ITA 2020 - fechada

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01. (Ita 2020) A cada aniversário, seu bolo tem uma quantidade de velas igual à sua idade. As velas são vendidas em
pacotes com 12 unidades e todo ano é comprado apenas um novo pacote. As velas remanescentes são guardadas para
os anos seguintes, desde o seu primeiro aniversário. Qual a sua idade, em anos, no primeiro ano em que as velas serão
insuficientes?
a) 12.
b) 23.
c) 24.
d) 36.
e) 38.
02. (Ita 2020) A parte real da soma infinita da progressão geométrica cujo termo geral n
a é dado por n n
cos n i sen n
a ,
2
+ ⋅
=
n 1, 2, 3,
=  é igual a
a)
1 2cos1
.
5 4cos1
− +
−
b)
2 4cos1
.
5 4cos1
− +
−
c)
4 2cos1
.
5 4cos1
−
−
d)
1 2cos1
.
5 4cos1
+
−
e)
2 4cos1
.
5 4cos1
+
−
03. (Ita 2020) Sejam a, b e c números reais, a 0,
≠ tais que 2 2 2
a b c .
+ = Se a, b e c formam, nessa ordem, uma
progressão geométrica de razão k, então o produto P e a soma S de todos os possíveis valores para k são iguais a
a) P 1
= e S 0.
=
b) P 1
= − e S 1.
=
c) P 1
= − e S 1.
= −
d)
(1 5)
P
2
− +
= e S 0.
=
e)
2
(1 5)
P
4
+
= e S 0.
=

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2
04. (Ita 2020) A expansão decimal do número 100! 100 99 2 1
= ⋅ ⋅
 possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da
direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito
não nulo aparecer, é igual a
a) 20.
b) 21.
c) 22.
d) 23.
e) 24.
05. (Ita 2020) Considere o conjunto M (n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n n,
× com exatamente k elementos
iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L M (3,1)
∈ e R M (4, 2),
∈ a probabilidade
de que 2
L 0
= e 2
R 0
= é igual a
a)
1
.
3
b)
1
.
5
c)
4
.
15
d)
13
.
30
e)
29
.
30
06. (Ita 2020) Considere as seguintes afirmações:
I. Sejam 1 2
,
π π e 3
π três planos distintos, e secantes dois a dois segundo as retas distintas r, s e t. Se r s
∩ ≠ ∅ então
r s t .
∩ ∩ ≠ ∅
II. As projeções ortogonais de duas retas paralelas r e s sobre um plano π são duas retas paralelas.
III. Para quaisquer retas r, s e t reversas duas a duas, existe uma reta u paralela à r e concorrente com s e com t.
É(são) VERDADEIRA(S)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) nenhuma.

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07. (Ita 2020) Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a 2.160 .
°
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) apenas I e II
e) apenas II e III
08. (Ita 2020) Os pontos B (1,1 6 2)
= + e C (1 6 2,1)
= + são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC, contido
no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são
a) (7 2, 7 2).
b) ( 2, 2).
c) (1 7 2,1 7 2).
+ +
d) (1 2,1 2).
+ +
e) (1 6 2,1 6 2).
+ +
09. (Ita 2020) Duas curvas planas 1
c e 2
c são definidas pelas equações:
𝑐𝑐1: 16𝑥𝑥2
+ 9𝑦𝑦2
− 224𝑥𝑥 − 72𝑦𝑦 + 640 = 0
𝑐𝑐2: 𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
+ 4𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 + 13 = 0.
Sejam P e Q os pontos de interseção de 1
c com o eixo x e R e S os pontos de interseção de 2
c com o eixo y. A área
do quadrilátero convexo de vértices P, Q, R e S é igual a
a) 15 7 3.
+
b) 15 7 3.
−
c) 15 14 3.
+
d) 15 14 3.
−
e) 25 10 3.
+

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10. (Ita 2020) Sejam 1 2 3 4 5
x , x , x , x , x e 6
x números reais tais que 1
x
2 4;
= 2
x
3 5;
= 3
x
4 6;
= 4
x
5 7;
= 5
x
6 8
= e 6
x
7 9.
=
Então, o produto 1 2 3 4 5 6
x x x x x x é igual a
a) 6.
b) 8.
c) 10.
d) 12.
e) 14.
11. (Ita 2020) Dado 𝑎𝑎 ∈ ℝ, defina 2
p a a
= + e 3
q a a
= + e considere as seguintes afirmações:
I. se p ou q é irracional, então a é irracional.
II. se p e q são racionais, então a é racional.
III. se q é irracional, então p é irracional.
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas I e II
d) apenas I e III
e) todas
12. (Ita 2020) Seja A um ponto externo a uma circunferência λ de centro O e raio r. Considere uma reta passando por
A e secante a λ nos pontos C e D tal que o segmento AC é externo a λ e tem comprimento igual a r. Seja B o ponto
de λ tal que O pertence ao segmento AB Se o ângulo ˆ
BAD mede 10 ,
° então a medida do ângulo ˆ
BOD é igual a
a) 25 .
°
b) 30 .
°
c) 35 .
°
d) 40 .
°
e) 45 .
°
13. (Ita 2020) Considere o polinômio 3 2
p(x) x mx x 5 n,
= − + + + sendo m, n números reais fixados. Sabe-se que toda raiz
z a bi,
= + com 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ, da equação p(z) 0
= satisfaz a igualdade 2
a mb nb 1.
= + − Então, a soma dos quadrados das
raízes de p(z) 0
= é igual a
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.

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14. (Ita 2020) Seja 4 3 2
p(x) ax bx cx dx e
= + + + + um polinômio com coeficientes reais. Sabendo que:
I. p(x) é divisível por 2
x 4;
−
II. a soma das raízes de p(x) é igual a 1;
III. o produto das raízes de p(x) é igual a 3;
IV.
15
p( 1) ;
4
− =
−
então, p(1) é igual a
a)
17
.
2
−
b)
19
.
4
−
c)
3
.
2
−
d)
9
.
4
e)
9
.
2
15. (Ita 2020) Seja a um número real satisfazendo 0 a .
2
π
< < Então, a soma de todos os valores de x [0, 2 ]
π
∈ que
satisfazem a equação cosxsen(a x) sena
+ = é igual a
a) 5 2a.
π +
b) 5 a.
π +
c) 5 .
π
d) 5 a.
π −
e) 5 2a.
π −
GABARITO
1 - C 2 - A 3 - D 4 - E 5 - B
6 - A 7 - B 8 - C 9 - C 10 - A
11 - C 12 - B 13 - B 14 - D 15 - E

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