יסודות (ספר)

יסודות
Στοιχεῖα

השער להדפסה הראשונה של יסודות באנגלית, 1570
Elements Book 1 Elements Book 9 Elements Book 8 Elements Book 10 Elements Book 11 Elements Book 12 Elements Book 7 Elements Book 5 הספר השני של יסודות Elements Book 6 Elements Book 3 Elements Book 4 Elements Book 13
מידע כללי
מאת	אוקלידס
שפת המקור	יוונית עתיקה
סוגה	מסה
נושא	גאומטריה אוקלידית, מתמטיקה

יסודות (ביוונית: Στοιχεῖα, סְטוֹיכֵיַא, נקרא גם 'האלמנטים') הוא חיבור בן שלושה-עשר חלקים, המיוחס למתמטיקאי ההלניסטי אוקלידס מאלכסנדריה, מראשית המאה השלישית לפנה"ס. בספר מאורגנים באופן שיטתי הגדרות, אקסיומות ומשפטים בגאומטריה, בתורת המספרים ובאלגברה בסיסית. "יסודות" הוא הספר הקדום ביותר מסוג זה ששרד עד ימינו, והייתה לו השפעה מכרעת על התפתחותם של הלוגיקה, המתמטיקה והמדע בכלל.

הספר נחשב לאחד הספרים המצליחים ביותר שנכתבו מאז ומעולם. עותקים של הספר הגיעו מביזנטיום לארצות ערב, ובמאה ה-12 הוא תורגם על ידי אדלארד מבאת' מערבית ללטינית. מהדורת הדפוס הראשונה של הספר הודפסה בוונציה בשנת 1482, והיא התבססה על עותק של ג'ובאני קמפנו משנת 1260. מאז זכה הספר ליותר מאלף מהדורות דפוס. בין המהדורות ראוי לציון תרגום לעברית שנעשה בעידודו של הגאון מווילנה (האג, תק"ם 1780). מספר עותקים של הטקסט היווני שרדו עד ימינו, ומצויים למשל בספריית הוותיקן ובאוקספורד. עותקים אלה אינם שלמים, ונדרשת עבודה רבה כדי לשחזר את המקור ברמת מהימנות גבוהה.

במשך מאות שנים, כאשר חטיבת הלימודים העליונה באוניברסיטאות של אירופה הייתה הקואדריוויום (לימודי אריתמטיקה, גאומטריה, מוזיקה ואסטרונומיה), היה "יסודות" חלק מהידע הנדרש מכל סטודנט. באותה תקופה אנשים משכילים היו משתבחים בכך שקראו את ספרו של אוקלידס^{[דרוש מקור]}. בזכות הספר נחשב אוקלידס לאב המכונן - "המייסד" - של הגישה האקסיומטית במתמטיקה בפרט ובמדע בכלל.

רקע

שער מהדורה בעברית שיצאה בעידוד הגר"א (האג, תק"ם 1780)

הספרייה הגדולה של אלכסנדריה שבמצרים, שבה פעל אוקלידס, הייתה דומה למדי למוסדות מחקר אקדמיים בני ימינו. היו בה אנשים שהצטיינו במחקר, מנהלנים, וכאלו שעיקר עיסוקם היה הוראה. ככל הידוע, עסק אוקלידס בעיקר בהוראה, ו"יסודות" אכן בנוי כספר לימוד, ולא כדיווח על מחקר מקורי, שבו ניתן היה לצפות לרשימת מקורות, לעדויות למחקר עדכני בן התקופה, או לדיון בלתי פורמלי. קשה להעריך עד כמה מייצג הספר עבודה מקורית של אוקלידס. אוקלידס למד ככל הנראה אצל תלמידיו של אפלטון, ואין ספק שרוב החומר מגיע ממתמטיקאים יווניים שקדמו לו. עבודת הליקוט, הסידור והניסוח היא ככל הנראה של אוקלידס. סביר שהוא גם תרם הוכחות משלו לחלק מן המשפטים.

"יסודות" לא היה הספר הראשון מסוג זה. קדמו לו לפחות שלושה, ובהם ספרו של היפוקרטס מכיוס. עם זאת הספר "יסודות" הצליח כל כך עד שלא היה צורך בספרים שקדמו לו, וכך היה "יסודות" ליחיד שעותקיו שרדו מן התקופה ההלניסטית. אפילו עובדה זו לבדה מדגימה את ייחודו, ומסבירה את ההשפעה הרבה שהייתה לו. מעתיקי הספר הוסיפו לו הערות והסברים, וכאלה מופיעים בכל אחד מן העותקים שנמצאים בידינו. ההסברים שונים זה מזה, ומכאן ניתן להסיק שלא נכללו בספר המקורי.

בניגוד לדעה המקובלת, לא היה "יסודות" אנציקלופדיה שמטרתה לכסות את כל הידע בגאומטריה. זהו ספר מבוא שדן בגאומטריה, באלגברה (במובנה דאז, כלומר, של פעולות וקשרים בין כמויות גאומטריות) ובאריתמטיקה. בספר לא נכלל ידע במתמטיקה שימושית ובשיטות מעשיות לביצוע חישובים, אף שאין ספק שידע כזה היה קיים באותה תקופה. הספר גם אינו מטפל בגאומטריה של חתכי חרוט, שנחקרה בדורות שקדמו לו.

מבנה ה"יסודות"

פרגמנט מתוך הספר השני של יסודות מאת אוקלידס, על פפירוס שנמצא בחפירות באוקסירינכוס; האיור שייך לטענה החמישית בספר.

החיבור מחולק לשלושה-עשר פרקים, או "ספרים". ששת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור, שלושת הבאים בתורת המספרים האלמנטרית, העשירי דן בקטעים ללא מידה משותפת (בשפה מודרנית, אי-רציונליים), ושלושת האחרונים - בגאומטריית המרחב. הספר אינו כולל מבוא אינטואיטיבי או היסטורי, והוא נפתח ברשימה של עשרים ושלוש הגדרות, המגיעות כנראה מאפלטון.

אוקלידס מגדיר, לדוגמה:

• נקודה היא זו שאין לה חלק;
• קו הוא אורך חסר רוחב;
• קו ישר הוא זה הנח באופן אחיד עם הנקודות עליו.

מנקודת מבט מודרנית קשה לראות בהגדרות כאלה מצע מספק לפיתוח מסודר של הגאומטריה. הן כוללות מושגים רבים שלא הוגדרו כלל, ואשר נחשבו טבעיים יותר מן האובייקטים הגאומטריים. חלקן בנוי באופן שלילי, על ידי ציון התכונות החסרות במושג המוגדר.

לאחר ההגדרות מונה אוקלידס חמש הנחות או "פוסטולטים" (יוונית: αἰτήματα, אַיטֶמַטַא) וחמש מוסכמות או אקסיומות (יוונית: κοιναὶ ἔννοιαι, קוֹינַי אֵנּוֹיַי). אצל אריסטו יש הבחנה חדה בין שני הסוגים. המוסכמות צריכות להיות נכונות כמובן מאליו לכל אדם, בעוד שההנחות הן כאלו המיוחדות למקצוע, מעין הנחות-עבודה פרגמטיות ותו לא. לא ברור האם אוקלידס התכוון לאמץ את מלוא המשמעות של חלוקה זו. בכמה מעותקי הספר מקובצות יחד עשר הנחות היסוד. במתמטיקה המודרנית אין למעשה הבדל בין המושגים.

על-פי מרבית המקורות שבידינו, חמש ההנחות הן כדלקמן:

• בין כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר.
• כל קטע יכול להמשיך ללא גבול כקו ישר.
• בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לקטע הנתון.
• כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.
• אם ישר חותך שני ישרים באופן כזה שסכום הזוויות הפנימיות בצד מסוים קטן מ-180 מעלות, אזי אם נאריך את שני הישרים ללא הגבלה, הם יפגשו בצד שבו סכום הזוויות קטן מ-180 מעלות.

חמש הנחות אלה היו למסד של הגאומטריה האוקלידית בגישתה האקסיומטית. ההנחה האחרונה היא אקסיומת המקבילים, שעליה נכתב רבות.

לאלה נוספו חמש המוסכמות, שמקורן בחשיבה של אסכולת אריסטו:

• שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם.
• אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שווים, הסכומים שווים.
• אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים, ההפרשים שווים.
• דברים המתלכדים זה עם זה, שווים זה לזה.
• השלם גדול מחלקו.

אף על פי שהספר נודע לתהילה כמופת של דיוק וקפדנות, מנקודת מבט מודרנית ניתן לטעון שהגדרותיו אינן מספקות. בעקבות אריסטו, העדיף אוקלידס הוכחות המצריכות שימוש במספר הנחות יסוד קטן ככל האפשר; עם זאת אפשר לזהות הנחות נסתרות ברבות מן ההוכחות. ההנחה הראשונה, לדוגמה, קובעת שדרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר, ובהוכחות המסתמכות עליה מניחים, כמובן מאליו, שקיים רק קטע אחד כזה.

למרות פגמים אלה היה הספר הישג בדורו והפך למופת של כתיבה מדוקדקת. המבנה הלוגי המסודר, היוצא מהנחות יסוד מצומצמות ככל האפשר ומגיע מהן למסקנות מרחיקות לכת, הצית את דמיונם של מדענים שקראו בו במשך הדורות, והפך לאבן בוחן לפיתוח מסודר של תורה מתמטית.

המדענים המובילים במאות ה-16 וה-17, בהם קופרניקוס, קפלר, גלילאו ובמיוחד ניוטון, הושפעו רבות מן ה"יסודות", ויישמו בעבודתם את גישתו של אוקלידס. ספרים בעלי מבנה דומה נכתבו במאות האחרונות על ידי פילוסופים (כדוגמת שפינוזה וויטגנשטיין) ולוגיקאים (כראסל ווייטהד), שכתבו ספרי "יסודות" משלהם.

סדר האקסיומות לפי מהדורת 1752

בשנת 1752 ראתה אור מהדורה שחילקה את האקסיומות באופן מעט שונה, והיא שהייתה בידיהם של מדעני המאה ה-19. לפי מהדורה זו נמנו שלושה פוסטולטים ו-11 אקסיומות, כאשר הפוסטולטים הם:

• בין כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד ורק אחד.
• כל קטע יכול להמשיך ללא גבול כקו ישר.
• בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצה אחת של הקטע, ורדיוס המעגל שווה לקטע הנתון.

ואחת-עשרה האקסיומות הן:

1. שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם.
2. אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שווים, הסכומים שווים.
3. אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים, ההפרשים שווים.
4. אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שונים, הסכומים שונים.
5. אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שונים, ההפרשים שונים.
6. דברים ששניהם כפליים מאותו דבר - שווים.
7. דברים ששניהם מחצית מאותו דבר - שווים.
8. דברים המתלכדים זה עם זה, שווים זה לזה.
9. השלם גדול מחלקו.
10. כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.
11. אקסיומת המקבילים - אם ישר חותך שני ישרים באופן כזה שסכום הזוויות הפנימיות בצד מסוים קטן מכפליים זווית ישרה, אז שני הישרים חותכים זה את זה באותו צד.

בשל כך נקראת לעיתים אקסיומת המקבילים בספרות המאה ה-19 "האקסיומה ה-11"

תוכן החיבור

הוכחה מן ה"יסודות" לכך שבהינתן קטע AB, ניתן לבנות משולש שווה-צלעות שהקטע הוא אחת מצלעותיו. המשולש ΑΒΓ נבנה על ידי שרטוט מעגלים Δ ו-Ε שמרכזיהם הנקודות A ו-B, ואילו Γ, הקודקוד השלישי, הוא נקודת החיתוך בין המעגלים.

ששת הספרים הראשונים עוסקים, כאמור, בגאומטריה. ארבעת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור. הראשון והשני מסכמים כנראה את עבודתו של פיתגורס, בעוד שהשלישי והרביעי מייצגים את עבודתו של היפוקרטס מכיוס.

• הספר הראשון סוקר עובדות יסוד בגאומטריה: שוויון בין אורכים, זוויות ושטחים, ישרים מקבילים, סכום הזוויות במשולש, וכמה מקרים של חפיפת משולשים. שלושת המשפטים הראשונים מתארים בניות יסוד במחוגה ובסרגל. המשפטים האחרונים בספר, שמספרם 47 ו-48, הם משפט פיתגורס, והיפוכו (הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות, הוא משולש ישר-זווית).
• בספר השני יש רק 14 טענות, המהוות ניסוח גאומטרי של טענות אלגבריות, למשל דיסטריבוטיביות: $\ a(b+c)=ab+ac$. התיאור נאמן לגישה באותה תקופה, שלפיה כל כמות מספרית היא אורכו של קטע. טענות 12 ו-13 הן משפט הקוסינוסים (למשולשים חדי זווית וקהי זווית, בהתאמה).
• בספר השלישי 37 טענות על מעגלים. האחרונה היא המשפט הידוע, שלפיו אם נקודה P נמצאת מחוץ למעגל ו-L הוא ישר היוצא מ-P וחותך את המעגל, אז מכפלת המרחקים של P מנקודות החיתוך שווה תמיד לריבוע האורך של המשיק למעגל.
• הספר הרביעי עוסק במשולשים ובריבועים החוסמים מעגל או חסומים במעגל.
• הספר החמישי עוסק ביחסים בין אורכים, ובהשוואת אורכים זה לזה. ישנה ב"יסודות" העדפה ברורה לשוויון של שטחים, כדוגמת ab=cd, במקום שוויון של יחסים a:d=c:b, שנחשבו כנראה למושג פחות טבעי. כאן מביא אוקלידס מעבודתו של אאודוקסוס. ההגדרה הרביעית בספר קובעת את עקרון ארכימדס: מספר גדול מספיק של עותקים מקטע נתון יכולים לכסות כל קטע אחר. כמו הספר השני, גם ספר זה מתאר בעיקר עובדות שהיום נחשבות לאלגברה בסיסית.
• הספר השישי ממשיך את הדיון מהספר החמישי, ומיישם את מושג היחס לעיסוק בדמיון משולשים ודמיון של צורות אחרות. הספר כולל את משפט תלס.

ארבעת הספרים הבאים עוסקים בתורת המספרים:

• הספר השביעי נפתח ב-22 הגדרות לתכונות של מספר (זוגי ואי-זוגי, ראשוני, פריק, משוכלל, מחלק משותף מקסימלי). הגישה, כמקובל, גאומטרית - כל מספר מיוצג על ידי קטע באורך מתאים. העובדה שמספר a (המרחק AB) מחלק את המספר b (המרחק CD), מנוסחת אצל אוקלידס "הקטע CD ניתן להימדד על ידי AB". המשפטים הראשונים בספר מתארים את אלגוריתם החילוק של אוקלידס. משפט 24 קובע שאם a ו-b זרים למספר c, אז כך גם מכפלתם. משפט 30 הוא הלמה של אוקלידס.
• הספר השמיני מביא תכונות פשוטות יחסית של מספרים בסדרה גאומטרית.
• הספר התשיעי מעמיק בתורת המספרים. משפט 20 הוא משפטו המפורסם של אוקלידס שלפיו יש אינסוף מספרים ראשוניים. ההוכחה היא בדרך השלילה: אם יש רק מספר סופי של ראשוניים ומכפלתם מסומנת ב-P, הרי ש־P+1 אינו יכול להתחלק באף אחד מן המספרים ש־P הוא מכפלתם. אם כך או ש־P+1 הוא מספר ראשוני, או שיש לו גורם ראשוני שגדול מכל המספרים ש־P הוא מכפלתם. משפט 35 מביא את נוסחת סכום האיברים בסדרה גאומטרית. הספר כולל גם את "נוסחת אוקלידס" המתארת מספרים משוכללים (היום ידוע שכל המספרים המשוכללים הזוגיים הם בעלי צורה זו).
• הספר העשירי עוסק בקטעים ללא מידה משותפת - דרכם של הקדמונים לומר שיחס בין קטעים הוא מספר אי רציונלי. הספר עוסק במספרים המתקבלים באופן טבעי בבנייה של מלבנים: מספרים מהצורה $\ a+{\sqrt {b}}$ או $\ {\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}$. בספר מופיעה ההוכחה המפורסמת שהשורש הריבועי של 2 אינו רציונלי. יש בו 115 טענות (יותר מבכל ספר אחר), אולי מפני שכל טענה מנוסחת בנפרד עבור כל בחירה אפשרית של הסימנים. הספר עוסק, בין השאר, בשאלה מתי הפתרונות למשוואה ריבועית מהצורה $\ ax-x^{2}=b^{2}$ הם רציונליים.

שלושת הספרים האחרונים עוסקים בגאומטריית המרחב.

• בספר האחד-עשר 39 טענות, הכוללות את יסודות גאומטריית המרחב ואת הנוסחה לנפח של מקבילונים. ספר זה מגדיר בין השאר את הגופים האפלטוניים.
• בספר השנים-עשר נידונה שיטת המיצוי, קודמתה של האינטגרציה, לחישוב נפחים. הספר כולל את הנוסחאות לנפח של פירמידה, של חרוט, של גליל ושל כדור. השיטה, ששוכללה מאוחר יותר על ידי ארכימדס, הגיעה לאלכסנדריה בתיווכו של אאודוקסוס.
• הספר השלושה-עשר עוסק כולו בתכונות של חמשת הגופים האפלטוניים. מעתיקים יווניים בני התקופה מייחסים את הספר ברובו לתאיטטוס. ספר זה חותם את היצירה בדיון על היחס שבין צלעו של גוף אפלטוני לרדיוס המעגל החוסם אותו (באיקוסהדרון היחס הוא $\ {\sqrt {(5-{\sqrt {5}})/10}}$), וביחס שבין הנפח של הגופים האפלטוניים לנפח של כדור החוסם אותם. טענה 18 מראה שאין גופים משוכללים מלבד החמישה הידועים. עובדה זו השפיעה על החשיבה המיסטית שניסתה להתאים לגופים האפלטוניים יסודות כימיים וכוכבים. קפלר הושפע מכך עד כדי כך שניסה לבסס את הקוסמולוגיה על ההתאמה בין גופים אפלטוניים לבין כוכבי הלכת.

לקריאה נוספת

• Thomas L. Heath, The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1-3 2nd ed. Edition, Dover publications inc. New York, 1956
• Carl B. Boyer, History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.

קישורים חיצוניים

• הספר השני של האלמנטים של אוקלידס גרסה עברית מלאה, בתוספת הערות והסברים

• מהדורה מקוונת
• מקור ותרגום לאנגלית.
• התרגום לעברית משנת 1780, במאגר הספרים הסרוקים של הספרייה הלאומית
• תרגום לעברית מאת יעקב בן מכיר, מהדורת אינטרנט חלקית
• מהדורת 1847 של אוליוור ביירן מהדורה יוצאת דופן המשתמשת בצבעים במקום שמות לאורכי הקטעים.
• יסודות, באתר MathWorld (באנגלית)
• ספר היסודות, כתב היד בתרגום משה בן שמואל אבן תיבון, מאה י"ג-י"ד, בפרויקט "כתיב" באתר הספרייה הלאומית
• ספר היסודות לאוקלידס, בפרויקט "כתיב" באתר הספרייה הלאומית
• מידע על ספר היסודות לאוקלידס בקטלוג הספרייה הלאומית