Location via proxy:   [ UP ]  
[Report a bug]   [Manage cookies]                
SlideShare a Scribd company logo

ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022

•
•

طبعة جديدة ومنقحة حل تمارين الكتاب شرح المواضيع الرياضية بالتفصيل وبأسلوب واضح ومفهوم لجميع المستويات حلول الاسألة الوزارية اعداد الدكتور أنس ذياب خلف email: anasdhyiab@gmail.com

1 of 53
Download to read offline
‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ – ‫التطبيقي‬ ‫الفصل‬ ‫الاول‬ ‫الاعداد‬ ‫المركبة‬ ‫داد‬‫ع‬‫ا‬ ‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬ 2021 - 2022
ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022
‫تقديم‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫مواضيع‬ ‫كل‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫الحديثة‬ ‫المالزم‬ ‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬ ‫واضا‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬ ‫رسوم‬ ‫فة‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫األسألة‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫منصب‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫اهدافه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ً‫ا‬‫اعي‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ ‫له‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫فأسأل‬ ‫والتحديات‬ ‫الصعوبات‬ " ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
‫مقدمة‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 :‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐 = −𝟏, ⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏, ‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬ ‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬ -1 ‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ , . ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬ 𝒊 = √−𝟏 . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ ) :‫ان‬ ‫حيث‬ 𝑖2 = 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1, 𝑖3 = 𝑖2 . 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖, 𝑖4 = 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1 = 1, 𝑖5 = 𝑖3 . 𝑖2 = −𝑖. −1 = 𝑖, : ‫مثال‬ : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬ 1) 𝑖6 = 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔 = 𝒊𝟐 . 𝒊𝟒 = −𝟏(𝟏) = −𝟏 2) 𝑖8 = 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖 = 𝒊𝟒 . 𝒊𝟒 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏 3) 𝑖16 = (𝑖4 )4 = (1)4 = 1 4) 𝑖17 = (𝑖4 )4 . 𝑖 = (1)4 . 𝑖 = 𝑖 5) 𝑖58 = (𝑖4 )14 . 𝑖2 = (1)14 . (−1) = −1 6) 𝑖12𝑛+93 = (𝑖4 )3𝑛 . 𝑖93 = (1)3𝑛 . (𝑖4)32 . 𝑖 = 𝑖 7) 𝑖−13 = 𝑖−13 . 1 = 𝑖−13 . (𝑖4)4 = 𝑖16−13 = 𝑖3 = −𝑖 8) 𝑖−26 = 𝑖−26 . 1 = 𝑖−26 . (𝑖4)7 = 𝑖28−26 = 𝑖2 = −1 ‫مالحظة‬ ‫استخدام‬ ‫يمكن‬ : (i) . ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬ √−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 . 6=4+2 58=56+2 = 4(14)+2
2 :‫مثال‬ ‫استخدم‬ (i) : ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬ 1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖 2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖 3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖 ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ : ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬ ‫حقيقي‬ ‫االول‬ , ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬ 𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊, ‫تمثل‬ a ‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ b ‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬ ‫كاالتي‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬ (𝒂, 𝒃) :‫مثال‬ ( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬ 𝒂 + 𝒃𝒊 : ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ ) a) −5 = −5 + 0𝑖 b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖 c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖 d) 1+√−25 4 = 1 4 + 5 4 𝑖 e) 𝑖999 = (𝑖4 )249 . 𝑖2 . 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖 f) 𝑖4𝑛+1 = (𝑖4 )𝑛 . 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖 :‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬ 𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐
3 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬ x , y :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖 Sol/ 2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2 ∴ 𝑥 = 1 2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1 ∴ 𝑦 = 1 b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖 Sol/ 2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9 ∴ 𝑦 = −9 2 −2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2 ∴ 𝑥 = −1 ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬  ‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬  ‫ليكن‬ :‫مالحظة‬ 𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 ‫و‬ 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬ 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊. R R I I R I R I R I R I  ‫بالحقيقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬ . ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬  ‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬ x ‫ومعادلة‬ ‫لـ‬ y ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ x,y .
4 :‫مثال‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬ : ‫يأتي‬ a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖 (3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖 =8+2√2𝑖 b) 3 , 2-5𝑖 (3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖 c) 1 − 𝑖, 3𝑖 1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖. :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ (𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊) (7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖 =−2 − 17𝑖 :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ (𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊 Sol 𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖 ∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖  ‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬  ‫نظير‬ a+bi ‫هو‬ –a-bi
5  ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ × . ‫اخرى‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬ ‫لدينا‬ 𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 ‫و‬ 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : ‫فان‬ 𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊) = 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐 = (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊. :‫مثال‬ :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬ a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊) (2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2 = 6 − 15 − 19𝑖 = −9 − 19𝑖 b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊) (2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2 = 6 − 6 + 15𝑖 = 0 + 15𝑖 = 15𝑖 c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐 (3 + 4𝑖)2 = 9 + 24𝑖 + 16𝑖2 = 9 − 16 + 24𝑖 = −7 + 24𝑖
6 d) − 𝟓 𝟐 (𝟒 + 𝟑𝒊) − 5 2 (4 + 3𝑖) = − 5 2 4 − 5 2 3𝑖 = −10 − 15 2 𝑖 e) (𝟏 + 𝒊)𝟒 − (𝟏 − 𝒊)𝟒 (1 + 𝑖)4 − (1 − 𝑖)4 = ((1 + 𝑖)2 )2 − ((1 − 𝑖)2 )2 = (1 + 2𝑖 + 𝑖2 )2 − (1 − 2𝑖 + 𝑖2 )2 = (1 − 1 + 2𝑖)2 − (1 − 1 − 2𝑖)2 = (2𝑖)2 − (2𝑖)2 = 4𝑖2 − 4𝑖2 = −4 + 4 = 0 + 0𝑖  ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬ 𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊 : ‫هو‬ 𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
7 ‫خصائص‬ ‫مرافق‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬     1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1) 2) 3) 4) 5)( ) , 0. c c c c c c c c c c if c a bi c c a b c c c c c                 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 1 2 1 , 3 2 c i c i     : ‫ان‬ ‫فاثبت‬     1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1) 2) 3) c c c c c c c c c c c c             
8 Sol/ 1-         1 2 1 2 1 2 . . .: 1 3 2 4 4 . . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2 4 . . . . L H S c c c c i i i i R H S c c i i i i i L H S R H S                        2-           1 2 2 1 2 2 . . .: (1 )(3 2 ) 3 2 3 2 3 2 5 5 . . .: (1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 ) 3 2 3 2 3 2 5 . . . . L H S c c i i i i i i i i R H S c c i i i i i i i i i L H S R H S                                  
9 3- 1 2 2 2 1 2 2 2 . . .: 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 . . .: 3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 2 2 2 . . . . c L H S c i i i i i i i i i i i c R H S c i i i i i i i i i i i i L H S R H S                                                                                :‫مثال‬ ‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬ 2 2 c i   . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬ Sol/ 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8 8 8 4 4 i i c i i i i i i                  ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬ c ‫هو‬ 𝟏 𝒄   ‫نضرب‬ × ‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬ × ‫ومقام‬ ‫بسط‬ × ‫مقام‬ 
10 :‫تمرين‬ : ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬ 1) 𝟐−𝒊 𝟑+𝟒𝒊 = 2 − 𝑖 3 + 4𝑖 . 3 − 4𝑖 3 − 4𝑖 = 6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4 9 + 16 = 2 − 11𝑖 25 = 2 25 − 11 25 𝑖 2) 𝟏𝟐+𝒊 𝒊 = 12 + 𝑖 𝑖 . −𝑖 −𝑖 = −12𝑖 − 𝑖2 1 = 1 − 12𝑖 1 = 1 − 12𝑖 3) 𝒊 𝟐+𝟑𝒊 = 𝑖 2 + 3𝑖 × 2 − 3𝑖 2 − 3𝑖 = 2𝑖 + 3 4 + 9 = 3 + 2𝑖 13 = 3 13 + 2 13 𝑖 4) ( 𝟑+𝒊 𝟏+𝒊 ) 𝟑 = ( 3 + 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) 3 = ( 3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2 1 + 1 ) 3 = ( 4 − 2𝑖 2 ) 3 = ( 4 2 − 2𝑖 2 ) 3 = (2 − 𝑖)3 = (2 − 𝑖)2 . (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖) = (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖 5) 𝟐+𝟑𝒊 𝟏−𝒊 × 𝟏+𝟒𝒊 𝟒+𝒊 = 2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12 4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1 = −10 + 11𝑖 5 − 3𝑖 = −10 + 11𝑖 5 − 3𝑖 × 5 + 3𝑖 5 + 3𝑖 = −50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33 52 + 32 == −83 + 25𝑖 34 = −83 34 + 25 34 𝑖
11 6) (𝟏 + 𝒊)𝟑 + (𝟏 − 𝒊)𝟑 = (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖) = (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖) = (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖) = 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖 :‫تمرين‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬ 1) 1 (2−𝑖)2 − 1 (2+𝑖)2 = 8 25 𝑖. L.H.S: 1 (2−𝑖)2 − 1 (2+𝑖)2 = 1 4−4𝑖−1 − 1 4+4𝑖−1 = 1 3−4𝑖 × 3+4𝑖 3+4𝑖 − 1 3+4𝑖 × 3−4𝑖 3−4𝑖 = 3 + 4𝑖 9 + 16 − 3 − 4𝑖 9 + 16 = 3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖 25 = 8 25 𝑖 2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4 L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2 . 𝑖) = 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2) = 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S  ‫نفك‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬   ‫بدل‬ ‫نعوض‬ 𝒊𝟐 = −𝟏 ‫وبدل‬ 𝒊𝟑 = −𝒊 ‫نضرب‬ ‫ثم‬ 
12  ‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 : ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝒊𝟐 = (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊) :‫مثال‬ ‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ a+bi . a) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑖2 = (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) b) 9𝑥2 + 49𝑦2 = 9𝑥2 − 49𝑦2 𝑖2 = (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖) c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2 = (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖) d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2 = (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖) ‫تمرين‬ : ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ x , y :‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ 1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊). Sol/ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2 + 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2 − 2 + 5𝑥𝑖 𝑦 = 2𝑥2 − 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2), ( ‫معادلة‬ ‫من‬ 2 ) ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 1 : ) 𝑥 = 5 5 = 1, 𝑦 = 2(1)2 − 2 = 0.  ‫الى‬ + ‫نحول‬ −𝒊𝟐 ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬ 
13 2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏 8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖 ⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2) ( ‫معادلة‬ ‫من‬ 1 ) 𝒙 = 𝟑 𝒚 ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 2 ) [( 3 𝑦 + 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2 = 4𝑦 ⇒ 𝑦2 − 4𝑦 + 3 = 0 (𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0 Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 3 = 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 3 1 = 3. 3) ( 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 . ⇒ ( 1 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4 ⇒ ( 1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2 12 + 𝑖2 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ ( −2𝑖 2 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5. 4) 𝟐−𝒊 𝟏+𝒊 𝒙 + 𝟑−𝒊 𝟐+𝒊 𝒚 = 𝟏 𝒊 . ( 2 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) 𝑥 + ( 3 − 𝑖 2 + 𝑖 × 2 − 𝑖 2 − 𝑖 ) 𝑦 = 1 𝑖 × −𝑖 −𝑖 ⇒ ( 2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1 1 + 1 ) 𝑥 + ( 6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1 4 + 1 ) 𝑦 = −𝑖 1
14 ⇒ ( 1 − 3𝑖 2 ) 𝑥 + ( 5 − 5𝑖 5 ) 𝑦 = −𝑖 ⇒ ( 1 − 3𝑖 2 ) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖 ⇒ 1 2 𝑥 − 3 2 𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖 1 2 𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and − 3 2 𝑥 − 𝑦 = −1 … (2), 1 2 𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) − 3 2 𝑥 − 𝑦 = −1 … (2) − 2 2 𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) 1 2 (1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = − 1 2 . :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒙−𝒚𝒊 𝟏+𝟓𝒊 , 𝟑−𝟐𝒊 𝒊 ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ Sol/ : ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ( 𝑥 − 𝑦𝑖 1 + 5𝑖 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3 − 2𝑖 𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 1 − 5𝑖 = 3 − 2𝑖 𝑖 ‫ألن‬ ( 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ̅) = 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ̅̅̅ ̅
15 ⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10 ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖 ⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7 :‫مثال‬ ‫قيمتي‬ ‫جد‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ 𝒚 𝟏+𝒊 = 𝒙𝟐+𝟒 𝒙+𝟐𝒊 . Sol/ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥2 + 4 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥2 − 4𝑖2 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = (𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖) 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖) ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 + 2 = 4. R R I I R R I I R
16 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬ a) 𝑖5 b) 𝑖124 c) 𝑖−7 d) 𝑖−15 e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖) g) (2 + 3𝑖)2 + (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2 + (1 − 𝑖)2 i) 1+𝑖 1−𝑖 j) 1+2𝑖 −2+𝑖 k) 3+4𝑖 3−4𝑖 2 ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ ) a) 41 b) 29 3 ) ‫قيمتي‬ ‫جد‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ( 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 . 4 ‫كان‬ ‫اذا‬ ) 𝟑+𝒊 𝟐−𝒊 6 𝑥+𝑦𝑖 ‫و‬ ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
17  The square root of complex number ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ : ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬  ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖 .  ‫ان‬ ‫نفرض‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 .  . ‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬ =========================================== :‫مثال‬ : ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊 Sol/ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 8 … (1), and 2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 = 6 2𝑥 = 3 𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ) 𝑥2 − ( 3 𝑥 ) 2 = 8 ⇒ [𝑥2 − 9 𝑥2 = 8] × 𝑥2
18 𝑥4 − 9 = 8𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 8𝑥2 − 9 = 0 ⇒ (𝑥2 − 9)(𝑥2 + 1) = 0, Either (𝑥2 − 9) = 0 ⇒ 𝑥2 = 9 ⇒ 𝑥 = ∓3 Or (𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = 3 3 = 1 or 𝑦 = 3 −3 = −1 ∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ 𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 . 2) 𝒄 = −𝟔𝒊 Sol/ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 0 … (1), and 2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 = −6 2𝑥 = −3 𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 𝑥2 − ( −3 𝑥 ) 2 = 0 ⇒ [𝑥2 − 9 𝑥2 = 0] × 𝑥2 ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
19 𝑥4 − 9 = 0 ⇒ (𝑥2 − 3)(𝑥2 + 3) = 0, either (𝑥2 − 3) = 0 ⇒ 𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥 = ∓√3 or (𝑥2 + 3) = 0 ⇒ 𝑥2 = −3 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = 3 √3 = √3 or 𝑦 = 3 −√3 = −√3 ∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ √𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊. 3) 𝟒 𝟏−√𝟑𝒊 Sol/ 4 1 − √3𝑖 × 1 + √3𝑖 1 + √3𝑖 = 4 + 4√3𝑖 12 + (√3) 2 = 4 + 4√3𝑖 4 = 1 + √3𝑖 (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 1 … (1), and 2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 = √3 2𝑥 … (2) ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
20 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 𝑥2 − ( √3 2𝑥 ) 2 = 1 ⇒ [𝑥2 − 3 4𝑥2 = 1] × 4𝑥2 4𝑥4 − 3 = 4𝑥2 ⇒ 4𝑥4 − 4𝑥2 − 3 = 0 ⇒ (2𝑥2 − 3)(2𝑥2 + 1) = 0, Either (2𝑥2 − 3) = 0 ⇒ 2𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥 = ∓√ 3 2 Or (𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 . ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = √3 √2 . √2(− √3 √2 ) = 1 √2 or 𝑦 = √3 √2 . √2( −√3 √2 ) = −1 √2 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ ±(√ 3 2 + 1 √2 𝑖). ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
21  Solving the equation in ℂ ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ℂ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬ 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 :‫ان‬ ‫اي‬ 𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 :‫مثال‬ ‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ℂ : 1) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎 Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −4 ± √42 − 4(1)(5) 2 ⇒ 𝑥 = −4±√16−20 2 = −4±√−4 2 = −4±2𝑖 2 = −2 ± 𝑖 ∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖} 2) 𝑧2 = −12 Sol/ 𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖 ∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬.
22 3) 𝒛𝟐 − 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = 3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖) 2 = 3 ± √9 − 12 − 4𝑖 2 = 3 ± √−3 − 4𝑖 2 ‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬ −𝟑 − 𝟒𝒊 . ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = −3 … (1) ⇒ 𝑦 = −4 2𝑥 = −2 𝑥 … . . (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 : ) 𝑥2 − ( −2 𝑥 ) 2 = −3 ⇒ [𝑥2 − 4 𝑥2 = −3] × 𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 4 = −3𝑥2 ⇒ 𝑥4 + 3𝑥2 − 4 = 0 ⇒ (𝑥2 + 4)(𝑥2 − 1) = 0 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 2 ) 𝑦 = −2 ±1 = ±2
23 ‫االن‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫جذر‬ −𝟑 − 𝟒𝒊 √−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖) : ‫ان‬ ‫اي‬ 𝑧 = 3 ± (1 − 2𝑖) 2 Neither 𝑧 = 3 2 − 1+2𝑖 2 = 1 + 𝑖 or 𝑧 = 3 2 + 1−2𝑖 2 = 2 − 𝑖. . ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬ 4 ) 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎 Sol 𝑧2 + 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2 + 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1) 2 = −2 ± √4 − 8𝑖 − 4 2 = −2 ± √−8𝑖 2 ‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬ −𝟖𝒊 . ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = −8𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = −8𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 0 … (1)
24 ⇒ 𝑦 = −8 2𝑥 = −4 𝑥 … . . (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 : ) 𝑥2 − ( −4 𝑥 ) 2 = 0 ⇒ [𝑥2 − 16 𝑥2 = 0] × 𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 16 = 0 ⇒ (𝑥2 − 4)(𝑥2 + 4) = 0 ∴ 𝑥2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 2 ) 𝑦 = −4 ±2 = ±2 ‫االن‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫جذر‬ −8𝑖 √−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖) 𝑧 = −2 ± (2 − 2𝑖) 2 Neither 𝑧 = −2 2 − 2+2𝑖 2 = −2 + 𝑖 or 𝑧 = −2 2 + 2−2𝑖 2 = 0 − 𝑖. . ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
25 : ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬  . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬  ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬ (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐) .  ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬ (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) .  ‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝒙𝟐 − (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎  . ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ========================================================== :‫مثال‬ : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬  ±(2 + 2𝑖) 𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0 𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − −8𝑖 = 0  𝑀 = 3−𝑖 1+𝑖 , 𝐿 = (3 − 2𝑖)2 𝑀 = 3 − 𝑖 1 + 𝑖 = 3 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 = 3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1 1 + 1 = 2 − 4𝑖 2 = 1 − 2𝑖 𝐿 = (3 − 2𝑖)2 = 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖 𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖
26 𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0 :‫مثال‬ : ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ 1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊. Sol/ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ B=(3+4i) 𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6 𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 6𝑥 + 25 = 0 2 ) 𝑨 = √𝟐+𝟑𝒊 𝟒 Sol/ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ √𝟐−𝟑𝒊 𝟒 = 𝐵
27 𝐴 + 𝐵 = ( √2 4 + 3 4 𝑖) + ( √2 4 − 3 4 𝑖) = ( √2 4 + √2 4 ) + ( 3 4 𝑖 − 3 4 𝑖) = √2 2 + 0𝑖 = 1 √2 𝐴 × 𝐵 = ( √2 4 + 3 4 𝑖) ( √2 4 − 3 4 𝑖) = 2 16 − 3√2 16 𝑖 + 3√2 16 𝑖 + 9 16 = 11 16 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 1 √2 𝑥 + 11 16 = 0 :‫تمرين‬ ‫ا‬ ‫كان‬ ‫ذا‬ 𝟑 + 𝒊 ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎 ‫قيمة‬ ‫فما‬ a ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ Sol/ = ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ L : ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬ 𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 = 5 + 5𝑖 3 + 𝑖 ⇒ 𝐿 = 5 + 5𝑖 3 + 𝑖 × 3 − 𝑖 3 − 𝑖 ⇒ 𝐿 = 15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5 9 + 1 = 20 + 10𝑖 10 = 2 + 𝑖 : ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬ ⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀 ⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖
28 ⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖  The cube roots number of integer one ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫ليكن‬ z :‫فان‬ ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫احد‬ 𝑧3 = 1 ⇒ 𝑧3 − 1 = 0 ⇒ (𝑧 − 1)(𝑧2 + 𝑧 + 1) = 0 Neither 𝑧 = 1 or 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0, ‫بالدستور‬ ‫حلها‬ ‫يمكن‬ ‫المعادلة‬ ‫وهذه‬ 𝒛 = −𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 : 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −1 ± √12 − 4(1)(1) 2(1) = −1 ± √3𝑖 2 = −1 2 ± √3 2 𝑖 : ‫هي‬ ‫الصحيح‬ ‫الواحد‬ ‫جذور‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ 1, 𝜔 ≔ −1 2 + √3 2 𝑖, 𝜔2 ≔ −1 2 − √3 2 𝑖. = ‫الجذور‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ 0 1 + ( −1 2 + √3 2 𝑖) + ( −1 2 − √3 2 𝑖) = 0
29 : ‫ان‬ ‫أي‬ 𝟏 + 𝝎 + 𝝎𝟐 = 𝟎 : ‫ومنها‬  𝟏 + 𝝎 = − 𝝎𝟐  𝟏 + 𝝎𝟐 = −𝝎  𝝎 + 𝝎𝟐 = −𝟏  𝟏 = − 𝝎 − 𝝎𝟐  𝝎𝟐 = −𝟏 − 𝝎  𝝎 = −𝟏 − 𝝎𝟐 = ‫الجذور‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 1 : ‫أن‬ ‫أي‬ , 𝝎 . 𝝎𝟐 = 𝟏 ⇒ 𝝎𝟑 = 𝟏 : ‫ومنها‬ 𝝎 = 𝟏 𝝎𝟐 , 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎 , 𝝎𝟒 = 𝝎𝟑 . 𝝎 = 𝟏. 𝝎 = 𝝎, 𝝎𝟔 = 𝝎𝟑 . 𝝎𝟑 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏, 𝝎−𝟓 = 𝟏 𝝎𝟓 = 𝟏 𝝎𝟑. 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎, 𝝎−𝟓 = 𝟏 𝝎𝟓 = 𝟏 𝝎𝟑. 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎, 𝝎−𝟖 = 𝟏 𝝎𝟖 = 𝟏 𝝎𝟔. 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎.
30 :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ 𝜔33 , 𝜔25 , 𝜔−58 , 𝜔−325 . Sol/ 𝜔33 = (𝜔3 )10 . 𝜔3 = (1)10 . 1 = 1 𝜔25 = (𝜔3 )8 . 𝜔 = 𝜔 𝜔−58 = 1 𝜔58 = 1 (𝜔3)19. 𝜔 = 1 𝜔 = 𝜔2 𝜔−325 = 1 𝜔325 = 1 (𝜔3)108.𝜔 = 1 𝜔 = 𝜔2 . ========================================================= :‫مثال‬ : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫ضع‬ 1) 𝟏 (𝟏+ 𝝎−𝟑𝟐)𝟏𝟐 1 (1 + 𝜔−32)12 = 1 (1 + ( 𝜔3)−11. 𝜔)12 = 1 (−𝜔2)12 = 1 (−𝜔2)12 = − 1 (𝜔3)8 = −1 2) (𝟏 + 𝝎𝟐 )−𝟒 (1 + 𝜔2 )−4 = (−𝜔)−4 = 1 (−𝜔)4 = 1 𝜔3.𝜔 = 𝜔2 .  ‫فمثال‬ ‫االس‬ ‫بتجزئة‬ ‫نقوم‬ 33=3(10)+3 .  ‫نرفع‬ 𝝎 ‫لالس‬ 3 ‫يوزع‬ ‫والباقي‬ .
31 3) 𝜔9𝑛+5 = (𝜔3)3𝑛 . 𝜔5 = (1)3𝑛 . 𝜔3 . 𝜔2 = 𝜔2 4) (𝟑𝝎𝟗𝒏 + 𝟓 𝝎𝟓 + 𝟒 𝝎𝟒) 𝟔 (3𝜔9𝑛 + 5 𝜔3 + 4 𝜔4 ) 6 = (3𝜔9𝑛 + 5𝜔4 + 4𝜔5 𝜔5𝜔4 ) 6 = (3(𝜔3 )3𝑛 + 5𝜔4 + 4𝜔5 (𝜔3)3 ) 6 = (3 + 5𝜔3 . 𝜔 + 4𝜔3 . 𝜔2)6 = (3(−𝜔 − 𝜔2) + 5𝜔 + 4 𝜔2)6 = (−3𝜔 − 3𝜔2 + 5𝜔 + 4 𝜔2)6 = (2𝜔 − 3𝜔2 + 5𝜔 + 4 𝜔2)6 ================================================= :‫مثال‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ a) (𝟓 + 𝟑𝝎 + 𝟑𝝎𝟐)𝟐 = −𝟒(𝟐 + 𝝎 + 𝟐𝝎𝟐)𝟑 = 𝟒 Sol/ L.H.S: (5 + 3𝜔 + 3𝜔2)2 = (5 + 3(𝜔 + 𝜔2 ))2 = (5 + 3(−1))2 = 22 = 4 R.H.S: −4(2 + 𝜔 + 2𝜔2)3 = −4(2(1 + 𝜔2) + 𝜔)3 = −4(2(−𝜔) + 𝜔)3 = −4(−2𝜔 + 𝜔)3 = −4(−𝜔)3 = −4 . −1(𝜔)3 = 4 b) ( 𝟏 𝟐+𝝎 − 𝟏 𝟐+𝝎𝟐) 𝟐 = − 𝟏 𝟑 L.H.S: ( 1 2+𝜔 − 1 2+𝜔2) 2 = ( (2+𝜔2)−(2+𝜔) (2+𝜔2)(2+𝜔) ) 2 = ( 2−2+𝜔2−𝜔 4+2𝜔+2𝜔2+𝜔3) 2
32 = ( 𝜔2−𝜔 4+2(𝜔+𝜔2)+1 ) 2 = ( − 1 2 − √3 2 𝑖+ 1 2 − √3 2 𝑖 4−2+1 ) 2 = ( −2√3 2 𝑖 3 ) 2 = ( −√3𝑖 3 ) 2 = −3 9 = − 1 3 c) 𝜔14+𝜔7−1 𝜔10+𝜔5−2 = 2 3 L.H.S: 𝜔14+𝜔7−1 𝜔10+𝜔5−2 = (𝜔3)4. 𝜔2+(𝜔3)2. 𝜔−1 (𝜔3)3. 𝜔+ 𝜔3. 𝜔2−2 = 𝜔2+ 𝜔−1 𝜔+ 𝜔2−2 = −1−1 −1−2 = −2 −3 = 2 3 = L.H.S d) (𝟏 + 𝝎𝟐 )𝟑 + (𝟏 + 𝝎)𝟑 = −𝟐 L.H.S: (−𝜔)3 + (−𝜔2 )3 = −𝜔3 −𝜔6 = −1 − (𝜔3 )2 = −1 − 1 = −2 = R.H.S ======================================================== : ‫مثال‬ : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ .‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫القياسية‬ ‫الصيغة‬ ‫نطبق‬ ‫ثم‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬ ** 1) 𝑨 = 𝟏 − 𝒊𝝎𝟐 , 𝑩 = 𝟏 − 𝒊𝝎 𝐴 + 𝐵 = (1 − 𝑖𝜔2) + (1 − 𝑖𝜔) = 2 − (𝜔 + 𝜔2)𝑖 = 2 + 𝑖 𝐴 . 𝐵 = (1 − 𝑖𝜔2)(1 − 𝑖𝜔) = 1 − 𝑖𝜔 −𝑖𝜔2 + 𝜔3 𝑖2 = 1 − 𝑖𝜔 −𝑖𝜔2 − 1 = −(𝜔 + 𝜔2)𝑖 = 𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − (2 + 𝑖)𝑥 + 𝑖 = 0
33 2) 𝑨 = 𝟐 𝟏−𝝎 , 𝑩 = 𝟐 𝟏−𝝎𝟐 𝐴 + 𝐵 = 2 1 − 𝜔 + 2 1 − 𝜔2 = 2(1 − 𝜔2) + 2(1 − 𝜔) 1 − 𝜔2 − 𝜔 + 𝜔3 = 2−2𝜔2 + 2 − 2𝜔 1 − 𝜔2 − 𝜔 + 1 = 4−2(𝜔2 + 𝜔) 2 − (𝜔2 + 𝜔) = 6 2 − (−1) = 6 3 = 2 𝐴 . 𝐵 = ( 2 1 − 𝜔 ) ( 2 1 − 𝜔2 ) = 4 1 − 𝜔2 − 𝜔 + 𝜔3 = 4 3 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 2𝑥 + 4 3 = 0 3) 𝑨 = 𝝎 𝟐−𝝎𝟐 , 𝑩 = 𝝎𝟐 𝟐−𝝎 𝐴 + 𝐵 = 𝜔 2 − 𝜔2 + 𝜔2 2 − 𝜔 = 𝜔(2 − 𝜔) + 𝜔2 (2 − 𝜔) (2 − 𝜔2)(2 − 𝜔) = 2𝜔 − 𝜔2 + 2𝜔2 − 𝜔4 4 − 2𝜔 − 2𝜔2 + 𝜔3 = 𝜔2 + 2𝜔 − 𝜔3 . 𝜔 5 − 2(𝜔2 + 𝜔) = 𝜔2 + 2𝜔 − 𝜔 5 − 2(−1) = 𝜔2 + 𝜔 7 = − 1 7 𝐴 . 𝐵 = ( 𝜔 2 − 𝜔2 ) ( 𝜔2 2 − 𝜔 ) = 𝜔3 5 − 2(𝜔2 + 𝜔) = 1 7 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 + 1 7 𝑥 + 1 7 = 0
34 ‫تمرين‬ ‫ليكن‬ : 𝒛𝟐 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 ‫قيمة‬ ‫فجد‬ 𝟏+𝟑𝒛𝟏𝟎+𝟑𝒛𝟏𝟏 𝟏−𝟑𝒛𝟕−𝟑𝒛𝟖 . Sol/ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫اوال‬ z ‫بالدستور‬ . 𝑎 = 1, b = 1 , c = 1, 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −1 ± √12 − 4(1)(1) 2(1) = −1 ± √−3 2 = −1 ± √3𝑖 2 ∴ 𝑧 = −1+√3𝑖 2 = 𝜔 or 𝑧 = −1−√3𝑖 2 = 𝜔2 . ‫لتكن‬ 𝒛 = 𝝎 ‫فان‬ 1+3𝑧10+3𝑧11 1−3𝑧7−3𝑧8 = 1+3𝜔10+3𝜔11 1−3𝜔7−3𝜔8 = 1+3(𝜔3)3 . 𝜔 +3(𝜔3)3 . 𝜔2 1−3(𝜔3)2 . 𝜔−3(𝜔3)2 . 𝜔2 = 1+3 𝜔 +3 𝜔2 1−3𝜔−3𝜔2 = 1+3 (𝜔 +𝜔2) 1−3(𝜔+𝜔2) = −2 4 = − 1 2 ‫لتكن‬ 𝒛 = 𝝎𝟐 ‫فان‬ 1 + 3z10 + 3z11 1 − 3z7 − 3z8 = 1 + 3(ω2 )10 + 3(ω2 )11 1 − 3(ω2)7 − 3(ω2)8 = 1+3(ω3 ) 6 . ω2 +3(ω3 ) 7 . ω 1−3(ω3 ) 4 . ω2−3(ω3 ) 5 . ω = 1+3 (ω2+ω ) 1−3(ω2+ω) = −2 4 = − 1 2 .
35  Geometric Representation of Complex Numbers ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ z ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬ (𝒙, 𝒚) ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ 𝒛(𝒙, 𝒚) . :‫مثال‬ : ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬ 1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖) (3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖) = (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖 2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖) (6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖) = (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖) = 4 + 3𝑖 Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊) Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)
36 ‫تمرين‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ : . ‫ارجاند‬ . a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3) −𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3) b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖 𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3) −𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3) ‫تمرين‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ : . ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖 𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3) 𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3) Figure 3: the geometric Representation for example a Figure 4: the geometric Representation for example b Figure 5: the geometric Representation for example a
37 b ) 𝑧 = −2𝑖 𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2) 𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2) :‫تمرين‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊 ‫و‬ 𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊 :‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬ a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6) b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4) c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4) d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0) Figure 6: the geometric Representation for example b (a) (b) (c) (d) Figure 6: the geometric Representation for example
38 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ 𝜔14 , 𝜔64 , 𝜔−6 , 𝜔−8 2 ) ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالي‬ ‫المقدار‬ ‫ضع‬ : 𝜔12𝑛+5 3 ) : ‫أن‬ ‫أثبت‬ a) 𝜔7 + 𝜔5 + 1 = 0 b) (1 − 2 𝜔2 + 𝜔2 ) (1 + 𝜔 − 5 𝜔 ) = 18 4 ) : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ a) 𝐴 = 1 + 𝜔2 , 𝐵 = 1 + 𝜔 𝒃) 3𝑖 𝜔2 , −3𝜔2 𝑖 5 ) ‫النظير‬ ‫اكتب‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ . ‫ارجاند‬ a) 𝑧 = 𝑖 b) 𝑧 = 3 − 2𝑖 6 ) . ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ a) 𝑧1 = −3 + 2𝑖 b ) 𝑧2 = 1 − 𝑖 7 ) ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊 :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬ a) 𝑧 b) 𝑧̅ c) – 𝑧
39  Polar form of complex number ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬  ‫ليكن‬ z ‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ 𝒑(𝒙, 𝒚) ‫فان‬ (𝒓, 𝜽) ‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬ p ‫حيث‬ O ‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬ 𝑶𝑿 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ . ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬  ‫ليكن‬ r ‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ r ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬ z : ‫حيث‬ 𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐  ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝒓 = 𝒙 ‖𝒛‖ ⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒚 𝒓 = 𝒚 ‖𝒛‖ ⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽  ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝜽 ‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬ 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ ‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ . ‫المركب‬  ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬ 𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅) ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ . ‫المركب‬ Figure 8: Polar form of complex number
40 ‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬ :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬. ∴ arg(𝑧) = 𝜋 3 . :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = −𝟏 − 𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫الثالث‬ ∴ arg(𝑧) = 𝜋 + 𝜋 4 = 5𝜋 4 .
41 :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −√3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫الثالث‬ . ∴ arg(𝑧) = 𝜋 + 𝜋 3 = 4𝜋 3 . : ‫مالحظة‬ 1 ) ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ 𝒛 = 𝟎 . ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬ 2 ) ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ z : ‫هي‬ 𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽) ========================================================= :‫مثال‬ : ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ a) 𝑧 = −2 + 2𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ . ∴ arg(𝑧) = 𝜋 − 𝜋 4 = 3𝜋 4 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos 3𝜋 4 + 𝑖 sin 3𝜋 4 )
42 b) 7i 7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos 𝜋 2 + 𝑖sin 𝜋 2 )  De Moivre’s Theorem ‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫ليكن‬ 𝒛𝟏 ‫و‬ 𝒛𝟐 ‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ 𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑 , ‫فان‬ 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑) = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽) = 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑)) ‫كانت‬ ‫واذا‬ 𝜽 = 𝝑 ‫فان‬ (𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) ‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏 = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ ========================================================== :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (cos 3𝜋 8 + 𝑖sin 3𝜋 8 )4 ‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬ (cos 3𝜋 8 + 𝑖sin 3𝜋 8 )4 = cos 4 3𝜋 8 + 𝑖sin 4 3𝜋 8 = cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 = 0 + 𝑖(−1) = −𝑖
43 b) (𝐜𝐨𝐬 𝟓𝝅 𝟐𝟒 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝟓𝝅 𝟐𝟒 )𝟒 (cos 5𝜋 24 + 𝑖sin 5𝜋 24 )4 = cos 4 5𝜋 24 + 𝑖sin 4 5𝜋 24 = cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 = − √3 2 + 𝑖 ( 1 2 ) ========================================================== c) (𝐜𝐨𝐬 𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖 (𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒 cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛 ‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬ (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4 = (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃) = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4 = cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃 ========================================================== d) (1 + 𝑖)11 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫االول‬ . ∴ 𝜃 = 𝜋 4 .  ‫هنا‬ θ = 5 (30) = 150 ‫إذن‬ ، θ ‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ cos θ ‫و‬ ‫سالبة‬ sin ‫موجبة‬ .
44 𝑧11 = 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11 = (√2) 11 (cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 )11 = (√2 2 ) 5 . √2 (cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 )11 = 32√2 (cos 11 𝜋 4 + 𝑖 sin 11 𝜋 4 ) = 32√2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −32 − 32𝑖. ========================================================== c) (1 − 𝑖)7 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫الرابع‬ .. ∴ arg(𝑧) = 2𝜋 − 𝜋 4 = 7𝜋 4 . 𝑧7 = 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7 = (√2) 7 (cos 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7𝜋 4 )7 = (√2 2 ) 3 . √2 (cos 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7𝜋 4 )7 = 8√2 (cos 7 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7 7𝜋 4 ) = 8√2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = 8 + 8𝑖.
45 ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫لكل‬ 𝒏 ∈ ℤ+ , 𝜽 ∈ ℝ ‫فان‬ , √𝒛 𝒏 = 𝒓 𝟏 𝒏 [𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐𝝅𝒌 𝒏 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟐𝝅𝒌 𝒏 ], 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏.  ‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬ . ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬ ‫تمرين‬ 4 : ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ (−𝟏 + √𝟑𝒊) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫لها‬ ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬. ∴ arg(𝑧) = 𝜋 − 𝜋 3 = 2𝜋 3 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos 2𝜋 3 + 𝑖 sin 2𝜋 3 ) 𝑧 1 2 = 𝑟 1 2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) 1 2 𝑧 1 2 = (2) 1 2 (cos 2𝜋 3 + 2𝜋𝑘 2 + 𝑖sin 2𝜋 3 + 2𝜋𝑘 2 ) = √2 (cos 2𝜋 + 6𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 2𝜋 + 6𝜋𝑘 6 )  ‫هنا‬ n=3 ‫اذا‬ k ‫قيمتين‬ ‫لها‬ 𝒌 = 𝟎, 𝟏 .
46 For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos 2𝜋 6 + 𝑖sin 2𝜋 6 ) = √2 (cos 𝜋 3 + 𝑖sin 𝜋 3 ) = √2 ( 1 2 + √3 2 𝑖) = 1 √2 + √3 √2 𝑖 If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos 2𝜋+6𝜋 6 + 𝑖sin 2𝜋+6𝜋 6 ) = √2 (cos 4𝜋 3 + 𝑖sin 4𝜋 3 ) = √2 ( −1 2 − √3 2 𝑖) = −1 √2 − √3 √2 𝑖 ===================================================== ‫تمرين‬ 6 : ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫التربيعية‬ ‫االربعة‬ ‫للعدد‬ (−𝟏𝟔) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 𝑧 1 4 = (16) 1 4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 1 4 = 2 (cos 𝜋+2𝜋𝑘 4 + 𝑖sin 𝜋+6𝜋𝑘 4 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos 𝜋 4 + 𝑖sin 𝜋 4 ) = 2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = √2 + √2𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 3𝜋 4 + 𝑖sin 3𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −√2 + √2𝑖 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos 5𝜋 4 + 𝑖sin 5𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 − 1 √2 𝑖) = −√2 − √2𝑖 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 7𝜋 4 + 𝑖sin 7𝜋 4 ) = 2 ( 1 √2 − 1 √2 𝑖) = √2 − √2𝑖
47 ‫تمرين‬ 7 : ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫الستة‬ ‫للعدد‬ (−𝟔𝟒𝒊) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 ) 𝑧 1 6 = (64) 1 6 (cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 ) 1 6 = 2 (cos 3𝜋 2 +2𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 3𝜋 2 +6𝜋𝑘 6 ) = 2 (cos 3𝜋 + 4𝜋𝑘 12 + 𝑖sin 3𝜋 + 4𝜋𝑘 12 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos 3𝜋 12 + 𝑖sin 3𝜋 12 ) = 2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = √2 + √2𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 7𝜋 12 + 𝑖sin 7𝜋 12 ) = 2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −√2 + √2𝑖 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos 11𝜋 12 + 𝑖sin 11𝜋 12 ) 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos 15𝜋 12 + 𝑖sin 15𝜋 12 ) = 2 (cos 5𝜋 4 + 𝑖sin 5𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 − 1 √2 𝑖) = −√2 − √2𝑖 𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos 19𝜋 12 + 𝑖sin 19𝜋 12 ) 𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos 25𝜋 12 + 𝑖sin 25𝜋 12 )
48 :‫مثال‬ ‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ (√𝟑 + 𝒊)𝟐 . ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ Sol/ 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 2 ⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬. ∴ 𝜃 = 𝜋 6 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos 𝜋 6 + 𝑖 sin 𝜋 6 ) 𝑧2 = 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2 = 22 (cos 2𝜋 6 + 𝑖 sin 2𝜋 6 ) = 4 (cos 𝜋 3 + 𝑖 sin 𝜋 3 ) 𝑧 2 5 = 𝑟 2 5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) 2 5 = (2) 2 5 (cos 5. 𝜋 3 +2𝜋𝑘 2 + 𝑖sin 5. 𝜋 3 +2𝜋𝑘 2 ) = √4 5 (cos 5𝜋 + 30𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 5𝜋 + 30𝜋𝑘 6 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4 5 (cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 ) = √4 5 (− √3 2 + 1 2 ) 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4 5 (cos 35𝜋 6 + 𝑖sin 35𝜋 6 ) 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4 5 (cos 65𝜋 6 + 𝑖sin 65𝜋 6 ) 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4 5 (cos 95𝜋 6 + 𝑖sin 95𝜋 6 )
49 𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4 5 (cos 155𝜋 6 + 𝑖sin 155𝜋 6 ) =========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝑥3 + 1 = 0 ‫حيث‬ 𝑥 ∈ ℂ . Sol/ 𝑥3 + 1 = 0 ⇒ 𝑥3 = −1 ⇒ 𝑥3 = −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋 ⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 1 3 = cos 𝜋+2𝜋𝑘 3 + 𝑖sin 𝜋+2𝜋𝑘 3 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos 𝜋 3 + 𝑖sin 𝜋 3 = 1 2 + √3 2 𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos 3𝜋 3 + 𝑖sin 3𝜋 3 = −1 + 0 𝑖 = −1 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos 5𝜋 3 + 𝑖sin 5𝜋 3 = 1 2 − √3 2 𝑖 ∴ 𝑆 = { 1 2 + √3 2 𝑖 , −1 , 1 2 − √3 2 𝑖}.
50 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬ a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖 2 ) : ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1 3 ) : ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (cos 7𝜋 12 + 𝑖 sin 7𝜋 12 ) −3 b) (cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5 (cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3 4 ) ( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 27𝑖 . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )

More Related Content

ملزمة الرياضيات للصف السادس التطبيقي الفصل الاول الاعداد المركبة 2022

  • 3. ‫تقديم‬ ‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫مواضيع‬ ‫كل‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫الحديثة‬ ‫المالزم‬ ‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬ ‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬ ‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬ ‫واضا‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬ ‫رسوم‬ ‫فة‬ ‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬ ‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫األسألة‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫منصب‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬ . ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫س‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬ ‫كل‬ ‫رغم‬ ‫اهدافه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ً‫ا‬‫اعي‬ ‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ ‫له‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫فأسأل‬ ‫والتحديات‬ ‫الصعوبات‬ " ‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬ ." ‫الدكتور‬ ‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ 07818192576 anasdhyiab@gmail.com ‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬ © 2021 .‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬
  • 4. ‫مقدمة‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 :‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬ 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐 = −𝟏, ⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏, ‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬ ‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬ -1 ‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ , . ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬ 𝒊 = √−𝟏 . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ ) :‫ان‬ ‫حيث‬ 𝑖2 = 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1, 𝑖3 = 𝑖2 . 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖, 𝑖4 = 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1 = 1, 𝑖5 = 𝑖3 . 𝑖2 = −𝑖. −1 = 𝑖, : ‫مثال‬ : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬ 1) 𝑖6 = 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔 = 𝒊𝟐 . 𝒊𝟒 = −𝟏(𝟏) = −𝟏 2) 𝑖8 = 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 . 𝑖2 = −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖 = 𝒊𝟒 . 𝒊𝟒 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏 3) 𝑖16 = (𝑖4 )4 = (1)4 = 1 4) 𝑖17 = (𝑖4 )4 . 𝑖 = (1)4 . 𝑖 = 𝑖 5) 𝑖58 = (𝑖4 )14 . 𝑖2 = (1)14 . (−1) = −1 6) 𝑖12𝑛+93 = (𝑖4 )3𝑛 . 𝑖93 = (1)3𝑛 . (𝑖4)32 . 𝑖 = 𝑖 7) 𝑖−13 = 𝑖−13 . 1 = 𝑖−13 . (𝑖4)4 = 𝑖16−13 = 𝑖3 = −𝑖 8) 𝑖−26 = 𝑖−26 . 1 = 𝑖−26 . (𝑖4)7 = 𝑖28−26 = 𝑖2 = −1 ‫مالحظة‬ ‫استخدام‬ ‫يمكن‬ : (i) . ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬ √−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 . 6=4+2 58=56+2 = 4(14)+2
  • 5. 2 :‫مثال‬ ‫استخدم‬ (i) : ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬ 1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖 2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖 3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖 ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ : ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬ ‫حقيقي‬ ‫االول‬ , ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬ 𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊, ‫تمثل‬ a ‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ b ‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬ ‫كاالتي‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬ (𝒂, 𝒃) :‫مثال‬ ( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬ 𝒂 + 𝒃𝒊 : ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ ) a) −5 = −5 + 0𝑖 b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖 c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖 d) 1+√−25 4 = 1 4 + 5 4 𝑖 e) 𝑖999 = (𝑖4 )249 . 𝑖2 . 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖 f) 𝑖4𝑛+1 = (𝑖4 )𝑛 . 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖 :‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬ 𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐
  • 6. 3 ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬ x , y :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖 Sol/ 2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2 ∴ 𝑥 = 1 2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1 ∴ 𝑦 = 1 b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖 Sol/ 2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9 ∴ 𝑦 = −9 2 −2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2 ∴ 𝑥 = −1 ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬  ‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬  ‫ليكن‬ :‫مالحظة‬ 𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 ‫و‬ 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬ 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊. R R I I R I R I R I R I  ‫بالحقيقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬ . ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬  ‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬ x ‫ومعادلة‬ ‫لـ‬ y ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ x,y .
  • 7. 4 :‫مثال‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬ : ‫يأتي‬ a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖 (3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖 =8+2√2𝑖 b) 3 , 2-5𝑖 (3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖 c) 1 − 𝑖, 3𝑖 1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖. :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ (𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊) (7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖 =−2 − 17𝑖 :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ (𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊 Sol 𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖 ∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖  ‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬  ‫نظير‬ a+bi ‫هو‬ –a-bi
  • 8. 5  ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ × . ‫اخرى‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬ ‫لدينا‬ 𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊 ‫و‬ 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊 : ‫فان‬ 𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊) = 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐 = (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊. :‫مثال‬ :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬ a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊) (2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2 = 6 − 15 − 19𝑖 = −9 − 19𝑖 b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊) (2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2 = 6 − 6 + 15𝑖 = 0 + 15𝑖 = 15𝑖 c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐 (3 + 4𝑖)2 = 9 + 24𝑖 + 16𝑖2 = 9 − 16 + 24𝑖 = −7 + 24𝑖
  • 9. 6 d) − 𝟓 𝟐 (𝟒 + 𝟑𝒊) − 5 2 (4 + 3𝑖) = − 5 2 4 − 5 2 3𝑖 = −10 − 15 2 𝑖 e) (𝟏 + 𝒊)𝟒 − (𝟏 − 𝒊)𝟒 (1 + 𝑖)4 − (1 − 𝑖)4 = ((1 + 𝑖)2 )2 − ((1 − 𝑖)2 )2 = (1 + 2𝑖 + 𝑖2 )2 − (1 − 2𝑖 + 𝑖2 )2 = (1 − 1 + 2𝑖)2 − (1 − 1 − 2𝑖)2 = (2𝑖)2 − (2𝑖)2 = 4𝑖2 − 4𝑖2 = −4 + 4 = 0 + 0𝑖  ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬ 𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊 : ‫هو‬ 𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
  • 10. 7 ‫خصائص‬ ‫مرافق‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬     1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1) 2) 3) 4) 5)( ) , 0. c c c c c c c c c c if c a bi c c a b c c c c c                 :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 1 2 1 , 3 2 c i c i     : ‫ان‬ ‫فاثبت‬     1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1) 2) 3) c c c c c c c c c c c c             
  • 11. 8 Sol/ 1-         1 2 1 2 1 2 . . .: 1 3 2 4 4 . . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2 4 . . . . L H S c c c c i i i i R H S c c i i i i i L H S R H S                        2-           1 2 2 1 2 2 . . .: (1 )(3 2 ) 3 2 3 2 3 2 5 5 . . .: (1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 ) 3 2 3 2 3 2 5 . . . . L H S c c i i i i i i i i R H S c c i i i i i i i i i L H S R H S                                  
  • 12. 9 3- 1 2 2 2 1 2 2 2 . . .: 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 5 1 5 1 5 2 2 2 2 2 . . .: 3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 1 5 2 2 2 . . . . c L H S c i i i i i i i i i i i c R H S c i i i i i i i i i i i i L H S R H S                                                                                :‫مثال‬ ‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬ 2 2 c i   . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬ Sol/ 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8 8 8 4 4 i i c i i i i i i                  ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬ c ‫هو‬ 𝟏 𝒄   ‫نضرب‬ × ‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬ × ‫ومقام‬ ‫بسط‬ × ‫مقام‬ 
  • 13. 10 :‫تمرين‬ : ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬ 1) 𝟐−𝒊 𝟑+𝟒𝒊 = 2 − 𝑖 3 + 4𝑖 . 3 − 4𝑖 3 − 4𝑖 = 6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4 9 + 16 = 2 − 11𝑖 25 = 2 25 − 11 25 𝑖 2) 𝟏𝟐+𝒊 𝒊 = 12 + 𝑖 𝑖 . −𝑖 −𝑖 = −12𝑖 − 𝑖2 1 = 1 − 12𝑖 1 = 1 − 12𝑖 3) 𝒊 𝟐+𝟑𝒊 = 𝑖 2 + 3𝑖 × 2 − 3𝑖 2 − 3𝑖 = 2𝑖 + 3 4 + 9 = 3 + 2𝑖 13 = 3 13 + 2 13 𝑖 4) ( 𝟑+𝒊 𝟏+𝒊 ) 𝟑 = ( 3 + 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) 3 = ( 3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2 1 + 1 ) 3 = ( 4 − 2𝑖 2 ) 3 = ( 4 2 − 2𝑖 2 ) 3 = (2 − 𝑖)3 = (2 − 𝑖)2 . (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖) = (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖 5) 𝟐+𝟑𝒊 𝟏−𝒊 × 𝟏+𝟒𝒊 𝟒+𝒊 = 2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12 4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1 = −10 + 11𝑖 5 − 3𝑖 = −10 + 11𝑖 5 − 3𝑖 × 5 + 3𝑖 5 + 3𝑖 = −50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33 52 + 32 == −83 + 25𝑖 34 = −83 34 + 25 34 𝑖
  • 14. 11 6) (𝟏 + 𝒊)𝟑 + (𝟏 − 𝒊)𝟑 = (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖) = (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖) = (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖) = 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖 :‫تمرين‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬ 1) 1 (2−𝑖)2 − 1 (2+𝑖)2 = 8 25 𝑖. L.H.S: 1 (2−𝑖)2 − 1 (2+𝑖)2 = 1 4−4𝑖−1 − 1 4+4𝑖−1 = 1 3−4𝑖 × 3+4𝑖 3+4𝑖 − 1 3+4𝑖 × 3−4𝑖 3−4𝑖 = 3 + 4𝑖 9 + 16 − 3 − 4𝑖 9 + 16 = 3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖 25 = 8 25 𝑖 2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4 L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2 . 𝑖) = 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2) = 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S  ‫نفك‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬   ‫بدل‬ ‫نعوض‬ 𝒊𝟐 = −𝟏 ‫وبدل‬ 𝒊𝟑 = −𝒊 ‫نضرب‬ ‫ثم‬ 
  • 15. 12  ‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 : ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 𝒊𝟐 = (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊) :‫مثال‬ ‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ a+bi . a) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑖2 = (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) b) 9𝑥2 + 49𝑦2 = 9𝑥2 − 49𝑦2 𝑖2 = (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖) c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2 = (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖) d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2 = (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖) ‫تمرين‬ : ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ x , y :‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬ 1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊). Sol/ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2 + 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2 − 2 + 5𝑥𝑖 𝑦 = 2𝑥2 − 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2), ( ‫معادلة‬ ‫من‬ 2 ) ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 1 : ) 𝑥 = 5 5 = 1, 𝑦 = 2(1)2 − 2 = 0.  ‫الى‬ + ‫نحول‬ −𝒊𝟐 ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬ 
  • 16. 13 2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏 8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖 ⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2) ( ‫معادلة‬ ‫من‬ 1 ) 𝒙 = 𝟑 𝒚 ( ‫في‬ ‫نعوضها‬ 2 ) [( 3 𝑦 + 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2 = 4𝑦 ⇒ 𝑦2 − 4𝑦 + 3 = 0 (𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0 Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 3 = 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 3 1 = 3. 3) ( 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 . ⇒ ( 1 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4 ⇒ ( 1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2 12 + 𝑖2 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ ( −2𝑖 2 ) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5. 4) 𝟐−𝒊 𝟏+𝒊 𝒙 + 𝟑−𝒊 𝟐+𝒊 𝒚 = 𝟏 𝒊 . ( 2 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 ) 𝑥 + ( 3 − 𝑖 2 + 𝑖 × 2 − 𝑖 2 − 𝑖 ) 𝑦 = 1 𝑖 × −𝑖 −𝑖 ⇒ ( 2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1 1 + 1 ) 𝑥 + ( 6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1 4 + 1 ) 𝑦 = −𝑖 1
  • 17. 14 ⇒ ( 1 − 3𝑖 2 ) 𝑥 + ( 5 − 5𝑖 5 ) 𝑦 = −𝑖 ⇒ ( 1 − 3𝑖 2 ) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖 ⇒ 1 2 𝑥 − 3 2 𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖 1 2 𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and − 3 2 𝑥 − 𝑦 = −1 … (2), 1 2 𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) − 3 2 𝑥 − 𝑦 = −1 … (2) − 2 2 𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬ 1 ) 1 2 (1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = − 1 2 . :‫مثال‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒙−𝒚𝒊 𝟏+𝟓𝒊 , 𝟑−𝟐𝒊 𝒊 ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ Sol/ : ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬ ( 𝑥 − 𝑦𝑖 1 + 5𝑖 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 3 − 2𝑖 𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 1 − 5𝑖 = 3 − 2𝑖 𝑖 ‫ألن‬ ( 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ̅) = 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ̅̅̅ ̅
  • 18. 15 ⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10 ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖 ⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7 :‫مثال‬ ‫قيمتي‬ ‫جد‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ 𝒚 𝟏+𝒊 = 𝒙𝟐+𝟒 𝒙+𝟐𝒊 . Sol/ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥2 + 4 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥2 − 4𝑖2 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = (𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖) 𝑥 + 2𝑖 ⇒ 𝑦 1 + 𝑖 = 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖) ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 + 2 = 4. R R I I R R I I R
  • 19. 16 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬ a) 𝑖5 b) 𝑖124 c) 𝑖−7 d) 𝑖−15 e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖) g) (2 + 3𝑖)2 + (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2 + (1 − 𝑖)2 i) 1+𝑖 1−𝑖 j) 1+2𝑖 −2+𝑖 k) 3+4𝑖 3−4𝑖 2 ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ ) a) 41 b) 29 3 ) ‫قيمتي‬ ‫جد‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ( 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐 . 4 ‫كان‬ ‫اذا‬ ) 𝟑+𝒊 𝟐−𝒊 6 𝑥+𝑦𝑖 ‫و‬ ‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬ 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
  • 20. 17  The square root of complex number ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ : ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬  ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖 .  ‫ان‬ ‫نفرض‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 .  . ‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬ =========================================== :‫مثال‬ : ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊 Sol/ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 8 … (1), and 2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 = 6 2𝑥 = 3 𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 ) 𝑥2 − ( 3 𝑥 ) 2 = 8 ⇒ [𝑥2 − 9 𝑥2 = 8] × 𝑥2
  • 21. 18 𝑥4 − 9 = 8𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 8𝑥2 − 9 = 0 ⇒ (𝑥2 − 9)(𝑥2 + 1) = 0, Either (𝑥2 − 9) = 0 ⇒ 𝑥2 = 9 ⇒ 𝑥 = ∓3 Or (𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = 3 3 = 1 or 𝑦 = 3 −3 = −1 ∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ 𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 . 2) 𝒄 = −𝟔𝒊 Sol/ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 0 … (1), and 2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 = −6 2𝑥 = −3 𝑥 … (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 𝑥2 − ( −3 𝑥 ) 2 = 0 ⇒ [𝑥2 − 9 𝑥2 = 0] × 𝑥2 ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
  • 22. 19 𝑥4 − 9 = 0 ⇒ (𝑥2 − 3)(𝑥2 + 3) = 0, either (𝑥2 − 3) = 0 ⇒ 𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥 = ∓√3 or (𝑥2 + 3) = 0 ⇒ 𝑥2 = −3 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = 3 √3 = √3 or 𝑦 = 3 −√3 = −√3 ∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ √𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊. 3) 𝟒 𝟏−√𝟑𝒊 Sol/ 4 1 − √3𝑖 × 1 + √3𝑖 1 + √3𝑖 = 4 + 4√3𝑖 12 + (√3) 2 = 4 + 4√3𝑖 4 = 1 + √3𝑖 (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 1 … (1), and 2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 = √3 2𝑥 … (2) ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
  • 23. 20 ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 :‫نحصل‬ ) 𝑥2 − ( √3 2𝑥 ) 2 = 1 ⇒ [𝑥2 − 3 4𝑥2 = 1] × 4𝑥2 4𝑥4 − 3 = 4𝑥2 ⇒ 4𝑥4 − 4𝑥2 − 3 = 0 ⇒ (2𝑥2 − 3)(2𝑥2 + 1) = 0, Either (2𝑥2 − 3) = 0 ⇒ 2𝑥2 = 3 ⇒ 𝑥 = ∓√ 3 2 Or (𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 . ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬ x ( ‫معادلة‬ ‫في‬ 2 ) 𝑦 = √3 √2 . √2(− √3 √2 ) = 1 √2 or 𝑦 = √3 √2 . √2( −√3 √2 ) = −1 √2 ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬ c : ‫هي‬ ±(√ 3 2 + 1 √2 𝑖). ‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬ x ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
  • 24. 21  Solving the equation in ℂ ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ℂ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬ 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 :‫ان‬ ‫اي‬ 𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 :‫مثال‬ ‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ℂ : 1) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎 Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −4 ± √42 − 4(1)(5) 2 ⇒ 𝑥 = −4±√16−20 2 = −4±√−4 2 = −4±2𝑖 2 = −2 ± 𝑖 ∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖} 2) 𝑧2 = −12 Sol/ 𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖 ∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬.
  • 25. 22 3) 𝒛𝟐 − 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = 3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖) 2 = 3 ± √9 − 12 − 4𝑖 2 = 3 ± √−3 − 4𝑖 2 ‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬ −𝟑 − 𝟒𝒊 . ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = −3 … (1) ⇒ 𝑦 = −4 2𝑥 = −2 𝑥 … . . (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 : ) 𝑥2 − ( −2 𝑥 ) 2 = −3 ⇒ [𝑥2 − 4 𝑥2 = −3] × 𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 4 = −3𝑥2 ⇒ 𝑥4 + 3𝑥2 − 4 = 0 ⇒ (𝑥2 + 4)(𝑥2 − 1) = 0 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 2 ) 𝑦 = −2 ±1 = ±2
  • 26. 23 ‫االن‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫جذر‬ −𝟑 − 𝟒𝒊 √−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖) : ‫ان‬ ‫اي‬ 𝑧 = 3 ± (1 − 2𝑖) 2 Neither 𝑧 = 3 2 − 1+2𝑖 2 = 1 + 𝑖 or 𝑧 = 3 2 + 1−2𝑖 2 = 2 − 𝑖. . ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬ 4 ) 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎 Sol 𝑧2 + 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2 + 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1) 2 = −2 ± √4 − 8𝑖 − 4 2 = −2 ± √−8𝑖 2 ‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬ −𝟖𝒊 . ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬ (𝑥 + 𝑦𝑖)2 = −8𝑖 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2 = −8𝑖 ⇒ 𝑥2 − 𝑦2 = 0 … (1)
  • 27. 24 ⇒ 𝑦 = −8 2𝑥 = −4 𝑥 … . . (2) ( ‫من‬ 1 ( ‫و‬ ) 2 : ) 𝑥2 − ( −4 𝑥 ) 2 = 0 ⇒ [𝑥2 − 16 𝑥2 = 0] × 𝑥2 ⇒ 𝑥4 − 16 = 0 ⇒ (𝑥2 − 4)(𝑥2 + 4) = 0 ∴ 𝑥2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬ 2 ) 𝑦 = −4 ±2 = ±2 ‫االن‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫جذر‬ −8𝑖 √−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖) 𝑧 = −2 ± (2 − 2𝑖) 2 Neither 𝑧 = −2 2 − 2+2𝑖 2 = −2 + 𝑖 or 𝑧 = −2 2 + 2−2𝑖 2 = 0 − 𝑖. . ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
  • 28. 25 : ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬  . ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬  ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬ (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐) .  ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬ (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) .  ‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ 𝒙𝟐 − (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎  . ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ========================================================== :‫مثال‬ : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬  ±(2 + 2𝑖) 𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0 𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − −8𝑖 = 0  𝑀 = 3−𝑖 1+𝑖 , 𝐿 = (3 − 2𝑖)2 𝑀 = 3 − 𝑖 1 + 𝑖 = 3 − 𝑖 1 + 𝑖 × 1 − 𝑖 1 − 𝑖 = 3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1 1 + 1 = 2 − 4𝑖 2 = 1 − 2𝑖 𝐿 = (3 − 2𝑖)2 = 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖 𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖
  • 29. 26 𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0 :‫مثال‬ : ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ 1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊. Sol/ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ B=(3+4i) 𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6 𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 6𝑥 + 25 = 0 2 ) 𝑨 = √𝟐+𝟑𝒊 𝟒 Sol/ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ √𝟐−𝟑𝒊 𝟒 = 𝐵
  • 30. 27 𝐴 + 𝐵 = ( √2 4 + 3 4 𝑖) + ( √2 4 − 3 4 𝑖) = ( √2 4 + √2 4 ) + ( 3 4 𝑖 − 3 4 𝑖) = √2 2 + 0𝑖 = 1 √2 𝐴 × 𝐵 = ( √2 4 + 3 4 𝑖) ( √2 4 − 3 4 𝑖) = 2 16 − 3√2 16 𝑖 + 3√2 16 𝑖 + 9 16 = 11 16 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 1 √2 𝑥 + 11 16 = 0 :‫تمرين‬ ‫ا‬ ‫كان‬ ‫ذا‬ 𝟑 + 𝒊 ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ 𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎 ‫قيمة‬ ‫فما‬ a ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ Sol/ = ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ L : ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬ 𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 = 5 + 5𝑖 3 + 𝑖 ⇒ 𝐿 = 5 + 5𝑖 3 + 𝑖 × 3 − 𝑖 3 − 𝑖 ⇒ 𝐿 = 15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5 9 + 1 = 20 + 10𝑖 10 = 2 + 𝑖 : ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬ ⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀 ⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖
  • 31. 28 ⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖  The cube roots number of integer one ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫ليكن‬ z :‫فان‬ ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫احد‬ 𝑧3 = 1 ⇒ 𝑧3 − 1 = 0 ⇒ (𝑧 − 1)(𝑧2 + 𝑧 + 1) = 0 Neither 𝑧 = 1 or 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0, ‫بالدستور‬ ‫حلها‬ ‫يمكن‬ ‫المعادلة‬ ‫وهذه‬ 𝒛 = −𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 : 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −1 ± √12 − 4(1)(1) 2(1) = −1 ± √3𝑖 2 = −1 2 ± √3 2 𝑖 : ‫هي‬ ‫الصحيح‬ ‫الواحد‬ ‫جذور‬ ‫فان‬ ‫لذا‬ 1, 𝜔 ≔ −1 2 + √3 2 𝑖, 𝜔2 ≔ −1 2 − √3 2 𝑖. = ‫الجذور‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ 0 1 + ( −1 2 + √3 2 𝑖) + ( −1 2 − √3 2 𝑖) = 0
  • 32. 29 : ‫ان‬ ‫أي‬ 𝟏 + 𝝎 + 𝝎𝟐 = 𝟎 : ‫ومنها‬  𝟏 + 𝝎 = − 𝝎𝟐  𝟏 + 𝝎𝟐 = −𝝎  𝝎 + 𝝎𝟐 = −𝟏  𝟏 = − 𝝎 − 𝝎𝟐  𝝎𝟐 = −𝟏 − 𝝎  𝝎 = −𝟏 − 𝝎𝟐 = ‫الجذور‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ 1 : ‫أن‬ ‫أي‬ , 𝝎 . 𝝎𝟐 = 𝟏 ⇒ 𝝎𝟑 = 𝟏 : ‫ومنها‬ 𝝎 = 𝟏 𝝎𝟐 , 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎 , 𝝎𝟒 = 𝝎𝟑 . 𝝎 = 𝟏. 𝝎 = 𝝎, 𝝎𝟔 = 𝝎𝟑 . 𝝎𝟑 = 𝟏. 𝟏 = 𝟏, 𝝎−𝟓 = 𝟏 𝝎𝟓 = 𝟏 𝝎𝟑. 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎, 𝝎−𝟓 = 𝟏 𝝎𝟓 = 𝟏 𝝎𝟑. 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎, 𝝎−𝟖 = 𝟏 𝝎𝟖 = 𝟏 𝝎𝟔. 𝝎𝟐 = 𝟏 𝝎𝟐 = 𝝎.
  • 33. 30 :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ 𝜔33 , 𝜔25 , 𝜔−58 , 𝜔−325 . Sol/ 𝜔33 = (𝜔3 )10 . 𝜔3 = (1)10 . 1 = 1 𝜔25 = (𝜔3 )8 . 𝜔 = 𝜔 𝜔−58 = 1 𝜔58 = 1 (𝜔3)19. 𝜔 = 1 𝜔 = 𝜔2 𝜔−325 = 1 𝜔325 = 1 (𝜔3)108.𝜔 = 1 𝜔 = 𝜔2 . ========================================================= :‫مثال‬ : ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫ضع‬ 1) 𝟏 (𝟏+ 𝝎−𝟑𝟐)𝟏𝟐 1 (1 + 𝜔−32)12 = 1 (1 + ( 𝜔3)−11. 𝜔)12 = 1 (−𝜔2)12 = 1 (−𝜔2)12 = − 1 (𝜔3)8 = −1 2) (𝟏 + 𝝎𝟐 )−𝟒 (1 + 𝜔2 )−4 = (−𝜔)−4 = 1 (−𝜔)4 = 1 𝜔3.𝜔 = 𝜔2 .  ‫فمثال‬ ‫االس‬ ‫بتجزئة‬ ‫نقوم‬ 33=3(10)+3 .  ‫نرفع‬ 𝝎 ‫لالس‬ 3 ‫يوزع‬ ‫والباقي‬ .
  • 34. 31 3) 𝜔9𝑛+5 = (𝜔3)3𝑛 . 𝜔5 = (1)3𝑛 . 𝜔3 . 𝜔2 = 𝜔2 4) (𝟑𝝎𝟗𝒏 + 𝟓 𝝎𝟓 + 𝟒 𝝎𝟒) 𝟔 (3𝜔9𝑛 + 5 𝜔3 + 4 𝜔4 ) 6 = (3𝜔9𝑛 + 5𝜔4 + 4𝜔5 𝜔5𝜔4 ) 6 = (3(𝜔3 )3𝑛 + 5𝜔4 + 4𝜔5 (𝜔3)3 ) 6 = (3 + 5𝜔3 . 𝜔 + 4𝜔3 . 𝜔2)6 = (3(−𝜔 − 𝜔2) + 5𝜔 + 4 𝜔2)6 = (−3𝜔 − 3𝜔2 + 5𝜔 + 4 𝜔2)6 = (2𝜔 − 3𝜔2 + 5𝜔 + 4 𝜔2)6 ================================================= :‫مثال‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ a) (𝟓 + 𝟑𝝎 + 𝟑𝝎𝟐)𝟐 = −𝟒(𝟐 + 𝝎 + 𝟐𝝎𝟐)𝟑 = 𝟒 Sol/ L.H.S: (5 + 3𝜔 + 3𝜔2)2 = (5 + 3(𝜔 + 𝜔2 ))2 = (5 + 3(−1))2 = 22 = 4 R.H.S: −4(2 + 𝜔 + 2𝜔2)3 = −4(2(1 + 𝜔2) + 𝜔)3 = −4(2(−𝜔) + 𝜔)3 = −4(−2𝜔 + 𝜔)3 = −4(−𝜔)3 = −4 . −1(𝜔)3 = 4 b) ( 𝟏 𝟐+𝝎 − 𝟏 𝟐+𝝎𝟐) 𝟐 = − 𝟏 𝟑 L.H.S: ( 1 2+𝜔 − 1 2+𝜔2) 2 = ( (2+𝜔2)−(2+𝜔) (2+𝜔2)(2+𝜔) ) 2 = ( 2−2+𝜔2−𝜔 4+2𝜔+2𝜔2+𝜔3) 2
  • 35. 32 = ( 𝜔2−𝜔 4+2(𝜔+𝜔2)+1 ) 2 = ( − 1 2 − √3 2 𝑖+ 1 2 − √3 2 𝑖 4−2+1 ) 2 = ( −2√3 2 𝑖 3 ) 2 = ( −√3𝑖 3 ) 2 = −3 9 = − 1 3 c) 𝜔14+𝜔7−1 𝜔10+𝜔5−2 = 2 3 L.H.S: 𝜔14+𝜔7−1 𝜔10+𝜔5−2 = (𝜔3)4. 𝜔2+(𝜔3)2. 𝜔−1 (𝜔3)3. 𝜔+ 𝜔3. 𝜔2−2 = 𝜔2+ 𝜔−1 𝜔+ 𝜔2−2 = −1−1 −1−2 = −2 −3 = 2 3 = L.H.S d) (𝟏 + 𝝎𝟐 )𝟑 + (𝟏 + 𝝎)𝟑 = −𝟐 L.H.S: (−𝜔)3 + (−𝜔2 )3 = −𝜔3 −𝜔6 = −1 − (𝜔3 )2 = −1 − 1 = −2 = R.H.S ======================================================== : ‫مثال‬ : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ .‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫القياسية‬ ‫الصيغة‬ ‫نطبق‬ ‫ثم‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬ ** 1) 𝑨 = 𝟏 − 𝒊𝝎𝟐 , 𝑩 = 𝟏 − 𝒊𝝎 𝐴 + 𝐵 = (1 − 𝑖𝜔2) + (1 − 𝑖𝜔) = 2 − (𝜔 + 𝜔2)𝑖 = 2 + 𝑖 𝐴 . 𝐵 = (1 − 𝑖𝜔2)(1 − 𝑖𝜔) = 1 − 𝑖𝜔 −𝑖𝜔2 + 𝜔3 𝑖2 = 1 − 𝑖𝜔 −𝑖𝜔2 − 1 = −(𝜔 + 𝜔2)𝑖 = 𝑖 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − (2 + 𝑖)𝑥 + 𝑖 = 0
  • 36. 33 2) 𝑨 = 𝟐 𝟏−𝝎 , 𝑩 = 𝟐 𝟏−𝝎𝟐 𝐴 + 𝐵 = 2 1 − 𝜔 + 2 1 − 𝜔2 = 2(1 − 𝜔2) + 2(1 − 𝜔) 1 − 𝜔2 − 𝜔 + 𝜔3 = 2−2𝜔2 + 2 − 2𝜔 1 − 𝜔2 − 𝜔 + 1 = 4−2(𝜔2 + 𝜔) 2 − (𝜔2 + 𝜔) = 6 2 − (−1) = 6 3 = 2 𝐴 . 𝐵 = ( 2 1 − 𝜔 ) ( 2 1 − 𝜔2 ) = 4 1 − 𝜔2 − 𝜔 + 𝜔3 = 4 3 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 − 2𝑥 + 4 3 = 0 3) 𝑨 = 𝝎 𝟐−𝝎𝟐 , 𝑩 = 𝝎𝟐 𝟐−𝝎 𝐴 + 𝐵 = 𝜔 2 − 𝜔2 + 𝜔2 2 − 𝜔 = 𝜔(2 − 𝜔) + 𝜔2 (2 − 𝜔) (2 − 𝜔2)(2 − 𝜔) = 2𝜔 − 𝜔2 + 2𝜔2 − 𝜔4 4 − 2𝜔 − 2𝜔2 + 𝜔3 = 𝜔2 + 2𝜔 − 𝜔3 . 𝜔 5 − 2(𝜔2 + 𝜔) = 𝜔2 + 2𝜔 − 𝜔 5 − 2(−1) = 𝜔2 + 𝜔 7 = − 1 7 𝐴 . 𝐵 = ( 𝜔 2 − 𝜔2 ) ( 𝜔2 2 − 𝜔 ) = 𝜔3 5 − 2(𝜔2 + 𝜔) = 1 7 : ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬ 𝑥2 + 1 7 𝑥 + 1 7 = 0
  • 37. 34 ‫تمرين‬ ‫ليكن‬ : 𝒛𝟐 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 ‫قيمة‬ ‫فجد‬ 𝟏+𝟑𝒛𝟏𝟎+𝟑𝒛𝟏𝟏 𝟏−𝟑𝒛𝟕−𝟑𝒛𝟖 . Sol/ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫اوال‬ z ‫بالدستور‬ . 𝑎 = 1, b = 1 , c = 1, 𝑧 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −1 ± √12 − 4(1)(1) 2(1) = −1 ± √−3 2 = −1 ± √3𝑖 2 ∴ 𝑧 = −1+√3𝑖 2 = 𝜔 or 𝑧 = −1−√3𝑖 2 = 𝜔2 . ‫لتكن‬ 𝒛 = 𝝎 ‫فان‬ 1+3𝑧10+3𝑧11 1−3𝑧7−3𝑧8 = 1+3𝜔10+3𝜔11 1−3𝜔7−3𝜔8 = 1+3(𝜔3)3 . 𝜔 +3(𝜔3)3 . 𝜔2 1−3(𝜔3)2 . 𝜔−3(𝜔3)2 . 𝜔2 = 1+3 𝜔 +3 𝜔2 1−3𝜔−3𝜔2 = 1+3 (𝜔 +𝜔2) 1−3(𝜔+𝜔2) = −2 4 = − 1 2 ‫لتكن‬ 𝒛 = 𝝎𝟐 ‫فان‬ 1 + 3z10 + 3z11 1 − 3z7 − 3z8 = 1 + 3(ω2 )10 + 3(ω2 )11 1 − 3(ω2)7 − 3(ω2)8 = 1+3(ω3 ) 6 . ω2 +3(ω3 ) 7 . ω 1−3(ω3 ) 4 . ω2−3(ω3 ) 5 . ω = 1+3 (ω2+ω ) 1−3(ω2+ω) = −2 4 = − 1 2 .
  • 38. 35  Geometric Representation of Complex Numbers ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ z ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬ (𝒙, 𝒚) ‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ 𝒛(𝒙, 𝒚) . :‫مثال‬ : ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬ 1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖) (3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖) = (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖 2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖) (6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖) = (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖) = 4 + 3𝑖 Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊) Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)
  • 39. 36 ‫تمرين‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ : . ‫ارجاند‬ . a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3) −𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3) b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖 𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3) −𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3) ‫تمرين‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ : . ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖 𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3) 𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3) Figure 3: the geometric Representation for example a Figure 4: the geometric Representation for example b Figure 5: the geometric Representation for example a
  • 40. 37 b ) 𝑧 = −2𝑖 𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2) 𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2) :‫تمرين‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊 ‫و‬ 𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊 :‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬ a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6) b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4) c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4) d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0) Figure 6: the geometric Representation for example b (a) (b) (c) (d) Figure 6: the geometric Representation for example
  • 41. 38 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ 𝜔14 , 𝜔64 , 𝜔−6 , 𝜔−8 2 ) ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالي‬ ‫المقدار‬ ‫ضع‬ : 𝜔12𝑛+5 3 ) : ‫أن‬ ‫أثبت‬ a) 𝜔7 + 𝜔5 + 1 = 0 b) (1 − 2 𝜔2 + 𝜔2 ) (1 + 𝜔 − 5 𝜔 ) = 18 4 ) : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬ a) 𝐴 = 1 + 𝜔2 , 𝐵 = 1 + 𝜔 𝒃) 3𝑖 𝜔2 , −3𝜔2 𝑖 5 ) ‫النظير‬ ‫اكتب‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ . ‫ارجاند‬ a) 𝑧 = 𝑖 b) 𝑧 = 3 − 2𝑖 6 ) . ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ a) 𝑧1 = −3 + 2𝑖 b ) 𝑧2 = 1 − 𝑖 7 ) ‫كان‬ ‫اذا‬ 𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊 :‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬ a) 𝑧 b) 𝑧̅ c) – 𝑧
  • 42. 39  Polar form of complex number ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬  ‫ليكن‬ z ‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ 𝒑(𝒙, 𝒚) ‫فان‬ (𝒓, 𝜽) ‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬ p ‫حيث‬ O ‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬ 𝑶𝑿 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ . ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬  ‫ليكن‬ r ‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ r ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬ z : ‫حيث‬ 𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐  ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛) 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒙 𝒓 = 𝒙 ‖𝒛‖ ⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒚 𝒓 = 𝒚 ‖𝒛‖ ⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽  ‫كانت‬ ‫اذا‬ 𝜽 ‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬ 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ ‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ . ‫المركب‬  ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬ 𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅) ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ . ‫المركب‬ Figure 8: Polar form of complex number
  • 43. 40 ‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬ :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬. ∴ arg(𝑧) = 𝜋 3 . :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = −𝟏 − 𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫الثالث‬ ∴ arg(𝑧) = 𝜋 + 𝜋 4 = 5𝜋 4 .
  • 44. 41 :‫مثال‬ ‫ليكن‬ 𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊 ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ 𝒛 . 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −√3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫الثالث‬ . ∴ arg(𝑧) = 𝜋 + 𝜋 3 = 4𝜋 3 . : ‫مالحظة‬ 1 ) ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ 𝒛 = 𝟎 . ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬ 2 ) ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ z : ‫هي‬ 𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽) ========================================================= :‫مثال‬ : ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ a) 𝑧 = −2 + 2𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ . ∴ arg(𝑧) = 𝜋 − 𝜋 4 = 3𝜋 4 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos 3𝜋 4 + 𝑖 sin 3𝜋 4 )
  • 45. 42 b) 7i 7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos 𝜋 2 + 𝑖sin 𝜋 2 )  De Moivre’s Theorem ‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫ليكن‬ 𝒛𝟏 ‫و‬ 𝒛𝟐 ‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ 𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑 , ‫فان‬ 𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑) = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽) = 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑)) ‫كانت‬ ‫واذا‬ 𝜽 = 𝝑 ‫فان‬ (𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) ‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏 = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ ========================================================== :‫مثال‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (cos 3𝜋 8 + 𝑖sin 3𝜋 8 )4 ‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬ (cos 3𝜋 8 + 𝑖sin 3𝜋 8 )4 = cos 4 3𝜋 8 + 𝑖sin 4 3𝜋 8 = cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 = 0 + 𝑖(−1) = −𝑖
  • 46. 43 b) (𝐜𝐨𝐬 𝟓𝝅 𝟐𝟒 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝟓𝝅 𝟐𝟒 )𝟒 (cos 5𝜋 24 + 𝑖sin 5𝜋 24 )4 = cos 4 5𝜋 24 + 𝑖sin 4 5𝜋 24 = cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 = − √3 2 + 𝑖 ( 1 2 ) ========================================================== c) (𝐜𝐨𝐬 𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖 (𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒 cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛 ‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬ (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4 = (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃) = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4 = cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃 ========================================================== d) (1 + 𝑖)11 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫االول‬ . ∴ 𝜃 = 𝜋 4 .  ‫هنا‬ θ = 5 (30) = 150 ‫إذن‬ ، θ ‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ cos θ ‫و‬ ‫سالبة‬ sin ‫موجبة‬ .
  • 47. 44 𝑧11 = 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11 = (√2) 11 (cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 )11 = (√2 2 ) 5 . √2 (cos 𝜋 4 + 𝑖 sin 𝜋 4 )11 = 32√2 (cos 11 𝜋 4 + 𝑖 sin 11 𝜋 4 ) = 32√2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −32 − 32𝑖. ========================================================== c) (1 − 𝑖)7 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = 1 √2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = −1 √2 ⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬ ‫سالبة‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫الرابع‬ .. ∴ arg(𝑧) = 2𝜋 − 𝜋 4 = 7𝜋 4 . 𝑧7 = 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7 = (√2) 7 (cos 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7𝜋 4 )7 = (√2 2 ) 3 . √2 (cos 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7𝜋 4 )7 = 8√2 (cos 7 7𝜋 4 + 𝑖 sin 7 7𝜋 4 ) = 8√2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = 8 + 8𝑖.
  • 48. 45 ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫لكل‬ 𝒏 ∈ ℤ+ , 𝜽 ∈ ℝ ‫فان‬ , √𝒛 𝒏 = 𝒓 𝟏 𝒏 [𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝟐𝝅𝒌 𝒏 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝟐𝝅𝒌 𝒏 ], 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏.  ‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬ . ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬ ‫تمرين‬ 4 : ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ (−𝟏 + √𝟑𝒊) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = −1 2 ⇒ cos 𝜃 ‫لها‬ ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬. ∴ arg(𝑧) = 𝜋 − 𝜋 3 = 2𝜋 3 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos 2𝜋 3 + 𝑖 sin 2𝜋 3 ) 𝑧 1 2 = 𝑟 1 2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) 1 2 𝑧 1 2 = (2) 1 2 (cos 2𝜋 3 + 2𝜋𝑘 2 + 𝑖sin 2𝜋 3 + 2𝜋𝑘 2 ) = √2 (cos 2𝜋 + 6𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 2𝜋 + 6𝜋𝑘 6 )  ‫هنا‬ n=3 ‫اذا‬ k ‫قيمتين‬ ‫لها‬ 𝒌 = 𝟎, 𝟏 .
  • 49. 46 For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos 2𝜋 6 + 𝑖sin 2𝜋 6 ) = √2 (cos 𝜋 3 + 𝑖sin 𝜋 3 ) = √2 ( 1 2 + √3 2 𝑖) = 1 √2 + √3 √2 𝑖 If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos 2𝜋+6𝜋 6 + 𝑖sin 2𝜋+6𝜋 6 ) = √2 (cos 4𝜋 3 + 𝑖sin 4𝜋 3 ) = √2 ( −1 2 − √3 2 𝑖) = −1 √2 − √3 √2 𝑖 ===================================================== ‫تمرين‬ 6 : ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫التربيعية‬ ‫االربعة‬ ‫للعدد‬ (−𝟏𝟔) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 𝑧 1 4 = (16) 1 4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 1 4 = 2 (cos 𝜋+2𝜋𝑘 4 + 𝑖sin 𝜋+6𝜋𝑘 4 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos 𝜋 4 + 𝑖sin 𝜋 4 ) = 2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = √2 + √2𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 3𝜋 4 + 𝑖sin 3𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −√2 + √2𝑖 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos 5𝜋 4 + 𝑖sin 5𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 − 1 √2 𝑖) = −√2 − √2𝑖 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 7𝜋 4 + 𝑖sin 7𝜋 4 ) = 2 ( 1 √2 − 1 √2 𝑖) = √2 − √2𝑖
  • 50. 47 ‫تمرين‬ 7 : ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫الستة‬ ‫للعدد‬ (−𝟔𝟒𝒊) . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ Sol/ 𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 ) 𝑧 1 6 = (64) 1 6 (cos 3𝜋 2 + 𝑖sin 3𝜋 2 ) 1 6 = 2 (cos 3𝜋 2 +2𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 3𝜋 2 +6𝜋𝑘 6 ) = 2 (cos 3𝜋 + 4𝜋𝑘 12 + 𝑖sin 3𝜋 + 4𝜋𝑘 12 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos 3𝜋 12 + 𝑖sin 3𝜋 12 ) = 2 ( 1 √2 + 1 √2 𝑖) = √2 + √2𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos 7𝜋 12 + 𝑖sin 7𝜋 12 ) = 2 (− 1 √2 + 1 √2 𝑖) = −√2 + √2𝑖 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos 11𝜋 12 + 𝑖sin 11𝜋 12 ) 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos 15𝜋 12 + 𝑖sin 15𝜋 12 ) = 2 (cos 5𝜋 4 + 𝑖sin 5𝜋 4 ) = 2 (− 1 √2 − 1 √2 𝑖) = −√2 − √2𝑖 𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos 19𝜋 12 + 𝑖sin 19𝜋 12 ) 𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos 25𝜋 12 + 𝑖sin 25𝜋 12 )
  • 51. 48 :‫مثال‬ ‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ (√𝟑 + 𝒊)𝟐 . ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ Sol/ 𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2 cos 𝜃 = 𝑥 ‖𝑧‖ = √3 2 ⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬ sin 𝜃 = 𝑦 ‖𝑧‖ = 1 2 ⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬. ∴ 𝜃 = 𝜋 6 . 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos 𝜋 6 + 𝑖 sin 𝜋 6 ) 𝑧2 = 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2 = 22 (cos 2𝜋 6 + 𝑖 sin 2𝜋 6 ) = 4 (cos 𝜋 3 + 𝑖 sin 𝜋 3 ) 𝑧 2 5 = 𝑟 2 5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) 2 5 = (2) 2 5 (cos 5. 𝜋 3 +2𝜋𝑘 2 + 𝑖sin 5. 𝜋 3 +2𝜋𝑘 2 ) = √4 5 (cos 5𝜋 + 30𝜋𝑘 6 + 𝑖sin 5𝜋 + 30𝜋𝑘 6 ) 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4 5 (cos 5𝜋 6 + 𝑖sin 5𝜋 6 ) = √4 5 (− √3 2 + 1 2 ) 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4 5 (cos 35𝜋 6 + 𝑖sin 35𝜋 6 ) 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4 5 (cos 65𝜋 6 + 𝑖sin 65𝜋 6 ) 𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4 5 (cos 95𝜋 6 + 𝑖sin 95𝜋 6 )
  • 52. 49 𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4 5 (cos 155𝜋 6 + 𝑖sin 155𝜋 6 ) =========================================================== :‫مثال‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ 𝑥3 + 1 = 0 ‫حيث‬ 𝑥 ∈ ℂ . Sol/ 𝑥3 + 1 = 0 ⇒ 𝑥3 = −1 ⇒ 𝑥3 = −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋 ⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋) 1 3 = cos 𝜋+2𝜋𝑘 3 + 𝑖sin 𝜋+2𝜋𝑘 3 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos 𝜋 3 + 𝑖sin 𝜋 3 = 1 2 + √3 2 𝑖 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos 3𝜋 3 + 𝑖sin 3𝜋 3 = −1 + 0 𝑖 = −1 𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos 5𝜋 3 + 𝑖sin 5𝜋 3 = 1 2 − √3 2 𝑖 ∴ 𝑆 = { 1 2 + √3 2 𝑖 , −1 , 1 2 − √3 2 𝑖}.
  • 53. 50 ‫اضافية‬ ‫تمارين‬ 1 ) : ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬ a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖 2 ) : ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬ a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1 3 ) : ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (cos 7𝜋 12 + 𝑖 sin 7𝜋 12 ) −3 b) (cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5 (cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3 4 ) ( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ 27𝑖 . ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )