商空間上の関数とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/29 13:24 UTC 版)

「周期関数」の記事における「商空間上の関数」の解説

フーリエ級数は周期関数を表現し、フーリエ級数は畳み込み定理 （すなわち、フーリエ級数の畳み込みは表現される周期関数の積に対応し、逆もまた然り）を満足するけれども、信号処理において周期関数の畳み込みは通常の定義に従えば積分が発散するために畳み込むことができないという問題に遭遇する。これを解決する方法の一つは、有界だが周期的でない領域上で定義された周期関数というものを考えることである。これを達成するために商空間の概念を用いて R / Z = { x + Z : x ∈ R } = { { y : y ∈ R ∧ y − x ∈ Z } : x ∈ R } {\displaystyle {\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}} を考えよう。このとき R/Z の各元は同じ小数部分を持つ実数からなる同値類であり、関数 f: R/Z → R は周期 1 の周期関数を表すものと考えられる。

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