表达式

表达式（expression）此处是数学表达式（mathematical expression）的简称，在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。数学符号可用于标定常量、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。^[1]

表达式随语境或不同领域学科也称：表示式、数学式、运算式（operation expression）、表式、陈式、算式；数学术语若是复合词，表达式也常简作“式”；例如：代数式（algebraic expression）、渐近式（asymptotic expression）。

范例

表达式有简单的，例如：

0+0

8x-5

（线性多项式）

7{{x}^{2}}+4x-10

（二次多项式）

{\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}

（有理分式）

也有复杂的：

f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{k}}{\operatorname {d} \!t^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {\operatorname {d} \!^{n+1}}{\operatorname {d} \!t^{n+1}}}f(u(t))\,\operatorname {d} \!t.

各种表达式的分类列表

数学表达式的各种形式包括了算术、多项式、代数、闭合形式和解析的表达式。下表列出了这些种类中所可能包含的元素。

查论编	算式	多项式	代数式	闭合形式	解析式	数学表达式
常量	是	是	是	是	是	是
变数	是	是	是	是	是	是
四则运算	是	是	是	是	是	是
阶乘	是	是	是	是	是	是
整数指数幂	否	是	是	是	是	是
N次方根	否	否	是	是	是	是
有理数幂	否	否	是	是	是	是
实数指数幂	否	否	否	是	是	是
对数	否	否	否	是	是	是
三角函数	否	否	否	是	是	是
反三角函数	否	否	否	是	是	是
双曲函数	否	否	否	是	是	是
反双曲函数	否	否	否	是	是	是
Γ函数	否	否	否	否	是	是
Bessel函数	否	否	否	否	是	是
特殊函数	否	否	否	否	是	是
连分数	否	否	否	否	是	是
级数	否	否	否	否	是	是
形式幂级数	否	否	否	否	否	是
微分	否	否	否	否	否	是
极限	否	否	否	否	否	是
积分	否	否	否	否	否	是

语法与语义

语法

表达式是一个句法结构，它必须具有良好定义的形式。表达式中的运算符必须在正确位置有正确的输入数，组成这些输入的字符必须是有效的，具有明确的运算次序等。违反语法规则的字符，不会构成有效的数学表达式。例如，在一般算术符号中，表达式 1 + 2 × 3 是形式良好的，而下面的表达式则不是：

\times 4)x+,/y

.

语义

表达式的语义是对语句意义的研究，逻辑语义学是关于所传达的意义。在代数中，可用表达式指定一个值；而这个结果值取决于对式中变量所赋予的值，经由附加语义的运算符操作后以确定该值。语义的选择则根据表达式的上下文。同一个表达式 1 + 2 × 3 可能会有不同结果（依算数惯例的结果为7，也可能是9），这取决于上下文中隐含的运算次序。

语义规则可以声明某些表达式并无指定值（例如，当它们除以0时）；对这表达式称为未定义，但它们仍然以良好的形式表现出来。广义来说，表达式的意义并不局限于指定值；例如，表达式可用于指定条件，表示要被求解的方程，或将其视为可根据某些规则而操作的对象。有指定值的表达式同时也代表了有假设前提，例如与运算符 $\oplus$ 有关的假设前提，会指定一个内部的直接和（direct sum）。

形式语言和lambda演算

表达式和其赋值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇和Stephen Kleene在其 $\lambda$ 演算中被公式化。 $\lambda$ 演算对现代数学和电脑程式语言的发展都曾有过重大的影响。

$\lambda$ 演算有著一个更有趣的推论，在某些情况之下，两个表达式的等值与否是无法决定的。而且这个推论在任一和 $\lambda$ 演算有同样功用的系统内也都是成立的。

变量

许多数学表达式中包括变量，变量又区分为自由变量或约束变量两种。对于自由变量赋值的一给定组合，进行对表达式的评估，然而这些赋值的某些组合在评估整句表达式后的结果，可能没有定义。因此一个表达式表示一个函数，其输入是赋予自由变量的值，其输出是表达式的结果值。

举例来说，表达式 ${\frac {x}{y}}$ ，分别使自由变数 $x$ 和 $y$ 定值为 $10$ 和 $5$ ，其输出为数字 $2$ ；
但注意在 $y$ 值为 $0$ 时，则这表达式没有定义。

数学表达式的评估取决于上下文背景对式中运算符的定义，赋值的定义域和评估结果的域。如果两个表达式之中的变量，对于它们赋值的每一种组合都产生相同的输出，则这两个表达式被认定为相等，即它们实为相同的函数。

例如，表达式 $\sum _{n=1}^{3}2nx$ 有自由变数 $x$ 、约束变数 $n$ 、常数 $1,2,3$ 、两个内含的乘法算符和一个总和算符。
此一表达式和另一较简单的表达式 $12x$ 相等。 $x=3$ 时的值为 $36$ 。

参见

参考资料

^ Oxford English Dictionary, s.v. “Expression (n.), sense II.7,” "A group of symbols which together represent a numeric, algebraic, or other mathematical quantity or function."

外部链接

Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
Plot mathematical expressions （页面存档备份，存于互联网档案馆） this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.

[1] Oxford English Dictionary, s.v. “Expression (n.), sense II.7,” "A group of symbols which together represent a numeric, algebraic, or other mathematical quantity or function."

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