Chuyên đề Toán lớp 9: Căn bậc ba - Căn bậc n

Chuyên đề 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n
A. Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc ba
a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu 3
,
a là số x sao cho 3
x a

 Cho  
3
3
3 3
,
a a x x a a
    
 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.
 Nếu 0
a  thì 3
0
a 
 Nếu 0
a  thì 3
0
a 
 Nếu 0
a  thì 3
0
a 
b) Tính chất
 3 3
0 a
a b
 

 3 3 3
.
ab a b

  
3
3
3
0
a a
b
b b
 
c) Các phép biến đổi căn bậc ba
 3 3
3
A B A B

 3 3 3
A B A B

  
3 2
3
1
0
A
AB B
B B
 
  
3 3
2 2
3
3 3
1 A AB B
A B
A B
A B




2. Căn bậc n
a) Định nghĩa: Cho a và ; 2.
n n
  Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.
 Trường hợp n lẻ  
2 1;
n k k
  
Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2 1
2 1 k
k
a x x a


  
Nếu 0
a  thì 2 1
0
k
a


Nếu 0
a  thì 2 1
0
k
a


Nếu 0
a  thì 2 1
0
k
a


 Trường hợp 11 chẵn  
2 ;
n k k
 

Mỗi số thực 0
a  đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k
a (gọi là căn
bậc 2k số học của a), căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k
a

2
0
k
a x x
   và 2k
x a

2
0
k
a x x
    và 2k
x a

Mọi số 0
a  đều không có căn bậc chẵn.
b) Tính chất của căn bậc n  
; 2.
n n
 
  
*
1 0, ,
n nk
m mk
A A A k m
  
  
2 0, , 2
m n mn
A A A m m
   
  
. 3 0, 0
n n n
AB A B A B
  
  
4 0, 0
n
n
n
A A
A B
B B
  
    
*
5 0,
m
n m
n
A A A m
  
Ứng dụng:
- Công thức (1 ) dùng để hạ bậc một căn thức hoặc quy đồng chỉ số các căn thức.
- Công thức (2) dùng để khai căn một căn thức.
- Công thức (3) dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng chỉ số, để đưa một thừa số ra
ngoài hoặc vào trong dấu căn.
- Công thức (4) dùng để khai căn một thương và chia các căn thức cùng chỉ số, để khử mẫu của
biểu thức lấy căn.
- Công thức (5) dùng để nâng một căn thức lên một lũy thừa.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a) 3
3
54 : 2
b) 3 3
8 37. 8 37
 
Giải
Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính nhân căn bậc 3 ta sử dụng tính chất 3 3 3
. .
A B A B

Trình bày lời giải
a) 3
3 3 3
54 : 2 54: 2 27 3
  
b)   
3 3 3
8 37. 8 37 8 37 8 37
    

3 3
64 37 27 3
   
Ví dụ 2: Rút gọn 3 3
26 15 3 26 15 3
A    
Giải
Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng 3
a b c
 ta viết biểu thức dưới dạng:  
3
3 ,
x y
 ta
chú ý tới hằng đẳng thức:
 
3
2 3
3 3
x y x x xy y x y
    
Do vậy ta xác định x và y thông qua 3 2
3 ; 3 ,
xy y a x y b
    nhưng lưu ý x c
 chẳng hạn
3
26 15 3
 ta chọn x và y theo 3 2
3 26; 3 15
xy y x y
    và 3
x  suy ra: 2.
y 
Trình bày lời giải:
Ta có: 3 3
8 12 3 18 3 3 8 12 3 18 3 3
A        
   
3 3
3 3
2 3 2 3 2 3 2 3 4
A         
Ví dụ 3: Rút gọn 3 3
84 84
1 1
9 9
B    
Giải
Tìm cách giải. Bài này thú vị và khó hơn ví dụ trước, không thể đưa về dạng  
3
3 .
x y
 Do đó,
để tính giá trị biểu thức có dạng 3 3
B a b a b
    chúng ta nghĩ tới việc lập phương hai vế và
sử dụng hằng đẳng thức   
3 3 3
3
x y x y xy x y
     sau đó phân tích đa thức thành nhân tử rồi
tìm B.
Áp dụng hằng đẳng thức    
3 3 3
3
a b a b ab a b
     ta có:
3
3
3 3
84 84 84 84
1 1 3. 1 1 .
3 3 9 9
84
2 3 . 1 2
81
B B
B B B
  
      
  
  
  
    
  
3 2
2 0 1 2 0
B B B B B
        mà 2
2 0
B B
  
Suy ra 1.
B 
Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức:  
2020
3 2
3 1 ,
Q x x
   biết:

 
3
3 3
26 15 3. 2 3
9 80 9 80
x
 

  
Giải
Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là rút gọn x. Quan sát biếu thức x, chúng ta nhận thấy trước
hết cần rút gọn căn bậc ba ở tử thức và mẫu thức trước. Bằng kỹ thuật của hai ví dụ trên, chúng ta
biến đổi 3
26 15 3
 bằng cách đưa về hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt
3 3
9 80 9 80
a     và xác định a. Sau đó xác định x.
Xét 3 3
9 80 9 80
a    
  
  
3 3
3 3
3 3
3 2
9 80 9 80 3. 9 80 9 80 .
18 3. 81 80.
18 3 3 18 0
27 3 9 0 3 3 6 0
a a
a a
a a a a
a a a a a
       
   
      
         
Ta có
2
2 3 15
3 6 0
2 4
a a a
 
     
 
 
nên 3 0 3
a a
   
Do đó
     
3
3 3 3 2 2 3
3 3 18 12 3 8. 2 3
3 3
x
 
   
 
  
3 2 2 3 4 3 1
3 3 3
x
  
  
Vậy  
2020
2020
1 1
3. 1 1 1
27 9
Q
 
 
 
     
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:   5
10
1
19 6 10 . 3 2 2 5
2
Q   
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy rằng đây là nhân hai căn thức không cùng bậc. Do vậy chúng ta cần
phải đưa về cùng bậc. Dễ thấy 10 5.2,
 do vậy chúng ta có thể đưa căn bặc 10 về căn bậc 5 dựa
theo công thức: 10 2 5 .
A A
 Với cách suy luận đó, chúng ta biến đổi  
1
19 6 10
2
 về dạng bình
phương của một biểu thức

Ta có   5
10
1
38 12 10 . 3 2 2 5
4
Q   
 
    
 
2
5
10
5
5 5
5
5
1
3 2 2 5 . 3 2 2 5
4
1 1
3 2 2 5 . 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5
2 2
1
18 20 1 1
2
Q
Q
Q
  
     
     
Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức:
2
4 4
4 4
2 1
1
4 2 1 2 2
2
1 2 2 1 2
T
 
 
 
  
 
 
 
 
Giải
Tìm cách giải. Bài toán này có nhiều yếu tố giống nhau, do vậy chúng ta có thể đặt biến mới nhằm
đưa về bài toán đơn giản hơn. Với cách suy luận ấy chúng ta đặt 4
2 a
 (căn nhỏ nhất) thì
4 2
4
2; 4 2.
a a
   Từ đó chúng ta có lời giải sau:
Đặt 4
2 a
 thì 4 2
4
2; 4 2.
a a
  
Khi đó
2
2 2 2 4
2
2 1
1
1
1 1
a a a a a
T
a a a
 
 
 
  
 
 
 
 
2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
0
1
a a
T a
a a a
a a
 
 
      
 

 
Vậy 0
T 
C. Bài tập vận dụng
4.1. Cho biểu thức
1 8 3 1 1 1
:
10
3 1 3 1 1 1
x x x
P
x
x x x x
   
   
  
   
   

     
   
a) Rút gọn biếu thức P.
b) Tính giá trị của P khi 4 4
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 2 2
x
 
 
 
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012)
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt 1
x a
  biểu thức P có dạng:

 
    
    
  
 
2
2 2
2
2 2
9 3 1 1
:
3 9 3
3 9 3 1 ( 3)
:
3 3 3
3 9 3 1 3
:
3 3 3
3 9 2 4
.
3 3 ( 3)
3( 3) ( 3)
.
(3 )(3 ) 2( 2)
3
2 2
a a a
P
a a a a a
a a a a a
P
a a a a
a a a a a
P
a a a a
a a
P
a a a a
a a a
P
a a a
a
P
a
 
 
 
  
   
  
 
 
     

  
     

  
 

  
 

  



Vậy
 
3 1
2 1 2
x
P
x
 

 
b) Ta có:
 
 
 
 
2 2
4 4
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
x
   
   
 
 
   
   
2 2
2 1 2 1
2 1 2 1 2
2 1 2 1
x
 
      
 
Vậy
 
3 2 1 3 1
2.3 2
2 2 1 2
P
   
  
 
4.2. Tính giá trị của biểu thức
a)  
2020
3
12 9 ,
B x x
   biết    
3 3
4 5 1 4 5 1
x    
b) 3
,
C x ax b
   biết
2 3 2 3
3
2 4 27 2 4 27
b b a b b a
x        
a) Xét        
3 3
4 5 1 4 5 1 3. 4 5 1 .4 5 1 .
x x
      
3 3
8 12 12 9 1
x x x x
     
Vậy 2020
1 1
B  
b) Xét
2 3 2 3 2 3 2 3
3
3
3. .
2 4 27 2 4 27 2 4 27 2 4 27
b b b b b b b b a b b a
x x
  
             
  
  
  

2
3
3 3
2 3
3 .
4 4
0
27
x b x
x b ax x ax b
b b a
  
     



Vậy 0
C 
4.3. Hãy tính giá trị của biểu thức: 3
3 2
P x x
   với 3
3
1
2 1
2 1
x   

Ta có 3 3 3
3
1
2 1 2 1 2 1
2 1
x       

Xét     
3 3
2 1 2 1 3. 2 1 2 1 .
x x
      
3 3
2 3 3 2 0
x x x x
      
Vậy 0
P 
4.4. Hãy tính giá trị của biểu thức:  
2020
3
3 8 2 ,
T x x
   biết
 
3
17 5 38
. 5 2
5 14 6 5
x

 
 
Ta có  
3
5 5 30 12 5 8
. 5 2
5 9 6 5 5
x
  
 
  
 
 
   
3
3
2
5 2 5 2
. 5 2 . 5 2
5 3 5
5 3 5
5 4 1
3 3
x
x
 
   
 
 

 
Suy ra  
2020
2020
1 1
3. 8. 2 1 1
27 9
T
 
 



    
4.5. Cho x, y thỏa mãn 2 2
3 3
1 1.
x y y y y
      Tính giá trị của biểu thức:
4 3 2 2
3 2 1
A x x y x xy y
     
Xét   
3 2 2 2 2
3
1 1 3. 1 1 .
x y y y y y y y y x
          
 
3
3
2 2
3
3
2 3. 1.
3
2 3 2 0 *
y y x
x x x y
x y
x y


  
    

Ta có
   
4 3 2
3 3
2
3 3 2 1
3 2 3 2
2
1
A x x x y xy
xy y
A x x x y y x x y
     
      

Kết hợp với (*) suy ra 1
A 
4.6. Tính giá tri biểu thức  
2013
2
4 2 ,
P x x
   với
 3
3 1 10 6 3
21 4 5 3
x
 

 
(Tuyển sinh lớp 10, chuyên Bắc Ninh, năm học 2013-2014)
Ta có
     
 
   
3
3 3
2
2 2
3 1 . 3 1
3 1 3 3 9 3 3 1
20 4 5 1 3 2 5 1 3
3 1 . 3 1 3 1 1 5 2
1
2 5 1 3 2 5 4 5 2
2 5 4 4 5 4 1
x
x
x x x x x
 
   
 
    
   
   
   
         
Vậy  
2013
1 2 1
P    
4.7. Cho 0; 1.
a a
  Rút gọn biểu thức:
 
3 3
1
6 4 2. 20 14 2 3 3 1: 1
2 2
a
S a a a
a

 
       
 

 
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015-2016)
Ta có
     
     
3 3
2 3 3
3 3
1
4 4 2 2. 8 12 2 12 2 2 3 3 1: 1
2
1 2
2 2 . 2 2 1 :
2
2
2 2 . 2 2 1 .
1
4 2 2 4
a
S a a a a
a
S a
S a
a
S
 

          
 
 
 
    
    

   
4.8. Tính giá trị biểu thức:
3
3 2
3 2
4 5 2
a a
P
a a a
 

  
biết:
3 3
55 3024 55 3024.
a    
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014)
Xét   
3 3
55 3024 55 3024 3 55 3024 55 3024 .
a a
      

3 3
3
110 3. 3025 3024. 3 110 0
a a a a
      
    
  
3
2
2
125 3 15 0
5 5 25 3 5 0
5 5 22 0
a a
a a a a
a a a
    
      
    
Nhận xét:
2
2 5 63
5 22 0
2 4
a a a
 
     
 
 
nên 5 0 5
a a
   
Từ đó suy ra
3
3 2
5 3.5 2 112 7
5 4.5 5.5 2 48 3
P
 
  
  
4.9. Rút gọn biểu thức:  
4 4 4
7 48 28 16 3 . 7 48 5 2 6
T       
Ta có  
4 4
4
4 4 3 3 4 4 4 3 3 . 4 4 3 3 3 2 6 2
T  
          
 
 
       
   
      
2 2 2 2
4 4 4
2
2 3 4 2 3 . 2 3 3 2
2 3 2 2 3 . 2 3 3 2
2 3 2 2 3 2 3 3 2
2 3 2 3 2 2
T
T
T
T
 
      
 
 
 
      
 
 
      
     
4.10. Tính giá trị của biểu thức: 3
3 3
10 1 2 3 1
. :
9 6 4 2 1
4 2 3
M
 
 
  
  
 

 
Ta có
 
  
3
3
3 3
3 3 3
10 3 2 1 2 2 1
. .
3 1
3 2 9 6 4 3 2 3 1
M
  
 
  

    
 
 
 
 
3
3
3
3
3
3
10 3 2 1 2 2 1
. .
3 2 3 1 3 1
2 1
2 3 2 .
3 1
3 2
M
M
M
  
 
  
  
 

 

 
4.11. Trục căn thức ở mẫu:
a) 3
3 3
1
16 12 9
 
b) 4 4 4 4
15
2 4 8 16
  

a)
  
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3 3
4 3 4 3
4 3
4 3
4 3 16 12 9
 
  

  
b)
 
  
4
4
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4
15. 8 1 2
15
2(1 2 4 8 ) 2. 8 1 2 1 2 4 8


      
 
 
 
4 4
15 8 2 15 2 8
2 1 2 2
 
 

4.12. Làm phép tính:
a) 3 6
1 2. 3 2 2
  b) 6 3
9 4 5. 2 5
 
c) 3 6
2 3 4 2. 44 16 6
 
a)  
2
3 6 3 3 3 3
6
1 2. 3 2 2 1 2. 2 1 1 2. 2 1 2 1 1
          
b)  
2
6 3 3 3 3 3
6
9 4 5. 2 5 5 2 . 2 5 5 2. 2 5 4 5 1
           
c)  
2
3 6 3 6
2 3 4 2. 44 16 6 2 3 4 2. 2 3 4 2
    
3 3
3 3 3
2 3 4 2. 2 3 4 2
4.3 16.2 20 20
  
     
4.13. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
 
 
3 3
1 1 1
20 14 2. 6 4 2 3 3 1 : 1
2 2 2 1
a
Q a a a
a
 

   
       
   
  
 
Ta có:
        
3 3
3 2
3
1 1
20 14 2. 6 4 2 2 2 12 12 2 8. 4 4 2 2
2 2
1 1 1
2 2 . 2 2 2 2 2 2 4 2 1
2 2 2
       
        
Ta có:    
3
3
3 3
3 3 1 3 3 1 1 1
a a a a a a a a a
          
Ta có:
 
1 1 1
1 1
2 2
2 1
a a a
a
  
   


Suy ra  
1 1
1 1 :
2 2
a
Q a

 
  
 
 
1 1
: 1
2 2
a a
Q
 
 
4.14. Chứng minh rằng nếu 3 3 3
ax by cz
  và
1 1 1
1
x y z
   thì:
2 2 2 3 3 3
3
ax by cz a b c
    
Đặt 3 2 3
,
ax by cz k
   suy ra 3 3 3
; ; ,
k k k
a b c
x y z
  
Xét 2 2 2 2 2 2
3
3 3
3 3
k k k
ax by cz x y z
x y z

   
 
3
3
3
1 1 1
1
k k k
k k
x y z x y z
 
   
 



 
Xét 3 3 3 3
3 3
3 3 3
k k k
a b c
x y z
    
 
3 3 3
3 3
1 1 1
2
k k k
k k
x y z x y z
 
     
 
 

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
4.15. Chứng minh rằng nếu: 2 4 2 2 2 4
3 3
x x y y x y a
    thì:
3 3
2 2 2
3
x y a
 
Từ 2 4 2 2 2 4
3 3
x x y y x y a
    , bình phương 2 vế, ta có:
  
2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2
3 3 3 3
2 4 2 2 2 4 2 2 4 8 8 4 2 2 2
3 3 3 3
2
2
x x y y x y x x y y x y a
x x y y x y x y x y x y x y a
      
        
 
 
 
2 4 2 2 2 4 8 4 2 2 4 8 2
3 3 3 3
2
2 4 2 2 2 4 4 2 2 4 2
3 3 3 3
2 4 2 2 2 4 4 2 2 4 2
3 3 3 3
2 4 2 2 4 2 2
3 3
3
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3
2 2
2
2
3 3
x x y y x y x y x y x y a
x x y y x y x y x y a
x x y y x y x y x y a
x x y x y y a
x y a x y a
       
      
      
    
     

Điều phải chứng minh
4.16. Tính giá trị của biểu thức:
2
2
4 4
4 4
2 1
1
2020 2020 1 2020 2020
2020
1 2020 2020 1 2020
A
 
 
 
  
 
 
 
 
Ta có:
 
2
2
4 4
4 4
1
1
2020 2020 1 1 2020 2020
1 2020 2020 1 2020
A
 

   
   
 
  
 
 
 
 
2
4
4
4
2
4
4
2
4
1
1
1 2020 2020
2020
2020 1 2020
2020 1 : 2020
2020 1 2020
2020 1 2020
1 1 1 1
0
2020 2020 2020 2020
A
A
A

 

   
 
  
 

 
  
 
 
  
 
 
    
 
 
4.17. Cho 3 3
1 3 9.
x    Tính giá trị biểu thức:
 
1945
3 2
3 6 3 2020
P x x x
    
Ta có     
3 3 3 3
3 1 3 1 9 3 1 3 1 2
x        
3 3 2 3 2
3
3 2 3 6 12 8 3 6 4
x x x x x x x x x
          
Suy ra 1915
1 2020 2021
P   
4.18. Rút gọn biểu thức:
 
3 3
3 2 31 21 3 3 : 5 2 7 5 2 7
A
 
       
 
 
Ta có:  
2
3 2 31 21 3 3 3 2 3 3 2 3
        
3 2 3 3 2 3 1
      

Ta có:    
3 3
3 3 3 3
5 2 7 5 2 7 2 1 2 1
      
2 1 2 1 2
    
Do đó
1
2
A



Chuyên đề Toán lớp 9: Căn bậc ba - Căn bậc n

More Related Content

Chuyên đề Toán lớp 9: Căn bậc ba - Căn bậc n