多様体とは (タヨウタイとは) [単語記事]

多様体とは, 滑らかな平面曲線や, 空間曲線や, 閉曲面を一般化した概念である.

多様体の数学的定義

位相空間 M の開集合の族 {U_α} と, 各 U_α から R^ｎへの写像 φ_α が与えられていて, 次の条件 (i)～(iii) を満たしているとき, M をn次元位相多様体という. また, (iii) の「連続写像」を「C^r 級写像(1≦r≦ω)」に変えるとn次元 C^r 級可微分多様体が定義される. (U_α, φ_α) のひとつひとつを局所座標, その集まり {(U_α, φ_α)} を局所座標系という.

(i) {U_α} は M の開被覆である. つまり, M=∪{U_α}.
(ii) 各 φ_α ： U_α → Rⁿ の像 φ_α (U_α) は開集合であって, φ_α は U_α から φ_α (U_α) の上への同相写像である.
(iii) U_α ∩ U_β ≠ ∅ となる α, β に対しては,

φ_β○φ_α^-1 ：φ_α(U_α ∩ U_β) → φ_β(U_α ∩ U_β) (⊂Rⁿ)

は Rⁿ の開集合 φ_α(U_α ∩ U_β) からの連続写像である.

多様体を噛み砕いて言うと

まずは地球と世界地図を思い浮かべてみよう. 地球は球形(正確にはほぼ回転楕円体)なので, そのまま一枚の平面に正確に地球全体を描くことは出来ない. 地球全体を一枚の図に表すためにはどこかを切り離さなければならない. より精密な情報が必要な場合, その代わり, 世界をいくつかの部分に分け, それを何枚もの地図に表し, 地図帳を作る. 何枚かの局所的な地図（局所座標）を集めて大域的な空間を表現しようというのが多様体の発想と言える.

ここでいう「地図」とは、通常ユークリッド空間のことを指す。いわゆる直交座標系であり、方眼紙と思ってみるとわかりやすい。多様体はなにかグネグネしていたり穴が開いていたりするが、十分ちいさな領域に注目したら十分なめらかであり、その部分を切り取ってゴム膜のように曲げたり伸ばしたりすれば方眼紙に張り付けることができるし、小さく切りとった方眼紙をゴム膜のように曲げたり伸ばしたりすれば多様体に滑らかに張り付けることができる。方眼紙には座標が書き込まれているので、方眼紙を張り付けた多様体上の点には座標を指定することもできる。

多様体を覆い尽くすのに2次元の方眼紙で事足りればその多様体は2次元であると言える。3次元の格子が必要であれば3次元多様体ということになる。一般に、多様体上のすべての点xにおける近傍系Uがn次元ユークリッド空間と同相であるならば（つまりn次元方眼紙を滑らかに張り付けられるならば）、その多様体はn次元多様体である。

この定義のなにがいいの？

さて、多様体とは「局所的に座標を用いて表せる空間のようなもの」、ということであるが、同じ場所でも方眼紙の張り方は自由であり、張り方によって座標がグネグネ変わってしまう。メルカトル図法と正積図法では地図上の直線や島の面積の意味が異なるようなものである。座標の取り方によって毎回計算結果や計算の意味が変わってしまうのであれば、ユークリッド空間上でできたマトモな計算はできない。