Problemas resueltos de electromagnetismo. Volumen I: Electrostática

diferencial

Capítulo 1

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL

1.1 Elementos del álgebra vectorial

en tres dimensiones se expresa en términos de los vectores unitarios ûx, ûy y ûz= Axûx + Ayûy + Azûz, donde los coeficientes Ax, Ay y Az se conocen como componentes rectangulares o componentes cartesianos. Ax en el eje de las x, Ay es la componente rectangular en el eje de las y, y Az es la componente rectangular en el eje de las z. La en el origen del sistema de coordenadas cartesianas y los ángulos que definen su dirección con respecto a cada uno de los ejes.

Los cosenos de los ángulos αx, αy y αz .

.

La expresión (, así:

en 3-D

Por tanto, de (1.2) se puede concluir que los componente rectangulares de un vector unitario son sus cosenos directores.

La expresiòn (1.2) se puede expresar también como:

ûA = (cos αx, cos αy, cos αz).

De igual manera a partir de (1.1):

así que:

En la Figura 1.2, se nota que la proyección del vector ûA en el plano x − y . La magnitud de ûA queda:

Figura 1.2. Componentes rectangulares del vector unitario

Por definición, la magnitud |ûA| = 1, así que:

es igual a 1.

Ahora,

.

Elevando al cuadrado miembro a miembro y sumando, se tiene:

Así que un vector en tres dimensiones queda definido por su magnitud y cosenos directores, o equivalentemente sus ángulos, así:

1.2 Operaciones entre vectores

1.2.1 Suma de vectores

Sean

.

La suma es:

La suma de vectores es conmutativa.

1.2.2 Resta de vectores

A diferencia de la suma de vectores, la diferencia de vectores es anticonmutativa, esto es,

Sean los vectores

.

Sea la diferencia

En la Figura 1.3, el vector de posición del punto P está dado por:

El vector posición del punto Q está dado por:

La posición relativa del punto P respecto al punto Q

Figura 1.3. Posición relativa entre dos puntos

La magnitud del vector, da la distancia entre los dos puntos,

distancia

, entonces, la distancia entre dos puntos se obtiene como la magnitud de la diferencia de los vectores de posición de ambos puntos.

1.2.3 Multiplicación de un vector por un escalar

así:

son λAx, λAy y λAz= (λAx, λAy, λAz).

.

. Lo anterior se puede demostrar de una manera sencilla:

:

.

:

Teniendo en cuenta que

, entonces

cos α′x = − cos αx, cos α′y = − cos αy y cos α′z = − cos αz, o lo que es lo mismo:

cos α′x = cos(αx ± π), cos α′y = cos(αy ± π), cos α′z = cos(αz ± π).

.

1.2.4 Productos entre vectores

Producto escalar de dos vectores

Es el producto de las magnitudes de ambos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. De su definición se concluye que es un escalar.

Según esta definición, el producto escalar es conmutativo. Aplicamos la definición del producto escalar a los vectores unitarios ûx, ûy y ûz.

Si se tiene en cuenta (1.7) y la propiedad distributiva del producto escalar, este se puede expresar en una manera alterna a su definición:

Entonces, con esta nueva expresión del producto escalar se puede obtener el ángulo entre dos vectores, así:

Los tres vectores unitarios se pueden representar con la notación genérica ui, con i = 1, 2, 3; así que u1 = ûx, u2 = ûy y u3 = ûz. Las expresiones contenidas en (1.7) se sintetizan en la siguiente expresión:

δij se le denomina delta de Kronecker y vale 1 si i = j, o vale 0 si i ≠ j, esto es:

Con esta notación basada en subíndices que varían de 1 a 3, el producto escalar se puede escribir como:

Producto vectorial de dos vectores

.

y

al ser perpendicular al plano que contiene los vectores, es perpendicular a cada uno de los vectores, como lo indica la Figura 1.4.

Al aplicar la definición del producto vectorial a los tres vectores unitarios cartesianos, se tiene:

Figura 1.5. Relación de ortogonalidad entre ûx, ûy, ûz

Teniendo presente el contenido (1.10), el producto vectorial es:

Pero esta expresión (1.11) no es más que el determinante de la matriz 3x3 en la que la primera fila son los vectores unitarios cartesianos tomados en el orden (x, y, z, también en el mismo orden. Esto es:

según (1.11), de la siguiente manera:

C1 = A2B3 − A3B2,     C2 = A3B1 − A1B3,     C3 = A1B2 − A2B1.

Si se introduce el símbolo εijk, definido de la siguiente manera:

ε123 = ε231 = ε312 = 1,

ε321 = ε213 = ε132 = −1.

Si se repiten índices, εijk se pueden expresar como sigue:

Figura 1.6. Ciclo que define el valor de εijk = 1

Las expresiones dadas por (1.12) se pueden sintetizar así:

, por lo tanto,

se puede expresar así:

El símbolo εijk, se conoce como símbolo de Levi-Civita.

1.2.5 Triple producto escalar

.

cos θ es su altura. Ver Figura 1.7.

Sea M , respectivamente. Esto es,

Su determinante se expresa así:

El triple producto escalar se puede expresar como:

Para demostrar esta igualdad se debe tener presente el determinante de una matriz cuadrada 2 x 2, así:

Demostrar que

.

Si en una matriz cuadrada hay un número par de cambios entre filas o entre columnas, el determinante no cambia. Teniendo en cuenta esta propiedad de los determinantes, podemos establecer que:

y el tercer determinante es