Papers by Lossian Miranda
Neste pequeno livro apresentamos uma síntese de nossos estudos jusfilosóficos e matemáticos relat... more Neste pequeno livro apresentamos uma síntese de nossos estudos jusfilosóficos e matemáticos relativos às teorias da justiça, enfatizando a ponderação consensual por arbitragem nas colisões de princípios segundo a jurisprudência de Robert Alexy, bem como a teoria do caos. Conjecturamos que o sistema dinâmico social pode vir a ser caótico, com estabilidade estrutural que o tornaria uma espécie de inferno eterno.
Divulgamos um simples e direto método de resolução de equações diferenciais parciais lineares de ... more Divulgamos um simples e direto método de resolução de equações diferenciais parciais lineares de ordem única. A vantagem do método é ser aplicável a ordens quaisquer e, a grande desvantagem, é ser restrito a uma única ordem, de cada vez. Por ser muito fácil em comparação com os métodos clássicos, possui grande valor didático.
Here we have established definition of construction methods of magic squares and we prove the 7 e... more Here we have established definition of construction methods of magic squares and we prove the 7 existence of infinite construction methods of doubly even magic squares. 8 9
Here we have established sequences of new methods of building doubly even magic squares. For ever... more Here we have established sequences of new methods of building doubly even magic squares. For every n = 4k we build new magic squares hitherto unknown.
Here we have established infinite methods of building doubly even magic squares from doubly even ... more Here we have established infinite methods of building doubly even magic squares from doubly even magic squares of n order (n > 20) which are formed by blocks of order four whose sums of elements of
lines, columns and diagonals are all equal at 2+ 2n^2. Such a characteristic of these special magic squares causes a large production of other magic squares.
Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 20... more Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 2020), os quais são quadrados mágicos de ordens do tipo n=4k, compostos por subquadrados de ordem quatro cujos totais são, todos, iguais a c_n⁄k,k∈N^*. Em [7] nós calculamos uma cota inferior para o número dos quadrados mágicos de ordem n que podem ser gerados a partir dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans, para cada ordem n. Aqui, nós aumentamos o valor desta cota.
Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 20... more Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 2020), os quais são quadrados mágicos de ordens do tipo n=4k, compostos por subquadrados de ordem quatro cujos totais são, todos, iguais a c_n⁄k,k∈N^*. Aqui, nós fazemos uma brevíssima comunicação e calculamos uma cota inferior muito grande para o número dos quadrados mágicos de ordem n que podem ser gerados a partir dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans, para cada ordem n.
. Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], ... more . Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 2020), os quais são quadrados mágicos de ordens do tipo n=4k, compostos por subquadrados de ordem quatro cujos totais são, todos, iguais a c_n⁄k,k∈N^*. Aqui, nós fazemos uma brevíssima comunicação e calculamos uma cota inferior muito grande para o número dos quadrados mágicos de ordem n que podem ser gerados a partir dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans, para cada ordem n.
Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 20... more Em ([6], 2020) nós estabelecemos a existência dos duais dos quadrados mágicos dos Lohans ([3], 2020), os quais são quadrados mágicos de ordens do tipo n=4k, compostos por subquadrados de ordem quatro cujos totais são, todos, iguais a c_n⁄k,k∈N^*. Aqui, nós fazemos uma brevíssima comunicação e calculamos uma cota inferior muito grande para o número dos quadrados mágicos de ordem n que podem ser gerados a partir dos quadrados mágicos dos Lohans, para cada ordem n.
We make a brief comment on the magic aspects of the magic squares focusing on the creative proces... more We make a brief comment on the magic aspects of the magic squares focusing on the creative process of the general methods of building them.
Fazemos breve comentário sobre os aspectos mágicos dos quadrados mágicos focando o processo criat... more Fazemos breve comentário sobre os aspectos mágicos dos quadrados mágicos focando o processo criativo dos métodos gerais de construção dos mesmos.
Generalization of Dürer's Magic Square and New Methods for Doubly Even Magic Squares, 2020
We have established new general methods of building doubly even magic squares and from these meth... more We have established new general methods of building doubly even magic squares and from these methods we naturally obtain Dürer's magic square. This allows us to define Dürer's magic squares for orders greater than four.
In this brief article we present an interesting use of arithmetic progressions to construct doubl... more In this brief article we present an interesting use of arithmetic progressions to construct doubly even magic squares. It's a kind of generalization of Durer's magic square. A new method of building doubly even magic squares. The easiest and most beautiful.
Neste sintético artigo nós desvendamos o mistério que encobre a história do Santuário de Nossa Se... more Neste sintético artigo nós desvendamos o mistério que encobre a história do Santuário de Nossa Senhora do Rosário de Frecheira da Lama em Cocal da Estação no Piauí.
Resumo: em Notebook II, Chapter XXI, Srinivasa Ramanujan estabe-lece as identidades 2(√ a 2 + b 2... more Resumo: em Notebook II, Chapter XXI, Srinivasa Ramanujan estabe-lece as identidades 2(√ a 2 + b 2 − a)(√ a 2 + b 2 − b) = (a + b − √ a 2 + b 2) 2 e 3(3 √ a 3 + b 3 − a)(3 √ a 3 + b 3 − b) = (3
In Notebook II, Chapter XXI, Ramanujan establish the identities 2 í µí± 2 + í µí± 2 2 − í µí± ... more In Notebook II, Chapter XXI, Ramanujan establish the identities 2 í µí± 2 + í µí± 2 2 − í µí± í µí± 2 + í µí± 2 2 − í µí± = (í µí± + í µí± − í µí± 2 + í µí± 2 2) 2 and 3 í µí± 3 + í µí± 3 3 − í µí± í µí± 3 + í µí± 3 3 − í µí± = (í µí± + í µí± 2 3 − í µí± 2 − í µí±í µí± + í µí± 2 3) 3 with respect to a right triangle of sides í µí±, í µí± and hypotenuse í µí± 2 + í µí± 2 2. Here, we prove that the identity −1 í µí±+1 í µí± í µí±=1 í µí± í µí± ((í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±) í µí±−í µí± −í µí± í µí±−í µí±)(í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí± − í µí±) í µí± = (í µí± + í µí± − í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±) í µí± is a natural generalization of previous identities and that the use of Antiphon-Archimedes' principle establishes a logical equivalence between these identities and the Pythagorean theorem. New elementary type of construction of Pythagorean triples is established. In Notebook II, Chapter XXI, Ramanujan makes use of the identities 2 í µí± 2 + í µí± 2 2 − í µí± í µí± 2 + í µí± 2 2 − í µí± = í µí± + í µí± − í µí± 2 + í µí± 2 2 2 ; (a) 3 í µí± 3 + í µí± 3 3 − í µí± í µí± 3 + í µí± 3 3 − í µí± = { (í µí± + í µí±) 2 3 − í µí± 2 − í µí±í µí± + í µí± 2 3 } 3 (b) (1) established from a right triangle ⊿í µí° ¶í µí°µí µí°´, ∠í µí° ¶ = í µí¼ 2. These results and their generalizations give new proofs of the Pythagorean theorem and alternative constructions of Pythagorean triples. Proposition 1 (Of the four squares). Be í µí± a positive real number and í µí¼ a real number between 0 and 1. Then there is a single positive real number í µí± = í µí±(í µí±, í µí¼) such that 2 í µí± − í µí± í µí± − í µí±í µí¼ = (í µí¼í µí±) 2. (2) Abstract 1. Ramanujan's Pythagorean identities References Proof. Using the intermediate value theorem, we choose í µí± so that 2 í µí± − í µí± í µí± − í µí±í µí¼ = (í µí¼í µí±) 2 , according with the Figure 1. Observations. 1. Solving (2) in function of í µí¼ we have í µí¼ = í µí± + í µí± 2 − í µí± 2 2 − í µí± í µí±. (3) 2. Defining í µí± = í µí± − í µí± + í µí±í µí¼, (2) takes the form 2 í µí± − í µí± í µí± − í µí± = (í µí± + í µí± − í µí±) 2. (4) 3. The development of (4) shows that this is equivalent to the fundamental identity í µí± 2 + í µí± 2 = í µí± 2. (5) 4. The substitution of (5) in (4) generates (1a). The geometric procedure above generates any triple í µí±, í µí±, í µí± whose coordinates are lengths of the sides of a right triangle. In fact, we only need to take í µí¼ = í µí±+í µí±−í µí± í µí±. This is a proof of the Pythagorean theorem via principle of Antiphon-Archimedes, analogous to what David Hilbert accomplishes in The Foundations of Geometry. Also notice that í µí±, í µí¼ ∈ ℚ implies í µí±, í µí± ∈ ℚ. 3. Ramanujan's identities and the construction of Pythagorean triples The proposition of the four squares can be generalized for any dimension n. This generalization can be made via algebra or geometrically, replacing squares by n-dimensional hypercubes and segments by (í µí± − 1)-dimensional hyperrectangles and using the general principle of inclusion-exclusion. Then we will make an algebraic approach, more synthetic. Proposition 2 (Of the four hypercubes). The identities (í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±) í µí± = í µí± í µí± + í µí± í µí± and −1 í µí±+1 í µí± í µí± (í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí± í µí±−í µí± − í µí± í µí±−í µí±) í µí± í µí±=1 (í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí± − í µí±) í µí± = (í µí± + í µí± − í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±) í µí± are equivalent for any positive number í µí±. Proof. To decrease the notation, we will do í µí± § ≝ í µí± − í µí± and í µí± ≝ í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±. We have the following equivalences (í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±) í µí± = í µí± í µí± + í µí± í µí± ⟺ í µí± í µí± = í µí± í µí± +í µí± í µí± ⟺ í µí± í µí± − í µí± − í µí± − í µí± í µí± = í µí± í µí± ⟺ í µí± í µí± − −1 í µí± í µí± í µí± í µí± í µí±−í µí± í µí± § í µí± = í µí± í µí± ⟺ −1 í µí±+1 í µí± í µí± í µí± í µí±−í µí± í µí± § í µí± = í µí± í µí± ⟺ í µí± í µí±=1 í µí± í µí±=0 (−1) í µí±+1 í µí± í µí± [í µí± í µí±−í µí± í µí± § í µí± − í µí± í µí±−í µí± í µí± § í µí± + í µí± í µí±−í µí± í µí± § í µí± ] = í µí± í µí± ⟺ í µí± í µí±=1 (−1) í µí±+1 í µí± í µí± (í µí± í µí±−í µí± −í µí± í µí±−í µí±)í µí± § í µí± = (í µí± − í µí± §) í µí± ⟺ −1 í µí±+1 í µí± í µí± (í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí± í µí±−í µí± − í µí± í µí±−í µí±) í µí± í µí±=1 (í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí± − í µí±) í µí± = (í µí± + í µí± − í µí± í µí± + í µí± í µí± í µí±) í µí± í µí± í µí±=1. By swapping í µí± with í µí± in the demonstration above, the result is therefore established. 4. Instead of conclusion: balance, Pythagorean theorem and the Ramanujan's identities Consider a lever with the fulcrum at the origin. If we put í µí± mass units at – í µí± distance units, í µí± mass units at −í µí± distance units and í µí± mass units at í µí± distance units, then the center of mass will be at the origin in case of í µí±, í µí± and í µí± be the lengths of the sides of a right triangle of hypotenuse í µí±. This is the interpretation of the Pythagorean theorem in terms of balance on a lever. Similar interpretations also apply to Ramanujan's identities. The above results generalize the most basic identity established by Ramanujan. 2. Generalization of the Ramanujan's Pythagorean identities The identity í µí± 2 + í µí± 2 (í µí¼ 2 2(1−í µí¼) + í µí¼) 2 = í µí± 2 (í µí¼ 2 2(1−í µí¼) + 1) 2 , ∀(í µí±, í µí¼) ∈ ℝ + * × (0, 1) is an immediate consequence of Proposition 1. From 2í µí±¦ í µí± − í µí±í µí¼ = (í µí±í µí¼) 2 follows í µí±¦ = í µí±í µí¼ 2 2(1−í µí¼). The replacements of í µí± = í µí±¦ + í µí±í µí¼ and í µí± = í µí±¦ + í µí± in í µí± 2 + í µí± 2 = í µí± 2 provide the result. This identity can be easily proved, also, by simple inspection. Another interesting consequence of Proposition 1 is the identity í µí± í µí± 2 +í µí± 2 2 = í µí±+ í µí± 2 +í µí± 2 2 −í µí± í µí±+í µí±− í µí± 2 +í µí± 2 2 , which is invariant for the exchange of í µí± for í µí±. The search for Pythagorean triple is restricted to seek peers (í µí±, í µí¼) ∈ ℕ * × ℚ ∩ (0, 1) so that í µí±¦ ≝ í µí±í µí¼ 2 2(1−í µí¼) = (í µí±+í µí±−í µí±) 2 2(í µí±−í µí±) is a positive natural number (In order to prove this equality we use the equation (3)). A special case is when 2 í µí± − í µí± is a divisor of í µí± + í µí± − í µí±. In this case, there is í µí± ∈ ℕ * such that 2 í µí± − í µí± í µí± = í µí± + í µí± − í µí± and then, í µí± í µí±−í µí± = 2í µí± + 1, this is, í µí± í µí±−í µí± must be odd and greater than 1. From the two conditions imposed, results í µí± − í µí± = í µí±¦ = 1 2 (í µí± + í µí± − í µí±)(í µí± í µí±−í µí± − 1). For this case, there are many possible solutions. Next, we will present a family of primitive triples. Consider í µí± = í µí± − 1 and í µí± = 2í µí± + 1, í µí± ∈ ℕ *. Then, í µí± − 2í µí± + 1 = 2í µí± 2 and then í µí± = 2í µí± 2 + 2í µí± + 1. Therefore, (2í µí± + 1, 2í µí± 2 + 2í µí± , 2í µí± 2 + 2í µí± + 1) is a Pythagorean triple for any positive natural number í µí±. From í µí¼ = í µí±+í µí±−í µí± í µí± follows í µí¼ = í µí± í µí± , with í µí± + í µí± − í µí± ≝ í µí± ∈ í µí°¼ í µí±−1 ≝ {1, 2, … , í µí± − 1}. So, if í µí±, í µí±, í µí± = (í µí±, í µí±í µí¼ 2 2 1−í µí¼ + í µí±í µí¼, í µí±í µí¼ 2 2 1−í µí¼ + í µí±) is a Pythagorean triple of any kind, it should have such form í µí±, í µí±, í µí± = (í µí±, í µí± 2 2(í µí±−í µí±) + í µí±, í µí± 2 2(í µí±−í µí±) + í µí±), with í µí± ∈ í µí°¼ í µí±−1 and 2(í µí± − í µí±) being divisor of í µí± 2. The multiplication of this triple coordinate by 2(í µí± − í µí±) generates the Pythagorean triples 2í µí± 2 − 2í µí±í µí±, 2í µí±í µí± − í µí± 2 , 2í µí± 2 − 2í µí±í µí± + í µí± 2 , with í µí± > í µí± > 0. í µí±«í µí± ≝ í µí²; í µí±ªí µí±³ ≝ í µí²; í µí² ≝ í µí±®í µí±° í µí±«í µí±¬ = í µí²í µí½ í µí±©í µí±ª = í µí±¬í µí± = í µí² − í µí²í µí½ í µí±ªí µí± ≝ í µí² = í µí² − í µí² í µí² = í µí² + í µí²í µí½ í µí±¨í µí±© í µí±ª í µí±« í µí±¬ í µí± í µí±® í µí±¯ í µí±° í µí±± í µí±² í µí±³ Figure 1. íµí±¨íµí±ªíµí±³íµí±±,íµí±¨íµí±©íµí±°íµí±®,íµí±«íµí±íµí±³íµí±²,íµí±«íµí±¬íµí±°íµí±¯aresquares.íµí±¨íµí²íµí²íµí²íµí²íµí²íµí±«íµí±¬íµí±°íµí±¯=íµí¿(íµí±¨íµí²íµí²íµí²íµí²íµí²íµí±©íµí±«íµí±íµí±¬).
We establish the conditions for that an infinite composition of functions is continuous or surjec... more We establish the conditions for that an infinite composition of functions is continuous or surjective function.
Drafts by Lossian Miranda
Neste breve artigo apresentamos um interessante uso das progressões aritméticas para a construção... more Neste breve artigo apresentamos um interessante uso das progressões aritméticas para a construção de quadrados mágicos de ordens múltiplas de quatro.
Uploads
Papers by Lossian Miranda
lines, columns and diagonals are all equal at 2+ 2n^2. Such a characteristic of these special magic squares causes a large production of other magic squares.
Drafts by Lossian Miranda
lines, columns and diagonals are all equal at 2+ 2n^2. Such a characteristic of these special magic squares causes a large production of other magic squares.