Tórusz

Tórusz

Rácsmodellel szemléltetett tórusz

A tórusz egy forgástest, amely egy körlemezt egy vele komplanáris (jelentése: egy síkban lévő) tengely körül elforgatva generálható. Tórusz alakú például a hulahop karika és a kerékpár belső gumija.

Képletek

Egyenletek

A tórusz egy lehetséges parametrizálása:

$x(r,\phi ,\theta )=(R+r\cos \phi )\cos \theta ,\,\!$

$y(r,\phi ,\theta )=(R+r\cos \phi )\sin \theta ,\,\!$

$z(r,\phi ,\theta )=r\sin \phi ,\,\!$

ahol $0<r<R$, és $\phi ,\theta \in [0;2\pi )$.

Jelölje $r$ a generáló kör sugarát, s jelölje $R$ a forgástengely és a kör középpontjának távolságát. Ekkor a tórusz pontjai az alábbi egyenlőtlenségnek tesznek eleget:

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}\leq r^{2},\,\!$

Ebből gyöktelenítéssel adódik ez az ekvivalens formula:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}\leq 4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!$

Térfogat és felszín

A tórusz térfogata ($V$) és felszíne ($A$) kiszámítható a Papposz–Guldin-tétel segítségével:

$V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)\,$

$A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,$.

Fontos megjegyezni, hogy a tórusz felszíne és térfogata megegyezik egy hengerével, melynek magassága $2\pi R$, alapkörének sugara pedig $r$. Ennek magyarázata az, hogy ha egy tóruszt elvágunk a generáló kör mentén, majd kinyújtjuk, akkor a belső oldal felület- és térfogat-veszteségeit kompenzálják a külső oldal nyereségei.

Topológia

A tórusz, mint két kör szorzata

A tórusz topológiai szempontból zárt felület, ami két körvonal szorzataként írható le: S¹ × S¹.

A síkból tórusz kapható a következő reláció szerinti azonosítással:

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).

Egy négyzet két-két szemben fekvő oldalpárjának azonosításával szintén tóruszt kapunk. Ezt nevezik lapos tórusznak.

A tórusz fundamentális csoportja a két kör fundamentális csoportjának direkt szorzata:

$\pi _{1}(\mathbb {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .$

Ha a tóruszt egy rajta ejtett lyukon át kifordítják, akkor újra tóruszt kapnak, aminek a szélességi és hosszúsági vonalai megcserélődtek.

A tórusz első homológiacsoportja izomorf a tórusz fundamentális csoportjával. Ez következik a Hurewicz-tételből, mivel a fundamentális csoport Abel.

A tórusz szeletelése

Egy tórusz n síkkal legfeljebb ${\frac {1}{6}}\left(n^{3}+3n^{2}+8n\right)$ részre darabolható. Ez az egész számok egy különleges sorozata. (A003600 sorozat az OEIS-ben) A sorozat első tagjai: 1, 2, 6, 13, ha n 0-tól kezdődik.

Színezés

Egy tóruszon levő térképet mindig ki lehet színezni legfeljebb hét színnel úgy, hogy a szomszéd területek színe különböző. Lásd még: négyszín-tétel a síkon.

Az ábra hét, egymást kölcsönösen érintő területet mutat

Általánosítás

A tórusz általánosítható magasabb dimenziókra is. Ezek az n dimenziós tóruszok, röviden n-tóruszok. Az eddigi tórusz a 2-tórusz.

Az n dimenziós tórusz előáll n kör topologikus szorzataként:

$\mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.$

Az 1-tórusz a kör; a 2-tórusz ismert. A 3-tóruszt nehéz szemléltetni.

Az általánosított tóruszt ugyanúgy le lehet írni Rⁿ hányadostereként, mint a 2-tóruszt. Ez Rⁿ hányadoscsoportja a Zⁿ rács hatása szerint, ahol Zⁿ eltolással (összeadással) hat. Az n-tórusz megkapható úgy is, hogy azonosítjuk egy hiperkocka egymással szemben fekvő lapjait.

Az n-tórusz fundamentális csoportja n rangú szabad Abel-csoport, k-adik homológiacsoportja $n \choose k$ rangú szabad Abel-csoport. Ennek következménye, hogy az n-tórusz Euler-karakterisztikája minden n-re 0.

Források

• Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
• Tórusz előállítása a cut-the-knotnál
• Weisstein, Eric W.: Torus (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• "4D tórusz" utazás egy négydimenziós tórusz keresztmetszetein át
• "Relációs áttekintő térkép" Archiválva 2021. február 28-i dátummal a Wayback Machine-ben Magas dimenziós adatok szemléltetése lapos tóruszokkal
• "Torus Games" Játékok, amik megvilágítják a tórusz topológiáját

További információk

A Wikimédia Commons tartalmaz Torus témájú médiaállományokat.

• Jeffrey R. Weeks: A tér alakja (Typotex, 2009) ISBN 978 963 2790-58 9
• Szűcs András: Topológia