| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, dins la geometria riemanniana, el tensor mètric és un tensor de rang 2 que s'utilitza per definir conceptes mètrics com distància, angle i volum en un espai localment euclidià. (ca)
- V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z reálné číslo. Dosadíme-li dva různé vektory U,V, realizuje tento přepis jejich skalární součin. Dosadíme-li dva stejné vektory V, definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru V. Pokud pro každý vektor V a každý bod variety je toto číslo kladné, označujeme metriku jako Riemannovskou. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako pseudo-Riemannovskou. Toto je typické např. pro Obecnou teorii relativity. (cs)
- في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية v وw عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا g(v, w)بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب. يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة g(v, v) > 0لكل متجه غير صفري v، فالمتشعب المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم متشعب ريماني، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا بالمنحنى الجيوديسي، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم الطول فإن المتشعب الريماني هو فضاء متري، مما يعني أنه يملك دالة مسافة d(p, q)التي تكون قيمتها عند زوج من النقاط p وq هي المسافة من p إلى q وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو مشتق من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب. في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر لعلماء الرياضيات أمثال كارل غاوس، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه كموتّر من قِبل غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-تشيفيتا على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على حقل الموتر. تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في القاعدة الإحداثية شكل مصفوفة متماثلة تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل فضاء مماسي متغير بنعومة (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى. (ar)
- Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten. Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind. Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann. (de)
- Erlatibitate orokorraren arloan, metrika tentsoreak (normalean metrika izenaz ezagutua testuinguru honetan) espazio-denbora osoaren geometria deskribatzen du. Beraz zenbait kontzeptu deskribatzeko oso erabilgarria da, hala nola, denbora, distantzia, bolumena, kurbatura, angelua, baita gertaeren kausaltasun erlazioak eta iragana eta etorkizunaren arteko muga. (eu)
- En geometría de Riemann, el tensor métrico es un tensor de rango 2 que se utiliza para definir conceptos métricos como distancia, ángulo y volumen en un espacio localmente euclídeo. (es)
- In the mathematical field of differential geometry, a metric tensor (or simply metric) is an additional structure on a manifold M (such as a surface) that allows defining distances and angles, just as the inner product on a Euclidean space allows defining distances and angles there. More precisely, a metric tensor at a point p of M is a bilinear form defined on the tangent space at p (that is, a bilinear function that maps pairs of tangent vectors to real numbers), and a metric tensor on M consists of a metric tensor at each point p of M that varies smoothly with p. A metric tensor g is positive-definite if g(v, v) > 0 for every nonzero vector v. A manifold equipped with a positive-definite metric tensor is known as a Riemannian manifold. Such a metric tensor can be thought of as specifying infinitesimal distance on the manifold. On a Riemannian manifold M, the length of a smooth curve between two points p and q can be defined by integration, and the distance between p and q can be defined as the infimum of the lengths of all such curves; this makes M a metric space. Conversely, the metric tensor itself is the derivative of the distance function (taken in a suitable manner). While the notion of a metric tensor was known in some sense to mathematicians such as Carl Gauss from the early 19th century, it was not until the early 20th century that its properties as a tensor were understood by, in particular, Gregorio Ricci-Curbastro and Tullio Levi-Civita, who first codified the notion of a tensor. The metric tensor is an example of a tensor field. The components of a metric tensor in a coordinate basis take on the form of a symmetric matrix whose entries transform covariantly under changes to the coordinate system. Thus a metric tensor is a covariant symmetric tensor. From the coordinate-independent point of view, a metric tensor field is defined to be a nondegenerate symmetric bilinear form on each tangent space that varies smoothly from point to point. (en)
- En géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice symétrique, généralement notée , pour ne pas confondre la matrice (en majuscule) et le tenseur métrique g. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée. (fr)
- Een metrische tensor is een symmetrische tensor van type (0,2) op een gladde variëteit. Dat wil zeggen dat in elk punt van deze ruimte, de metrische tensor een symmetrische bilineaire vorm bepaalt op de raakruimte: De metrische tensor bepaalt de lokale meetkundige structuur van de variëteit volledig. Het kan onder meer een riemann-variëteit of een lorentz-variëteit betreffen. De krommingstensor van Riemann kan uit de metrische tensor afgeleid worden. De tensor is een entiteit op zichzelf, onafhankelijk van de gebruikte coördinaten. Een beschrijving in termen van coördinaten verandert dus bij een coördinatentransformatie. (nl)
- リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）とは、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。 ひとたびある座標系 xi が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 G があてがわれ、各成分は gij とされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。 以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法に従う。 時刻t1 から t2 までの曲線の長さは、t をパラメータとして、 と定義される。 この定義からわかる通り、 gij は、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。 このとき2つの接ベクトル（tangent vector） と のなす角度 θ は、 で与えられる。 (ja)
- In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, di una geodetica o di una curvatura. (it)
- Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej. Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:
* za pomocą iloczynu skalarnego,
* za pomocą elementu liniowego. W artykule opisano oba sposoby. (pl)
- Metrisk tensor knyter ett avståndsbegrepp till en rymd definierad av tensorer. (sv)
- Em matemática, o tensor métrico é um tensor simétrico positivo-definido de ordem 2 que é usado para medir a distância em um espaço e também descrever a geometria desse espaço. Em outros termos, dado uma variedade plana, nós fazemos uma escolha do tensor (0,2) sobre os espaços tangentes à variedade. Em um ponto dado sobre a variedade, este tensor pega um par de vetores no espaço tangente ao ponto, e encontra um número real. Este conceito é exatamente como um produto pontual ou produto interno. Esta função de vetores dentro dos números reais é requerido para variar planamente de ponto à ponto. De modo semelhante, na relatividade geral, o tensor métrico ou simplesmente métrica, transmite todas as informação sobre estrutura causal e geométrica do espaço-tempo. Usando a métrica pode-se definir noções como distâncias, volume, ângulos, passado, futuro e curvatura. Diferentemente do caso matemático, o tensor métrico da Relatividade não é positivo-definido, e corresponde ao que, em matemática, é chamado de pseudométrica. (pt)
- Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве.Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки. Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству.В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой. В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырехмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики. Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна, то есть по каждому повторяющемуся индексу. (ru)
- Метричний тензор — тензор другого рангу на гладкому многовиді, що задає його локальні властивості, зокрема визначає скалярний добуток. Метричний тензор використовується в загальній теорії відносності як метрика простору-часу. (uk)
- 度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- En matemàtiques, dins la geometria riemanniana, el tensor mètric és un tensor de rang 2 que s'utilitza per definir conceptes mètrics com distància, angle i volum en un espai localment euclidià. (ca)
- Erlatibitate orokorraren arloan, metrika tentsoreak (normalean metrika izenaz ezagutua testuinguru honetan) espazio-denbora osoaren geometria deskribatzen du. Beraz zenbait kontzeptu deskribatzeko oso erabilgarria da, hala nola, denbora, distantzia, bolumena, kurbatura, angelua, baita gertaeren kausaltasun erlazioak eta iragana eta etorkizunaren arteko muga. (eu)
- En geometría de Riemann, el tensor métrico es un tensor de rango 2 que se utiliza para definir conceptos métricos como distancia, ángulo y volumen en un espacio localmente euclídeo. (es)
- En géométrie, et plus particulièrement en géométrie différentielle, le tenseur métrique est un tenseur d'ordre 2 permettant de définir le produit scalaire de deux vecteurs en chaque point d'un espace, et qui est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles. Il généralise le théorème de Pythagore. Dans un système de coordonnées donné, le tenseur métrique peut se représenter comme une matrice symétrique, généralement notée , pour ne pas confondre la matrice (en majuscule) et le tenseur métrique g. Dans ce qui suit, la convention de sommation d'Einstein est utilisée. (fr)
- リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）とは、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソルである。距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。 ひとたびある座標系 xi が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 G があてがわれ、各成分は gij とされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。 以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法に従う。 時刻t1 から t2 までの曲線の長さは、t をパラメータとして、 と定義される。 この定義からわかる通り、 gij は、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。 このとき2つの接ベクトル（tangent vector） と のなす角度 θ は、 で与えられる。 (ja)
- In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, di una geodetica o di una curvatura. (it)
- Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej. Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:
* za pomocą iloczynu skalarnego,
* za pomocą elementu liniowego. W artykule opisano oba sposoby. (pl)
- Metrisk tensor knyter ett avståndsbegrepp till en rymd definierad av tensorer. (sv)
- Метричний тензор — тензор другого рангу на гладкому многовиді, що задає його локальні властивості, зокрема визначає скалярний добуток. Метричний тензор використовується в загальній теорії відносності як метрика простору-часу. (uk)
- 度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。 (zh)
- في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية v وw عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا g(v, w)بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب. (ar)
- V matematice je metrický tenzor zpravidla tenzorové pole druhého řádu na hladké varietě, které dává do souvislosti souřadnice a vzdálenost. Jinými slovy, zvolíme na hladké variety tenzorové pole druhého řádu. V daném bodě variety přiřadí toto pole dvěma vektorům z reálné číslo. (cs)
- Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten. Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind. (de)
- In the mathematical field of differential geometry, a metric tensor (or simply metric) is an additional structure on a manifold M (such as a surface) that allows defining distances and angles, just as the inner product on a Euclidean space allows defining distances and angles there. More precisely, a metric tensor at a point p of M is a bilinear form defined on the tangent space at p (that is, a bilinear function that maps pairs of tangent vectors to real numbers), and a metric tensor on M consists of a metric tensor at each point p of M that varies smoothly with p. (en)
- Een metrische tensor is een symmetrische tensor van type (0,2) op een gladde variëteit. Dat wil zeggen dat in elk punt van deze ruimte, de metrische tensor een symmetrische bilineaire vorm bepaalt op de raakruimte: (nl)
- Em matemática, o tensor métrico é um tensor simétrico positivo-definido de ordem 2 que é usado para medir a distância em um espaço e também descrever a geometria desse espaço. Em outros termos, dado uma variedade plana, nós fazemos uma escolha do tensor (0,2) sobre os espaços tangentes à variedade. Em um ponto dado sobre a variedade, este tensor pega um par de vetores no espaço tangente ao ponto, e encontra um número real. Este conceito é exatamente como um produto pontual ou produto interno. Esta função de vetores dentro dos números reais é requerido para variar planamente de ponto à ponto. (pt)
- Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве.Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки. Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству.В частном случае поверхности метрика также называется первой квадратичной формой. (ru)
|
