随伴とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/07 14:21 UTC 版)

「極限 (圏論)」の記事における「随伴」の解説

普遍的構成が持つように、極限と余極限も自然に関手性を持っている。言い換えると、形がJ(Jは小さいとする)であるCにおける全ての図式が極限を持つとすると、極限関手 l i m : C J → C {\displaystyle \mathrm {lim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}} が存在する。ここで、この関手は各図式をその極限に写し、各自然変換η : F → Gは対応する普遍錐と可換である一意な射lim η : lim F → lim Gに写すものとする。この関手は対角関手Δ : C → CJ.の右随伴関手である。この随伴はNからlim Fへのすべての射からなる集合とNからFへのすべての錐からなる集合の間の全単射 H o m ( N , l i m F ) ≅ C o n e ( N , F ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (N,\mathrm {lim} F)\cong \mathrm {Cone} (N,F)} で与えられる。これは変数NとFに関して自然である。この随伴の余単位射 (counit) はlim FからFへの普遍錐そのものである。添え字圏Jが連結である(そして空でない)場合は、随伴の単位射 (unit) はlimがΔの左逆になるような同型射である。これはJが連結でない場合は正しくない。例えば、Jが離散圏である場合、単位射のコンポーネントは対角射 δ : N → NJ である。 双対的に、形がJ(Jは小さいとする)であるCの全ての図式が余極限を持つとき、余極限関手 c o l i m : C J → C {\displaystyle \mathrm {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}} が存在し、各図式をその余極限に写す。この関手は対角関手Δ : C → CJの左随伴であり、自然な全単射 H o m ( c o l i m F , N ) ≅ C o c o n e ( F , N ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {colim} F,N)\cong \mathrm {Cocone} (F,N).} が存在する。この随伴の単位射はFからcolim Fへの普遍余錐である。Jが連結で(空でない)とき、余単位射はcolimがΔの左逆となるような同型射である。 極限関手も余極限関手も共変関手であることに注意すること。

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