Matematica unidad ii
- 1. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS, OPERACIONES CON CONJUNTOS. NÚMEROS REALES, DESIGUALDADES, DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO SARMIENTO GUSTAVO CI: 27.586.115 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO PROGRAMA DE FORMACIÓN NACIONAL AGROALIMENTACIÓN BARQUISIMETO - ESTADO LARA
- 2. Definición de Conjuntos Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones. Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo: a) C = {a, b, c, d, e, f, g, h} En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo: b) C = {x ∊ R, 1 ≤ x ≤ 2} es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos). Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos. En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas). Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3. No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales". R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.
- 3. Operaciones con conjunto 1.- Unión La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es: A ⋃ B = { x ∊ U / x ∊ A ˅ x ∊ B} Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos. Ejemplo: 2.- Intersección La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén simultáneamente en los conjuntos A y B. Este conjunto, expresado por comprensión es: A ⋂ B = {x ∊ U / x ∊ A ˄ x ∊ B} Así, podemos decir que los elementos de la intersección de A con B son aquéllos que estén a la vez en A y en B. Ejemplo:
- 4. 3.- Disjuntos o Incompatibles A veces, dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, esto es, la intersección de ambos es el conjunto vacío. En este caso diremos que los conjunto son disjuntos o incompatibles. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales impares y el conjunto de los números naturales pares son disjuntos porque no hay ningún número natural que sea simultáneamente par e impar, es decir, la intersección de ambos conjuntos es el conjunto vacío. Ejemplo: 4.- Diferencia Sean A y B conjuntos. La diferencia del conjunto A menos B, denotado por A – B, es el conjunto formado por los elementos que estén en A y no en B. Este conjunto, expresado por comprensión es: A – B = { x ∊ U / x ∊ A ˄ x ∉ B} Así, podemos decir que los elementos de la diferencia de A con B son aquéllos que estén únicamente en A. Ejemplo:
- 5. 4.- Complementación Sea A un conjunto. El complementario del conjunto A es el conjunto, denotado por Al, formado por los elementos del universal U que no estén en A. Este conjunto, expresado por comprensión es: Al = { x ∊ U / x ∉ A} En la figura del ejemplo, está señalado en verde el conjunto Al. Como cabe esperar, si un conjunto es el complementario de otro conjunto, diremos que ambos conjuntos son complementarios. Ejemplo:
- 6. Números Reales Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Ejemplo: a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000…. b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000…. c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333…. d) 2 es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097…. e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real. f) 1,01001000100001000001000000100000001…. g) Π también es real. Conjunto de los Números Reales el conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales. Los números racionales se clasifican en: a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b ≠ 0. d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, Por ejemplo, 3
- 7. En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, como por ejemplo 25. A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales. En efecto, 25= 5 e) Números Trascendentales , no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. Para terminar es recomendable observar con atención el siguiente mapa conceptual, para reafirmar todo lo anteriormente expuesto a cerca de los números reales. A partir de ahora, cuando se diga número sin adjetivo calificativo, estaremos hablando de número real. Puedes estar seguro de eso. La recta real Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número real. Como cada punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta recta es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos números racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los números (recuerde que todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en ella podemos visualizar el orden en que se ubican.
- 8. Propiedades de los Número Reales Propiedad Conmutativa. Operación suma y resta Definición: a + b= b + a el orden de sumar o multiplicar reales no altera el resultado. Ejemplo: a) 5 + 4 = 4 + 5 20 = 20 b) (- 8) 3 = 3 (- 8) -24 = -24 Propiedad Identidad. Operación suma y multiplicación Definición: a + 0 = a------ a x 1= a. Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. Ejemplo: a) 12 + (14 + 11) = (12 + 14) + 11 12 + 25 = 26 + 11 37 = 37 b) 589 x (33 x 12) = (589 x 33) x 12 589 x 396 = 19437 x 12 233244 = 233244 Propiedad Asociativa. Operación suma y multiplicación Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c. Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. Ejemplo: a) -11 + 0 = -11 b) 20 x 1 = 20
- 9. Propiedad Distributiva. Operación suma respecto a multiplicación Definición: a (b + c) = ab + a c. El factor se distribuye a cada sumando. Ejemplo: a) 30+ (-30) = 0 b) 1/8x (8) = 1 Propiedad Inversos. Operación suma y multiplicación Definición: a + (-a) = 0------(a)1/a=1. La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1. Ejemplo: a) 5(x+3) = 5(x) + 5(3) = 5x+ 15 b) 2x (4 +6) = 8x +12x = 20x Propiedad Reflexiva. Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma. Ejemplo: a) 3b = 3b b)10 + 5 = 10 + 5 Propiedad Simétrica. Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere. Propiedades de Igualdades Ejemplo: a) Si 22 + 30 = 52 entonces 52 = 22 + 30 b) Si q = z, entonces z = q
- 10. Propiedad Transitiva. Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales. Ejemplo: a) Si 7 + 5 = 12 y 6 + 6 = 12 entonces 7 + 5 = 6 + 6 b) Si p + q = x y a + c = x, entonces p + q = a + b Propiedad Uniforme. Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva. Ejemplo: a) Si 3 + 2 = 5, entonces 3 + 2 (4) = 5 (4) 5(4) = 20 20 = 20 b) Si a = b, entonces a + y = b + y Propiedad Cancelativa. Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera. Ejemplo: a) Si (3 x 2) – 3 = 6 - 3, entonces 3 x 2 = 6 6 = 6 b) Si p + q = n + q, entonces p = n
- 11. Inecuaciones y Desigualdades Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. < Menor que ≤ Menor o igual que > Mayor que ≥ Mayor o igual que Ejemplo: a) 4x + 6 ˃ 2x - 8 4x + 2x ˃ - 6 - 8 2x ˃ - 14 x ˃ - 14 2 x ˃ - 7 b) 13x - 3x + 2 - 5x ≥ - 10 + 2x + 6 13x - 3x - 5x – 2x ≥ - 10 + 6 – 2 3x ≥ – 6 x ≥ – 6 3 x ≥ – 2 Inecuaciones equivalentes Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada. Ejemplo: a) 5x + 2 < 4 5x + 2 - 2 < 4 - 2 5x < 2 b) 9x + 4 < 5 9x + 4 - 4 < 5 - 4 9x < 1
- 12. Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente ala dada. Ejemplo: a) 4x < 8 4x : 4 < 8 : 4 x < 2 b) 5x < 10 5x : 5 < 10 : 5 x < 2 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada. Ejemplo: a) - x < 6 - x . (- 1) ˃ (- 1) . 6 x ˃ - 6 a) - x < 8 - x . (- 1) ˃ (- 1) . 8 x ˃ - 8 Inecuaciones de primer grado Inecuaciones de primer grado con una incógnita 1º Quitar corchetes y paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 4º Efectuar las operaciones 5º Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. 6º Despejamos la incógnita. 7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.
- 13. Ejemplo: a) 4 (x + 1) < 2 – 3 (2x + 6) 4 x + 4 < 2 – 6x + 18 4 x + 4 < 2 – 6x - 18 4 x + 6x < 2 – 18 - 4 10x < – 20 x < – 20 10 x < – 2 – 2 b) 3 4 − 7𝑥 − 9 2 ≥ 5 3 − 8𝑥 + 11 4 𝑥 + 5 12 ( 3 4 − 7𝑥 − 9 2 ) ≥ 12 ( 5 3 − 8𝑥 + 11 4 𝑥 + 5) 9 – 84x – 54 ≥ 20 – 96x + 33x + 60 – 84x+ 96x – 33 ≥ 20 – 9 + 54 + 60 – 21x ≥ 125 x ≤ - 125 21 – 6 Inecuaciones de segundo grado Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma: 𝑎𝑥2 + bx + c > 0 o 𝑎𝑥2 + bx + c ≥ 0 o 𝑎𝑥2 + bx + c < 0 o 𝑎𝑥2 + bx + c ≤ donde, a b y c son números reales y a ≠ 0 . Su solución generalmente representa un intervalo o la unión de dos intervalos de números reales Ejemplo: a) 𝑥2 − 9 > 0 𝑥2 = 9 𝑥2 = ± 9 𝑥2 = ±3 X = + 3 X = − 3 Para x = -4 −42 − 9 = 16 – 9 = 7 > 0 Para x = 0 02 − 9 = 0 – 9 = - 9 < 0 Para x =4 42 − 9 = 16 – 9 = 7 > 0 – 3 3
- 14. b) 𝑥2 − 8 < 2x 𝑥2 - 2x − 8 = 0 a = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −8 𝑥 = −( −2) ± (−2)2−4(1)(−8) 2(1) 𝑥 = 2 ± 4 + 32 2 𝑥 = 2 ± 36 2 𝑥 = 2 ± 6 2 𝑥1 =2 + 6 = 8 = 4 2 2 𝑥2 = 2 - 6 = - 8 = - 4 2 2 Para x= - 3 (32 ) − 2. −3 − 8 = 9 + 6 − 8 = 7 ˃ 0 Para x= 0 (02 ) − 2. 0 − 8 = 0 + 0 − 8 = − 8 < 0 Para x= 5 (52 ) − 2. 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 ˃ 0 – 2 4 Inecuaciones racionales Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. 𝑥 − 2 𝑥 + 2 < 0 Ejemplo: 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 2 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2 𝑥 = −3 (−3)−2 (−3)+2 = −5 −1 = 5 𝑥 = 0 (0)−2 (0)+2 = −2 2 = −1 𝑥 = 3 (3) − 2 (3) + 2 = 1 5 – 2 2
- 15. b) 1 + 𝑥+2 𝑥 3 ˃ 2 1 + 𝑥+2 𝑥 − 3 − 2 ˃ 0 𝑥+2 𝑥 − 3 − 1 ˃ 0 𝑥+2 −(𝑥−3) 𝑥 − 3 − 1 ˃ 0 𝑥+2 −𝑥−3 𝑥 − 3 − 1 ˃ 0 5 𝑥 − 3 ˃ 0 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3 𝑥 = 0 5 0 − 3 = 5 − 3 𝑥 = 4 5 4 − 3 = 5 1 = 5 3 Valor Absoluto El valor absoluto o módulo de un número x, representado por |x| es igual a x si el número es positivo o 0 y es igual a - x si el número es negativo. El signo "-" opera en x cambiándolo a positivo. Ejemplo: a) |3|= 3 b) |- 3|= 3 Desigualdades con Valor Absoluto |x| ˃ a x < - a U x ˃ a a) |x + 5| ≥ 3 x + 5 ≤ - 3 ⋃ x + 5 ≥ 3 x ≤ - 3 -5 ⋃ x ≥ 3 - 5
- 16. Desigualdades con Valor Absoluto |x| ˃ a x < - a U x ˃ a a) |x + 5| ≥ 3 x + 5 ≤ - 3 ⋃ x + 5 ≥ 3 x ≤ - 3 -5 ⋃ x ≥ 3 - 5 x ≤ - 8 ⋃ x ≥ - 2 – 8 -2 b) |x - 3| ≤ 12 - 12 ≤ x – 3 ≤ 12 |x| < a - a < x < a - 12 + 3 ≤ x ≤ 12 + 3 - 9 ≤ x ≤ 15 – 9 15
- 17. Ejercicio Propuesto 1) |2x - 3| < 7