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Sistemas lineares 2

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The document contains 20 multiple choice questions related to systems of linear equations. The questions cover topics such as determining the number of solutions to a system, properties of matrices, and using systems of equations to solve word problems. Sample questions ask the learner to determine the number of possible values for a variable that would make a given system possible and indeterminate, or to identify properties of matrices that would satisfy certain conditions.

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APOSTILA DE EXERCÍCIOS SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES 1 01. (Acafe 2016) Uma revendedora de carros possui em seu pátio um estoque de carros nos modelos A e B no valor de R$ 7.400.000,00. O valor de cada carro no modelo A é de R$ 70.000,00 e o valor de cada carro no modelo B é de R$ 50.000,00. Ao longo de um determinado mês foram vendidos 40% do número de carros no modelo A e 60% do modelo B, gerando uma receita de R$ 3.810.000,00. A porcentagem aproximada de carros vendidos no mês foi de a) 51. b) 53. c) 55. d) 57. 02. (Acafe 2015) Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, marque com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. ( ) Uma matriz A é quadrada de ordem 4, e seu determinante vale 3, então, o valor do determinante da matriz 2A é 48. ( ) O sistema 2x 3y 5 8x ay b + =   + =  não admite solução para a 12 = e b 20. = ( ) Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A 0.  ( ) Para quaisquer matrizes A e B tais que existam os produtos AB e BA, tem-se 2 2 2 (A B) A 2AB B . + = + + A sequência correta, de cima para baixo, é a) V - F - V - F b) V - F - V - V c) F - V - F - V d) F - V - F - F 03. (Ita 2014) Considere a equação 𝐴(𝑡) 𝑋 = 𝐵 (𝑡),  𝑡  ∈   ℝ, em que 2t 2t 2e e 1 x A(t) 1 1 1 , X y 3 1 2 z −   − −       = − =         −       e t e B(t) 2 . 0       = −       Sabendo que det A(t) 1 = e t 0,  os valores de x, y e z são, respectivamente, a) 2 2, 0, 3 2. − b) 2 2, 0, 3 2. − − c) 0, 3 2, 2 2. d) 0, 2 3, 3. e) 2 3, 3, 0. −
SISTEMAS LINEARES 2 04. (Ita 2014) Sejam 1 1 1 A y x 1 −   =   −   e x 1 x B y 2 y z 3 z +     = −     −   matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo: I. BA é antissimétrica; II. BA não é inversível; III. O sistema ( ) BA X 0, = com   t 1 2 3 X x x x , = admite infinitas soluções, é (são) verdadeira(s) a) Apenas I e II b) Apenas II e III c) Apenas I d) Apenas II e) Apenas III 05. (Epcar 2013) Hoje, dia 29 de julho de 2012, José tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José tinha a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que José tem, a soma das idades deles será 90 anos. Em 29 de julho de 2017, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, será a) 6 5 b) 9 7 c) 5 4 d) 27 20 06. (Ita 2013) Considere o sistema de equações ax by c , px qy d + =   + =  com a, b, c, d, p e q reais, abcd 0,  a b m + = e d nc. = Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p q + é a) m b) m n c) m2 − n2 d) mn e) m + n 07. (Epcar 2013) Irão participar do EPEMM, Encontro Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de Professores das Escolas Militares, 87 professores das disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que cada professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e que o número de professores de Física é o triplo do número de professores de Química. Pode-se afirmar que a) se o número de professores de Química for 16, os professores de Matemática serão a metade dos de Física. b) o menor número possível de professores de Química é igual a 3. c) o número de professores de Química será no máximo 21. d) o número de professores de Química será maior do que o de Matemática, se o de Química for em quantidade maior ou igual a 17.
SISTEMAS LINEARES 3 08. (Epcar 2013) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1 4 da quantia de Pitágoras. Dessa forma, é correto afirmar que a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. b) Pitágoras possui hoje, 2 3 do que Tales possui. c) Tales possui hoje, mais que 220 reais. d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais. 09. (Espcex 2012) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. Assim, o valor numérico da expressão x y z −  é a) −2 b) −1 c) 2 d) 5 e) 10 10. (Epcar 2012) Sejam as matrizes 1 1 1 A 1 1 2 , 1 1 2     =     −   1 2 3 x X x x     =       e k B 3 5     =       Em relação à equação matricial AX B, = é correto afirmar que a) é impossível para 7 k . 2 = b) admite solução única para 7 k . 2 = c) toda solução satisfaz à condição 1 2 x x 4. + = d) admite a terna ordenada 1 2,1 , 2   −     como solução.
SISTEMAS LINEARES 4 11. (Epcar 2012) Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos. Observou que se der 50 reais para cada um lhe faltarão 50 reais e se der 40 reais para cada um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto afirmar que a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos. b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos. c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos de 45 reais cada um. d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus netos, de forma que não lhe sobre nenhum centavo. 12. (Epcar 2011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 460 pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela conseguiu vender 3 5 dos pastéis que levara e Ana Beatriz 5 8 dos pastéis que levara. Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana Beatriz era a metade do número de pastéis que restou para Isabela. Se Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então, a soma dos algarismos de x é a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 13. (Espcex 2011) Para que o sistema linear 2x y 5 ax 2y b + =   + =  seja possível e indeterminado, o valor de a b + é a) –1 b) 4 c) 9 d) 14 e) 19 14. (Epcar 2011) Considere três números naturais a, b e c, nessa ordem. A soma desses números é 888, a diferença entre o primeiro e o segundo é igual ao terceiro. O terceiro deles excede o segundo em 198. O valor da diferença entre o primeiro e o terceiro é tal que excede 90 em a) 23 b) 33 c) 43 d) 53 15. (Espcex 2011) Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digitação. Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 0 a 9, na forma − abcdef xy, em que a sequência (abcdef) representa, nessa ordem, os algarismos do número da conta e x e y, nessa ordem, representam os dígitos verificadores. Para obter os dígitos x e y, o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes matrizes: 1 2 1 A 0 1 0 0 2 1 −     =     −   x B y z     =       (a b) C (c d) (e f) −     = −     −   Os valores de x e y são obtidos pelo resultado da operação matricial  = A B C, desprezando-se o valor de z. Assim, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 356281 são a) 34 b) 41 c) 49 d) 51 e) 54
SISTEMAS LINEARES 5 16. (Ita 2011) O sistema x 2y 3z a y 2z b 3x y 5cz 0 + + =   + =   − − =  a) é possível, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. b) é possível quando 7b a ou c 1. 3 =  c) é impossível quando 𝑐 = 1, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. d) é impossível quando 𝑎 ≠ 7𝑏 3 , ∀𝑐 ∈ ℝ. e) é possível quando 7b c 1 e a . 3 =  17. (Ita 2003) O número de todos os valores de a ∈ [0, 2ð], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por -4x + y - 6z = cos 3a x + 2y - 5z = sen 2a 6x + 3y - 4z = -2 cos a É possível e não-homogêneo, é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. (Ita 1999) A soma de todos os valores de a ∈ [0, 2π[ que tornam o sistema: ( ) ( ) 2 2 2 x y z 0 x sen a ycos a z 2 sen a cos a 0 x sen a ycos a z 1 3sen a 2 sen 2a 0  + + =   + + + =   + + + + =   possível e indeterminado é a) 5 π b) 4 π c) 3 π d) 2 π e) π
SISTEMAS LINEARES 6 19. (Ita 1997) Sejam a, b, c ∈ │R* com a2 = b2 + c2 . Se x, y e z satisfazem o sistema c cos y b cos z a c cos x a cos z b b cos x a cos y c + =   + =   + =  então cos x + cos y + cos z é igual a a) (a b) c − b) (a b) c + c) (b c) a + d) (c a) b + e) 2 2 (b c ) a + 20. (Ita 1995) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema ( ) 2 3 3 x y z 0 x log a y z 0 27 2x 2y log z 0 a   + + =   + + =      + + =       é indeterminado, então a) S ⊂ [-3, 3] b) S é vazio c) S ⊂ [2, 4] d) S ⊂ [1, 3] e) S ⊂ [0, 1] GABARITO 1 - B 2 - A 3 - B 4 - B 5 - B 6 - D 7 - C 8 - A 9 - A 10 - C 11 - A 12 - B 13 - D 14 - B 15 - E 16 - B 17 - A 18 - A 19 - C 20 - A

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  • 2. SISTEMAS LINEARES 1 01. (Acafe 2016) Uma revendedora de carros possui em seu pátio um estoque de carros nos modelos A e B no valor de R$ 7.400.000,00. O valor de cada carro no modelo A é de R$ 70.000,00 e o valor de cada carro no modelo B é de R$ 50.000,00. Ao longo de um determinado mês foram vendidos 40% do número de carros no modelo A e 60% do modelo B, gerando uma receita de R$ 3.810.000,00. A porcentagem aproximada de carros vendidos no mês foi de a) 51. b) 53. c) 55. d) 57. 02. (Acafe 2015) Sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, marque com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. ( ) Uma matriz A é quadrada de ordem 4, e seu determinante vale 3, então, o valor do determinante da matriz 2A é 48. ( ) O sistema 2x 3y 5 8x ay b + =   + =  não admite solução para a 12 = e b 20. = ( ) Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, det A 0.  ( ) Para quaisquer matrizes A e B tais que existam os produtos AB e BA, tem-se 2 2 2 (A B) A 2AB B . + = + + A sequência correta, de cima para baixo, é a) V - F - V - F b) V - F - V - V c) F - V - F - V d) F - V - F - F 03. (Ita 2014) Considere a equação 𝐴(𝑡) 𝑋 = 𝐵 (𝑡),  𝑡  ∈   ℝ, em que 2t 2t 2e e 1 x A(t) 1 1 1 , X y 3 1 2 z −   − −       = − =         −       e t e B(t) 2 . 0       = −       Sabendo que det A(t) 1 = e t 0,  os valores de x, y e z são, respectivamente, a) 2 2, 0, 3 2. − b) 2 2, 0, 3 2. − − c) 0, 3 2, 2 2. d) 0, 2 3, 3. e) 2 3, 3, 0. −
  • 3. SISTEMAS LINEARES 2 04. (Ita 2014) Sejam 1 1 1 A y x 1 −   =   −   e x 1 x B y 2 y z 3 z +     = −     −   matrizes reais tais que o produto AB é uma matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo: I. BA é antissimétrica; II. BA não é inversível; III. O sistema ( ) BA X 0, = com   t 1 2 3 X x x x , = admite infinitas soluções, é (são) verdadeira(s) a) Apenas I e II b) Apenas II e III c) Apenas I d) Apenas II e) Apenas III 05. (Epcar 2013) Hoje, dia 29 de julho de 2012, José tem o dobro da idade que Luiz tinha quando José tinha a idade que Luiz tem. Quando Luiz tiver a idade que José tem, a soma das idades deles será 90 anos. Em 29 de julho de 2017, a razão entre as idades de José e Luiz, nessa ordem, será a) 6 5 b) 9 7 c) 5 4 d) 27 20 06. (Ita 2013) Considere o sistema de equações ax by c , px qy d + =   + =  com a, b, c, d, p e q reais, abcd 0,  a b m + = e d nc. = Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p q + é a) m b) m n c) m2 − n2 d) mn e) m + n 07. (Epcar 2013) Irão participar do EPEMM, Encontro Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de Professores das Escolas Militares, 87 professores das disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que cada professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e que o número de professores de Física é o triplo do número de professores de Química. Pode-se afirmar que a) se o número de professores de Química for 16, os professores de Matemática serão a metade dos de Física. b) o menor número possível de professores de Química é igual a 3. c) o número de professores de Química será no máximo 21. d) o número de professores de Química será maior do que o de Matemática, se o de Química for em quantidade maior ou igual a 17.
  • 4. SISTEMAS LINEARES 3 08. (Epcar 2013) Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1 4 da quantia de Pitágoras. Dessa forma, é correto afirmar que a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais. b) Pitágoras possui hoje, 2 3 do que Tales possui. c) Tales possui hoje, mais que 220 reais. d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais. 09. (Espcex 2012) A figura abaixo é formada por um dispositivo de forma triangular em que, nos vértices e nos pontos médios dos lados, estão representados alguns valores, nem todos conhecidos. Sabe-se que a soma dos valores correspondentes a cada lado do triângulo é sempre 24. Assim, o valor numérico da expressão x y z −  é a) −2 b) −1 c) 2 d) 5 e) 10 10. (Epcar 2012) Sejam as matrizes 1 1 1 A 1 1 2 , 1 1 2     =     −   1 2 3 x X x x     =       e k B 3 5     =       Em relação à equação matricial AX B, = é correto afirmar que a) é impossível para 7 k . 2 = b) admite solução única para 7 k . 2 = c) toda solução satisfaz à condição 1 2 x x 4. + = d) admite a terna ordenada 1 2,1 , 2   −     como solução.
  • 5. SISTEMAS LINEARES 4 11. (Epcar 2012) Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos. Observou que se der 50 reais para cada um lhe faltarão 50 reais e se der 40 reais para cada um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto afirmar que a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos. b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos. c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos de 45 reais cada um. d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus netos, de forma que não lhe sobre nenhum centavo. 12. (Epcar 2011) Certo dia, Isabela e Ana Beatriz saíram para vender pastéis na praia. Elas tinham juntas 460 pastéis. No final do dia, verificou-se que Isabela conseguiu vender 3 5 dos pastéis que levara e Ana Beatriz 5 8 dos pastéis que levara. Ao final do dia, o número de pastéis que restou para Ana Beatriz era a metade do número de pastéis que restou para Isabela. Se Ana Beatriz, levou x pastéis para vender, então, a soma dos algarismos de x é a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 13. (Espcex 2011) Para que o sistema linear 2x y 5 ax 2y b + =   + =  seja possível e indeterminado, o valor de a b + é a) –1 b) 4 c) 9 d) 14 e) 19 14. (Epcar 2011) Considere três números naturais a, b e c, nessa ordem. A soma desses números é 888, a diferença entre o primeiro e o segundo é igual ao terceiro. O terceiro deles excede o segundo em 198. O valor da diferença entre o primeiro e o terceiro é tal que excede 90 em a) 23 b) 33 c) 43 d) 53 15. (Espcex 2011) Os números das contas bancárias ou dos registros de identidade costumam ser seguidos por um ou dois dígitos, denominados dígitos verificadores, que servem para conferir sua validade e prevenir erros de digitação. Em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 0 a 9, na forma − abcdef xy, em que a sequência (abcdef) representa, nessa ordem, os algarismos do número da conta e x e y, nessa ordem, representam os dígitos verificadores. Para obter os dígitos x e y, o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes matrizes: 1 2 1 A 0 1 0 0 2 1 −     =     −   x B y z     =       (a b) C (c d) (e f) −     = −     −   Os valores de x e y são obtidos pelo resultado da operação matricial  = A B C, desprezando-se o valor de z. Assim, os dígitos verificadores correspondentes à conta corrente de número 356281 são a) 34 b) 41 c) 49 d) 51 e) 54
  • 6. SISTEMAS LINEARES 5 16. (Ita 2011) O sistema x 2y 3z a y 2z b 3x y 5cz 0 + + =   + =   − − =  a) é possível, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ. b) é possível quando 7b a ou c 1. 3 =  c) é impossível quando 𝑐 = 1, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. d) é impossível quando 𝑎 ≠ 7𝑏 3 , ∀𝑐 ∈ ℝ. e) é possível quando 7b c 1 e a . 3 =  17. (Ita 2003) O número de todos os valores de a ∈ [0, 2ð], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas x, y e z, dado por -4x + y - 6z = cos 3a x + 2y - 5z = sen 2a 6x + 3y - 4z = -2 cos a É possível e não-homogêneo, é igual a a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. (Ita 1999) A soma de todos os valores de a ∈ [0, 2π[ que tornam o sistema: ( ) ( ) 2 2 2 x y z 0 x sen a ycos a z 2 sen a cos a 0 x sen a ycos a z 1 3sen a 2 sen 2a 0  + + =   + + + =   + + + + =   possível e indeterminado é a) 5 π b) 4 π c) 3 π d) 2 π e) π
  • 7. SISTEMAS LINEARES 6 19. (Ita 1997) Sejam a, b, c ∈ │R* com a2 = b2 + c2 . Se x, y e z satisfazem o sistema c cos y b cos z a c cos x a cos z b b cos x a cos y c + =   + =   + =  então cos x + cos y + cos z é igual a a) (a b) c − b) (a b) c + c) (b c) a + d) (c a) b + e) 2 2 (b c ) a + 20. (Ita 1995) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema ( ) 2 3 3 x y z 0 x log a y z 0 27 2x 2y log z 0 a   + + =   + + =      + + =       é indeterminado, então a) S ⊂ [-3, 3] b) S é vazio c) S ⊂ [2, 4] d) S ⊂ [1, 3] e) S ⊂ [0, 1] GABARITO 1 - B 2 - A 3 - B 4 - B 5 - B 6 - D 7 - C 8 - A 9 - A 10 - C 11 - A 12 - B 13 - D 14 - B 15 - E 16 - B 17 - A 18 - A 19 - C 20 - A