Escola naval 2018

ESCOLA NAVAL 2018
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01. (Esc. Naval 2018) Quantos números inteiros entre 1 e 1.000 são divisíveis por 3 ou por 7?
a) 47
b) 142
c) 289
d) 333
e) 428
02. (Esc. Naval 2018) Seja a família de funções reais f, definidas por 2
f(x) 2x bx 3,
= + + sendo 𝑏𝑏 ∈ ℝ e, seja a função real
g, definida pelo lugar geométrico dos pontos extremos das funções f. Sendo assim, o valor de g(7) é
a) 101
b) 101
−
c) 95
d) 95
−
e) 98
−
03. (Esc. Naval 2018) Sejam h, p, f e g funções reais tais que h(x) | x | | x 1|,
= + − 3
p(x) x ,
= 2
f(x) x
= e 3
g(x) ax ,
= com
a 0.
> O valor de a torna a região limitada por f e g, no intervalo
1
0,
a
 
 
 
igual a
2
.
3
A é o valor da área da região
limitada por h, p e pelo eixo das ordenadas. Assinale a opção que representa um número inteiro.
a) 2
A
a
b) 2
A 2a
−
c) 2 2
A a
−
d)
2
A
a
e) 2
2A a
−
04. (Esc. Naval 2018) Seja a função real 𝑓𝑓: [2, 4] → ℝ, definida por 2
f(x) 0,5x 4x 10
= − + e o retângulo ABOC, com
A(t, f(t)), B(0, f(t)), O(0, 0) e C(t, 0), onde t [2, 4].
∈ Assinale a opção que corresponde ao menor valor da área o
retângulo ABOC.
a) 8
b)
15
2
c)
200
27
d)
50
9
e)
20
3

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2
05. (Esc. Naval 2018) Sejam f e g duas funções reais tais que g é a inversa de f. Se f é definida como
x x
x x
e e
f(x) ,
e e
−
−
−
=
+
calcule
1
g
2
e
 
 
  e assinale a opção correta.
a) 2
b) 2
c) 3
d) 3
e) 2
−
06. (Esc. Naval 2018) Seja 𝑓𝑓: ℝ → ℝ. Assinale a opção que apresenta f(x) que torna a inclusão f(A) f(B) f(A B)
∩ ⊂ ∩
verdadeira para todo conjunto A e B, tais que 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 ⊂ ℝ.
a) x
f(x) e cos(x)
=
b) x
f(x) e sen(x)
=
c) x
f(x) 17e
=
d) 3 x
f(x) (x )e
=
e) 2 x
f(x) (x 2x 1)e
= − +
07. (Esc. Naval 2018) Sejam n m
(a ), (b ) e k
(c ) três progressões geométricas de razão q e primeiro termo x. m
(b ) tem o
dobro de termos de n
(a ), e k
(c ) tem,
3
2
termos de m
(b ). Sabendo que a soma dos termos de n
(a ) é igual a 10 e a soma
dos termos de k
(c ) é
42
,
5
assinale a opção que apresenta a diferença, em módulo, dos possíveis valores da soma dos
termos de m
(b ).
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14

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08. (Esc. Naval 2018) O atual campeão carioca de futebol, Botafogo, possui escudo baseado em um pentagrama, conforme
figuras abaixo.
O pentagrama é um polígono estrelado de 5 vértices, que podem ser igualmente distribuídos em uma circunferência
(formando cinco arcos congruentes). O pentagrama, através de seus segmentos, determina 6 regiões internas, 5
triângulos e 1 pentágono. O pentágono é vizinho de todos os triângulos e não existem triângulos vizinhos entre si. Sendo
assim, utilizando até 6 cores distintas (preto, branco, cinza, verde, amarelo e azul), de quanta maneiras essas regiões do
pentagrama, conforme Figura 2, podem ser coloridas, de forma que não haja duas regiões vizinhas com cores iguais?
a) 720
b) 120
c) 6.480
d) 3.750
e) 3.774
09. (Esc. Naval 2018) Pedro está pensando em enviar uma carta para a sua mãe, no interior do Pará, para comunicar o
falecimento do seu pai no Rio de Janeiro. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que
o correio não perca a carta é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro entregue a carta é de 0,9. Sabendo-se que a mãe
de Pedro não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito?
a)
25
44
b)
2
5
c)
49
87
d)
73
121
e)
38
88

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10. (Esc. Naval 2018) Observe a figura abaixo.
O cubo ABCDEFGH, de aresta 3 cm, é rotacionado em torno de sua diagonal AG, gerando um sólido de revolução de
volume V. Dessa forma, pode-se afirmar que o valor de V, em 3
cm , é tal que
a) V 17
<
b) 17 V 27
< <
c) 36 V 55
< <
d) 27 V 36
< <
e) 55 V 74
< <

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11. (Esc. Naval 2018) Felipe, andando pelo pátio de sua escola, encontra, no chão uma lista de exercícios de matemática
toda feita pelo seu amigo Bruno contendo as seguintes perguntas e respostas:
1) É verdade que (√𝑧𝑧
3
)2
= √𝑧𝑧2
3
∀𝑧𝑧 ∈ ℂ. Justifique.
Resposta: Sim, é verdade, pois, tomando a parte real igual a 1 e a parte imaginária igual a zero, tem-se z 1
= e, com
isso, a igualdade permanece.
2) Cite duas descrições geométricas do conjunto B dos números complexos z que satisfazem | z 2 | | z 3i |,
− = − sendo i a
unidade imaginária.
Resposta: É uma reta que passa pelo ponto
1 7
,
2 6
 
 
 
e tem coeficiente igual a
2
.
3
3) Seja z um número complexo e Re(z) a parte real de z. Qual é o conjunto dos pontos tais que 2
Re(z ) 0?
<
Resposta: É o conjunto 𝐴𝐴 = �𝑧𝑧 ∈ ℂ|
𝜋𝜋
4
< 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 <
3𝜋𝜋
4
� união com o conjunto 𝐵𝐵 = �𝑧𝑧 ∈ ℂ|
−3𝜋𝜋
4
<
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑢𝑢 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 <
−𝜋𝜋
4
�.
4) Seja z um número complexo. Os valores de z tais que 2z 1
e 1
−
= é igual a?
Resposta:
1
z k i
2
π
= + para 𝑘𝑘 ∈ ℤ. Sendo i a unidade imaginária.
Suponha que Felipe saiba responder a todas as perguntas de forma correta. E que ele as corrigirá atribuindo a cada
pergunta o valor de 2,5 pontos por resposta correta e zero ponto por resposta errada, NÃO existe acerto de parte da
questão (Bruno acerta ou erra sua resposta). Sendo assim, assinale a opção que apresenta a quantidade de pontos obtidos
por Bruno na correção de Felipe.
a) 10
b) 7,5
c) 5
d) 2,5
e) zero
12. (Esc. Naval 2018) Dadas as matrizes: [ ]
1 2 1
A 1 0 1 , x 2 13 65
1 1 1
−
 
 
= =
 
 
−
 
e T
B x x.
= ⋅ Qual é o valor do determinante de
1 2
2 A B ?
−
⋅ ⋅
a) 0
b) 4
c) 8
d) 3.380
e) 13.520

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13. (Esc. Naval 2018) Determine o valor do limite
3 3
x
(x 1 x )
lim
2
→−∞
+ −
e assinale a opção correta.
a) −∞
b) +∞
c) 1
d) 0,5
e) Zero
14. (Esc. Naval 2018) Seja f uma função real, tal que
df(x)
0, x ,
dx
> ∀ ∈  ou seja, a função possui derivada positiva em toda
a reta. Portanto, pode-se afirmar que f é uma função
a) crescente.
b) decrescente.
c) simétrica em torno de zero.
d) estritamente positiva.
e) convexa.
15. (Esc. Naval 2018) Quantas raízes reais possui a equação 4 3 2
2cos(x 1) 2x 8x 9x 2x 1?
− = − + − +
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) Infinitas

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GABARITO
1 - E 2 - D 3 - A 4 - E 5 - D
6 - C 7 - A 8 - E 9 - A 10 - C
11 - B 12 - A 13 - E 14 - A 15 - D

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