Konjuntzio logiko

Arrazonamendu formalean, bi proposizioen arteko konjuntzio logikoa lokailu logiko bat da, zeinen egia balioa egiazkoa izango da bi proposizioak egiazkoak badira eta faltsua beste kasu guztietan.

A $\land$ B ebakiduraren, Venn-en diagrama

“A eta B” egiazkoa izango da, A egiazkoa bada eta B egiazkoa bada bakarrik.

• Hizkuntza naturalean, “eta” hitza erabiltzen da euskaraz konjuntzio logiko bat adierazteko.
• Multzo teorian kontzeptu baliokidea ebaketa edo ebakidura da ($\cap$).
• Aljebra Boolearrean, konjuntzioa bi aldagaien arteko eragile bitar gisa erdiko puntuaren (·) sinboloarekin adireazten da.
• Elektronikan, AND ate logikoa erabiltzen da konjuntzio logikoa ezartzeko.

A$\land$B$\land$C ebakiduraren, Venn-en diagrama

Notazioa

Eta adierazteko gehien erabiltzen diren ikurrak hurrengoak dira: matematika eta logikan, ∧ edo × ; elektronikan, ⋅ ; eta programazio lengoaietan, &, &&, edo and.

Definizioa

Faltsuak F eta egiazkoak E diren elementuez osatutako multzo unibertsal bat, U,:

$U=\{F,E\}$

eta $(U,\land )$ bezala irudikatuko dugun barne ergiketa bitara ∧ konjuntzioa, emanda ,

${\begin{array}{rccl}\land :&\;U\times U&\to &U\\&(a,b)&\to &c=a\land b\end{array}}$

(a,b) U x Uko bikote ordenatu bakoitzari Uko c bat bakarra esleituko zaio, c, a eta b ren arteko konjuntzio logikoaren emaitza izango da.

$\forall (a,b)\in U\times U\,:\quad \exists !c\in U\;/\quad c=a\land b$

Konjuntzio logikoaren egia taula:

INPUT		OUTPUT
$A$	$B$	$A\land B$
E	E	E
E	F	F
F	E	F
F	F	F

Erabilera

Hizkuntza formala

Hizkuntza formal bateko adierazpenek, egiazkoak edo faltsuak izan daitezkeen proposizioak irudikatzen badituzte, konjuntzio logikoa egiazkoa izango da bi adierazpenak egiazkoak badira bakarrik.

Aljebra boolearra

B={0,1} multzoa emanik, · honela definituko da:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

Propietateak

Konjuntzio logikoak honako propietate hauek ditu:

• Elkartze propietatea:

$\forall a,b,c\in U:\;(a\land b)\land c=a\land (b\land c)$

$~A$	$~~~\land ~~~$	$(B\land C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$~~~\land ~~~$	$~C$
	$~~~\land ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\land ~~~$

• Trukatze propietatea:

$\forall a,b\in U:\;a\land b=b\land a$

$A\land B$	$\Leftrightarrow$	$B\land A$
	$\Leftrightarrow$

• Banatze propietatea:

$\forall a,b,c\in U:\;a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)$

$~A$	$\land$	$(B\lor C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\land B)$	$\lor$	$(A\land C)$
	$\land$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\lor$

• Elementu neutroaren existentzia:

$\forall a\in U:\;a\land V=a$

• Alderantzizkoa

$\forall a\in U;\;\exists \lnot {a}\in U:\;a\land \lnot {a}=F$

• Konjuntzioa ondorioz disjuntzioa

$\forall a,b\in U:\;a\land b\rightarrow a\lor b$

Eragiketak bit-ekin

Konjuntzioa oso erabilia da bit-ekin eragiketak egiteko. Adibidez:

• Zero eta zero:

$0\land 0=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&0\\\land &0\\\hline &0\\\end{array}}$

• Zero eta bat:

$0\land 1=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&0\\\land &1\\\hline &0\\\end{array}}$

• Bat eta zero:

$1\land 0=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&1\\\land &0\\\hline &0\\\end{array}}$

• Bat eta bat:

$1\land 1=1\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&1\\\land &1\\\hline &1\\\end{array}}$

• Lau bitetan:

$1010\land 1100=1000\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{ccccc}&1&0&1&0\\\land &1&1&0&0\\\hline &1&0&0&0\\\end{array}}$

Bibliografia

• Winfried Karl Grassmann, Jean-Paul Tremblay (1995), Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science Perspective, Prentice Hall, ISBN 8131714381