Mezuro (matematiko)

Mezuro asignas nenegativan reelon aŭ nefinion al ĉiu aro en sigma-alĝebro.

En analitiko, mezuro estas funkcio, kiu asignas al ĉiu mezurebla aro (elemento de sigma-alĝebro) nenegativan reelon aŭ nefinion, laŭ ia koncepto de “grandeco” (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj.

Difino

Supozu, ke $\Sigma$ estas sigma-alĝebro super la aro $X$. Do, mezuro super $\Sigma$ estas funkcio

$\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$

kiu plenumas la ĉi-suban aksiomon (kalkuleblan sumecon):

• Por ajna kalkulebla kolekto $(S_{i})_{i\in I}$ de elementoj de $\Sigma$, se ili estas senkomunaĵaj (t.e. pri ajna $i,j\in I$, se $i\neq j$, do $S_{i}\cap S_{j}=\varnothing$), do la mezuro de la kunaĵoj estas la sumo de la mezuroj:
• :$\mu \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)=\sum _{i\in I}\mu (S_{i})$.

Specife, se $I=\varnothing$, do $\mu (\varnothing )=0$.

Ekzemploj

Sur ajna sigma-alĝebro $\Sigma$ sur ajna aro, oni povas difini la kalkulan mezuron:

$\mu _{\text{kalk}}(S)={\begin{cases}|S|&|S|<\aleph _{0}\\\infty &|S|\geq \aleph _{0}\end{cases}}$

Sur ajna sigma-alĝebro $\Sigma$ sur ajna aro, oni povas difini la trivialan mezuron:

$\mu _{\text{triv}}(S)=0$.

Sur la reela linio (aŭ, pli ĝenerale, ajnadimensia eŭklida spaco), oni povas difini la sigma-alĝebron de Lebesgue-mezureblaj aroj kaj sur tiuj la mezuron de Lebesgue.

Vidu ankaŭ

• Lebega mezuro
• Mezurebla funkcio

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Measure en MathWorld.