空格子近似とは？ わかりやすく解説

この項目「空格子近似」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：en:Empty lattice approximation 08:29, 10 Feb 2017 (UTC)） 修正、加筆に協力し、現在の表現をより原文に近づけて下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2017年11月）

空格子近似はポテンシャルが周期的で弱い (一定に近い) 理論的な電子バンド構造のモデルである。ポテンシャルが周期的ではない空^[要説明]格子不規則格子を考えうる^[1]。空格子近似は結晶格子中を移動する非相互関係の自由電子のエネルギー分散関係の多くの特性を記述することができる。「空格子」中の電子のエネルギーは自由電子のエネルギーと同じである。このモデルは有用である。なぜなら全ての電子バンド構造にとって基本的な固体におけるエネルギー分散関係の、時に示す非常に複雑な特徴に明確な説明を与えるからである。

散乱と周期性

1次元格子における自由電子のバンド

この自由電子のモデルにおける格子の周期ポテンシャルは弱くなくてはならない。そうでなくては電子は自由ではなくなるからである。散乱の強さは主に系の形状およびトポロジーに依存している。散乱断面積のようにトポロジカル的に定義されたパラメータは、ポテンシャルの大きさとポテンシャル井戸の大きさに依存している。1次元、2次元、3次元の空間では、ポテンシャル井戸はポテンシャルの大きさや符号や大きさがどれくらい制限されるかに関わらず常に波を散乱させる。一次元格子の粒子の場合、クローニッヒ・ペニーモデルのようにポテンシャル、格子間隔、ポテンシャル井戸の大きさの値を代入することにより、分析的にバンド構造を計算することができる^[2]。2次元及び3次元の問題では、いくつかのパラメータを有する類似のモデルに基づいて正確にバンド構造を計算するのはより難しいことである。それでもなお、バンド構造の特性は摂動法を用いることでほとんどの領域で容易に近似をすることができる。

理論的には、格子は無限大の大きさなので、弱い周期的散乱ポテンシャルは最終的に波を反射するのに十分な強さになる。散乱の過程は結晶構造の周期的ポテンシャルによる良く知られた電子のブラッグ反射をもたらす。これは分散関係とブリルアンゾーンにおけるk空間の分割の周期性の原因である。周期的エネルギー分散関係は以下の式で表される。

${\displaystyle E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m}}}$

図3:3次元k空間における自由電子の状態密度