Zbiór miary zero

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathfrak {M}})$ „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary $\mu ,$ tzn. dowolny zbiór $A\in {\mathfrak {M}}$ spełniający $\mu (A)=0.$ Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue’a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue’a).

Miara Lebesgue’a

Podzbiory miary Lebesgue’a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór $A$ prostej $\mathbb {R}$ nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue’a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje taki ciąg przedziałów $(I_{n}),$ który spełnia

$A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}$

oraz

$\sum _{n=1}^{\infty }|I_{n}|<\varepsilon ,$

gdzie $I_{k}=(a_{k},b_{k})$ oznacza przedział otwarty dla $a_{k}<b_{k}$ o długości $|I_{k}|=b_{k}-a_{k}.$ Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie $\mathbb {R} ^{d},$ wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci $I=I_{1}\times \ldots \times I_{d},$ w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem $|I|=|I_{1}|\dots |I_{d}|.$ Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w $\mathbb {R} ^{d-1}$ są miary zero ($d$-wymiarowej Lebesgue’a).

Przykłady

Niech dana będzie funkcja mierzalna $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (w sensie Lebesgue’a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue’a). Jeżeli $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest mierzalna (w sensie Lebesgue’a), to funkcje $f$ oraz $g$ są równe prawie wszędzie, tj. $f=g\;\mathrm {p.w.} ,$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

${\big \{}x\in \mathbb {R} \colon f(x)\neq g(x){\big \}}$

jest miary (Lebesgue’a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg $(f_{n})$ funkcji mierzalnych $f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do $f,$ tzn. $f_{n}\to f\;\mathrm {p.w.} ,$ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

$\left\{x\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }~f_{n}(x)\neq f(x)\right\}$

ma miarę (Lebesgue’a) zero; dla funkcji $g\colon \mathbb {R} \to {\overline {\mathbb {R} }}$ o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

${\big \{}x\in A\colon g(x)\notin \mathbb {R} {\big \}}$

jest zaniedbywalny, to o funkcji $g$ mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem): $\lambda (f=g)=0$ oraz $\lambda (f_{n}\to f)=0,$ $\lambda (g\in \mathbb {R} )=0$ oznaczającym odpowiednio równość $f$ oraz $g,$ zbieżność $f_{n}$ do $f$ oraz skończoność $g$ na zbiorach miary (Lebesgue’a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue’a $\lambda$ można zastąpić dowolną miarą $\mu$ określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech ${\mathfrak {N}}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do ${\mathfrak {N}}$ zawiera się w zbiorze typu G_δ należącym do ${\mathfrak {N}}.$ Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów $\mathbb {R} ,$ które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów $M$ oraz $N,$ z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli $\mathbb {Q} =\{q_{1},q_{2},q_{3},\dots \}$ oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś $I_{n,m}=\left(q_{n}-2^{-n-m-1},q_{n}+2^{-n-m-1}\right)$ jest przedziałem otwartym o środku w $q_{n}$ i długości $2^{-(n+m)},$ to jako zbiór miary zero można przyjąć

$N=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }~I_{n,m};$

jego dopełnienie $M=N^{\mathrm {c} }$ jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór $N$ wszystkich liczb Liouville’a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech $\mathbb {R} ^{d}=\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n};$ konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli $E$ jest podzbiorem miary zero w $\mathbb {R} ^{d},$ to

$\lambda _{m}\left(E^{y}\right)=0$

dla prawie wszystkich $x\in \mathbb {R} ^{n}$ i podobnie

$\lambda _{n}\left(E_{x}\right)=0$

dla prawie wszystkich $y\in \mathbb {R} ^{m},$ gdzie $\lambda _{k}$ oznacza $k$-wymiarową miarę Lebesgue’a, a $E_{x}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\colon (x,y)\in E{\big \}}$ oraz $E^{y}={\big \{}y\in \mathbb {R} ^{m}\colon (x,y)\in E{\big \}}.$ Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli $(X,{\mathfrak {M}},\mu )$ oraz $(Y,{\mathfrak {N}},\nu )$ są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym $\lambda =\mu \otimes \nu$ jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej $(X\times Y,{\mathfrak {M}}\otimes {\mathfrak {N}}),$ to dla dowolnego zbioru mierzalnego $E$ na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

• zbiór $E$ jest miary $\lambda$ zero;
• zbiór ${\big \{}x\in X\colon \nu (E^{y})\neq 0{\big \}}$ jest miary $\mu$ zero;
• zbiór ${\big \{}y\in Y\colon \mu (E_{x})\neq 0{\big \}}$ jest miary $\nu$ zero;

gdzie $E_{x}={\big \{}x\in X\colon (x,y)\in E{\big \}}$ oraz $E^{y}={\big \{}y\in Y\colon (x,y)\in E{\big \}}.$

Zobacz też

• diagram Cichonia
• prawo wielkich liczb
• twierdzenie o nieskończonej liczbie małp
• zbieżność prawie wszędzie/na pewno
• zbieżność według miary/prawdopodobieństwa

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144–145.
• John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2–5.
• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X. Brak numerów stron w książce