קבוצה ממידה אפס

קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה שמידת לבג שלה היא אפס. אינטואיטיבית זוהי קבוצה ש"אורכה" $0$ , היא קטנה כל כך עד כדי כך שהיא איננה משפיעה על אינטגרל לבג של פונקציות המוגדרות בקבוצה כלשהי המכילה אותה.

הגדרה פורמלית

באופן ישיר, נאמר שקבוצה $\ E$ בישר הממשי היא בעלת מידה אפס או קבוצת אפס אם לכל $\varepsilon >0$ קיים כיסוי בן-מנייה של קטעים פתוחים המכסה את $E$ ושסכום אורכיו קטן מאפסילון. כלומר:

\forall \varepsilon >0:\exists \{I_{n}\}_{n=1}^{\infty }{\mbox{ intervals}}\ {\mbox{such that}}:E\subset \bigcup _{n}{I_{n}}\land \sum _{n}{|I_{n}|}<\varepsilon

עבור מידה שלמה (ומידת לבג היא שלמה) כל קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה, וכך גם כל תת-קבוצה שלה מדידה ובעלת מידה אפס.

משמעות

כאמור בתחילת הערך, המשמעות האינטואיטיבית של היות קבוצה בעלת מידה אפס היא שהקבוצה "זניחה" כך שהיא איננה משפיעה על תכונות אינטגרליות (במובן לבג) של הפונקציה.

למשל: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
אם $f$ ו- $g$ אינטגרביליות רימן, ו- $f$ נבדלת מ- $g$ רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, אזי אינטגרל רימן של $f$ שווה לאינטגרל רימן של $\ g$ .
אם $\ f$ נבדלת מ- $\ g$ רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס אזי אינטגרל לבג של $f$ שווה לאינטגרל לבג של $g$ .
פונקציה מונוטונית גזירה כמעט בכל מקום, כלומר: קבוצות הנקודות שבהן הפונקציה לא גזירה היא קבוצה בעלת מידה אפס.

דוגמאות לקבוצות בעלות מידה אפס

להלן מספר דוגמאות ומקרים כלליים של קבוצות בעלות מידה אפס:

הקבוצה הריקה
נקודה בודדת בישר הממשי.
כל קבוצה בעלת מספר סופי של איברים.
כל קבוצה בת מנייה בישר הממשי.
- הוכחה: יהי $\varepsilon >0$ ותהי $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מנייה של איברי הקבוצה $A$ . נכסה כל איבר $x_{n}$ בקטע $I_{n}$ הממורכז סביבו שאורכו הוא ${\frac {\varepsilon }{2}}\cdot 2^{-n}$ . ברור ש- $A\subset \bigcup _{n}{I_{n}}$ וכמו כן $\sum _{n}{|I_{n}|}=\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {\varepsilon }{2}}2^{-n}}={\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon$ (סכום טור הנדסי) ולכן כיסינו את $\,A$ באמצעות קטעים שאורכם הכולל קטן מ- $\,\varepsilon$ . $\blacksquare$
קבוצת קנטור: זו דוגמה לקבוצה בעלת מידה אפס אף על פי שהיא איננה בת-מנייה אלא עוצמתה היא עוצמת הרצף.
קבוצת המספרים שאינם נורמליים: גם זו קבוצה בעלת מידה אפס שאינה בת-מנייה.
ישר הוא קבוצה ממידה אפס במישור (כאשר מידת לבג היא הכללה של שטח).
באופן יותר כללי, קבוצת הנקודות של כל יריעה אלגברית ואף כל יריעה אנליטית ממימד קטן מ- $n$ ב- $\mathbb {C} ^{n}$ היא ממידה אפס.