Norrie va néixer a Johannesburg (Sud-àfrica), fill de David i Helen, matrimoni de microbiòlegsescocès i gal·lesa respectivament. Tres anys després es van traslladar a Nova Zelanda. Allà va créixer i va començar a practicar diversos esports com: esquaix, rugbi, futbol o criquet, fins que als quinze anys es va centrar definitivament en el tennis.
Va destacar ràpidament en categoria júnior sent dels millors d'aquesta categoria, però degut al poc suport econòmic rebut per part de la federació neozelandesa de tennis, als setze anys va optar per adquirir la nacionalitat britànica que encara conservaven els seus pares.[3][4] Seguidament es va traslladar a Londres per entrenar en les instal·lacions de la federació britànica de tennis.