Torus

Torus

Kun etäisyys pyörähdysakselilta pienee, renkaanmuotoinen torus muuttuu ensin torvimaiseksi, sitten sukkulamaiseksi ja lopulta pallopinnaksi.

Torus on geometriassa pyörähdyspinta, joka syntyy ympyrän pyörähtäessä kolmiulotteisessa avaruudessa ympyrän kanssa samassa tasossa olevan akselin ympäri. Jos pyörähdysakseli ei leikkaa eikä kosketa ympyrää, torus on renkaan muotoinen. Suunnilleen tämänlaisen toruksen muotoisia pintoja ovat esimerkiksi autojen ja polkupyörien renkaat, varsinkin niiden sisäkumit, sekä pelastusrenkaat. Nimitystä torus käytetään joskus myös tämänmuotoisen pinnan rajoittamasta kappaleesta, toroidista. Suunnilleen toroidin muotoisia kappaleita ovat tyypillisesti esimerkiksi sormukset sekä myös munkkirinkilät eli donitsit.

Topologiassa torus on mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen kahden ympyrän karteesisen tulon S¹ × S¹ kanssa, kun tämä varustetaan tulotopologialla. Se on kompakti kaksiulotteinen monisto, jonka genus on 1. Topologinen torus voidaan muodostaa taivuttamalla pitkä ja kapea suorakulmio lieriöksi, liimaamalla sen vastakkaiset sivut yhteen ja sen jälkeen vielä taivuttamalla näin saatu lieriö pituussuunnassa ympyrän muotoon ja liimaamalla sen vastakkaiset päät yhteen. Matemaattisesti symmetrisempi toruksen topologisen määritelmän toteuttava pinta on kuitenkin Cliffordin torus, joka kahden ympyrän karteesisena tulona saatava pinta. Sellaisenaan sitä ei tosin ei voida toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}$, mutta se voidaan kyllä upottaa neliulotteiseen avaruuteen $\mathbb {R} ^{4}$.

Torus geometriassa

Torus on kahden ympyrän tulo, joista vain toinen on merkitty tähän kuvioon. Punainen ympyrä pyörähtää akselin ympäri, jota tähän ei ole merkitty. R on violetin ja r punaisen ympyrän säde.

Torus voidaan määritellä parametrimuodossa seuraavasti:

${\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \end{aligned}}$

missä

θ ja φ ovat kulmamuuttujia, jotka voivat saada kaikki arvot 0:n ja 2π:n väliltä

R on renkaan keskipisteen etäisyys toruksen keskellä olevan "reiän" keskipisteestä, ja

r on renkaan säde.

Sädettä R sanotaan toruksen "suureksi säteeksi" (engl. major radius) ja sädettä r sen "pieneksi säteeksi" (engl. minor radius). Suhdetta R/r sanotaan aspektisuhteeksi. Tavallisella donitsilla aspektisuhde on yleensä arvojen 2 ja 3 välillä.

Karteesisissa koordinaateissa torusta, joka on säteittäissymmetrinen z-akselin suhteen, esittää yhtälö

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},$,

toisin sanoen sen muodostavat yhtälön f(x, y, z) = 0 ratkaisut, kun

$f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}.$

Tämä voidaan esittää yhtäpitävästi myös neljännen asteen yhtälöllä, joissa ei ole neliöjuuria:

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).$

Näin muodostettu torus ei kuitenkaan aina ole renkaan muotoinen, vaan sen muoto riippuu siitä, kumpi säteistä R ja r on suurempi:

• Jos R > r, on kyseessä tavallinen renkaanmuotoinen torus.
• Jos R = r, on kyseessä torvimainen torus, jossa ei ole keskellä reikää.
• Jos R < r, on kyseessä itsensä leikkaava sukkulamainen torus.
• Jos R = 0, torus surkastuu muodoltaan pallopinnaksi.

R > r:
Rengasmainen torus

R = r:
Torvimainen torus

R < r:
Sukkulamainen torus

Kolmen torusluokan alemmat puoliskot ja poikkileikkaukset

Kun R ≥ r, toruksen sisään jäävä kappale eli toroidi

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}<r^{2}$

on diffeomorfinen ja niin ollen myös homeomorfinen avoimen kiekon ja ympyrän karteesisen tulon kanssa.

Toruksen pinta-alalle ja toroidin tilavuudelle voidaan Pappuksen–Guldinin lauseen nojalla johtaa lausekkeet:

$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,$

Nämä kaavat voidaan kirjoittaa myös käytännöllisiin, toruksesta suoraan mitattavissa oleviin suureisiin perustuviin muotoihin:

$A=p(P-p)$

$V={\frac {pd(P-p)}{4}}$,

missä $\scriptstyle p$ on poikkileikkauksen ympärysmitta, $\scriptstyle d$ poikkileikkauksen halkaisija ja $\scriptstyle P$ toruksen (suurin) ympärysmitta.

Pinta-ala ja tilavuus ovat siis yhtä suuret kuin sellaisen lieriön, jonka pituus on 2πR ja pohjapinnan säde r. Sellainen lieriö voitaisiin saada leikkaamalla putki ja vetämällä se suoraksi. Putken keskikohdan sisäpuolella oleva osa toruksen pinta-alasta ja tilavuudesta on pienempi kuin lieriöllä, mutta ulkopuolella oleva osa juuri sen verran suurempi, että nämä erotukset täsmälleen kumoavat toisensa.

Jos taas toruksen uloimman pinnan sädettä merkitään p:llä ja sisimmän pinnan sädettä q:llä (niin että $R={\frac {p+q}{2}}$ ja $r={\frac {p-q}{2}}$), toruksen pinta-ala ja toroidin tilavuus on:

${\begin{aligned}A&=4\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)=\pi ^{2}(p+q)(p-q)\\V&=2\pi ^{2}\left({\frac {p+q}{2}}\right)\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}(p+q)(p-q)^{2}\end{aligned}}$

Koordinaatit toruspinnalla

Torus, johon on merkitty poloidinen suunta θ (punainen nuoli) ja toroidinen suunta ζ tai φ (sininen nuoli).

Koska torus on kahden ympyrän tulo, sen pinnalla olevan pisteen sijainti voidaan ilmoittaa eräänlaisella muunnetulla versiolla pallokoordinaateista.

Tavanomaisissa pallokoordinaateissa pisteen sijainti voidaan ilmaistaa kolmella luvulla: R eli etäisyys origosta sekä kulmat θ ja φ, jotka määritellään valittujen pisteen avulla samaan tapaan kuin maan pinnalla leveys- ja pituusasteet on määritelty napojen Greenwichin avulla.

Toruspinnalla koordinaatit sen sijaan määritellään, että toinen niistä, kulma φ osoittaa etäisyyden toruksen keskellä olevan "reiän" keskipisteestä. Sitä sanotaan toroidikseksi suunnaksi. Toinen koordinaatti θ taas osoittaa, missä suunnassa piste on toruksen putken keskellä kulkevasta, edellä mainitun keskipisteen ympäri kiertävästä ympyrästä. Sitä sanotaan poloidiseksi suunnaksi.

Näitä termejä on ensin käytetty maan magneettikentän yhteyessä, jolloin "poloidinen" merkitsi "suuntaa kohti napoja". Nykyisin niitä käytetään varsinkin fuusioreaktoreihin suunniteltujen voimakkaiden magneettien yhteydessä, joilla vetyplasma saataisiin pidetyksi paikoillaan.

Torus topologiassa

Topologiassa torus on suljettu pinta, jonka määritellään kahden ympyrän karteesisena tulona varustettuna tulotopologialla:S¹ × S¹. Sen voidaan ajatella sijaitsevan kompleksisessa koordinaattiavaruudessa $\mathbb {C} ^{2}$, ja se on ${\sqrt {2}}$-säteisen 3-pallon S³ osajoukko.

Topologisesti torukseksi voidaan kuitenkin käsittää yhtä hyvin myös mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen näin määritellyn toruksen kanssa. Edellisessä osiossa käsitellyistä geometrisista toruksista vain rengasmainen torus on torus myös tässä topologisessa mielessä. Cliffordin torus voidaan kuvata homeomorfisesti tällaiselle geometriselle torukselle esimerkiksi projisoimalla se stereografisesti $\mathbb {R} ^{3}$:een S³:n käsin.

Kahvikupin jatkuva muuntaminen munkkirinkiläksi (torukseksi), jonka kanssa se on homeomorfinen.

Toisaalta topologinen torus voi olla geometriselta muodoltaan mutkikkaampikin: esimerkiksi myös tavallisen (korvallisen) kahvikupin pinta on homeomorfinen tavallisen toruksen kanssa, mikä on antanut aiheen määritellä topologi leikillisesti "henkilöksi, joka ei näe eroa munkkirinkilän ja kahvikupin välillä".

Torus voidaan myös kuvailla karteesisen tason tekijäavaruutena, kun tehdään seuraavat samastukset:

$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),\,$

tai yhtäpitävästi yksikköneliön tekijäavaruutena, kun vastakkaiset sivut yhdistetään, mitä voidaan kuvata perusmonikulmiolla ABA⁻¹B⁻¹.

Algebrallisesa topologiassa ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän $\mathbb {Z}$ kanssa. Tästä seuraa, että toruksen perusryhmä on ympyrän perusryhmän suora tulo itsensä kanssa:

$\pi _{1}(\mathbf {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} .$

Intuitiivisesti tämä merkitsee sitä, että suljettu silmukka, joka kiertää ensin toruksen keskellä olevan "reiän" ympäri (toroidisessa suunnassa, esimerkiksi sitä kiertävää ympyrää myöten, joka muodostaa toruspinnan "leveyspiirin") ja sitten toruksen renkaan ympäri (poloidisessa suunnassa, esimerkiksi sellaista ympyrää myöten, joka muodostaa toruksen "pituuspiirin"), voidaan jatkuvalla muunnoksella muuntaa silmukaksi, joka kiertää ensin renkaan ja sitten reiän. Niinpä puhtaasti leveyssuuntaiset ja puhtaasti pituussuuntaiset polut kommutoivat.

Puhkaistun toruksen kääntäminen nurinpäin, sisäpuoli ulospäin. Tällöin renkaan pintaan merkityt poikittaiset juovat muuttuvat pitkittäisiksi tai päinvastoin.

Jos torukseen puhkaistaan reikä eli siitä poistetaan yksi piste (tai pieni alue), jäljelle jäävä pinta voidaan jatkuvalla muunnoksella kääntää nurinpäin, sisäpuoli ulospäin, mutta sen pituussuuntaiset ympyrät muuttuvat leveyssuuntaisiksi ja päinvastoin. Tämä vastaa sitä, miten torus voidaan muodostaa lieriöstä kahdella eri tavalla: joko ulkopuolitse kuten yhdistämällä puutarhaletkun molemmat päät tai sisäpuolitse kuten käärimällä rikkinäinen sukka, josta varpaat pistävät esiin. Kun lisäksi lieriö voidaan muodostaa suorakulmiosta liimaamalla sen kaksi vastakkaista sivua yhteen, voidaan tämä tehdä kahdella tavalla liimaamalla joko vaaka- tai pystysuorat sivut, jolloin riippuen siitä, kummat sivut liimataan toisiinsa, alkuperäiseen suorakulmioon mahdollisesti merkityt raidat tulevat joko pitkittäisiksi tai poikittaisiksi, lieriön ympäri kierretyiksi, riippuen siitä, kummalla tavalla tehdään.

Toruksen ensimmäinen homologiaryhmä on isomorfinen sen perusryhmän kanssa. Tämä seuraa Hurewiczin lauseesta, koska toruksen perusryhmä on Abelin ryhmä.

Toroidiset monitahokkaat

Toroidinen monitahokas, jolla on 6 × 4 = 24 nelikulmaista tahkoa, 48 särmää ja 24 kärkeä.

Monitahokkaita, jotka topologisesti ovat toruksen kaltaisia, sanotaan toroidisiksi monitahokkaiksi. Niiden Eulerin karakteristika on

$V-E+F=0$,

missä V on monitahokkaan kärkien, E särmien ja F tahkojen lukumäärä.

Vastaavasti monitahokkailla, joissa on useampia "reikiä", Eulerin karakteristika on

$V-E+F=2-2N$,

missä N on reikien lukumäärä.

Toruksen väritys

Tässä kaaviossa toruspinta on jaettu seitsemään alueeseen, joista jokainen rajoittuu suoraan jokaiseen muuhun. Siksi sen värittämiseen tarvitaan seitsemän väriä.

Jos toruspinta jaetaan alueisiin ja ne halutaan värittää siten, että mitkään kaksi toisiinsa rajoittuvaa aluetta eivät tule samanvärisiksi, tämä käy aina päinsä niin, että ei tarvita enempää kuin seitsemän väriä. Toisin kuin tasolla, neljä väriä ei siis aina riitä. Tämä torusta koskeva tulos oli todistettu topologisesti jo kauan ennen kuin Kenneth Appel ja Wolfgang Haken vuonna 1976 todistivat tietokoneen avulla tasoalueita koskevan vastaavanlaisen neljän värin lauseen.

Lähteet

• Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio: Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. (Vuoden 2007 painos) McGraw-Hill, 2007. ISBN 978-970-10-6596-9 (espanjaksi)
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0 Teoksen verkkoversio.
• V. V. Nikulin, I. R. Shafarevich: Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1 .
• Tore (notion géométrique Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Torus Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6