåíèþD èìååò ëè îíî ðåøåíèÿF

Îòâåò

ïðîáëåìàX

Òåîðåìà @Íåðàçðåøèìîñòü IHEé ïðîáëåìû ÃèëüáåðòàA Íå
ñóùåñòâóåò àëãîðèòìàD êîòîðûé ïî óçíàâàë áû ïî
ïðîèçâîëüíîìó äèîôàíòîâó óðàâíåíèþD èìååò ëè îíî ðåøåíèÿF

Â ýòîì ñìûñëå ãîâîðÿò îá îòðèöàòåëüíîì ðåøåíèè IHEé
ïðîáëåìû ÃèëüáåðòàF

Ïåðâàÿ íåðàçðåøèìàÿ ìàññîâàÿ ïðîáëåìà â ÷èñòîé

ìàòåìàòèêå

A. A. Ìàðêîâ @ñûíA Emil L. Post
IWHQ!IWUW IVWU!IWSR

‚e™ursively enumer—˜le sets of
positive integers —nd their de™iE
sion pro˜lemsF fulletin ewƒD
SHD PVR!QIT @IWRRAY reprinted
inX „he golle™ted ‡orks of
iF vF €ostD h—visD wF @edAD
firkh¤userD fostonD IWWRF
—

ril˜ert9s IHth pro˜lem ˜egs for
—n unsolv—˜ility proof
Emil L. Post
IVWU!IWSR

Õðîíîëîãèÿ

Íà÷àëî SHEõ ãîäîâX ãèïîòåçàD êîòîðóþ âûäâèíóë w—rtin
h—visF


h—visF
Íà÷àëî THEõ ãîäîâX ÷àñòè÷íûé ïðîãðåññD êîòîðûé äîñòèãëè
w—rtin h—visD ril—ry €utn—m è tuli— ‚o˜insonF


h—visF
Íà÷àëî THEõ ãîäîâX ÷àñòè÷íûé ïðîãðåññD êîòîðûé äîñòèãëè
w—rtin h—visD ril—ry €utn—m è tuli— ‚o˜insonF
IWUH ãîäX ïîñëåäíèé øàã ñäåëàë ÞFÌàòèÿñåâè÷F

An e-mail

Dear Professor,

you are wrong. I am a brilliant young programmer and
last night I wrote a sophisticated program in Java##.
My program solves Hilbert's tenth problem in the
__positive__ sense. Namely, for every Diophantine
equation given as input, the program will print 1 or 0
depending on whether the equation has a solution or
not.

The attachment contains my ingenious program. You can
run it on your favorite Diophantine equations and see
how fast my program works.

Have a fun, Professor!

Òî÷êà çðåíèÿ ñòóäåíòà

Äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà wX

 1, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî
w=H


ðåøåíèå
S
- -

 0,
 åñëè ðåøåíèé âîîáùå íå ñóùå-

ñòâóåò

Òî÷êà çðåíèÿ ïðîôåññîðà:


Ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí wS òàêîéD ÷òî

wS = H
- S
- ÎØÈÁÊÀ



 0, íî
 ðåøåíèå ñóùåñòâóåò


wS = H



S
- -










 0, íî
 ðåøåíèå ñóùåñòâóåò


wS = H  1, íî ðåøåíèé íå ñóùåñòâóåò


S
- -










 0, íî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò





- S
- ÄÐÓÃÎÉ ÎÒÂÅÒ















- S
 îñòàíîâêà áåç îòâåòà














- S
 îñòàíîâêà áåç îòâåòà



 íå îñòàíàâëèâàåòñÿ

è íè÷åãî íå ïå÷àòàåò


Ïðîãðàììà ïðîôåññîðà


P


ƒ
P
-


ƒ wS = H
P
- -


ƒ wS = H
P S
- - -


ƒ wS = H
- P
- S
- ÎØÈÁÊÀ

Óñîâåðøåíñòâîâàííàÿ ïðîãðàììà ïðîôåññîðà

ƒ wS = -
H - ÎØÈÁÊÀ
P S
-


ƒ wS = -
H - ÎØÈÁÊÀ
P S
-

¦ -
Ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî òîãîD
÷òî ƒ îøèáåòñÿ íà wS



0, íî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò
ƒ wS = -
H

1, íî ðåøåíèé íåò
- P S
îñòàíîâêà áåç îòâåòà


íå îñòàíàâëèâàåòñÿ

¦ -
Ôîðìàëüíîå äîêàçàòåëüñòâî òîãîD
÷òî ƒ îøèáåòñÿ íà wS



0, íî ðåøåíèå ñóùåñòâóåò
ƒ wS = -
H

1, íî ðåøåíèé íåò
- P S
îñòàíîâêà áåç îòâåòà


íå îñòàíàâëèâàåòñÿ

Äîêàçàòåëüñòâî òîãîD ÷òîX
¦
åñëè ƒ âûäàåò HD òî óðàâíåíèå
-

wS = H èìååò ðåøåíèå
åñëè ƒ âûäàåò ID òî óðàâíåíèå
wS = H ðåøåíèé íå èìååò

Íàòóðàëüíûå ÷èñëà ïðîòèâ öåëûõ

(x + I)3 + (y + I)3 = (z + I)3


(x + I)3 + (y + I)3 = (z + I)3
Èìååò ëè ýòî óðàâíåíèå ðåøåíèå â öåëûõ ÷èñëàõc


(x + I)3 + (y + I)3 = (z + I)3
ÄàD è ýòî òðèâèàëüíîX y = −I, z = xF


(x + I)3 + (y + I)3 = (z + I)3

Èìååò ëè ýòî óðàâíåíèå ðåøåíèå â íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ
÷èñëàõc


(x + I)3 + (y + I)3 = (z + I)3

Èìååò ëè ýòî óðàâíåíèå ðåøåíèå â íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ
÷èñëàõc
ÍåòD íå èìååòD íî ýòî íåòðèâèàëüíî @÷àñòíûé ñëó÷àé Âåëèêîé
òåîðåìû ÔåðìàAF

Îò öåëûõ ÷èñåë ê íàòóðàëüíûì

Äèîôàíòîâî óðàâíåíèå

€ (x1 , . . . , xm ) = H

èìååò ðåøåíèå â öåëûõ ÷èñëàõ x1 , . . . , xm òîãäà è òîëüêî òîãäàD
êîãäà äèîôàíòîâî óðàâíåíèå

€ (p1 − q1 , . . . , pm − qm ) = H.

èìååò ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ p1 , . . . , pm D q1 , . . . , qm F

Îò öåëûõ ÷èñåë ê íàòóðàëüíûì


€ (x1 , . . . , xm ) = H

èìååò ðåøåíèå â öåëûõ ÷èñëàõ x1 , . . . , xm òîãäà è òîëüêî òîãäàD

€ (p1 − q1 , . . . , pm − qm ) = H.

èìååò ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ p1 , . . . , pm D q1 , . . . , qm F

ÃîâîðÿòD ÷òî ìàññîâàÿ ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ ðàçðåøèìîñòè
äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ ñâîäèòñÿ ê ìàññîâîé
ïðîáëåìå ðàñïîçíàâàíèÿ ðàçðåøèìîñòè äèîôàíòîâûõ
óðàâíåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõF

Îò íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ê öåëûì


€ (p1 , . . . , pm ) = H

èìååò ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäàD
2 2 2 2 2 2 2 2
€ (w1 + x1 + y1 + z1 , . . . , wm + xm + ym + zm ) = H.

èìååò ðåøåíèå â öåëûõ ÷èñëàõF



€ (p1 , . . . , pm ) = H

2 2 2 2 2 2 2 2
€ (w1 + x1 + y1 + z1 , . . . , wm + xm + ym + zm ) = H.


Òåîðåìà @tosephEvouis v—gr—nge ‘IUUH“D çíàë è €ierre
perm—tD íî íå îïóáëèêîâàëA Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî
ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ÷åòûðåõ êâàäðàòîâF



€ (p1 , . . . , pm ) = H

2 2 2 2 2 2 2 2
€ (w1 + x1 + y1 + z1 , . . . , wm + xm + ym + zm ) = H.


Òåîðåìà @tosephEvouis v—gr—nge ‘IUUH“D çíàë è €ierre
perm—tD íî íå îïóáëèêîâàëA Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî
ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ÷åòûðåõ êâàäðàòîâF

Òàêèì îáðàçîìD ìàññîâàÿ ïðîáëåìà ðàñïîçíàâàíèÿ
ðàçðåøèìîñòè äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â íàòóðàëüíûõ öåëûõ
÷èñëàõ ñâîäèòñÿ ê ìàññîâîé ïðîáëåìå ðàñïîçíàâàíèÿ
ðàçðåøèìîñòè äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé â öåëûõ ÷èñëàõF

Óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè

Ñåìåéñòâî äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé èìååò âèä

w (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H,

ãäå w ! ìíîãî÷ëåí ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìèD ïåðåìåííûå
êîòîðãî ðàçäåëåíû íà äâå ãðóïïûX



w (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H,

ïàðàìåòðû —1 D F F F D—n Y



w (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H,

íåèçâåñòíûå x1 D F F F Dxm F

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M òàêîåD ÷òî

—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {w (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}.



w (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H,

íåèçâåñòíûå x1 D F F F Dxm F

Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M òàêîåD ÷òî

—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {w (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}.

ÌíîæåñòâàD èìåþùèå òàêèå ïðåäñòàâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ
äèîôàíòîâûìèF

Ïðèìåðû äèîôàíòîâûõ ìíîæåñòâ


Ìíîæåñòâî âñåõ ïîëíûõ êâàäðàòîâD ïðåäñòàâëåíî
óðàâíåíèåì


— − x2 = H


— − x2 = H
Ìíîæåñòâî âñåõ ñîñòàâíûõ ÷èñåëD ïðåäñòàâëåíî


— − x2 = H
— − (x1 + P)(x2 + P) = H


— − x2 = H
— − (x1 + P)(x2 + P) = H
Ìíîæåñòâî âñåõ íåñòåïåíåé ÷èñëà PD ïðåäñòàâëåíî


— − x2 = H
— − (x1 + P)(x2 + P) = H
Ìíîæåñòâî âñåõ íåñòåïåíåé ÷èñëà PD ïðåäñòàâëåíî
— − (Px1 + Q)x2 = H

Ïðîãðàììà Äèîôàíòà


—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {€ (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}


—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {€ (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}

îñòàíîâêà, åñëè a , . . . , a ∈ M

—1 , . . . , —n -
 1 n
D
-
âå÷íàÿ ðàáîòà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå




—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {€ (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}

îñòàíîâêà, åñëè a , . . . , a ∈ M

—1 , . . . , —n -
 1 n
D
-
âå÷íàÿ ðàáîòà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå



for (y=0;;y++)
for (x1=0;x1y;x1++)
........................
for (xm=0;xmy;xm++)
if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0) STOP

Ïåðå÷èñëèìûå ìíîæåñòâà


ÎïðåäåëåíèåF Ìíîæåñòâî MD ñîñòîÿùåå èç nEîê íàòóðàëüíûõ
÷èñåë íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûìD åñëè ìîæíî íàïèñàòü
ïðîãðàììó ‚D òàêóþ ÷òî

—1 , . . . , —n -
îñòàíîâêà, åñëè a1 , . . . , an ∈ M
R
-
âå÷íàÿ ðàáîòà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå


ÎïðåäåëåíèåF Ìíîæåñòâî MD ñîñòîÿùåå èç nEîê íàòóðàëüíûõ
÷èñåë íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûìD åñëè ìîæíî íàïèñàòü
ïðîãðàììó ‚D òàêóþ ÷òî

—1 , . . . , —n -
îñòàíîâêà, åñëè a1 , . . . , an ∈ M
R
-
âå÷íàÿ ðàáîòà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå

Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèåF Ìíîæåñòâî MD ñîñòîÿùåå èç
nEîê íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàçûâàåòñÿ ïåðå÷èñëèìûìD åñëè
ìîæíî íàïèñàòü ïðîãðàììó € êîòîðàÿ @ðàáîòàÿ áåñêîíå÷íî
äîëãîA áóäåò ïå÷àòàòü òîëüêî ýëåìåíòû ìíîæåñòâà M è
íàïå÷àòàåò êàæäîå èç íèõD áûòü ìîæåòD ìíîãî ðàçF

Âòîðàÿ ïðîãðàììà Äèîôàíòà

—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {€ (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}

Âòîðàÿ ïðîãðàììà Äèîôàíòà

—1 , . . . , —n ∈ M ⇐⇒∃x1 . . . xm {€ (—1 , . . . , —n , x1 , . . . , xm ) = H}

for (y=0;;y++)
for (a1=0;a1y;a1++)
.......................
for (an=0;any;an++)
for (x1=0;x1y;x1++)
........................
for (xm=0;xmy;xm++)
if (P(a1,...,an,x1,...,xm)=0)
print(a1,...,an)

Ïðèìåð

€ (—1 , x1 , x2 ) = —1 − (x1 + P)(x2 + P)

Ïðèìåð

€ (—1 , x1 , x2 ) = —1 − (x1 + P)(x2 + P)

for y do
for —I to y do
for xI to y do
for xP to y do
if —I E @xI C PAB@xP C PAaH then
print@—IA (
od od od od

Ïðèìåð

€ (—1 , x1 , x2 ) = —1 − (x1 + P)(x2 + P)

for y do
for —I to y do
for xI to y do
for xP to y do
if —I E @xI C PAB@xP C PAaH then
print@—IA (
od od od od

RD RD RD TD TD RD TD TD RD TD TD VD VD RD TD TD VD VD WD RD TD TD VD VD WD
IHD IHD RD TD TD VD VD WD IHD IHD RD TD TD VD VD WD IHD IHD IPD IPD IPD
IPD RD TD TDF F F

Ãèïîòåçà Martin'a Davis'à


Òðèâèàëüíûé ôàêòF Êàæäîå äèîôàíòîâî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ
ïåðå÷èñëèìûìF



Ãèïîòåçà wF h—vis9à @íà÷àëî SHEõAF Êàæäîå ïåðå÷èñëèìîå
ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ äèîôàíòîâûìF



Ãèïîòåçà wF h—vis9à @íà÷àëî SHEõAF Êàæäîå ïåðå÷èñëèìîå
ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ äèîôàíòîâûìF

Ãèïîòåçà wF h—vis9à áûëà äîêàçàíà â IWUH ãîäóF

h€‚wEòåîðåìàF Ïîíÿòèÿ ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî è
äèîôàíòîâî ìíîæåñòâî ñîâïàäàþòF

h—visE€utn—mE‚o˜insonEÌàòèÿñåâè÷

Ïåðå÷èñëåíèå äèîôàíòîâûõ óðàâíåíèé

w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...


Ãåíåðàòîð óðàâíåíèé
?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?
if ƒ outputs H if ƒ outputs H
then print@IA ... then print@kA ...

? ?


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
ƒ (wk (k , x ) = H) = H ⇔ k ∈ MS
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
ƒ (wk (k , x ) = H) = H ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯{wS (k , x ) = H}
¯ x ¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
ƒ (wk (k , x ) = H) = H ⇔ k ∈ MS ⇔ ∃¯{wkS (k , x ) = H}
¯ x ¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H)
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) ac
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) = H
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) = H ⇒ kS ∈ MS
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) = H ⇒ kS ∈ MS ⇒ ∃¯{wkS (kS , x ) = H}
¯ x ¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) = I
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) = I ⇒ kS ∈ MS
¯


?
w1 (—, x ) = H,
¯ ..., wk (—, x ) = H,
¯ ...
? ?
ƒ (w1 (I, x ) = H)
¯ ... ƒ (wk (k , x ) = H)
¯ ...
? ?

? ?
¯ x ¯

ƒ (wkS (kS , x ) = H) = I ⇒ kS ∈ MS ⇒ ¬∃¯{wkS (kS , x ) = H}
¯ x ¯

Óíèâåðñàëüíîå óðàâíåíèå


Ñïèñîê âñåõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèéX

w1 (—, x1 , . . . ) = H, . . . , wk (—, x1 , . . . ) = H, . . .



w1 (—, x1 , . . . ) = H, . . . , wk (—, x1 , . . . ) = H, . . .

—, k ∈ U ⇔ ∃x1 , . . . {wk (—, x1 , . . . ) = H}



w1 (—, x1 , . . . ) = H, . . . , wk (—, x1 , . . . ) = H, . . .

—, k ∈ U ⇔ ∃x1 , . . . {wk (—, x1 , . . . ) = H}

—, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn {… (—, k , y1 , . . . , yn ) = H}



w1 (—, x1 , . . . ) = H, . . . , wk (—, x1 , . . . ) = H, . . .

—, k ∈ U ⇔ ∃x1 , . . . {wk (—, x1 , . . . ) = H}

—, k ∈ U ⇔ ∃y1 . . . yn {… (—, k , y1 , . . . , yn ) = H}

∃x1 , . . . {wk (—, x1 , . . . ) = H} ⇔ ∃y1 . . . yn {… (—, k , y1 , . . . , yn ) = H}

Òåêóùèå ðåêîðäû

Çàäà÷à î ðåøåíèè ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî
äèîôàíòîâà óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê ðåøåíèþ
ýêâèâàëåíòíîãî äèîôàíòîâà óðàâíåíèÿD èìåþùåãî ñòåïåíü h è
x íåèçâåñòíûõD ãäå â êà÷åñòâå h , x ìîæíî âçÿòü ëþáóþ èç
ñëåäóþùèõ ïàðX

R, SV , V, QV , IP, QP , IT, PW , PH, PV , PR, PT , PV, PS , QT, PR ,
WT, PI , PTTV, IW , P × IH5 , IR , T.T × IH43 , IQ , I.Q × IH44 , IP ,
R.T × IH44 , II , V.T × IH44 , IH , I.T × IH45 , W .

Íåïðîñòîé ìíîãî÷ëåí äëÿ ïðîñòûõ ÷èñåë

Òåîðåìà @tF€FtonesD hFƒ—toD rF‡—d—D hF‡iensD ‘IWUT“A
Ìíîæåñòâî âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë ! ýòî â òî÷íîñòè ìíîæåñòâî
âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèéD ïðèíèìàåìûõ ìíîãî÷ëåíîì
(k + 2) { 1 −[wz + h + j − q ]2
− [(gk + 2g + k + 1)(h + j ) + h − z ]2
− [2n + p + q + z − e ]2
2
− 16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 + 1 − f 2
2
− e 3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o 2
2
− (a2 − 1)y 2 + 1 − x 2
2
− 16r 2 y 4 (a2 − 1) + 1 − u 2 − [n + l + v − y ]2
2
− (a + u 2 (u 2 − a))2 − 1 (n + 4dy )2 + 1 − (x + cu )2
2
− (a2 − 1)l 2 + 1 − m2
2
− q + y (a − p − 1) + s (2ap + 2a − p 2 − 2p − 2) − x
2
− z + pl (a − p ) + t (2ap − p 2 − 1) − pm
− [ai + k + 1 − l − i ]2
2
− p + l (a − n − 1) + b (2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m }

ïðè íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèÿõ PT ïåðåìåííûõ —, ˜, ™ , . . . , x , y , zF

Âìåñòå ñ òåì áûâàåò è òàê, ÷òî ìû äîáèâàåìñÿ îòâåòà ïðè íåäîñòàòî÷-
íûõ ïðåäïîñûëêàõ, èëè èäÿ â íåïðàâèëüíîì íàïðàâëåíèè, è âñëåäñòâèè ýòîãî
íå äîñòèãàåì öåëè. Òîãäà âîçíèêàåò çàäà÷à äîêàçàòü íåðàçðåøèìîñòü äàí-
íîé ïðîáëåìû ïðè ïðèíÿòûõ ïðåäïîñûëêàõ è âûáðàííîì íàïðàâëåíèè. Òàêèå
äîêàçàòåëüñòâà íåâîçìîæíîñòè ïðîâîäèëèñü åùå ñòàðûìè ìàòåìàòèêàìè, íà-
ïðèìåð, êîãäà îíè îáíàðóæèâàëè, ÷òî îòíîøåíèå ãèïîòåíóçû ðàâíîáåäðåí-
íîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ê åãî êàòåòó åñòü èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
Â íîâåéøåé ìàòåìàòèêå äîêàçàòåëüñòâà íåâîçìîæíîñòè ðåøåíèé îïðåäåëåí-
íûõ ïðîáëåì èãðàþò âûäàþùóþñÿ ðîëü; òàì ìû êîíñòàòèðóåì, ÷òî òàêèå
ñòàðûå è òðóäíûå ïðîáëåìû, êàê äîêàçàòåëüñòâî àêñèîìû î ïàðàëëåëüíûõ,
êàê êâàäðàòóðà êðóãà èëè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïÿòîé ñòåïåíè â ðàäèêàëàõ,
ïîëó÷èëè âñå æå ñòðîãîå, âïîëíå óäîâëåòâîðÿþùåå íàñ ðåøåíèå, õîòÿ è â
äðóãîì íàïðàâëåíèè, ÷åì òî, êîòîðîå ñíà÷àëà ïðåäïîëàãàëîñü.
Ýòîò óäèâèòåëüíûé ôàêò íàðÿäó ñ äðóãèìè ôèëîñîôñêèìè îñíîâàíèÿìè
ñîçäàåò ó íàñ óâåðåííîñòü, êîòîðóþ ðàçäåëÿåò, íåñîìíåííî, êàæäûé ìàòåìà-
òèê, íî êîòîðóþ äî ñèõ ïîð íèêòî íå ïîäòâåðäèë äîêàçàòåëüñòâîì, óâåðåí-
íîñòü â òîì, ÷òî êàæäàÿ îïðåäåëåííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïðîáëåìà íåïðåìåííî
äîëæíà áûòü äîñòóïíà ñòðîãîìó ðåøåíèþ èëè â òîì ñìûñëå, ÷òî óäàåòñÿ ïî-
ëó÷èòü îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ, èëè æå â òîì ñìûñëå, ÷òî áóäåò óñòà-
íîâëåíà íåâîçìîæíîñòü åå ðåøåíèÿ è âìåñòå ñ òåì äîêàçàíà íåèçáåæíîñòü
íåóäà÷è âñåõ ïîïûòîê åå ðåøèòü.

Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применения в информатике. Лекция 01

More Related Content

Юрий Владимирович Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. Решение и применения в информатике. Лекция 01