中点法とは？ わかりやすく解説

${\displaystyle y_{n}}$

微分方程式 ${\displaystyle y'=y,y(0)=1}$

同じく、${\displaystyle h=0.25}$ の場合。中点法のほうがオイラー法より収束が速いことが見てとれる。

中点法はオイラー法

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}$

を改良したものであり、手順も類似している。 オイラー法を導く鍵は近似式

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t))\qquad \qquad (2)}$

であり、これは傾きの公式

${\displaystyle y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\qquad \qquad (3)}$

と ${\displaystyle y'=f(t,y)}$ に注意することで得られる。

中点法の場合、(3) をより正確な

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

で置き換える。すると (2) は次の式に変わる。

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right)\qquad \qquad (4)}$

この式を使って ${\displaystyle y(t+h)}$ を求めることはできない。なぜなら ${\displaystyle y}$ の ${\displaystyle t+h/2}$ での値が分からないからである。そのため、ちょうどオイラー法で ${\displaystyle y(t+h/2)}$ を求めるのと同じように、テイラー展開を使って

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))}$

と近似する。これを (4) に代入すると

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

のように陽的中点法 (1e) の公式が得られる。

陰的中点法 (1i) は、ステップの中間点 ${\displaystyle t+h/2}$ での値を ${\displaystyle y(t)}$ と ${\displaystyle y(t+h)}$ とを結ぶ線分の中点

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

で近似し、

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

とすることで得られる。${\displaystyle y_{n}+h\,k}$ で ${\displaystyle y(t_{n}+h)}$ を近似すると陰的ルンゲ＝クッタ法

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

が得られるが、前半部分はステップ幅を ${\displaystyle h/2}$ とした後退オイラー法を含んでいる。

陰的中点法では時間についての対称性から ${\displaystyle h}$ の偶数乗の局所誤差項は全てキャンセルし、誤差は自動的に ${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$ となる。${\displaystyle k}$ の決定を後退オイラー法ではなく（前進）オイラー法で行うと、再び陽的中点法が得られる。

関連項目

• 区分求積法
• ホイン法（英語版）
• リープ・フロッグ法
• ベレの方法

脚注

参考文献

• Griffiths,D. V.; Smith, I. M. (1991). Numerical methods for engineers: a programming approach. Boca Raton: CRC Press. p. 218. ISBN 0-8493-8610-1. 
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-00794-1 .