Chuyên đề Toán 9: Căn bậc hai - Căn thức bậc hai

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 1. CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc hai số học
 Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà 2
x a
 .
 Với 0
a 
 
2
2
0
x
x a
x a a



  
 


Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương.
Với hai số a, b không âm, thì ta có: a b a b
   .
2. Căn thức bậc hai
 Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là
biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 0
A  xác định (hay có nghĩa) khi 0
A  .
 Hằng đẳng thức 2
A A
 .
3. Chú ý
 Với 0
a  thì:
2
x a x a
  
2
x a x a
    .

 
0 0
A hay B
A B
A B
 


  



 0 0
A B A B
     .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính.
a) 10 và 3; b) 3 2 và 17 ;
c) 35 15 1
  và 123 ; d) 2 2
 và 2.
Giải
Tìm cách giải. Khi so sánh hai số a và b không dùng số máy tính, ta có thể:
 So sánh a và b

 So sánh  
2
a và  
2
b
 Sử dụng kĩ thuật làm trội.
Trình bày lời giải
a) Ta có 10 9 10 9
   nên 10 3
 .
b) Xét      
2 2 2
2
3 2 3 . 2 18; 17 17
  
vì 18 17
 nên    
2 2
3 2 17 3 2 17
  
c) 35 15 1 36 16 1 6 4 1 11
         ,
123 121 11
  suy ra 35 15 1 123
   .
d) Ta có 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2
         .
Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:
a) 8 2x
 ;
b) 1 11
x x
   ;
c) 2
3
9
x
x
x
 

.
Giải
Tìm cách giải. Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:
 A có nghĩa khi 0
A 

A
M
có nghĩa khi 0
M 
a) 8 2x
 có nghĩa khi 8 2 0 4
x x
     .
b) 1 11
x x
   có nghĩa khi 1 0
x  và 11 0 1 11
x x
     .
c) 2
3
9
x
x
x
 

có nghĩa khi 3 0
x  và 2
9 0 3; 3
x x x
      .
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:
a) 6 2 5 6 2 5
A     ;
b) 2
1 2 1
B a a a
     với 1
a 
Giải
Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng:

 
2
2 1 1
a a a
    và lưu ý:
A B A B
A B
B A A B
 

  
 

neá
u
neá
u
a) Ta có 6 2 5 6 2 5
A    
5 2 5 1 5 2 5 1
A      
   
2 2
5 1 5 1
A    
   
5 1 5 1 2
A      .
b) 2
1 2 1
B a a a
     với 1
a 
 
2
1 1
B a a
   
 
1 1 1 1 2
B a a a a a
         .
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a) 2
3 2 8 33
A x x
    ;
b) 2
8 18 1
B x x
    ;
c) 2 2 2
2 2 2 10 2 8 2020
C x y xy x y y y
         .
Giải
a) Ta có:  
2
2
3 2 8 33 3 2 2 25 3 25 8
A x x x
           .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi 2
x  .
b) Ta có:  
2
2
8 18 1 4 2 1 2 1
B x x x
         
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2 1
 khi 4
x  .
c) Ta có: 2 2 2
2 2 2 10 2 8 2020
C x y xy x y y y
        
   
2 2
1 9 2 2 2012
C x y y
       
9 2012 2015
C
    .
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.
Khi
1 0 1
2 0 2
x y x
y y
   
 

 
  
 
.
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 2 2
12 36 16 64
A x x x x
      ;

b)      
2 2 2
2 9 1945
B x x x
      .
Giải
Tìm cách giải. Thoáng nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:
 A B B A
   và 0
A 
 A B A B
   . Dấu bằng xảy ra khi . 0
AB  .
a) Ta có:
   
2 2
2 2
12 36 16 64 6 8
A x x x x x x
         
6 8 6 8 6 8 2
A x x x x x x
            
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi   
6 8 0
x x
   hay 6 8
x
  .
b) Ta có:
     
2 2 2
2 9 1945
B x x x
     
2 9 1945
B x x x
     
2 1945 9 2 1945 0 1943
B x x x x x
            .
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi   
2 1945 0
x x
   và 9 0
x   tức là 9
x  .
Ví dụ 6: Cho , ,
a b c là các số hữu tỉ thỏa mãn 2020
ab bc ca
   . Chứng minh rằng biểu thức
  
2 2
2
2020 2020
2020
a b
A
c
 


là một số hữu tỉ.
Giải
 Ta có: 2 2
2020
a a ab bc ca
    
    
2
2020 1
a a b a c
    
 Tương tự, ta có:     
2
2020 2
b b a b c
   
    
2
2020 3
c c a c b
   
Từ (1) ,(2), (3) suy ra
    
  
 
2
a b a c b c b a
A a b a b
c a c b
   
    
 
A a b
   .
Vì a, b là các số hữu tỉ nên a b
 cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ.

Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là
một số hữu tỉ.
Ví dụ 7: Cho , ,
a b c là các số thực thỏa mãn 2 2
2
a b
 
Chứng minh rằng:  
4 2 4 2
8 8 6 1
a b b a
   
Giải
Tìm cách giải. Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết. Định hướng chung khi nghĩ tới là chúng
ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình phương. Với suy nghĩ ấy, cũng
như khai thác phần giả thiết. Chúng ta có hai hướng suy luận:
Hướng thứ nhất. Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc.
Hướng thứ hai. Từ giả thiết suy ra: 2 2 2 2
2 ; 2
b a a b
    , dùng phương pháp thế, để mỗi căn thức
chỉ còn một biến.
Cách 1. Thay 2 2
2
a b
  vào (1) ta có:
Vế trái:    
4 2 2 2 4 2 2 2
4 4
a b a b b a a b
    
4 2 2 2 4 2 2 4
4 4 4 4
a a b b b a b a
     
   
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a b b a a b b a
       
 
2 2
3 3.2 6
a b
    .
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2. Từ giả thiết suy ra: 2 2 2 2
2 ; 2
b a a b
    thay vào (1) ta được:
       
2 2
4 2 4 2 2 2
8 2 8 2 4 4
a a b b a b
        
2 2
4 4
a b
    (do 2 2
4; 4
a b
  )
2 2
4 4 6
a b
     . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 8: Tính tổng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
8.1 1 8.2 1 8.1003 1
1 1 ... 1
1 .3 3 .5 2005 .2007
S
  
      
(Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007)
Giải
Ta có
       
2 2 4 2 2
2 2 2 2
2 2
8 1 8 1 16 8 1 8 1
1 1
2 1 2 1 4 1 4 1
n n n n n
n n n n
     
   
   

  
2
2 2
2
4 4 1 1 1
1
4 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
n n
n n n n n
   
    
   
    
 
 
với 1
n  .
Suy ra
   
 
2
2 2
8 1 1 1 1
1 1 *
2 2 1 2 1
2 1 2 1
n
n n
n n
  
   
 
 
 
 
Thay n lần lượt từ 1 đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
2 1 3 2 3 5 2 2005 2007
S
     
         
     
     
1 1 1003
1003 1 1003
2 2007 2007
S
 
   
 
 
.
C. Bài tập vận dụng
1.1. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) 2
5
A x
  ; b)
2
1
5 6
B
x x

 
;
c)
1
2 1
C
x x


; d)
2
1
1 3
D
x

 
;
e)
2
2
E x x
x
    .
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Điều kiện để A có nghĩa là 2
5 0 5
x x
    .
b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là
  
2
5 6 0 6 1 0 6
x x x x x
         và 1
x  cùng dấu
Trường hợp 1.
6 0 6
1
1 0 1
x x
x
x x
   
 
  
 
  
 
Trường hợp 2.
6 0 6
6
1 0 1
x x
x
x x
   
 
   
 
  
 
Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là 1; 6
x x
   .
c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:
 
2
2
1
1 1
2 1 0
2
2 2
2 1 0 1
2 1 1 0
x
x x x
x x x
x x x

 

 
  
   
  
   
  

    
    
 
Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:
1
/ ; 1
2
S x x x
 
  
 
 
.
d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:

2 2
2
2
3 0 3 3
3 1 2
1 3 0
x x x
x x
x
   
  
  
 
  
   

   
  

Vậy với
3
2
x
x
 


 


thì biểu thức D có nghĩa.
e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là:
2
2 2
0
0 0
0
2 0 0
x
x
x
x x
x
x x
 


  

 
 
  


 
  
 
vậy không tồn tại x để biểu thức E có nghĩa.
1.2. a) Cho , ,
x y z khác 0 thỏa mãn 0
x y z
   .
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
     .
b) Tính giá trị biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 3 3 4 4 5 199 200
A              .
a) Xét:
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
x y z x y z xy yz zx
   
       
   
   
.
Mà
1 1 1
0
z x y
xy yz zx xyz
 
   
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z x y z x y z
 
           
 
 
.
b) Áp dụng câu a, ta có:  
1 1 0
K K
    
nên:
   
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1
1 1
K K K K
K K
       
 
  
Suy ra:
 
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
K K K
K
    


.
Thay k lần lượt 2,3,…, 199, ta được:
1 1 1 1 1 1 1 1 99
1 1 ... 1 198 198
2 3 3 4 199 200 2 200 200
A               .
1.3. Tìm số nguyên dương k thỏa mãn
 
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2009 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 2009
1
k k

         


(thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008)
Áp dụng công thức
 
2
2
1 1 1 1
1 1
1
1
n n n
n
    


ta có:
2
1 1 1 1 1 1 2009 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 1 2009
k k

         

 
2
2 2
1 1
1 2009 1 2009 1
1
1 2009 1 2009
k
k
k k
 
 
     
 
2008
k
  .
1.4. Tìm các số , ,
x y z thỏa mãn đẳng thức:
     
2 2 2
2 2 0
x y y x y z
      
Ta có:      
2 2
2 2 0 *
x y y x y z
      
Mà    
2 2
2 0; 2 0; 0
x y y x y z
       ;
Nên đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi
2 0 1
2 0 2
0 3
x y x
y y
x y z z
  
 
 
   
 
 
    
 
.
1.5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
25 20 4 25 30 9
P x x x x
     
Ta có:    
2 2
5 2 5 3 5 2 5 3
P x x x x
       
5 2 3 5 5 2 3 5 1
P x x x x
        
Đẳng thức xảy ra khi:
5 2 0 2 3
3 5 0 5 5
x
x
x
 

  

 

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi
2 3
5 5
x
  .
1.6. Cho ba số dương , ,
a b c thỏa mãn điều kiện: 2
a b c
   và 2 2 2
2
a b c
   .
Chứng minh rằng:
          
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 *
1 1 1
b c a c a b
a b c
a b c
     
  
  

Từ    
2 2 2 2
2 4 2 4
a b c a b c a b c ab bc ca
             
Mà  
2 2 2
2 2 2 1
a b c ab bc ca ab bc ca
           .
Ta có:     
2 2 2
1 1 1
a a ab bc ca a a b a c
         
Tương tự, ta có:     
2
1 2
b b a b c
   
    
2
1 3
c c a c b
   
Từ (1), (2) và (3) thay vào vế trái của (*), ta có:
         
2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
b c a c a b
a b c
a b c
     
 
  
    
  
    
  
    
  
a b b c a c b c a b a c a c b c a b a c a b b c
a b c
a b a c a b b c b c a c
           
  
     
     
a b c b a c c a b
     
 
2 2
ab bc ca
    .
1.7. Cho
6 2 5 6 2 5
2 5
x
  
 .
Tính giá trị biểu thức:  
19
5
2020
21 10
1
T x x
   .
Ta có:
   
2 2
5 1 5 1
5 2 5 1 5 2 5 1
2 5 2 5
x
  
    
 
5 1 5 1
1
2 5
x
  
 
Vậy  
19
5
2020
21 10
1 1 1 1
T     .
1.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)    
2 2
2019 2020
A x x
    ;
b)      
2 2 2
2018 2019 2020
B x y x
      ;
c)        
2 2 2 2
2017 2018 2019 2020
C x x x x
        .
a) 2019 2020
A x x
   

2019 2020 2019 2020 1
x x x x
        
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi 2019 0
x   và 2020 0
x
  hay 2019 2020
x
  .
b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi 2018 2020
x
  và 2019
y  .
c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi 2018 2019
x
  .
1.9. Giải phương trình:
1 1
4
2 4
x x x
     .
Ta có:
1 1
4
2 4
x x x
    
1 1 1
4
4 4 4
x x x
      
2
1 1 1 1
4 4
4 2 4 2
x x x x
 
         
 
 
 
2
1 1 1 1 1
4 4
4 4 4 4 2
x x x
 
         
 
 
 
1 1 1 1
2 0
4 2 4 2
x x
 
      
 
 
 
vì
1 3 1 9
4 2 4 4
x x
     
9 1
2
4 4
x x
     .
1.10. Giải phương trình:
a) 2 2 2
6 9 7 0
x x x
     ;
b) 2 4 6 2 5 2 4 2 2 5 4
x x x x
        .
a)  
2
2 2 2
6 9 7 0 3 7 0
x x x x x
         
3 7 0
x x
    
Trường hợp 1: Xét 3
x  phương trình có dạng:
3 7 0 5 5
x x x x
         .
Trường hợp 2: Xét 0 3
x
  phương trình có nghiệm: 3 7 0
x x
    vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là  
5;5
S   .
b) 2 4 6 2 5 2 4 2 2 5 4
x x x x
       
2 5 6 2 5 9 2 5 2 2 5 1 4
x x x x
          
   
2 2
2 5 3 2 5 1 4
x x
      
2 5 3 2 5 1 4
x x
      
Ta có: 2 5 3 3 2 5 3 2 5
x x x
       
Vậy vế trái 3 2 5 2 5 1 4
x x
       .
Do vậy vế trái bằng vế phải khi:
5
2 5 3 0 2 5 9 7
2
x x x
         .
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
5
/ 7
2
S x x
 
  
 
 
.
1.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 4 1 15 8 1
A a a a a
        .
Ta có:
1 4 1 4 1 8 1 16
A a a a a
         
   
2 2
1 2 1 4
A a a
      
1 2 4 1 1 2 4 1
A a a a a
            
2
A
  .
Đẳng thức xảy ra khi 2 1 4 4 1 16
a a
       .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 5 17
a
  .
1.12. Rút gọn biểu thức:
a) 7 2 6 7 2 6
A     ;
b) 2 2
2 4 4
B x y x xy y
     với 2
x y
 ;
c)    
2
1 2020 . 2021 2 2020
D    .
a) Ta có 7 2 6 7 2 6
A    

   
2 2
6 1 6 1
A    
   
6 1 6 1 2 6
A      .
b) 2 2
2 4 4
B x y x xy y
     với 2
x y
 ;
 
2
2 2
B x y x y
   
 
2 2 2 2 2
B x y x y x y y x x
         .
c)    
2
1 2020 . 2021 2 2020
D   
 
2
1 2020 2020 1
D   
  
2020 1 2020 1 2021 2 2020
     .
1.13. Cho x và y là hai số thực thỏa mãn:
2019 2020 2019 2020
2022
2020 2021 2021 2020
x x
y
x x
 
  
 
.
Tính giá trị của y.
Điều kiện để y có nghĩa là  
2019 2020
0 1
2020 2021
x
x



và
 
 
2019 2020
2019 2020
0 0 2
2021 2020 2020 2021
x
x
x x
 

  
 
Từ (1) và (2) suy ra: 2019 2020 0
x  hay
2020
2019
x  
Suy ra 2022
y  .
1.14. Tính
x
y
biết 1; 0
x y
  và
    
  
2
3 3
2 2 3 4
1 4 1
6
1 4 1
x y x y x
x x y xy y
   
 
   
Ta có: Với 1 4 4 4 1 3 4 10 3
x x x x
        
Do đó  
2
1 4 1 4 1 1
x x
    
Từ đó
   
  
3 3
2 2 3 4
4 1 1
6
1 4 1
x y x y x
x x y xy y
   
 
   

      
 
3 3 2 2
2 2 3 4 2 2 2
6 6
x y x y x y x y x xy y
x y xy y y x xy y
     
   
   
2 2 2 2 2
6 7 7
x
x y y x y
y
      
Mà 1; 0
x y
  nên 7
x
y
  .
1.15. Cho 6 6 6 ... 6
A      , gồm 100 dấu căn.
Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
Ta có: 6 2
A   .
Mặt khác 6 6 6 3 3; 6 6 6 6 3 3
        
... 3
A
  .
Do đó 2 3
A
  . Chứng tỏ rằng A không phải số tự nhiên.
Nhận xét: Nếu A nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp thì A không phải số tự nhiên.
1.16. Cho ba số hữu tỉ , ,
a b c thỏa mãn
1 1 1
a b c
 
Chứng minh rằng 2 2 2
A a b c
   là số hữu tỉ.
Từ giả thiết ta có 2 2 2 0
bc ac ab ab bc ca
     
Suy ra 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c ab bc ca
       
 
2
a b c
  
2 2 2
A a b c a b c
       là số hữu tỉ.
1.17. Cho ba số dương , ,
a b c thỏa mãn điều kiện:
1
a b c
abc
   .
Chứng minh rằng:
  
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
b c a c
a b
c a b c
 
 

.
(thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP, Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015)
Ta có  
1
1
a b c abc a b c
abc
      
Do đó:     
2 2 2 2
1 b c abc a b c b c bc a b a c
       

Tương tự, ta có:   
2 2
1 a c ac a b b c
   
  
2 2
1 a b ab b c a c
   
Suy ra:
     
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
1
b c a c b c a c
c a b c c a b
   

 
     
  
 
2
2
bc a b a c ac a b b c
a b a b
c ab a c b c
   
    
 
.
1.18. Cho ,
x y thỏa mãn 0 1, 0 1
x y
    và 1
1 1
x y
x y
 
 
.
Tính giá trị của biểu thức 2 2
P x y x xy y
     .
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 – 2016)
Từ giả thiết, suy ra:       
1 1 1 1
x y y x x y
     
     
2 2
2 2
2 2 1 3 2 1 1
x y xy x xy y x y x y x y
              
Vậy 2 2
1
P x y x xy y x y x y
         
Từ giả thiết, ta lại có:
1
1
1 2
x
x
x
  

Tương tự ta có:
1
2
y  . Suy ra 0 1
x y
   , ta có 1 1
P x y x y
      .

Chuyên đề Toán 9: Căn bậc hai - Căn thức bậc hai

More Related Content

Chuyên đề Toán 9: Căn bậc hai - Căn thức bậc hai