Магнітагідрадынаміка

Механіка суцэльных асяроддзяў

Суцэльнае асяроддзе Класічная механіка Закон захавання масы · Закон захавання імпульсу Тэорыя пругкасці Напружанне · Тэнзар · Цвёрдыя целы · Пругкасць · Пластычнасць · Закон Гука · Рэалогія · Вязкапругкасць Гідрадынаміка Вадкасць · Гідрастатыка · Гідрадынаміка · Вязкасць · Ньютанаўская вадкасць · Неньютанаўская вадкасць · Паверхневае нацяжэнне Асноўныя ўраўненні Ураўненне неразрыўнасці · Ураўненне Эйлера · Ураўненні Наўе — Стокса · Ураўненне дыфузіі · Закон Гука Вядомыя вучоныя Ньютан · Гук Бернулі · Эйлер · Кашы · Стокс · Наўе

Электрадынаміка

Электрычнасць · Магнетызм Электрастатыка Закон Кулона Тэарэма Гауса Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Біё — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны паток Электрадынаміка Вектарны патэнцыял Электрычны дыполь Патэнцыялы Ліенара — Віхерта Сіла Лорэнца Ток зрушэння Уніпалярная індукцыя Ураўненні Максвела Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьванне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Правілы Кірхгофа Індуктыўнасць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасць Электрычная праводнасць Электрычнае супраціўленне Электрычны імпеданс Каварыянтная фармулёўка Тэнзар электрамагнітнага поля Тэнзар энергіі-імпульсу 4-патэнцыял 4-ток Вядомыя вучоныя Генры Кавендыш Майкл Фарадэй Андрэ Мары Ампер Густаў Роберт Кірхгоф Джэймс Клерк Максвел Генрых Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсан Роберт Эндрус Мілікен

Магнітная гідрадынаміка — фізічная дысцыпліна, якая ўзнікла на скрыжаванні гідрадынамікі і электрадынамікі суцэльных асяроддзяў. Прадметам яе вывучэння з'яўляецца дынаміка вадкасці (газу), якія праводзіць ток, ў магнітным полі. Прыкладамі такіх асяроддзяў з'яўляюцца: рознага роду плазма, вадкія металы, салёная вада.

Піянерам даследаванняў у галіне тэорыі магнитагідрадынамікі прызнаны Ханес Альфвен, быў уганараваны за гэтыя працы Нобелеўскай прэміі ў 1970 годзе. Першай эксперыментальнай працай у гэтай галіне стала даследаванне Гартманам у 1937 супраціву плыні ртуці ў трубцы пры ўздзеянні папярочнага магнітнага поля.

Ураўненні магнітнай гідрадынамікі

Поўная сістэма ўраўненняў нерэлятывісцкай магнітнай гідрадынамікі вадкасці мае выгляд:

${\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}$

Тут $\ p$ - ціск у серадзе, $\ \rho$ - шчыльнасць, $\sigma$ - праводнасць вадкасці, $\eta$ - зрухавая вязкасць, $\zeta$ - аб'ёмная вязкасць, ${\vec {v}}$ - поле хуткасцей яе элементаў, ${\vec {H}}$ - напружанасць магнітнага поля.

Гэтая сістэма змяшчае 8 ўраўненняў і дазваляе вызначыць 8 невядомых $\ p,\rho ,{\vec {H}},{\vec {v}}$ пры наяўнасці зададзеных пачатковых і межавых умоў.

Калі скарыстацца наступнымі набліжанай (бездысыпатыўная мяжа):

1. $\sigma \to \infty$
2. $\eta =0,\quad \zeta =0$

то сістэма ўраўненняў МГД запішацца ў больш простым выглядзе:

${\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}$

Вывад ураўненняў

Вывад ураўненняў МГД з ураўненняў Максвела і гідрадынамікі  

Запішам сістэму ўраўненняў Максвелла ў сістэме СГС.

${\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\ partial\ vecH}{\ partialt}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}$

Будзем зыходзіць з наступных здагадак:

1. Магнітная пранікальнасць $\mu =1$
2. Няма электрычных зарадаў $\rho =0$
3. Закон Ома мае выгляд: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}$

Абмяжуемся нерэлятывісцкім выпадкам ($v\ll c$), т.е $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\vec {E}}\right|$

Абгрунтаванне нерэлятывісцкага набліжэння.  

Пакажам, што $v\ll c$ эквівалентна $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|$

$\left|\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}\nabla \times {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\right|$

Ацэнім гэты выраз:

${\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}}$

L - характэрная даўжыня

$\tau$ - характэрны час

Гэта прыводзіць нас да наступных суадносінах:

$c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2}$

$v\ll c$

Гэта значыць, характэрная хуткасць у сістэме павінна быць шмат менш хуткасці святла.

Ураўненні Максвела ў гэтым набліжэнні запішуцца наступным чынам:

${\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}$

Выразім з закона Ома ${\vec {E}}$ і падставім яго ў першае ўраўненне:

$-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)$

Падставім у гэтае ўраўненне ток з другога ўраўнення Максвела і атрымаем:

$-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]$

У мяжы ідэальнай вадкасці $\sigma \to \infty$ атрымліваем: $\ fra{\partial {\vec {H}}}{\partial t}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]$

Для сувязі з гідрадынамікай ва ўраўненне Наўе — Стокса дадаецца член, які адказвае за сілу Ампера, якая дзейнічае на токі з боку магнітнага поля (ток выяўляецца з другога ўраўнення Максвела праз напружанасць магнітнага поля):

${\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\ times\operatorname {rot} {\vec {H}}\right]$

Прыкладанні

Прынцыпы магнітнай гідрадынамікі выкарыстоўваюцца для дыстанцыйнага кантролю і кіравання паводзінамі вадкіх металаў у прамысловасці, у прыватнасці:

• МГД-насос
• Магнітагідрадынамічная апрацоўка
• МГД-генератар

Гл. таксама

• Электрагідрадынаміка
• Электрадынаміка суцэльных асяроддзяў

Літаратура

• Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4