Location via proxy:   [ UP ]  
[Report a bug]   [Manage cookies]                
SlideShare a Scribd company logo

Himpunan fuzzy

•
•
Ainul Yaqin
Ainul Yaqin
1 of 8
Download to read offline
HIMPUNAN FUZZY 1. Pendahuluan. Suatu himpunan klasik adalah suatu himpunan dengan batasan crisp, contohnya : himpunan klasik A dari bilangan real yang lebih besar dari 6 dapat diekspresikan sebagai A = {x | x > 6} 1 dimana telah jelas, batasnya adalah 6 sehingga jika x lebih besar dari bilangan ini, maka x termasuk dalam himpunan A, selain itu tidak termasuk dalam himpunan. Walaupun himpunan klasik sesuai untuk berbagai aplikasi dan telah terbukti sebagai alat penting untuk matematika dan ilmu komputer, tetapi tidak mencerminkan konsep dan pemikiran alami manusia. Sebagai ilustrasi, secara matematis himpunan tinggi orang sebagai kumpulan orang-orang yang mempunyai tinggi lebih dari 6 kaki diekspresikan seperti pada persamaan 1. jika diketahui A = tinggi orang dan x = tinggi. Sebelum ada cara yang tepat untuk merepresentasikan tinggi orang, orang dengan tinggi 6,001 ft termasuk orang tinggi, tetapi tidak untuk orang dengan tinggi 5,999 ft. Berbeda dengan himpunan klasik, himpunan fuzzy adalah himpunan tanpa batasan crisp. Yaitu transisi dari termasuk dalam himpunan hingga yang tidak termasuk dalam himpunan secara gradual, dan transisi ini dikarakterisasi dengan fungsi keanggotaan yang memberikan fleksibilitas fuzy dalam pemodelan umum yang digunakan dalam ekspresi linguistik, seperti panasnya air atau tingginya suhu. 2. Definisi dasar dan terminologi. Diketahui X adalah ruang objek dan x adalah elemen generik dari X. Suatu himpunan klasik A, A ⊆ X didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen atau objek x ∈ X , sebagaimana tiap x dapat termasuk atau tidak termasuk dalam himpunan A. Dengan mendefinisikan suatu fungsi karakteristik untuk setiap elemen x dalam X, dapat direpresentasikan suatu himpunan klasik A dengan suatu pasangan himpunan (x,0) atau (x,1) yang menandakan x ∉ A atau x ∈ A . • Himpunan fuzzy dan fungsi keanggotaan. Jika X adalah sekumpulan objek yang dinotasikan secara generik oleh x, maka suatu himpunan fuzzy A dalam X didefinisikan sebagai pasangan himpunan berorde : A = {( x, µ A ( x )) | x ∈ X } 2 dimana µ A ( x ) disebut fungsi keanggotaan (membership function) untuk himpunan fuzzy A. Pemetaan MF tiap elemen X pada suatu derajat keanggotaan antara 0 dan 1. Berikut ini beberapa macam himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy dengan universe diskrit tak berorde. Himpunan fuzzy dengan universe diskrit berorde. Himpunan fuzzy dengan universe kontinyu. Dalam prakteknya, ketika universe dari himpunan X adalah ruang kontinyu, biasanya X dibagi menjadi beberapa himpunan fuzzy yang meliputi X dalam satu kegunaan atau lebih. Gambar berikut ini contoh pembagian himpunan fuzzy. 1
Gambar 1. a. A = Jumlah anak yang masuk akal dalam keluarga b. B = Tentang umur 50 tahun. Gambar 2. Nilai linguistik young, middle aged dan old dari suatu MF. • Support. Support himpunan fuzzy A adalah himpunan dari semua titik x dalam X seperti pada µ A (x ) > 0 : support ( A) = {x | µ A ( x ) > 0} 3 • Core (inti). Core (inti) dari himpunan fuzzy A adalah himpunan dari semua titik x dalam X seperti pada µ A ( x ) = 1 : core( A) = {x | µ A (x ) = 1} 4 • Normality. Himpunan fuzzy A adalah normal jika core (inti)-nya tidak kosong. Dengan kata lain, selalu dapat ditemukan satu titik x ∈ X seperti pada µ A ( x ) = 1 . • Crossover points. Suatu titik crossover dari himpunan fuzzy A adalah satu titik x ∈ X yang mana µ A ( x ) = 0.5 : crossover ( A) = {x | µ A ( x ) = 0.5} 5 • Fuzzy singleton. Sebuah himpunan fuzzy yang mana supportnya adalah sebuah titik tunggal dalam X dengan µ A ( x ) = 1 disebut sebagai fuzzy singleton. • α-cut dan strong α-cut. α-cut atau himpunan α-level dari sebuah himpunan fuzzy A adalah himpunan crisp yang didefinisikan oleh Aα = {x | µ A ( x ) ≥ α } 6 strongα -cut atau himpunan strong α-level didefinisikan serupa. Aα = {x | µ A ( x ) > α } ' 7 2
• Convexity. Sebuah himpunan fuzzy A adalah konvex jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2 ∈ X dan setiap λ ∈ [0,1] µ A (λx1 + (1 − λ )x 2 ) ≥ min{µ A ( x1 ), µ A ( x 2 )} 8 alternatifnya, A adalah konvex jika semua himpunan α-level nya konvex. • Bilangan fuzzy. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy dalam garis real (R) yang memenuhi kondisi untuk normalitas dan konvexitas. • Bandwidth normal dan himpunan fuzzy konvex. Untuk suatu himpunan fuzzy normal dan konvex, bandwidth atau width didefinisikan sebagai jarak antara dua titik crossover yang unik. width( A) = x 2 − x1 9 dimana µ A ( x1 ) = µ A ( x 2 ) = 0.5 Gambar 3. Core, support dan crossover point dari a. Himpunan fuzzy b. Fuzzy singleton Gambar 4. a. Dua MF konvex b. MF non-konvex 3
• Simetri. Sebuah himpunan fuzzy adalah simetris jika MF-nya simetris disekitar titik tertentu x = c, yakni µ A (c + x ) = µ A (c − x ) untuk semua x ∈ X • Open left, open right dan closed. Sebuah himpunan fuzzy A open left jika lim µ A ( x ) = 1 dan lim µ A ( x ) = 0 . x → −∞ x → +∞ Sebuah himpunan fuzzy A open right jika lim µ A (x ) = 0 dan lim µ A (x ) = 1 . x → −∞ x → +∞ Sebuah himpunan fuzzy A closed jika lim µ A (x ) = lim µ A ( x ) = 0 . x → −∞ x → +∞ 3. Operasi himpunan. Operasi dasar himpunan adalah union, intersection dan complement. Berikut ini definisi dari operasi-operasi himpunan. Gambar 5. Subset Gambar 6. Operasi himpunan fuzzy. Containment atau subset. Himpunan fuzzy A adalah contained dalam himpunan fuzzy B jika dan hanya jika µ A (x ) ≤ µ B (x ) . A ⊆ B ⇔ µ A (x ) ≤ µ B (x ) 10 Union atau disjunction. Union dari dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C, dituliskan sebagai C = A ∪ B atau C = A or B . µ C ( x ) = max (µ A ( x ), µ B (x )) = µ A ( x ) ∨ µ B ( x ) 11 4
Intersection atau conjunction. Intersection dari dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C, dituliskan sebagai C = A ∩ B atau C = A and B µ C ( x ) = min (µ A (x ), µ B ( x )) = µ A ( x ) ∧ µ B ( x ) 12 Complement atau negasi. Complement himpunan fuzzy A, dinotasikan dengan A(¬A, not A) , didefinisikan sebagai µ A (x ) = 1 − µ A (x ) 13 Cartesian product dan co-product. Cartesian product dari A dan B, dinotasikan dengan A × B. µ A×B ( x, y ) = min (µ A (x ), µ B ( y )) 14 cartesian co-product A + B adalah himpunan fuzzy dengan MF µ A+ B (x, y ) = max (µ A ( x ), µ B ( y )) 15 4. Parameterisasi dan formulasi MF. 4.1. MF satu dimensi. • MF segitiga. 0 x≤a x−a a≤ x≤b b−a triangle(x; a, b, c ) = c − x 16 b≤x≤c c−b 1 c≤x   x−a c−x  triangle(x; a, b, c ) = max min   , ,0   17  b−a c−b  • MF trapezoid. 0 x≤a x−a a≤ x≤b b−a trapezoid ( x; a, b, c, d ) = 1 b≤x≤c 18 d−x c≤x≤d d −c 0 d≤x   x−a d − x  trapezoid ( x; a, b, c, d ) = max min   ,1, ,0   19  b−a d −c  5
Gambar 7. bentuk kurva MF. • MF gaussian. 2 1  x −c    gaussian(x; c, σ ) = e 2 σ  20 • MF generalized bell. 1 bell (x; a, b, c ) = 2b 21 x−c 1+ a Gambar 8. Efek perubahan parameter dalam MF bell. 6
• MF sigmoid. 1 sig ( x; a, c ) = 22 1 + exp[− a( x − c )] • MF kiri – kanan. c− x FL   x≤c  α  LR ( x; c, α , β ) = 23  x−c FR   β  x≥c    Gambar 9. MF sigmoid Gambar 10. MF kiri – kanan. 7
4.2. MF dua dimensi. • Ekstensi silindris dari himpunan fuzzy satu dimensi. Gambar 11. Ekspansi silindris. • Proyeksi dari himpunan fuzzy. Gambar 12. Proyeksi MF. • MF dua dimensi komposit berdasar pada operator min – max. Gambar 13. MF komposit berdasar operator min – max. 8

More Related Content

Himpunan fuzzy

  • 1. HIMPUNAN FUZZY 1. Pendahuluan. Suatu himpunan klasik adalah suatu himpunan dengan batasan crisp, contohnya : himpunan klasik A dari bilangan real yang lebih besar dari 6 dapat diekspresikan sebagai A = {x | x > 6} 1 dimana telah jelas, batasnya adalah 6 sehingga jika x lebih besar dari bilangan ini, maka x termasuk dalam himpunan A, selain itu tidak termasuk dalam himpunan. Walaupun himpunan klasik sesuai untuk berbagai aplikasi dan telah terbukti sebagai alat penting untuk matematika dan ilmu komputer, tetapi tidak mencerminkan konsep dan pemikiran alami manusia. Sebagai ilustrasi, secara matematis himpunan tinggi orang sebagai kumpulan orang-orang yang mempunyai tinggi lebih dari 6 kaki diekspresikan seperti pada persamaan 1. jika diketahui A = tinggi orang dan x = tinggi. Sebelum ada cara yang tepat untuk merepresentasikan tinggi orang, orang dengan tinggi 6,001 ft termasuk orang tinggi, tetapi tidak untuk orang dengan tinggi 5,999 ft. Berbeda dengan himpunan klasik, himpunan fuzzy adalah himpunan tanpa batasan crisp. Yaitu transisi dari termasuk dalam himpunan hingga yang tidak termasuk dalam himpunan secara gradual, dan transisi ini dikarakterisasi dengan fungsi keanggotaan yang memberikan fleksibilitas fuzy dalam pemodelan umum yang digunakan dalam ekspresi linguistik, seperti panasnya air atau tingginya suhu. 2. Definisi dasar dan terminologi. Diketahui X adalah ruang objek dan x adalah elemen generik dari X. Suatu himpunan klasik A, A ⊆ X didefinisikan sebagai kumpulan dari elemen atau objek x ∈ X , sebagaimana tiap x dapat termasuk atau tidak termasuk dalam himpunan A. Dengan mendefinisikan suatu fungsi karakteristik untuk setiap elemen x dalam X, dapat direpresentasikan suatu himpunan klasik A dengan suatu pasangan himpunan (x,0) atau (x,1) yang menandakan x ∉ A atau x ∈ A . • Himpunan fuzzy dan fungsi keanggotaan. Jika X adalah sekumpulan objek yang dinotasikan secara generik oleh x, maka suatu himpunan fuzzy A dalam X didefinisikan sebagai pasangan himpunan berorde : A = {( x, µ A ( x )) | x ∈ X } 2 dimana µ A ( x ) disebut fungsi keanggotaan (membership function) untuk himpunan fuzzy A. Pemetaan MF tiap elemen X pada suatu derajat keanggotaan antara 0 dan 1. Berikut ini beberapa macam himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy dengan universe diskrit tak berorde. Himpunan fuzzy dengan universe diskrit berorde. Himpunan fuzzy dengan universe kontinyu. Dalam prakteknya, ketika universe dari himpunan X adalah ruang kontinyu, biasanya X dibagi menjadi beberapa himpunan fuzzy yang meliputi X dalam satu kegunaan atau lebih. Gambar berikut ini contoh pembagian himpunan fuzzy. 1
  • 2. Gambar 1. a. A = Jumlah anak yang masuk akal dalam keluarga b. B = Tentang umur 50 tahun. Gambar 2. Nilai linguistik young, middle aged dan old dari suatu MF. • Support. Support himpunan fuzzy A adalah himpunan dari semua titik x dalam X seperti pada µ A (x ) > 0 : support ( A) = {x | µ A ( x ) > 0} 3 • Core (inti). Core (inti) dari himpunan fuzzy A adalah himpunan dari semua titik x dalam X seperti pada µ A ( x ) = 1 : core( A) = {x | µ A (x ) = 1} 4 • Normality. Himpunan fuzzy A adalah normal jika core (inti)-nya tidak kosong. Dengan kata lain, selalu dapat ditemukan satu titik x ∈ X seperti pada µ A ( x ) = 1 . • Crossover points. Suatu titik crossover dari himpunan fuzzy A adalah satu titik x ∈ X yang mana µ A ( x ) = 0.5 : crossover ( A) = {x | µ A ( x ) = 0.5} 5 • Fuzzy singleton. Sebuah himpunan fuzzy yang mana supportnya adalah sebuah titik tunggal dalam X dengan µ A ( x ) = 1 disebut sebagai fuzzy singleton. • α-cut dan strong α-cut. α-cut atau himpunan α-level dari sebuah himpunan fuzzy A adalah himpunan crisp yang didefinisikan oleh Aα = {x | µ A ( x ) ≥ α } 6 strongα -cut atau himpunan strong α-level didefinisikan serupa. Aα = {x | µ A ( x ) > α } ' 7 2
  • 3. • Convexity. Sebuah himpunan fuzzy A adalah konvex jika dan hanya jika untuk setiap x1, x2 ∈ X dan setiap λ ∈ [0,1] µ A (λx1 + (1 − λ )x 2 ) ≥ min{µ A ( x1 ), µ A ( x 2 )} 8 alternatifnya, A adalah konvex jika semua himpunan α-level nya konvex. • Bilangan fuzzy. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy dalam garis real (R) yang memenuhi kondisi untuk normalitas dan konvexitas. • Bandwidth normal dan himpunan fuzzy konvex. Untuk suatu himpunan fuzzy normal dan konvex, bandwidth atau width didefinisikan sebagai jarak antara dua titik crossover yang unik. width( A) = x 2 − x1 9 dimana µ A ( x1 ) = µ A ( x 2 ) = 0.5 Gambar 3. Core, support dan crossover point dari a. Himpunan fuzzy b. Fuzzy singleton Gambar 4. a. Dua MF konvex b. MF non-konvex 3
  • 4. • Simetri. Sebuah himpunan fuzzy adalah simetris jika MF-nya simetris disekitar titik tertentu x = c, yakni µ A (c + x ) = µ A (c − x ) untuk semua x ∈ X • Open left, open right dan closed. Sebuah himpunan fuzzy A open left jika lim µ A ( x ) = 1 dan lim µ A ( x ) = 0 . x → −∞ x → +∞ Sebuah himpunan fuzzy A open right jika lim µ A (x ) = 0 dan lim µ A (x ) = 1 . x → −∞ x → +∞ Sebuah himpunan fuzzy A closed jika lim µ A (x ) = lim µ A ( x ) = 0 . x → −∞ x → +∞ 3. Operasi himpunan. Operasi dasar himpunan adalah union, intersection dan complement. Berikut ini definisi dari operasi-operasi himpunan. Gambar 5. Subset Gambar 6. Operasi himpunan fuzzy. Containment atau subset. Himpunan fuzzy A adalah contained dalam himpunan fuzzy B jika dan hanya jika µ A (x ) ≤ µ B (x ) . A ⊆ B ⇔ µ A (x ) ≤ µ B (x ) 10 Union atau disjunction. Union dari dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C, dituliskan sebagai C = A ∪ B atau C = A or B . µ C ( x ) = max (µ A ( x ), µ B (x )) = µ A ( x ) ∨ µ B ( x ) 11 4
  • 5. Intersection atau conjunction. Intersection dari dua himpunan fuzzy A dan B adalah himpunan fuzzy C, dituliskan sebagai C = A ∩ B atau C = A and B µ C ( x ) = min (µ A (x ), µ B ( x )) = µ A ( x ) ∧ µ B ( x ) 12 Complement atau negasi. Complement himpunan fuzzy A, dinotasikan dengan A(¬A, not A) , didefinisikan sebagai µ A (x ) = 1 − µ A (x ) 13 Cartesian product dan co-product. Cartesian product dari A dan B, dinotasikan dengan A × B. µ A×B ( x, y ) = min (µ A (x ), µ B ( y )) 14 cartesian co-product A + B adalah himpunan fuzzy dengan MF µ A+ B (x, y ) = max (µ A ( x ), µ B ( y )) 15 4. Parameterisasi dan formulasi MF. 4.1. MF satu dimensi. • MF segitiga. 0 x≤a x−a a≤ x≤b b−a triangle(x; a, b, c ) = c − x 16 b≤x≤c c−b 1 c≤x   x−a c−x  triangle(x; a, b, c ) = max min   , ,0   17  b−a c−b  • MF trapezoid. 0 x≤a x−a a≤ x≤b b−a trapezoid ( x; a, b, c, d ) = 1 b≤x≤c 18 d−x c≤x≤d d −c 0 d≤x   x−a d − x  trapezoid ( x; a, b, c, d ) = max min   ,1, ,0   19  b−a d −c  5
  • 6. Gambar 7. bentuk kurva MF. • MF gaussian. 2 1  x −c    gaussian(x; c, σ ) = e 2 σ  20 • MF generalized bell. 1 bell (x; a, b, c ) = 2b 21 x−c 1+ a Gambar 8. Efek perubahan parameter dalam MF bell. 6
  • 7. • MF sigmoid. 1 sig ( x; a, c ) = 22 1 + exp[− a( x − c )] • MF kiri – kanan. c− x FL   x≤c  α  LR ( x; c, α , β ) = 23  x−c FR   β  x≥c    Gambar 9. MF sigmoid Gambar 10. MF kiri – kanan. 7
  • 8. 4.2. MF dua dimensi. • Ekstensi silindris dari himpunan fuzzy satu dimensi. Gambar 11. Ekspansi silindris. • Proyeksi dari himpunan fuzzy. Gambar 12. Proyeksi MF. • MF dua dimensi komposit berdasar pada operator min – max. Gambar 13. MF komposit berdasar operator min – max. 8