极值定理

闭区间[a,b]上的连续函数ƒ(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点。

在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得：

$f(c)\geq f(x)\geq f(d)$对于所有$x\in [a,b]$。

一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。也就是说，存在实数m和M，使得：

$m\leq f(x)\leq M$对于所有$x\in [a,b]$。

极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

定理的证明

我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f，也可推出f 的下界和存在最小值。

我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。

有界性定理的证明

假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个x_n，使得f(x_n) > n（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个序列{x_n}。

由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{x_n}的一个收敛的子序列$\{x_{n_{k}}\}$。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。因为f在x处连续，我们知道$\{f(x_{n_{k}})\}$收敛于实数f(x)。

但对于所有的k，都有$f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k$，这意味着$\{f(x_{n_{k}})\}$发散于无穷大。

前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。同理f在[a,b]内有下界。证毕。

极值定理的证明1

基本步骤为：

1. 寻找一个序列，它的像收敛于f 的最小上界。
2. 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
3. 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

我们现在证明函数f 在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f 有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f 的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f (d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是 f 的上界。因此，存在[a,b]内的d_n，使得M – 1/n < f (d_n)。这便定义了一个序列{d_n}。由于M是f 的一个上界，即便是对于所有的n，我们仍有M – 1/n < f (d_n) ≤ M。因此，序列$\{f(d_{n})\}$收敛于M。

根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列$\{d_{n_{k}}\}$，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间，$d\in [a,b]$。因为f 在d 处连续，所以序列$\{f(d_{n_{k}})\}$收敛于f (d)。但$\{f(d_{n_{k}})\}$是$\{f(d_{n})\}$的一个子序列，收敛于M，因此M = f (d)。所以，f 在d 处取得最小上界M。证毕。

极值定理的证明2

设M是f 在区间[a,b]上的最小上界，我们要证明存在$d\in [a,b]$使得$f(d)=M$。我们使用反证法：如若不然，对任意 $x\in [a,b]$，$f(x)\neq M$，所以，对任意的$x\in [a,b]$，$f(x)<M$。我们考虑正值的函数

$g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.$

因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于M是f (x)的最小上界，所以存在 $x\in [a,b]$，使得f (x)可以无限地接近M，从而g(x)是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。

注: 上面构造函数g(x)来证明最大值能在某个d取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。

例子

以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。

1. 定义在[0,∞)的函数f(x) = x没有上界。
2. 定义在[0,∞)的函数f(x) = x/(1 + x)有界，但不取得最小上界1。
3. 定义在(0,1]的函数f(x) = 1/x没有上界。
4. 定义在(0,1]的函数f(x) = 1 –x有界，但不取得最小上界1。

推广到半连续函数

如果把f的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地：

定理：如果函数f : [a,b] → [–∞,∞)是上半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：

$\limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)$，

那么f有上界，且取得最小上界。

证明：如果对于[a,b]内的所有x，都有f(x) = –∞，那么最小上界也是–∞，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，f在x处的半连续性只意味着子序列$\{f(x_{n_{k}})\}$的上极限有上界f(x) < ∞，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，f在d处的半连续性意味着子序列$\{f(d_{n_{k}})\}$的上极限有上界f(d)，但这已足以推出f(d) = M的结论。证毕。

把这个结果应用于−f，可得：

定理：如果函数f : [a,b] → (–∞,∞]是下半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有：

$\liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)$

那么f有下界，且取得最大下界。

一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。

参考文献

• Parzynski, William R. Introduction to Mathematical Analysis. McGraw-Hill, Inc. 1982: 102-104. 
• Michael Spivak. Calculus. Cambridge University Press. 2006. 

外部链接

• cut-the-knot上极值定理的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Boundedness Theorem. PlanetMath. 
• Extreme Value Theorem. PlanetMath. 
• 埃里克·韦斯坦因. 极值定理. MathWorld.