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- En matemáticas, una ecuación modular es una igualdad algebraica satisfecha por módulos. Normalmente se trata de expresiones cuya comprobación constituye un problema cuya demostración debe ajustarse a las reglas de un determinado . Es decir, dada una serie de funciones en un espacio modular, una ecuación modular es una relación que se verifica entre ellas, o en otras palabras, es una identidad que se verifica para un conjunto de operadores de módulos. El uso más frecuente del término ecuación modular es en relación con los correspondientes problemas de curvas elípticas. En ese caso, el espacio de módulos en sí mismo es de dimensión uno, lo que implica que dado un par cualquiera de funciones racionales F y G en el de la curva modular, satisfarán una ecuación modular P(F,G) = 0, siendo P un polinomio distinto de cero de dos variables sobre los números complejos. Para una elección adecuada no degenerada de F y G, la ecuación P(X,Y) = 0 definirá realmente la curva modular. Esto puede calificarse diciendo que P, en el peor de los casos, será de alto grado y la curva plana que define tendrá puntos singulares; y los coeficientes de P pueden ser números muy grandes. Además, las "cúspides" del problema de los módulos, que son los puntos de la curva modular que no corresponden a las curvas elípticas normales sino a los casos degenerados, pueden ser difíciles de interpretar sin el conocimiento de P. En ese sentido, una ecuación modular se convierte en la ecuación de una curva modular. Dichas ecuaciones surgieron por primera vez en la teoría de la multiplicación de funciones elípticas (geométricamente, la variedad n2 de recubrimiento de un 2-toro sobre sí mismo, dado por la aplicación x → n·x en el grupo subyacente) expresado en términos de análisis complejo. (es)
- In mathematics, a modular equation is an algebraic equation satisfied by moduli, in the sense of moduli problems. That is, given a number of functions on a moduli space, a modular equation is an equation holding between them, or in other words an identity for moduli. The most frequent use of the term modular equation is in relation to the moduli problem for elliptic curves. In that case the moduli space itself is of dimension one. That implies that any two rational functions F and G, in the function field of the modular curve, will satisfy a modular equation P(F,G) = 0 with P a non-zero polynomial of two variables over the complex numbers. For suitable non-degenerate choice of F and G, the equation P(X,Y) = 0 will actually define the modular curve. This can be qualified by saying that P, in the worst case, will be of high degree and the plane curve it defines will have singular points; and the coefficients of P may be very large numbers. Further, the 'cusps' of the moduli problem, which are the points of the modular curve not corresponding to honest elliptic curves but degenerate cases, may be difficult to read off from knowledge of P. In that sense a modular equation becomes the equation of a modular curve. Such equations first arose in the theory of multiplication of elliptic functions (geometrically, the n2-fold covering map from a 2-torus to itself given by the mapping x → n·x on the underlying group) expressed in terms of complex analysis. (en)
- 模方程（modular equation）是一個有模數的代数方程。給定一些在模空间中的函數，模方程是一些有關模空间函數的方程，或是一些有關模數的恆等式。 最常見到的模方程是和椭圆曲线有關的模量問題。此處的模空间是一維的，因此表示若在模曲線的有兩個有理函數F及G，會滿足模方程P(F,G) = 0，P是二變數的非零複數多項式 。若選擇了適當的，非退化的F和G，方程P(X,Y) = 0就會定義模曲線。 (zh)
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- 模方程（modular equation）是一個有模數的代数方程。給定一些在模空间中的函數，模方程是一些有關模空间函數的方程，或是一些有關模數的恆等式。 最常見到的模方程是和椭圆曲线有關的模量問題。此處的模空间是一維的，因此表示若在模曲線的有兩個有理函數F及G，會滿足模方程P(F,G) = 0，P是二變數的非零複數多項式 。若選擇了適當的，非退化的F和G，方程P(X,Y) = 0就會定義模曲線。 (zh)
- En matemáticas, una ecuación modular es una igualdad algebraica satisfecha por módulos. Normalmente se trata de expresiones cuya comprobación constituye un problema cuya demostración debe ajustarse a las reglas de un determinado . Es decir, dada una serie de funciones en un espacio modular, una ecuación modular es una relación que se verifica entre ellas, o en otras palabras, es una identidad que se verifica para un conjunto de operadores de módulos. (es)
- In mathematics, a modular equation is an algebraic equation satisfied by moduli, in the sense of moduli problems. That is, given a number of functions on a moduli space, a modular equation is an equation holding between them, or in other words an identity for moduli. In that sense a modular equation becomes the equation of a modular curve. Such equations first arose in the theory of multiplication of elliptic functions (geometrically, the n2-fold covering map from a 2-torus to itself given by the mapping x → n·x on the underlying group) expressed in terms of complex analysis. (en)
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