Grannfræði

Grannfræði (áður kölluð stöðfræði) er grein stærðfræðinnar, sem fjallar eingöngu um samfelldni og vensl. Grannfræði fjallar um rannsóknir á grannfræðilegum eiginleikum, og þá sérstaklega grannfræðilegar óbreytur.

Grannfræðilegir eiginleikar

Mengi er sagt grannfræðilegt ef hægt er að lýsa því á samfelldan hátt. Grannfræðileg eigindi mengis er kallað grannfræðileg óbreyta (e. topological invariant) ef hún er til staðar fyrir allar mótanir (e. homeomorphism).

Grannmótun (eða mótun) er samfelld breyting til beggja átta úr einni mynd í aðra, t.d. þegar tekið er kennaratyggjó, með ákveðninni lögun, og lögun þess er breytt án þess að það sé slitið í fleiri hluta, brotið saman, ný göt mynduð eða gati lokað, telst sú breyting vera grannmótun. Á sama hátt eru teningur og kúla grannmótanleg - það er hægt að breyta kúlu í tening á samfelldan hátt. Einnig er grannfræðilega mögulegt að ummóta kleinuhring í kaffibolla og öfugt.

Stærðfræðileg skilgreining

Ef X er mengi og T fjölskylda hlutmengja X, þá er T grannmynstur á X ef

Tómamengið og X eru stök í T
Sérhvert sammengi staka úr T er stak í T
Sérhvert sniðmengi endanlegra margra staka úr T er stak í T.

Ef T er grannfræði á X, þá kallast tvenndin (X, T) grannrúm og X_T er notað til að tákna X ásamt tilsvarandi grannfræði T.

Saga

Grannfræði á rætur sínar að rekja til rúmfræðirannsókna í fornum samfélögum, en grein Leonhard Eulers frá 1736 um Brýrnar í Königsberg er talin vera ein fyrsta rúmfræðilega rannsóknin sem reiðir sig ekki á neinar mælingar - þ.e., ein fyrsta grannfræðilega rannsóknin.

Georg Cantor, upphafsmaður mengjafræðinnar, stundaði rannsóknir á punktamengjum í Evklíðsku rúmi á seinni hluta 19. aldar.

Henri Poincaré gaf út bókina „Analysis Situs“ árið 1895, þar sem hann kynnti hugtökin togun (e. homotopy) og samsvip (e. homology).

Maurice Fréchet tók meðal annars saman verk Cantors, Volterras, Arzelàs, Hadamards, Ascolis og kynnti hugtakið firðrúm (e. metric space) árið 1906.

Árið 1914 kynnti Felix Hausdorff hugtakið grannrúm (e. topological space) sem einföldun og alhæfingu á firðrúmshugtakinu og gaf út skilgreiningu á því sem nú er kallað Hausdorff rúm.

Að lokum lagði Kazimierz Kuratowski til alhæfingu árið 1922 sem núverandi skilningur okkar á grannrúmi byggist á.

Hugtakið „topologie“ var notað í Þýsku árið 1847 af Johann Benedict Listing (1808—1882) í „Vorstudien zur Topologie“; en hann hafði notað orðið áður í c.a. 10 ár í bréfskriftum og sínum eigin athugasemdum. Enska orðið „Topology“ kom fyrst fram á prenti frá Solomon Lefschetz árið 1930 til þess að koma í stað latneska hugtaksins „analysis situs“. Á íslensku var þessi grein fyrst nefnd stöðfræði, en síðar var farið að nefna þetta grannfræði.

Grannfræðiþrautir (Stöðfræðiþrautir)

Margir vita ekkert um grannfræði (stöðfræði), en kannast þó vel við ýmsar þrautir sem eiga rætur sínar í henni. Sem dæmi má nefna allar þrautir sem ganga út á að teikna einhverja mynd í einu pennastriki og fara ekki oftar en einu sinni í hvert strik. Einnig skemmtileikur eins og „Að leysa sig úr hjónabandi“, en þar er par bundið saman þannig að úlnliðir þess eru bundnir saman með krosslögðu bandi. Á það nú að leysa sig úr „hjónabandinu“ án þess að slíta bandið eða að leysa það af úlnliðunum. Þriðja slík þraut er sú, að maður klæddur í vesti og jakka fær að spreyta sig á því að fara úr vestinu án þess að fara úr jakkanum. Auðvitað verður hann að vera í vestinu innan undir jakkanum í upphafi.

Grannfræðilegir „hlutir“

Nefna má sem dæmi Möbíusarræmuna en það er borði, sem er búinn til með því að taka mjóan renning og festa hann saman í hring en áður en endarnir eru límdir saman er settur hálfur snúningur á annan endann. Við það fæst borði, sem hefur bara einn flöt og eina brún og getur hver og einn sannfært sig um það með því að búa þetta til og skoða. Einnig er Klein-flaska frægt fyrirbæri. Það er hugsuð flaska, sem hefur teygðan stút. Stúturinn er sveigður og stingst í gegnum hliðarflöt flöskunnar (án þess að rjúfa hann!) og tengist síðan við botn hennar innan frá, þannig að þar er opið inn í stútinn. Þetta fyrirbæri hefur enga brún og aðeins einn flöt. Þessir hlutir eru kenndir við höfunda sína, sem báðir voru þýskir stærðfræðingar, þeir August Ferdinand Möbius og Felix Klein.

Lesefni

Glósur Guðmundar: Fyrirlestrar Reynis Axelssonar Geymt 22 september 2020 í Wayback Machine