Campo gravitazionale

In fisica, il campo gravitazionale è il campo associato all'interazione gravitazionale.

In meccanica classica, il campo gravitazionale è trattato come un campo di forze conservativo. Secondo la relatività generale esso è espressione della curvatura dello spazio-tempo creata dalla presenza di massa o energia (quindi la forza di gravità sarebbe una forza apparente) ed è rappresentato matematicamente da un tensore metrico legato allo spazio-tempo curvo attraverso il tensore di Riemann.

Il campo gravitazionale generato dalla Terra, ad esempio, in prossimità della superficie terrestre assume valori prossimi a 9,8 m·s^-2 e per convenzione tale valore si adotta come riferimento per l'accelerazione di gravità.

Definizione newtoniana

Rappresentazione del campo gravitazionale tra la Terra e la Luna.

Il campo gravitazionale è un campo di forze conservativo. Il vettore del campo gravitazionale generato nel punto $\mathbf {r}$ nello spazio dalla presenza di una massa nel punto $\mathbf {O} ,$ origine del riferimento, è definito come:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,,

dove $G$ è la costante di gravitazione universale e $M$ la massa. È quindi possibile esprimere la forza esercitata sul corpo di massa m come:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} )\,.

L'unità di misura del campo gravitazionale nel Sistema internazionale è:

{\big [}{g}{\big ]}=\left[{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {kg} }}\right]=\left[{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\right]

dove $g=\|\mathbf {g} \|$ è il modulo di $\mathbf {g}$ .

L'accelerazione di gravità in una stanza (la curvatura terrestre è trascurabile e quindi il vettore $\mathbf {g}$ è costante e diretto verso il basso).

Il campo gravitazionale è descritto dal potenziale gravitazionale, definito come il valore dell'energia gravitazionale rilevato da una massa posta in un punto dello spazio per unità di massa. L'energia gravitazionale della massa è il livello di energia che la massa possiede a causa della sua posizione all'interno del campo gravitazionale; pertanto il potenziale gravitazionale della massa è il rapporto tra l'energia gravitazionale e il valore della massa stessa, cioè:

\operatorname {V} ={\frac {U}{M}}\,.

Essendo il campo gravitazionale conservativo, è sempre possibile definire una funzione scalare V il cui gradiente, cambiato di segno, coincida con il campo:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V\,.

Per ogni campo gravitazionale è possibile definire delle superfici ortogonali al campo in ogni punto dello spazio, dette superfici equipotenziali. Il significato fisico di queste superfici è chiaro se si considera il lavoro della forza di gravità lungo un cammino appartenente alla superficie: dato che lo spostamento è punto per punto ortogonale alla forza, il lavoro lungo questo cammino è nullo. Ciò vuol dire che masse uguali sulla stessa superficie equipotenziale hanno la stessa energia potenziale. Per esempio, nel caso di una sorgente sferica, le superfici equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di flusso sono l'insieme delle semirette entranti nel centro delle sfere.

Indicato il campo gravitazionale come ${\bf {x}}\,\mapsto {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}},$ a meno di fattori moltiplicativi e traslazionali, con ${\bf {x}}={\big (}x_{1},x_{2},x_{3}{\big )}$ vettore posizione, si osserva che la sua divergenza in tre dimensioni è nulla. Infatti:

\nabla \cdot {\frac {\bf {x}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}\right)=\sum _{k=1}^{3}{\frac {\|{\bf {x}}\|^{3}-x_{k}3\|{\bf {x}}\|^{2}\displaystyle {\frac {x_{k}}{\|{\bf {x}}\|}}}{\|{\bf {x}}\|^{6}}}=\sum _{k=1}^{3}\left({\frac {1}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3x_{k}^{2}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}\right)={\frac {3}{\|{\bf {x}}\|^{3}}}-{\frac {3{\big (}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}{\big )}}{\|{\bf {x}}\|^{5}}}=0\,.

Definizione einsteiniana

Il campo gravitazionale assume nell'ambito della teoria della relatività generale di Einstein una struttura molto più complessa. Esso rappresenta la differenza tra il tensore metrico dello spazio-tempo e il tensore metrico dello spazio-tempo piatto, o spazio-tempo di Minkowski. La deformazione dello spazio-tempo data dal campo gravitazionale viene talvolta rappresentata graficamente come la deformazione di un materasso, o di un telo elastico, ad opera di una palla pesante posta su di esso: qui lo spazio-tempo piatto è rappresentato dal telo perfettamente teso e, appunto, piatto.

Il tensore metrico dello spazio-tempo deformato dalla presenza di masse, oppure semplicemente energia, viene calcolato attraverso l'equazione di campo di Einstein:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }

dove $g_{\mu \nu }$ è il tensore metrico, $R$ e $R_{\mu \nu }$ sono rispettivamente la curvatura scalare e il Tensore di Ricci, ottenuti come contrazione dal Tensore di Riemann (legato alle derivate del tensore metrico); $G$ è la costante di gravitazione universale e $T_{\mu \nu }$ denota il Tensore energia impulso, che rappresenta densità e flusso di materia ed energia (non gravitazionale) in ciascun punto dello spazio-tempo.