半環とは？ わかりやすく解説

抽象代数学において、半環（はんかん、英: semi-ring）とは環に類似した代数的構造で、環の公理から加法的逆元の存在を除いたものである。負元 (negative) の無い環 (ring) ということから rig という用語もしばしば用いられる。

定義

半環は、以下の性質を満たす二つの二項演算、即ち加法（和）"+" と乗法（積）"·" とを備えた集合 R を言う^[1]：

1. (R, +) は単位元 0 を持つ可換モノイドを成す:
   1. (a + b) + c = a + (b + c),
   2. 0 + a = a + 0 = a,
   3. a + b = b + a.
2. (R, ·) は単位元 1 を持つモノイドを成す:
   1. (a · b)· c = a ·(b · c),
   2. 1 · a = a · 1 = a.
3. 乗法は加法の上に分配的である:
   1. a ·(b + c) = (a · b) + (a · c),
   2. (a + b)· c = (a · c) + (b · c).
4. 0-倍は R を零化する:
   1. 0 · a = a · 0 = 0.

上記の最後の公理は環の場合には他の公理から導かれるので不要だが、一般の半環では成り立つとは限らないので明示的に要求する必要がある。半環が環と異なる点は、加法が単に可換モノイドを成せばよく、可換群を成すとは限らないことである。

通例、乗法の記号はしばしば省略して a · b を単に ab と記し、また演算の優先順位として乗法は加法 "+" に優先するものと約束する（例えば a + bc は a + (bc) の意である）。

乗法が可換な半環を可換半環 (commutative semiring) と言う。加法が冪等演算となる（つまり任意の a が a + a = a を満たす）半環を冪等半環 (idempotent semiring, dioid) と言う。言い換えれば、冪等半環の加法モノイド (R, +, 0) は零付き結び半束を成す。

文献によっては半環が 0 や 1 を持つことを仮定しないものもある。このような扱いをすると、「環と半環との関係」が「群と半群との関係」の類似対応物としてより捉えやすくなるという利点がある。この場合、本項で言うところの「半環」の概念を特に rig と呼んで呼び分けるのが普通である。

例

一般の例

• 任意の環は半環である。
• 一つの環のイデアルの全体は、イデアルの和と積に関して半環を成す。
• 単位的完備冪等半環（英語版）は、結びと乗法に関して冪等半環 (dioid) である。
• 任意の有界分配束は結びと交わりに関して可換冪等半環を成す。特にブール代数はそのような半環である。ブール環も半環を成し、実際には環を成すが、これは加法が冪等でない。
• 環 R における正規歪束（英語版） は乗法と
  ${\displaystyle a\mathop {{}\nabla {}} b:=a+b+ba-aba-bab}$
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