Ulam-spirál

Az Ulam-spirál vagy prím-spirál a számelméletben a prímszámok egy spirális elrendezése, ami egy máig megmagyarázatlan mintát mutat. Nevét felfedezőjéről, Stanisław Ulam lengyel matematikusról kapta, aki 1963-ban egy értekezleten unalmában rajzolta fel a spirált.

Ulam egy négyzetrács mentén, spirálvonalban haladva felrajzolta az első 50 pozitív egész számot:

Ezután kihúzta azokat, amelyek nem prímek, és a következő ábrát kapta:

200 × 200-as Ulam-spirál

Meglepetésére a prímek többnyire átlók mentén helyezkedtek el. A jelenség nagyobb léptékben is megfigyelhető, például az oldalsó ábrán látható 200 × 200-as spirálban, ahol a prímeket fekete pontok jelzik.

Mivel a páros számok a 2-t kivéve mind összetettek, és a spirálban a sakktábla sötét kockáihoz hasonló mintában helyezkednek el, az önmagában nem meglepő, hogy a prímszámok egy átlós rácsot alkotnak, az viszont igen, hogy ezen rács egyes vonalain sokkal gyakrabban fordulnak elő, mint másokon. Ez akkor is igaz lesz, ha a számokat nem egytől kezdve írjuk fel. Képletben megfogalmazva, sok olyan b és c konstans van, amire az $f(n)=4n^{2}+bn+c$ függvény sűrűn ad helyettesítési értékként prímeket. A jelenség oka máig ismeretlen.

Elég messziről nézve az ábrát függőleges és vízszintes vonalak is kirajzolódnak.

A Leonhard Euler által talált $n^{2}+n+17$ kifejezés minden 0 és 15 közötti értékre prímszámot ad. Ezek a prímek: 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 és 257 megjelennek az Ulam-spirál főátlóján. Euler később egy másik képletet is talált $(n^{2}+n+41)$, ami 0 és 40 közötti helyettesítési értékekre prímet ad. Ez egy másik átló, ami mentén különösen sok a prím: 10 millióig a helyettesítési értékek 47,5%-a prímet ad. Ulam további képleteket is talált, amik majdnem ilyen jók.

A Hardy–Littlewood-féle F-sejtés

Egy 1923-ban megjelent cikkükben Hardy és Littlewood a Goldbach-sejtésen kívül még más sejtésekkel is foglalkoztak. Ezek között vannak olyanok is, amelyek megmagyaráznák az Ulam-spirált, ha bebizonyosodnának. Az F-sejtés a Bateman–Horn-sejtés speciális esete, ami aszimptotikus képletet ad az ax²+bx+c alakú prímekre. A vízszintessel és függőlegessel 45 fokos szöget bezáró sugárirányú egyeneseken levő számok a 4x²+bx+c alakú polinomok helyettesítési értékeinek felelnek meg, ahol b páros. Az F-sejtés szerint a prímek sűrűsége érzékeny a diszkriminánsra, b²-16c-re.

Az F-sejtés így szól:

Legyen az ax²+bx+c egész együtthatós polinomban a pozitív. Ekkor, ha a polinom együtthatóinak legnagyobb közös osztója nagyobb, mint egy, vagy a diszkriminánsa teljes négyzet, akkor a polinom felbontható, így összetett számokat ad, ha x természetes szám.

Sőt, ha az ax²+bx+c polinomban a+b, és c is páros, akkor természetes számokat helyettesítve csak páros helyettesítési értékek adódnak, amik a 2 kivételével összetettek.

Hardy és Littlewood szerint ezektől az esetektől eltekintve a polinom végtelen sok x-re ad prímet helyettesítési értékként, ha x végigfutja a természetes számokat.

Az F-sejtés a Bunyakovszkij-sejtés speciális esete, és mint ilyen, máig megoldatlan. Jelölje P(n) ax²+bx+c polinom által helyettesítési értékként kapható n-nél kisebb prímek számát! Ekkor Hardy és Littlewood szerint

$P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n}}$

ahol A csak a-tól, b-től, és c-től függhet, de n-től nem. A prímszámelmélet szerint, ha ez a képlet 1 körüli értékeket ad, akkor a prímek eloszlása a másodfokú polinom helyettesítési értékeiként véletlenszerűnek tekinthető. De, ha ez a szám 1-nél nagyobb, vagy kisebb, akkor a ax²+bx+c polinomok sok, vagy kevés prímet ad. A 4x²-2x+41 polinom nagyon gazdag prímekben, ami az Ulam-spirálon is látható. Ez a polinom megkapható az Euler által talált x²-x+41 prímgeneráló polinomból az x=-2x+1 helyettesítéssel. A képlet erre a polinomra 6,6-et ad, vagyis ennyiszer több prímet ad, mint amennyi véletlenszerűen lenne.

Hardy és Littlewood képlete A-ra:

$A=\varepsilon \prod _{p}\left({\frac {p}{p-1}}\right)\prod _{\tilde {\omega }}\left(1-{\frac {1}{{\tilde {\omega }}-1}}\left({\frac {\Delta }{\tilde {\omega }}}\right)\right).$

Az első tényezőben p a és b közös prímtényezője; a második szorzatban ${\tilde {\omega }}$ egy a-hoz relatív prím prím. ε=0, ha a+b páros, és ε=1, ha az összeg páratlan. $\left({\frac {\Delta }{\tilde {\omega }}}\right)$ Legendre-szimbólum.

Jacobson és Williams talált egy másodfokú polinomot, amire A ≈ 11,3. Eddig ez a legnagyobb ismert érték. Jacobson and Williams.

Lásd még

• Sacks-spirál

Források

• Stein, M. and Ulam, S. M. (1967), "An Observation on the Distribution of Primes." American Mathematical Monthly 74, 43-44.
• Stein, M. L.; Ulam, S. M.; and Wells, M. B. (1964), "A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes." American Mathematical Monthly 71, 516-520.

• Gardner, M. (March 1964), "Mathematical Recreations: The Remarkable Lore of the Prime Number", Scientific American 210: 120–128.
• Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1923), "Some Problems of `Partitio Numerorum'; III: On the Expression of a Number as a Sum of Primes", Acta Mathematica 44: 1–70, DOI 10.1007/BF02403921.
• Stein, M. L.; Ulam, S. M. & Wells, M. B. (1964), "A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 71 (5): 516–520, doi:10.2307/2312588, <http://www.jstor.org/stable/2312588>.
• Stein, M. & Ulam, S. M. (1967), "An Observation on the Distribution of Primes", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 74 (1): 43–44, doi:10.2307/2314055, <http://www.jstor.org/stable/2314055>.

• Prime Spiral, MathWorld
• Paul Hoffman: A prímember

Külső hivatkozások

• Le Village Premier – az Ulam-spirál első százezer elemét vizsgáló Java applet
• Prime numbers in PostScript Archiválva 2007. szeptember 10-i dátummal a Wayback Machine-ben – PostScript program az Ulam-spirál elemeinek megjelenítésére
• Java applet forráskóddal
• http://www.abarim-publications.com/artctulam.html
• http://www.numberspiral.com/