Grupo abeliano

Para a novela véxase: Grupo abeliano (novela).

Un grupo abeliano é unha estrutura alxébrica determinada sobre un conxunto G que ten estrutura de grupo e no que a operación interna é conmutativa.

Os grupos abelianos reciben o seu nome en honra ao matemático noruegués Niels Henrik Abel, que os empregou no seu estudo das ecuacións alxébricas resolubles con radicais.^[1] Os grupos que non son conmutativos denomínanse “non abelianos” ou “non conmutativos”.

Definición

Dada unha estrutura alxébrica sobre un conxunto G e cunha operación interna binaria " $\circ$ ", dise que a estrutura $(G,\circ )$ é un grupo abeliano con respecto á operación $\circ$ se:

$(G,\circ )$ ten a estrutura alxébrica de grupo.
$(G,\circ )$ ten a propiedade conmutativa.

Notación

Véxase tamén: Grupo aditivo e Grupo multiplicativo.

Existen dúas convencións principais de notación para os grupos abelianos: aditivo e multiplicativo.

Convenio	Operación	Identidade	Potencias	Inverso
Adición	$x+y$	0	$nx$	$-x$
Multiplicación	$x\cdot y$ ou $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

Xeralmente, a notación multiplicativa é a notación usual para os grupos, mentres que a notación aditiva é a notación usual para módulos e aneis. A notación aditiva tamén se pode empregar para salientar que un grupo particular é abeliano, sempre que se consideren tanto grupos abelianos como non abelianos, sendo algunhas excepcións notables os near-rings e partally ordered groups, onde unha operación escríbese aditivamente aínda que non sexa abeliana.^[2]^[3]

Táboa de multiplicación

Para verificar que un grupo finito é abeliano, pódese construír unha táboa (matriz), coñecida como táboa de Cayley, de forma similar a unha táboa de multiplicar.^[4] Se o grupo é $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ baixo a operación $\cdot$ , a entrada $(i,j)$ -ésima desta táboa contén o produto $g_{i}\cdot g_{j}$ .

O grupo é abeliano se e só se esta táboa é simétrica sobre a diagonal principal. Isto é certo xa que o grupo é abeliano se e só se $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ para todo $i,j=1,...,n$ , que é se a entrada $(i,j)$ da táboa é igual á entrada $(j,i)$ para todos os $i,j=1,...,n$ , é dicir, a táboa é simétrica respecto da diagonal principal.

Exemplos

Todo grupo cíclico G é abeliano, pois se x, y ∈ G = <a>, x = a^m; y = aⁿ para algúns m, n enteiros, co que xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx. En particular, o grupo Z de enteiros coa suma é abeliano, ao igual que o grupo de enteiros módulo n, Z_n.
Os números reais forman un grupo abeliano coa adición, ao igual que os reais non nulos coa multiplicación.
Todo anel é un grupo abeliano con respecto á súa suma. Nun anel conmutativo, os elementos invertibles forman un grupo abeliano coa multiplicación.
Todo subgrupo dun grupo abeliano é normal, e polo tanto, para todo subgrupo hai un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes e sumas directas de grupos abelianos son tamén abelianos.

Propiedades

Se n é un número natural e x un elemento dun grupo abeliano G, pódese definir nx = x + x +... + x (n sumandos), e (−n)x = −(nx), co que G se converte nun módulo sobre o anel Z dos enteiros. De feito, os módulos sobre Z non son outros cós grupos abelianos.
Se f, g: G → H son dous homomorfismos entre grupos abelianos, a súa suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) tamén é un homomorfismo; isto non se cumpre en xeral para os grupos non abelianos. Con esta operación, o conxunto de homomorfismos entre G e H vólvese, entón, un grupo abeliano en si mesmo.
O centro $Z(G)$ dun grupo $G$ é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de $G$ . Un grupo $G$ é abeliano se e só se é igual ao seu centro $Z(G)$ . O centro dun grupo $G$ é sempre un subgrupo abeliano característico de $G$ .
Se o grupo cociente $G/Z(G)$ dun grupo polo seu centro é cíclico, entón $G$ é abeliano.^[5]

Grupos abelianos finitos

Os grupos cíclicos de números enteiros módulo $n$ , $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , estiveron entre os primeiros exemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos de orde potencia prima, e estas ordes están determinadas de forma única, formando un sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismos dun grupo abeliano finito pódese describir directamente en termos destas invariantes. A teoría foi desenvolvida por primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e máis tarde foi simplificada e xeneralizada a módulos xerados de forma finita sobre un dominio ideal principal, formando un importante capítulo da álxebra linear.

Calquera grupo de orde prima é isomorfo a un grupo cíclico e, polo tanto, abeliano. Calquera grupo cuxa orde sexa un cadrado dun número primo tamén é abeliano.^[6] De feito, para cada número primo $p$ hai (ata isomorfismo) exactamente dous grupos de orde $p^{2}$ , a saber $\mathbb {Z} _{p^{2}}$ e $\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}$ .

Clasificación

O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos afirma que todo grupo abeliano finito $G$ pode expresarse como a suma directa de subgrupos cíclicos de orde de potencia prima; tamén se coñece como teorema da base para grupos abelianos finitos. A maiores, os grupos de automorfismos de grupos cíclicos son exemplos de grupos abelianos.^[7] Isto é xeneralizado polo teorema fundamental dos grupos abelianos xerados finitamente, sendo os grupos finitos o caso especial cando G ten rango cero; isto á súa vez admite numerosas xeneralizacións adicionais.

A clasificación foi probada por Leopold Kronecker en 1870, aínda que non foi declarada en termos modernos de teoría de grupos ata máis tarde, e foi precedida por unha clasificación similar de formas cadráticas de Carl Friedrich Gauss en 1801; ver historia para máis detalles.

O grupo cíclico $\mathbb {Z} _{mn}$ de orde $mn$ é isomorfo á suma directa de $\mathbb {Z} _{m}$ e $\mathbb {Z} _{n}$ se e só se $m$ e $n$ son coprimos. Dedúcese que calquera grupo abeliano finito $G$ é isomorfo a unha suma directa da forma

\bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}

de calquera das seguintes formas canónicas:

os números $k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}$ son potencias de números primos (non necesariamente distintos).
ou $k_{1}$ divide $k_{2}$ , que divide $k_{3}$ , e así sucesivamente ata $k_{u}$ .

Por exemplo, $\mathbb {Z} _{15}$ pódese expresar como a suma directa de dous subgrupos cíclicos de orde 3 e 5: $\mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}$ . O mesmo pódese dicir de calquera grupo abeliano de orde 15, o que leva á conclusión notable de que todos os grupos abelianos de orde 15 son isomorfos.

Para outro exemplo, cada grupo abeliano de orde 8 é isomorfo a $\mathbb {Z} _{8}$ (os enteiros de 0 a 7 baixo a suma módulo 8), $\mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ (os enteiros impares do 1 ao 15 baixo a multiplicación módulo 16), ou $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ .

Vexa tamén lista de grupos pequenos para grupos abelianos finitos de orde 30 ou menos.

Automorfismos

Pódese aplicar o teorema fundamental para contar (e ás veces determinar) os automorfismos dun grupo abeliano finito $G$ . Para iso, utilízase o feito de que se $G$ se divide como unha suma directa $H\oplus K$ de subgrupos de orde coprima, entón

\operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).

Dado isto, o teorema fundamental mostra que para calcular o grupo de automorfismos de $G$ abonda con calcular os grupos de automorfismos dos subgrupos de Sylow $p$ por separado, (é dicir, todas as sumas directas de subgrupos cíclicos, con cadansúa potencia de $p$ ). Fixamos un $p$ primo e supomos que os expoñentes $e_{i}$ dos factores cíclicos do subgrupo $p$ de Sylow están dispostos en orde crecente:

e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}

para algúns $n>0$ . Hai que atopar os automorfismos de

\mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.

Un caso especial é cando $n=1$ , de xeito que só hai un factor de potencia prima cíclica no subgrupo $P$ de Sylow. Neste caso pódese utilizar a teoría dos automorfismos dun grupo cíclico finito. Outro caso especial é cando $n$ é arbitrario pero $e_{i}=1$ para $1\leq i\leq n$ . Aquí, estamos considerando que $P$ é da forma

\mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},

polo que os elementos deste subgrupo pódense ver como un espazo vectorial de dimensión $n$ sobre o corpo finito de elementos $p$ $\mathbb {F} _{p}$ . Polo tanto, os automorfismos deste subgrupo veñen dados polas transformacións lineares invertíbeis, polo tanto

\operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),

onde $\mathrm {GL}$ é o grupo linear xeral. Móstrase facilmente que ten orde

\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).

No caso máis xeral, onde os $e_{i}$ e $n$ son arbitrarios, o grupo de automorfismos é máis difícil de determinar. Sábese, porén, que se un define

d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}

e

c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}

entón temos en particular $k\leq d_{k}$ , $c_{k}\leq k$ e

\left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.

Pódese comprobar que isto produce as ordes dos exemplos anteriores como casos especiais (ver Hillar & Rhea).

Grupos abelianos finitamente xerados

Artigo principal: Grupo abeliano finitamente xerado.

Un grupo abeliano $A$ xérase finitamente se contén un conxunto finito de elementos (chamados xeradores) $G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ tal que cada elemento do grupo é unha combinación linear con coeficientes enteiros de elementos de $G$ .

Sexa $L$ un grupo abeliano libre con base $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.$ Hai un único homomorfismo de grupos $p\colon L\to A,$ de tal xeito que

p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{para }}i=1,\ldots ,n.

Este homomorfismo é sobrexectivo, e o seu kernel xérase de forma finita (xa que os enteiros forman un anel noetheriano). Considere a matriz $M$ con entradas enteiras, de xeito que as entradas da súa columna $j$ -ésima son os coeficientes do $j$ -ésimo xerador do kernel. Entón, o grupo abeliano é isomorfo ao cokernel do mapa linear definido por $M$ . Pola contra, cada matriz enteira define un grupo abeliano finitamente xerado.

Dedúcese que o estudo de grupos abelianos xerados finitamente é totalmente equivalente ao estudo das matrices enteiras. En particular, mudar o conxunto xerador de $A$ é equivalente a multiplicar $M$ pola esquerda por unha matriz unimodular (é dicir, unha matriz enteira invertíbel cuxa inversa tamén é un matriz enteira). Mudar o conxunto xerador do kernel de $M$ é equivalente a multiplicar $M$ pola dereita por unha matriz unimodular.

A forma normal de Smith de $M$ é unha matriz

S=UMV,

onde $U$ e $V$ son unimodulares, e $S$ é unha matriz tal que todas as entradas non diagonais son cero, as entradas diagonais non nulas $d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}$ son os primeiros, e $d_{j,j}$ é un divisor de $d_{i,i}$ para $i > j$ . A existencia e a forma da forma normal de Smith demostra que o grupo abeliano finitamente xerado $A$ é a suma directa

\mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,

onde $r$ é o número de filas cero na parte inferior de $S$ (e tamén o rango do grupo). Este é o teorema fundamental dos grupos abelianos xerados finitamente.

A existencia de algoritmos para a forma normal de Smith mostra que o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados non é só un teorema de existencia abstracta, senón que proporciona unha forma de calcular a expresión de grupos abelianos finitamente xerados como sumas directas.^[8]

Grupos abelianos infinitos

O grupo abeliano infinito máis sinxelo é o grupo cíclico infinito $\mathbb {Z}$ . Calquera grupo abeliano xerado finitamente $A$ descomponse nunha suma directa de un número finito de grupos cíclicos de ordes potencia prima. Aínda que a descomposición non é única, o número $r$ , chamado rango de $A$ , e as potencias primas que dan as ordes dos sumandos cíclicos finitos están determinados de forma única.

Pola contra, a clasificación de grupos abelianos xerados infinitamente está lonxe de ser completa. Os grupos divisíbeis, é dicir, os grupos abelianos $A$ nos que a ecuación $nx=a$ admite unha solución $x\in A$ para calquera número $n$ e o elemento $a$ de $A$ , constitúen unha clase importante de grupos abelianos infinitos que se poden caracterizar por completo. Todo grupo divisíbel é isomorfo a unha suma directa, con sumandos isomorfos a $\mathbb {Q}$ e os grupos de Prüfer $\mathbb {Q} _{p}/Z_{p}$ para varios números primos $p$ . A cardinalidade do conxunto de sumandos de cada tipo está determinada de forma única.^[9] A maiores, se un grupo divisíbel $A$ é un subgrupo dun grupo abeliano $G$ , entón $A$ admite un complemento directo: un subgrupo $C$ de $G$ tal que $G=A\oplus C$ . Así, os grupos divisíbeis son módulos inxectivos na categoría de grupos abelianos, e viceversa, todo grupo abeliano inxectivo é divisíbel (criterio de Baer). Un grupo abeliano sen subgrupos divisíbeis distintos de cero chámase reducido.

Dúas clases especiais importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opostas son os "grupos de torsión" e os "grupos libres de torsión", exemplificados polos grupos $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ (periódico ou torsión) e $\mathbb {Q}$ (sen torsión).

Grupos de torsión

Un grupo abeliano chámase periódico ou de torsión se cada elemento ten orde finita. Unha suma directa de grupos cíclicos finitos é periódica. Aínda que a afirmación inversa non é certa en xeral, coñécense algúns casos especiais. O primeiro e o segundo teoremas de Prüfer afirman que se $A$ é un grupo periódico, e ten un expoñente limitado, é dicir, $nA=0$ para algún número natural $n$ , ou é numerábel e as $p$ -alturas dos elementos de $A$ son finitas para cada $p$ , entón $A$ é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos.^[10] A cardinalidade do conxunto de sumandos directos isomorfos a $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ en tal descomposición é unha invariante de $A$ .^[11] Estes teoremas foron subsumidos máis tarde no criterio de Kulikov. Nunha dirección diferente, Helmut Ulm atopou unha extensión do segundo teorema de Prüfer a $p$ -grupos abelianos numerábeil con elementos de altura infinita: eses grupos están completamente clasificados mediante a súa invariante de Ulm.^[12]

Grupos libres de torsión e mixtos

Un grupo abeliano chámase libre de torsión se cada elemento distinto de cero ten orde infinita. Varias clases de grupos abelianos libres de torsión foron estudadas amplamente:

Grupos abelianos libres, é dicir, sumas directas arbitrarias de $\mathbb {Z}$
Grupo de cotorsión e grupos libres de torsióncompactos alxébricos como os enteiros $p$ -ádicos
Os grupo de Slender^[13]

Un grupo abeliano que non é nin de torsión nin libre de torsión chámase mixto. Se $A$ é un grupo abeliano e $T(A)$ é o seu subgrupo de torsión, entón o grupo de factores $A/T(A)$ é libre de torsión. porén, en xeral o subgrupo de torsión non é un sumando directo de $A$ , polo que $A$ non é isomorfo a $T(A)\oplus A/T(A)$ . Así, a teoría dos grupos mixtos implica máis que simplemente combinar os resultados sobre grupos de torsión e libres de torsión. O grupo aditivo $\mathbb {Z}$ de números enteiros é un módulo $\mathbb {Z}$ sen torsión.^[14]

Invariantes e clasificación

Unha das invariantes máis básicas dun grupo abeliano infinito $A$ é o seu rango: a cardinalidade do subconxunto linearmente independente máximo de $A.$ . Os grupos abelianos de rango 0 son precisamente os grupos periódicos, mentres que os grupos abelianos libres de torsión de rango 1 son necesariamente subgrupos de $\mathbb {Q}$ e pódense describir completamente. De forma máis xeral, un grupo abeliano libre de torsión de rango finito $r$ é un subgrupo de $\mathbb {Q} _{r}$ . Por outra banda, o grupo de enteiros $p$ -adicos $\mathbb {Z} _{p}$ é un grupo abeliano sen torsión de $\mathbb {Z}$ -rango infinito e os grupos $\mathbb {Z} _{p}^{n}$ con diferentes $n$ son non isomorfos, polo que este invariante nin sequera captura completamente as propiedades dalgúns grupos familiares.

Os teoremas de clasificación para grupos abelianos sen torsión, divisíbeis, periódicos numerábeis e de rango 1, explicados anteriormente, obtivéronse todos antes de 1950 e forman unha base para a clasificación de grupos abelianos infinitos máis xerais. As ferramentas técnicas importantes empregadas na clasificación de grupos abelianos infinitos son os sbugrupos puros e o subgrupo básico. A introdución de varias invariantes de grupos abelianos libres de torsión foi unha vía de avance. Vexa os libros de Irving Kaplansky, László Fuchs, Phillip Griffith e David Arnold, así como as actas das conferencias sobre Abelian Group Theory publicada en Lecture Notes in Mathematics para achados máis recentes.

Grupos aditivos de aneis

O grupo aditivo dun anel é un grupo abeliano, mais non todos os grupos abelianos son grupos aditivos de aneis (con multiplicación non trivial). Algúns temas importantes nesta área de estudo son:

Produto tensor
A.L.S. Resultados de Corner en grupos numerábeis libres de torsión
Traballo de Shelah para eliminar as restricións de cardinalidade
Anel de Burnside

Notas

↑ Encyclopedia of Mathematics. "Abelian group" (en inglés). Consultado o 12 de xullo de 2014.
↑ Auslander, M., & Buchsbaum, D., Grupos, aneis, módulos (Mineola, NY: Dover Publications, 1974), pp. 28–29.
↑ Stanojkovski, M., Automorfismos intensos de grupos finitos (Providence, RI: [ [Sociedade Americana de Matemáticas]], 2021) páxs. 9–14.
↑ Isaev, A. P., & Rubakov, V. A., Theory of Groups and Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras (Singapore: World Scientific, 2018).
↑ Rose 2012, p. 48.
↑ Rose 2012, p. 79.
↑ Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (Nova York, Berlín, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54].
↑ Finkelstein, L., & Kantor, W. M., eds., Groups and Computation II: Workshop on Groups and Computation, June 7–10, 1995 (Providence: AMS, 1997), pp. 26–27].
↑ Por exemplo, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ .
↑ A suposición de numerabilidade no segundo teorema de Prüfer non se pode eliminar: o subgrupo de torsión do produto directo dos grupos cíclicos $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ para todos os $m$ naturais non é unha suma directa de grupos cíclicos.
↑ Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: AMS, 2004), páx. 6.
↑ Gao, S., Invariant Descriptive Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2008), p. 317.
↑ Albrecht, U., "Products of Slender Abelian Groups", en Göbel, R., & Walker, E., eds., Abelian Group Theory: Proceedings of the Third Conference Celebrada sobre Abelian Group Theory en Oberwolfach, do 11 ao 17 de agosto de 1985 (Nova York: Gordon & Breach, 1987), páxs. 259–274.
↑ Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206.

Véxase tamén

Bibliografía

Cox, David (2004). Galois Theory. Wiley-Interscience. ISBN 9781118031339. MR 2119052.
Fuchs, László (1970). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics 36–I. Academic Press. MR 0255673.
Fuchs, László (1973). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36-II. Academic Press. MR 0349869.
Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.
Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02371-X.
Hillar, Christopher; Rhea, Darren (2007). "Automorphisms of finite abelian groups" (PDF). American Mathematical Monthly 114 (10): 917–923. Bibcode:2006math......5185H. JSTOR 27642365. arXiv:math/0605185. doi:10.1080/00029890.2007.11920485. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 29 de xuño de 2006. Consultado o 12 de novembro de 2024.
Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
Rose, John S. (2012). A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8. Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
Szmielew, Wanda (1955). "Elementary Properties of Abelian Groups" (PDF). Fundamenta Mathematicae 41 (2): 203–271. MR 0072131. Zbl 0248.02049. doi:10.4064/fm-41-2-203-271.
Robinson, Abraham; Zakon, Elias (1960). "Elementary Properties of Ordered Abelian Groups" (PDF). Transactions of the American Mathematical Society 96 (2): 222–236. JSTOR 1993461. doi:10.2307/1993461. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2022-10-09.

Outros artigos

Subgrupo conmutador
Abelianización
Grupo dihédrico de orde 6, o grupo máis pequeno non abeliano
Grupo de Grothendieck
Dualidade de Pontryagin

Ligazóns externas

"Abelian group". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].

[1] Encyclopedia of Mathematics. "Abelian group" (en inglés). Consultado o 12 de xullo de 2014.

[2] Auslander, M., & Buchsbaum, D., Grupos, aneis, módulos (Mineola, NY: Dover Publications, 1974), pp. 28–29.

[3] Stanojkovski, M., Automorfismos intensos de grupos finitos (Providence, RI: [ [Sociedade Americana de Matemáticas]], 2021) páxs. 9–14.

[4] Isaev, A. P., & Rubakov, V. A., Theory of Groups and Symmetries: Finite Groups, Lie Groups, and Lie Algebras (Singapore: World Scientific, 2018).

[5] Rose 2012, p. 48.

[6] Rose 2012, p. 79.

[7] Kurzweil, H., & Stellmacher, B., The Theory of Finite Groups: An Introduction (Nova York, Berlín, Heidelberg: Springer Verlag, 2004), pp. 43–54].

[8] Finkelstein, L., & Kantor, W. M., eds., Groups and Computation II: Workshop on Groups and Computation, June 7–10, 1995 (Providence: AMS, 1997), pp. 26–27].

[9] Por exemplo, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \cong \sum _{p}\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}$ .

[10] A suposición de numerabilidade no segundo teorema de Prüfer non se pode eliminar: o subgrupo de torsión do produto directo dos grupos cíclicos $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ para todos os $m$ naturais non é unha suma directa de grupos cíclicos.

[11] Faith, C. C., Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra (Providence: AMS, 2004), páx. 6.

[12] Gao, S., Invariant Descriptive Set Theory (Boca Raton, FL: CRC Press, 2008), p. 317.

[13] Albrecht, U., "Products of Slender Abelian Groups", en Göbel, R., & Walker, E., eds., Abelian Group Theory: Proceedings of the Third Conference Celebrada sobre Abelian Group Theory en Oberwolfach, do 11 ao 17 de agosto de 1985 (Nova York: Gordon & Breach, 1987), páxs. 259–274.

[14] Lal, R., Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), p. 206.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]