Мухамад Аль-Харэзмі

Мухамед ібн Муса Харэзмі
محمد بن موسى الخوارزمي
Дата нараджэння	каля 780[…]
Месца нараджэння	невядома
Дата смерці	каля 850
Месца смерці	невядома
Род дзейнасці	матэматык, астраном, географ, філосаф, перакладчык, гісторык
Навуковая сфера	астраномія, матэматыка, алгебра, Devanagari numeral[d], арыфметыка, трыганаметрыя, геаграфія і навукі аб Зямлі
Месца працы	Дом Мудрасці
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Мухамад ібн Муса Харэзмі (перс. محمد بن موسی خوارزمی, Mohammad ebne Mūsā Khwārazmī, узб. Muhammad ibn Muso Al Xorazmiy, Харэзм; каля 783 — каля 850) — вялікі узбекскі матэматык, астраном і географ, заснавальнік класічнай алгебры.

Звестак пра жыццё аль-Харэзмі захавалася не многа. Значны перыяд свайго жыцця ён правёў у Багдадзе, узначальваў пры халіфе аль-Мамуне (813—833) бібліятэку «Дома мудрасці». У 827 годзе ўдзельнічаў у вымярэнні даўжыні градуса зямнога мерыдыяна на раўніне Сінджара. Пры халіфе аль-Васіку (842—847) узначальваў экспедыцыю да хазараў. Апошняе ўпамінанне пра яго датавана 847 годам.

Аўтар кнігі «Пра індыйскае злічэнне», якая паспрыяла папулярызацыі дзесятковай пазіцыйнай сістэмы запісу лікаў ва ўсім Халіфаце. У 12 стагоддзі яна была перакладзена на лацінскую мову і адыграла вялікую ролю ў развіцці еўрапейскай арыфметыкі і ўкараненні інда-арабскіх лічбаў. Імя аўтара ў лацінізаванай форме (Algorismus, Algorithmus) стала абазначаць ва ўсёй сярэдневяковай Еўропе ўсю сістэму дзесятковай арыфметыкі. Адсюль бярэ пачатак сучасны тэрмін алгарытм, упершыню выкарыстаны Лейбніцам.

Навуковая дзейнасць

Аль-Харэзмі нарадзіўся ў эпоху вялікага культурнага і навуковага ўздыму. Пачатковую адукацыю ён атрымаў у выдатных навукоўцаў Маверанахра і Харэзму. На радзіме ён пазнаёміўся з індыйскай і грэчаскай навукай, і да Багдада ён ужо склаўся як навуковец..

У 819 годзе аль-Харэзмі пераехаў у прыгарад Багдада, Катрабулу. У Багдадзе ён правёў значны перыяд свайго жыцця, узначальваючы пры халіфе Абдулаху аль-Мамуне (813—833) Дом Мудрасці (араб. «Байт аль-хікма»). Да таго, як стаць халіфам, аль-Мамун быў намеснікам усходніх правінцый Халіфата, і не выключана, што з 809 года аль-Харэзмі быў адным з прыдворных навукоўцаў аль-Мамуна. У адным са сваіх твораў аль-Харэзмі з пахвалой адазваўся аб аль-Мамуне, адзначаючы ягоную «любоў да навукі і імкненне набліжаць да сябе навукоўцаў, працягваючы над імі крыло свайго заступніцтва і дапамагаючы ім у растлумачэнні таго, што для іх незразумела, і ў палягчэнні таго, што для іх цяжка»..

«Дом мудрасці» быў свайго роду Акадэміяй навук, дзе працавалі навукоўцы з Сірыі, Егіпта, Персіі, Харасана і Маверанахра. У ёй знаходзілася бібліятэка з вялікай колькасцю старажытных рукапісаў і астранамічная абсерваторыя. Тут на арабскую мову былі перакладзены многія грэчаскія філасофскія і навуковыя працы. У гэты ж час там працавалі Хаббаш аль-Хасіб, Аль-Фаргані, Ібн Турк, Аль Кіндзі і іншыя выбітныя навукоўцы.

Па замове халіфа аль-Мамуна аль-Харэзмі працаваў над стварэннем прылад для вымярэння аб’ёму і даўжыні акружнасці Зямлі. У 827 годзе ў пустыні Сінджар аль-Харэзмі прымаў удзел у вымярэнні даўжыні градуса дугі зямнога мерыдыяна з мэтай удакладніць велічыню акружнасці Зямлі, знойдзеную ў старажытнасці. Вымярэнні, зробленыя ў пустыні Сінджар, заставаліся непераўзыдзенымі па дакладнасці на працягу 700 гадоў.

Прыкладна ў 830 годзе Мухамад ібн Муса аль-Харэзмі стварыў першы вядомы арабскі трактат па алгебры. Аль-Харэзмі прысвяціў два свае творы халіфу аль-Мамуну, які аказваў заступніцтва навукоўцам Багдаду.

Пры халіфе аль-Васіку (842—847) аль-Харэзмі ўзначальваў экспедыцыю да хазараў. Апошняя згадка пра яго адносіцца да 847 года.

Уклад у сусветную навуку

Аль-Харэзмі ўпершыню прадставіў алгебру як самастойную навуку аб агульных метадах рашэння лінейных і квадратных ураўненняў, даў класіфікацыю гэтых ураўненняў.

Гісторыкі навукі высока ацэньваюць як навуковую, так і папулярызатарскую дзейнасць аль-Харэзмі. Вядомы гісторык навукі Джордж Сартан назваў яго «найвялікшым матэматыкам свайго часу і, калі прыняць да ўвагі ўсе абставіны, адным з найвялікшых за ўсе часы».

Працы аль-Харэзмі перакладаліся з арабскай на лацінскую мову, а затым на новыя еўрапейскія мовы. На іх аснове ствараліся разнастайныя падручнікі па матэматыцы. Працы аль-Харэзмі адыгралі важную ролю ў станаўленні навукі эпохі Адраджэння і аказалі плённы ўплыў на развіццё сярэднявечнай навуковай думкі ў краінах Усходу і Захаду.

Матэматыка

Аль-Харэзмі распрацаваў падрабязныя трыганаметрычныя табліцы, якія змяшчаюць функцыі сінуса, косінуса, тангенса і катангенса. У XII і XIII стагоддзях на падставе кніг аль-Харэзмі былі напісаны на латыні працы «Carmen de Algorismo» (Аляксандр з Вільдзьё) і «Algorismus vulgaris» (Іаан Сакрабоска), якія захоўвалі актуальнасць яшчэ шмат стагоддзяў. Да XVI стагоддзя пераклады яго кніг па арыфметыцы выкарыстоўваліся ў еўрапейскіх універсітэтах як асноўныя падручнікі па матэматыцы.

Астраномія

Аль-Харэзмі з’яўляецца аўтарам сур’ёзных прац па астраноміі. У іх ён распавядае пра календары, разліках сапраўднага становішча планет, разліках паралаксу і зацьмення, складанні астранамічных табліц (зідж), вызначэнні бачнасці Месяца і т. д. У аснову ягоных работ па астраноміі ляглі працы індыйскіх астраномаў. Ён ажыццявіў дасканалыя разлікі пазіцый Сонца, Месяца і планет, сонечных зацьменняў. Астранамічныя табліцы Аль-Харэзмі былі перакладзены на еўрапейскія, а пазней і кітайскую, мовы..

Геаграфія

У галіне геаграфіі аль-Харэзмі напісаў «Кнігу карціны зямлі» (Кітаб сурат аль-ард), у якой ён удакладніў некаторыя погляды Клаўдзія Пталемея. Кніга ўключала апісанне свету, карту і спіс каардынат найважнейшых месцаў. Нягледзячы на тое, што карта аль-Харэзмі была дакладнейшай за карту старажытнагрэчаскага астранома, яго працы не замянілі пталемееву геаграфію, якая выкарыстоўвалася ў Еўропе. Выкарыстоўваючы свае ўласныя адкрыцці, аль-Харэзмі адкарэктаваў даследаванні Пталемея па геаграфіі, астраноміі і астралогіі. Для складання карты «вядомага свету» аль-Харэзмі вывучыў працы 70 географаў..

Гісторыя

Мухамад ібн Муса аль-Харэзмі быў аўтарам першай кнігі па сусветнай гісторыі, складзенай прадстаўніком Цэнтральнай Азіі. На жаль, ягоная «Кніга гісторыі» («Кітаб ат-та’рых») захавалася толькі ва ўрыўках. Ланцуг здабыванняў з «Кнігі гісторыі» дазваляе ўсталяваць, што складанне аль-Харэзмі было напісана ў форме аналаў, гэта значыць летапісы. Падзеі ў ёй выкладаліся паслядоўна, па гадах. Напрыклад, ён прыводзіў звесткі аб часе нараджэння Аляксандра Македонскага, аб датах нараджэння, пачатку дзейнасці і смерці заснавальніка ісламу Мухамада, аб смерці Мухамада, пачатку праўлення халіфа Абу Бакра, ваенных дзеяннях арабаў супраць Візантыі і Ірана ў 631—653 гг., аб заваёве арабамі Сірыі, Ірака, Ірана і Маверанахра, аб вайне арабаў з хазарамі ў 728—731 г. «Кніга гісторыі» была завершана ім каля 830 г.

Навуковыя працы

Аль-Харэзмі быў аўтарам 9 твораў:

1. Кніга «Пра індыйскае злічэнне» (Арыфметычны трактат, Кніга аб складанні і адніманні);
2. Кароткая кніга папаўнення і супрацьпастаўлення («Кітаб аль-джэбр ва-ль-мукабала»);
3. Кніга аб дзеяннях з дапамогай астралябіі («Кітаб аль-амаль бі-ль-астурлабат») — у няпоўным выглядзе ўключана ў сачыненне ал-Фаргані, у раздзелах 41—42 гэтай кнігі быў апісаны спецыяльны цыркуль для вызначэння часу намаза;
4. Кніга аб сонечным гадзінніку («Кітаб ар-рухама»);
5. Кніга карціны Зямлі (Кніга геаграфіі, «Кітаб сурат аль-ард»);
6. Трактат аб вызначэнні эры яўрэяў і іх святах («Рысала фі істіхрадж тарых аль-яхуд ва аядыхім»);
7. Кніга аб пабудове астралябіі — не захавалася і вядомая толькі па згадваннях ў іншых крыніцах;
8. Астранамічныя табліцы («Зідж»);
9. Кніга гісторыі — змяшчала гараскопы вядомых людзей.

Кітаб аль-джэбр ва-ль-мукабала

Асноўны артыкул: Кітаб аль-джэбр ва-ль-мукабала

Аль-Харэзмі вядомы перш за ўсё сваёй «Кнігай аб папаўненні і супрацьпастаўленні» («Аль-кітаб аль-мухтасар фі хісаб аль-джабр ва-ль-мукабала»), якая адыграла найважнейшую ролю ў гісторыі матэматыкі. Ад слова аль-джабр (у назве) паходзіць слова алгебра. Сапраўдны арабскі тэкст страчаны, аднак змест вядомы па лацінскім перакладзе 1140 года англійскага матэматыка Роберта Чэстэрскага. Рукапіс, які Роберт Чэстэрскі назваў як «Кніга аб алгебры і ал-мукабале», захоўваецца ў Кембрыджы. Іншы пераклад кнігі выкананы іспанскім габрэем Іаанам Севільскім. Яна задумвалася як пачатковае кіраўніцтва па практычнай матэматыцы «Кітаб аль-джабр…» і ў першай (тэарэтычнай) сваёй частцы пачынаецца з разгляду ўраўненняў першай і другой ступені, а ў двух заключных раздзелах пераходзіць да практычнага ўжывання алгебры ў пытаннях меравызначэння і атрымання спадчыны. Слова аль-джабр («папаўненне») азначала перанясенне адмоўнага члена з адной часткі ўраўнення ў іншую, а аль-мукабала («супрацьпастаўленне»)— скарачэнне роўных членаў у абедзвюх частках ураўнення.

Першая старонка кнігі Кітаб аль-джэбр ва-ль-мукабала.

Тэарэтычная частка

У тэарэтычнай частцы свайго трактата аль-Харэзмі дае класіфікацыю ўраўненняў 1-й і 2-й ступені і вылучае шэсць відаў квадратнага ўраўнення $ax^{2}+bx+c=0$:

• «квадрат» роўны «караню» $ax^{2}=bx$ (прыклад $5x^{2}=10x$);
• «квадрат» роўны свабоднаму члену $ax^{2}=c$ (прыклад $5x^{2}=80$);
• «корань» роўны свабоднаму члену $bx=c$ (прыклад $4x=20$);
• «квадрат» і «корань» роўныя свабоднаму члену $ax^{2}+bx=c$ (прыклад $x^{2}+10x=39$);
• «квадрат» і свабодны член роўныя «караню» $ax^{2}+c=bx$ (прыклад $x^{2}+21=10x$);
• «корань» і свабодны член роўныя «квадрату» $bx+c=ax^{2}$ (прыклад $3x+4=x^{2}$).

Такая класіфікацыя тлумачыцца патрабаваннем, каб у абедзвюх частках раўнання стаялі дадатныя члены.

Ахарактарызаваўшы кожны від ураўненняў і паказаўшы на прыкладах правілы іх рашэння, аль-Харэзмі дае геаметрычны доказ гэтых правілаў для трох апошніх відаў, калі рашэнне не зводзіцца да простага здабывання кораня.

Для прывядзення квадратна кананічных відаў аль-Харэзмі ўводзіць два дзеянні. Першае з іх, аль-джабр, складаецца ў перанясенні адмоўнага члена з адной часткі ў іншую для атрымання ў абедзвюх частках дадатных членаў. Другое дзеянне — аль-мукабала — складаецца ў прывядзенні падобных членаў у абедзвюх частках ўраўнення. Акрамя таго, аль-Харэзмі ўводзіць правіла множання мнагачленаў. Ужыванне ўсіх гэтых дзеянняў і ўведзеных вышэй правілаў ён паказвае на прыкладзе 40 задач.

Геаметрычная частка прысвечана, галоўным чынам, вымярэнню плошчаў і аб’ёмаў геаметрычных цел.

Практычная частка

У практычнай частцы аўтар прыводзіць прыклады прымянення алгебраічных метадаў у вырашэнні гаспадарча-бытавых пытанняў, вымярэнні зямель, будаўніцтва каналаў і т. д.. У «Главе пра здзелкі» разглядаецца правіла для знаходжання невядомага члена прапорцыі па трох вядомых членах, а ў «Главе аб вымярэнні» — правілы для вылічэння плошчы розных шматвугольнікаў, набліжаная формула для плошчы круга і формула аб’ёму ўсечанай піраміды. Да яго далучана таксама «Кніга аб завяшчаннях», прысвечаная матэматычным задачам, якія ўзнікаюць пры падзеле спадчыны ў адпаведнасці з мусульманскім кананічным правам.

«Алгебра» ал-Харэзмі, якая паклала пачатак развіцця новай самастойнай навуковай дысцыпліны, пазней каментавалася і ўдасканальвалася шматлікімі ўсходнімі матэматыкамі (Ібн Турк, Абу Каміл, ал-Караджы і інш.). Гэтая кніга была двойчы перакладзена ў ХІІ стагоддзе на лацінскую мову і адыграла надзвычай важную ролю ў развіцці матэматыкі ў Еўропе. Пад непасрэдным уплывам гэтай працы знаходзіўся такі выдатны еўрапейскі матэматык XIII стагоддзя, як Леанарда Пізанскі.

Алгарытм

Лацінскі пераклад кнігі пачынаецца словамі «Dixit Algorizmi» (сказаў аль-Харэзмі). Паколькі сачыненне аб арыфметыцы было вельмі папулярнае ў Еўропе, то латынізаванае імя аўтара (Algorizmi або Algorizmus) стала намінальным, і сярэднявечныя матэматыкі так называлі арыфметыку, заснаваную на дзесятковай пазіцыйнай сістэме злічэння. Пазней еўрапейскія матэматыкі сталі зваць так усякае вылічэнне па строга вызначаных правілах. У цяперашні час тэрмін алгарытм азначае набор інструкцый, якія апісваюць парадак дзеянняў выканаўцы для дасягнення выніку рашэння задачы за канчатковую колькасць дзеянняў.

Кніга пра індыйскае злічэнне

Аль-Харэзмі напісаў «Кнігу пра індыйскае злічэнне», якая спрыяла папулярызацыі Арабскія лічбы арабскіх лічбаў і дзесяцічная сістэма злічэння дзесятковай пазіцыйнай сістэмы запісу лікаў ва ўсім Халіфаце, аж да Мусульманскай Іспаніі. Арабскі тэкст быў згублены, аднак захаваўся яго лацінскі пераклад XII стагоддзя «Algoritmi de numero Indorum». Лацінскі пераклад не захаваў многія падрабязнасці арыгінальнага тэксту аль-Харэзмі.

У кнізе апісана знаходжанне дзесятковага ліку, які складаецца з дзевяці арабскіх лічбаў і нуля. Магчыма, аль-Харэзмі стаў першым матэматыкам, які выкарыстоўваў нуль у запісе ліку. У арыгінале «Кнігі пра індыйскі рахунак» быў апісаны метад знаходжання квадратнага кораня, аднак у лацінскім перакладзе яго няма..

Праз дзвесце гадоў пасля напісання «Кнігі пра індыйскае злічэнне» індыйская сістэма распаўсюдзілася па ўсім ісламскім свеце. У Еўропе «арабскія» лічбы ўпершыню згадваюцца каля 1200 года. Арабскія лічбы першапачаткова выкарыстоўваліся толькі ва ўніверсітэтах. У 1299 годзе ў італьянскай Фларэнцыі быў выдадзены закон, які забараняў выкарыстанне арабскіх лічбаў. Але паколькі арабскія лічбы сталі шырока выкарыстоўвацца італьянскімі купцамі, то да XVI ст. уся Еўропа перайшла на іх.. Да пачатку XVIII ст. у Расіі выкарыстоўвалася кірылічная сістэма злічэння, пасля чаго яна была заменена на сістэму злічэння, заснаваную на арабскіх лічбах.

Астранамічныя табліцы (зідж)

Астраномія займала вядучае месца сярод дакладных навук на сярэднявечным Усходзе. Без яе нельга было абысціся ні ў арашальным земляробстве, ні ў марским і ў сухапутным гандлі. Да IX ст. з’явіліся першыя самастойныя працы па астраноміі на арабскай мове, сярод якіх асаблівае месца займалі зборнікі астранамічных і трыганаметрычных табліц (зіджы). Зіджы служылі для вымярэння часу, з іх дапамогай вылічаліся становішчы свяцілаў на нябеснай сферы, сонечныя і месяцовыя зацьменні.

Да першых зіджаў адносіцца «Зідж аль-Харэзмі», які паслужыў асновай сярэднявечных даследаванняў у гэтай галіне як на Усходзе, так і ў Заходняй Еўропе. Хоць «Зідж аль-Харэзмі» у асноўным з’яўляецца апрацоўкай «Брахмагупхута-сіддханты», шматлікія дадзеныя ў ім прыведзены на пачатак персідскай эры Ездзігерда, і нараўне з арабскімі назвамі планет, у табліцах ураўненняў планет персідскія назвы. Да гэтага зіджу прымыкае таксама «Трактат аб вылічэнні эры яўрэяў і іх святах». «Кніга гісторыі» аль-Харэзмі, якая згадваецца ў розных крыніцах, не захавалася.

Кніга пачыналася з падзелу аб храналогіі і календары, што было вельмі важна для практычнай астраноміі, бо з-за рознасці календароў цяжка было вызначыць дакладную датыроўку. Існавалі месяцавыя, сонечныя і месяцава-сонечныя календары, розныя пачаткі летазлічэння прыводзіла да мноства розных каляндарных эр і ў розных народаў адна і тая ж падзея датавалася па-рознаму. Аль-Харэзмі апісваў ісламскі і юліянскі каляндар (каляндар «румаў»). Ён таксама супаставіў розныя эры, сярод якіх найстаражытная эра Індыі (пачалася ў 3101 да н.э.) і «эра Аляксандра» (пачыналася 1 кастрычніка 312 да н.э.). Паводле разлікаў аль-Харэзмі, пачатак ісламскай эры летазлічэння адпавядае 16 ліпеня 622 года. Аль-Харэзмі прыняў мерыдыян, які праходзіць праз месца, званае Арын, у якасці пачатковага мерыдыяна, ад якога вёўся адлік часу; І. Ю. Крачкоўскі атаясаміў Арын з горадам Уджайн у Індыі. У «Зіджы» гаворыцца пра «Купал Арына», паколькі лічылася, што мерыдыян Уджайна супадаў з мерыдыянам вострава Шры-Ланка, які нібыта ляжыць на экватары; паводле ўяўленняў індыйскіх географаў, у «сярэднім месцы» Зямлі, кропцы перасячэння нулявога мерыдыяна і экватара, знаходзіцца нейкі «купал», або «Купал Уджайна». У арабскім напісанні словы Уджайн і Арын мала адрозніваюцца, таму «Купал Уджайна» ператварыўся ў «Купал Арына», ці проста Арын.

Літаратура

• Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 1: А — Аршын / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1996. — Т. 1. — 552 с. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0036-6 (т. 1).
• Юшкевич А. П. История математики в средние века / Отв. ред. Б. А. Розенфельд. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы (Физматгиз), 1961. — 448 с.
• Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Ал-Хорезми — выдающийся математик и астроном средневековья. — М.: Просвещение, 1983. — 80 с.
• Булгаков П. Г., Розенфельд Б. А., Ахмедов А. А. Мухаммад ал-Хорезми, ок. 783 — ок. 850. — М.: Наука, 1983. — 240 с.
• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: Фан, 1967. — 344 с.
• Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми: К 1200-летию со дня рождения. М., 1983.
• Розенфельд Б. А., Сергеева Н. Д. Об астрономических трактатах ал-Хорезми // Историко-астрономические исследования, 13, 1977, с. 201—218.
• Розенфельд Б. А. Астрономия стран Ислама // Историко-астрономические исследования, 17, 1984, с. 67-122.
• Юшкевич А. П. Арифметический трактат Мухаммеда бен Муса ал-Хорезми // Труды Института истории естествознания и техники. Вып. 1. 1954. С. 85-127.
• Toomer, Gerald (1990). "Al-Khwārizmī, Abu Ja'far Muḥammad ibn Mūsā". In Gillispie, Charles Coulston (рэд.). Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. New York: Charles Scribner's Sons. ISBN 978-0-684-16962-0.
• Brentjes, Sonja (2007). "Khwārizmī: Muḥammad ibn Mūsā al‐Khwārizmī" in Thomas Hockey et al.(eds.). The Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Reference. New York: Springer, 2007, pp. 631–633. (PDF version)
• Dunlop, Douglas Morton (1943). "Muḥammad b. Mūsā al-Khwārizmī". The Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. 2 (3–4): 248–250. doi:10.1017/S0035869X00098464. ISSN 1356-1863. JSTOR 25221920.
• Hogendijk, Jan P., Muhammad ibn Musa (Al-)Khwarizmi (c. 780–850 CE) – bibliography of his works, manuscripts, editions and translations.
• Джон Дж. О’Конар і Эдмунд Ф. Робертсан. Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (англ.) у архіве MacTutor.
• Sezgin, Fuat (1974). Geschichte des arabischen Schrifttums, Band V: Mathematik. Bis ca. 430 H. Leiden: Brill. pp. 228–241.
• Sezgin, Fuat (1978). Geschichte des arabischen Schrifttums, Band VI: Astronomie. Bis ca. 430 H. Leiden: Brill. pp. 140–143. Bibcode:1978gasb.book.....S.
• Sezgin, Fuat (1979). Geschichte des arabischen Schrifttums, Band VII: Astrologie – Meteorlogie und Verwanndtes Bis ca. 430 H. Leiden: Brill. pp. 128–129.
• Sezgin, F., ed., Islamic Mathematics and Astronomy, Frankfurt: Institut für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften, 1997–99.
• Gandz, Solomon (November 1926). "The Origin of the Term "Algebra". The American Mathematical Monthly. 33 (9): 437–440. doi:10.2307/2299605. JSTOR 2299605.
• Gandz, Solomon (1936). "The Sources of al-Khowārizmī's Algebra". Osiris. 1 (1): 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610. S2CID 60770737.
• Gandz, Solomon (1938). "The Algebra of Inheritance: A Rehabilitation of Al-Khuwārizmī". Osiris. 5 (5): 319–391. doi:10.1086/368492. JSTOR 301569. S2CID 143683763.
• Hughes, Barnabas (1986). "Gerard of Cremona's Translation of al-Khwārizmī's al-Jabr, A Critical Edition". Mediaeval Studies. 48: 211–263. doi:10.1484/J.MS.2.306339.
• Barnabas Hughes. Robert of Chester's Latin translation of al-Khwarizmi's al-Jabr: A new critical edition. In Latin. F. Steiner Verlag Wiesbaden (1989). ISBN 3-515-04589-9.
• Karpinski, L.C. (1915). Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi: With an Introduction, Critical Notes and an English Version. The Macmillan Company.
• Rosen, Fredrick (1831). The Algebra of Mohammed Ben Musa. London.
• Ruska, Julius (1917). "Zur ältesten arabischen Algebra und Rechenkunst". Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Philologisch-historische Klasse. 2: 1–125.
• Burnett, Charles (2017), "Arabic Numerals", in Thomas F. Glick (рэд.), Routledge Revivals: Medieval Science, Technology and Medicine (2006): An Encyclopedia, Taylor & Francis, ISBN 978-1-351-67617-5
• Folkerts, Menso (1997). Die älteste lateinische Schrift über das indische Rechnen nach al-Ḫwārizmī. München: Bayerische Akademie der Wissenschaften. ISBN 3-7696-0108-4. (This is a new edition of the complete medieval Latin translation of the Arithmetic of al-Khwarizmi, previous editions are all incomplete. This work is lost in Arabic).
• Vogel, Kurt (1963). Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus; das früheste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern. Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift (Cambridge Un. Lib. Ms. Ii. 6.5) in Faksimile mit Transkription und Kommentar. Milliaria.3. Aalen, O. Zeller.
• Goldstein, B.R. (1968). Commentary on the Astronomical Tables of Al-Khwarizmi: By Ibn Al-Muthanna. Yale University Press. ISBN 978-0-300-00498-4.
• Hogendijk, Jan P. (1991). "Al-Khwārizmī's Table of the "Sine of the Hours" and the Underlying Sine Table". Historia Scientiarum. 42: 1–12. (Hogendijk's homepage. Publication in English, no. 25).
• King, David A. (1983). Al-Khwārizmī and New Trends in Mathematical Astronomy in the Ninth Century. New York University: Hagop Kevorkian Center for Near Eastern Studies: Occasional Papers on the Near East 2. (Description and analysis of seven recently discovered minor works related to al-Khwarizmi).
• Neugebauer, Otto (1962). The Astronomical Tables of al-Khwarizmi.
• Rosenfeld, Boris A. (1993). "'Geometric trigonometry' in treatises of al-Khwārizmī, al-Māhānī and Ibn al-Haytham". In Folkerts, Menso; Hogendijk, Jan P. (рэд-ры). Vestigia Mathematica: Studies in Medieval and Early Modern Mathematics in Honour of H.L.L. Busard. Leiden: Brill. pp. 305–308. ISBN 90-5183-536-1.
• Suter, Heinrich. [Ed.]: Die astronomischen Tafeln des Muhammed ibn Mûsâ al-Khwârizmî in der Bearbeitung des Maslama ibn Ahmed al-Madjrîtî und der latein. Übersetzung des Athelhard von Bath auf Grund der Vorarbeiten von A. Bjørnbo und R. Besthorn in Kopenhagen. Hrsg. und komm. Kopenhagen 1914. 288 pp. Repr. 1997 (Islamic Mathematics and Astronomy. 7). ISBN 3-8298-4008-X.
• Van Dalen, Benno (1996). "al-Khwârizmî's Astronomical Tables Revisited: Analysis of the Equation of Time". In Casulleras, Josep; Samsó, Julio (рэд-ры). From Baghdad to Barcelona, Studies on the Islamic Exact Sciences in Honour of Prof. Juan Vernet. Barcelona: Instituto Millás Vallicrosa de Historia de la Ciencia Arabe. pp. 195–252. (Van Dalen's homepage. List of Publications, Articles – no. 5).
• B.A. Rozenfeld. "Al-Khwarizmi's spherical trigonometry" (Russian), Istor.-Mat. Issled. 32–33 (1990), 325–339.
• Daunicht, Hubert (1968–1970). Der Osten nach der Erdkarte al-Ḫuwārizmīs. Beiträge zur historischen Geographie und Geschichte Asiens. Bd 1: Rekonstruktion der Karte, Interpretation der Karte: Südasien; Teil 2: Die ost- und südostasiatische Inselwelt und die Meere; Teil 3: Der Süden des festländischen Ostasiens; Teil 4, 1 u. 2: Der Norden des festländischen Ostasiens und Nord- und Mittelasien. Diss.--Bonn: Bonner Orientalistische Studien. N. S. Bd 19. 19a—d. JSTOR 43370513.
• Mžik, Hans von (1915). "Ptolemaeus und die Karten der arabischen Geographen". Mitteil. D. K. K. Geogr. Ges. In Wien. 58: 152.
• Mžik, Hans von (1916). "Afrika nach der arabischen Bearbeitung der γεωγραφικὴ ὑφήγησις des Cl. Ptolomeaus von Muh. ibn Mūsa al-Hwarizmi". Denkschriften D. Akad. D. Wissen. In Wien, Phil.-hist. Kl. 59.
• Mžik, Hans von (1926). Das Kitāb Ṣūrat al-Arḍ des Abū Ǧa'far Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫuwārizmī. Leipzig.{{cite book}}: Папярэджанні CS1: месца без выдавецтва (спасылка)
• Nallino, C.A. (1896), "Al-Ḫuwārizmī e il suo rifacimento della Geografia di Tolemo", Atti della R. Accad. Dei Lincei, Arno 291, Serie V, Memorie, Classe di Sc. Mor., Vol. II, Rome
• Spitta, Wilhelm (1879). "Huwârazmî's Auszug aus der Geographie des Ptolemaios". Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft. 33: 294–297.