Location via proxy:   [ UP ]  
[Report a bug]   [Manage cookies]                
SlideShare a Scribd company logo

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

•
•

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

1 of 137
Download to read offline

1

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

2

‫الريا�ضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫ال�صف الأول الثانوى‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول‬ ‫الحقيقى والطول فى الر�سم.‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬

3

‫�إعداد‬ ‫�أ/ عمر ف�ؤاد جاب اهلل‬ ‫�أ.د/ نبيل توفيق ال�ضبع‬ ‫�أ.د/ عفاف �أبو الفتوح �صالح ‬ ‫�أ / �سريافيم �إليا�س �إ�سكندر‬ ‫�أ.م.د/ ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ/ كمال يون�س كب�شة‬ ‫جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله‬ ‫بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.‬ ‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش. م. م‬ ‫الطبعــة األولى 3102/4102‬ ‫رقم اإليــداع 9497 / 3102‬ ‫الرقم الدولى 8 - 200 - 607 - 779 - 879‬

4

‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:‬ ‫1 التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته‬ ‫اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.‬ ‫2 التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن‬ ‫يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل‬ ‫آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.‬ ‫3 تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع)‪ (STS‬تعكس دور التقدُّم العلمى ىف تنمية‬ ‫ ‬ ‫املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصُّف الواعى الفعّال حِ يال استخدام األدوات التكنولوجية.‬ ‫4 تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها‬ ‫ ‬ ‫5 تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة.‬ ‫ ‬ ‫6 االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو،‬ ‫واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت‬ ‫وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.‬ ‫وفى �ضوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:‬ ‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها‬ ‫ ‬ ‫واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت‬ ‫عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة‬ ‫العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى‬ ‫تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.‬ ‫‪ ‬كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت‬ ‫عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند «تحقق من فهمك».‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.‬ ‫ ‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫وال� �له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬

5

‫خريطة الكتاب للفصل الدراسى الثانى‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫1 - 1 :تنظيم البيانات فى‬ ‫1‬ ‫مصفوفات‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫مصفوفة - عنصر - مصفوفة‬ ‫صف - مصفوفة عمود - مصفوفة‬ ‫مربعة - مصفوفة صفرية -‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري ناقد صـ8، صـ01‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫جمع المصفوفات - طرح‬ ‫تفكري جربى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫1 - 3 : ضرب المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫تفكري ناقد صـ91‬ ‫1 - 4 : المحددات‬ ‫محدد - محدد الدرجة الثانية -‬ ‫محدد الدرجة الثالثة - القطر‬ ‫الرئيس للمحدد - القطر اآلخر‬ ‫1 - 5 :المعكوس الضربى‬ ‫للمصفوفة‬ ‫2 - 1: المتبانيات الخطية‬ ‫‬ ‫الخطية‬ ‫معكوس ضربى للمصفوفة-‬ ‫مصفوفة الوحدة - معادلة‬ ‫مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫متباينة خطية - مستقيم حدى -‬ ‫مستقيم حدى منقط - مستقيم‬ ‫حدى متصل - متباينة خطية فى‬ ‫2‬ ‫الربمجة‬ ‫للمحدد مصفوفة المعامالت‬ ‫املتجهات‬ ‫الربط بالرياضيات صـ 7‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 03‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 24‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 31‬ ‫الربط باالحصاء صـ 41‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 71‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 81‬ ‫الربط بالسياحة صـ 02‬ ‫الربط بالهندسة صـ 51‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 43‬ ‫تطبيقات حياتية صـ 24‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 24‬ ‫مجهول واحد - متباينة خطية فى‬ ‫مجهولين‬ ‫2 - 2: حل أنظمة من المتباينات نظام متباينات خطية-منطقة الحل تفكري جربى‬ ‫‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫رسم بيانى‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل برمجة خطية - قيود محدودة -‬ ‫‬ ‫غير محدودة حل أمثل‬ ‫3‬ ‫صـ 01.‬ ‫الربط بالتجارة صـ 31‬ ‫1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات‬ ‫املصفوفات‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 7،‬ ‫الربط بالطاقة صـ 7‬ ‫مصفوفات متساوية - مصفوفة‬ ‫المصفوفات‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 1:الكميات القياسية والكميات‬ ‫كمية قياسية - متجه - مسافة - تفكري منطقى صـ 95‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫ازاحة - اتجاه‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 2: المتجهات‬ ‫‬ ‫متجه - متجع موضع - زوج‬ ‫المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهه‬ ‫مرتب - قيمة مطلقة - معيار‬ ‫متجه- متجه مكافئ - صورة‬ ‫قطبية - متجه وحدة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هندسى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالحياة صـ 64، 74‬ ‫الربط بالمهن صـ 74‬ ‫الربط بإدارة الوقت صـ 84‬ ‫الربط بإدارة اإلعمال صـ 05‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 05‬ ‫الربط بالصناعة صـ 05،15‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬

6

‫جمع متجهين - طرح متجهين -‬ ‫3 - 4: تطبيقات على المتجهات‬ ‫‬ ‫األضالع‬ ‫قوة محصلة - توازى القوى -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫تقسيم من الداخل - تقسيم من‬ ‫4 - 2:معادلة الخط المستقيم‬ ‫متجه إتجاه مستقيم - معادلة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫3 - 3: العمليات على المتجهات‬ ‫‬ ‫تابع‬ ‫املتجهات‬ ‫4‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫قاعدة المثلث - قاعدة متوازى‬ ‫سرعة نسبية‬ ‫الخارج - نسبة التقسيم‬ ‫متجهة - معادلة برامترية -‬ ‫معادلة كارتيزية - معادلة عامة‬ ‫الخط‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد 48، 29‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫4 - 4 :طول العمود المرسوم من‬ ‫عمود - خط مستقيم‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمين -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالطرق صـ 79‬ ‫4 - 5 :المعادلة العامة للمستقيم‬ ‫املستقيم‬ ‫4 - 3:قياس الزاوية بين‬ ‫زاوية بين مستقيمين‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ 59‬ ‫مستقيمين‬ ‫نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫المار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمين‬ ‫5 - 1: المتطابقات المثلثية‬ ‫معادلة عامة‬ ‫معادلة‬ ‫5 - 2:حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‬ ‫حساب‬ ‫املثلثات‬ ‫متطابقة‬ ‫معادلة مثلثية - حل عام‬ ‫5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫حل مثلث‬ ‫5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫5 - 5 : القطاع الدائرى‬ ‫زاويا انخفاض‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫5 - 6 : القطعة الدائرية‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫5 - 7 : المساحات‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 001‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 511‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 021‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ511‬ ‫الربط بالزراعة والزينة‬ ‫صـ321‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ721‬

7

‫المحتويات‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫المصفوفات‬ ‫1- 1 ‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1- 2 ‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫41‬ ‫1- 3 ‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫81‬ ‫1- 4 ‬ ‫المحددات‬ ‫22‬ ‫1- 5 ‬ ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫03‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫53‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫...........................................................................................................................................................................................‬ ‫.................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫.................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫...................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الربمجة الخطية‬ ‫2 - 1 ‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫83‬ ‫2 - 2 ‬ ‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬ ‫34‬ ‫2 - 3 ‬ ‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫84‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫55‬ ‫ ‬ ‫......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫املتجهات‬ ‫3 - 1 ‬ ‫3 - 2 ‬ ‫المتجهات‬ ‫36‬ ‫3 - 3 ‬ ‫العمليات على المتجهات‬ ‫17‬ ‫3 - 4 ‬ ‫ ‬ ‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة‬ ‫85‬ ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫67‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫28‬ ‫............................................................. .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫......................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬

8

‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫4 - 1 ‬ ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫68‬ ‫4 - 2 ‬ ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫19‬ ‫4 - 3 ‬ ‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫69‬ ‫4 - 4 ‬ ‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫89‬ ‫4 - 5 ‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫001‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫301‬ ‫ ‬ ‫.........................................................................................................................................................................................................‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................‬ ‫......................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬ ‫حساب املثلثات‬ ‫5 - 1 ‬ ‫5 - 2 ‬ ‫حل المعادالت المثلثية.‬ ‫111‬ ‫5 - 3 ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫411‬ ‫5 - 4 ‬ ‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫711‬ ‫5 - 5 ‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫021‬ ‫5 - 6 ‬ ‫القطعة الدائرية.‬ ‫321‬ ‫5 - 7 ‬ ‫ ‬ ‫المتطابقات المثلثية.‬ ‫601‬ ‫المساحات.‬ ‫521‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫921‬ ‫............................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.............................................................................................................................................................................................. .‬ ‫............................................................................................................................................................................ .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬

9

‫الوحدة‬ ‫1‬ ‫الجبر‬ ‫المصفوفات‬ ‫‪Matrices‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تتضمن‬ ‫• •يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها.‬ ‫مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة.‬ ‫• •يتعرف بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف -‬ ‫مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة • •ينمذج بعض المشكالت الحياتية باستخدام المصفوفات.‬ ‫الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - • •يوظف استخدام المصفوفات في مجاالت أخرى.‬ ‫• •يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.‬ ‫المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة).‬ ‫• •يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية.‬ ‫• •يضرب عددا حقيقيا في مصفوفة .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2‬ ‫• •يتعرف تساوى مصفوفتين.‬ ‫• •يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة.‬ ‫• •يوجد مدور المصفوفة.‬ ‫• •يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. • •يحل المعادالت بطريقة كرامر.‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬عنصر‬ ‫‪Element‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة العمود‬ ‫‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة مربعة‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة متماثلة‬ ‫‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫‪Skew-symmetric matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الوحدة‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مصفوفية‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‬ ‫‪Equal matrices‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفات متساوية‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الثوابت‬ ‫‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المتغيرات‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المعامالت‬ ‫‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معكوس ضربى للمصفوفة‬ ‫‪Inverse matrix‬‬ ‫‬

10

‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (1 - 1): تنظيم البيانات في مصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 2): جمع وطرح المصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 3): ضرب المصفوفات .‬ ‫الدرس (1 - 4): المحددات .‬ ‫الدرس (1 - 5): المعكوس الضربي للمصفوفة‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - برنامج االكسيل ‪- Excel‬‬ ‫جهاز كمبيوتر. ‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫المصفوفات هي جمع كلمة مصفوفة، وهى من المفاهيم الرياضية التي انتشر استخدامها في عصرنا الحاضر، فشملت‬ ‫العديد من فروع المعرفة، فنجد استخداماتها في علوم االحصاء واالقتصاد، واالجتماع وعلم النفس وغيرها، وذلك‬ ‫ألنها تعرض البيانات، وتخزنها في صورة جداول مستطيلة الشكل، وتنظيم البيانات بهذه الصورة يسهل تذكرها‬ ‫والمقارنة بينها وإجراء العمليات عليها، كما أن للمصفوفات دورا هاما في علم الرياضيات وخاصة في فرع الجبر‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫الخطى، وأول من الحظ المصفوفات واستخدمها هو العالم كيلي (1281 - 5981م).‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫المصفوفات‬ ‫تنظيم البيانات‬ ‫في مصفوفات‬ ‫المحددات‬ ‫العمليات على المصفوفات‬ ‫ايجاد مساحة المثلث‬ ‫تعريف المصفوفة‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫تحليل البيانات‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫خواص جمع المصفوفات‬ ‫خواص ضرب المصفوفات‬ ‫محدد المصفوفة المثلثية‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫بطريقة كرامر‬ ‫ضرب عدد بمصفوفة‬ ‫بعض المصفوفات‬ ‫حل المعادالت المصفوفية‬ ‫مدور حاصل ضرب‬ ‫مصفوفتين‬ ‫المعكوس الضربي‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الخاصة‬ ‫حدود المصفوفة‬ ‫حل نظام من المعادالت‬ ‫باستخدام المصفوفات‬

11

‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Organizing data in Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫ما املصفوفة؟‬ ‫بعض املصفوفات اخلاصة‬ ‫(املصفوفة املربعة - مصفوفة‬ ‫الصف - مصفوفة العمود -‬ ‫املصفوفة الصفرية - املصفوفة‬ ‫القطرية - مصفوفة الوحدة)‬ ‫مدور املصفوفة‬ ‫املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه‬ ‫املتامثلة.‬ ‫تساوى مصفوفتني.‬ ‫رضب عدد حقيقي يف مصفوفة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫عنرص ‬ ‫‪Element‬‬ ‫مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫مصفوفة العمود‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫مصفوفات متساوية‬ ‫مصفوفة متامثلة‬ ‫‪Equal matrix‬‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫مصفوفة شبه متامثلة‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫مصنع إلنتاج بعض مكونات شاشات التليفزيون به‬ ‫3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د‬ ‫على النحو التالي:‬ ‫القسم األول ينتج يوميا 57 قطعة من أ ، 531 قطعة من‬ ‫ًّ‬ ‫ب ، 051 قطعة من جـ ، 512 قطعة من د .‬ ‫القسم الثاني ينتج يوميا 001 قطعة من أ ، 861 قطعة من ب ، 012 قطعة من جـ،‬ ‫ً‬ ‫282 قطعة من د.‬ ‫القسم الثالث ينتج يوميا 08 قطعة من أ ، 001 قطعة من ب ، 441 قطعة من جـ ،‬ ‫ًّ‬ ‫46 قطعة من د.‬ ‫واضح أنه من الصعب تذكر هذه المعلومات أو المقارنة بينها، وهي على هذه‬ ‫الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:‬ ‫ً‬ ‫كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟‬ ‫لإلجابة عن هذا السؤال فإنه يمكننا كتابة البيانات في صورة جدول يمكننا من‬ ‫معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،‬ ‫كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.‬ ‫‪Skew symmetric matrix‬‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫برنامج اإلكسيل‬ ‫جهاز كمبيوتر‬ ‫األقسام‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫القسم األول‬ ‫القسم الثاني‬ ‫القسم الثالث‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫أ‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫األجزاء‬ ‫ب‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫جـ‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫د‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬

12

‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل‬ ‫األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، كذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج‬ ‫و‬ ‫القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫الصف األول‬ ‫الصف الثانى‬ ‫الصف الثالث‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫وتسمى هذه الصورة مصفوفة كما تسمى األعداد داخل‬ ‫القوسين عناصر المصفوفة‬ ‫العمود العمود العمود العمود‬ ‫األول الثانى الثالث الرابع‬ ‫وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4‬ ‫(أو باالختصار مصفوفة 3 * 4) حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:‬ ‫عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 21 عنصرا .‬ ‫ً‬ ‫واآلن:‬ ‫1- هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك.‬ ‫2- من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود‬ ‫األول؟‬ ‫3- سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفا ‬ ‫‪Organizing Data in Matrices‬‬ ‫المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم‬ ‫العناصر في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى، ويرمز إلى المصفوفة عادة باستخدام‬ ‫الحروف الكبيرة ‪ ، D ،C‬ج، ‪ .... ،N ،M‬ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة ‪ ،C‬ب، جـ، س، ص ، ....‬ ‫إذا أردنا التعبير عن العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذي يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على‬ ‫الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫ً‬ ‫و‬ ‫فمثال العنصر ‪ 21C‬يقع في الصف األول والعمود الثاني، كذلك ‪ 23C‬يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.‬ ‫فى المصفوفة: ‪= C‬‬ ‫1‬‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫-2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫-1‬ ‫العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫22‬ ‫13‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫5‬

13

‫وبصفة عامة:‬ ‫المصفوفة المكونة من م صفا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن (وتقرأ م‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ استخدم المصفوفة ‪= D‬‬ ‫1 5‬ ‫3 2‬ ‫5 7‬ ‫أ ما نظم المصفوفة ‬ ‫‪D‬؟‬ ‫تعلم‬ ‫لإلجابة عن مايلى:‬ ‫ب ما قيمة ‪12D ،21D‬؟‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫‪Representing Matrcies‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة ‪ C‬على الصورة:‬ ‫‪C( = C‬ص ع)،  ص = 1 ، 2، 3، ......................، م‬ ‫        ع  = 1 ، 2، 3، ......................، ن‬ ‫وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م ‪ ، 3 H‬ن ‪3 H‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫ص = 1 ، 2     ،  ع = 1، 2، 3‬ ‫أ ‪C( = C‬ص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2، 3 ،  ع = 1‬ ‫ب ‪( = D‬بص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2      ،  ع = 1، 2‬ ‫ج‍ ج = (جـ ) ، ‬ ‫ ‬ ‫صع‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫ج‍ ج =‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫23‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 3 ‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫أ ‪C( =     C‬ص ع)، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (ب س ص)، ص = 1 ، 2، ع = 1‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫ب ‪ = D‬ب21 مصفوفة على النظم 3 *1‬ ‫ب‬ ‫31‬ ‫11‬

14

‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه‬ ‫لثالثة أنواع من الساندويتشات بثالثة أحجام مختلفة في‬ ‫أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.‬ ‫أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار‬ ‫ ‬ ‫مرتبة تصاعديا.‬ ‫ًّ‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة.‬ ‫ ‬ ‫ج‬ ‫‍ ما قيمة العنصر ‪ C‬؟‬ ‫ ‬ ‫صدور‬ ‫فراخ‬ ‫صغير‬ ‫متوسط‬ ‫كبير‬ ‫8‬ ‫21‬ ‫61‬ ‫9‬ ‫31‬ ‫71‬ ‫7‬ ‫11‬ ‫51‬ ‫جمبرى‬ ‫مقلى‬ ‫سمك‬ ‫فيليه‬ ‫32‬ ‫الحل‬ ‫صغير متوسط كبير‬ ‫51‬ ‫11‬ ‫7‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫31‬ ‫9‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ب هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3‬ ‫ج‍ قيمة العنصر ‪ C‬هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 31‬ ‫ ‬ ‫سمك فيليه‬ ‫صدور فراخ‬ ‫جمبرى مقلى‬ ‫32‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات‬ ‫دورى الفصول فكانت على النحو التالي:‬ ‫ سمير: لعب 01 مباريات ،  02 تسديدة  ،  5 أهداف.‬ ‫ حازم: لعب 61 مباراة   ،  53 تسديدة  ،  8 أهداف.‬ ‫ كريم: لعب 81 مباراة    ،  14 تسديدة  ،  01 أهداف.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف.‬ ‫ًّ ً‬ ‫ً‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة، ما قيمة‪32C‬؟‬ ‫مـثـال‬ ‫تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺎﺝ‬ ‫٠٢‬ ‫٥١‬ ‫٠١‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺟـ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺃ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻴﻠﻮ ﻭﺍﺕ / ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‌ الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة.‬ ‫يبين الرسم البيانى المقابل إنتاج الطاقة واالستهالك لبعض‬ ‫الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.‬ ‫٠٣‬ ‫٠‬ ‫7‬

15

‫الحل‬ ‫افرض أن كل صف فى المصفوفة يمثل دولة، كل عمود يمثل‬ ‫و‬ ‫مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫دولة( أ )‬ ‫دولة (ب)‬ ‫دولة (جـ)‬ ‫االنتاج‬ ‫5٫9‬ ‫31‬ ‫91‬ ‫االستهالك‬ ‫5٫9‬ ‫9‬ ‫52‬ ‫كيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانًا للصفوف واألعمدة.‬ ‫‌ وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2‬ ‫تعلم‬ ‫ة‬ ‫بعض المصفوفات الخاص ‬ ‫‪Some special Matrices‬‬ ‫3 2‬‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ المصفوفة المربعة: هى المصفوفة التى عدد الصفوف فيها يساوى عدد األعمدة مثل: 4 -1‬ ‫(مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2)‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: (2 4 6 8)‬ ‫(مصفوفة صف على النظم 1 * 4)‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‍ مصفوفة العمود: هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من الصفوف مثل: ‪f 5- p‬‬ ‫1‬ ‫(مصفوفة عمود على النظم 3 * 1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون‬ ‫فمثال المصفوفات:‬ ‫ً‬ ‫0‬ ‫ (0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 1، (0 0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 2،  ‪ b 0 l‬مصفوفة‬ ‫0 0‬ ‫صفرية على النظم2 * 1،  ‪ b 0 0 l‬مصفوفة صفرية علي النظم 2 * 2، ويرمز للمصفوفة الصفرية‬ ‫بمستطيل صغير‬ ‫ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫0‬ ‫0 ‪( f‬مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3)‬ ‫2‬ ‫و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد، ويرمز‬ ‫ً‬ ‫لها بالرمز ‪ . I‬فمثال كل من المصفوفات:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫8‬ ‫1 0‬ ‫(1) ،   ‪p   ،  b 1 0 l‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪  f‬هي مصفوفة وحدة.‬

16

‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 -1‬ ‫أ ‪ b 2 0 l‬‬ ‫ب (1 3 5 7) ‬ ‫1 0‬ ‫ه‍ ‪ b 3 0 l‬‬ ‫0 0‬ ‫د ‪ b0 0l‬‬ ‫ج‍ ‬ ‫و ‬ ‫‌ اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3‬ ‫تعلم‬ ‫تساوى مصفوفتين‬ ‫3‬ ‫‪f4p‬‬ ‫5‬ ‫0 0‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫0 1‬ ‫‪Equality of two Matrices‬‬ ‫تتساوى مصفوفتان ‪ D ،C‬إذا كانتا على نفس النظم، كان كل عنصر في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لنظيره في المصفوفة‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫‪ D‬أي أن: ‪C‬ص ع = ‪ D‬ص ع  لكل ص ولكل ع.‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 2 0‬ ‫‌ أ المصفوفتان ‪ b 0 5 1- l ، b 5 1- l‬‬ ‫1 س 2‬ ‫ب ‪ b 2 3- 1 l = b 5 6 1- l‬‬ ‫-1 6 ص‬ ‫1 ص‬‫ج‍ المصفوفتان ‪ b 1- 3 l ، b 2 1 l‬‬ ‫س -1‬ ‫0 1 5‬ ‫د ‪p =f 0 7 1 p‬‬ ‫2 6 3‬ ‫0 1 5‬ ‫1 7 0‬ ‫2 6 3‬ ‫غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم.‬ ‫إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5‬ ‫اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة‬ ‫في كل منهما (عناصر الصف األول والعمود األول)‬ ‫‪ f‬‬ ‫المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما‬ ‫المتناظرة متساوية.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ 3 2٫0‬‫57٫0 1‬‫‪4 o‬‬ ‫5 ‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‌ أ إذا كان ‪  2- 0٫5 = D     ،  2- 1 o = C‬هل ‪D = C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫2‬ ‫3 4‬‫3 4‬ ‫ب إذا كانت ‪      b 2- 0 l = N     ،       b 2- 0 l = M‬هل ‪N = M‬؟ فسر إجابتك .‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت‬ ‫‌ إذا كان: ‪2 l‬س-5‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫4‬ ‫‪ 2 l‬س-5‬ ‫3 3 ص +21‬ ‫‪l=b‬‬ ‫52‬ ‫4‬ ‫‪l =b‬‬ ‫3ص + 21‬ ‫3‬ ‫52‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ص +81‬ ‫4‬ ‫ص + 81‬ ‫‪  b‬فأوجد قيمتى س، ص.‬ ‫‪b‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬

17

‫حيث أن المصفوفتين متساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:‬ ‫3ص + 21 = ص + 81‬ ‫ ، ‬ ‫2 س - 5 = 52‬ ‫3ص- ص = 81 - 21‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 52 - 5‬ ‫ص     = 3‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 02‬ ‫س       = 01‬ ‫الحل هو س = 01، ص = 3‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ l‬س + 8‬ ‫3‬ ‫5‬‫-ص‬ ‫‪l = b‬‬ ‫83‬ ‫3‬ ‫-5 ‪     b‬فأوجد قيمتى س، ص‬ ‫4ص-01‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا كان (3س  س + ص  س - ع) = (-9  4  -01)   فأوجد قيم كل من س، ص، ع‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا علم أن:‬ ‫‪ + C‬ب + جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪-C‬ب‬ ‫‪ - C‬ب + 2د‬ ‫= ‪ b 3- 9 l‬فأوجد قيم ‪ ،C‬ب، جـ، د‬ ‫7 5‬ ‫ة‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوف ‬ ‫‪Multipling a Real Number by a Matrix‬‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:‬ ‫حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك ‪ C‬على نفس النظم م * ن كل‬ ‫و‬ ‫عنصر فيها جـ ص ع يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة ‪ C‬مضروبا في العدد الحقيقي ك.‬ ‫ً‬ ‫أي: جـ ص ع = ك ‪ C‬ص ع   حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، ن‬ ‫الحظ أن:‬ ‫كس كص‬ ‫س ص‬ ‫‪l= b‬‬ ‫ك‪l‬‬ ‫كع كل‬ ‫ع ل‬ ‫‪b‬‬ ‫فمثال -2 4 1‬ ‫ً‬ ‫‪b 2- 8- l = b 1 * 2- 4 * 2- l = b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫5 -1‬ ‫01 2‬‫2 * 5 -2 * -1‬‫مـثـال‬ ‫‌ تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم‬ ‫الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟‬ ‫حجم صغير‬ ‫حجم كبير‬ ‫كوب لبن كامل الدسم‬ ‫57٫0 من الجنيه‬ ‫05٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير مانجو‬ ‫09٫0 من الجنيه‬ ‫09٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير برتقال‬ ‫01‬ ‫58٫0 من الجنيه‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫57٫1 من الجنيه‬

18

‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫الحل‬ ‫57٫0‬ ‫05٫1‬ ‫09٫0‬ ‫09٫1‬ ‫58٫0‬ ‫5٫1 * 57٫0 5٫1 * 05٫1‬ ‫=‬ ‫57٫1‬ ‫=‬ ‫521٫1 52٫2‬ ‫572٫1 526٫2‬ ‫ ‬ ‫5٫1‬ ‫ ‬ ‫سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 521٫1 من الجنيه، ثمن كوب اللبن‬ ‫من الحجم الكبير 52٫2 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من‬ ‫الحجم الصغير 572٫1 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 526٫2،‬ ‫وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 53٫1من الجنيه، وثمن‬ ‫كوب المانجو من الحجم الكبير 58٫2 من الجنيه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫5٫1 * 09٫0 5٫1 * 09٫1‬ ‫51 -21 01‬ ‫02 -01 7‬ ‫-2 1 3‬ ‫‌‬ ‫1 إذا كان ‪= C‬‬ ‫تعلم‬ ‫5٫1 * 58٫0 5٫1 * 57٫1‬ ‫53٫1 58٫2‬ ‫فأوجد -5‪C‬‬ ‫مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of a Matrix‬‬ ‫في أي مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل‬ ‫على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة ‪ ،C‬ويرمز لها بالرمز ‪ C‬مد ويتضح من التعريف أن (‪C‬مد)مد = ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬‫5‬ ‫3‬ ‫1 ‪ f‬‬‫5‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C‬مد   = ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب مد = ‪ 2- p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫مد ‪3- l‬‬ ‫ج‍ ج   =‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫-1 ‪ b‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (1  -2  6) ‬ ‫3 4‬‫ج‍‬ ‫‪l‬‬ ‫ ج = 2 -1‬ ‫‪b‬‬ ‫مصفوفة على النظم 3 * 2‬ ‫مصفوفة عمود على النظم 3 * 1‬ ‫مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫11‬

19

‫الم�صفوفات المتماثلة و�شبه المتماثلة‬ ‫‪Symmetric and Semi Symmetric Matrices‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬مد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت‬ ‫مد‬ ‫‪C- = C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ هل المصفوفة ب = ‪p‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ب= ‪p‬‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫‪ f‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫ب مد = ‪p‬‬ ‫1‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫3‬ ‫‪f‬‬ ‫-1‬ ‫ ‬ ‫ب مد = -1 * ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫` ب مد = -ب فيكون ب = - ‪ D‬مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 هل المصفوفة ‪p = C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3 ‪-= f‬ب‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى:‬ ‫س‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 ‪l =b‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪ b‬‬ ‫س‬ ‫ب ‪l‬‬ ‫0‬ ‫‌ بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:‬ ‫ًّ‬ ‫أ ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬‫4‬ ‫1‬‫2‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪ f‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب ‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬‫2‬ ‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪l =b‬‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫1‬‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫ع‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3 ‪ b‬‬

20

‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات‬ ‫األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية(‪)Excel‬‬ ‫‬ ‫استخدم الجداول اإللكترونية لتنظيم البيانات وعرضها وتحليلها، حيث يتم إدخالها في برنامج الجداول‬ ‫اإللكترونية في صفوف وأعمدة مثل المصفوفات، بعد ذلك يمكنك استخدامها في عمل الرسوم أو إيجاد‬ ‫الحسابات.‬ ‫مـثـال‬ ‫01 الربط بالتجارة: جمع مدير سوبر ماركت مبيعاته من السلع‬ ‫الغذائية بالكيلو جرام في أربعة أسابيع متتالية، ونظمها في‬ ‫الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.‬ ‫1- استخدم العمود ‪ A‬للنوع والعمود ‪ B‬لمبيعات األسبوع األول ،‬ ‫والعمود ‪ C‬لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود ‪ D‬لمبيعات األسبوع‬ ‫الثالث والعمود ‪ E‬لمبيعات األسبوع الرابع.‬ ‫مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو‬ ‫جرامات خالل 4 أسابيع متتالية‬ ‫النوع‬ ‫سكر‬ ‫زيت‬ ‫مكرونة‬ ‫دقيق‬ ‫زبدة‬ ‫ألبان‬ ‫شاي‬ ‫فول‬ ‫األسبوع‬ ‫األول‬ ‫43‬ ‫24‬ ‫06‬ ‫07‬ ‫52‬ ‫06‬ ‫22‬ ‫54‬ ‫األسبوع‬ ‫الثاني‬ ‫03‬ ‫84‬ ‫26‬ ‫57‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫81‬ ‫53‬ ‫األسبوع‬ ‫الثالث‬ ‫72‬ ‫63‬ ‫45‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫14‬ ‫03‬ ‫83‬ ‫األسبوع‬ ‫الرابع‬ ‫81‬ ‫23‬ ‫85‬ ‫27‬ ‫81‬ ‫77‬ ‫23‬ ‫04‬ ‫يحوي كل صف مبيعات النوع‬ ‫نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل‬ ‫الصف الثانى مبيعات الزيت.‬ ‫81‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫43‬ ‫ﺳــﻛــﺭ‬ ‫23‬ ‫63‬ ‫84‬ ‫24‬ ‫ﺯﻳﺕ‬ ‫85‬ ‫45‬ ‫86‬ ‫06‬ ‫ﻣﻛﺭﻭﻧﺔ‬ ‫27‬ ‫08‬ ‫57‬ ‫07‬ ‫ﺩﻗﻳﻕ‬ ‫81‬ ‫02‬ ‫42‬ ‫52‬ ‫ﺯﺑﺩﻩ‬ ‫77‬ ‫14‬ ‫63‬ ‫06‬ ‫23‬ ‫03‬ ‫81‬ ‫22‬ ‫ﺍﻟﺑﺎﻥ‬ ‫ﺷﺎﻯ‬ ‫04‬ ‫83‬ ‫53‬ ‫54‬ ‫ﻓﻭﻝ‬ ‫تحتوي كل خلية في الجدول جزءا‬ ‫ً‬ ‫واحدً ا من البيانات، حيث تحتوي‬ ‫الخلية 7‪ D‬على القيمة 03، والتي‬ ‫تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة‬ ‫في األسبوع الثالث من الشاي.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة.‬ ‫‌‬ ‫1 عند استخدامك لألمر (‪ )sum‬يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية.‬ ‫يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )8‪ = sum (F1:F‬ماذا تمثل هذه المجاميع؟‬ ‫ ‬ ‫‌‬ ‫1 اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية‬ ‫(يمكنك استخدام برنامج (‪.))EXCEL‬‬ ‫‌‬ ‫1 مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة باستخدام بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى،‬ ‫ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق‬ ‫ً‬ ‫من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫31‬

21

‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Adding and subtracting Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫مجع املصفوفات.‬ ‫الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:‬ ‫طرح املصفوفات.‬ ‫السنة‬ ‫1102‬ ‫2102‬ ‫3102‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫طرح املصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫الوسط الحسابى للدرجات‬ ‫رياضيات‬ ‫علوم‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫754‬ ‫205‬ ‫024‬ ‫824‬ ‫064‬ ‫105‬ ‫124‬ ‫524‬ ‫364‬ ‫305‬ ‫624‬ ‫924‬ ‫1- أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول.‬ ‫ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.‬ ‫ ‬ ‫2- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابي لدرجات مادة العلوم للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة؟‬ ‫ ‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابى لدرجات الرياضيات للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة ؟‬ ‫ ‬ ‫4- بفحص إجابتك عن السؤال رقم (1) والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين (2)،‬ ‫ ‬ ‫(3)، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟‬ ‫5- استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات.‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding Matrices‬‬ ‫نريد أحيانا ان نجمع أو نطرح مصفوفات، لكى نحصل على معلومات جديدة.‬ ‫لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.‬ ‫أى أن: إذا كانت ‪ D ،C‬مصفوفتين على النظم م * ن، فإن ‪ + C‬ب هى مصفوفة أيضا على‬ ‫ً‬ ‫النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في ‪ ،C‬ب.‬ ‫41‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬

22

‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫مـثـال‬ ‫0 2‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 3 1- l = C‬ب = ‪ b 2- 7 l‬فأوجد: ‪.D + C‬‬ ‫1 -4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫0 2‬ ‫7‬ ‫2 ‪ b‬‬‫‪ + C‬ب =‪l + b 3 1- l‬‬ ‫1 -4‬ ‫(بالتعويض عن ‪ ،C‬ب)‬ ‫2+ (-2) ‬ ‫0+7‬ ‫   =‬ ‫1 + 1 3 + (-4)‬‫7 0‬ ‫‪b‬‬ ‫ = ‪l‬‬ ‫ ‬ ‫0 -1‬ ‫(بجمع العناصر المتناظرة)‬ ‫(بسط)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 4- l = C‬ب = ‪ ، b 7- 2 l‬جـ = ‪ b 7 l‬أوجد كال ممايأتي إن أمكن:‬ ‫ً‬ ‫3 -7‬‫4‬ ‫8 -1‬ ‫ب ‪ + C‬جـ‬ ‫أ ‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص جمع المصفوفا ‬ ‫‪Properties of Adding Matrices‬‬ ‫نفرض ‪ ، C‬ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:‬ ‫1- خاصية اإلنغالق: ‪ + C‬ب تكون مصفوفة على النظم م * ن‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 7‬ ‫إذا كانت ‪2 1- = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫2 0‬‫0 3‬ ‫فإن    ‪ + C‬ب = ‪ b 4 6 l = b 2 7 l + b 2 1- l‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫0 3‬ ‫2 0‬‫-2 3‬ ‫2- خاصية اإلبدال: ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪  b 5 6 l‬فبين أن  ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫4‬ ‫-2 3‬ ‫0‬ ‫3- خاصية الدمج: (‪ + C‬ب) + ج = ‪( + C‬ب + ج)‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪ ، b 5 6 l‬ج = ‪  b 4 2 l‬فبين أن (‪ + )D + C‬ج = ‪ + D( + C‬ج)‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫4- خاصية المحايد الجمعى:  ‪+ C‬‬ ‫ ‬ ‫0 0 0‬ ‫1 2 3‬ ‫فمثالً: ‪+ f 4 5- 6 p‬‬ ‫ ‬ ‫‪0 0 0 p‬‬ ‫0 0 0‬ ‫7 8 -9‬ ‫-2 3‬ ‫=‬ ‫+‪C=C‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫-1 -3‬ ‫فمثال 3‬ ‫ً‪l‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫8 -9‬ ‫‪p = f 4 5- 6 p + f 0 0 0 p = f‬‬ ‫5- خاصية المعكوس (النظير)الجمعي:  ‪= C + )C-( = )C-( + C‬‬ ‫حيث (-‪ )C‬النظير الجمعى للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2 ‪ b‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫5 2 + ‪0 = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫0‬ ‫0 -5‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 2 3‬ ‫6 -5 4‬ ‫7 8 -9‬ ‫0  حيث ‪3 - = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫2‬ ‫0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪f‬‬ ‫5 2‬ ‫0 -5‬ ‫‪b‬‬ ‫51‬

23

‫تعلم‬ ‫طرح المصفوفات ‬ ‫إذا كانت كل من المصفوفتين ‪ ،C‬ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = ‪ - C‬ب = ‪-( + C‬ب) حيث ج مصفوفة‬ ‫علي النظم م * ن ، (-ب) هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.‬ ‫فمثالً: ‪ C l‬ب ‪ l - b‬س ص ‪ C l = b‬ب ‪- l + b‬س -ص ‪ - C l = b‬س ب - ص ‪b‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ - ع ‪ - E‬ل‬ ‫ع ل‬ ‫ع -ل‬‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 11 4- 7 l = C‬ب = ‪ b 2 9 5 l‬أثبت أن ‪ - C‬ب ! ب - ‪.C‬‬ ‫6 5 -1‬ ‫8 -7 -3‬ ‫الحل‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫‪-C‬ب= ‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 7‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 2‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬‫5‬ ‫31‬‫-2‬ ‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫9 ‪b‬‬ ‫-4‬ ‫5 9 2‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬‫8 -7 -3‬ ‫+ ‪b 2- 9- 5- l‬‬ ‫-8 7 3‬ ‫ب - ‪l =  C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(1) ‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫2‬‫2‬ ‫9‬ ‫7‬‫9‬ ‫7‬‫31‬ ‫-21‬ ‫2 - 7‬ ‫‪l b‬‬ ‫3‬‫6‬ ‫2 + ‪7- l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6‬‫3‬‫9 ‪b‬‬‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬ ‫-5‬ ‫11‬ ‫1‬‫11 ‪b‬‬‫1‬ ‫‪b‬‬ ‫(2)‬ ‫من (1)، (2) نالحظ أن: ‪ - C‬ب ! ب - ‪( C‬عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية)‬ ‫ ‬ ‫فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 5 2 l = C‬ب = ‪ ، b 3 4 1- l‬ج = ‪ b 2- 1- 6 l‬أوجد المصفوفة 2‪5 + D 3 - C‬ج‬ ‫الحل‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 -4 6‬ ‫-3 5‬ ‫4‬ ‫2 * -1 = 4 01‬ ‫2 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫6 -8‬ ‫21‬ ‫2*6‬ ‫3 * 3 = -3 21 9‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫72 -6 51‬ ‫3*5‬ ‫2‪5 * 2 2 * 2 l = b 1- 5 2 l 2 =       C‬‬ ‫ ‬ ‫2 * 3 2 * -4‬ ‫3 -4 6‬ ‫3ب = 3 ‪4 * 3 1-* 3 l = b 3 4 1- l‬‬ ‫ ‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 * 9 3 * -2‬ ‫3ب = 3‬‫ ‬ ‫21 -9 ‪b‬‬‫‪l‬‬ ‫72 6 -51‬‫5ج = 5 6 -1 -2 = 5 * 6 5 * -1 5 * -2 = 03‬ ‫ ‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51‬‫52 02‬ ‫5 * -3 5 * 5 5 * 4‬ ‫3 5 4‬‫` 2 ‪3 - C‬ب + 5 ج = 4 01 -2 + 3 -21 -9 + 03‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51 52 02‬‫72 6 -51‬‫6 -8 21‬ ‫       = 4 +3 + 03 01 - 21 -5 -2 - 9 - 01 = 73‬ ‫ ‬ ‫7 -12 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫63‬‫32 71‬ ‫6 - 72 - 51 -8 + 6 + 52 21 - 51 + 02‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 1- 2 l = C‬ب = ‪ ، b 4 1- l‬ج = ‪ b 3- 1 l‬فأوجد المصفوفة 2‪4 + D3 - C‬ج‬ ‫-3 5‬ ‫61‬ ‫6 -2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫3‬

24

‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل ممايأتى:‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫9‬ ‫أ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪4- l‬‬ ‫1‬ ‫‪+b‬‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫‌ إذا كانت‪4 = C‬‬ ‫1‬ ‫-2 ‪ b‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪ ، b‬ب = ‪l‬‬‫0‬ ‫0‬ ‫ب ‪p‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫أ أوجد ‪ - C‬ب ، ب - ‪ . C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫3 ‪b‬‬‫1‬ ‫3 4‬‫3 -3‬ ‫0 4 ‪1- 5 p - f‬‬ ‫2 2‬ ‫5 2‬ ‫‪f‬‬ ‫ب تحقق من أن - (‪ + C‬ب) = (-‪-( + )C‬ب)‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى‬ ‫المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس [ ] حول‬ ‫تذكر‬ ‫المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل‬ ‫تذكر أن [‪ ]B] ،[A‬يمكن‬ ‫جمعها وطرحها ألنهما على‬ ‫نظم المصفوفة‬ ‫ ‬ ‫[‪[ = ]A‬‬ ‫4]‬ ‫[‪[ = ]B‬‬ ‫3 2 1 ‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫7‬ ‫نفس النظم 3 × 2‬ ‫16 ]‬ ‫تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة ‪ ،A‬ثم للمصفوفة ‪B‬‬ ‫مصفوفة [‪]A‬‬ ‫مصفوفة [‪]B‬‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫9‬ ‫‪Enter‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫1‬ ‫‪Quit‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف األول‬ ‫‪Enter‬‬ ‫4‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف الثاني‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫7‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫2‬ ‫$‬ ‫إلدخال نظم المصفوفة‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫$‬ ‫إلضافة مصفوفة‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫5‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪2nd‬‬ ‫‪Quit‬‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫+‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫]‪[A] + [b‬‬ ‫]5 1 1 7[[‬ ‫]]1- 9 3[‬ ‫2‬ ‫‪$ 2nd‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫8٫3 1٫2‬ ‫]‬ ‫أ [‪= ]B] ،  0٫8- 1٫5 = [A‬‬ ‫-4٫1 9٫1‬ ‫[‬ ‫ $             لجمع[‪]B] ،[A‬‬ ‫   $    سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين‬ ‫1- واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد: [‪]A] - [B] ،[A] + [B‬‬ ‫ ‬ ‫1.1 -4.1‬ ‫6.0 1.‬ ‫-7.1 8.0‬ ‫للذهاب إلى‬ ‫(‪)home screen‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫-4‬ ‫6‬ ‫-7 -6‬ ‫] [‬ ‫ ب [‪= ]B]  ، 10- 9- 4 = [A‬‬ ‫5 8 31‬‫4 11 7‬ ‫-51 6 -8‬ ‫]‬ ‫2- هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫71‬

25

‫ضرب المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫ رضب املصفوفات.‬ ‫خواص رضب املصفوفات.‬ ‫مدور حاصل رضب مصفوفتني.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫رضب املصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫مدور مصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات‬ ‫في الجدول المقابل:‬ ‫ثمن الوجبة بالجنيهات‬ ‫1- ما ثمن وجبات الغذاء(1)؟ وجبات‬ ‫ ‬ ‫001‬ ‫05‬ ‫عدد الوجبات المباعة‬ ‫الغذاء(2)؟ وجبات الغذاء (3)؟‬ ‫2- أ ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟‬ ‫ب وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة.‬ ‫ ‬ ‫وجبة وجبة وجبة‬ ‫(1) (2) (3)‬ ‫2‬ ‫05٫3 57٫2‬ ‫57‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة.‬ ‫ب اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة.‬ ‫ ‬ ‫ج‍ الكتابة: استخدم الكلمات صف، عمود ، عنصر لوصف إجراءات‬ ‫ ‬ ‫استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع‬ ‫بها الكافتيريا الوجبات الثالث.‬ ‫واآلن: لكي نقوم بضرب المصفوفات، اضرب عناصر كل صف من المصفوفة‬ ‫األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.‬ ‫فمثال إليجاد حاصل ضرب: ‪ ، 2 0 = C‬ب = 5 0‬ ‫ً‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f 3- 2- p‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪b‬‬ ‫نضرب ‪ 11C‬فى ب11، ثم نضرب ‪ 21C‬فى ب21 ثم نجمع حاصل الضرب‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي‬ ‫الصفوف واألعمدة.‬ ‫0 2‬ ‫‪= b 0 5 l f 3- 2- p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫-1 1‬ ‫‪p‬‬ ‫81‬ ‫2‬ ‫‪p = b 1 1- l f 3- 2- p‬‬ ‫؟‬ ‫‪2- = )1-( * 2+ 5 * )0(     f‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬‫4‬ ‫‪f‬‬ ‫-2 ؟‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ p= b‬؟‬ ‫-1 1‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪2 = )1()2( + )0()0(     f‬‬ ‫‪7-= )1-()3-( + )5()2-(     f‬‬

26

‫تافوفصملا برض‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪ 7- p = b 1 1- l‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫(-2)(0) + (-3)(1) =-3 ‬ ‫2‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫3 ‪3- 7- p = b 1 1- l f‬‬‫4‬ ‫؟‬ ‫(1)(5) + (4)(-1)= 1‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫‪  f 3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1‬ ‫(1)(0)+(4)(1)=4‬ ‫2 2‬‫‪3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫4- صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة.‬ ‫ً‬ ‫5- أ ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟‬ ‫ ‬ ‫ب تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد‬ ‫أعمدة المصفوفة األولى يساوى عدد صفوف‬ ‫المصفوفة الثانية، وعند ضرب المصفوفة ‪ C‬على‬ ‫النظم م * ن بالمصفوفة ب على النظم ن * ل فإن‬ ‫الناتج هو المصفوفة ‪ D C‬على النظم م * ل فمثالً:‬ ‫مصفوفة ‪C‬‬ ‫3 صفوف ‪p‬‬ ‫1 2‬‫3 -4‬ ‫5 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪f‬‬ ‫صفان‬ ‫عمودان‬ ‫مـثـال‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة ب‬ ‫3 -4 5‬ ‫‪l‬‬ ‫7 8 9‬ ‫‪b‬‬ ‫3 أعمدة‬ ‫متساويان‬ ‫نظم مصفوفة الضرب 3 * 3‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال.‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2‬ ‫الحل‬ ‫أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬يساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫ فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2‬ ‫ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫‪     .    C‬ب   =          ‪ C‬ب‬ ‫3*4‬ ‫فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب غير معرفة.‬ ‫متساويان‬ ‫3*2‬ ‫4*2‬ ‫3*2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب.‬ ‫ً‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3‬ ‫ ‬ ‫من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون ‪ C‬ب معرفة بينما ب ‪ C‬غير معرفة، وبصفة عامة‬ ‫إذا كانت كل من ‪ C‬ب، ب ‪ C‬معرفتين فإن ‪ C‬ب ليست بالضرورة تساوى ب ‪ C‬حتى وإن تساويتا في نفس النظم.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫91‬

27

‫مـثـال‬ ‫1 -1 2‬ ‫‌ إذا كان ‪3 0 1- p = C‬‬ ‫0 1 4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪  ،   f‬ب = ‪p‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1 0‬ ‫4 1‬ ‫0 -1‬ ‫‪ f‬فأوجد كال من ‪ C‬ب ، ب ‪ .C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ C a‬على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن ‪ D C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ‪ C‬يساوى عدد صفوف ب)‬ ‫وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1‬ ‫1 -1 2‬ ‫‪ C‬ب = ‪4 3 p f 3 0 1- p‬‬ ‫0 1 4‬ ‫5 0‬ ‫1 * 2 + (-1) * 3 + 2 * 5‬ ‫       = ‪5 * 3 + 3 * 0    +  2 * 1- p‬‬ ‫0 * 2  +  1       * 3 + 4 * 5‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫1 ‪f‬‬ ‫1‬‫1  * 1 + (-1) * 4 + 2 * 0 1  * 0 + (-1) * 1 + 2 * (-1)‬ ‫1 * 1 +  0   * 4 + 1 *0 -1  * 0 +      0      * 1 + 3 * (-1)‬‫  0   * 1 +  1  * 4 + 4 *0 0   * 0 +      1       * 1 + 4 * (-1)‬ ‫9 -3 -3‬ ‫‪f 3- 1- 13 p = f‬‬ ‫32 4 -3‬ ‫‪ a‬ب على النظم 3 * 3 ‪ C‬على النظم 3 * 3 فإن ب ‪ C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف ‪ )C‬وتكون‬ ‫مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1 0‬ ‫1 -1‬ ‫ب‪0 1- p f 1 4 3 p = C‬‬ ‫5 0 -1‬ ‫0 1‬ ‫2 * 1 + 1 * -1 + 0    * 0‬ ‫    = ‪0 *  1 + 1- * 4 + 1 * 3 p‬‬ ‫5 * 1 + 0 * -1 + (-1) * 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3 ‪f‬‬ ‫4‬ ‫2 * -1 + 1 * 0 + 0 *1‬ ‫3 * -1 + 4 * 0 + 0 * 1‬ ‫5 * -1 + 0 * 0 + 0 * 1‬ ‫1 -2 7‬ ‫2 * 2 + 1 * 3 +   0 * 4‬ ‫3 * 2 + 4 * 3 +     1 * 4 ‪= f‬‬ ‫‪f 22 3- 1- p‬‬ ‫5 -5 6‬ ‫5 * 2 + 0 * 3 + -1 * 4‬ ‫نالحظ أن ‪ C‬ب ! ب ‪   C‬يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.‬ ‫مـثـال‬ ‫غرفة‬ ‫غرفة‬ ‫بسرير بسريرين‬ ‫46‬ ‫82‬ ‫‌ الربط بالسياحة: لدى كة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة‬ ‫شر‬ ‫ ‬ ‫يبين الجدول المقابل عدد الغرف المختلفة في كل فندق، فإذا كانت الزهرة‬ ‫59‬ ‫األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 052 جنيها، وللغرفة اللؤلؤة 53‬ ‫ً‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫الماسة‬ ‫التى تحتوي على سريرين 054 جنيها، وللجناح 006 جنيها.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أ اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي كة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها.‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫كة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟‬ ‫ج‍ ما الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫الفندق‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ نكتب مصفوفة عدد الغرف ‪ C‬كاآلتي: ‬ ‫ ‬ ‫وتكتب مصفوفة أسعار الغرف ‪ D‬كاآلتى‬ ‫ ‬ ‫82 46 8‬ ‫‪20 95 35 p =    C‬‬ ‫02 08 51‬ ‫052‬ ‫ب = ‪f 450 p‬‬ ‫006‬ ‫جناح‬ ‫8‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لعدد األعمدة في المصفوفة‬ ‫ً‬ ‫ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين (ب)، (جـ).‬ ‫02‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬

28

‫تافوفصملا برض‬ ‫82 46 8‬ ‫052‬ ‫ب مصفوفة الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫كة هي المصفوفة ‪450 p f 20 95 35 p = D C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫02 08 51‬ ‫006‬ ‫00604‬ ‫82 * 052 + 46 * 054 + 8 * 006‬ ‫ ‬ ‫  = ‪63500 p = f 600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35 p‬‬ ‫00005‬ ‫02 * 052 + 08 * 054 + 51 * 006‬ ‫ج‍ الدخل اليومى كة = 00604 + 00536 + 00005 = 001451 جنيه‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص عملية ضرب المصفوفا ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Properties of Matrix Multiplication‬‬ ‫من تعريف عمليتى جمع وضرب المصفوفات، مع افتراض تحقق الشروط الالزمة للتعريفين: يمكن استنتاج‬ ‫الخواص التالية:‬ ‫1- خاصية الدمج:‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ب) ج = ‪( C‬ب ج)‬ ‫واألن إذا كان:‬ ‫1 0‬ ‫‪ ، b 2- 1 l = C‬ب = ‪ ، b 1 0 2 l‬ج = ‪ f 2 3 p‬أوجد (‪ C‬ب) ج، ‪( C‬ب ج). ماذا تالحظ؟ هل عملية‬ ‫1 1 -2‬ ‫3 1‬ ‫2 -1‬ ‫ضرب المصفوفات دامجة؟‬ ‫2- خاصية المحايد الضربى ‬ ‫‪C = C I = I C‬‬ ‫واآلن إذا كان ‪ b 3- 2 l = C‬فبرهن أن: ‪ C =CI= IC‬‬ ‫-1 5‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫3- خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها.‬ ‫واآلن إذا كان ‪1 = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫2 ، ب = ‪ ، b 2- 1 l‬ج = 3 1‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5 4‬ ‫3 0‬‫4‬ ‫إثبت أن: أ ‪(C‬ب + ج) = ‪C‬ب + ‪C‬ج‬ ‫ن‬ ‫مدور حاصل ضرب مصفوفتي ‬ ‫ ‬ ‫‪(C‬ب + ج) = ‪ C‬ب + ‪ C‬ج‬ ‫(‪ + C‬ب) ج = ‪ C‬ج + ب ج‬ ‫‪b‬‬ ‫ب (ب + ج) ‪ = C‬ب ‪ + C‬ج‪C‬‬ ‫‪Transpose of the product of two matrices‬‬ ‫من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية: (‪ C‬ب)مد = ب ‪C‬‬ ‫1‬ ‫واآلن إذا كانت ‪l = C‬‬ ‫3‬ ‫1 2‬‫2 -1 ‪ ، b‬ب = ‪   ، f 1- 1 p‬أثبت أن: (‪ C‬ب) = ب ‪C‬‬ ‫1 5‬ ‫4 3‬ ‫مد‬ ‫مد مد‬ ‫مد مد‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪C‬ب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، وإذا كانت معرفة فأوجد نظم‬ ‫المصفوفة الناتجة:‬ ‫أ المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫12‬

29

‫المحددات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثانية.‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثالثة.‬ ‫حمدد املصفوفة املثلثية.‬ ‫إجياد مساحة املثلث باستخدام‬ ‫املحددات.‬ ‫حل نظام من املعادالت اخلطية‬ ‫بطريقة كرامر.‬ ‫فكر‬ ‫1- ما المصفوفة المربعة؟‬ ‫2- اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3‬ ‫3- إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث: ‪ b 5 2 l = C‬فإن محدد‬ ‫1 7‬ ‫المصفوفة ‪ C‬هو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫ |‪9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C‬‬ ‫ما محدد كل من المصفوفات التالية؟‬ ‫ ‬ ‫ب= 1‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حمدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫حمدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫حمدد من الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫2   ،  ج = 3 5‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫4‬ ‫-3 1‬ ‫المحددات‬ ‫أ ب‬ ‫|‪= |C‬‬ ‫جـ د‬ ‫القطر الرئيسى للمحدد‬ ‫‬ ‫القطر اآلخر للمحدد‬ ‫‬ ‫مصفوفة املعامالت‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‬ ‫القطر األخر‬ ‫= أ د - جـ ب‬ ‫القطر الرئيسى‬ ‫ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى‬ ‫مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية.‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:‬ ‫‪ l = C‬أ ب ‪ b‬فإن محدد المصفوفة ‪ C‬يرمز له بالرمز|‪ |C‬ويسمى بمحدد الرتبة‬ ‫جـ د‬ ‫الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫‪Principle or leading diagonal‬‬ ‫‪Other diagonal‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫أ‬ ‫الحل‬ ‫4 5  ب‬ ‫3 7‬ ‫0 5   ج‍‬ ‫7 3‬ ‫1 0   د‬ ‫0 1‬ ‫1 0‬ ‫2 7‬ ‫0 5‬ ‫4 5‬ ‫أ 3 7  = 4 * 7 - 3 * 5 ‬ ‫ ‬ ‫ب 7 3  = 0 * 3 - 7 * 5‬ ‫            = 82 - 51 = 31            = 0 - 53 = - 53‬ ‫22‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬

30

‫تاددحملا‬ ‫1 0‬ ‫ ‬ ‫د 2 7 =1*7-2*0‬ ‫            = 7 - 2 = 5‬ ‫1 0‬ ‫ج‍ 0 1 = 1 * 1 - 0 * 0‬ ‫ ‬ ‫            = 1 - 0 = 1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من المحددات التالية :‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫1 -1 ‬ ‫0‬ ‫ب ‬ ‫4‬ ‫5 -1 ‬ ‫ج‍ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫ب جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫ة‬ ‫محدد الرتبة الثالث ‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة د هـ و فإن:‬ ‫ز ح ط‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫هـ و = ‪ C‬هـ و - ب د و + حـ د هـ‬ ‫د‬ ‫ح ط‬ ‫ز ط‬ ‫ز ح‬ ‫ز ح ط‬ ‫           = ‪(C‬هـ ط - ح و) - ب ( د ط - ز و) + حـ ( د ح - ز هـ)‬ ‫مـثـال‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫7 2‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد 3 4‬ ‫1 2‬‫7 2 5‬ ‫3 4‬ ‫3 1‬ ‫4 1‬ ‫3 4 1 = 7 2 6 - 2 -1 6 + 5‬ ‫ ‬ ‫1 2‬‫1 2 6‬‫          = 7 ( 4 * 6 - 2 *1) -2 (3 * 6 - (-1) * 1) + 5 ( 3 * 2 - (-1) * 4)‬ ‫فإن :‬ ‫         = 7 * 22 - 2 * 91 + 5 * 01‬ ‫         = 451 - 83 + 05 = 661‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Minor determinant corresponding to any element of a matrix‬‬ ‫إذا كانت المصفوفة ‪ C‬هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p =C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  f 32C‬فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 11C‬يرمز له بالرمز| ‪ | 11C‬وهو‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر ‪11C‬كاآلتي:‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C 21C‬‬ ‫13‬ ‫31‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫‪f 32C 22C 12C p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫32‬

31

‫بالمثل:‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 21C‬يرمز له بالرمز|‪ |21C‬وهو‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 31C‬يرمز له بالرمز|‪ |31C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 12C‬يرمز له بالرمز|‪ |12C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:‬ ‫21‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫13‬ ‫مالحظات هامة‬ ‫1- إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p = C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫ ‬ ‫ |‪C = |C‬‬ ‫ ‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ، f 32C‬ومحدد ‪ C‬يرمز له بالرمز |‪ |C‬حيث:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫13‬ ‫-‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫+‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫= ‪|31C| 31C + |21C| 21C - |11C| 11C‬‬ ‫2- الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقًا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب،‬ ‫وإشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪C‬وهـ تتعين بالقاعدة:‬ ‫و +هـ‬ ‫ إشارة |‪ C‬و هـ| هى نفس إشارة (-1)‬ ‫ً‬ ‫فمثال إشارة |‪ |21C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 2 وهى سالبة‬ ‫ ‬ ‫ إشارة  |‪ |31C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 3 وهى موجبة‬ ‫بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند‬ ‫هذا العنصر:‬ ‫× ×فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة.‬ ‫ًّ‬ ‫× ×إذا كان مجموع الرتبتين فرد ًّيا كانت اإلشارة سالبة.‬ ‫+ - +‬ ‫ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى: - + -‬ ‫+ - +‬ ‫3- يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف (أو عمود) ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة.‬ ‫ ‬ ‫42‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬

32

‫تاددحملا‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2 3‬ ‫4 0 5‬ ‫7 -2 -1‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫باستخدام عناصر العمود الثاني.‬ ‫نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫المحدد = -2 7 -1 + 0 7 -1 - (-2)‬ ‫    = -2 (-4 - 53) + 0 + 2 (5 - 21)‬ ‫   = 87 - 41 = 46‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫فكرة مفيدة للحل‬ ‫يمكنك فك المحدد باستخدام‬ ‫أى صف أو عمود فيه أكبر‬ ‫عدد ممكن من األصفار‬ ‫لتسهيل حصولك على قيمته‬ ‫بعد أخذ اإلشارة المناسبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 7‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3 0 1 ‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫7‬ ‫-2 3‬ ‫ب ‬ ‫ج‍ ‬ ‫0 4 5 ‬ ‫0‬ ‫0 -3‬ ‫ة‬ ‫محدد المصفوفة المثلثي ‬ ‫3 4 0‬ ‫2 -3 1‬ ‫5 0 -2‬ ‫ ‬ ‫د ‬ ‫2 0 -3‬ ‫5 -1 4‬ ‫-2 0 3‬ ‫‪Determinant of triangular Matrix‬‬ ‫المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى (أو فوقه) أصفار مثل:‬ ‫2 3‬ ‫‪p ،b 4 0 l‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 0 0‬‫3‬ ‫5 ‪0 4- 2 p ، f‬‬ ‫5 -1 2‬ ‫6‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.‬ ‫أى أن:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫= ‪C 22C 11C‬‬ ‫‪C 12C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C 23C 13C‬‬ ‫33‬ ‫ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:‬ ‫المحدد = ‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ما قيمة المحدد‬ ‫الحل‬ ‫= ‪C C C = )0 * 21C - 32C * 22C ( 11C‬‬ ‫11 22 23‬ ‫1 2 3‬ ‫0 -3 5‬ ‫0 0 6‬ ‫؟‬ ‫نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:‬ ‫المحدد = 1 * - 3 * 6 = -81‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫52‬

33

‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 2‬ ‫أ ‬ ‫0 -2‬ ‫0‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫5‬ ‫0 3 -4 ‬ ‫ب ‬ ‫3 2‬‫0 4‬ ‫0 0‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحددات‬ ‫‪Finding area of a triangle by using Determinants‬‬ ‫يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:‬ ‫مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س (‪ ،C‬ب)، ص (جـ، ‪ ،)E‬ع (هـ، و) هى |‪ |W‬حيث:‬ ‫‪1 =W‬‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ب 1‬ ‫جـ د 1‬ ‫هـ و 1‬ ‫تذكر‬ ‫|‪ |W‬تعنى قيمة ‪ W‬الموجبة.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه (-1، -3) ، (2، 4)، (-3، 5)‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫1 -3 1‬‫1‬ ‫‪1 4 2 2 =W‬‬ ‫3 5 1‬‫2 4‬ ‫2 1‬ ‫4 1‬ ‫    = 1 -1 5 1 - (-3) -3 1 + 1‬ ‫2‬ ‫3 5‬‫        = 1 [-1 (4 - 5) + 3 (2 + 3) + 1 (01 + 21)]‬ ‫2‬ ‫        = 1 (1 + 51 + 22) = 91 وحدة مربعة‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص (2، 4)‬ ‫]‬ ‫س3 2 1‬ ‫ص‬ ‫ع (-3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫-3 س (-1، -3)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ‪ ،)2- ،2-(C‬ب (3، 1)، جـ (-4، 3)‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى‬ ‫اإلحداثى هي (0، 2) (3، 5)، (-3، 2) كانت اإلحداثيات باألمتار،‬ ‫و‬ ‫فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.‬ ‫62‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫6‬ ‫(3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫(0، 2) 2‬ ‫1‬ ‫4 3 2 1‬ ‫(-3، 2)‬ ‫-1 -2 -3 -4‬

34

‫تاددحملا‬ ‫الحل‬ ‫0 2‬ ‫3 5‬ ‫3 2‬‫5 1‬ ‫0‬ ‫2 1‬ ‫‪1 = W‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫           = 21 [‬ ‫           = 1 [0 - 0 - 3 (2-5)] = 1 4 متر مربع‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+ (-3)‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫]‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.‬ ‫ً‬ ‫‬ ‫‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫س‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تعلم‬ ‫ص‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫-5‬ ‫حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر‬ ‫‪Solving a system of linear equations by Cramer's method‬‬ ‫1- حل �أنظمة المعادالت الخطية في مجهولين‬ ‫‪Solving a system of Linear equations in two unknowns‬‬ ‫ إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:‬ ‫   ‪ C‬س   + ب ص = م‬ ‫ ‬ ‫جـ س + ‪ E‬ص   = ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪b E‬‬ ‫فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت ‪l‬‬ ‫جـ‬ ‫ويمكنك استخدام المحددات لحل أنظمة المعادالت الخطية، فإذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعامالت‬ ‫‪ C‬ب ويرمز له بالرمز 9 (يقرأ دلتا) اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وإذا كانت قيمة المحدد‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.‬ ‫ً‬ ‫ونالحظ أن معاملى المجهول س تكون العمود األول للمحدد 9، ومعامال المجهول ص تكون العمود الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للمحدد 9.‬ ‫يسمى م ب محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س (يقرأ دلتا س)، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد‬ ‫ن ‪E‬‬ ‫تغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م ، ن.‬ ‫كما يسمى‬ ‫‪ C‬م‬ ‫جـ ن‬ ‫محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص (يقرأ دلتا ص)، ونحصل عليه من المحدد 9‬ ‫بعد تغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن.‬ ‫واآلن: نفرض أن 9!0 ،  فإن حل النظام هو:‬ ‫ ‬ ‫     س = 9س =‬ ‫9‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‪-E‬نب‬ ‫‪= E‬‬ ‫ب‬ ‫‪-EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫     ص = 9 ص =‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ -EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬ن - جـ م‬ ‫72‬

35

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

36

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

37

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

38

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

39

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

40

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

41

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

42

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

43

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

44

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

45

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

46

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

47

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

48

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

49

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

50

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

51

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

52

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

53

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

54

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

55

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

56

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

57

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

58

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

59

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

60

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

61

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

62

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

63

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

64

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

65

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

66

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

67

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

68

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

69

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

70

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

71

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

72

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

73

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

74

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

75

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

76

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

77

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

78

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

79

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

80

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

81

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

82

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

83

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

84

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

85

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

86

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

87

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

88

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

89

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

90

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

91

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

92

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

93

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

94

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

95

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

96

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

97

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

98

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

99

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

100

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

101

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

102

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

103

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

104

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

105

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

106

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

107

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

108

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

109

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

110

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

111

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

112

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

113

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

114

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

115

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

116

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

117

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

118

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

119

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

120

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

121

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

122

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

123

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

124

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

125

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

126

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

127

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

128

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

129

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

130

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

131

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

132

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

133

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

134

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

135

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

136

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

137

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

More Related Content

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

  • 2. ‫الريا�ضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫ال�صف الأول الثانوى‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول‬ ‫الحقيقى والطول فى الر�سم.‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬
  • 3. ‫�إعداد‬ ‫�أ/ عمر ف�ؤاد جاب اهلل‬ ‫�أ.د/ نبيل توفيق ال�ضبع‬ ‫�أ.د/ عفاف �أبو الفتوح �صالح ‬ ‫�أ / �سريافيم �إليا�س �إ�سكندر‬ ‫�أ.م.د/ ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ/ كمال يون�س كب�شة‬ ‫جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله‬ ‫بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.‬ ‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش. م. م‬ ‫الطبعــة األولى 3102/4102‬ ‫رقم اإليــداع 9497 / 3102‬ ‫الرقم الدولى 8 - 200 - 607 - 779 - 879‬
  • 4. ‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:‬ ‫1 التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته‬ ‫اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.‬ ‫2 التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن‬ ‫يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل‬ ‫آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.‬ ‫3 تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع)‪ (STS‬تعكس دور التقدُّم العلمى ىف تنمية‬ ‫ ‬ ‫املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصُّف الواعى الفعّال حِ يال استخدام األدوات التكنولوجية.‬ ‫4 تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها‬ ‫ ‬ ‫5 تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة.‬ ‫ ‬ ‫6 االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو،‬ ‫واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت‬ ‫وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.‬ ‫وفى �ضوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:‬ ‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها‬ ‫ ‬ ‫واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت‬ ‫عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة‬ ‫العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى‬ ‫تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.‬ ‫‪ ‬كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت‬ ‫عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند «تحقق من فهمك».‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.‬ ‫ ‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫وال� �له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
  • 5. ‫خريطة الكتاب للفصل الدراسى الثانى‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫1 - 1 :تنظيم البيانات فى‬ ‫1‬ ‫مصفوفات‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫مصفوفة - عنصر - مصفوفة‬ ‫صف - مصفوفة عمود - مصفوفة‬ ‫مربعة - مصفوفة صفرية -‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري ناقد صـ8، صـ01‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫جمع المصفوفات - طرح‬ ‫تفكري جربى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫1 - 3 : ضرب المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫تفكري ناقد صـ91‬ ‫1 - 4 : المحددات‬ ‫محدد - محدد الدرجة الثانية -‬ ‫محدد الدرجة الثالثة - القطر‬ ‫الرئيس للمحدد - القطر اآلخر‬ ‫1 - 5 :المعكوس الضربى‬ ‫للمصفوفة‬ ‫2 - 1: المتبانيات الخطية‬ ‫‬ ‫الخطية‬ ‫معكوس ضربى للمصفوفة-‬ ‫مصفوفة الوحدة - معادلة‬ ‫مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫متباينة خطية - مستقيم حدى -‬ ‫مستقيم حدى منقط - مستقيم‬ ‫حدى متصل - متباينة خطية فى‬ ‫2‬ ‫الربمجة‬ ‫للمحدد مصفوفة المعامالت‬ ‫املتجهات‬ ‫الربط بالرياضيات صـ 7‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 03‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 24‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 31‬ ‫الربط باالحصاء صـ 41‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 71‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 81‬ ‫الربط بالسياحة صـ 02‬ ‫الربط بالهندسة صـ 51‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 43‬ ‫تطبيقات حياتية صـ 24‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 24‬ ‫مجهول واحد - متباينة خطية فى‬ ‫مجهولين‬ ‫2 - 2: حل أنظمة من المتباينات نظام متباينات خطية-منطقة الحل تفكري جربى‬ ‫‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫رسم بيانى‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل برمجة خطية - قيود محدودة -‬ ‫‬ ‫غير محدودة حل أمثل‬ ‫3‬ ‫صـ 01.‬ ‫الربط بالتجارة صـ 31‬ ‫1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات‬ ‫املصفوفات‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 7،‬ ‫الربط بالطاقة صـ 7‬ ‫مصفوفات متساوية - مصفوفة‬ ‫المصفوفات‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 1:الكميات القياسية والكميات‬ ‫كمية قياسية - متجه - مسافة - تفكري منطقى صـ 95‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫ازاحة - اتجاه‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 2: المتجهات‬ ‫‬ ‫متجه - متجع موضع - زوج‬ ‫المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهه‬ ‫مرتب - قيمة مطلقة - معيار‬ ‫متجه- متجه مكافئ - صورة‬ ‫قطبية - متجه وحدة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هندسى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالحياة صـ 64، 74‬ ‫الربط بالمهن صـ 74‬ ‫الربط بإدارة الوقت صـ 84‬ ‫الربط بإدارة اإلعمال صـ 05‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 05‬ ‫الربط بالصناعة صـ 05،15‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬
  • 6. ‫جمع متجهين - طرح متجهين -‬ ‫3 - 4: تطبيقات على المتجهات‬ ‫‬ ‫األضالع‬ ‫قوة محصلة - توازى القوى -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫تقسيم من الداخل - تقسيم من‬ ‫4 - 2:معادلة الخط المستقيم‬ ‫متجه إتجاه مستقيم - معادلة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫3 - 3: العمليات على المتجهات‬ ‫‬ ‫تابع‬ ‫املتجهات‬ ‫4‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫قاعدة المثلث - قاعدة متوازى‬ ‫سرعة نسبية‬ ‫الخارج - نسبة التقسيم‬ ‫متجهة - معادلة برامترية -‬ ‫معادلة كارتيزية - معادلة عامة‬ ‫الخط‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد 48، 29‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫4 - 4 :طول العمود المرسوم من‬ ‫عمود - خط مستقيم‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمين -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالطرق صـ 79‬ ‫4 - 5 :المعادلة العامة للمستقيم‬ ‫املستقيم‬ ‫4 - 3:قياس الزاوية بين‬ ‫زاوية بين مستقيمين‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ 59‬ ‫مستقيمين‬ ‫نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫المار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمين‬ ‫5 - 1: المتطابقات المثلثية‬ ‫معادلة عامة‬ ‫معادلة‬ ‫5 - 2:حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‬ ‫حساب‬ ‫املثلثات‬ ‫متطابقة‬ ‫معادلة مثلثية - حل عام‬ ‫5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫حل مثلث‬ ‫5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫5 - 5 : القطاع الدائرى‬ ‫زاويا انخفاض‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫5 - 6 : القطعة الدائرية‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫5 - 7 : المساحات‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 001‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 511‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 021‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ511‬ ‫الربط بالزراعة والزينة‬ ‫صـ321‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ721‬
  • 7. ‫المحتويات‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫المصفوفات‬ ‫1- 1 ‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1- 2 ‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫41‬ ‫1- 3 ‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫81‬ ‫1- 4 ‬ ‫المحددات‬ ‫22‬ ‫1- 5 ‬ ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫03‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫53‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫...........................................................................................................................................................................................‬ ‫.................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫.................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫...................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الربمجة الخطية‬ ‫2 - 1 ‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫83‬ ‫2 - 2 ‬ ‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬ ‫34‬ ‫2 - 3 ‬ ‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫84‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫55‬ ‫ ‬ ‫......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫املتجهات‬ ‫3 - 1 ‬ ‫3 - 2 ‬ ‫المتجهات‬ ‫36‬ ‫3 - 3 ‬ ‫العمليات على المتجهات‬ ‫17‬ ‫3 - 4 ‬ ‫ ‬ ‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة‬ ‫85‬ ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫67‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫28‬ ‫............................................................. .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫......................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬
  • 8. ‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫4 - 1 ‬ ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫68‬ ‫4 - 2 ‬ ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫19‬ ‫4 - 3 ‬ ‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫69‬ ‫4 - 4 ‬ ‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫89‬ ‫4 - 5 ‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫001‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫301‬ ‫ ‬ ‫.........................................................................................................................................................................................................‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................‬ ‫......................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬ ‫حساب املثلثات‬ ‫5 - 1 ‬ ‫5 - 2 ‬ ‫حل المعادالت المثلثية.‬ ‫111‬ ‫5 - 3 ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫411‬ ‫5 - 4 ‬ ‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫711‬ ‫5 - 5 ‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫021‬ ‫5 - 6 ‬ ‫القطعة الدائرية.‬ ‫321‬ ‫5 - 7 ‬ ‫ ‬ ‫المتطابقات المثلثية.‬ ‫601‬ ‫المساحات.‬ ‫521‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫921‬ ‫............................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.............................................................................................................................................................................................. .‬ ‫............................................................................................................................................................................ .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬
  • 9. ‫الوحدة‬ ‫1‬ ‫الجبر‬ ‫المصفوفات‬ ‫‪Matrices‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تتضمن‬ ‫• •يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها.‬ ‫مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة.‬ ‫• •يتعرف بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف -‬ ‫مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة • •ينمذج بعض المشكالت الحياتية باستخدام المصفوفات.‬ ‫الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - • •يوظف استخدام المصفوفات في مجاالت أخرى.‬ ‫• •يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.‬ ‫المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة).‬ ‫• •يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية.‬ ‫• •يضرب عددا حقيقيا في مصفوفة .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2‬ ‫• •يتعرف تساوى مصفوفتين.‬ ‫• •يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة.‬ ‫• •يوجد مدور المصفوفة.‬ ‫• •يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. • •يحل المعادالت بطريقة كرامر.‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬عنصر‬ ‫‪Element‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة العمود‬ ‫‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة مربعة‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة متماثلة‬ ‫‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫‪Skew-symmetric matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الوحدة‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مصفوفية‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‬ ‫‪Equal matrices‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفات متساوية‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الثوابت‬ ‫‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المتغيرات‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المعامالت‬ ‫‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معكوس ضربى للمصفوفة‬ ‫‪Inverse matrix‬‬ ‫‬
  • 10. ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (1 - 1): تنظيم البيانات في مصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 2): جمع وطرح المصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 3): ضرب المصفوفات .‬ ‫الدرس (1 - 4): المحددات .‬ ‫الدرس (1 - 5): المعكوس الضربي للمصفوفة‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - برنامج االكسيل ‪- Excel‬‬ ‫جهاز كمبيوتر. ‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫المصفوفات هي جمع كلمة مصفوفة، وهى من المفاهيم الرياضية التي انتشر استخدامها في عصرنا الحاضر، فشملت‬ ‫العديد من فروع المعرفة، فنجد استخداماتها في علوم االحصاء واالقتصاد، واالجتماع وعلم النفس وغيرها، وذلك‬ ‫ألنها تعرض البيانات، وتخزنها في صورة جداول مستطيلة الشكل، وتنظيم البيانات بهذه الصورة يسهل تذكرها‬ ‫والمقارنة بينها وإجراء العمليات عليها، كما أن للمصفوفات دورا هاما في علم الرياضيات وخاصة في فرع الجبر‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫الخطى، وأول من الحظ المصفوفات واستخدمها هو العالم كيلي (1281 - 5981م).‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫المصفوفات‬ ‫تنظيم البيانات‬ ‫في مصفوفات‬ ‫المحددات‬ ‫العمليات على المصفوفات‬ ‫ايجاد مساحة المثلث‬ ‫تعريف المصفوفة‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫تحليل البيانات‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫خواص جمع المصفوفات‬ ‫خواص ضرب المصفوفات‬ ‫محدد المصفوفة المثلثية‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫بطريقة كرامر‬ ‫ضرب عدد بمصفوفة‬ ‫بعض المصفوفات‬ ‫حل المعادالت المصفوفية‬ ‫مدور حاصل ضرب‬ ‫مصفوفتين‬ ‫المعكوس الضربي‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الخاصة‬ ‫حدود المصفوفة‬ ‫حل نظام من المعادالت‬ ‫باستخدام المصفوفات‬
  • 11. ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Organizing data in Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫ما املصفوفة؟‬ ‫بعض املصفوفات اخلاصة‬ ‫(املصفوفة املربعة - مصفوفة‬ ‫الصف - مصفوفة العمود -‬ ‫املصفوفة الصفرية - املصفوفة‬ ‫القطرية - مصفوفة الوحدة)‬ ‫مدور املصفوفة‬ ‫املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه‬ ‫املتامثلة.‬ ‫تساوى مصفوفتني.‬ ‫رضب عدد حقيقي يف مصفوفة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫عنرص ‬ ‫‪Element‬‬ ‫مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫مصفوفة العمود‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫مصفوفات متساوية‬ ‫مصفوفة متامثلة‬ ‫‪Equal matrix‬‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫مصفوفة شبه متامثلة‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫مصنع إلنتاج بعض مكونات شاشات التليفزيون به‬ ‫3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د‬ ‫على النحو التالي:‬ ‫القسم األول ينتج يوميا 57 قطعة من أ ، 531 قطعة من‬ ‫ًّ‬ ‫ب ، 051 قطعة من جـ ، 512 قطعة من د .‬ ‫القسم الثاني ينتج يوميا 001 قطعة من أ ، 861 قطعة من ب ، 012 قطعة من جـ،‬ ‫ً‬ ‫282 قطعة من د.‬ ‫القسم الثالث ينتج يوميا 08 قطعة من أ ، 001 قطعة من ب ، 441 قطعة من جـ ،‬ ‫ًّ‬ ‫46 قطعة من د.‬ ‫واضح أنه من الصعب تذكر هذه المعلومات أو المقارنة بينها، وهي على هذه‬ ‫الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:‬ ‫ً‬ ‫كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟‬ ‫لإلجابة عن هذا السؤال فإنه يمكننا كتابة البيانات في صورة جدول يمكننا من‬ ‫معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،‬ ‫كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.‬ ‫‪Skew symmetric matrix‬‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫برنامج اإلكسيل‬ ‫جهاز كمبيوتر‬ ‫األقسام‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫القسم األول‬ ‫القسم الثاني‬ ‫القسم الثالث‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫أ‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫األجزاء‬ ‫ب‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫جـ‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫د‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬
  • 12. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل‬ ‫األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، كذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج‬ ‫و‬ ‫القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫الصف األول‬ ‫الصف الثانى‬ ‫الصف الثالث‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫وتسمى هذه الصورة مصفوفة كما تسمى األعداد داخل‬ ‫القوسين عناصر المصفوفة‬ ‫العمود العمود العمود العمود‬ ‫األول الثانى الثالث الرابع‬ ‫وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4‬ ‫(أو باالختصار مصفوفة 3 * 4) حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:‬ ‫عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 21 عنصرا .‬ ‫ً‬ ‫واآلن:‬ ‫1- هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك.‬ ‫2- من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود‬ ‫األول؟‬ ‫3- سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفا ‬ ‫‪Organizing Data in Matrices‬‬ ‫المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم‬ ‫العناصر في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى، ويرمز إلى المصفوفة عادة باستخدام‬ ‫الحروف الكبيرة ‪ ، D ،C‬ج، ‪ .... ،N ،M‬ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة ‪ ،C‬ب، جـ، س، ص ، ....‬ ‫إذا أردنا التعبير عن العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذي يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على‬ ‫الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫ً‬ ‫و‬ ‫فمثال العنصر ‪ 21C‬يقع في الصف األول والعمود الثاني، كذلك ‪ 23C‬يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.‬ ‫فى المصفوفة: ‪= C‬‬ ‫1‬‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫-2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫-1‬ ‫العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫22‬ ‫13‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫5‬
  • 13. ‫وبصفة عامة:‬ ‫المصفوفة المكونة من م صفا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن (وتقرأ م‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ استخدم المصفوفة ‪= D‬‬ ‫1 5‬ ‫3 2‬ ‫5 7‬ ‫أ ما نظم المصفوفة ‬ ‫‪D‬؟‬ ‫تعلم‬ ‫لإلجابة عن مايلى:‬ ‫ب ما قيمة ‪12D ،21D‬؟‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫‪Representing Matrcies‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة ‪ C‬على الصورة:‬ ‫‪C( = C‬ص ع)،  ص = 1 ، 2، 3، ......................، م‬ ‫        ع  = 1 ، 2، 3، ......................، ن‬ ‫وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م ‪ ، 3 H‬ن ‪3 H‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫ص = 1 ، 2     ،  ع = 1، 2، 3‬ ‫أ ‪C( = C‬ص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2، 3 ،  ع = 1‬ ‫ب ‪( = D‬بص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2      ،  ع = 1، 2‬ ‫ج‍ ج = (جـ ) ، ‬ ‫ ‬ ‫صع‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫ج‍ ج =‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫23‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 3 ‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫أ ‪C( =     C‬ص ع)، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (ب س ص)، ص = 1 ، 2، ع = 1‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫ب ‪ = D‬ب21 مصفوفة على النظم 3 *1‬ ‫ب‬ ‫31‬ ‫11‬
  • 14. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه‬ ‫لثالثة أنواع من الساندويتشات بثالثة أحجام مختلفة في‬ ‫أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.‬ ‫أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار‬ ‫ ‬ ‫مرتبة تصاعديا.‬ ‫ًّ‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة.‬ ‫ ‬ ‫ج‬ ‫‍ ما قيمة العنصر ‪ C‬؟‬ ‫ ‬ ‫صدور‬ ‫فراخ‬ ‫صغير‬ ‫متوسط‬ ‫كبير‬ ‫8‬ ‫21‬ ‫61‬ ‫9‬ ‫31‬ ‫71‬ ‫7‬ ‫11‬ ‫51‬ ‫جمبرى‬ ‫مقلى‬ ‫سمك‬ ‫فيليه‬ ‫32‬ ‫الحل‬ ‫صغير متوسط كبير‬ ‫51‬ ‫11‬ ‫7‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫31‬ ‫9‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ب هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3‬ ‫ج‍ قيمة العنصر ‪ C‬هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 31‬ ‫ ‬ ‫سمك فيليه‬ ‫صدور فراخ‬ ‫جمبرى مقلى‬ ‫32‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات‬ ‫دورى الفصول فكانت على النحو التالي:‬ ‫ سمير: لعب 01 مباريات ،  02 تسديدة  ،  5 أهداف.‬ ‫ حازم: لعب 61 مباراة   ،  53 تسديدة  ،  8 أهداف.‬ ‫ كريم: لعب 81 مباراة    ،  14 تسديدة  ،  01 أهداف.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف.‬ ‫ًّ ً‬ ‫ً‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة، ما قيمة‪32C‬؟‬ ‫مـثـال‬ ‫تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺎﺝ‬ ‫٠٢‬ ‫٥١‬ ‫٠١‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺟـ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺃ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻴﻠﻮ ﻭﺍﺕ / ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‌ الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة.‬ ‫يبين الرسم البيانى المقابل إنتاج الطاقة واالستهالك لبعض‬ ‫الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.‬ ‫٠٣‬ ‫٠‬ ‫7‬
  • 15. ‫الحل‬ ‫افرض أن كل صف فى المصفوفة يمثل دولة، كل عمود يمثل‬ ‫و‬ ‫مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫دولة( أ )‬ ‫دولة (ب)‬ ‫دولة (جـ)‬ ‫االنتاج‬ ‫5٫9‬ ‫31‬ ‫91‬ ‫االستهالك‬ ‫5٫9‬ ‫9‬ ‫52‬ ‫كيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانًا للصفوف واألعمدة.‬ ‫‌ وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2‬ ‫تعلم‬ ‫ة‬ ‫بعض المصفوفات الخاص ‬ ‫‪Some special Matrices‬‬ ‫3 2‬‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ المصفوفة المربعة: هى المصفوفة التى عدد الصفوف فيها يساوى عدد األعمدة مثل: 4 -1‬ ‫(مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2)‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: (2 4 6 8)‬ ‫(مصفوفة صف على النظم 1 * 4)‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‍ مصفوفة العمود: هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من الصفوف مثل: ‪f 5- p‬‬ ‫1‬ ‫(مصفوفة عمود على النظم 3 * 1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون‬ ‫فمثال المصفوفات:‬ ‫ً‬ ‫0‬ ‫ (0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 1، (0 0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 2،  ‪ b 0 l‬مصفوفة‬ ‫0 0‬ ‫صفرية على النظم2 * 1،  ‪ b 0 0 l‬مصفوفة صفرية علي النظم 2 * 2، ويرمز للمصفوفة الصفرية‬ ‫بمستطيل صغير‬ ‫ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫0‬ ‫0 ‪( f‬مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3)‬ ‫2‬ ‫و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد، ويرمز‬ ‫ً‬ ‫لها بالرمز ‪ . I‬فمثال كل من المصفوفات:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫8‬ ‫1 0‬ ‫(1) ،   ‪p   ،  b 1 0 l‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪  f‬هي مصفوفة وحدة.‬
  • 16. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 -1‬ ‫أ ‪ b 2 0 l‬‬ ‫ب (1 3 5 7) ‬ ‫1 0‬ ‫ه‍ ‪ b 3 0 l‬‬ ‫0 0‬ ‫د ‪ b0 0l‬‬ ‫ج‍ ‬ ‫و ‬ ‫‌ اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3‬ ‫تعلم‬ ‫تساوى مصفوفتين‬ ‫3‬ ‫‪f4p‬‬ ‫5‬ ‫0 0‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫0 1‬ ‫‪Equality of two Matrices‬‬ ‫تتساوى مصفوفتان ‪ D ،C‬إذا كانتا على نفس النظم، كان كل عنصر في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لنظيره في المصفوفة‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫‪ D‬أي أن: ‪C‬ص ع = ‪ D‬ص ع  لكل ص ولكل ع.‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 2 0‬ ‫‌ أ المصفوفتان ‪ b 0 5 1- l ، b 5 1- l‬‬ ‫1 س 2‬ ‫ب ‪ b 2 3- 1 l = b 5 6 1- l‬‬ ‫-1 6 ص‬ ‫1 ص‬‫ج‍ المصفوفتان ‪ b 1- 3 l ، b 2 1 l‬‬ ‫س -1‬ ‫0 1 5‬ ‫د ‪p =f 0 7 1 p‬‬ ‫2 6 3‬ ‫0 1 5‬ ‫1 7 0‬ ‫2 6 3‬ ‫غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم.‬ ‫إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5‬ ‫اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة‬ ‫في كل منهما (عناصر الصف األول والعمود األول)‬ ‫‪ f‬‬ ‫المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما‬ ‫المتناظرة متساوية.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ 3 2٫0‬‫57٫0 1‬‫‪4 o‬‬ ‫5 ‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‌ أ إذا كان ‪  2- 0٫5 = D     ،  2- 1 o = C‬هل ‪D = C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫2‬ ‫3 4‬‫3 4‬ ‫ب إذا كانت ‪      b 2- 0 l = N     ،       b 2- 0 l = M‬هل ‪N = M‬؟ فسر إجابتك .‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت‬ ‫‌ إذا كان: ‪2 l‬س-5‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫4‬ ‫‪ 2 l‬س-5‬ ‫3 3 ص +21‬ ‫‪l=b‬‬ ‫52‬ ‫4‬ ‫‪l =b‬‬ ‫3ص + 21‬ ‫3‬ ‫52‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ص +81‬ ‫4‬ ‫ص + 81‬ ‫‪  b‬فأوجد قيمتى س، ص.‬ ‫‪b‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬
  • 17. ‫حيث أن المصفوفتين متساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:‬ ‫3ص + 21 = ص + 81‬ ‫ ، ‬ ‫2 س - 5 = 52‬ ‫3ص- ص = 81 - 21‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 52 - 5‬ ‫ص     = 3‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 02‬ ‫س       = 01‬ ‫الحل هو س = 01، ص = 3‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ l‬س + 8‬ ‫3‬ ‫5‬‫-ص‬ ‫‪l = b‬‬ ‫83‬ ‫3‬ ‫-5 ‪     b‬فأوجد قيمتى س، ص‬ ‫4ص-01‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا كان (3س  س + ص  س - ع) = (-9  4  -01)   فأوجد قيم كل من س، ص، ع‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا علم أن:‬ ‫‪ + C‬ب + جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪-C‬ب‬ ‫‪ - C‬ب + 2د‬ ‫= ‪ b 3- 9 l‬فأوجد قيم ‪ ،C‬ب، جـ، د‬ ‫7 5‬ ‫ة‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوف ‬ ‫‪Multipling a Real Number by a Matrix‬‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:‬ ‫حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك ‪ C‬على نفس النظم م * ن كل‬ ‫و‬ ‫عنصر فيها جـ ص ع يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة ‪ C‬مضروبا في العدد الحقيقي ك.‬ ‫ً‬ ‫أي: جـ ص ع = ك ‪ C‬ص ع   حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، ن‬ ‫الحظ أن:‬ ‫كس كص‬ ‫س ص‬ ‫‪l= b‬‬ ‫ك‪l‬‬ ‫كع كل‬ ‫ع ل‬ ‫‪b‬‬ ‫فمثال -2 4 1‬ ‫ً‬ ‫‪b 2- 8- l = b 1 * 2- 4 * 2- l = b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫5 -1‬ ‫01 2‬‫2 * 5 -2 * -1‬‫مـثـال‬ ‫‌ تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم‬ ‫الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟‬ ‫حجم صغير‬ ‫حجم كبير‬ ‫كوب لبن كامل الدسم‬ ‫57٫0 من الجنيه‬ ‫05٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير مانجو‬ ‫09٫0 من الجنيه‬ ‫09٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير برتقال‬ ‫01‬ ‫58٫0 من الجنيه‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫57٫1 من الجنيه‬
  • 18. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫الحل‬ ‫57٫0‬ ‫05٫1‬ ‫09٫0‬ ‫09٫1‬ ‫58٫0‬ ‫5٫1 * 57٫0 5٫1 * 05٫1‬ ‫=‬ ‫57٫1‬ ‫=‬ ‫521٫1 52٫2‬ ‫572٫1 526٫2‬ ‫ ‬ ‫5٫1‬ ‫ ‬ ‫سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 521٫1 من الجنيه، ثمن كوب اللبن‬ ‫من الحجم الكبير 52٫2 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من‬ ‫الحجم الصغير 572٫1 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 526٫2،‬ ‫وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 53٫1من الجنيه، وثمن‬ ‫كوب المانجو من الحجم الكبير 58٫2 من الجنيه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫5٫1 * 09٫0 5٫1 * 09٫1‬ ‫51 -21 01‬ ‫02 -01 7‬ ‫-2 1 3‬ ‫‌‬ ‫1 إذا كان ‪= C‬‬ ‫تعلم‬ ‫5٫1 * 58٫0 5٫1 * 57٫1‬ ‫53٫1 58٫2‬ ‫فأوجد -5‪C‬‬ ‫مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of a Matrix‬‬ ‫في أي مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل‬ ‫على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة ‪ ،C‬ويرمز لها بالرمز ‪ C‬مد ويتضح من التعريف أن (‪C‬مد)مد = ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬‫5‬ ‫3‬ ‫1 ‪ f‬‬‫5‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C‬مد   = ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب مد = ‪ 2- p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫مد ‪3- l‬‬ ‫ج‍ ج   =‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫-1 ‪ b‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (1  -2  6) ‬ ‫3 4‬‫ج‍‬ ‫‪l‬‬ ‫ ج = 2 -1‬ ‫‪b‬‬ ‫مصفوفة على النظم 3 * 2‬ ‫مصفوفة عمود على النظم 3 * 1‬ ‫مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫11‬
  • 19. ‫الم�صفوفات المتماثلة و�شبه المتماثلة‬ ‫‪Symmetric and Semi Symmetric Matrices‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬مد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت‬ ‫مد‬ ‫‪C- = C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ هل المصفوفة ب = ‪p‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ب= ‪p‬‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫‪ f‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫ب مد = ‪p‬‬ ‫1‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫3‬ ‫‪f‬‬ ‫-1‬ ‫ ‬ ‫ب مد = -1 * ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫` ب مد = -ب فيكون ب = - ‪ D‬مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 هل المصفوفة ‪p = C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3 ‪-= f‬ب‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى:‬ ‫س‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 ‪l =b‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪ b‬‬ ‫س‬ ‫ب ‪l‬‬ ‫0‬ ‫‌ بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:‬ ‫ًّ‬ ‫أ ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬‫4‬ ‫1‬‫2‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪ f‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب ‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬‫2‬ ‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪l =b‬‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫1‬‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫ع‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3 ‪ b‬‬
  • 20. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات‬ ‫األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية(‪)Excel‬‬ ‫‬ ‫استخدم الجداول اإللكترونية لتنظيم البيانات وعرضها وتحليلها، حيث يتم إدخالها في برنامج الجداول‬ ‫اإللكترونية في صفوف وأعمدة مثل المصفوفات، بعد ذلك يمكنك استخدامها في عمل الرسوم أو إيجاد‬ ‫الحسابات.‬ ‫مـثـال‬ ‫01 الربط بالتجارة: جمع مدير سوبر ماركت مبيعاته من السلع‬ ‫الغذائية بالكيلو جرام في أربعة أسابيع متتالية، ونظمها في‬ ‫الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.‬ ‫1- استخدم العمود ‪ A‬للنوع والعمود ‪ B‬لمبيعات األسبوع األول ،‬ ‫والعمود ‪ C‬لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود ‪ D‬لمبيعات األسبوع‬ ‫الثالث والعمود ‪ E‬لمبيعات األسبوع الرابع.‬ ‫مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو‬ ‫جرامات خالل 4 أسابيع متتالية‬ ‫النوع‬ ‫سكر‬ ‫زيت‬ ‫مكرونة‬ ‫دقيق‬ ‫زبدة‬ ‫ألبان‬ ‫شاي‬ ‫فول‬ ‫األسبوع‬ ‫األول‬ ‫43‬ ‫24‬ ‫06‬ ‫07‬ ‫52‬ ‫06‬ ‫22‬ ‫54‬ ‫األسبوع‬ ‫الثاني‬ ‫03‬ ‫84‬ ‫26‬ ‫57‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫81‬ ‫53‬ ‫األسبوع‬ ‫الثالث‬ ‫72‬ ‫63‬ ‫45‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫14‬ ‫03‬ ‫83‬ ‫األسبوع‬ ‫الرابع‬ ‫81‬ ‫23‬ ‫85‬ ‫27‬ ‫81‬ ‫77‬ ‫23‬ ‫04‬ ‫يحوي كل صف مبيعات النوع‬ ‫نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل‬ ‫الصف الثانى مبيعات الزيت.‬ ‫81‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫43‬ ‫ﺳــﻛــﺭ‬ ‫23‬ ‫63‬ ‫84‬ ‫24‬ ‫ﺯﻳﺕ‬ ‫85‬ ‫45‬ ‫86‬ ‫06‬ ‫ﻣﻛﺭﻭﻧﺔ‬ ‫27‬ ‫08‬ ‫57‬ ‫07‬ ‫ﺩﻗﻳﻕ‬ ‫81‬ ‫02‬ ‫42‬ ‫52‬ ‫ﺯﺑﺩﻩ‬ ‫77‬ ‫14‬ ‫63‬ ‫06‬ ‫23‬ ‫03‬ ‫81‬ ‫22‬ ‫ﺍﻟﺑﺎﻥ‬ ‫ﺷﺎﻯ‬ ‫04‬ ‫83‬ ‫53‬ ‫54‬ ‫ﻓﻭﻝ‬ ‫تحتوي كل خلية في الجدول جزءا‬ ‫ً‬ ‫واحدً ا من البيانات، حيث تحتوي‬ ‫الخلية 7‪ D‬على القيمة 03، والتي‬ ‫تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة‬ ‫في األسبوع الثالث من الشاي.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة.‬ ‫‌‬ ‫1 عند استخدامك لألمر (‪ )sum‬يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية.‬ ‫يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )8‪ = sum (F1:F‬ماذا تمثل هذه المجاميع؟‬ ‫ ‬ ‫‌‬ ‫1 اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية‬ ‫(يمكنك استخدام برنامج (‪.))EXCEL‬‬ ‫‌‬ ‫1 مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة باستخدام بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى،‬ ‫ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق‬ ‫ً‬ ‫من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫31‬
  • 21. ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Adding and subtracting Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫مجع املصفوفات.‬ ‫الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:‬ ‫طرح املصفوفات.‬ ‫السنة‬ ‫1102‬ ‫2102‬ ‫3102‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫طرح املصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫الوسط الحسابى للدرجات‬ ‫رياضيات‬ ‫علوم‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫754‬ ‫205‬ ‫024‬ ‫824‬ ‫064‬ ‫105‬ ‫124‬ ‫524‬ ‫364‬ ‫305‬ ‫624‬ ‫924‬ ‫1- أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول.‬ ‫ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.‬ ‫ ‬ ‫2- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابي لدرجات مادة العلوم للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة؟‬ ‫ ‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابى لدرجات الرياضيات للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة ؟‬ ‫ ‬ ‫4- بفحص إجابتك عن السؤال رقم (1) والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين (2)،‬ ‫ ‬ ‫(3)، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟‬ ‫5- استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات.‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding Matrices‬‬ ‫نريد أحيانا ان نجمع أو نطرح مصفوفات، لكى نحصل على معلومات جديدة.‬ ‫لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.‬ ‫أى أن: إذا كانت ‪ D ،C‬مصفوفتين على النظم م * ن، فإن ‪ + C‬ب هى مصفوفة أيضا على‬ ‫ً‬ ‫النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في ‪ ،C‬ب.‬ ‫41‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 22. ‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫مـثـال‬ ‫0 2‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 3 1- l = C‬ب = ‪ b 2- 7 l‬فأوجد: ‪.D + C‬‬ ‫1 -4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫0 2‬ ‫7‬ ‫2 ‪ b‬‬‫‪ + C‬ب =‪l + b 3 1- l‬‬ ‫1 -4‬ ‫(بالتعويض عن ‪ ،C‬ب)‬ ‫2+ (-2) ‬ ‫0+7‬ ‫   =‬ ‫1 + 1 3 + (-4)‬‫7 0‬ ‫‪b‬‬ ‫ = ‪l‬‬ ‫ ‬ ‫0 -1‬ ‫(بجمع العناصر المتناظرة)‬ ‫(بسط)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 4- l = C‬ب = ‪ ، b 7- 2 l‬جـ = ‪ b 7 l‬أوجد كال ممايأتي إن أمكن:‬ ‫ً‬ ‫3 -7‬‫4‬ ‫8 -1‬ ‫ب ‪ + C‬جـ‬ ‫أ ‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص جمع المصفوفا ‬ ‫‪Properties of Adding Matrices‬‬ ‫نفرض ‪ ، C‬ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:‬ ‫1- خاصية اإلنغالق: ‪ + C‬ب تكون مصفوفة على النظم م * ن‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 7‬ ‫إذا كانت ‪2 1- = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫2 0‬‫0 3‬ ‫فإن    ‪ + C‬ب = ‪ b 4 6 l = b 2 7 l + b 2 1- l‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫0 3‬ ‫2 0‬‫-2 3‬ ‫2- خاصية اإلبدال: ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪  b 5 6 l‬فبين أن  ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫4‬ ‫-2 3‬ ‫0‬ ‫3- خاصية الدمج: (‪ + C‬ب) + ج = ‪( + C‬ب + ج)‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪ ، b 5 6 l‬ج = ‪  b 4 2 l‬فبين أن (‪ + )D + C‬ج = ‪ + D( + C‬ج)‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫4- خاصية المحايد الجمعى:  ‪+ C‬‬ ‫ ‬ ‫0 0 0‬ ‫1 2 3‬ ‫فمثالً: ‪+ f 4 5- 6 p‬‬ ‫ ‬ ‫‪0 0 0 p‬‬ ‫0 0 0‬ ‫7 8 -9‬ ‫-2 3‬ ‫=‬ ‫+‪C=C‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫-1 -3‬ ‫فمثال 3‬ ‫ً‪l‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫8 -9‬ ‫‪p = f 4 5- 6 p + f 0 0 0 p = f‬‬ ‫5- خاصية المعكوس (النظير)الجمعي:  ‪= C + )C-( = )C-( + C‬‬ ‫حيث (-‪ )C‬النظير الجمعى للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2 ‪ b‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫5 2 + ‪0 = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫0‬ ‫0 -5‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 2 3‬ ‫6 -5 4‬ ‫7 8 -9‬ ‫0  حيث ‪3 - = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫2‬ ‫0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪f‬‬ ‫5 2‬ ‫0 -5‬ ‫‪b‬‬ ‫51‬
  • 23. ‫تعلم‬ ‫طرح المصفوفات ‬ ‫إذا كانت كل من المصفوفتين ‪ ،C‬ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = ‪ - C‬ب = ‪-( + C‬ب) حيث ج مصفوفة‬ ‫علي النظم م * ن ، (-ب) هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.‬ ‫فمثالً: ‪ C l‬ب ‪ l - b‬س ص ‪ C l = b‬ب ‪- l + b‬س -ص ‪ - C l = b‬س ب - ص ‪b‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ - ع ‪ - E‬ل‬ ‫ع ل‬ ‫ع -ل‬‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 11 4- 7 l = C‬ب = ‪ b 2 9 5 l‬أثبت أن ‪ - C‬ب ! ب - ‪.C‬‬ ‫6 5 -1‬ ‫8 -7 -3‬ ‫الحل‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫‪-C‬ب= ‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 7‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 2‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬‫5‬ ‫31‬‫-2‬ ‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫9 ‪b‬‬ ‫-4‬ ‫5 9 2‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬‫8 -7 -3‬ ‫+ ‪b 2- 9- 5- l‬‬ ‫-8 7 3‬ ‫ب - ‪l =  C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(1) ‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫2‬‫2‬ ‫9‬ ‫7‬‫9‬ ‫7‬‫31‬ ‫-21‬ ‫2 - 7‬ ‫‪l b‬‬ ‫3‬‫6‬ ‫2 + ‪7- l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6‬‫3‬‫9 ‪b‬‬‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬ ‫-5‬ ‫11‬ ‫1‬‫11 ‪b‬‬‫1‬ ‫‪b‬‬ ‫(2)‬ ‫من (1)، (2) نالحظ أن: ‪ - C‬ب ! ب - ‪( C‬عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية)‬ ‫ ‬ ‫فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 5 2 l = C‬ب = ‪ ، b 3 4 1- l‬ج = ‪ b 2- 1- 6 l‬أوجد المصفوفة 2‪5 + D 3 - C‬ج‬ ‫الحل‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 -4 6‬ ‫-3 5‬ ‫4‬ ‫2 * -1 = 4 01‬ ‫2 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫6 -8‬ ‫21‬ ‫2*6‬ ‫3 * 3 = -3 21 9‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫72 -6 51‬ ‫3*5‬ ‫2‪5 * 2 2 * 2 l = b 1- 5 2 l 2 =       C‬‬ ‫ ‬ ‫2 * 3 2 * -4‬ ‫3 -4 6‬ ‫3ب = 3 ‪4 * 3 1-* 3 l = b 3 4 1- l‬‬ ‫ ‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 * 9 3 * -2‬ ‫3ب = 3‬‫ ‬ ‫21 -9 ‪b‬‬‫‪l‬‬ ‫72 6 -51‬‫5ج = 5 6 -1 -2 = 5 * 6 5 * -1 5 * -2 = 03‬ ‫ ‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51‬‫52 02‬ ‫5 * -3 5 * 5 5 * 4‬ ‫3 5 4‬‫` 2 ‪3 - C‬ب + 5 ج = 4 01 -2 + 3 -21 -9 + 03‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51 52 02‬‫72 6 -51‬‫6 -8 21‬ ‫       = 4 +3 + 03 01 - 21 -5 -2 - 9 - 01 = 73‬ ‫ ‬ ‫7 -12 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫63‬‫32 71‬ ‫6 - 72 - 51 -8 + 6 + 52 21 - 51 + 02‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 1- 2 l = C‬ب = ‪ ، b 4 1- l‬ج = ‪ b 3- 1 l‬فأوجد المصفوفة 2‪4 + D3 - C‬ج‬ ‫-3 5‬ ‫61‬ ‫6 -2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫3‬
  • 24. ‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل ممايأتى:‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫9‬ ‫أ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪4- l‬‬ ‫1‬ ‫‪+b‬‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫‌ إذا كانت‪4 = C‬‬ ‫1‬ ‫-2 ‪ b‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪ ، b‬ب = ‪l‬‬‫0‬ ‫0‬ ‫ب ‪p‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫أ أوجد ‪ - C‬ب ، ب - ‪ . C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫3 ‪b‬‬‫1‬ ‫3 4‬‫3 -3‬ ‫0 4 ‪1- 5 p - f‬‬ ‫2 2‬ ‫5 2‬ ‫‪f‬‬ ‫ب تحقق من أن - (‪ + C‬ب) = (-‪-( + )C‬ب)‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى‬ ‫المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس [ ] حول‬ ‫تذكر‬ ‫المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل‬ ‫تذكر أن [‪ ]B] ،[A‬يمكن‬ ‫جمعها وطرحها ألنهما على‬ ‫نظم المصفوفة‬ ‫ ‬ ‫[‪[ = ]A‬‬ ‫4]‬ ‫[‪[ = ]B‬‬ ‫3 2 1 ‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫7‬ ‫نفس النظم 3 × 2‬ ‫16 ]‬ ‫تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة ‪ ،A‬ثم للمصفوفة ‪B‬‬ ‫مصفوفة [‪]A‬‬ ‫مصفوفة [‪]B‬‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫9‬ ‫‪Enter‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫1‬ ‫‪Quit‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف األول‬ ‫‪Enter‬‬ ‫4‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف الثاني‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫7‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫2‬ ‫$‬ ‫إلدخال نظم المصفوفة‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫$‬ ‫إلضافة مصفوفة‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫5‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪2nd‬‬ ‫‪Quit‬‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫+‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫]‪[A] + [b‬‬ ‫]5 1 1 7[[‬ ‫]]1- 9 3[‬ ‫2‬ ‫‪$ 2nd‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫8٫3 1٫2‬ ‫]‬ ‫أ [‪= ]B] ،  0٫8- 1٫5 = [A‬‬ ‫-4٫1 9٫1‬ ‫[‬ ‫ $             لجمع[‪]B] ،[A‬‬ ‫   $    سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين‬ ‫1- واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد: [‪]A] - [B] ،[A] + [B‬‬ ‫ ‬ ‫1.1 -4.1‬ ‫6.0 1.‬ ‫-7.1 8.0‬ ‫للذهاب إلى‬ ‫(‪)home screen‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫-4‬ ‫6‬ ‫-7 -6‬ ‫] [‬ ‫ ب [‪= ]B]  ، 10- 9- 4 = [A‬‬ ‫5 8 31‬‫4 11 7‬ ‫-51 6 -8‬ ‫]‬ ‫2- هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫71‬
  • 25. ‫ضرب المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫ رضب املصفوفات.‬ ‫خواص رضب املصفوفات.‬ ‫مدور حاصل رضب مصفوفتني.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫رضب املصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫مدور مصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات‬ ‫في الجدول المقابل:‬ ‫ثمن الوجبة بالجنيهات‬ ‫1- ما ثمن وجبات الغذاء(1)؟ وجبات‬ ‫ ‬ ‫001‬ ‫05‬ ‫عدد الوجبات المباعة‬ ‫الغذاء(2)؟ وجبات الغذاء (3)؟‬ ‫2- أ ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟‬ ‫ب وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة.‬ ‫ ‬ ‫وجبة وجبة وجبة‬ ‫(1) (2) (3)‬ ‫2‬ ‫05٫3 57٫2‬ ‫57‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة.‬ ‫ب اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة.‬ ‫ ‬ ‫ج‍ الكتابة: استخدم الكلمات صف، عمود ، عنصر لوصف إجراءات‬ ‫ ‬ ‫استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع‬ ‫بها الكافتيريا الوجبات الثالث.‬ ‫واآلن: لكي نقوم بضرب المصفوفات، اضرب عناصر كل صف من المصفوفة‬ ‫األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.‬ ‫فمثال إليجاد حاصل ضرب: ‪ ، 2 0 = C‬ب = 5 0‬ ‫ً‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f 3- 2- p‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪b‬‬ ‫نضرب ‪ 11C‬فى ب11، ثم نضرب ‪ 21C‬فى ب21 ثم نجمع حاصل الضرب‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي‬ ‫الصفوف واألعمدة.‬ ‫0 2‬ ‫‪= b 0 5 l f 3- 2- p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫-1 1‬ ‫‪p‬‬ ‫81‬ ‫2‬ ‫‪p = b 1 1- l f 3- 2- p‬‬ ‫؟‬ ‫‪2- = )1-( * 2+ 5 * )0(     f‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬‫4‬ ‫‪f‬‬ ‫-2 ؟‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ p= b‬؟‬ ‫-1 1‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪2 = )1()2( + )0()0(     f‬‬ ‫‪7-= )1-()3-( + )5()2-(     f‬‬
  • 26. ‫تافوفصملا برض‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪ 7- p = b 1 1- l‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫(-2)(0) + (-3)(1) =-3 ‬ ‫2‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫3 ‪3- 7- p = b 1 1- l f‬‬‫4‬ ‫؟‬ ‫(1)(5) + (4)(-1)= 1‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫‪  f 3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1‬ ‫(1)(0)+(4)(1)=4‬ ‫2 2‬‫‪3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫4- صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة.‬ ‫ً‬ ‫5- أ ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟‬ ‫ ‬ ‫ب تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد‬ ‫أعمدة المصفوفة األولى يساوى عدد صفوف‬ ‫المصفوفة الثانية، وعند ضرب المصفوفة ‪ C‬على‬ ‫النظم م * ن بالمصفوفة ب على النظم ن * ل فإن‬ ‫الناتج هو المصفوفة ‪ D C‬على النظم م * ل فمثالً:‬ ‫مصفوفة ‪C‬‬ ‫3 صفوف ‪p‬‬ ‫1 2‬‫3 -4‬ ‫5 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪f‬‬ ‫صفان‬ ‫عمودان‬ ‫مـثـال‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة ب‬ ‫3 -4 5‬ ‫‪l‬‬ ‫7 8 9‬ ‫‪b‬‬ ‫3 أعمدة‬ ‫متساويان‬ ‫نظم مصفوفة الضرب 3 * 3‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال.‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2‬ ‫الحل‬ ‫أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬يساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫ فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2‬ ‫ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫‪     .    C‬ب   =          ‪ C‬ب‬ ‫3*4‬ ‫فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب غير معرفة.‬ ‫متساويان‬ ‫3*2‬ ‫4*2‬ ‫3*2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب.‬ ‫ً‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3‬ ‫ ‬ ‫من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون ‪ C‬ب معرفة بينما ب ‪ C‬غير معرفة، وبصفة عامة‬ ‫إذا كانت كل من ‪ C‬ب، ب ‪ C‬معرفتين فإن ‪ C‬ب ليست بالضرورة تساوى ب ‪ C‬حتى وإن تساويتا في نفس النظم.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫91‬
  • 27. ‫مـثـال‬ ‫1 -1 2‬ ‫‌ إذا كان ‪3 0 1- p = C‬‬ ‫0 1 4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪  ،   f‬ب = ‪p‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1 0‬ ‫4 1‬ ‫0 -1‬ ‫‪ f‬فأوجد كال من ‪ C‬ب ، ب ‪ .C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ C a‬على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن ‪ D C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ‪ C‬يساوى عدد صفوف ب)‬ ‫وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1‬ ‫1 -1 2‬ ‫‪ C‬ب = ‪4 3 p f 3 0 1- p‬‬ ‫0 1 4‬ ‫5 0‬ ‫1 * 2 + (-1) * 3 + 2 * 5‬ ‫       = ‪5 * 3 + 3 * 0    +  2 * 1- p‬‬ ‫0 * 2  +  1       * 3 + 4 * 5‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫1 ‪f‬‬ ‫1‬‫1  * 1 + (-1) * 4 + 2 * 0 1  * 0 + (-1) * 1 + 2 * (-1)‬ ‫1 * 1 +  0   * 4 + 1 *0 -1  * 0 +      0      * 1 + 3 * (-1)‬‫  0   * 1 +  1  * 4 + 4 *0 0   * 0 +      1       * 1 + 4 * (-1)‬ ‫9 -3 -3‬ ‫‪f 3- 1- 13 p = f‬‬ ‫32 4 -3‬ ‫‪ a‬ب على النظم 3 * 3 ‪ C‬على النظم 3 * 3 فإن ب ‪ C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف ‪ )C‬وتكون‬ ‫مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1 0‬ ‫1 -1‬ ‫ب‪0 1- p f 1 4 3 p = C‬‬ ‫5 0 -1‬ ‫0 1‬ ‫2 * 1 + 1 * -1 + 0    * 0‬ ‫    = ‪0 *  1 + 1- * 4 + 1 * 3 p‬‬ ‫5 * 1 + 0 * -1 + (-1) * 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3 ‪f‬‬ ‫4‬ ‫2 * -1 + 1 * 0 + 0 *1‬ ‫3 * -1 + 4 * 0 + 0 * 1‬ ‫5 * -1 + 0 * 0 + 0 * 1‬ ‫1 -2 7‬ ‫2 * 2 + 1 * 3 +   0 * 4‬ ‫3 * 2 + 4 * 3 +     1 * 4 ‪= f‬‬ ‫‪f 22 3- 1- p‬‬ ‫5 -5 6‬ ‫5 * 2 + 0 * 3 + -1 * 4‬ ‫نالحظ أن ‪ C‬ب ! ب ‪   C‬يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.‬ ‫مـثـال‬ ‫غرفة‬ ‫غرفة‬ ‫بسرير بسريرين‬ ‫46‬ ‫82‬ ‫‌ الربط بالسياحة: لدى كة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة‬ ‫شر‬ ‫ ‬ ‫يبين الجدول المقابل عدد الغرف المختلفة في كل فندق، فإذا كانت الزهرة‬ ‫59‬ ‫األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 052 جنيها، وللغرفة اللؤلؤة 53‬ ‫ً‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫الماسة‬ ‫التى تحتوي على سريرين 054 جنيها، وللجناح 006 جنيها.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أ اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي كة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها.‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫كة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟‬ ‫ج‍ ما الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫الفندق‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ نكتب مصفوفة عدد الغرف ‪ C‬كاآلتي: ‬ ‫ ‬ ‫وتكتب مصفوفة أسعار الغرف ‪ D‬كاآلتى‬ ‫ ‬ ‫82 46 8‬ ‫‪20 95 35 p =    C‬‬ ‫02 08 51‬ ‫052‬ ‫ب = ‪f 450 p‬‬ ‫006‬ ‫جناح‬ ‫8‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لعدد األعمدة في المصفوفة‬ ‫ً‬ ‫ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين (ب)، (جـ).‬ ‫02‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 28. ‫تافوفصملا برض‬ ‫82 46 8‬ ‫052‬ ‫ب مصفوفة الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫كة هي المصفوفة ‪450 p f 20 95 35 p = D C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫02 08 51‬ ‫006‬ ‫00604‬ ‫82 * 052 + 46 * 054 + 8 * 006‬ ‫ ‬ ‫  = ‪63500 p = f 600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35 p‬‬ ‫00005‬ ‫02 * 052 + 08 * 054 + 51 * 006‬ ‫ج‍ الدخل اليومى كة = 00604 + 00536 + 00005 = 001451 جنيه‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص عملية ضرب المصفوفا ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Properties of Matrix Multiplication‬‬ ‫من تعريف عمليتى جمع وضرب المصفوفات، مع افتراض تحقق الشروط الالزمة للتعريفين: يمكن استنتاج‬ ‫الخواص التالية:‬ ‫1- خاصية الدمج:‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ب) ج = ‪( C‬ب ج)‬ ‫واألن إذا كان:‬ ‫1 0‬ ‫‪ ، b 2- 1 l = C‬ب = ‪ ، b 1 0 2 l‬ج = ‪ f 2 3 p‬أوجد (‪ C‬ب) ج، ‪( C‬ب ج). ماذا تالحظ؟ هل عملية‬ ‫1 1 -2‬ ‫3 1‬ ‫2 -1‬ ‫ضرب المصفوفات دامجة؟‬ ‫2- خاصية المحايد الضربى ‬ ‫‪C = C I = I C‬‬ ‫واآلن إذا كان ‪ b 3- 2 l = C‬فبرهن أن: ‪ C =CI= IC‬‬ ‫-1 5‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫3- خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها.‬ ‫واآلن إذا كان ‪1 = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫2 ، ب = ‪ ، b 2- 1 l‬ج = 3 1‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5 4‬ ‫3 0‬‫4‬ ‫إثبت أن: أ ‪(C‬ب + ج) = ‪C‬ب + ‪C‬ج‬ ‫ن‬ ‫مدور حاصل ضرب مصفوفتي ‬ ‫ ‬ ‫‪(C‬ب + ج) = ‪ C‬ب + ‪ C‬ج‬ ‫(‪ + C‬ب) ج = ‪ C‬ج + ب ج‬ ‫‪b‬‬ ‫ب (ب + ج) ‪ = C‬ب ‪ + C‬ج‪C‬‬ ‫‪Transpose of the product of two matrices‬‬ ‫من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية: (‪ C‬ب)مد = ب ‪C‬‬ ‫1‬ ‫واآلن إذا كانت ‪l = C‬‬ ‫3‬ ‫1 2‬‫2 -1 ‪ ، b‬ب = ‪   ، f 1- 1 p‬أثبت أن: (‪ C‬ب) = ب ‪C‬‬ ‫1 5‬ ‫4 3‬ ‫مد‬ ‫مد مد‬ ‫مد مد‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪C‬ب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، وإذا كانت معرفة فأوجد نظم‬ ‫المصفوفة الناتجة:‬ ‫أ المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫12‬
  • 29. ‫المحددات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثانية.‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثالثة.‬ ‫حمدد املصفوفة املثلثية.‬ ‫إجياد مساحة املثلث باستخدام‬ ‫املحددات.‬ ‫حل نظام من املعادالت اخلطية‬ ‫بطريقة كرامر.‬ ‫فكر‬ ‫1- ما المصفوفة المربعة؟‬ ‫2- اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3‬ ‫3- إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث: ‪ b 5 2 l = C‬فإن محدد‬ ‫1 7‬ ‫المصفوفة ‪ C‬هو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫ |‪9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C‬‬ ‫ما محدد كل من المصفوفات التالية؟‬ ‫ ‬ ‫ب= 1‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حمدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫حمدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫حمدد من الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫2   ،  ج = 3 5‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫4‬ ‫-3 1‬ ‫المحددات‬ ‫أ ب‬ ‫|‪= |C‬‬ ‫جـ د‬ ‫القطر الرئيسى للمحدد‬ ‫‬ ‫القطر اآلخر للمحدد‬ ‫‬ ‫مصفوفة املعامالت‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‬ ‫القطر األخر‬ ‫= أ د - جـ ب‬ ‫القطر الرئيسى‬ ‫ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى‬ ‫مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية.‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:‬ ‫‪ l = C‬أ ب ‪ b‬فإن محدد المصفوفة ‪ C‬يرمز له بالرمز|‪ |C‬ويسمى بمحدد الرتبة‬ ‫جـ د‬ ‫الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫‪Principle or leading diagonal‬‬ ‫‪Other diagonal‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫أ‬ ‫الحل‬ ‫4 5  ب‬ ‫3 7‬ ‫0 5   ج‍‬ ‫7 3‬ ‫1 0   د‬ ‫0 1‬ ‫1 0‬ ‫2 7‬ ‫0 5‬ ‫4 5‬ ‫أ 3 7  = 4 * 7 - 3 * 5 ‬ ‫ ‬ ‫ب 7 3  = 0 * 3 - 7 * 5‬ ‫            = 82 - 51 = 31            = 0 - 53 = - 53‬ ‫22‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 30. ‫تاددحملا‬ ‫1 0‬ ‫ ‬ ‫د 2 7 =1*7-2*0‬ ‫            = 7 - 2 = 5‬ ‫1 0‬ ‫ج‍ 0 1 = 1 * 1 - 0 * 0‬ ‫ ‬ ‫            = 1 - 0 = 1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من المحددات التالية :‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫1 -1 ‬ ‫0‬ ‫ب ‬ ‫4‬ ‫5 -1 ‬ ‫ج‍ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫ب جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫ة‬ ‫محدد الرتبة الثالث ‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة د هـ و فإن:‬ ‫ز ح ط‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫هـ و = ‪ C‬هـ و - ب د و + حـ د هـ‬ ‫د‬ ‫ح ط‬ ‫ز ط‬ ‫ز ح‬ ‫ز ح ط‬ ‫           = ‪(C‬هـ ط - ح و) - ب ( د ط - ز و) + حـ ( د ح - ز هـ)‬ ‫مـثـال‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫7 2‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد 3 4‬ ‫1 2‬‫7 2 5‬ ‫3 4‬ ‫3 1‬ ‫4 1‬ ‫3 4 1 = 7 2 6 - 2 -1 6 + 5‬ ‫ ‬ ‫1 2‬‫1 2 6‬‫          = 7 ( 4 * 6 - 2 *1) -2 (3 * 6 - (-1) * 1) + 5 ( 3 * 2 - (-1) * 4)‬ ‫فإن :‬ ‫         = 7 * 22 - 2 * 91 + 5 * 01‬ ‫         = 451 - 83 + 05 = 661‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Minor determinant corresponding to any element of a matrix‬‬ ‫إذا كانت المصفوفة ‪ C‬هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p =C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  f 32C‬فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 11C‬يرمز له بالرمز| ‪ | 11C‬وهو‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر ‪11C‬كاآلتي:‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C 21C‬‬ ‫13‬ ‫31‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫‪f 32C 22C 12C p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫32‬
  • 31. ‫بالمثل:‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 21C‬يرمز له بالرمز|‪ |21C‬وهو‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 31C‬يرمز له بالرمز|‪ |31C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 12C‬يرمز له بالرمز|‪ |12C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:‬ ‫21‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫13‬ ‫مالحظات هامة‬ ‫1- إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p = C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫ ‬ ‫ |‪C = |C‬‬ ‫ ‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ، f 32C‬ومحدد ‪ C‬يرمز له بالرمز |‪ |C‬حيث:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫13‬ ‫-‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫+‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫= ‪|31C| 31C + |21C| 21C - |11C| 11C‬‬ ‫2- الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقًا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب،‬ ‫وإشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪C‬وهـ تتعين بالقاعدة:‬ ‫و +هـ‬ ‫ إشارة |‪ C‬و هـ| هى نفس إشارة (-1)‬ ‫ً‬ ‫فمثال إشارة |‪ |21C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 2 وهى سالبة‬ ‫ ‬ ‫ إشارة  |‪ |31C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 3 وهى موجبة‬ ‫بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند‬ ‫هذا العنصر:‬ ‫× ×فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة.‬ ‫ًّ‬ ‫× ×إذا كان مجموع الرتبتين فرد ًّيا كانت اإلشارة سالبة.‬ ‫+ - +‬ ‫ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى: - + -‬ ‫+ - +‬ ‫3- يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف (أو عمود) ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة.‬ ‫ ‬ ‫42‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 32. ‫تاددحملا‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2 3‬ ‫4 0 5‬ ‫7 -2 -1‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫باستخدام عناصر العمود الثاني.‬ ‫نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫المحدد = -2 7 -1 + 0 7 -1 - (-2)‬ ‫    = -2 (-4 - 53) + 0 + 2 (5 - 21)‬ ‫   = 87 - 41 = 46‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫فكرة مفيدة للحل‬ ‫يمكنك فك المحدد باستخدام‬ ‫أى صف أو عمود فيه أكبر‬ ‫عدد ممكن من األصفار‬ ‫لتسهيل حصولك على قيمته‬ ‫بعد أخذ اإلشارة المناسبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 7‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3 0 1 ‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫7‬ ‫-2 3‬ ‫ب ‬ ‫ج‍ ‬ ‫0 4 5 ‬ ‫0‬ ‫0 -3‬ ‫ة‬ ‫محدد المصفوفة المثلثي ‬ ‫3 4 0‬ ‫2 -3 1‬ ‫5 0 -2‬ ‫ ‬ ‫د ‬ ‫2 0 -3‬ ‫5 -1 4‬ ‫-2 0 3‬ ‫‪Determinant of triangular Matrix‬‬ ‫المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى (أو فوقه) أصفار مثل:‬ ‫2 3‬ ‫‪p ،b 4 0 l‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 0 0‬‫3‬ ‫5 ‪0 4- 2 p ، f‬‬ ‫5 -1 2‬ ‫6‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.‬ ‫أى أن:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫= ‪C 22C 11C‬‬ ‫‪C 12C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C 23C 13C‬‬ ‫33‬ ‫ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:‬ ‫المحدد = ‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ما قيمة المحدد‬ ‫الحل‬ ‫= ‪C C C = )0 * 21C - 32C * 22C ( 11C‬‬ ‫11 22 23‬ ‫1 2 3‬ ‫0 -3 5‬ ‫0 0 6‬ ‫؟‬ ‫نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:‬ ‫المحدد = 1 * - 3 * 6 = -81‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫52‬
  • 33. ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 2‬ ‫أ ‬ ‫0 -2‬ ‫0‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫5‬ ‫0 3 -4 ‬ ‫ب ‬ ‫3 2‬‫0 4‬ ‫0 0‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحددات‬ ‫‪Finding area of a triangle by using Determinants‬‬ ‫يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:‬ ‫مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س (‪ ،C‬ب)، ص (جـ، ‪ ،)E‬ع (هـ، و) هى |‪ |W‬حيث:‬ ‫‪1 =W‬‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ب 1‬ ‫جـ د 1‬ ‫هـ و 1‬ ‫تذكر‬ ‫|‪ |W‬تعنى قيمة ‪ W‬الموجبة.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه (-1، -3) ، (2، 4)، (-3، 5)‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫1 -3 1‬‫1‬ ‫‪1 4 2 2 =W‬‬ ‫3 5 1‬‫2 4‬ ‫2 1‬ ‫4 1‬ ‫    = 1 -1 5 1 - (-3) -3 1 + 1‬ ‫2‬ ‫3 5‬‫        = 1 [-1 (4 - 5) + 3 (2 + 3) + 1 (01 + 21)]‬ ‫2‬ ‫        = 1 (1 + 51 + 22) = 91 وحدة مربعة‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص (2، 4)‬ ‫]‬ ‫س3 2 1‬ ‫ص‬ ‫ع (-3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫-3 س (-1، -3)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ‪ ،)2- ،2-(C‬ب (3، 1)، جـ (-4، 3)‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى‬ ‫اإلحداثى هي (0، 2) (3، 5)، (-3، 2) كانت اإلحداثيات باألمتار،‬ ‫و‬ ‫فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.‬ ‫62‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫6‬ ‫(3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫(0، 2) 2‬ ‫1‬ ‫4 3 2 1‬ ‫(-3، 2)‬ ‫-1 -2 -3 -4‬
  • 34. ‫تاددحملا‬ ‫الحل‬ ‫0 2‬ ‫3 5‬ ‫3 2‬‫5 1‬ ‫0‬ ‫2 1‬ ‫‪1 = W‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫           = 21 [‬ ‫           = 1 [0 - 0 - 3 (2-5)] = 1 4 متر مربع‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+ (-3)‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫]‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.‬ ‫ً‬ ‫‬ ‫‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫س‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تعلم‬ ‫ص‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫-5‬ ‫حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر‬ ‫‪Solving a system of linear equations by Cramer's method‬‬ ‫1- حل �أنظمة المعادالت الخطية في مجهولين‬ ‫‪Solving a system of Linear equations in two unknowns‬‬ ‫ إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:‬ ‫   ‪ C‬س   + ب ص = م‬ ‫ ‬ ‫جـ س + ‪ E‬ص   = ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪b E‬‬ ‫فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت ‪l‬‬ ‫جـ‬ ‫ويمكنك استخدام المحددات لحل أنظمة المعادالت الخطية، فإذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعامالت‬ ‫‪ C‬ب ويرمز له بالرمز 9 (يقرأ دلتا) اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وإذا كانت قيمة المحدد‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.‬ ‫ً‬ ‫ونالحظ أن معاملى المجهول س تكون العمود األول للمحدد 9، ومعامال المجهول ص تكون العمود الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للمحدد 9.‬ ‫يسمى م ب محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س (يقرأ دلتا س)، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد‬ ‫ن ‪E‬‬ ‫تغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م ، ن.‬ ‫كما يسمى‬ ‫‪ C‬م‬ ‫جـ ن‬ ‫محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص (يقرأ دلتا ص)، ونحصل عليه من المحدد 9‬ ‫بعد تغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن.‬ ‫واآلن: نفرض أن 9!0 ،  فإن حل النظام هو:‬ ‫ ‬ ‫     س = 9س =‬ ‫9‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‪-E‬نب‬ ‫‪= E‬‬ ‫ب‬ ‫‪-EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫     ص = 9 ص =‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ -EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬ن - جـ م‬ ‫72‬