رياضيات 2ث فلسطين ج2
- 1. U??O{U d « w½U¦Ã« ¡e?'« Íu U « w U « n?BK wLKFë WOÃUŽ bL×Ä Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎUI MÄò nÝu¹ rOŠdë b³Ž s Š Æœ qL'« nÝu¹ bL×Ä Æ√ `ÃU bL×Ä Æœ r$ wLKŠ bL×Ä Æ√ W½UHŽ ËeŽ Æœ ÊuH R*« 5D K W Ëœ w UF « rOKF «Ë WO d « …—«“Ë ﺔﻴﻟوأﺔﺨ ﺴ ﻧ D R A F T
- 2. 5D K WÃËœ w wÃUFë rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë —dÁ Â≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—bë ÂUFKà UNÝ—«bÄ w wLKFë Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBKà UO{U¹dë »U²Â f¹—bð Z¼UM*« e?ÂdÄ hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈ ÂUFë ·«d?ýù« hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz— 5ÝU¹ Õö Æœ ∫Z¼UM*« eÂdÄ ÂUŽ d¹bÄ WOMHë …dz«bë …dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈ ÍËUL× œuL×Ä ‰UL ∫r?OL?Bð Õu³?×Ð Ê«bL?Š ∫WŽU³DKà VÝu;« œ«bŽù« ÊUŠdÝ ÊU ž ¡«dOÝ ¨dÄUŽ œuL×Ä dLÝ ¨w ¹bë Í“u ÊUNLÝ√ ∫bOCMð UO{U¹dë ÃUNM* wMÞuë o¹dHë —UHë “UMNý jO³{ ”UOë Æœ åÎUI MÄò bF Ä 5D Æœ dÐUł U½UOà WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ pA qz«Ë q³IÄ bL×Ä Ê«bLŠ bL×Ä Æœ WO d « w Ë_« WF D « ?¼ ±¥≤∑ØÂ≤∞∞∂ Z¼UM*«eÂdÄØwÃUFërOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“uÃWþuH×Äl?³Dë‚uIŠlOLł WM¹b*«eÂdÄWNłsÄ5LOëvKŽŸ—Uý‰Ë√≠b¼UF*«Ÿ—Uý≠ÊuOB*«wŠ≠Z¼UM*«eÂdÄ 5D K ≠ tKë «— ≠ ∑±π »Æ ’ ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fÂU ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥µ∞ ÊuHKð pcdc@palnet.com ∫w½Ëd²JÃô«Ê«uMFë ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²JÃô«W×HBë
- 3. bONL VFAë UŠuLÞoOIײêWOMOD KHëWO uB)«wŽ«d¹ÃUNMÄl{Ë…—Ëd{wÃUFërOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“Ë √— VFAKà WOMÞuë …œUO ë ¡UM³Ã ÎUÒLNÄ ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD K ÃUNMÄ ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFAë 5Ð t½UJÄ cšQ¹ v²Š wMOD KHë w²Ã« WÄ«b² *« W¹dA³Ã« œ—«uLKà WOLMð …«œ√Ë ¨w½U ½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1bÃ«Ë rOIë aOÝd²Ã ÎUÝUÝ√Ë ¨wMOD KHë Æ…—«“uKà WO L)« WD)« ∆œU³Ä UN² Ý— W¹UMŽ…—«“uëwÃuð«cêlL²−*«·«b¼√oIײðUNÃöšsÄw²Ã«¨rOKF²KÃW OzdëWKOÝuët½√w ÃUNM*«WOL¼√sLJðË vÃ≈W U{≈¨VÃUDëËrKF*«bOÐvÃË_«…«œ_«Ë¨rKF²KÃjOÝuë—bB*«t½_ªÃUNM*«d UMŽbŠ√¨wÝ—b*«»U²JÃUÐW Uš Æ…bŽU *« jzUÝuë sÄ U¼dOžË ¨ÍdÝ_« rKF²Ã«Ë ¨WOK;« W UI¦Ã«Ë ¨»uÝU(«Ë ¨X½d²½ù« ∫rKF²Ã« qzUÝË sÄ ÁdOž oO³D²Ð X Ół=uÔð w²Ã«¨©±≤≠ ±® WOÝ—b*« V²Jë lOLł nOÃQð WKŠdÄ ÂU9SÐ wÃUFë rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë XÄUÁ bIà ÂUFë W¹«bÐ lĨwMI²Ã«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U ½ù« ÂuKFë˨ wLKFë ∫tŽËd lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBë V²Â WFЗ√wDGð¨WÄœUIëÀö¦Ã« «uM ëw WKÄUýd¹uDðWDšcOHMðvKŽÎUOÃUŠ…—«“uëqLFðËÆ©≤∞∞∑Ø≤∞∞∂®wÝ«—bë qzUÝuëËrKF*«WÃœ√®WOÃULJ²Ý«WDA½√˨©±≤≠±®·uHBKÃV²JëlOLłWFł«dÄ®W¹d¹uDðWDA½√∫w¼Ë¨ ôU−Ä WDA½√˨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI √YŠU³*«lOLłw Àö¦Ã«qŠ«d*«Z¼UM*WOKOK%ËWO1uIð UÝ«—œ®WOK³I² ÄWDA½√˨©WMOF*« Æ©WÄUFë W¹u½U¦Ã« ÊUײī WOì 5 %Ë ¨w½Ëd²JÃù« rOKF²Ã«Ë UJ³Aë ‰U−Ä w WO²×²Ã« WOM³Ã« lOÝuð® W¹“«uÄ WOÝUÝ√…eO—¨ÎUÐU²Â¥µ∞»—UI¹U¼œbŽË¨dAŽwMŁô«·uHBKà e$√w²Ã«rKF*«WÃœ√ËWOÝ—b*«V²JëbFðË «d³š dO u²Ã ªwIDMÄË qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ UÄuKFÄË ·—UFÄ sÄ tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²Ã«Ë rOKF²Ã« WOKLŽ w lÄ Â¡ö²ðË ¨.uI²Ã« VOÃUÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝuÃ«Ë ¨f¹—b²Ã« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýRÄ sLC²ð ¨WŽuM²Ä ÆÁöŽ√ …—uÂc*« WO L)« WD)« ∆œU³Ä ¨UN ¹—b²Ð ÊuÄuI¹ s¹cë ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²Ã« W—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²Jë WFł«dÄ r²ðË w «dOG²Ã« lÄ Â¡ö²ð w ªd¹uD²Ã«Ë q¹bF²Kà WKÐUÁ WO³¹d& UF³Þ WFЫdë vÃ≈ vÃË_« sÄ UF³Dë …—«“uë ÈdðË ¨œuNłsÄtO ‰c³¹UÄ—«bI0œ«œeðwMOD KHëwÝ—b*«»U²JëWLOÁÊ≈Æ…UO(« «—UNÄËwłuÃuMJ²Ã«ËwLKFëÂbI²Ã« w ÎUÒ¹d¼uł ΫdOOGð ÊuŁb×¹ s¹cë ¨WOÝ—b*« V²Jë œ«bŽ≈ ‰U−Ä w 5BB ²*« sÄ sJ2 œbŽ d³Â√ W—UAÄ sÄË w ëdšù«Ë nOÃQ²Ã« wÃU−Ä w Z¼UM*« eÂdÄ UN Ý— WO−NM0 ¨WFł«d*« sÄ WFÝ«uë UOKLFë ‰öš sÄ ¨rOKF²Ã« ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Ícë sÞuë w dÞ ¨WOÃËbë ULEM*«Ë U ÝR*«vÃ≈d¹bI²Ã«ËdJAëq¹e−ÐÂbI²ðÊ√ô≈UNF ¹ôwÃUFërOKF²Ã«ËWOÐd²Ã«…—«“ËÊ≈ ÆZ¼UM*« ŸËdA* wÃU*« UNLŽbà ªUJO−KÐ WÄuJŠ W U ÐË WI¹bBÃ«Ë WOÐdFë ‰ËbÃ«Ë ‰öšsÄw ¹—U²Ã«wMÞuëqLFë«c¼ “U$≈w X—Uýw²Ã«¨WOMÞuëW¹uÐd²Ã« «¡UHJÃUÐd H²Ã…—«“uëÊ√UL ¨tFÁuÄV Š yq¨…eOL*«r¼œuN−ÐrN²Â—UAÄvKŽr¼dJAð˨WOÝ—b*«V²J뜫bŽSÐÂuIðw²Ã«¨W¹uÐd²Ã«ÊU−Kë ¨qLFë Uý—uÐ 5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5HÃR*«Ë ¨—«dÁù«Ë ¨Z¼UM*«eÂdÄË ¨W¹—«“uë Z¼UM*« ÊU' qLAðË ÆoO³D²Ã« ¡UMŁ√ Ê«bO*« sÄ WOÝ—b*« V²Jë ¡«dŁ≈ w 5—UA*«Ë ¨5FÐUDÃ«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5ÄUÝdÃ«Ë ¨5LLB*«Ë wÃUFë rOKF²Ã«Ë WOÐd²Ã« …—«“Ë Z¼UM*« e?ÂdÄ Â ≤∞∞∂ ‰uK¹√
- 4. W bI ÆÆÆ bFÐË sOLÃUFë »— tKà bL×ë UO{U¹dë »U²Â sÄ w½U¦Ã« ¡e−ë ¡«eŽ_« UM²³KDÃË ¨ ULKFLÃ«Ë sOLKFLë UMzöÄeà ÂbI½ Ê√ U½d ¹ ÃUNMLë WDš sL{ UO{U¹dë Y׳Là WÃbFLë WC¹dFë ◊uD ë o Ë ¨wLKFë Íu½U¦Ã« w½U¦Ã« nBKà ƉË_« wMOD KHë Æ ôUL²Šô«Ë ¨WOÞËd Lë ŸuDIÃ«Ë ¨tðUIO³DðË qÄUJ²Ã« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ »U²Jë qL²A¹ ¨ÊUL¹— ŸuL−ÄË Wze−²Ã«Ë ¨œËb×Lë dOž qÄUJ²Ã« UMÄbÁ ©tðUIO³DðË qÄUJ²Ã«® WFЫdë …bŠuë w UIO³DðË ¨qÄUJ²Ã« ‚dÞË ¨qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« w WOÝUÝ_« W¹dEMÃ«Ë ¨t «ušË œËb×Lë qÄUJ²Ã«Ë ÆWO½«—Ëbë Âu−×Ã«Ë UŠU Lë w œËb×Lë qÄUJ²Ã« lDIÃ«Ë ¨hÁUMë lDIÃ«Ë ¨T UJLë lDIë sÄ ö UMÄbÁ ©WOÞËd Lë ŸuDIë® W ÄU ë …bŠuë w Ë Æ»U× ½ô« l{Ë w Ë wÝUOIë l{uë w ¨bz«eë dOG²LÃ«Ë ¨eOÐ W¹dE½Ë ‰öI²Ýô«Ë ◊ËdALë ‰UL²Šô« UMÄbÁ © ôUL²Šô«® WÝœU ë …bŠuë w Ë ÆwFO³Dë l¹“u²Ã«Ë ¨s¹b×ë «– l¹“uðË ¨ULNFÁuðË qB²LÃ«Ë qBHMLë wz«uAFë WÁbë vKŽË ¨ U¹dEMÃ«Ë rO¼UHLKà wIDMLë q K ²Ã« vKŽ UM dŠ bI ¨»uKÝ_« YOŠ sÄ UÄ√ WK¦Ä_«Ë WO×O{u²Ã« ÂuÝdë pÖ sÄ ÎôbÐ U½bL²Ž«Ë ¨ U¹dEMë sO¼«dÐ vKŽ bz«“ eOÂdð ÊËœ ¨WOLKFë ÆsJÄ√ UL¦OŠ ¨q×Kà WÄUŽ UO−Oð«d²Ý« l{Ë lÄ WŽuMLë qC √oOIײÅœ«e²Ýô«ËoLF²Ã«ËW dFLëvKŽ’d×ëqÂÊuB¹dŠWÄUFëW¹u½U¦Ã«W³KÞÊ√UM²ŽUMIÃË s¹—UL²Ã« sÄ WŽuL−LÐ …bŠË q UMF³ð√ ¨WOFÄU−ë rNðUÝ«—bà ΫbONLð WÄUFë W¹u½U¦Ã« ÊUײī w ZzU²Më …œ—«uë «—UNLÃ«Ë sO½«uIÃ«Ë ULOLF²Ã«Ë rO¼UHLë wDGð w²Ã« WOÃUILÃ«Ë WOŽu{uLë WŽuMLë WK¾Ý_«Ë ÆÀö¦Ã« «bŠuë œuMÐ sÄ bMÐ q W¹UN½ w qzU LÃ«Ë s¹—UL²Ã« vÃ≈ W U{ùUÐ ¨…bŠuë w sOLKFÄË ¨ U dAÄË sO dAÄ ¨Ê«bOLë w UMzöÄ“ sÄ ÂbI²½Ë ¨ÕU−½Ë oO uð q W³KDë UMzUMÐ_ vML²½ ¨d¹bI²Ã«Ë«d²Šô«qJШ»U²Jë«c¼ «œu Ä ¡«dŁ≈w «u—Uýs¹cësÞuë UE U×ÄlOLłsĨ ULKFÄË ¨t½UÄ√Ë‚b qJÐrNNOłuðË¡«eŽ_«UM²³KÞrOKF²ÐWKO³MërNðdO ĉULÂ≈w rNI u¹Ê√qłËeŽvÃuLësOKzUÝ ÆW×IMÄ …b¹bł WF³Þ —«b ù cOHM²Ã« l{uÄ »U²Jë l{Ë bFÐ Z¼UMLë eÂdLà WFł«dë W¹cG²Ã« r¹bIðË oO u²Ã« wÃË tKÃ«Ë ÊuHÃRLë
- 5. U???¹u??²;« W ÄU ë …b?Šuë WÝœU ë …b?Šuë W??FЫdë …b?Šuët?ðUIO³DðË q???ÄUJ²Ã« ≥ œËb;« dOž qÄUJ²Ã« ±≠¥ ∏ ÊU1— ŸuL−ÄË Wze−²Ã« ≤≠¥ ±¥ œËb;« qÄUJ²Ã« ≥≠¥ ±∏ œËb;« qÄUJ²Ã« hzUBš ¥≠¥ ≤≤ qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« w WOÝUÝ_« W¹dEMë µ≠¥ ≤∏ WOFO³Dë WOÝ_«Ë W?OL²¹—UžuKë U½«d²Áô« ∂≠¥ ≥¥ q????ÄUJ²Ã« ‚d???Þ ∑≠¥ ¥µ œËb;« qÄUJ²Ã« UIO³Dð ∏≠¥ µ∂ WÄUŽ s¹—U9 W?OÞËd Lë Ÿu?DIë ∂± WOÞËd *« ŸuDIë µ ∂≤ T UJ*« lDIë ±≠µ ∑∞ hÁU?Më l?DIë ≤≠µ ∑∏ b???z«eë l???DIë ≥≠µ ∏∂ WÄUŽ s¹—U9 ôUL²Šô« ∏π Àœ«u(« ‰öI²Ý«Ë ◊ËdA*« ‰UL²Šô« ±≠∂ π∂ eOÐ W¹dE½ ≤≠∂ ±∞± qBHM*« wz«uAFë dOG²*« ≥≠∂ ±∞∑ s¹b(« Ë– l¹“u²Ã« ±≠∂ ±±≤ qB²*« wz«uAFë dOG²*« ¥≠∂ ±±∂ wFO³Dë l¹“u²Ã« µ≠∂ ±≤≤ WÄUŽ s¹—U9 ±≤∂ wL«d²Ã« Í—UOF*« wFO³Dë l¹“u²Ã« ‰Ëbł ∫o×KÄ
- 7. ≥ (Indefinite Integral) œËb;« dOž qÄUJ²Ã« ±≠¥ WI²A*« UMÄb ²Ý«Ë ¨ÂuKFÄ Ê«d²Áô vÃË_« WI²A*« œU−¹≈ ÎUÝUÝ√ XÃËUMð w²Ã« q{UH²Ã« WOKLŽ o³Ý ULO UM dFð ªWDI½ Í√ bMŽ ÂuKFÄ Ê«d²Á« vM×M* ”UL*« qOÄË ¨„d×²Ä r ' WOE×Kë WŽd ë œU−¹≈ UNMÄ …dO¦Â UIO³Dð w ¨vÃË_« t²I²AÄ XLKŽ Ícë Ê«d²Áô« œU−¹≈ Í√ ¨q{UH²Ã« WOKLFà WO JFë WOKLFë ·dF²MÝ …bŠuë Ác¼ w Ë UM½S ¨o²A*« Ê«d²Áô« ÂuKFÄ Ê«d²Á« q{UHð sŽ "UMë Ê«d²Áô« UMOLÝ ULÂË ÆqÄUJ²Ã« WOKLŽ WOKLFë Ác¼ vL ðË Ê«d²Á« u¼≥”Ê«d²Áô« Îö¦L ¨©WI²A*«fJŽË√®ÎUOz«bÐÎU½«d²Á« vÃË_«t²I²AÄXLKŽÍcëwK _«Ê«d²Áô«wL ½ Æ«cJ¼Ë ¨”U²ł Ê«d²Áöà wz«bÐ Ê«d²Á« u¼ ”Uł Ê«d²Áô«Ë ¨≤”≥ Ê«d²Áöà ©WI²A*« fJŽ Ë√® wz«bÐ ∫ÂUŽ tłuÐ ∫n¹dFð Æ©”® ٌ Ω ©”®Ó ÊU «–≈ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©WI²A*« fJŽ Ë√® ÎUOz«bÐ U½«d²Á« ©”®Â Ê«d²Áô« vL ¹ Æ©”® ٌ Ê«d²Áöà WOz«bÐ U½«d²Á« WŁöŁ V²Â√ Æ≤ Ω ©”® ٌ sJOà ∫©±® ‰U¦Ä ∫©”® ٌ Ê«d²Áöà ÎUOz«bÐ ÎU½«d²Á« WOðü« U½«d²Áô« sÄ Ïq ÊuJ¹ q{UH²Ã« w UMðUÄuKFÄ sÄ ”≤ Ω ©”® ±  ≤ ´ ”≤ Ω ©”® ≤  ± ≠ ”≤ Ω ©”® ≥  Ʃ”® ٌ Ω ≤ Ω ©”®≥ÓÂ Ω ©”®≤ÓÂ Ω ©”® ±Ó Ê_ pÃ–Ë Ác¼ sÄ wzUN½ô œbŽ błu¹ lÁ«uë w Ë ª≤ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áöà Èdš√ WOz«bÐ U½«d²Á« błuð t½√ kŠô ÆwIOIŠ œbŽ ?ł YOŠ ¨ ?ł ´ ”≤ WÄUFë …—uBë c ²ð UN½√ b$ UNO qÄQ²ÃUÐË ¨ U½«d²Áô« ≤ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áöà œËb;« dOž qÄUJ²Ã« …—uBë Ác¼ vL ðË
- 8. ¥ ∫n¹dFð œËb??;« dOž qÄUJ²Ã« ÊS?? ©©”® ٌ Ω ©”®Ó Ê√ Í√® ©”® ٌ Ê«d²Áöà ÎUOz«bÐ ÎU½«d²Á« ©”®Â ÊU?? «–≈ lOLł WŽuL−Ä u¼ ©” ‰«œ ©”® ٌ qÄUJð ∫√dIԹˮ ¨”s©”® ٌ ∫eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨©”® ٌ Ê«d²Áöà ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ٌ ∫ ∫Ê√ Í√ ©”® ٌ Ê«d²Áöà WOz«b³Ã« U½«d²Áô« ∫5OÃU²Ã« s¹œËb;« dOž 5KÄUJ²Ã« sÄ Îö błË√ ¨q{UH²Ã« w pðUÄuKFÄ Â«b ²ÝUÐ ∫©≤® ‰U¦Ä ”s ”≤ UÁ ∫ » ”s ≥”¥ ∫ √ ≥”¥ Ω ©?ł ´ ¥”® ”s s Ê_ ?ł ´ ¥” Ω ”s ≥”¥ ∫ √ ”≤ UÁ Ω ©?ł ´ ”Uþ® ”s s Ê_ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤ UÁ ∫ » ∫WOðü« œËb;« dOž qÄUJ²Ã« bŽ«uÁ W× sÄ oIײë pMJ1 W ËdF*« ‚UI²ýô« 5½«uÁ vKŽ œUL²ŽôUÐ ∋?ł ¨ ¨ ?ł ´ ” Ω ”s ∫ ± ±≠ ≠ wIOIŠ œbŽ Ê ¨?ł ´ ± ´ Ê ±´Ê” Ω ”sÊ” ∫ ≤ ?ł ´ ”U²ł≠ Ω ”s”Uł ∫ ≥ ?ł ´ ”Uł Ω ”s”U²ł ∫ ¥ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s”≤ UÁ ∫ µ ?ł ´ ”U²þ≠ Ω ”s”≤ U²Á ∫ ∂ ?ł ´ ”UÁ Ω ”s”Uþ ”UÁ ∫ ∑ ?ł ´ ”U²Á≠ Ω ”s”U²þ ”U²Á ∫ ∏
- 9. µ ∫WOðü« Ò’«u)« W× sÄ oIײë pMJ1 UL ∋ ¨ ”s©”® ٌ ∫ Ω ”s©”® ٌ ∫ ± ”s©”®?¼ ∫∓ ”s©”® ٌ ∫Ω ”s©©”®?¼ ∓ ©”® ٌ ® ∫ ≤ ©5½«d²Á« sÄ d¦Â√ qLA²Ã …bŽUIë Ác¼ rOLFð sJ1Ë® ∫WOðü« …œËb;« dOž öÄUJ²Ã« bł ∫©≥® ‰U¦Ä ”s ≥”∏ ∫ » ”s µ ∫ √ ”s ©∑ ´≤≠”µ ≠≤”≥® ∫ œ ”s ©”U²ł ´ ¥”∂® ∫ ?ł ?ł ´ ”µ Ω ”s µ ∫ √ ”s ≥” ∫∏ Ω”s ≥”∏ ∫ » ?ł ´ ¥”≤ Ω ?ł ´ ¥ ¥” × ∏ Ω ”s ”U²ł ∫´ ”s ¥”∂ ∫ Ω ”s ©”U²ł ´ ¥”∂ ® ∫ ?ł ?ł ´ ”Uł ´ µ µ”∂ Ω ≤ ?ł ´ ”Uł ´ ± ?ł ´ µ µ”∂ Ω ”s ∑ ∫´ ”s ≤≠” ∫µ ≠ ”s ≤” ∫≥ Ω ”s ©∑ ´ ≤≠”µ ≠ ≤”≥® ∫ œ ?ł ´ ”∑ ´ ±≠ ±≠” × µ≠ ≥ ≥” × ≥ Ω ?ł ´ ”∑ ´ ±≠”µ ´ ≥” Ω ∫ UIO³Dð rKÔŽ«–≈Ê«d²Á«vM×MÄWÃœUFÄœU−¹≈q¦Ä¨…œbF²ÄWOzU¹eO ËWOÝbM¼ UIO³Dðw œËb;«dOžqÄUJ²Ã«Âb ² ¹ ∫WOÃU²Ã« WK¦Ä_« w 5³²¹ UL ¨tŽ—U ð rKÔŽ «–≈ „d×²Ä r ł WŽdÝ œU−¹≈ Ë√ ¨tOKŽ WDI½ W¹√ bMŽ tà ”UL*« qOÄ
- 10. ∂ u¼ tOKŽ ©’¨”® WDI½ Í√ bMŽ tà ”UL*« qOÄ Ê√ XLKŽ «–≈ ©”® Ê«d²Áô« …bŽUÁ bł ∫©¥® ‰U¦Ä Æ©µ ¨ ≤® WDIMÃUÐ d1 ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ Ê√Ë ¨”≤ ”≤ Ω ©”® Ó ٌ Ω Â ?ł ´ ≤” Ω ”s ”≤ ∫Ω ©”® ٌ ∴ ¨vM×M*« WÃœUFÄ oI% WDIMë Ác¼ ÊS ©µ ¨ ≤® WDIMÃUÐ d1 ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ Ê√ U0Ë ± Ω ?ł UNMÄË ?ł ´ ≤ ©≤® Ω µ Ê√ Í√ ± ´ ≤” Ω ©”® ٌ ∴ ∫bł Æ≤ ÀØrݱ ´ Ê≤ Ω Ÿ—U ²Ð rOI² Ä jš w q _« WDI½ sÄ ÊuJ ë sÄ r ł „d% ∫©µ® ‰U¦Ä ÆWÂd(« ¡bÐ sÄ vÃË_« Àö¦Ã« w½«u¦Ã« w WŽuDI*« W U *« » Æ≥ Ω Ê bMŽ WŽd ë √ ± ´ Ê≤ Ω Ês Ÿs Ω Ÿ—U ²Ã« √ ?ł ´ Ê ´ ≤ Ê Ω Ês©± ´ Ê≤® ∫ Ω Ÿ ∴ ∞ Ω ?ł UNMÄË ¨ ?ł ´ ∞ ´ ∞ Ω ∞ ÊS ¨∞ Ω Ê bMŽ ∞ Ω Ÿ Ê≈ YOŠË Ê ´ ≤ Ê Ω Ÿ Ê√ Í√ ÀØrݱ≤ Ω ≥ ´ ≤ ≥ Ω ≥ Ω Ê ¸ Ÿ ∴ Ê ´ ≤ Ê Ω Ês ·s Ω Ÿ » ± ?ł ´ ≤ ≤ Ê ´ ≥ ≥ Ê Ω Ês©Ê´≤ Ê® ∫ Ω · ∴ ∞ Ω Ê UÄbMŽ ¨∞ Ω · Ê≈ YOŠË ∞ Ω ± ?ł UNMÄË ¨± ?ł ´ ∞ Ω ∞ ∴ ≤ Ê ≤ ± ´ ≥ Ê ≥ ± Ω · Ê√ Í√ ≤ ≥ × ≤ ± ´ ≥ ≥ × ≥ ± Ω ≥ Ω Ê ¸ · ∴ rÝ ±≥[µ Ω ¥[µ ´ π Ω
- 11. ∑ ©±≠¥® s¹—U9 ∫WOÃU²Ã« ôU(« w ©”® ٌ Ê«d²Áöà wz«bÐ Ê«d²Á« u¼ ©”®Â Ê«d²Áô« Ê√ sÄ oI% ± ≤ ©≤” ´ ±® ≤” ≠ ± Ω ©”® ٌ ¨ ≤” ´ ± ” Ω ©”®Â √ ≤”U²ł ”≤ Ω ©”® ٌ ¨ ≤”Uł Ω ©”®Â » ∫WOðü« …œËb;« dOž öÄUJ²Ã« sÄ Îö bł ≤ ”s ≥ ©”≤® ± ∫ » ”s ©µ ´ ≥”® ∫ √ ’s ’ √ ≤’ ∫ œ ”s © ” √≤ ± ´ ” √® ∫ ?ł ”s ©” U²ł≥ ≠ ”Uł≤® ∫ Ë ”s ± ≠ ” ± ≠ ≥” ∫ ?¼ ”s ©”≤ Uł ≠ ± ” Uł ® ∫ Õ ”s ©”≤ Uþ∂ ´ ∂® ∫ “ ∫WÃUŠ q w …UDF*« ◊ËdAë oI×¹ Ícë ©”® ٌ Ê«d²Áô« błË√ ≥ ≥ Ω ©±® ٌ ¨ ∑ ´ ”∏ ≠ ≤”∂ Ω ©”® Ó ٌ √ ¥ Ω ©≤® ٌ ¨ µ Ω ©≤® Ó ٌ ¨ ¥ ≠ ”∂ Ω ©”® Î ٌ » ∫…bŽUIÃUÐ vDF¹ ©’¨ ”® tOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ©”® ٌ Ω ’ Ê«d²Áô« vM×M* ”UL*« qOÄ ÊU «–≈ ¥ Æ©≤≠ ¨ ≥® WDIMÃUÐ d1 ÁUM×MÄ ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”® ٌ Ê«d²Áô« …bŽUÁ błËQ ¨≤ ≠ ”∂ ≠ ≤”≥ Ω ”s ’s Æ©µ≠¨±≠®»¨©±¨∞® 5²DIMÃUÐd1vM×M*«Ê√˨¥≠”≤¥Ω Î’ÊQÐ ÎULKŽ¨©”® Ω’vM×M*«WÃœUFÄbł µ WDIMÃUÐ d1 vM×M*« ÊUÂË ¨©”® Ω ’ vM×M*« vKŽ ©’ ¨ ”® WDI½ Í√ bMŽ ” √ µ Ω Î’ ÊU «–≈ ∂ ÆvM×M*« WÃœUFÄ b− ¨± ÍËU ¹ WDIMë Ác¼ bMŽ vM×MLKà ”UL*« qOÄ ÊUÂË ¨©∞ ¨ ¥® WOK×Ä ÈdG WLOÁ ©”® ٌ Ω ’ Ê«d²Áöà ÊUÂË ¨¥ ≠ ”∂ ÍËU ð ©”® ٌ Ω ’ vM×MLKà Β X½U «–≈ ∑ ÆÊ«d²Áöà WOK;« vLEFë WLOIÃ«Ë vM×M*« WÃœUFÄ b− ¨ ± Ω ” bMŽ µ ÍËU ð vM×M*««c¼WÃœUFÄbłËQ ¨¥ÍËU ¹tOKŽ©∏¨±® WDIMëbMŽ©”® ٌ Ê«d²Áô«vM×M*”UL*«qOÄÊU«–≈ ∏ Ʊ∞ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î ٌ ÊQÐ ÎULKŽ ¨ÀØrݱ∂ Ω ©∞®Ÿ ÊQÐ ÎULKŽ ©Ê®· WŠ«“ù« Ê«d²Á« bł Æ≤ Ê≥ Ω Ÿ—U ²Ð rOI² Ä jš w r ł „dײ¹ π ÆrÝπ Ω ©∞® ·
- 12. ∏ (Partition & Riemann Sum) ÊU1— ŸuL−ÄË Wze−²Ã« ≤≠¥ ŸuL−ÄË Wze−²Ã« bM³Ã« «c¼ w ·dF²MÝË ¨œËb;« dOž qÄUJ²Ã« u¼ qÄUJ²Kà ÎUÄuNHÄ oÐU ë bM³Ã« w UM dFð ÆœËb;« qÄUJ²Ã« u¼Ë qÄUJ²Kà dš¬ ÂuNHÄ .bI²ÃΫbON9 ÊU1— ∫Wze−²Ã« ∫n¹dFð ¨{Ê ”¨ÆÆƨ≤ ”¨± ”¨∞ ”}ΩÊ σWŽuL−*«ÊS WOIOI(«œ«bŽ_«sÄWIKGÄ…d² ›»¨ ¤X½U«–≈ Æ›» ¨ ¤ …d²HKà WO½u½ Wze& vL ð ¨ » Ω Ê ” >ÆÆÆ >≤ ” >± ” >∞ ” Ω YOŠ Ω∞ ” ± ” ≤ ” ±≠— ” — ” ±≠Ê ” Ê ” Ω » ± ≤ — Ê ©±≠¥® qJAë ∫tMÄ 5³²¹Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²HKÃ Ê σ Wze−²Ã« ©±≠¥® qJAë `{u¹ ± ” eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨ ∞ ” ≠± ” UNÃuÞË ¨›± ” ¨ ∞ ”¤ w¼ vÃË_« WOze'« …d²Hë ± ≤ ” eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨ ± ” ≠≤ ” UNÃuÞË ¨›≤ ”¨± ”¤ w¼ WO½U¦Ã« WOze'« …d²Hë ⋮ — ” eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨ ±≠— ” ≠ — ” UNÃuÞË ¨›— ”¨±≠— ”¤ w¼ WOz«dë WOze'« …d²Hë ⋮ Ê ” eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨±≠Ê ” ≠ Ê ” UNÃuÞË ¨›Ê ”¨±≠Ê ”¤ w¼ ©…dOš_«® WO½uMë WOze'« …d²Hë ± ´ Ê ÍËU ¹ Wze−²Ã« d UMŽ œbŽË ¨Ê ÍËU ¹ Êσ Wze−²Ã« sŽ W&UMë WOze'« «d²Hë œbŽ ≤ «d²Hë 5F ›±∞ ¨ ±≠¤ WIKG*« …d²HKà WOŁöŁ Wze& {±∞ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±≠ }Ω ≥ σ X½U «–≈ ∫©±® ‰U¦Ä ÆUNëuÞ√Ë ≥ σ sŽ W&UMë WOze'« ≥ Ω ©±≠® ≠ ≤ Ω UNÃuÞË ¨ ›≤ ¨ ±≠¤ w¼ vÃË_« WOze'« …d²Hë ± Ω ≤ ≠ ≥ Ω UNÃuÞË ¨ ›≥ ¨ ≤¤ w¼ WO½U¦Ã« WOze'« …d²Hë ∑ Ω ≥ ≠ ±∞ Ω UNÃuÞË ¨ ›±∞ ¨ ≥¤ w¼ W¦ÃU¦Ã« WOze'« …d²Hë
- 13. π ÆW¹ËU ²Ä dOž oÐU ë ‰U¦*« w WOze'« «d²Hë ‰«uÞ√ Ê√ kŠô ›»¨ ¤WIKG*«…d²HKÃÊσWze−²Ã«sŽW&UMëWOze'« «d²HëlOLł‰«uÞ√UNO ÊuJðw²Ã«W U)«WÃU(«w Ë w ˨WLE²MÄWO½u½Wze& ÊσWze−²Ã«wL ½UM½S ¨ Ê ≠ » Ω Ê ”Δ Ω ÆÆÆ Ω ≤ ”Δ Ω ± ”Δ Ê√ Í√ ¨W¹ËU ²Ä ∫ÊuJ¹ WÃU(« Ác¼ Ω ∞ ” ± × Ê ≠ » ´ Ω …bŠ«Ë WOzeł …d² ‰uÞ ´ Ω ± ” ≤ × Ê ≠ » ´ Ω 5²Ozeł 5ðd² ‰uÞ ´ Ω ≤ ” ⋮ — × Ê ≠ » ´ Ω «d²Hë sÄ © — ® ‰uÞ Ω — ” ∫wK¹U2 Îö błËQ ¨›≤∞¨±≤≠¤ WIKG*« …d²HKà WLE²MÄ Wze& ∏ σ X½U «–≈ ∫©≤® ‰U¦Ä Æ∏ σ sŽ W&UMë W ÄU)« WOze'« …d²Hë » Æ∏ σ Wze−²Ã« √ ¥ Ω ∏ ©±≤≠® ≠ ≤∞ Ω Ê ≠ » ΩWOze'« …d²Hë ‰uÞ √ {≤∞ ¨ ±∂ ¨ ±≤ ¨ ∏ ¨ ¥ ¨ ∞ ¨ ¥≠ ¨ ∏≠ ¨ ±≤≠ }Ω ∏σ ∴ Æ›µ ” ¨ ¥ ”¤ w¼ ∏σ sŽ W&UMë W ÄU)« WOze'« …d²Hë » — × Ê ≠ » ´ Ω — ” ¥ Ω ¥ × ∏ ≥≤ ´ ±≤≠ Ω ¥ ” ∏ Ω µ × ∏ ≥≤ ´ ±≤≠ Ω µ ” Æ›∏ ¨ ¥¤ w¼ W ÄU)« WOze'« …d²Hë ∴ ÆWLE²MÄ Wze& µ σ sJ²ÃË ¨›∑ ¨ ≤¤ WIKG*« …d²HëvKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ± ´ ”≤ Ω ©”® sJOà ∫©≥® ‰U¦Ä WOze'« «d²Hë U¼bŽ«uÁ w²Ã« öOD² *« rÝ—« rŁ¨tÃU−Ä vKŽ ©”® ٌ vM×MÄ rÝ—« √ Æ «d²Hë pKð U¹«bÐ bMŽ ©”® ٌ Ê«d²Áô« rOÁ UNðUŽUHð—«Ë ¨ µσ sŽ W&UMë Æ©√® ŸdHë w öOD² *« UŠU Ä ŸuL−Ä błË√ »
- 14. ±∞ ± Ω µ ≤ ≠ ∑ Ω Ê ≠ » Ω ”Δ √ {∑ ¨ ∂ ¨ µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ }Ω µ σ …d²HëvKŽ©”® ٌ vM×MÄq¦1 ©≤≠¥®qJAë öOD² *« q¦9 WKKE*« WIDM*«Ë ¨›∑¨≤¤ ¨µσ sŽ W&UMë WOze'« «d²Hë U¼bŽ«uÁ w²Ã« pKð U??¹«b??Ð bMŽ Ê«d??²??Áô« rOÁ UNðUŽUHð—«Ë Æ «d²Hë ” µ ’ ±∂ ±≤ ∏ ¥ ¥≥≤ ∂ ∑ ± ´ ”≤ Ω ©”® ©≤≠¥® qJAë ÊÒuJ½ öOD² *« UŠU Ä ŸuL−Ä œU−¹ù » ∫wðü« ‰Ëb'« WOze'« …d²Hë ›— ” ¨±≠— ”¤ WOze'« …d²Hë ‰uÞ — ”Δ qOD² *« ŸUHð—« ©±≠— ”® qOD² *« WŠU Ä — ”Δ × ©±≠— ”® ›≥ ¨ ≤¤±µ Ω ©≤®µ ›¥ ¨ ≥¤±∑ Ω ©≥®∑ ›µ ¨ ¥¤±π Ω ©¥®π ›∂ ¨ µ¤±±± Ω ©µ®±± ›∑ ¨ ∂¤±±≥ Ω ©∂®±≥ ¥µ WFÐdÄ …bŠË ¥µ Ω öOD² *« UŠU Ä ŸuL−Ä ∴ — ”Δ × ©±≠— ”® ٌ µ ∑ ±Ω — Ω oÐU ë ‰U¦*« w öOD² *« lOLł UŠU Ä ŸuL−Ä Ê√ kŠô Ƶσ Wze−²Kà W³ MÃUÐ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ÊU1— ŸuL−Ä ¨ŸuL−*« «c¼ vL ¹ ÊUL¹— ŸuL−Ä ∫n¹dF𠨛» ¨ ¤ …d²HKà WO½u½ Wze& Ê σ X½UÂË ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ Wze−²Kà W³ MÃUÐ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ÊU1— ŸuL−Ä ÊS ª›— ”¨±≠— ”¤ WOze'« …d²HKà wL²M¹ —*” œbFë ÊUÂË ∫wK¹ UL ·dF¹ ¨© ٌ ¨Êσ®  eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨ Êσ — ”Δ × ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ω © ٌ ¨ Êσ® Â
- 15. ±± WGOBë ÊU1— ŸuL−Ä c ²¹ ¨›» ¨ ¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ ÊuJð UÄbMŽ W U)« WÃU(« w Ë ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ » Ω © ٌ ¨ Êσ®  dO¦Â Ê«d²Áöà WLE²M*« WO½uMë Wze−²Ã« vKŽ ¨ÊU1— ŸuL−0 WIKF²*« UÐU (« w ¨Î«bŽUB Êü« sÄ dB²IMÝ Æ≤ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô Ícë œËb(« …d²HKà ¥σ WLE²M*« Wze−²Kà W³ MÃUÐ π ´ ”≤ ´ ≤” Ω ©”® ٌ Ê«d²Áöà ÊU1— ŸuL−Ä błË√ ∫©¥® ‰U¦Ä ∫5²Oðü« 5²ÃU(« sÄ >q w ›∂ ¨ ≤≠¤ — ” Ω —*” –U ðUÐ √ ≤ — ”´ ±≠— ” Ω —*” –U ðUÐ » {∂¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ∞ ¨ ≤≠}Ω µσ ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ » Ω © ٌ ¨ Êσ®  ∫ — ” Ω—*” √ ©— ”® ٌ ¥ ∑ ±Ω — ¥ ©≤≠®≠∂ Ω © ٌ ¨ ¥σ®  ∴ ©©¥ ”® ٌ ´ ©≥ ”® ٌ ´ ©≤ ”® ٌ ´ ©± ”® ٌ ®≤ Ω ©©∂® ٌ ´ ©¥® ٌ ´ ©≤® ٌ ´ ©∞® ٌ ®≤ Ω ©µ∑ ´ ≥≥ ´ ± ∑ ´ π®≤ Ω ≤≥≤ Ω ±±∂ × ≤ Ω ∫ ≤ — ” ´ ±≠— ” Ω—*” » © ≤ — ” ´ ±≠— ” ® ٌ ¥ ∑ ±Ω — ≤ Ω © ٌ ¨ ¥σ®  ∴ ©©µ® ٌ ´ ©≥® ٌ ´ ©±® ٌ ´ ©±≠® ٌ ®≤ Ω ©¥¥ ´ ≤¥ ´ ±≤ ´ ∏® ≤ Ω ±∑∂ Ω ∏∏ × ≤ Ω
- 16. ±≤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ X½UÂË ¨ ›± ¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ÎU dFÄ ”µ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦Ä błËQ ¨›± ¨ ∞¤ ≤ ©± ´ Ê® Ê Ω — Ê ∑ ±Ω — ÊQÐ ÎULKŽ ¨— ” Ω —*” Ϋc ²Ä © ٌ ¨ Êσ®  ÊU1— ŸuL−Ä √ © ٌ ¨ Êσ®  ∞ ← Ê » ± Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ©”® vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä ?ł Ê ± Ω Ê ≠ » Ω …bŠ«uë WOze'« …d²Hë ‰uÞ — × Ê ≠ » ´ Ω — ” Ω —*” √ Ê — Ω — × Ê ± ´ ∞ Ω ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω © ٌ ¨ Êσ®  © Ê — ® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ± Ω — Ê ∑ ±Ω — ≤ Ê µ Ω Ê —µ Ê ∑ ±Ω — Ê ± Ω ≤ Ê≤ ʵ ´ ≤ ʵ Ω ≤ ©± ´ Ê® Ê × ≤ Ê µ Ω Ê≤ µ ´ ≤ µ Ω ©Ê≤ µ ´ ≤ µ ® ∞ ← Ê Ω © ٌ ¨ Êσ®  ∞ ← Ê » ≤ µ Ω ∞ ´ ≤ µ Ω WKKE*« WIDM*« WŠU Ä w¼ WÐuKD*« WŠU *« ?ł rzUÁ YK¦Ä WŠU Ä ÍËU ðË ©≥≠¥® qJAë w µ Ω tŽUHð—«Ë ¨± Ω tðbŽUÁ ‰uÞ W¹Ë«eë µ ” ’ ± ”µΩ©”® ∞ ©≥≠¥® qJAë WFÐdÄ …bŠË ≤ µ Ω ≤ µ × ± Ω WŠU *« ∴ …d²HKÃ Ê σWze−²Kà W³ MÃUÐ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ÊU1— ŸuL−Ä W¹UN½ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½ UMO ë —u×ÄË ©”® ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä ÎU¹œbŽ ÍËU ð ›± ¨ ∞¤ Ʊ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI² *«Ë
- 17. ±≥ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Ê σ X½UÂË ›≤ ¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ÎU dFÄ ≤” Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©∂® ‰U¦Ä ∂ ©±´Ê≤® ©±´Ê®Ê Ω ≤— Ê ∑ ±Ω — ÊQÐ ÎULKŽ ¨ — ” Ω —*” «c ²Ä © ٌ ¨ Êσ®Â błËQ ¨›≤ ¨ ∞¤ Ê ≤ Ω Ê ≠ » Ω …bŠ«uë WOze'« …d²Hë ‰uÞ — × Ê ≠ » ´ Ω — ” Ω —*” Ê —≤ Ω — × Ê ≤ ´ ∞ Ω ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω © ٌ ¨ Êσ®  © Ê —≤ ® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≤ Ω ≤— ≤ Ê ¥ Ê ∑ ±Ω — Ê ≤ Ω ≤— ∑ ≤ Ê ¥ × Ê ≤ Ω ∂ ©± ´ Ê≤® ©± ´ Ê® Ê × ≤ Ê ¥ × Ê ≤ Ω ≤ Ê≥ ¥ ´ ʱ≤ ´ ≤ Ê∏ Ω ©≤≠¥® s¹—U9 ›≥ ¨ ±≠¤ …d²HKà WOÝUL)« WLE²²*« Wze−²Ã« V²Â« ± ÆWze−²Ã« Ác¼ sŽ W&UMë …dAŽ WÝœU ë WOze'« …d²Hë błË√ ¨›≥ ¨ ≤≠¤ …d²HKà WLE²MÄ Wze& ≤∞ σ X½U «–≈ ≤ ∫WOðü« ôU(« sÄ >q w Ê σ Wze−²Kà W³ MÃUÐ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ÊU1— ŸuL−Ä błË√ ≥ ±≠— ” Ω —*” ¨ ›∂ ¨ ∞¤ …d²HKà WLE²MÄ Wze& ¥ σ¨ ≥ Ω ©”® ٌ √ — ” Ω —*” ¨ ›¥ ¨ ≤≠¤ …d²HKà WLE²MÄ Wze& ∂σ ¨” ≠ ≤ Ω ©”® ٌ » ≤ — ” ´ ±≠— ” Ω —*” ¨ ›¥ ¨ ∞¤ …d²HKà WLE²MÄ Wze& ¥σ ¨≤” ´ ∂ Ω ©”® ٌ ?ł błËQ ¨…d²Hë ÁcNà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ ¨›µ ¨ ∞¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ ÎU dFÄ ± ≠ ”≥ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ¥ Æ— ” Ω —*”Ϋc ²Ä © ٌ ¨ Êσ®  ÊU1— ŸuL−Ä błËQ ¨…d²Hë ÁcNà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ ¨›≥¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ÎU dFÄ ± ´ ≤” Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ µ Æ— ” Ω —*”Ϋc ²Ä © ٌ ¨ Êσ® Â
- 18. ±¥ (Definite Integral) œËb;« qÄUJ²Ã« ≥≠¥ ∫n¹dF𠨛» ¨ ¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ X½UÂË ¨›» ¨ ¤ vKŽ*ΫœËb×ÄË ÎU dFÄ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ Ê«d????²Áô« Ê≈ ‰UI¹ t½S ¨›— ” ¨ ±≠— ”¤ ∋—*” rOÁ lOL' W¹ËU??? ²ÄË …œułuÄ © ٌ ¨Êσ®  ∞ ← Ê X½UÂË ©”® ٌ Ê«d²Áöà œËb;« qÄUJ²Ã« …—uÂc*« W¹UNMë vL ðË ¨›» ¨ ¤ …d²Hë vKŽ qÄUJ²Kà qÐUÁ ©”® ٌ© ٌ ¨ Êσ®  ∞ ← Ê Ω ”s ©”® ٌ » ∫ Ê√ Í√ ª”s ©”® ٌ » ∫ eÄdÃUÐ tà eÄd¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ ∫ UEŠöÄ Ætà ÍuKFë b(« » wL ½Ë qÄUJ²Kà wKH ë b(« wL ½¨ ”s ©”® ٌ » ∫œËb;« qÄUJ²Ã« w ± ¨» ¨ s¹œbFë vKŽË ٌ Ê«d²Áô« …bŽUÁ vKŽ ”s ©”® ٌ » ∫ œËb;« qÄUJ²Ã« WLOÁ nÁu²ð ≤ ¨dš¬ dOG²Ä Í√ tK×Ä q×¹ Ê√ sJ1Ë qÄUJ²Ã« WOKLŽ w W Uš WOL¼√ tà fOK ” dOG²*« UÄ√ ∫Ê√ Í√ ¨ÆÆÆ ¨ Ÿ ¨ ’ q¦Ä aÃ≈ ÆÆÆ Ω Ÿs ©Ÿ® ٌ » ∫Ω ’s ©’® ٌ » ∫Ω ”s ©”® ٌ » ∫ b(« Ê√ Í√ ¨» > Ê√ ÷«d² « sLC²¹ ÁöŽ√ w œ—«uë ”s ©”® ٌ » ∫œËb;« qÄUJ²Ã« n¹dFð Ê≈ ≥ ∫5OÃU²Ã« 5H¹dF²Ã« Âb ² ½ Èdš_« ôU(« w Ë Ætà ÍuKFë b(« sÄ dG √ qÄUJ²Kà wKH ë ”s ©”® ٌ » ∫≠ Ω ”s ©”® ٌ » ∫ ≤ ∞ Ω ”s ©”® ٌ ∫ ± ›» ¨ ¤ vKŽ VÃUÝ dOž ÎU½«d²Á« ©”® ÊU «–≈ ¥ ”s ©”® ٌ » ∫œËb;« qÄUJ²Ã« ÊS qÄUJ²Kà ÎöÐUÁË Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä q¦1 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ©”® ٌÆ©¥≠¥® qJAë kŠô Æ » Ω ” ¨ Ω ” ” ’ » ©”® Ω ’ ©¥≠¥® qJAë ∫Ê≈ YO×Р¨ ‰ ÊUOIOIŠ Ê«œbŽ błË «–≈ jI Ë «–≈ ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ œËb×ÄË ·dFÄ Ê«d²Á« ©”® Ê≈ ‰UI¹ * Æ›» ¨ ¤ ∋ ” rOÁ lOL'  ≥ ©”® ≥ ‰
- 19. ±µ Æ”s ¥ ≤ ∞ ∫ œU−¹ù œËb;« qÄUJ²Ã« n¹dFð Âb ²Ý« ∫©±® ‰U¦Ä ›≤ ¨ ∞¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ sJ²Ã ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω © ٌ ¨ Êσ®  XÐUŁ ©”® ٌ Ê_ ª›— ” ¨ ±≠— ”¤ ∋—*” rOÁ lOL' ¥ Ω ©—*”® ٌ Ê≈ YOŠË ∏ Ω Ê¥ × Ê ≤ Ω ¥ Ê ∑ ±Ω — Ê ≤ Ω © ٌ ¨ Êσ®  ∴ ∏ Ω ”s ¥ ≤ ∞ ∫ Ê√ Í√ ©∞≠≤®¥ Ω ∏ Ω ”s ¥ ≤ ∞ ∫ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠô ©wKH ë b(« ≠ ÍuKFë b(«® × XÐU¦Ã« Ê«d²Áô« WLOÁ Ω ∫ÂUŽ tłuÐ ∫…bŽUÁ © ≠ »® ?ł Ω ”s ?ł » ∫ ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨›» ¨ ¤ ∋” lOL' ¨ ?ł Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫sÄ q WLOÁ błË√ ∫©≤® ‰U¦Ä ”sπ ≤ ∞ ∫ » ”s ∂ ≤ ±≠ ∫ √ ±∏ Ω ≥ × ∂ Ω ©©±≠®≠≤®∂ Ω ”s ∂ ≤ ±≠ ∫ √ π≤ Ω ©∞≠≤® π Ω ”sπ ≤ ∞ ∫ » ∫W¹dE½ Æ…d²Hë pKð vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÊuJ¹ t½S ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ ÎöB²Ä ©”® ٌ Ê«d²Áô« ÊU «–≈
- 20. ±∂ ”s ” » ∫œU−¹ù œËb;« qÄUJ²Ã« n¹dFð Âb ²Ý« ∫©≥® ‰U¦Ä Êσ sJ²Ã Æ©œËbŠ dO¦Â® qB²Ä t½_ ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà qÐUÁ ” Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« Æ›» ¨ ¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& — ” Ω —*” –U ðUÐ ¨ ©— ”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω ©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω © ٌ ¨ Êσ®  ©— × Ê ≠ » ´ ® Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω — ” Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ Ω › ≤ ©± ´ Ê® Ê × Ê ≠ » ´ ʤ Ê ≠ »ÿ Ω ›— Ê ∑ ±Ω — × Ê ≠ » ´ Ê ∑ ±Ω —¤ Ê ≠ »ÿ Ω Ê ± ´ Ê × ≤ ≤ © ≠ »® ´ © ≠ »® Ω © Ê ± ´ Ê × ≤ ≤ © ≠ »® ´ © ≠ »® ® ∞ ← Ê Ω ”s ” » ∫ ∴ ≤ ≤ ≠ ≤» Ω ≤ ≤ © ≠ »® ´ © ≠ »® Ω ∫WOÃU²Ã« …bŽUIë vÃ≈ q u²Ã« sJ1 ÂUŽ tłuÐ ∫…bŽUÁ wFO³Þ œbŽ Ê ¨ ± ´ Ê ±´Ê ≠ ±´Ê » Ω ”s Ê ” » ∫ ∫WOÃU²Ã« öÄUJ²Ã« sÄ >q WLOÁ bł ∫©¥® ‰U¦Ä o½s ≤ o½ ¥ ≤ ∫ » ”s ¥” ≥ ± ∫ √ µ ≤¥≤ Ω µ µ ± ≠ µ ≥ Ω ± ´ ¥ ±´¥ ± ≠ ±´¥ ≥ Ω ”s ¥” ≥ ± ∫ √ ≥ µ∂ Ω ≥ ≥ ≤ ≠ ≥ ¥ Ω ± ´ ≤ ±´≤ ≤ ≠ ±´≤ ¥ Ω o½s ≤ o½ ¥ ≤ ∫ » ∫W¹dE½ ©”® ٌ Ω ©”®?¼ Ê«d²Áô« ÊUÂË ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ©”® ٌ Ê«d²Áô« ÊU «–≈ ÊuJ¹ ©”®?¼ ÊS ¨›» ¨ ¤ …d²Hë w ” rOÁ sÄ WON²MÄ WŽuL−Ä «bŽ ¨›» ¨ ¤ ∋” rOÁ lOL' ”s ©”® ٌ » ∫ Ω ”s ©”®?¼ » ∫ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ
- 21. ±∑ vKŽ qÄUJ²Kà qÐUÁ ©”® Ê√ 5³ ¨›± ¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ÎU dFÄ ›”¤ Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦Ä ”s ›”¤ ± ∞ ∫błË√ rŁ ›± ¨ ∞¤ ›± ¨ ∞ ¤ ∋” lOL' ∞ Ω ©”®?¼ Ê√ ÷dHÐ ± Ω ” bMŽ «bŽ ›± ¨ ∞¤ ∋” lOL' ©”®?¼ Ω ©”® ٌ ÊuJ¹ XÐUŁ Ê«d²Á« t½_ ¨›± ¨ ∞¤ vKŽ qÄUJ²Kà qÐUÁ ∞ Ω ©”® ?¼ Ê≈ YOŠË ›± ¨ ∞¤ vKŽ qÄUJ²Kà qÐUÁ ›”¤ Ω ©”® ٌ Ê–≈ dH Ω”s ∞ ± ∞ ∫Ω ”s ›”¤ ± ∞ ∫ ÊuJ¹Ë ©≥≠¥® s¹—U9 WO½u½ Wze& Êσ YOŠ ¨ ≤ Ê ± ´ ¥ Ω © ٌ ¨ Êσ®  ÊUÂË ¨›µ ¨ ≤¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ± ∫błËQ ¨›µ ¨ ≤¤ …d²HKà WLE²MÄ ”s ©”® ٌ ≤ µ ∫ » ”s ©”® ٌ µ ≤ ∫ √ ∫sÄ >q œU−¹≈ w œËb;« qÄUJ²Ã« n¹dFð Âb ²Ý« ≤ ”s ©± ≠ ≤”® ¥ ≤ ∫ ?ł ”s ©± ´ ”® ≥ ± ∫ » ”sµ ≤ ∞ ∫ √ ∫sÄ >q WLOÁ błË√ ≥ ”s ≥” ±[≥ ±[≥ ∫ œ ”s µ” ≤ ≤≠ ∫ ?ł ”s ∂ ≤ ±≠ ∫ » ”s ∏ ≤ ∫ √ ∫WÃUŠ q w …UDF*« …d²Hë vKŽ qÄUJ²Kà WOÃU²Ã« U½«d²Áô« sÄ >q WOKÐUÁ w V³ ë 5Ð ¥ ›± ¨ ≤≠ ¤ …d²Hë vKŽ ¨ ≥ ´ ≤” Ω ©”® ٌ √ › ≤ ¨ ∞ ¤ …d²Hë vKŽ ¨ ” Uł Ω ©”® ٌ » ›≤ ¨ ∞ ¤ …d²Hë vKŽ ¨ ± ”¨ ≤” ± Ω ”¨ µ Ω ©”® ٌ ?ł ›≤ ¨ ± ¤ …d²Hë vKŽ ¨ › ± ´ ” ¤ Ω ©”® ٌ œ ∫WOÃU²Ã« ôU(« sÄ >q w » Vłu*« XÐU¦Ã« 5Ž µ ∞[≤µ Ω ”s » ” ± ∞ ∫ ?ł ≤¥ Ω ”s” » ± ∫ » ±µ Ω ”s» ≥ ∞[µ ∫ √
- 22. ±∏ œËb;« qÄUJ²Ã« hzUBš ¥≠¥ ∫hzUB)« Ác¼ sÄË ¨ ôU(« sÄ dO¦Â w U½«d²Áô« iF³Ã tÐU Š qON ð w bŽU ð WLNÄ hzUBš œËb;« qÄUJ²Kà ∫©±® WÒO Uš ©”® ٌ ?ł Ê«d²Áô« ÊS ¨wIOIŠ œbŽ Í√ ?ł ÊUÂË ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ”s ©”® ٌ » ∫?ł Ω ”s ©”® ٌ ?ł » ∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÊuJ¹ ∫ÊU¼d³Ã« ›» ¨ ¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Êσ sJ²Ã © ٌ ?ł ¨ Êσ®  ∞ ← Ê Ω ”s ©”® ٌ ?ł » ∫ ©©—*”® ٌ ?ł Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ ® ∞ ← Ê Ω ©©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — ?ł × Ê ≠ »ÿ ® ∞ ← Ê Ω ”s ©”® ٌ » ∫ ?ł Ω ©©—*”® ٌ Ê ∑ ±Ω — Ê ≠ »ÿ ® ∞ ← Ê × ?ł Ω ”s ≤”≥ ¥ ± ∫błË√ ∫©±® ‰U¦Ä ”s ≤” ¥ ± ∫≥ Ω ”s ≤”≥ ¥ ± ∫ ∂≥ Ω ≥ ∂≥ × ≥ Ω ≥ ≥ ± ≠ ≥ ¥ × ≥ Ω ∫©≤® WÒO Uš ¨©”®?¼ ´ ©”® ٌ ∫5½«d²Áô« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUÁ 5½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”® ٌ ÊU «–≈ ∫ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUÁ ÊU½uJ¹ ©”®?¼ ≠ ©”® ٌ”s ©”®?¼ » ∫ ∓ ”s ©”® ٌ » ∫ Ω ”s ©©”®?¼ ∓ ©”® ٌ ® » ∫ Æ5½«d²Á« sÄ d¦Â_ WO U)« Ác¼ rOLFð sJ1Ë
- 23. ±π ”s ©”≤ ≠ ≤”® ≥ ∞ ∫ WLOÁ błË√ ∫©≤® ‰U¦Ä ”s ”≤ ≥ ∞ ∫≠ ”s ≤” ≥ ∞ ∫ Ω ”s ©”≤ ≠ ≤”® ≥ ∞ ∫ ≤ ≤ ∞ ≠ ≤ ≥ × ≤ ≠ ≥ ≥ ∞ ≠ ≥ ≥ Ω ∞ Ω π ≠ π Ω ∫©W U{ù« WO Uš® ©≥® WÒO Uš pK²Ã wL²M𠜫bŽ√ WŁöŁ W¹√ ¨ ?ł ¨ » ¨ X½UÂË ¨WIKGÄ …d² vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫ÊS ¨…d²Hë ”s ©”® ٌ » ?ł ∫ ´ ”s ©”® ٌ ?ł ∫ Ω ”s ©”® ٌ » ∫ ”s ¸≤ ≠ ”¸ µ ∞ ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦Ä ≤ ≥ ” ≥ ∞ ¨ ” ≠ ≤ µ ≥ ” ≥ ≤ ¨ ≤ ≠ ” Ω ¸≤ ≠ ”¸ ”s ©≤ ≠ ”® µ ≤ ∫ ´”s ©” ≠ ≤® ≤ ∞ ∫ Ω ”s ¸≤ ≠ ”¸ µ ∞ ∫ ©≤ ≠ µ®≤ ≠ ≤ ≤ ≤ ≠ ≤ µ ´ ≤ ≤ ∞ ≠ ≤ ≤ ≠ ©∞ ≠ ≤®≤ Ω ∂[µ Ω ∂ ≠ ±∞[µ ´ ≤ ≠ ¥ Ω ”s ©”® ٌ ∂ π ∫ ≠ ”s ©”® ٌ ∂ ± ∫ ∫bŠ«Ë qÄUJð …—u w V²Â√ ∫©¥® ‰U¦Ä ”s ©”® ٌ π ∂ ∫ ´ ”s ©”® ٌ ∂ ± ∫ Ω ”s ©”® ٌ ∂ π ∫ ≠ ”s ©”® ٌ ∂ ± ∫ ”s ©”® ٌ π ± ∫ Ω
- 24. ≤∞ ∫©W½—UILë WO Uš® ©¥® WÒO Uš rOÁ lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ٌ ÊUÂË ¨ ›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUÁ 5½«d²Á« ©”®?¼ ¨ ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋” ”s ©”®?¼ » ∫ ≤ ”s ©”® ٌ » ∫ ∫W−O²½ ∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋” rOÁ lOL' ∞ ≤©”® ٌ ÊUÂË ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ∞ ≤ ”s ©”® ٌ » ∫ Æ5KÄUJ²Ã« sÄ >q WLOÁ »U Š ÊËœ ¨”s ”≤ ∂ ±≠ ∫ ≤ ”s ©µ ´ ≤”® ∂ ±≠ ∫ Ê√ 5Ð ∫©µ® ‰U¦Ä ›∂ ¨ ±≠¤ ∋” lOL' ”≤ ≤©µ ´ ≤”® Ê«d²Áô« Ê√ s¼d³½ Ê√ WM¹U³²*« W× U³Łù wHJ¹ ›∂ ¨ ±≠¤ ∋” lOL' ¨ ∞ ≤ ”≤ ≠ µ ´ ≤” —«bI*« Ê√ Í√ ¥ ´ ± ´ ”≤ ≠ ≤” Ω ”≤ ≠ µ ´ ≤” ¥ ≤ ¥ ´ ≤ ©± ≠ ”® Ω ∋” lOL' ∞ ≤ ”≤ ≠ µ ´ ≤” Ê√ Í√ ›∂ ¨ ±≠¤ ∋” lOL' ”≤ ≤ µ ´ ≤” ∴ ”s ”≤ ∂ ±≠ ∫ ≤ ”s ©µ ´ ≤”® ∂ ±≠ ∫ ⇐ ¥ ¨ ≤ 5²LOIë 5Ð lI¹ ”s ©”≥ Uł ´ ≥® ∞ ∫ Ê√ 5Ð ∫©∂® ‰U¦Ä ± ”≥ Uł ±≠ ∴ ± ”Uł ±≠ ¥ ”≥ Uł ´ ≥ ≤ ∴ ”s¥ ∞ ∫≥”s©”≥ Uł ´ ≥® ∞ ∫ ”s≤ ∞ ∫ ∴ ¥ ≥”s©”≥ Uł ´ ≥® ∞ ∫ ≥ ≤ ∴
- 25. ≤± ”s ± ´ ≤” ± ≠ ”≤ ¥ ± ∫ qÄUJ²Ã« …—Uý≈ 5Ž ∫©∑® ‰U¦Ä ¨ ± ´ ≤” ± ≠ ”≤ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« …—Uý≈ ”—b½ ©µ≠¥® qJAë w UL ›¥ ¨ ±¤ …d²Hë w W³łuÄ ± ´ ≤” ± ≠ ”≤ Ê«d²Áô« …—Uý≈ ∴ ∞ < ”s ± ´ ≤” ± ≠ ”≤ ¥ ± ∫ ∴ ≤ ± ≠ ≠ ≠ ´ ´ ´j ³Ã« …—Uý≈ ≤ ± ´ ´ ´ ´ ´ ´ÂUILë …—Uý≈ ≤ ± ≠ ≠ ≠ ´ ´ ´©”® …—Uý≈ ∞ ´ ∞ ©µ≠¥® qJAë ©¥≠¥® s¹—U9 ∫sÄ Îö błËQ ∏ Ω ”s ©”®?¼ µ ± ∫¨∂ Ω ”s ©”® ٌ µ ± ∫ ¨¥≠ Ω ”s ©”® ٌ ≤ ± ∫ÊU «–≈ ± ”s ©©”®?¼ ≠ ©”®‚¥® µ ± ∫ ?ł ”s ©”® ٌ µ ≤ ∫ » ”s ©”® ٌ ≥ ≤ ± ∫ √ ∫bŠ«Ë qÄUJð …—u w V²Â√ ≤ ”s ©”® ٌ ≥ ± ∫ ≠ ”s ©”® ٌ ∑ ± ∫ » ”s ©”® ٌ ∂ ≤≠ ∫ ´ ”s ©”® ٌ ≥ ∂ ∫ √ ∫Ê√ 5Ð WOÃU²Ã« ôU(« sÄ >q w öÄUJ²Ã« »U Š ÊËœ ≥ ∞ ≤”s ©”Uł ´ ±® π≤ ∞ ∫ » ”s ©µ ´ ”≥® ¥ ± ∫ ≥”s ©∂ ´ ”≤® ¥ ± ∫ √ ∞ ≥”s ©±∂ ´ ”±∞ ≠ ≤”≠® ∂ ≥ ∫ œ ∞ ≤ ”s ¸µ ≠ ≤”¸ ∂ ±≠ ∫ ?ł ∫sÄ >q WLOÁ bł ¥ ”s ¸≤ ≠ ”¸ ∞ ≥≠ ∫ ?ł ”s≤ ©µ ≠ ”≤® ≤ ± ∫ » ”s ≤ √ ≤∞ ±≠ ∫ √ ”s ©”® ٌ ≤ ∞ ∫ WLOÁ błËQ ± ≥ ” ≥ ∞ ¨ ± ´ ≤” ≤ ≥ ” ≥ ± ¨ ” ≠ ≤ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ µ ø”s ©”®?¼ µ ≥ ± ∫WLOÁ UL ¨π Ω ”s ©”® ٌ ≥ ≥ ± ∫ÊUÂË ¨±π Ω ”s ©©”®?¼∑ ´ ©”® ٌ ¥® ≥ ± ∫ÊU «–≈ ∂ ø?ł rOÁØWLOÁ UL ∞ Ω ”s ©” ≠ ±®” ?ł ∞ ∫ÊU «–≈ ∑ ± Ω ”s ©”® ٌ ± ∞ ∫ ¨∞ Ω ©±® ٌ Ω ©∞® ٌ ∫Ê≈ YO×Ð ¨©”® ٌ WO½U¦Ã« Wł—bë sÄ œËb(« dO¦Â błË√ ∏
- 26. ≤≤ (Fundamental Theorem of Calculus) qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« w WOÝUÝ_« W¹dEMë µ≠¥ rN ð UÄ vÃ≈ W¹dEMë Ác¼ WOL¼√ œuFðË ¨qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« rKŽ U¹dE½ r¼√ ÈbŠ≈ bM³Ã« «c¼ w ·dF²MÝ nA²Â« bÁË ªÈdš√ WNł sÄ œËb;« qÄUJ²Ã« WLOÁ »U ŠË ¨WNł sÄ …œËb;« dOž öÄUJ²Ã« œU−¹≈ w tÐ q{UH²Ã«rKŽfÝ√wF{«ËUL¼—U³²ŽUШo×Шs¹d¹błULNKFłU2¨s¹œdHMÄeM³¹ôËsðuO½ÊU*UFëW¹dEMëÁc¼ ÆqÄUJ*« Ê«d²Áô« vL ¹ UÄ ·dF²½ W¹dEMë ÁcNÃΫbON9Ë ¨dAŽ lÐU ë ÊdIë w qÄUJ²Ã«Ë ∫n¹dFð ¨’s ©’® ٌ ” ∫ Ω ©”® Ê«d²Áô« ÊS ¨› »¨ ¤ …d²Hë vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ Æ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« vL ¹ ¨» ≥” ≥ Æ›µ ¨ ±¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ ± ´ ≤”≥ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« błË√ ∫©±® ‰U¦Ä » ≥” ≥ ¨ ’s ©’® ٌ ” ∫ Ω©”® µ ≥” ≥ ± ¨ ’s ©± ´ ≤’≥® ” ± ∫ Ω ’s ± ” ± ∫ ´ ’s ≤’ ” ± ∫≥ Ω ©± ≠ ”®± ´ ≥ ≥ ± ≠ ≥” × ≥ Ω ≤ ≠ ” ´≥” Ω ± ≠ ” ´ ± ≠ ≥” Ω ± > ” ≥ ∞ ¨ ”≥ ≤ ≥ ” ≥ ± ¨ ”¥ ≠ ∂ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦Ä ›≤ ¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« błËQ ≤ ≥ ” ≥ ∞ ¨ ’s ©’® ٌ ” ∫ Ω©”® ∫ÊS ± >” ≥ ∞ X½U «–≈ ∫ÎôË√ ’s ’ ” ∞ ∫≥ Ω ’s ’≥ ” ∞ ∫ Ω©”® ≤” ≤ ≥ Ω ≤ ≤ ∞ ≠ ≤” × ≥ Ω
- 27. ≤≥ ∫ÊS ≤ ≥” ≥ ± X½U «–≈ ∫ÎUO½UŁ ’s ©’¥ ≠ ∂® ” ± ∫ ´ ’s ’≥ ± ∞ ∫ Ω©”® © ≤ ≤ ± ≠ ≤” ®¥ ≠ ©± ≠ ”®∂ ´ ≤ ©≤ ∞ ≠ ≤ ±® ≥ Ω ≤ µ ≠ ≤”≤ ≠ ”∂ Ω ± > ” ≥ ∞ ¨ ≤” ≤ ≥ ≤ ≥ ” ≥ ± ¨ ≤ µ ≠ ≤”≤ ≠ ”∂ Ω©”® ∴ bMŽ qB²Ä ©”® qÄUJ*« Ê«d??²??Áô« sJÃË ¨± Ω ” bMŽ qB²Ä dOž ©”® ٌ Ê√ ‰U¦*« «c??¼ w k??Šô Æ©pÖ sÄ oI%® ± Ω ” ∫ÂUŽ tłuÐ ∫W¹dE½ ÊuJ¹ ’s ©’® ٌ ” ∫ Ω ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ©”® ٌ ÊU «–≈ Æ›» ¨ ¤ vKŽ ÎöB²Ä ∫…bŽUIÃUÐ vDF¹ ›¥¨±¤ …d²Hë vKŽ ·dF*« ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦Ä Æ» ¨ 5²ÐU¦Ã« błËQ ≤ > ” ≥ ± ¨ » ´ ”≤ ¥ ≥ ” ≥ ≤ ¨ ≤ ´ ≤” Ω ©”® ’s ©’® ٌ ” ± ∫ Ω ©”® dH Ω ’s ©’® ٌ ± ± ∫ Ω ©±® ⇐ ≤≠ Ω » UNMÄË ∞ Ω » ´ ± × ≤ ∴ ≤ Ω ” bMŽ qB²Ä uN ›¥ ¨ ±¤ vKŽ qB²Ä ©”® Ê«d²Áô« ©≤® Ω ©”® ´ ≤ ← ” Ω ©”® ≠ ≤ ← ” ∴ ≤ ´ ¥ Ω » ´ ¥ ∴ ±≠ Ω ÊuJð i¹uF²ÃUÐË ≤ Ω » UNMÄË
- 28. ≤¥ Æ›¥ ¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ·dF*« ¸ ≥ ≠ ” ¸ Ω ©”® Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« bł ∫©¥® ‰U¦Ä Æ©”®Ó błË√ rŁ ≥ > ” ≥ ∞ ¨ ” ≠ ≥ ¥ ≥ ” ≥ ≥ ¨ ≥ ≠ ” Ω ©”® ٌ’s ©’® ٌ ” ∞ ∫ Ω ©”® ∫ÊS ≥ >” ≥ ∞ X½U «–≈ ∫ÎôË√ ’s ©’ ≠ ≥® ” ∞ ∫ Ω ’s ©’® ٌ ” ∞ ∫ Ω©”® ©pÖ sÄ oI%® ≤ ≤” ≠ ”≥ Ω ∫ÊS ¥ ≥” ≥ ≥ X½U «–≈ ∫ÎUO½UŁ ’s ©≥ ≠ ’® ” ≥ ∫ ´ ’s ©’ ≠ ≥® ≥ ∞ ∫ Ω©”® π ´ ”≥ ≠ ≤ ≤” Ω ©≥ ≠ ”®≥ ≠ ≤ π ≠ ≤” ´ ≤ π Ω ≥ ≥ ” ≥ ∞ ¨ ≤ ≤” ≠ ”≥ ¥ ≥ ” ≥ ≥ ¨ π ´ ”≥ ≠ ≤ ≤” Ω ©”® ∴ ≥ ” ∞ ¨ ” ≠ ≥ ¥ ” ≥ ¨ ≥ ≠ ” ©ø«–U*® ≥ Ω ” ¨ dH Ω ©”® Ó ∴ ¤¥ ¨ ∞ › ∋” ¨ ©”® ٌ Ω ©”® Ó Ê√ kŠô ∫qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« w WOÝUÝ_« W¹dEMë ’s ©’® ٌ ” ∫ Ω©”® ÊUÂË ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²Hë vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫ÎôË√ ©”®Ó Ê√ Í√ ¨¤» ¨ › ∋” lOL' ©”® ٌ Ω ©”®Ó ÊS ¨ ٌ Ê«d²Áöà qÄUJ*« Ê«d²Áô« u¼ ©”® ٌ Ê«d²Áöà wz«bÐ Ê«d²Á« u¼ ›» ¨ ¤ vKŽ ©”® ٌ qB²*« Ê«d²Áöà ÎUOz«bÐ ÎU½«d²Á« ©”®Â ÊU «–≈ ∫ÎUO½UŁ » ¸©”®Â …—uBë vKŽ ‚dHë «c¼ V²J¹Ë ¨© ®Â ≠ ©»®Â Ω ’s ©”® ٌ » ∫ ÊS
- 29. ≤µ ÍœR¹«c¼Ë¨tÃwz«bÐÊ«d²Á«u¼qB²ÄÊ«d²ÁôqÄUJ*«Ê«d²Áô«Ê≈‰uIëW¹dEMëÁc¼sĉË_«r IësLC²¹ WIKGÄ …d² vKŽ qB²Ä Ê«d²Áô œËb;« qÄUJ²Ã« »U ( t½√ ÃU²M²Ý« sLC²¹ Ícë W¹dEMë sÄ w½U¦Ã« r Ië vÃ≈ WI¹dDÐ U½œËe¹ «c¼Ë ª© ®Â ≠ ©»®Â Ω ”s ©”® ٌ » ∫ÊuJO ©”®Â tà ÎUOz«bÐ ÎU½«d²Á« b$ Ê√ wHJ¹ ¨›» ¨ ¤ qÄUJ²Ã« n¹dFð vKŽ WLzUIÃ«Ë ¨œËb;« qÄUJ²Ã« »U ( U¼U½bL²Ž« w²Ã« vÃË_« WI¹dDë sÄ WÃuNÝ d¦Â√ Èdš√ ÆÊU1— ŸuL−Ä W¹UN½ t½QÐ œËb;« ÊUÂË vKŽ ÎöB²Ä ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫©µ® ‰U¦Ä Æ©≥® ٌ błËQ ± ´ ” ´ ≤” Ω ’s©’® ٌ ” ∞ ∫Ω ©”® ©”® ٌ Ω ©”® Ó ± ´ ” ´ ≤” Ω ©”® Ê√ U0Ë ± ´ ”≤ Ω©”® Ó ∴ ± ´ ”≤ Ω ©”® ٌ ∴ ∑ Ω ± ´ ≥ × ≤ Ω ©≥® ٌ UNMÄË ?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’® ٌ ” ≤ π ∫Ω ©”® ÊU «–≈ ∫©∂® ‰U¦Ä vKŽ qB²Ä ٌ ÊQÐ ÎULKŽ ¨ ٌ Ê«d²Áô« …bŽUÁË ¨ ?ł XÐU¦Ã« WLOÁ błËQ ?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’® ٌ ” ≤ π ∫ Ω ©”® ?ł ´ ≤ π U²ł ´ ≤ π Uł Ω ’s ©’® ≤ π ≤ π ∫ Ω ©≤ π ® ∴ ±≠ Ω ?ł UNMÄË ¨?ł ´ ∞ ´ ± Ω dH ∴ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ٌ Ê√ U0Ë ©”® ٌ Ω ©”® Ó ∴ ”Uł ≠ ”U²ł Ω ©”® ٌ Ë√ ¨©”® ٌ Ω ”Uł ≠ ”U²ł ∴
- 30. ≤∂ Ê«d²Áöé”®ÂÎUOz«bÐÎU½«d²Á«V²ÂU ¨›±¨±≠¤…d²HëvKŽÎU dFĵ≠≤”Ω©”® ÊU«–≈ ∫©∑® ‰U¦Ä Æ”s ©”® ٌ ± ±≠ ∫ błË√ rŁ ©”® ?ł ´ ”µ ≠ ≥ ≥” Ω ”s ©µ ≠ ≤”® ∫ ”µ ≠ ≥ ≥” Ω ©”®Â u¼ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”®Â WOz«b³Ã« U½«d²Áô« bŠ√ ÊuJO ©±≠®Â ≠ ©±®Â Ω ”s ©”® ٌ ± ±≠ ∫ ⇐ ≥ ≤∏ ≠ Ω ©µ ´ ≥ ± ≠ ®≠ ©µ ≠ ≥ ± ® Ω ”s©”Uł ´ ”U²ł® ≤ π ∞ ∫błË√ ∫©∏® ‰U¦Ä ”s©”Uł ´ ”U²ł® ≤ π ∞ ∫ ≤ π ∞ǀ©”U²ł ≠ ”Uł® Ω ©∞U²ł ≠ ∞Uł® ≠ ©≤ π U²ł ≠ ≤ π Uł®Ω ≤ Ω ©±≠® ≠ ±Ω ”s¸”¸ ± ±≠ ∫ błË√ ∫©π® ‰U¦Ä ∞ > ” ≥ ±≠ ¨ ”≠ ± ≥ ” ≥ ∞ ¨ ” Ω ¸”¸ ”s” ± ∞ ∫ ´ ”s”≠ ∞ ±≠ ∫ Ω ”s¸”¸ ± ±≠ ∫ ∴ ± ∞ǀ ≤ ≤” ´ ∞ ±≠ǀ ≤ ≤”≠ Ω ± Ω ≤ ± ´ ≤ ± Ω
- 31. ≤∑ ©µ≠¥® s¹—U9 ∫WOðü« U½«d²Áô« sÄ >qJà qÄUJ*« Ê«d²Áô« błË√ ± π ≥” ≥ ∞ ¨ ”Uł ´ ” Ω ©”® ٌ » ¥ ≥” ≥± ¨ ” √ Ω ©”® ٌ √ ≤ ≥” ≥∞ ¨ ¸± ≠ ”¸ Ω ©”® ٌ œ ≤ >” ≥±≠ ¨ ”≥ ≥ ≥” ≥≤ ¨ ” ≠ ∏ Ω ©”® ٌ ?ł Æ ”Uł ´ ± √ Ω ’s ©’® ٌ ” ∞ ∫Ω ©”® qÄUJ*« t½«d²Á« Ê≈ YO×Ð vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ©”® ٌ ≤ Æ©∞®Ó ٌ ¨ ©∞® ٌ błË√ ≤ ≥ ” ≥ ∞ ¨ ≤” µ ≥ ” ≥ ≤ ¨ ´ ”≤ Ω ©”® qÄUJ*« t½«d²Á«Ë ¨›µ ¨ ∞¤ vKŽ qB²Ä Ê«d²Á« ©”® ٌ ≥ ©≤® ٌ ?ł ”s ©”® ٌ µ ∞ ∫ » XÐU¦Ã« WLOÁ √ ∫błË√ ± ≥’ ≥ ∞ ¨ ’ ≤ ≥’ ≥ ± ¨ ’ π Uł Ω ©’® ٌ YOŠ ’s ©’® ٌ ” ∞ ∫ Ω ©”® ÊU «–≈ ¥ ©≤ ≥ ® Î ¨ ©≤ ± ® Ó sÄ Îö błË√ ∫WOðü« öÄUJ²Ã« sÄÎ ö błË√ µ ”s ¸≥ ≠ ”≤¸ ∂ ≤≠ ∫ » ”s ©≥≠”±∏ ≠ ≤ ± ” ≤ ≥ ≠ ”≤® π ± ∫ √ ”s ›≤ ´ ”¤ ≥ ± ∫ œ ”s ”≤ UÁ ≥ π ∞ ∫ ?ł ”s ≤” ´ ± √ ?¼´≥ ≥ ∫ ?¼ ± ∞ ← ?¼ » ”s” ?¼´≥ ≥ ∫ ?¼ ± ∞ ← ?¼ √ ∫sÄ Îö błË√ ∂
- 32. ≤∏ W?????OFO³Dë WÒO?????? ÒÝ_«Ë W?OL²¹—UžuKë U½«d²Áô« ∂≠¥ (Natural Logarithmic and Exponential Functions) ∫wFO³Dë wL²¹—UžuKë Ê«d²Áô« ∫ÎôË√ ø”s ” ± ∫ Í√ ¨±≠ΩÊ UNO ÊuJð w²Ã« WÃU(« sŽ «–UL ¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´ ± ´ Ê ±´Ê” Ω ”s Ê ” ∫Ê√ rKFð qB²Ä Ê«d²Á« ∞ < ” ¨ ” ± Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« Ê√ kŠö½ ‰«R ë sŽ WÐUłûà qÄUJ*« t½«d²Á« ÊS rŁ sÄË ªtÃU−Ä sÄ WIKGÄ …d² W¹√ vKŽ bMŽ Ê«d²Áô« «c¼ WLOÁË ¨tà wz«bÐ Ê«d²Á« u¼ ∞ <” ¨ Ÿs Ÿ ± ” ± ∫ Ω ©”® Æ©∂≠¥® qJAë w WKKE*« WIDM*« WŠU Ä tK¦9 ± ≤ ” dOG²LKà WLOÁ Í√ ’ Ÿ ± ” Ÿ ± Ω ©Ÿ® ©∂≠¥® qJAë ∫wK¹ UÄ ∞ <” ¨ Ÿs Ÿ ± ” ± ∫ Ω ©”® Ê«d²Áô« hzUBš sÄ dH Ω ©±® ± ©qÄUJ²Ã«Ë q{UH²Ã« w WOÝUÝ_« W¹dEMë® ” ± Ω©”® Ó ≤ ∞ <” lOL' ∞ < ©”® Ó ∴ ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−Ä u¼Ë tÃU−Ä vKŽ b¹«e²Ä Ê«d²Á« ©”® Ê√ Í√ ≤” ±≠ Ω©”® Î ≥ ∞ >” lOL' ∞ > ©”® Î ∴ ÆtÃU−Ä vKŽ qHÝúà dFIÄ ©”® Ê«d²Áô« vM×MÄ Ê√ Í√ UL w³¹dIð qJAÐ ©”® vM×MÄ rÝ— sJ1 ¨hzUB)« ÁcNÐ W½UF²ÝôUÐ dÄ Ícë wL²¹—UžuKë Ê«d²Áô« vM×M0 „dÂc¹ ªqJAë «c¼Ë ¨©∑≠¥® qJAë w ÆÎUIÐUÝ pFÄ ’ ” ± ©∑≠¥® qJAë Ê√Ë ¨WOL²¹—UžuKë U½«d²Áô« WKzUFà ÎöF wL²M¹ ©”® Ê«d²Áô« Ê√ ÊUO³ð sJ1Ë ÆÎU³¹dIð ≤[∑ t²LOÁË ÎUIÐUÝ t² dFð Ícë ©?¼® ÍdO³OMë œbFë u¼ Ê«d²Áô« «cNà ”UÝ_«
- 33. ≤π ∫n¹dFð Á«bÄË ¨W³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−Ä tÃU−Ä Ê«d²Á« u¼ ” ?¼ uÃ Ω ©”® ٌ wFO³Dë r²¹—UžuKë Ê«d²Á« ∞ <” ¨ Ÿs Ÿ ± ” ± ∫ Ω ” ?¼ uà tðbŽUÁË ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−Ä UN²LKFð w²Ã« UNð«– UL²¹—UžuKë 5½«uÁ ”?¼ uÃ Ω ©”® ٌ wL²¹—UžuKë Ê«d²Áô« vKŽ o³DM𠨉U(« WFO³DÐË ∫Ê√ Í√ ¨ÎUIÐUÝ »?¼ uà ´ ?¼ uÃ Ω » ?¼ uà ± »?¼ uà ≠ ?¼ uÃ Ω » ?¼ uà ≤ ?¼ uÃ Ê Ω Ê ?¼ uà ≥ ∫W¹dE½ ” ± Ω ©”® Ó ٌ ÊS ∞ <” ¨ ” ?¼ uÃ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ± ?ł ´ ¸”¸ ?¼ uÃ Ω ”s ” ± ∫ ≤ ∫ÂUŽ tłuÐË ∫ÊS ¨‚UI²ýöà qÐUÁË ¨ ∞ <©”®Ÿ YOŠ ª©”®Ÿ ?¼ uÃ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ± ©”® Ÿ ©”®ÓŸ Ω ©”®ÓŸ × ©”® Ÿ ± Ω ©”® Ó ٌ?ł ´ ¸©”® ٌ ¸ ?¼ uÃ Ω ”s ©”® ©”®Ó ∫ ≤ ”s ” µ ∫błË√ ∫©±® ‰U¦Ä ”s ” ± ∫µ Ω”s ” µ ∫ ??ł ´ ¸”¸ ?¼ uõ Ω
- 34. ≥∞ ”s ” ± ≤?¼ ?¼ ∫błË√ ∫©≤® ‰U¦Ä ≤?¼ ?¼ ¸ ¸”¸ ?¼ uÃ Ω ”s ” ± ≤?¼ ?¼ ∫ ≤?¼ ?¼ ¸ ” ?¼ uÃ Ω ?¼ ?¼ uà ≠ ≤ ?¼ ?¼ uÃ Ω ± Ω ?¼ ?¼ uÃ Ω ?¼ ?¼ uà ≠ ?¼ ?¼ uÃ≤ Ω ”s ’s błËQ ”≤ U²ł?¼ uÃ Ω ’ X½U «–≈ ∫©≥® ‰U¦Ä Ó©”≤ U²ł® × ”≤ U²ł ± Ω ”s ’s ” Uþ≤≠ Ω ”Uł≠ × ”U²ł≤ × ”≤ U²ł ± Ω ”s ± ´ ≤” ”≤ ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦Ä ©± ´ ≤”® ÂUI*« WI²AÄ u¼ ©”≤® j ³Ã« ?ł ´ ©± ´ ≤”® ?¼ uÃ Ω ”s ± ´ ≤” ”≤ ∫ ∴ ”s ”U²þ ∫ błË√ ∫©µ® ‰U¦Ä ”s ”Uł Ó©”Uł® ∫ Ω ”s ”Uł ”U²ł ∫ Ω ”s ”U²þ ∫ ?ł ´ ¸”Uł¸ ?¼ uà Ω
- 35. ≥± ∫wFO³Dë Òw ÒÝÔ_« Ê«d²Áô« ∫ÎUO½UŁ ªdþUMð Ê«d²Á« u¼ ” ?¼ uÃ Ω ©”® ٌ wFO³Dë wL²¹—UžuKë Ê«d²Áô« ¨ ´ Á«b????ÄË ¨ tÃU−Ä ©”®±≠ ٌ w JŽ Ê«d??²??Á« t??à ÊuJO Ê«d²Áô« vM×M* ”UJF½« u¼ ÁUM×MÄË ¨” ?¼ Ω ©”®±≠ ٌ tðbŽUÁË Æ©∏≠¥® qJAë dE½« Æ” Ω ’ rOI² *« w wL²¹—UžuKë ’ ” ± ” ?¼ uÃ Ω ’ ” Ω ’ ” ?¼ Ω ’ ©∏≠¥® qJAë fÝ_«5½«uÁ ” ?¼Ω’wFO³DëwÝ_«Ê«d²Áô«vKŽo³DMð ∫UNMÄË ¨ÎUIÐUÝ UN²LKFð w²Ã« Ê≠ ?¼ Ω Ê ?¼ õ  ?¼ ≤ Ê´Â ?¼ Ω Ê ?¼ × Â ?¼ ± ± Ω ∞ ?¼ ¥ Ê Â ?¼ Ω Ê ©Â ?¼® ≥ ∫W¹dE½ ” ?¼ Ω ”s ’s ÊS ” ?¼ Ω ’ X½U «–≈ ± ?ł ´ ” ?¼ Ω ”s ” ?¼ ∫ ≤ ∫ÊU¼d³Ã« ” ?¼ Ω ’ ± ∫Z²M¹ ¨5 dDKà wFO³Dë r²¹—UžuKë cšQÐ ” Ω ?¼?¼ uà ” Ω ” ?¼?¼ uÃ Ω ’ ?¼ uà ∫Z²M¹ ¨” vÃ≈ W³ MÃUÐ WÃœUF*« w dÞ ‚UI²ýUÐË ± Ω ”s ’s ’ ± ” ?¼ Ω ’ Ω ”s ’s ∴ ” ?¼ Ω ©” ?¼® ”s s Ê√ U0 ≤ ” ?¼ Ê«d²Áöà wz«bÐ Ê«d²Á« ” ?¼ ∴ ?ł ´ ” ?¼ Ω ”s ” ?¼ ∫ Ê√ Í√
- 36. ≥≤ ∫wK¹ UL WIÐU ë W¹dEMë rOLFð sJL¹Ë ©”®Ó„ × ©”®„ ?¼ Ω ”s ’s ÊS ‚UI²ýöà qÐUÁ ©”®„ ¨ ©”®„ ?¼ Ω ’ X½U «–≈ ± ?ł ´ ©”®„ ?¼ Ω ”s ©”®Ó„ Æ ©”®„ ?¼ ∫ ≤ ∫wK¹ U2 q w ”s ’s błË√ ∫©∂® ‰U¦Ä ± ´ ” ?¼ ” ?¼ ?¼ uÃ Ω ’ ?ł ≤ π Ω ” bMŽ ” Uł ?¼ Ω ’ » ” ?¼ ” Ω ’ √ ” ?¼ ” Ω ’ √ ” ?¼ ´ ” ?¼” Ω ± × ” ?¼ ´ ” ?¼ × ” Ω ”s ’s ≤ π Ω ” ¨ ” Uł ?¼ Ω ’ » ”U²ł × ” Uł ?¼ Ω ”s ’s ∞ Ω ∞ × ± ?¼ Ω ≤ π U²ł × ≤ π Uł ?¼ Ω ”s ’s ≤ π Ω ” ¸ ∴ ± ´ ” ?¼ ” ?¼ ?¼ uÃ Ω ’ ?ł Ó ©± ´ ” ?¼ ” ?¼ ® × ©± ´ ” ?¼ ” ?¼ ® ± Ω ”s ’s ≤ ©± ´ ” ?¼® © ” ?¼® ” ?¼≠ ” ?¼×©± ´ ” ?¼® × ” ?¼ ± ´ ” ?¼ Ω ± ´ ” ?¼ ± Ω ≤ ©± ´ ” ?¼® ”≤ ?¼≠ ” ?¼´ ”≤ ?¼ × ” ?¼ ± ´ ” ?¼ Ω ∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ ‰U¦*« qŠ sJ1Ë ± ´ ” ?¼ ” ?¼ ?¼ uÃ Ω ’ ©± ´ ” ?¼® ?¼ uà ≠ ” ?¼ ?¼ uÃ Ω ©± ´ ” ?¼® ?¼ uà ≠ ” Ω ± ´ ” ?¼ ± Ω ± ´ ” ?¼ ” ?¼≠ ± ´ ” ?¼ Ω ” ?¼ × ± ´ ” ?¼ ± ≠ ± Ω ”s ’s ∴
- 37. ≥≥ ∫WOðü« öÄUJ²Ã« sÄ Îö błË√ ∫©∑® ‰U¦Ä ”s ”U²ł ”Uł ?¼ ∫ » ”s ≥” ?¼ ≤”≥ √ ”sÓ©≥”® × ≥” ?¼ ∫Ω ”s ≥” ?¼ ≤”≥ ∫ √ ?ł ´ ≥” ?¼ Ω ”sÓ©”Uł®”Uł ?¼ ∫ Ω ”s ”U²ł ”Uł ?¼ ∫ » ?ł ´ ”Uł ?¼ Ω ©∂≠¥® s¹—U9 ∫wK¹ U2 Ìq w ”s ’s błË√ ± ≥ ©” ?¼ uî Ω ’ » ©”≤ ´ ≤”®?¼ uÃ Ω ’ √ ” ?¼ uà ” ≠ ” Ω ’ œ ”≤ Uł ?¼ uÃ Ω ’ ?ł ©” ?¼ uî ?¼ uÃ Ω ’ Ë ” ?¼ uà ´ ± ” ?¼ uà ” Ω ’ ?¼ ≥” ?¼ uà ≤” ?¼ Ω ’ Õ ± ≠ ” ?¼ ± ´ ” ?¼ Ω ’ “ ’´” ?¼ Ω ’ ?¼ ´ ” ?¼ Í ≥ ©± ´ ≤”® ” √?¼ uÃ Ω ’ ◊ ©5 dDë r²¹—Užuà cš ∫œUý—≈® ” ” Ω ’ ‰ ≥ ©± ´ ≤”® ” √ Ω ’ „ ∫WOÃU²Ã« öÄUJ²Ã« sÄ Îö błË√ ≤ ”s ± ´ ”≤ ?¼ ”≤ ?¼ ∫ » ”s ”≤ UÁ ” Uþ ?¼ ∫ √ ”s ”≤ ?¼≤ ?¼ ∞ ∫ œ ”s ” ?¼ √ ≤ ± ∫ ?ł ”s ¥ ´ ”≤ ´ ≤” ± ´ ” ∫ Ë ”s ± ´ ” ” ∫ ?¼ ∫WÃœUF*« oI×¹ ” ≥ ?¼©”≤ ´ ±® Ω ’ Ê«d²Áô« Ê√ 5Ð ≥ ∞ Ω ’π ´ ”s ’s ∂ ≠ ≤”s ’≤ s
- 38. (Methods of Integration) q????ÄUJ²Ã« ‚d???Þ ∑≠¥ qÄUJ²Ã«w WOÝUÝ_«bŽ«uIëÈbŠùdýU³*«oO³D²Ã«ÊUJÄùUÐÊuJ¹bÁ¨UÄqÄUJð¡«dł≈pMÄVKD¹UÄbMŽ ∫q¦Ä ÎUIÐUÝ pFÄ dÄ w²Ã« ¨ ?ł ´ ¸”¸ uÃ Ω ”s ” ± ∫ Ë√ ¨?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤ UÁ ∫Ë√¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´ ± ´ Ê ±´Ê” Ω ”s Ê ” ∫ ÆaÃ≈ ÆÆÆË√ ∫UNMÄ Èdš√ ‚dÞ Â«b ²Ý« sJL*« sL WOÝUÝ_« qÄUJ²Ã« bŽ«uIà dýU³*« oO³D²Kà lC ð ô w²Ã« ôU(« w UÄ√ Æi¹uF²ÃUÐ qÄUJ²Ã« ± Æ¡«eł_UÐ qÄUJ²Ã« ≤ ÆWOze'« —u JÃUÐ qÄUJ²Ã« ≥ ∫‚dDë Ác¼ sÄ >qJà `O{uð wK¹ ULO Ë (Integration by Substitution) i¹uF²ÃUÐ qÄUJ²Ã« ∫ÎôË√ ∫’s ¨ ”s Ê«eÄdë ∫bON9 ©’ ¨ ”® WDIMë bMŽ ‚UI²ýöà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ Ω ’ ÊU «–≈ vKŽ’WK{UHð˨”WK{UHðÊUOL ¹Ë¨’s¨”ss¹eÄdë·dF½UM½S Æ ”s ©”®Ó Ω ’s ¨”Δ Ω ”s ∫«cJ¼ ¨VOðd²Ã« uN ’s eÄdëUÄ√¨”ΔÍ√”w dOG²KÃdš¬eÄ—u¼”s eÄdëÊ≈ WDIMë bMŽ vM×MLKà ”UL*« vÃ≈ W³ MÃUÐ ” w dOG²Kà dþUM*« ’ w dOG²Ã« sÄW³¹dÁÊuJð’ΔÊS dHBësÄW³¹dÁ”ΔÊuJðUÄbMŽË¨©’¨”® Æ©π≠¥® qJAë dE½« ¨’s ’ ”” ©’ ¨ ”® ”s ’Δ ’s ©”® Ω ’ ©π≠¥® qJAë ÆVOðd²Ã« vKŽ ”s ¨’s tÄUIÄË tD ÐΫd  ”s ’s —U³²Ž« n¹dF²Ã« «c¼ UMà `O²¹Ë qNÝ√ …—uBÐ b¹bł dOG²0 dš¬ qÄUJð vÃ≈ vDF*« qÄUJ²Ã« q¹u% vKŽ ÂuI¹ i¹uF²ÃUÐ qÄUJ²Ã« »uKÝ√ Ê≈ i¹uF²Ã« ÊS ”s ©”®Ó ?¼ Æ©©”®?¼® ٌ ∫…—uBë vKŽ »uKD*« qÄUJ²Ã« ÊU «–≈ Îö¦L ªWOK _« …—uBë sÄ qNÝ√ …dOš_« …—uBÃ«Ë ª”s ©”®Ó ?¼ Ω ’s Ê_ ’s ©’® ٌ ∫…—uBë vÃ≈ qÄUJ²Ã« ‰u×¹ ©”®??¼ Ω ’ ÆvÃË_« …—uBë sÄ ≥¥
- 39. ”s ©≥ ´ ”≤® ≥ ©”≥ ´ ≤”® ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦Ä ”≥ ´ ≤” Ω ’ Ê√ ÷dH½ ”s ©≥ ´ ”≤® Ω ’s ?ł ´ ¥ ¥’ Ω ’s ≥’ ∫ Ω qÄUJ²Ã« ÊuJ¹ i¹uF²ÃUÐË ?ł ´ ¥ ¥ ©”≥ ´ ≤”® Ω ”s”U²ł ”≤ Uł ∫błË√ ∫©≤® ‰U¦Ä ”Uł Ω ’ Ê√ ÷dH½ ”s ”U²ł Ω ’s ?ł ´ ≥ ≥’ Ω ’s≤’ ∫ Ω qÄUJ²Ã« ÊuJ¹ i¹uF²ÃUÐË ?ł ´ ≥ ”≥ Uł Ω ”s µ ©≥ ´ ”≤® ∫błË√ ∫©≥® ‰U¦Ä ≥ ´ ”≤ Ω ’ Ê√ ÷dH½ ≤ ’s Ω ”sUNMÄË ”s≤ Ω ’s ?ł ´ ±≤ ∂ ©≥ ´ ”≤® Ω ?ł ´ ±≤ ∂ ’ Ω ≤ ’s µ ’ ∫ΩqÄUJ²Ã« ÊuJ¹ i¹uF²ÃUÐ ”s©≤ ´ ”≥®U²ł ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦Ä ©≤ ´ ”≥® Ω ’ Ê√ ÷dH½ ≥ ’s Ω ”s UNMÄË ”s≥ Ω ’s ?ł ´ ’Uł ≥ ± Ω ’s’U²ł ≥ ± ∫Ω qÄUJ²Ã« ÊuJ¹ i¹uF²ÃUÐË ?ł ´ ©≤ ´ ”≥®Uł ≥ ± Ω ≥µ
- 40. ≥∂ ∫…bŽUÁ ¨ ?ł ´ ©» ´ ” ®Â Ω ”s ©» ´ ” ® ٌ ∫ ÊS ¨ ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ٌ ∫ qÄUJ²Ã« ÊU «–≈ ∫WOÃU²Ã« öÄUJ²Ã« sÄ Îö błË√ ∫©µ® ‰U¦Ä ”s∑´”µ ?¼ ∫ ?ł ”s©± ´ ”µ®≤ UÁ ∫ » ”sµ ©¥ ´ ”≥® ∫ √ ?ł ´ ∂ ∂ ” Ω ”sµ” ∫ √ ?ł ´ ≥ × ∂ ∂ ©¥ ´ ”≥® Ω ”sµ ©¥ ´ ”≥® ∫ ∴ ?ł ´ ±∏ ∂ ©¥ ´ ”≥® Ω ?ł ´ ”Uþ Ω ”s”≤ UÁ ∫ » ?ł ´ µ ©± ´ ”µ®Uþ Ω ”s©± ´ ”µ®≤ UÁ ∴ ?ł ´ ” ?¼ Ω ”s ” ?¼ ∫ ?ł ?ł ´ µ ∑´”µ ?¼ Ω ”s∑´”µ ?¼ ∫ ∴ ”s ”≤ Uł ´ ± √ ”U²ł ”Uł≤ ≤ π ∞ ∫ błË√ ∫©∂® ‰U¦Ä ”≤ Uł ´ ± Ω ’ Ê√ ÷dH½ ”s”U²ł”Uł≤ Ω ’s ’ √ ’s ∫ ΩœËb;« dOž qÄUJ²Ã« ÊuJ¹ i¹uF²ÃUÐ ’s ≤ ± ≠ ’ ∫ Ω ?ł ´ ”≤ Uł ´ ± √ ≤ Ω ?ł ´ ≤ ± ’ ≤ Ω ≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω ≤ π ∞ ¸ ”≤ Uł ´ ± √ ≤ Ω »uKD*« œËb;« qÄUJ²Ã« ∴
- 41. ≥∑ UÄbMF ’ b¹b'« dOG²*« lÄ qÄUJ²Ã« w —«dL²ÝôUÐ ÎUC¹√ œËb;« qÄUJ²Ã« »U Š sJ1 ∫WEŠöÄ ≤ Ω ≤ π ≤ Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ≤ π Ω ” UÄbMŽË ¨± Ω ∞≤ Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ” ≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω ≤ ± ¸ ≤ ± ’≤ Ω œËb;« qÄUJ²Ã« ∴ ”s ” ©” ?¼ uî U²ł ?¼ ± ∫ błË√ ∫©∑® ‰U¦Ä ” ?¼ uÃ Ω ’ Ê√ ÷dH½ ’s” Ω ”s UNMÄË ”s ” ± Ω ’s ’s” × ” ’U²ł ∫ Ω œËb;« dOž qÄUJ²Ã« ÊuJ¹ ¨i¹uF²ÃUÐ ’s’U²ł ∫ Ω ?ł ´ ©” ?¼ uî Uł Ω ?ł ´ ’Uł Ω ?¼ ± ¸” ?¼ uà Uł Ω »uKD*« œËb;« qÄUJ²Ã« ∴ ±?¼ uà Uł ≠ ?¼ ?¼ uà Uł Ω ± Uł Ω ∞ Uł ≠ ± Uł Ω ”s”≥ U²ł ∫ błË√ ∫©∏® ‰U¦Ä ”s”≤ U²ł Æ ”U²ł ∫ Ω ”s”≥ U²ł ∫ ”s©”≤ Uł ≠ ±®”U²ł ∫ Ω ”s”U²ł Ω ’s ÊuJO ”Uł Ω ’ Ê√ ÷dHÐË ’s©≤’ ≠ ±® ∫ Ω ”s”≥ U²ł ∫ ∴ ?ł ´ ≥ ≥ ’ ≠ ’ Ω q(« W× sÄ oI% ?ł ´ ≥ ”≥ Uł ≠ ”Uł Ω
- 42. ≥∏ ©±≠∑≠¥® s¹—U9 ∫WOÃU²Ã« öÄUJ²Ã« sÄ Îö błË√ ± ”s ”≥ ≠ ≥” √ ©± ≠ ≤”® ∫ » ”sµ ©¥ ´ ≤”®” ∫ √ ”s ” ± Uł ≤≠” ∫ œ ”s ”Uł ´ ± √ ”U²ł ∫ ?ł ”s ” ≤ ©”uî ∫ Ë ”s©∂ ≠ ”¥ ´ ≤”® Uł ©≤ ´ ”® ∫ ?¼ ”s ± ´ ” √ ± ´ ” √Uł ∏ ≥ ∫ Õ ”s ± ´ ”≥ ´ ≥” √ ± ´ ≤” ≤ ∞ ∫ “ ”s µ ´ ”≤ √ µ´ ”≤ √ ?¼ ∫ Í ”s ≤ ©± ´ ” ?¼® ” ?¼ ∫ ◊ ∫WOÃU²Ã« öÄUJ²Ã« sÄ Îö błË√ ≤ ”s”≤ Uł ∫ » ”s± ≠ ”≤ ≥ √ ∫ √ ”s ”U²ł ≠ ± ± ∫ œ ”s”≥ U²ł ”≤ Uł ∫ ?ł ”s±µ ©± ´ ”®≤” ∫ Ë ”s”Uþ ”≥ UÁ ≥ π ∞ ∫ ?¼ ©©”Uþ ´ ”UÁ® vKŽ r Á«Ë »d{« ∫œUý—≈® ”s”UÁ ∫ “ ©” ´ ± Ω ’ l{ ∫œUý—≈® ”s ” ´ ± √ ” ∫ Õ
- 43. ≥π (Integration by Parts) ¡«eł_UÐ qÄUJ²Ã« ∫ÎUO½UŁ ∫ÊS ” dOG²LKà W³ MÃUÐ ‚UI²ýöà 5KÐUÁ 5½«d²Á« ?¼ ¨ ٌ ÊU «–≈ t½√ rKF½ ”s s × ?¼ ´ ”s ?¼s × ٌ Ω ©?¼ × ٌ ® ”s s ∫ÊuJ¹ ” vÃ≈ W³ MÃUÐ 5 dDKà qÄUJ²Ã« ¡«dłSÐË ”s ”s s ?¼ ∫´ ”s ”s ?¼s ٌ ∫ Ω ?¼ × ٌ ٌ s?¼ ∫ ´ ?¼s ٌ ∫Ω ∫Ê√ Í√ s?¼ ≠ ?¼ × Ω ?¼s `C²¹ UL ¨ öÄUJ²Ã« iFÐ »U Š w UNÄ«b ²Ý« sJ1Ë ¨¡«eł_UÐ qÄUJ²Ã« …bŽUÁ …bŽUIë Ác¼ vL ð ∫WOÃU²Ã« WK¦Ä_« sÄ ”s”Uł” ∫błË√ ∫©±® ‰U¦Ä Ê√ ÷dH½”s”Uł Ω ?¼s ” Ω ”U²ł≠ Ω ”s”Uł ∫Ω ?¼ ”s Ω s≠ ٌ s?¼ ∫ ≠ ?¼ ٌ Ω ?¼s ٌ ∫sJà ”s”U²ł ∫´ ”U²ł ”≠ Ω ”s”Uł” ∫ ∴ ?ł ´ ”Uł ´ ”U²ł ”≠ Ω ∫wÃU²Ã« ‰U¦*« w UL ¨…dÄ sÄ d¦Â√ ¡«eł_« WI¹dÞ oO³Dð qÄUJ²Ã« ¡«dł≈ VKD²¹ Ê√ sJ1 ”s ”U²ł ≤” ∫błË√ ∫©≤® ‰U¦Ä ”s ”U²ł Ω ?¼s ≤” Ω Ê√ ÷dH½ ”Uł Ω ”s ”U²ł ∫ Ω ?¼ ”s”≤ Ω
- 44. ¥∞ ”s ”Uł ”≤ ∫≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł ≤” ∫ ∴ ”s ”Uł ” ∫≤ ≠ ”Uł ≤” Ω qB×M ©±®‰U¦Äw UL¨Èdš√…dÄ¡«eł_UÐqÄUJ²Ã«Âb ² ½”s ”Uł” ∫»U (Ë ∫WOzUNMë W−O²Më vKŽ ?ł ´ ©”Uł ´ ”U²ł ”≠® ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł ≤” ∫ ?ł ´ ”Uł≤ ≠ ”U²ł ”≤ ´ ”Uł ≤” Ω ”s ¥ ´ ” √ ” ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦Ä ”s ¥ ´ ” √ Ω ?¼s ” Ω Ê√ ÷dH½ ≤ ≥ ©¥ ´ ”® ≥ ≤ Ω ”s ≤ ± ©¥ ´ ”® ∫Ω ?¼ ”s Ω s ”s ≤ ≥ ©¥ ´ ”® ≥ ≤ ∫ ≠ ≤ ≥ ©¥ ´ ”®” ≥ ≤ Ω ”s ¥ ´ ” √ ” ∫ ∴ ?ł ´ ≤ µ ©¥ ´ ”® × ±µ ¥ ≠ ≤ ≥ ©¥ ´ ”® ” ≥ ≤ Ω ”s” ?¼ uà ?¼ ± ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦Ä ”s Ω Ës ” ?¼ uÃ Ω Ê√ ÷dH½ ” Ω Ë ”s ” ± Ω ”s ” ± × ” ∫≠ ” ?¼ uÔ Ω”s” ?¼ uà ∫ ∴ ?ł ´ ” ≠ ” ?¼ uà ” Ω ?¼ ± ¸ ” ≠ ” ?¼ uà ” Ω ”s” ?¼ uà ?¼ ± ∫ ∴ ± Ω ©± ≠ ± ?¼ uî ≠ ©?¼ ≠ ?¼ ?¼ uà ?¼® Ω
- 45. ¥± ∫wÃU²Ã« ‰U¦*« w UL ¨UFÄ ¡«eł_«Ë i¹uF²Ã« w²I¹dÞ oO³D²Ð ôU(« iFÐ w qÄUJ²Ã« »U Š sJ1Ë ”s ” √ Uł ∫błË√ ∫©µ® ‰U¦Ä ≤’ Ω ” ∴ ” √ Ω ’ Ê√ ÷dH½ ’s’≤ Ω ”s ∴ ’s’Uł ’≤ ∫Ω ”s ” √ Uł ∫ÊuJ¹ ¨i¹uF²ÃUÐ ’s’Uł’ ∫≤ Ω ∫WOzUNMëW−O²Më vKŽqB×M ©±®‰U¦Äw UL¨¡«eł_«WI¹dÞÂb ² ½’s’Uł’ ∫»U (Ë ’s’Uł’ ∫≤ Ω ”s ” √ Uł ∫ ?ł ´ ©’Uł ´ ’U²ł’≠®≤ Ω ?ł ´ © ” √ Uł ´ ” √ U²ł ” √ ≠®≤ Ω ©≤≠∑≠¥® s¹—U9 ∫wK¹ U2 Ìq w ¡«eł_UÐ qÄUJ²Ã« WI¹dÞ Âb ²Ý« ± ”s”≥ U²ł©± ´ ”≤® ∫ » ”s”≤Uł ” ∫ √ ”s ” ?¼ ≤” ∫ œ ”s” ?¼ uà ” ∫ ?ł ”s”Uł” ?¼ ∫ Ë ”s” ?¼ uà ±∞” ∫ ?¼ ∫WOÃU²Ã« öÄUJ²Ã« błË√ ≤ ”s ” ≠ ± √ ” ± ∞ ∫ ?ł ”s©” ?¼ uî Uł ∫ » ”s”≤ U²Á ” U²þ ” ∫ √ ”s©”®Ó ” ≤ ± ∫WLOÁ V ŠU ¨ ∏ Ω ©≤® ٌ ¨ µ Ω ©±® ٌ ¨ ≥ Ω ”s©”® ٌ ≤ ± ∫ÊU «–≈ ≥ Æ” WÃôbÐ ’ błËQ ¨”Uþ ”UÁ ” Ω ”s ’s ∫ X½U «–≈ ¥
- 46. ¥≤ Integration by Partial Fractions WOze'« —u JÃUÐ qÄUJ²Ã« ∫ÎU¦ÃUŁ ÊuJ¹ YOŠ ¨aÃ≈ÆÆƨ ± ´ ≤” ”≤ ¨ ≤ ´ ”≤ ≤ q¦Ä WO³ ½ U½«d²Á« öÄUJð b$ Ê√ UMFD²Ý« oÐUÝ bMÐ w Æ ?ł ´ ¸©”® ٌ ¸ ?¼ uÃ Ω ”s ©”® ©”®Ó ∫ …bŽUIë «b ²ÝUÐ pÃ–Ë ¨ÂUI*« WI²A* ÎU¹ËU Ä j ³Ã« ¨o³Ý U2 rŽ√ WO³ ½ U½«d²Á« öÄUJð œU−¹ù WOze'« —u JÃUÐ qÄUJ²Ã« WI¹dÞ ·dF²MÝ ¨bM³Ã« «c¼ w vÃË_« Wł—bë sÄ WOÃË√ qÄ«uŽ vÃ≈ w³ Më Ê«d²Áô« w ÂUI*« qOK% vKŽ WI¹dDë Ác¼ w WOÝUÝ_« …dJHë ÂuIðË UL ¨ÁöŽ√ w —uÂc*« ŸuMë sÄ d¦Â√ Ë√ 5O³ ½ 5½«d²Á« ŸuL−Ä W¾O¼ w w³ Më Ê«d²Áô« WÐU²Â rŁ ¨WO½U¦Ã« Ë√ q³I¹Ë ≥ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô œËbŠ dO¦Â tÄUIÄ w³ ½ Ê«d²Á« qÄUJð œU−¹≈ vKŽ dB²IMÝË ªWOÃU²Ã« WK¦Ä_« sÄ `C²¹ ÆWHK² Ä WODš qÄ«uŽ vÃ≈ qOKײë ”s ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ≥ ≠ ”µ ∫ bł ∫©±® ‰U¦Ä ©≥ ≠ ”® ©± ´ ”® Ω ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ÂUI*« ≥ ≠ ” » ´ ± ´ ” Ω ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ≥ ≠ ”µ lC½ ©≥ ≠ ”® ©± ´ ”® ©± ´ ”® » ´ ©≥ ≠ ”® Ω ©≥ ≠ ”® ©± ´ ”® ≥ ≠ » ´ ” ©» ´ ® Ω 5D ³Ã« ÊS ÎUC¹√ ÊU¹ËU ²Ä 5ÄUI*«Ë ÊU¹ËU ²Ä 5 dDë w 5O³ Më 5½«d²Áô« Ê√ U0Ë W¹ËU ²Ä ULNO WNÐUA²*« œËb(« öÄUFÄ ÊuJðË 5¹ËU ²Ä ÊU½uJ¹ ©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ µ Ω » ´ ∴ ©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥≠ Ω ≥ ≠ » ≥ Ω » ¨ ≤ Ω ∫ Ê√ Z²M¹ ÎUFÄ 5²ÃœUF*« q×ÐË ”s ©≥ ≠ ” ≥ ´ ± ´ ” ≤ ® ∫ Ω ”s ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ≥ ≠ ”µ ∫ ∴ ?ł ´ ¸≥ ≠ ”¸ ?¼ uà ≥ ´ ¸± ´ ”¸ ?¼ uÃ≤ Ω
- 47. ¥≥ ”s ” ≠ ≥” ± ≠ ”≥ ´ ≤”≤ ∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦Ä ©± ≠ ≤”®” Ω ” ≠ ≥” ÂUI*« ©± ´ ”® ©± ≠ ”®” Ω ± ´ ” ?ł ´ ± ≠ ” » ´ ” Ω ” ≠ ≥” ± ≠ ”≥ ´ ≤”≤ lC½ ©± ´ ”® ©± ≠ ”® ” ©” ≠ ≤”®?ł ´ ©” ´ ≤”®» ´ ©± ≠ ≤”® Ω ©± ´ ”® ©± ≠ ”® ” ≠ ” ©?ł ≠ »® ´ ≤” ©?ł ´ » ´ ® Ω ∫Z²M¹ 5D ³Ã« w WNÐUA²*« œËb(« öÄUFÄ …«ËU 0 ©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ≤ Ω ?ł ´ » ´ ©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ≥ Ω ?ł ≠ » ©≥® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ±≠ Ω ≠ ±≠ Ω ?ł ¨ ≤ Ω » ¨ ± Ω ∫Ê√ Z²M¹ ôœUFLë q×Ð ”s ©± ´ ” ± ≠ ± ≠ ” ≤ ´ ” ± ® ∫ Ω”s ” ≠ ≥” ± ≠ ”≥ ´ ≤”≤ ∫ ∴ ?ł ´ ¸± ´ ”¸ ?¼ uà ≠ ¸± ≠ ”¸ ?¼ uÃ≤ ´ ¸”¸ ?¼ uÃ Ω ”s ” ≠ ≤” ± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦Ä WK¹uDë WL Ië ÎôË√ Íd$ «cà ªÂUI*« Wł—œ sÄ d³Â√ j ³Ã« Wł—œ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö¹ ÆÂUI*« Wł—œ sÄ dG √ UNO j ³Ã« Wł—œ WO³ ½ U½«d²Á« vKŽ ‰uB×Kà ∫ÊuJ¹ ÎU³½Uł 5³Ä u¼ UL ”≤ ” ≠ ≤” ± ´ ≤”≤ ≠ ≥”≤ ≤”≤ ≠ ≥”≤ ± ´ ≠ ” ≠ ≤” ± ´ ”≤ Ω ” ≠ ≤” ± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ”s ©” ≠ ≤” ± ´ ”≤® ∫ Ω”s ” ≠ ≤” ± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ∫ ∴
- 48. ¥¥ ”s ” ≠ ≤” ± ∫ ´ ≤ ” Ω ∫Ê√ ÷dH½ ”s ” ≠ ≤” ± ∫qÄUJ²Ã« ¡«dłùË ± ≠ ” » ´ ” Ω ©± ≠ ”®” ± Ω ” ≠ ≤” ± ©± ≠ ”® ” ©”®» ´ ©± ≠ ”® Ω ©± ≠ ”® ” ≠ ” ©» ´ ® Ω ∞ Ω » ´ ⇐ ± Ω » ¨ ±≠ Ω Ê√ Í√ ± Ω ≠ ”s ©± ≠ ” ± ´ ” ±≠ ® ∫ Ω ”s ” ≠ ≤” ± ∫ ∴ ¸± ≠ ”¸ ?¼ uà ´ ¸”¸ ?¼ uÃ≠ Ω ?ł ´ ¸± ≠ ”¸ ?¼ uà ´ ¸”¸ ?¼ uà ≠ ≤” Ω”s ” ≠ ≤” ± ´ ≤”≤ ´ ≥”≤ ∫ ∴ ©≥≠∑≠¥® s¹—U9 ∫WOze'« —u Jë WI¹dÞ Â«b ²ÝUÐ WOðü« öÄUJ²Ã« bł ± ”s ≤ ´ ”≥ ´ ≤” ≥ ´ ” ∫ » ”s ≤” ≠ ± ± ∫ √ ”s ”µ ≠ ≤”¥ ≠ ≥” ±µ ≠ ”µ ≠ ≤”¥ ∫ œ ”s ” ´ ≤” ± ´ ≤” ∫ ?ł ”s ”¥ ≠ ≥” ∏ ´ ≤”≤ ´ ≤” ∫ ?¼ Æ© ≥ ± ” Ω ’ l{∫œUý—≈® ”s ± ≠ ≥ ± ” ± ´ ≥ ± ” ∫błË√ ≤
- 49. ¥µ œËb;« qÄUJ²Ã« UIO³Dð ∏≠¥ 5OÝbM¼5IO³DðWAÁUM0UM¼wH²JMÝ˪U¼dOžËW¹œUB²Á«ËWOzU¹eO ËWOÝbM¼…œbF²Ä UIO³DðœËb;«qÄUJ²Kà ÆWO½«—Ëbë ÂU ł_« Âu−ŠË W¹u² *« oÞUM*« UŠU Ä ∫UL¼ ∫W¹u² Lë oÞUMLë UŠU Ä ∫ÎôË√ t³ýË ¨YK¦*«Ë ¨qOD² *« ∫q¦Ä ¨WFKC*« W¹u² *« oÞUM*« UŠU Ä »U Š WOHO WIÐUÝ «uMÝ w X dFð c ²ð ô W¹u² Ä oÞUMÄ UŠU Ä »U Š w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« qÄUJ²Ã« U½œËe¹Ë ªaÃ≈ÆÆƨ·d×M*« ÊU1— ŸuL−Ä .bIð bMŽ ÎUIÐUÝ U½błË bI ¨ÎUFKCÄ ÎöJý …—ËdCÃUÐ ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ t½√ © ٌ ¨ Ê σ®Â ÊU1— ŸuL−Ä ÊS ¨…d²Hë Ác¼ w UMO ë —u×Ä ‚u ÁUM×MÄ lI¹Ë —u×ÄË ©”® ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä V¹dI²ÃUÐ q¦1 Æ©±∞≠¥® qJAë k?Šô Æ» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë UMO ë ” ’ » ©”® Ω ’ ©±∞≠¥® qJAë ∫ÊS ∞ ← Ê UÄbMŽË ÆWIDM*« pKð WŠU Ä Ω ”s©”® ٌ » ∫Ω © ٌ ¨ Ê σ®Â ∞ ← Ê ∫W¹dE½ WIDM*« WŠU Ä ÊS UMO ë —u×Ä ‚u ÁUM×MÄ lI¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ ∫…bŽUIÃUÐ vDFð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ©”® ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« ”s©”® ٌ » ∫ Ω WŠU *« ≤” Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU Ä bł ∫©±® ‰U¦Ä ≥ Ω ” ¨ ± Ω ” 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ©±±≠¥® qJAë kŠôÆ›≥¨ ±¤ ∋” lOL' ∞ ≤≤” Ω ©”® ٌ≥ ± ¸ ≥ ≥” Ω ”s≤” ≥ ± ∫ Ω WŠU *« ∴ WFÐdÄ «bŠË ≥ ≤∂ Ω ’ ” ≥ ∞ ≤ ” Ω©”® ± ©±±≠¥® qJAë
- 50. ¥∂ ©”® Ê«d²Áô« ÊU «–≈ t½S ¨WIÐU ë W¹dEMë vKŽ œUL²ŽôUÐ lI¹ Ê«d²Áô« vM×MÄ ÊUÂË ¨›» ¨ ¤ …d²Hë vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ª©±≤≠¥®qJAëkŠô¨…d²HëÁc¼w UMO ë—u×ÄX%tKÄUJÐ UMO ë —u×ÄË ©”® ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä ÊS ∫wðQ¹ UL UNÐU Š sJ1 ¨ » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë ” ’ » ©”® ≠ Ω ’ ©”® Ω ’ ©±≤≠¥® qJAë ©”® ٌ ≠vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä Ω WŠU *« » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ¸”s©”® ٌ » ∫¸Ω ”s©”® ٌ » ∫≠ Ω ”s©”® ٌ ≠ » ∫ Ω WŠU *« ∴ ”Uł Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä bł ∫©≤® ‰U¦Ä Æ›π≤¨ π¤ …d²Hë w UMO ë —u×ÄË Æ©±≥≠¥® qJAë kŠôÆ›π≤¨ π¤ ∋” lOL' ∞ ≥”Uł Ω ©”® ٌ”s”Uł π≤ π ∫≠ Ω WŠU *« ∴ π≤ π ¸”U²ł Ω WFÐdÄ …bŠË ≤ Ω ’ ” π ”Uł Ω ’ π≤ ©±≥≠¥® qJAë ∫ÂUŽ tłuÐ ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WŠU *« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ©”® ٌ Ê«d²Áô« ÊU «–≈ ∫WOÃU²Ã« «uD)UÐ UNÐU Š sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË Æ›» ¨ ¤ …d²Hë w Ê«d²Áô« —UH √ b$ ± Æ©±® rÁ— …uD)« w błË w²Ã« —UH _UÐ WOzeł «d² vÃ≈ ›» ¨ ¤ …d²Hë ∆e$ ≤ Æ©≤® rÁ— …uD)« w WOzeł …d² q vKŽ ©”® ٌ Ê«d²Áöà œËb;« qÄUJ²Ã« b$ ≥ ÆWÐuKD*« WŠU *« u¼ "UMë ÊuJO WIÐU ë …œËb;« öÄUJ²Kà WIKD*« rOIë lL$ ¥
- 51. ¥∑ UMO ë —u×ÄË ≤ ≠ ” Ω ©”® Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ∫©≥® ‰U¦Ä Æ≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI² *«Ë ∞ Ω ©”® ٌ UÄbMŽ UMO ë —u×Ä lDI¹ ©”® ٌ vM×MÄ ≤ Ω ” Í√ ¨ ∞ Ω ≤ ≠ ” UÄbMŽ Í√ ›≥ ¨ ∞¤ …d²HKà wL²Mð ≤ Ω ” Ê≈ YOŠË Æ›≥ ¨ ≤¤ ¨›≤ ¨ ∞¤ ÊU²Ozeł ÊUðd² UNMŽ QAM¹ t½S Æ©±¥≠ ¥® qJAë kŠô ’ ” ≥ ≤≠ ≤ ≤≠” Ω’ ≤  ±  ©±¥≠¥® qJAë ≤  WIDM*« WŠU Ä ´ ±  WIDM*« WŠU Ä Ω WÐuKD*« WŠU *« ∴ ¸”s ©≤ ≠ ”® ≥ ≤ ∫¸´ ¸”s ©≤ ≠ ”® ≤ ∞ ∫¸Ω ¸≥ ≤ ¸©”≤ ≠ ≤ ≤” ®¸´ ¸≤ ∞ ¸©”≤ ≠ ≤ ≤” ®¸Ω WFÐdÄ …bŠË ≤[µ Ω¸ ≤ ± ¸ ´ ¸≤≠ ¸ Ω ÆW¹u² *« WÝbMNë bŽ«uÁ «b ²ÝUÐ WÐUłù« W× sÄ oI% Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ∫©¥® ‰U¦Ä Æ UMO ë —u×ÄË ” ≠ ≥” Ω ©”® ∞ Ω ©”® ٌ UÄbMŽ UMO ë —u×Ä lDI¹ vM×M*« ∞ Ω ” ≠ ≥” UÄbMŽ ±≠ ¨ ± ¨ ∞ Ω ” UNMÄË ∞ Ω ©± ≠ ≤”® ” ∴ Æ©±µ≠¥® qJAë kŠô ± ’ ” ±≠ ©±µ≠¥® qJAë ¸”s©” ≠ ≥”® ± ∞ ∫¸´ ¸”s©” ≠ ≥”® ∞ ±≠ ∫¸Ω WÐuKD*« WŠU *« ∴ ¸± ∞ ¸© ≤ ≤” ≠ ¥ ¥” ®¸´ ¸∞ ±≠ ¸© ≤ ≤” ≠ ¥ ¥” ®¸Ω WFÐdÄ …bŠË ≤ ± Ω ¥ ± ´ ¥ ± Ω ¸ ¥ ± ≠ ¸ ´ ¸ ¥ ± ¸ Ω
- 52. ¥∏ ∫sOOM×MÄ sOÐ WŠU Lë YOŠ › » ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUIë ©”®?¼ ¨ ©”® ٌ 5½«d²Áô« wOM×MÄ —ËU−*« ©±∂≠¥® qJAë 5³¹ Æ›» ¨ ¤ ∋” lOL' ∞ ≤©”®?¼ ≤©”® ٌ5LOI² *«Ë 5OM×M*« 5Ð WIDM*« WŠU Ä ÊuJð WÃU(« Ác¼ w ¨©±∂≠¥® qJAë w WKKE*« WIDM*« w¼Ë ¨» Ω ” ¨ Ω ” UNMÄ ÎUŠËdDÄ UMO ë —u×ÄË ©”® ٌ vM×MÄ 5Ð WŠU *« ∫ÍËU ð UMO ë —u×ÄË ©”®?¼ vM×MÄ 5Ð WŠU *« ”s©”®?¼ » ∫ ≠ ”s©”® ٌ » ∫ Ω ”s©©”®?¼ ≠ ©”® ٌ ® » ∫ Ω ” ’ » ©”® Ω ’ ©”®?¼ Ω ’ ©±∂≠¥® qJAë ∫ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ∫©µ® ‰U¦Ä ≤ Ω ” ¨ ±≠ Ω ”∫5LOI² *«Ë¨≤ Ω ©”®?¼ ¨≥ ´ ≤” Ω ©”® ٌ≤ Ω ©”®?¼ ≤≥ ´ ≤” Ω ©”® ٌ›≤¨ ±≠¤ ∋” rOÁ lOL' Æ©±∑≠¥® qJAë kŠô ’ ” ≤±≠ ∑ ≥ ≥ ´ ≤” Ω ©”® ≤ Ω ©”®?¼ ©±∑≠¥® qJAë ”s©©”®?¼ ≠ ©”® ٌ ® ≤ ±≠ ∫ Ω WŠU *« ∴ ”s©≤ ≠ ≥ ´ ≤”® ≤ ±≠ ∫ Ω ÆWFÐdÄ «bŠË ∂ Ω © ≥ ¥≠ ® ≠ ≥ ±¥ Ω ≤ ±≠ ¸©” ´ ≥ ≥” ® Ω ∫ÂUŽ tłuÐ ∫W¹dE½ rOÁ lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ٌ ÊUÂË ¨›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUÁ 5½«d²Á« ©”®?¼ ¨©”® ٌ ÊU «–≈ ÍËU ð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋” Æ”s©©”®?¼ ≠ ©”® ٌ ® » ∫
- 53. ¥π Æ≤ ´ ” Ω ©”®?¼ ¨ ¥ ≠ ≤” Ω©”® ∫5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ∫©∂® ‰U¦Ä ©”®?¼ Ω ©”® ٌ UÄbMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹ ≤ ´ ” Ω ¥ ≠ ≤” UÄbMŽ ∞ Ω ∂ ≠ ” ≠ ≤” ≥ ¨ ≤≠ Ω ” UÄbMŽ ∞ Ω ©≤ ´ ”® ©≥ ≠ ”® ∴ ©±∏≠¥® qJAë sÄ kŠö½ ’ ” ≥ ≤ ´ ” Ω ©”®?¼ ¥≠ µ ¥ ≠ ≤” Ω ©”® ©±∏≠¥® qJAë ›≥¨ ≤≠¤ ∋” lOL' ©”® ٌ ≤©”®?¼ Ê√ ”s©©¥ ≠ ≤”® ≠ ©≤ ´ ”®® ≥ ≤≠ ∫ Ω 5OM×M*« 5Ð WŠU *« ∴ ≥ ≤≠ ¸ © ≥ ≥” ≠ ”∂ ´ ≤ ≤” ® Ω ÆWFÐdÄ …bŠË ∂ ±≤µ Ω ©≥ ∏ ´ ±≤ ≠ ≤ ® ≠ ©π ≠ ±∏ ´ ≤ π ® Ω ∫ÂUŽ tłuÐ wOM×MÄ 5Ð …—uB;« WŠU *« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUÁ ©”®?¼¨ ©”® ٌ ÊU½«d²Áô« ÊU «–≈ ∫WOðü« «uD)UÐ UNÐU Š sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë 5½«d²Áô« Æ›» ¨ ¤ …d²Hë sL{ 5OM×M*« lÞUIð ◊UI½ 5F½ ± ÆWIÐU ë lÞUI²Ã« ◊UIMÐ WOzeł «d² vÃ≈ ›» ¨ ¤ …d²Hë ∆e$ ≤ ÆWOzeł …d² q vKŽ ?¼ ¨ ٌ 5½«d²Áô« ‚dHà œËb;« qÄUJ²Ã« b$ ≥ ÆWÐuKD*« WŠU *« u¼ "UMë ÊuJO WIÐU ë …œËb;« öÄUJ²Kà WIKD*« rOIë lL$ ¥ ” Ω ©”®?¼ ¨≥” ¥ ± Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ∫©∑® ‰U¦Ä ©”®?¼ Ω ©”® ٌ UÄbMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹ ” Ω ≥” ¥ ± UÄbMŽ Í√ ∞ Ω ”¥ ≠ ≥” ≤≠ ¨ ≤ ¨ ∞ Ω ” UNMÄË ∞ Ω ©¥ ≠ ≤”®” ∴ Æ©±π≠¥® qJAë ?EŠô ’ ≤ ≤ ” Ω ©”®?¼ ≥” ¥ ± Ω ©”® ≤≠ ≤≠ ”≤  ±  ©±π≠¥® qJAë
- 54. µ∞ ©≤ ® WIDM*« WŠU Ä ´ ©± ® WIDM*« WŠU Ä Ω WÐuKD*« WŠU *« ¸”s©” ≠ ≥” ¥ ± ® ≤ ∞ ∫¸´ ¸”s ©” ≠ ≥” ¥ ± ® ∞ ≤≠ ∫¸Ω ¸≤ ∞ ¸ ≤ ≤” ≠ ±∂ ¥” ¸´ ¸∞ ≤≠ ¸ ≤ ≤” ≠ ±∂ ¥” ¸Ω WFÐdÄ …bŠË ≤ Ω¸±≠ ¸´ ¸± ¸ Ω Æ UMO ë—u×Ä˨¥≠”≤Ω©”®?¼¨≤” ¥ ± Ω©”® 5OM×M*«5Ð…—uB;«WIDM*«WŠU ÄbłË√ ∫©∏® ‰U¦Ä UÄbMŽ ©”®?¼ ¨©”® ٌ ÊUOM×M*« lÞUI²¹ ¥ ≠ ”≤ Ω ≤” ¥ ± UÄbMŽ Í√ ©”®?¼ Ω ©”® ٌ∞ Ω ≤ ©¥ ≠ ”® ∴ ∞ Ω ±∂ ´ ”∏ ≠ ≤” ¥ Ω ” UNMÄË …bŠ«Ë WDI½ w vM×M*« lDI¹ rOI² *« Ê√ Í√ ©≤∞≠¥® qJAë w ¨WKKE*« WIDM*« w¼ WÐuKD*« WIDM*« ’ ” ¥ ¥≠ ¥ ±  ≤  ¥ ≠ ”≤ Ω ©”®?¼ ≤” ¥ ± Ω ©”® ©≤∞≠¥® qJAë Æ≤  ¨ ±  ULNO²ŠU Ä 5²IDMÄ vÃ≈ UN²ze& sJ1Ë ≤  WŠU Ä ´ ±  WŠU Ä Ω WÐuKD*« WŠU *« ¸”s©©¥ ≠ ”≤® ≠ ≤” ¥ ± ® ¥ ≤ ∫¸ ´ ¸”s ≤” ¥ ± ≤ ∞ ∫¸Ω ¸¥ ≤ ¸©”¥ ´ ≤” ≠ ±≤ ≥” ®¸´ ¸≤ ∞ ¸ ±≤ ≥” ¸Ω ¸›©∏ ´ ¥ ≠ ≥ ∏ ®≠ ©±∂ ´ ±∂ ≠ ±≤ ∂¥ ®¤¸´ ±≤ ∏ Ω WFÐdÄ …bŠË ≤ Ω ¸›©¥ ´ ≥ ∏ ®≠ ©≥ ±∂ ®¤¸´ ≥ ≤ Ω ∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ WÐuKD*« WŠU *« »U Š sJ1 t½√ kŠô ©ø«–U*® WFÐdÄ …bŠË ≤ Ω ”s©¥ ≠ ”≤® ¥ ≤ ∫ ≠ ”s ≤” ¥ ± ¥ ∞ ∫ Ω WÐuKD*« WŠU *«
- 55. µ± ©±≠∏≠¥® s¹—U9 ∫wK¹ U2 WÃUŠ q w 5MOF*« 5LOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË ¨©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ± ≤ Ω ” ¨ ∞ Ω ” ¨ ¥ ´ ”≤ Ω ©”® ٌ √ ≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” ¨ ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” Ω ©”® ٌ » ∏ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” ¨ ” ≥ √ Ω ©”® ٌ ?ł ± Ω ” ¨ ≤ ± Ω ” ¨ ”≤ ?¼ Ω ©”® ٌ œ Æ∏ Ω ” rOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË ¨¥ ≠ ” √ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ≤ ≤” ≠ ”¥ Ω ’¨ ≤” Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ≥ ¨ UMO ë —u×ÄË ¨ ” √ Ω ’ vM×M*UÐ …œËb;«Ë ‰Ë_« lÐdë w WFÁ«uë WIDM*« WŠU Ä błË√ ¥ Æ≤ ≠ ” Ω ’ rOI² *«Ë ∫WOÃU²Ã« oÞUM*« sÄ ÒÌq WŠU Ä błËQ ¨” ≠ ≤ Ω ©”®?¼ ¨ ≤” ≠ ”≤ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ µ Æ?¼ vM×MÄË ¨ ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« √ Æ UMO ë —u×ÄË ?¼ vM×MÄË ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« » Æ «œUBë —u×ÄË ?¼ vM×MÄË ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« ?ł ¨ ± ≠ ” Ω ©”®?¼ Ê«d²Áô« vM×MÄË ¨ ± ´ ” ∏ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ∂ Ƶ Ω ” rOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ∫wK¹ ULO WKKE*« oÞUM*« sÄ ÒÌq WŠU Ä błË√ ∑ ’ ” ± ± ± Ω ’ √ ´ ” √ ’ ” ± Ω ’ ≤ π ”≤ U²ł Ω ’ ± ” π ”Uł Ω ’ ”U²ł Ω ’ ’ Æ©≤≠ ¨ ±≠® ?ł ¨©≥ ¨ ±® » ¨©± ¨ µ® tÝ˃— Ícë YK¦*« WŠU Ä »U ( qÄUJ²Ã« Âb ²Ý« ∏ rOI² *«Ë ¨≤” Ω ’ vM×M*« 5Ð …—uB;«WIDM*« WŠU Ä r I¹ ?ł Ω ’ rOI² *« qF& w²Ã« ?ł WLOÁ bł π Æ5¹ËU ²Ä 5L Á vÃ≈ ¥ Ω ’ …bŠË ±≤ ÍËU ð ∞ < ¨ ≤” Ω ’ ¨ ” √ Ω ’ 5OM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU Ä X½U «–≈ ±∞ ø WLOÁ UL ¨WFÐdÄ
- 56. µ≤ ∫WO½«—Ëbë ÂU ł_« Âu−Š ∫ÎUO½UŁ «c¼ ‰uŠ WKÄU …—Ëœ U¼«u² Ä w XÐUŁ rOI² Ä sÄ …bŠ«Ë WNł w UNKÄUJÐ WFÁ«Ë W¹u² Ä WIDMÄ —«œ «–≈ WK¦Ä_«kŠôÆÊ«—Ëbë—u×ÄXÐU¦Ã«rOI² *«vL ¹Ë¨ÎUO½«—ËœÎUL łvL ¹Ÿ«dHëw ÎUL łbÃuðUN½S ¨rOI² *« Æ©≤± ≠ ¥® qJý w WOÃU²Ã« WO×O{u²Ã« Ê«—Ëbë —u×Ä œ ?ł »?ł »» WLzUÁ W¹dz«œ W½«uDÝ√rzUÁ Ídz«œ ◊Ëd Ä…d ©≤±≠¥® ∫qJAë iFÐ Âu−Š »U Š WOHO WIÐU ë p²Ý«—œ w X dFð bÁË w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« qÄUJ²Ã« U½œËe¹Ë ¨ UL −*« Ác¼ ÆÂUŽ tłuÐ WO½«—Ëbë ÂU ł_« Âu−Š »U Š qÄUJ²Kà qÐUIë ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ ©≤≤≠¥®qJAë q¦1 «–S Æ…d²Hë Ác¼ vKŽ UMO ë —u×Ä ‚u lÁ«uÃ«Ë ›» ¨ ¤ vKŽ ¨ UMO ë —u×ÄË ¨©”® ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« d¹Ëbð - ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë ø"UMë w½«—Ëbë r '« r−Š u¼ UL ” ’ » ©”® Ω ’ — ”± ≠ — ” —*” ©≤≤≠¥® qJAë ÆÊ σsŽW&UMëWOz«dëWOze'«…d²Hëw¼›— ”¨±≠— ”¤sJ²Ã˨›»¨ ¤…d²HKÃWLE²MÄWO½u½Wze&Ê σsJ²Ã Z²Mð ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ›— ”¨±≠— ”¤ vKŽ WÄUI*« ©WOÝ√dë W×¹dAë® WKOD² *« WIDM*« d¹Ëbð bMŽ sŽ "UMë w½«—Ëbë r '« r−Š Ê–≈ ÊuJ¹Ë ¨©±≠— ” ≠— ”® × ©—*”®≤ π Ω UNL−Š WLzUÁ W¹dz«œ W½«uDÝ√ r−Š ÊS ∞←Ê UÄbMŽË ¨©±≠— ” ≠— ”® × ©—*”®≤ π Ê ∑ ±Ω — V¹dI²ÃUÐ ÎU¹ËU Ä vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« d¹Ëbð ”s©”®≤ π » ∫ Ωw½«—Ëbë r '« ∫W¹dE½ ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rOÁ lOL' ∞ ≤ ©”® ٌ ¨›»¨ ¤vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ÎU½«d²Á« ©”® ٌ ÊU «–≈ 5LOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË ¨©”® ٌ vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë w½«—Ëbë r '« r−Š ”s©”®≤ » ∫π Ω ∫u¼ ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ”
- 57. µ≥ Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š błË√ ∫©π® ‰U¦Ä Æ¥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË ¨ ” √ Ω ©”® ٌ©≤≥≠¥® qJAë kŠô¨ ›¥¨ ∞¤ ∋” lOL' ∞ ≤©”® ٌ”s©”®≤ ¥ ∞ ∫π Ω © ® w½«—Ëbë r−(« ”s ≤ ©” √® ¥ ∞ ∫π Ω ”s” ¥ ∞ ∫π Ω W³FJÄ …bŠË π ∏ Ω ¥ ∞ ¸ ≤ ≤” × π Ω ” ’ ” √ Ω ©”® ¥ ©≤≥≠¥® qJAë ¨”≤Uł Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š błË√ ∫©±∞® ‰U¦Ä Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨ ≤ π Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË › ≤ π ¨ ∞¤ ∋” lOL' ∞ ≤”≤Uł Ω ©”® ٌ©≤¥≠¥® qJAë kŠô ” ’ ”≤Uł Ω ©”® ≤ π ©≤¥≠¥® qJAë ”s©”®≤ ≤ π ∞ ∫π Ω © ® w½«—Ëbë r '« r−Š ”s”≤≤ Uł ≤ π ∞ ∫π Ω ”s©”¥U²ł ≤ ± ≠ ≤ ± ® ≤ π ∞ ∫π Ω W³FJÄ …bŠË ¥ ≤ π Ω ≤ π ∞ ¸©”¥ Uł ∏ ± ≠ ” ≤ ± ® π Ω Æ≥ o½ π ≥ ¥ u¼ o½ U¼dDÁ nB½ w²Ã« …dJÃ√ r−Š Ê√ U³Łù œËb;« qÄUJ²Ã« Âb ²Ý« ∫©±±® ‰U¦Ä ÆU¼dDÁ ‰uŠ WKÄU …—Ëœ W¹dz«œ nB½ WIDMÄ Ê«—Ëœ sŽ …dJë Z²Mð o½ U¼dDÁ nB½Ë wÝUOÁ l{Ë w …dz«œ nB½ ©≤µ≠¥® qJAë q¦1 ≤ o½ Ω ≤’ ´ ≤” ∫…dz«bë WÃœUFÄ
- 58. µ¥ ≤” ≠≤ o½ √ Ω ’ ∴ ” ’ ≤” ≠ ≤ o½ √ Ω ’ o½o½ ≠ ©≤µ≠¥® qJAë w½«—Ëbë r '« r−Š Ω …dJë r−Š ”s©”®≤ o½ o½≠ ∫π Ω ”s©≤” ≠ ≤ o½® o½ o½≠ ∫π Ω ÆW³FJÄ …bŠË ≥ o½ π ≥ ¥ Ω ©o½ o½≠ ¸© ≥ ≥” ≠ ” ≤ o½®®π Ω ∫sO½«d²Á« wOM×MÄ sOÐ …—uB×Ä WIDMÄ Ê«—Ëœ sŽ ZðUMë w½«—Ëbë r −ë r−Š ∫W¹dE½ ›» ¨ ¤ ∋” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® ٌ YO×Ð ›» ¨ ¤ vKŽ qÄUJ²Kà 5KÐUÁ 5½«d²Á« ?¼ ¨ ٌ ÊU «–≈ …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI² *«Ë ¨5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š ÊS ”s©©”®≤ ?¼ ≠ ©”®≤ ® » ∫π ÍËU ¹ ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU WKÄUÂ…—Ëœ¨≤”Ω©”®?¼¨≤”≠”≤Ω©”® ٌ 5OM×M*«5Ð…—uB;«WIDM*« —«œ«–≈ ∫©±≤® ‰U¦Ä ø"UMë w½«—Ëbë r '« r−Š UL ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ ∫5OM×M*« lÞUIð jI½ b$ ≤” Ω ≤” ≠ ”≤ UÄbMŽ ©”®?¼ Ω ©”® ٌ±¨ ∞ Ω ” UNMÄË ∞ Ω ”≤ ≠ ≤”≤ ©≤∂≠¥® qJAë kŠô ”s©©”®≤ ?¼ ≠ ©”®≤ ® ± ∞ ∫π Ω © ® w½«—Ëbë r−(« ”s©¥” ≠ ≤ ©≤” ≠ ”≤®® ± ∞ ∫π Ω ”s©≥”¥ ≠ ≤”¥® ± ∞ ∫π Ω ©± ∞ ¸¥” ≠ ≥ ≥”¥ ®× π Ω W³FJÄ …bŠË ≥ π Ω ” ’ ≤” Ω ©”®??¼ ≤”≠”≤ Ω ©”® ± ≤ ©≤∂≠¥® qJAë
- 59. µµ ©≤≠∏≠¥® s¹—U9 5LOI² *«Ë UMO ë —u×ÄË ¨”≤ Ω ’ rOI² *UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ bÃu²*« r '« r−Š błË√ ± Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” UMO ë Í—u×ÄË ¨¥ Ω ’ ¨∂ Ω ” 5LOI² *UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š błË√ ≤ Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨ «œUBÃ«Ë Í—u×ÄË ¨”≤U²ł Ω ©”® ٌ Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š błË√ ≥ ø UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨› ¥ π ¨ ∞ ¤ …d²Hë w «œUBÃ«Ë UMO ë —u×ĉuŠWKÄUÂ…—Ëœ¨≤”¥Ω’T UJ*«lDIë˨”¥Ω’rOI² *«5Ð…—uB;«WIDM*« —«œ«–≈ ¥ ø"UMë r '« r−Š UL ¨ UMO ë vM×MÄË ¨± Ω ’ rOI² *«Ë ¨ «œUBë —u×Ä 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š bł µ Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨”Uþ Ω ’ Ê«d²Áô« ¨ ≤ Ω ≤’ ´ ≤” ¨ ¸”¸ Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;«Ë w½U¦Ã«Ë ‰Ë_« 5FÐdë w WFÁ«uë WIDM*« —«œ «–≈ ∂ ø"UMë r '« r−Š u¼ UL ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ …—Ëœ©≤¨≤®?ł¨©±¨±®»¨©≤¨∞® YOŠ?ł»√WO¦K¦*«WIDM*«Ê«—ËœsŽ"UMër '«r−ŠbłË√ ∑ Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU ¨ ≤” Ω ©”®?¼ ¨ ” √ Ω ©”® ٌ wOM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š ÊU «–≈ ∏ ø XÐU¦Ã« WLOÁ UL ¨W³FJÄ …bŠË π µ ±≤ ÍËU ¹ ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨∞ ≠ Æq _« WDI½ w 5²ÝUL²Ä 5ðdz«œ wHB½ —ËU−*« qJAë q¦1 π UHB½ —«œ «–≈ WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??ë r '« r−Š V ŠU Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ 5ðdz«bë” ’ ¥≤ hÁUMë lDIÃUÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š Ê√ 5Ð ±∞ —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ UMO ë —u×Ä ‚u WFÁ«uë ±Ω ≤ » ≤’ ´ ≤ ≤” Æ≤ » π ≥ ¥ ÍËU ¹ UMO ë
- 60. µ∂ WÄUŽ s¹—U9 ∫wK¹ U2 >q w W×O×Bë WÐUłù« eÄ— ‰uŠ …dz«œ l{ ± ÊS ¨›µ¨≤≠¤ …d²HKÃ Ê σ Wze−²Ã« sŽ W&UMë WOz«dë WOze'« …d²Hë w¼ ›— ”¨±≠— ”¤ X½U «–≈ ± ∫ÍËU ¹ ©±≠— ” ≠— ”® Ê ∑ ±Ω — ≥≠ œ ∑ ?ł ≥ » ∑≠ √ ¨ ±≠— ” Ω—*” ¨›± ¨≤≠¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Ê σ X½U «–≈ Æ›± ¨ ≤≠¤ ∋” ¨≤” Ω ©”® ٌ sJOà ≤ ∫ÍËU ¹ © ٌ ¨ ≥ σ®  ÊS ¥ œ ≥ ?ł µ » ± √ ¨WLE²MÄ WOŽUЗ Wze& ¥ σ X½UÂË ¥ > ” ≥ ∞ ¨ ≥ ∏ ≥ ” ≥ ¥ ¨ ± ≠ ” Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ≥ — ” Ω —*” Ϋc ²Ä © ٌ ¨ ¥ σ ® Â błËQ ≥∂ œ ±∏ ?ł ≥≤ » ≤∏ √ ¨›≥ ¨ ±¤ …d²HKà WLE²MÄ WO½u½ Wze& Ê σ X½UÂË ← ›≥ ¨ ±¤∫ ٌ ÊU «–≈ ¥ ∫ÍËU ¹ ”s©”® ٌ ≥ ± ∫ ÊS ¨ Ê≤ Ê∑ ≠ µ ≠ ≤≠ Ω © ٌ ¨ Ê σ®  ÊUÂË µ[µ≠ œ ±[µ ?ł ¥[µ≠ » ≤≠ √ ∫ÍËU ¹ ”s¸”¸ ≤ ≤≠ ∫ µ ≤ œ ± ?ł ¥ » dH √ ∫ÍËU ð ”s©± ´ ©”® ٌ ≤® ≥ ± ∫—«bILKà WLOÁ d³Â√ ÊS ¨›≥ ¨ ±¤ ∋” lOL' µ ≥©”® ٌ ÊU «–≈ ∂ ±≥ œ ≤≤ ?ł ±± » ±∞ √ ”s ± ´ ≤” µ ≠ ”≤ ≤ ± ∫qÄUJ²Ã« ∑ Áb¹b% sJ1 ô œ dH ?ł VÃUÝ » VłuÄ √ ∫ÍËU ¹ ©» ´ ® —«bI*« ÊS ¨» Ω ”≤ U²ł π π≠ ∫ ¨ Ω ”s”≤ Uł π π≠ ∫ ÊU «–≈ ∏ π ≤ œ π ≤≠ ?ł dH » ± √
- 61. µ∑ ÍËU ¹ ”s©”® µ ∑ ∫ ÊS ¨ ±≤ Ω ”s©”® ∑ ± ∫ ¨ ±∞ Ω ”s©”® ≤ µ ± ∫ ÊU «–≈ π ∑ œ ∑≠ ?ł ≤≤ » ≤ √ ∫u¼ ›≥¨ ±¤ …d²Hë vKŽ ”≤ ´ ≥”¥ Ω ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« ±∞ ≤ ≠ ≤” ´¥” œ ≤ ´ ≤” ´ ¥” ?ł ≤ ´ ≤”±≤ » ”≤ ´ ≥”¥ √ ∫ÍËU ¹ ©”® Ó ÊS ¨’s©’≤ ≠ ≤® ¥ ” ∫ Ω ©”® ÊU «–≈ ±± ”≤ ≠ ≤ œ ≤ ≠ ”≤ ?ł dH » ≤ ” ≠ ”≤ √ ∫ÍËU ¹ ”s©”≠® ٌ ≤≠ ≥≠ ∫ ÊS ¨∏ Ω ”s©”® ٌ ≥ ≤ ∫ ÊU «–≈ ±≤ ¥≠ œ ¥ ?ł ∏ » ± √ ∫ÍËU ¹ ”s©≤”®Ó ” ± ∞ ∫ ÊS ¨± Ω ©∞® ٌ ¨ µ Ω ©±® ٌ ÊU «–≈ ±≥ ≤≠ œ ± ?ł ¥ » ≤ √ ∫ÍËU ¹ ©∞®Ó ÊS ¨©≤ ´ ”≤® ?¼ uà ≠ ” ≥ ?¼ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ ±¥ ∞[µ œ ≥ ?ł ≤ » ± √ ∫ÍËU ð ?ł ÊS ”s©µ ≠ ”® ٌ ?ł ∏ ∫ Ω ”s©”® ٌ ∑ ≥ ∫ ÊU «–≈ ±µ ≤≠ œ ±≤ ?ł ¥ » ≥ √ ∫ÊS ”U²ł ’ Ω ”s ’s ÊU «–≈ ±∂ ?ł ´ ”Uł ?¼ Ω’ œ ?ł ´ ”U²ł≠ ?¼ Ω’ ?ł ?ł ´ ”U²ł ?¼ Ω’ » ?ł ´ ”Uł≠ ?¼ Ω’ √ ∫ÍËU ¹ ”s ”≥ ´ ≥” ± ´ ≤” ≤ ± ∫ ±∑ ∑uà ≠ ≤uà œ ≤uà ≠ ∑uà ≥ ± ?ł ©≤uà ≠ ∑uî ≥ ± » ©≤uà ≠ ∑uî≥ √ ¨ ∏ Ω ±  WŠU Ä X½U «–S ¨› ¨ ∞¤ …d²Hë vKŽ ©”® ٌ vM×MÄ —ËU−*« qJAë q¦1 ±∏ ∫ÍËU ¹ ”s©”® ٌ ∞ ∫∫ÊS ¨WFÐdÄ «bŠË ∂ Ω ≤  WŠU Ä ” ’ ±  ≤  ©”® ≤ œ ±¥ ?ł ≤≠ » ±¥≠ √
- 62. µ∏ ¨” ≤ ± Ω ©”® Ê«d²Áô« vM×MÄ 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë rzUIë Ídz«bë ◊Ëd *« r−Š ±π ∫ÍËU ¹ ¨ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË ¥ π œ π ≤ ≥ ?ł π ¥ π » π ∏ π √ œËb;« qÄUJ²Ã« n¹dFð «b ²ÝUÐ błËQ ¨ ›≥ ¨ ≤≠¤ ∋” ¨ ”≤≠ π Ω ©”® ÊU «–≈ ≤ Æ”s©”® ٌ ≥ ≤≠ ∫ ∫WOðü« ôU(« sÄ q w ” WÃôbÐ ’ WLOÁ błË√ ≥ ∞ Ω ± ≠ ”∂ ´ ”s ’s ’ √ ≤ ± » ”µ U²ł ’≥ ≤ Uł Ω ”s ’s √ ≤ π Ω ” bMŽ ∑≠ Ω ’ YOŠ ¨”≤ U²Á ´ ”∏ Ω ”s ’s ?ł Æ„ WLOÁ błËQ ¨∞ Ω ’∏ ≠ Ó’≤ ´ Î’ WÃœUF*« oI% ” „ ?¼ Ω ’ X½U «–≈ ¥ X½U«–S ª?łXÐUŁŸ—U ²Ð—UÝ˨∞ ŸWOz«b²Ð«WŽd ÐËrOI² Äjšw q _«WDI½sÄWÂd(«r ł√b²Ð« µ ∫WOðü« 5½«uIë W× X³ŁU ¨ · w¼ WŽuDI*« W U *«Ë ¨ Ÿ w¼ w½«u¦Ã« sÄ Ê bFÐ r '« WŽdÝ ≤ Ê ?ł ≤ ± ´ Ê∞ Ÿ Ω · » Ê ?ł ´ ∞ Ÿ Ω Ÿ √ © Ês ·s Æ ·s Ÿs Ω Ês Ÿs ∫…bŽUIë Âb ²Ý«∫œUý—≈® · ?ł≤ ´ ≤ ∞ ŸΩ ≤Ÿ ?ł ¨∏ ≠ ”±≤ Ω ©”®Î X½UÂË ¨¥ ÍËU ¹ ©µ ¨±® WDIMë bMŽ ©”® Ê«d²Áô« vM×M* ”UL*« qOÄ ÊU «–≈ ∂ Æ©”® …bŽUÁ błËQ W U *«Ë ÀØÂ¥ WOz«b²Ðô« WŽd ë X½U «–≈ Æ≤ ÀØ ≤ ≠ ʱ≤Ω WÁöFÃUÐ vDF¹ Ÿ—U ²Ð rO ł „dײ¹ ∑ ÆWÂd(« ¡bÐ sÄ Ê«uŁ µ bFÐ WŽuDI*« W U *« błËQ ¨Â ≤∏ w¼ Ê«uŁ ≥ bFÐ WŽuDI*« ≥ >” ≥∞ ¨ µ ´ ≤”≥ ∑ ≥” ≥≥ ¨ ±∞ ´ ”≤ Ω ©”® ٌ sJOà ∏ ÆtÃU−Ä vKŽ ©”® ٌ Ê«d²Áöà ©”® qÄUJ*« Ê«d²Áô« błË√ ∫ÎôË√ Æ©¥® ¨ ©∞® sÄ q WLOÁ » ’s©’® ٌ ” ∞ ∫ ≥ ← ” √ ∫błË√ ∫ÎUO½UŁ ’s©’® ٌ ∑ ∞ ∫ ”s s œ ’s©’® ٌ ” ∞ ∫ ”s s ?ł
- 63. µπ ∫wK¹ UL ÎU dFÄ qÄUJ*« t½«d²Á« ÊUÂË ¨›∂ ¨ ±¤ vKŽ qÄUJ²Kà ÎöÐUÁ ©”® ÊU «–≈ π ø» ¨ 5²ÐU¦Ã« sÄ >q WLOÁ UL ¨ ≤ ≥” ≥± ¨ ≥ ≠ ” ∂ ≥” ≥ ≤ ¨ ± ´ ”≤ ≠ ≤” » Ω ©”® ∫WOðü« öÄUJ²Ã« sÄ >q WLOÁ bł ±∞ ”s≤”U²ł≤” ≥ Uł ”≤ ∫ » ”s ± ´ ” √ ” ≥ ∞ ∫ √ ”s ”≤ U²Á ”Uł ≥ π ∂ π ∫ œ ”s”Uł©”U²ł® ≤ U²ł ∫ ?ł ”s ©” ?¼ uà ´ ≥®” ± ?¼ ± ∫ Ë ”s”Uþ ” ≥ UÁ ∫ ?¼ ”s ∂ ´ ”µ ≠ ≤” ” ∫ Õ ”s” Uł ” ?¼ ∫ “ ”s ©± ≠ ”®” ± ´ ”µ ≠ ≤”≥ ∫ ◊ Æ© ” ?¼ ≠± √ Ω ’ l{∫œUý—≈® ”s ” ?¼ ≠± √ ∫ Í Æ©” ≠ ?¼ w ÂUI*«Ë j ³Ã« sÄ Îö »d{« ∫œUý—≈® ”s ” ?¼ ´± ± ∫ „ Æ∏ Ω ’ ¨ ± Ω ’ ¨ ≥” Ω ’ UOM×M*«Ë «œUBë —u×Ä 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ±± Æ©¥¨±®WDIMëbMŽÊ«d²Áô«”U2˨ «œUBë—u×Ä˨≥´≥”Ω’Ê«d²Áô«vM×MÄ5Ð…—uB;«WŠU *«błË√ ±≤ ¨≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” 5LOI² *«Ë ¨”¥ ≠ ≥” Ω ©”® ٌ vM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ±≥ Æ UMO ë —u×ÄË Æ UMO ë —u×ÄË ¨ µ Ω ’ ´ ” ¨ ∏ ´ ≤” Ω ’¥ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WŠU *« błË√ ±¥ Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5LOI² *«Ë ¨ UMO ë —u×ÄË ¨¸± ≠ ”≤¸ Ω ©”® ٌ vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« WŠU Ä błË√ ±µ ∫błËQ ”≠ ?¼ Ω ©”®Â¨ ” ?¼ Ω ©”® ٌ ÊU «–≈ Ω±∂ Æ≤ Ω ” rOI² *«Ë ¨©”®Â vM×MÄË ¨©”® ٌ vM×MÄ 5Ð …—uB;«Ë ¨‰Ë_« lÐdë w WFÁ«uë WŠU *« √ ø"UMë r '« r−Š UL UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ WIÐU ë WIDM*« —«œ «–≈ » o d*« qJAë w WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UMë r '« r−Š b??łË√ ±∑ Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄU …—Ëœ ” ’ ≤≠ ≤≠≤’≥ Ω ” ∞ ≤’ Ω ” vM×MÄ 5??Ð …—u??B??;« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??ë r '« r−Š b??łË√ ≤∞ …—Ëœ ≤ ?¼ Ω ’ rOI² *«Ë ¨ «œU??B??ë —u×ÄË ¨ ”≤ ???¼ Ω ’ Ê«d²Áô« Æ UMO ë —u×Ä ‰uŠ WKÄUÂ
- 64. ∂∞ W?OÞËd Lë Ÿu?DIë µ …b???????Šu???????ë ( C o n i c S e c t i o n s ) …dz«œ hÁU½ lDÁ TUJÄlDÁ bz«“ lDÁ
- 65. ∂± (Conic Sections) WOÞËd *« ŸuDIë µ vÃ≈ÊUOL²M¹ÊöJAëʫc¼Ë¨T UJ*«lDIë˅dz«bëUNMÄ˨W¹u² *«WOÝbMNë‰UJý_«iFÐÎUIÐUÝX dFð rzUÁ Ídz«œ ◊Ëd Ä l ÚDÓÁ sÄ UNOKŽ ‰uB(« sJ1 w²Ã« WOÞËd *« ŸuDIë vL ð WOÝbMNë ‰UJý_« sÄ WŽuL−Ä ∫©±≠µ® qJAë w 5³Ä u¼ UL ¨WHK² Ä ŸU{Ë√ w Ìu² 0 ÃËœeÄ T UJÄ lDÁ …dz«œ bz«“ lDÁ hÁU½ lDÁ ©±≠µ® qJAë WÂdŠË¨ UÝbFëËU¹«d*« q¦Ä¨WHK² ÄWOLKŽËWOJK ËWOzU¹eO UÝ«—œw …dO³ÂWOL¼√WOÞËd *«ŸuDIKÃË »dFÃ«Ë o¹džù« ¡ULKŽ vÃ≈ ‰UJý_« ÁcNà vÃË_« UÝ«—bë œuFðË ª…—cë w U½Ëd²JÃù« WÂdŠË V«uJë ¨T UJ*«lDIë∫WOÃU²Ã«WOÞËd *«ŸuDIëWÝ«—œw q{UH²Ã«ËWOKOKײëWÝbMNë∆œU³ÄÂb ² MÝ˨5LK *«Ë Æbz«eë lDIÃ«Ë ¨hÁUMë lDIëË