Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ przebiega w trzech etapach:

1. ustalenie niepustego zbioru $\Omega ,$ zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
2. określenie na nim σ-ciała ${\mathcal {F}},$ zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
3. określenie na ${\mathcal {F}}$ unormowanej miary $P$ – miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa

Niech ${\mathcal {F}}$ będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze $\Omega .$ Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję $P\colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R}$ o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:

• nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):

  $P(A)\geqslant 0$ dla dowolnego zdarzenia $A\in {\mathcal {F}};$

• unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):

  $P(\Omega )=1\qquad (\Omega \in {\mathcal {F}});$

• przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):

  $P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),$

przy czym $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing ,$ gdy $i\neq j.$

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja $P$ jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej

Układ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

Niech $A_{1},A_{2},\dots ,A,B,A^{c}\in {\mathcal {F}}.$

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:

• prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
• prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:

  $P(\varnothing )=0\quad (\varnothing \in {\mathcal {F}}),$

• skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):

  $P\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\sum _{i\in I}P(A_{i}),$ $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ dla $i\neq j,$ przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,

• prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

  $P(A^{\mathrm {c} })=1-P(A),$ przy czym $A^{\mathrm {c} }$ jest zdarzeniem przeciwnym do $A,$

• ograniczenie górne prawdopodobieństwa:

  $P(A)\leqslant 1,$

• monotoniczność:

  $P(A)\leqslant P(B)$ dla $A\subseteq B,$

• prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):

  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Definicje prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych)

$\Omega$ jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że ${\mathcal {F}}$ jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru $\Omega ,$ a prawdopodobieństwo $P$ dane jest wzorem

$P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}$ dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {F}},$

gdzie $\#A$ oznacza liczbę elementów zbioru $A.$ Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych)

Niech dany będzie zbiór $\Omega$ oraz zadana będzie miara $\mu$ na tym zbiorze tak, że miara zbioru $\Omega$ jest skończona.

Wtedy zbiór $\Omega$ może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało ${\mathcal {F}}$ podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia $A\in {\mathcal {F}}$ jest iloraz miary $\mu (A)$ podzbioru $A$ przez miarę $\mu (\Omega )$ przestrzeni $\Omega ,$ tj.

$P(A)={\frac {\mu (A)}{\mu (\Omega )}}$ dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {F}},$

Np.

• $\Omega$ jest przedziałem jednostkowym

  $\Omega =[0,1]$

• ${\mathcal {F}}$ jest σ-ciałem podzbiorów przedziału $[0,1],$ które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.

  ${\mathcal {F}}\equiv {\mathfrak {L}}_{[0,1]},$

• $P$ jest miarą Lebesgue’a $\lambda$ określoną na $P,$ tj.

  $P\equiv \lambda ,$

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna $([0,1],{\mathfrak {L}}_{[0,1]},\lambda )$ realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwa

1) Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ niech będzie zmienną losową. Jeżeli $P_{X}$ jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) $X,$ tj.

$P_{X}(A)=P{\big (}X^{-1}(A){\big )}\ {\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{=}}{P}}(X\in A)$ dla dowolnego $A\in {\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} },$ ${\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} }$ oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na $\mathbb {R} ,$

to $P_{X}$ jest miarą probabilistyczną, wobec czego $(\mathbb {R} ,{\mathfrak {B}}_{\mathbb {R} },P_{X})$ również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też

• definicje prawdopodobieństwa
• przestrzeń statystyczna

Bibliografia

• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.