સમઘન

This article is about the geometric shape. For other uses, see સમઘન (disambiguation).

ઢાંચો:Reg polyhedra db ભૂમિતિમાં, સમઘન એક ત્રિ-પારિમાણીય ઘન પદાર્થ છે જે છ સમચોરસ ફલક, પાસા અથવા બાજુઓથી બંધાયેલો છે અને પ્રત્યેક શિરોબિંદુ પર ત્રણ બાજુએ એકબીજાને મળે છે. સમઘનને નિયમિત ષટમુખીય ઘન પણ કહેવાય છે અને તે પાંચ પ્લાટોનિક ઘન પદાર્થ પૈકીનો એક છે. તે સમચોરસ પ્રિઝમ, લંબચોરસ પેરેલલપાઇપ્ડ (એકબીજાને સમાંતર અને સમાન લંબાઇ ધરાવતી વિરોધી બાજુઓ ધરાવતો ચતુર્ભુજ ) અને ત્રિમુખી ટ્રેપેઝોહેડ્રોન (અસમાંતર બાજુઓ ધરાવતો ચતુર્ભુજ)નો વિશેષ પ્રકાર છે. સમઘન અષ્ટપાશ્ર્વ ઘનને બેવડો છે. તે સમઘનીય સમપ્રમાણતા (જે અષ્ટપાશ્ર્વ સમપ્રમાણતા તરીકે પણ ઓળખાય છે) ધરાવે છે.

સમઘન હાઇપરક્યુબના વધુ સામાન્ય સિદ્ધાંતનો ત્રિ-પારિમાણીય કિસ્સો છે.

તે 11 નેટ ધરાવે છે. જો સમઘનને રંગથી રંગવામાં આવે અને તેની બે પડોશની ફલકોને સમાન રંગ ના લગાડવાનો હોય તો સમગ્ર સમઘનને રંગવા માટે 3 રંગ જોઇએ.

જો મૂળ સમઘનની ધારની લંબાઇ 1 હોય તો તેના બેવડા અષ્ટપાશ્ર્વ ઘનની લંબાઈ ${\sqrt {2}}$ હશે.

કાર્ટેઝિયન કોઓર્ડિનેટ્સ

ઉદગમમાં આવેલા અને સક્ષોને સમાંતર ધાર અને 2ની ધાર લંબાઇ ધરાવતા સમઘન માટે વર્ટાઇસિસના કાર્ટેઝિયન કોઓર્ડિનેટ્સ નીચે મુજબ છે.

(±1, ±1, ±1)

જ્યારે આંતરિક ભાગ તમામ બિંદુઓ (x ₀, x ₁, x ₂) સાથે −1 < x  _i  < 1નું બનેલું છે.

સૂત્ર

$a$ લંબાઈની ધારવાળા સમઘન માટે

સપાટી ક્ષેત્રફળ	$6a^{2}$
કદ	$a^{3}$
બાજુ કર્ણ	${\sqrt {2}}a$
અવકાશ કર્ણ	${\sqrt {3}}a$
પરિગત વૃત્તની ત્રિજ્યા	${\frac {\sqrt {3}}{2}}a$
ધારની વૃત્ત ટેન્જેન્ટની ત્રિજ્યા	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$
ઇનસ્ક્રાઇબ્ડ વૃત્તની ત્રિજ્યા	${\frac {a}{2}}$
ફલક વચ્ચેના ખૂણા	${\frac {\pi }{2}}$

સમઘનનું કદ તેની સમબાજુઓના ત્રિસમપદના ગુણાકાર a ×a ×a જેટલું હોય છે, ત્રિસમપદના ગુણાકારને વર્ગ અને દ્વીસમપદના ગુણાકાર સાથેની એનાલોગી દ્વારા સમઘનs કહેવાય છે.

સમઘન ચોક્કસ સપાટી ક્ષેત્રફળ સાથે ક્યુબોઇડ (લંબચોરસ ખોખા)માં મહત્તમ કદ ધરાવે છે. સમઘન સમાન કુલ લિનીયર કદ (લંબાઇ+પહોળાઇ+ઊંચાઇ) ધરાવતા ક્યુબોઇડમાં સૌથી મોટું કદ ધરાવે છે.

સમાન રંગ અને સમપ્રમાણતા

સમઘન પ્રત્યેક શિરોબિંદુ પર ભેગા થતા સમચોરસ ફલકના રંગના નામ દ્વારા ૩ સમાન કલર ધરાવે છે જેના નામ: 111, 112, 123.

સમઘન સમપ્રમાણતાના ૩ વર્ગ ધરાવે છે, જે શિરોબિંદુ-ટ્રાન્ઝિટિવ રંગ ફલક દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. અષ્ટપાશ્વ સમઘન સમપ્રમાણતા O_h તમામ ફલક પર સમાન રંગ ધરાવે છે. સમઘનમાં દ્વિમુખી સમપ્રમાણતા D_4h પ્રિઝમમાંથી રચાય છે અને તમામ ચાર બાજુઓ સમાન રંગ ધરાવે છે. સૌથી નીચી સમપ્રમાણતા D_2h પણ પ્રિઝમેટિક સમપ્રમાણતા છે, જેની બાજુઓ બાજુઓ અંકાંતરે રંગ ધરાવે છે. માટે સામ સામે વિરોધી બાજુઓ પર સમાન રંગની જોડી ધરાવતા કુલ ત્રણ રંગ હોય છે. પ્રત્યેક સમપ્રમાણતા રૂપ ભિન્ન વાઇથઓફ ચિહ્ન ધરાવે છે.

નામ	નિયમિત ષટ્ભૂજ સમઘન	સમચોરસ પ્રિઝમ	ક્યુબોઇડ	ટ્રાઇગોનલટ્રેપઝોહેડ્રોન
કોક્સટર-ડાયનકિન
સ્કલાફલી ચિહ્ન	{4,3}	{4}x{}	{}x{}x{}
વાઇથઓફ ચિહ્ન	4 2	2	2 2 2
સપ્રમાણતા	Oh (*432)	D4h (*422)	D2h (*222)	D3d 2-3
સમપ્રમાણતા ક્રમ	24	16	8	12
તસવીર (સમાન રંગ)	(111)	(112)	(123)

ભૌમિતિક સંબંધ

સમાન છ બાજુ ધરાવતો પાસો સમઘન આકારનો છે.

સમઘન ટાઇલ યુક્લિડીન સ્પેસ રેગ્યુલરલીની ક્ષમતા ધરાવતો હોવાથી પ્લાટોનિક ઘનમાં વિશેષ છે. તે બેકી સંખ્યામાં ફલક ધરાવવાની દ્રષ્ટિએ પ્લાટોનિક ઘનમાં વિશેષ છે. તે ઝોનોહેડ્રોન જૂથનો એક માત્ર સભ્ય છે (પ્રત્યેક બાજુને બિંદુ સમપ્રમાણતા હોય છે).

સમઘનને 6 એકરૂપ સમચોરસ પિરામિડમાં કાપી શકાય છે. જો આ સમચરોસ પિરામિડને બીજા સમઘનની ફલકો પર ચોટાડવામાં આવે તો રહોમ્બિક ડોડેકાહેડ્રોન માળખું મળે છે.

અન્ય પરિમાણો

ચાર પરિમાણીય યુક્લિડીન સ્પેસમાં સમઘનના એનાલોગ સ્પેસિયલ ટેસરેક્ટ અથવા (ભાગ્યે) હાયપરક્યુબ નામ ધરાવે છે.

n પરિમાણ યુક્લિડીન સ્પેસમાં સમઘનના એનાલોગને હાયપરક્યુબ અથવા n -પરિમાણીય સમઘન or સરળ n -સમઘન કહેવાય છે. તેને મેઝર પોલિટોપ પણ કહેવાય છે.

નીચા પરિમાણમાં પણ સમઘનના એનાલોગ હોય છેઃ પરિમાણ 0માં એક બિંદુ, એક પરિમાણામાં એક સેગમેન્ટ અને સમચોરસ બે પરિમાણમાં.

સંબંધિત બહુમુખી

સમઘનના શિરોબિંદુઓને ચારના બે જૂથમાં એકજૂથ કરી શકાય છે. પ્રત્યેક જૂથ નિયમિત ચતુષ્ફલકીય સમઘન રચે છે; તેનો સામાન્ય રીતે ડેમિક્યુબ તરીકે ઉલ્લેખ કરવામાં આવે છે. આ બે જૂથ ભેગા થઇને નિયમિંત સંયોજન, સ્ટેલા એક્ટેન્ગુલા રચે છે. બે રૂપનો છેદ નિયમિત અષ્ટપાશ્ર્વ સમઘન રચે છે. નિયમિત ચતુષ્ફલકીય સમઘનની સમપ્રમાણતા એવા સમઘનને લગતા છે જે પ્રત્યેક ચતુષ્ફલકીય સમઘનને પોતાની સાથે મેપ કરે છે સમઘનની અન્ય સમપ્રમાણતા એકબીજા સાથે બે સમઘનને મેપ કરે છે.

આવો નિયમિત ચતુષ્ફલકીય સમઘન તે સમઘનનું ⅓ કદ ધરાવે છે. બાકીનો અવકાશ તે સમઘનના 1/6 કદ સાથે ચાર સમાન અનિયમિત ચતુષ્ફલ ધરાવે છે.

રેક્ટિફાઇડ સમઘન ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન છે. જો નાના ખૂણા કાપવામાં આવે તો આપણને 6 અષ્ટભૂજા ફલક અને 8 ત્રિકોણ સાથે બહુફલીકય સમઘન મળે છે. આપણે નિયમિત અષ્ટફલકીય સમઘન (ટ્રન્કેટેડ ક્યુબ) મેળવી શકીએ છીએ. રહોમ્બિકબ અષ્ટપાશ્ર્વ ઘન બંને ખૂણા અને ધારને યોગ્ય માત્રામાં કાપીને મેળવી શકાય છે.

સમઘનને ડોડેકાહેડ્રોનમાં ગોઠવી શકાય છે જેથી સમઘનનું પ્રત્યેક શિરોબિંદુ ડોડેકાહેડ્રોનનું શિરોબિંદુ બને અને પ્રત્યેક ધાર ડોડેકાહેડ્રોનના ફલકનું એક કર્ણ બને અને આવા તમામ સમઘનથી પાંચ સમઘનના નિયમિત સંયોજનની રચના કરે છે.

જો સમઘનના બે વિરોધી ખૂણાઓને તેમની સાથે સીધા જોડાયેલા 3 શિરોબિંદુઓની ઊંડાઇએ કાપવામાં આવે તો એક અનિયમિત અષ્ટપાશ્ર્વ ઘન મળે છે. આ આઠ અનિયમિત અષ્ટફલકને નિયમિત અષ્ટપાશ્વ ઘનની ત્રિકોણીય ફલક સાથે જોડીને ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન મેળવી શકાય છે.

• 
  સમઘનમાં બે ટેટ્રાહેડ્રા (સ્ટેલા ઓક્ટેન્ગ્યુલા)
• 
  ધ રેક્ટિફાઇડ ક્યુબ (ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન)
• 
  ટ્રન્કેટેડ સમઘન
• 
  કેન્ટિલેટેડ ક્યુબ (રહોમ્બિક્યુબોક્ટાહેડ્રોન)
• 
  ઓમ્નીટ્રન્કેટેડ ક્યુબ (ટ્રન્કેટેડ ક્યુબોક્ટાહેડ્રોન)
• 
  સ્નબ ક્યુબ
• 
  ત્રણ સમઘનનું સંયોજન
• 
  એકાંતરે કપાયેલો સમઘન

તમામ પરંતુ છેલ્લી આકૃતિઓ સમઘન તરીકે સમાન સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે. (જૂઓ અષ્ટપાશ્વ સમઘન સમપ્રમાણતા).

અર્ધસમઘન સમઘનનો 2-થી-1 ભાગફળ છે.

એન્ટીપોડલ મેપ દ્વારા સમઘના ભાગાકારનું ફળ પ્રોજેક્ટિવ પોલિહેડ્રોન, અર્ધઘન આપે છે.

સમઘન સામાન્ય બહુમુખીના વિવિધ વર્ગનો વિશેષ કિસ્સો છે.

નામ	ધારની સમાન લંબાઇ?	સમાન ખૂણા?	કાટકોણ?
ઘન	હા	હા	હા
રહોમ્બોહેડ્રોન	હા	હા	ના
ક્યુબોઇડ	ના	હા	હા
પેરેલલપાઇપ્ડ	ના	હા	ના
ચતુષ્ફલકીય ષટ્ભૂજ સમઘન	ના	ના	ના

સંયોજનાત્મક સમઘન

સમઘનના વિવિધ પ્રકારસમઘન આલેખ છે, જે શિરોબિંદુઓ ભૌમિતિક સમઘનની ધાર અને શિરોબિંદુઓનો આલેખ છે. હાયપરસમઘન આલેખની સ્પેશિયલ કેસ છે.

એક્સ્ટેન્શન 3-પારિમાણીય k - હેમિંગ ગ્રાફ છે, જેમાં k = 2 સમઘન આલેખ છે. કમ્પ્યુટરની સમાંતર પ્રક્રિયાની થિયરીમાં આવા પ્રકારના આલેખ બને છે.

આ પણ જોશો

• એકમ સમઘન
• ટેસેરેક્ટ
• સમઘન (ફિલ્મ)
• ટ્રેપેઝોહેડ્રોન
• યોશિમોટો સમઘન
• ધ ક્યુબ (ગેમ શો)
• પ્રિન્સ રુપર્ટ્સ ક્યુબ
• ઓલાપ ક્યુબ

બાહ્ય લિંક્સ

• ક્યુબઃ ઇન્ટરેક્ટિવ પોલિહેડ્રોન મોડલ સંગ્રહિત ૨૦૦૭-૧૦-૦૯ ના રોજ વેબેક મશિન
• કે.જે.એમ મેકલીન, એ જીયોમેટ્રિક એનાલિસિસ ઓફ ધ ફાઇવ પ્લેટોનિક સોલિડ્સ એન્ડ અધર સેમિ-રેગ્યુલર પોલિહેડ્રા
• ધ યુનિફોર્મ પોલિહેટ્રા
• વર્ચ્યુઅલ રિયાલિટી પોલિહેડ્રા
• વોલ્યુમ ઓફ એ ક્યુબ, ઇન્ટરેક્ટિવ એનિમેશન સાથે