Resorte

Un resorte é un obxecto elástico flexíbel usado para almacenar enerxía mecánica e desprenderse logo dela sen sufrir deformación permanente cando cesan as forzas ou a tensión que o someten. Os resortes son feitos de materiais moi diversos, aceiro ao carbono, aceiro inoxidable, aceiro ao cromo-silicio, cromo-vanadio, bronces, plástico etc, que presentan propiedades elásticas; e cunha gran diversidade de formas e dimensións.

Teñen moitas aplicacións, desde cables de conexión até disquetes, produtos de uso cotián, ferramentas especiais ou suspensións de vehículos. O seu propósito, con frecuencia, adáptase a situacións nas que se require aplicar unha forza e que esta sexa retornada en forma de enerxía. Sempre están deseñados para ofrecer resistencia ou amortecer as solicitacións externas.

Na física clásica, un resorte pode ser visto como un dispositivo que almacene a enerxía potencial esticando as ligazóns entre os átomos dun material elástico.

A lei de Hooke da elasticidade indica que a extensión dunha haste elástica (o seu comprimento distendido menos o seu comprimento relaxado) é linear proporcional á súa tensión e á forza usada para esticala. Similarmente, a contracción (extensión negativa) é proporcional á compresión (tensión negativa).

Para deformacións alén do límite elástico, as ligazóns atómicas comezan a se quebrar, e un resorte pode formar ondas, ou deformarse permanentemente. Moitos materiais non teñen ningún límite elástico claramente definido, e a lei de Hooke non pode ser significativamente aplicada a estes materiais.

Tipos de resortes

Segundo as forzas ou tensións que poden soportar, distínguense tres tipos principais de resortes:

Resortes de tracción: Estes resortes soportan exclusivamente forzas de tracción e caracterízanse por ter un gancho en cada un dos seus extremos, de diferentes estilos: inglés, alemán, catalán, murciano, xiratorio, aberto, pechado ou de dobre espira. Estes ganchos permiten montar os resortes de tracción en todas as posicións imaxinábeis.

Resortes de compresión: Estes resortes están especialmente deseñados para soportar forzas de compresión. Poden ser cilíndricos, cónicos, bicónicos, de paso fixo ou cambiante.
Resortes de torsión: Son os resortes sometidos a forzas de torsión (momentos).

Existen resortes que poden operar tanto a tracción como a compresión. Tamén existen unha gran cantidade de resortes que non teñen a forma de mola habitual; quizais a forma máis coñecida sexa a arandela grower.

Física do resorte

Enerxía de deformación

A maneira máis simple de analizar un resorte fisicamente é mediante o seu modelo ideal global e baixo a suposición de que este obedece a Lei de Hooke. Establécese así a ecuación do resorte, onde se relaciona a forza F exercida sobre o mesmo co alongamento/contracción ou elongación x producida:

$F=-kx\,$ , sendo $k={\frac {AE}{L}}$

k é a constante elástica do resorte.
x é a elongación (alongamento producido).
A é a sección do cilindro imaxinario que envolve o resorte.
E é o módulo de elasticidade do resorte (non confundir co módulo de elasticidade do material).

A enerxía de deformación ou enerxía potencial elástica $U_{k}$ asociada ao estiramento ou acurtamento dun resorte linear vén dada pola integración do traballo realizado en cada cambio infinitesimal $dx\,$ da súa lonxitude. Isto é:

$U_{k}=-\int _{0}^{x}F(x)\ dx=-\int _{0}^{x}-k(x)x\ dx\ ={\frac {1}{2}}kx^{2}$

Se o resorte non é linear entón a rixidez do resorte é dependente da súa deformación e nese caso tense unha fórmula algo máis xeral:

$U_{k}=\int _{0}^{x}k(x)\cdot x\ dx$

Ecuación diferencial e ecuación de ondas

Definiremos agora unha constante intrínseca do resorte independente da lonxitude deste e estableceremos así a lei diferencial constitutiva dun resorte. Multiplicando $k$ pola lonxitude total, e chamando ao produto $k_{i}$ ou k intrínseco, tense:

$k_{i}=AE\,$ onde $k={\frac {k_{i}}{L}}$

Chamamos $F(x)\,$ á tensión nunha sección do resorte situada a unha distancia $x\,$ dun dos seus extremos, que consideraremos fixo e que tomaremos como orixe de coordenadas, $k_{\Delta x}$ á constante dun pequeno anaco do resorte de lonxitude, $\Delta x\,$ á mesma distancia e $\delta _{\Delta x}\,$ ao alongamento deste pequeno anaco en virtude da aplicación da forza $F(x)\,$ . Pola lei do resorte completo:

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta _{\Delta x}=k_{i}{\frac {\delta _{\Delta x}}{\Delta x}}$

Tomando o límite:

$F(x)=-k_{i}{\frac {{\delta }_{dx}}{dx}}$

que polo principio de superposición resulta:

$F\left(x\right)=-k_{i}{\frac {d{\delta }}{dx}}=-AE{\frac {d\delta }{dx}}$

Se ademais supoñemos que tanto a sección como o módulo de elasticidade poden variar coa distancia á orixe, a ecuación queda:

$F\left(x\right)=-k_{i}\left(x\right){\frac {d{\delta }}{dx}}=-A\left(x\right)E\left(x\right){\frac {d\delta }{dx}}$

Que é a ecuación diferencial completa do resorte. Se se integra para todo x, obtense como resultado o valor do alongamento unitario total. Normalmente pode considerarse F (x) constante e igual á forza total aplicada. Cando F (x) non é constante e se inclúe no razoamento a inercia deste, chégase á ecuación de onda unidimensional que describe os fenómenos ondulatorios.

Supoñemos, por simplicidade, que tanto a sección do resorte, como a súa densidade (entendendo densidade como a masa dun tramo de resorte dividida polo volume do cilindro imaxinario envolvente) e o seu módulo de elasticidade son constantes ao longo do mesmo e que o resorte é cilíndrico. Agora se tomamos un tramo diferencial do resorte de lonxitude (dx), a masa desa porción virá dada por:

$dm=\rho Adx$

Aplicando a segunda lei de Newton a ese tramo e chamándolle $\Psi \left(x\right)$ ao desprazamento dunha sección do resorte:

$F\left(x\right)-F(x+dx)\left(x\right)=-dm{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

É dicir:

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\rho Adx{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}\rightarrow {\frac {\partial F}{\partial x}}=-\rho A{\frac {{\partial }^{2}\Psi }{{\partial t}^{2}}}$

Por outro lado é fácil deducir que

$d\delta =\Psi \left(x+dx\right)-\Psi \left(x\right)={\frac {\partial \Psi }{\partial x}}dx$

Ao introducir, polo tanto, esta expresión na ecuación diferencial do resorte antes deducida, chégase a:

$F\left(x\right)=-AE{\frac {\partial \Psi }{\partial d}}$

Derivando esta expresión respecto a x obtense:

${\frac {\partial F}{\partial x}}=-AE{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}$

Xuntando a expresión temporal coa expresión espacial dedúcese finalmente a ecuación xeral dun resorte cilíndrico de sección, densidade e elasticidade constantes, que coincide exactamente coa ecuación de onda lonxitudinal:

${\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}\times {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}$

Da que se deduce a velocidade de propagación das perturbacións nun resorte ideal como:

$c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

Resorte cunha masa suspendida

Para o caso dun resorte cunha masa suspendida,

${\begin{cases}F=-kx\ \Rightarrow \ m{\cfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\\{\cfrac {dx(0)}{dt}}=v_{0}\end{cases}}$

Cuxa solución é $x=(v_{0}/\omega )\sin {\omega t}$ , é dicir, a masa realiza un movemento harmónico simple de amplitude $A_{0}=v_{0}/\omega$ e frecuencia angular $\omega$ . Derivando e substituíndo:

$\ \displaystyle -\omega ^{2}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t=-{\frac {k}{m}}{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t$

Simplificando:

$\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Esta ecuación relaciona a frecuencia natural coa rixidez do resorte e a masa suspendida.

Resorte de densidade variable

Para un resorte de densidade variable, módulo de elasticidade variable e sección da envolvente variable, a ecuación xeneralizada das perturbacións é a que segue:

${\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\rho (x)}}\left[{\frac {\partial A(x)}{\partial x}}{\frac {E(x)}{A(x)}}+{\frac {\partial E(x)}{\partial x}}\right]{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial x}}+{\frac {E(x)}{\rho (x)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}$

Nun resorte destas características, a onda viaxeira cambiaría a súa velocidade e, polo tanto, a súa lonxitude de onda ao longo do percorrido. Ademais, nunhas zonas do resorte a súa amplitude sería maior que noutras, é dicir, a solución depende de tres funcións arbitrarias:

$\Psi (x,t)=A_{0}(x){\frac {f(x+c(x)t)+f(x-c(x)t)}{2}}$

Na análise dun resorte real, aparecen tamén ondas lonxitudinais, transversais e de torsión ao largo e ancho das espiras que se propagan a unha velocidade que depende da raíz cadrada do módulo de elasticidade E do material para as lonxitudinais, do módulo de elasticidade transversal G do material para as transversais e do módulo de torsión da espira para as de torsión, divididas todas pola densidade do material.

Solucións á ecuación de onda nun resorte

A solución xeral á ecuación en derivadas parciais do resorte simplificado de lonxitude infinita descríbese a continuación. Dadas as condicións iniciais:

\Psi (x,0)=f(x)\,

{\Psi }_{t}(x,0)=g(x)\,

onde ${\Psi }_{t}={\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\,$ , a función de D'Alembert solución á ecuación de onda pode escribirse como:

$\Psi (x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

Tal solución admite que F e G poidan ser calquera clase de funcións continuas $\scriptstyle f(x)\in C^{k}$ e $\scriptstyle g(x)\in C^{k-1}$ cando $\scriptstyle u(t,x)\in C^{k}$ .

Para un resorte de lonxitude finita L cos seus extremos ancorados, o problema convértese nun de contorno que pode resolverse mediante separación de variables coa teoría de Sturm-Liouville. Dadas unhas condicións iniciais como as anteriormente descritas e unhas condicións de contorno de extremos fixos, as condicións iniciais poden desenvolverse nunha serie de Fourier da seguinte forma:

f\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}

g\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}{\frac {cn\pi }{L}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}

Onde os coeficientes de Fourier se obteñen tras integrar as funcións f e g como segue:

A_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx

B_{n}={\frac {2}{n\pi c}}\int _{0}^{L}g\left(x\right)\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}dx

para $n=1,2,...$

A solución a este problema queda escrita como segue:

$\Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}\cos {\left({\frac {cn\pi t}{L}}\right)}$

Unha onda estacionaria. Os puntos vermellos representan os nodos.

Véxase tamén

Ligazóns externas

Institute of Spring Technology.
Spring Manufacturers Institute Arquivado 28 de setembro de 2020 en Wayback Machine..