가측 함수

측도론에서 가측 함수(可測函數, 영어: measurable function)는 원상이 가측성을 보존하는 함수이다.

정의

두 가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$ , $(Y,{\mathcal {G}})$ 사이의 가측 함수 $f\colon X\to Y$ 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

모든 $S\in {\mathcal {G}}$ 에 대하여, $f^{-1}(S)\in {\mathcal {F}}$

만약 공역이 유클리드 공간인 경우, 보통 공역에 보렐 시그마 대수를 부여한다. 만약 정의역이 유클리드 공간일 영우, 보통 공역에 르베그 시그마 대수를 부여한다. 즉, "가측 함수 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ "는 보통 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 을 의미한다.

성질

두 가측 함수

f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})

g\colon (X_{2},{\mathcal {F}}_{2})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})

가 주어졌을 때, 그 합성 함수

g\circ f\colon (X_{1},{\mathcal {F}}_{1})\to (X_{3},{\mathcal {F}}_{3})

역시 가측 함수이다.

보렐 가측 함수

$X$ 와 $Y$ 가 보렐 시그마 대수를 갖춘 위상 공간이라고 하면, 다음이 성립한다.

$X$ 와 $Y$ 사이의 모든 연속 함수는 가측 함수이다.
반대로, 루진의 정리에 따르면, $Y$ 가 제2 가산 공간이며 $X$ 에 라돈 측도가 부여되었다면, 모든 가측 함수 $f\colon X\to Y$ 는 $X$ 의 (라돈 측도에 대하여) 거의 어디서나 연속 함수이다.

$(X,{\mathcal {F}})$ 가 임의의 가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

두 가측 함수 $f,g\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 에 대하여, $f+g$ 및 $f\cdot g$ 는 가측 함수이다.
가측 함수의 열 $f_{1},f_{2},\dots \colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 의 점별 극한은 가측 함수이다.
모든 르베그 적분 가능 함수 $X\to \mathbb {R}$ 는 가측 함수이다.

르베그 가측 함수

임의의 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 및 $g\colon \mathbb {R} \to [0,\infty )$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ 는 가측 함수이다.
다음 함수는 르베그 적분 가능 함수이다.

\operatorname {mid} \{-g,f,g\}\colon x\mapsto {\begin{cases}g(x)&f(x)\geq g(x)\\f(x)&-g(x)\leq f(x)\leq g(x)\\-g(x)&f(x)\leq -g(x)\end{cases}}

바나흐 공간 값 가측 함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$
$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
(표준적인 위상과 보렐 시그마 대수를 갖춘) $\mathbb {K}$ -바나흐 공간 $Y$

그렇다면, $X\to Y$ 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f\colon X\to Y$ 이다.

f=\sum _{i=1}^{k}y_{i}1_{S_{i}}

y_{1},\dots ,y_{k}\in Y

S_{1},\dots ,S_{k}\in {\mathcal {F}}

k\in \mathbb {N}

(여기서 $1_{S_{i}}$ 는 지시 함수이다.)

이제, 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건을 정의하자.

(강가측 함수, 强可測函數, 영어: strongly measurable function) 단순 함수의 열의 점별 극한이다.
(약가측 함수, 弱可測函數, 영어: weakly measurable function) 임의의 연속 쌍대 공간 원소 $\phi \in Y^{*}$ 에 대하여, $\phi \circ f\colon (X,{\mathcal {B}}(X))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))$ 는 가측 함수이다.

이 경우, 모든 강가측 함수는 가측 함수이며, 모든 가측 함수는 약가측 함수이다. 또한, 페티스 가측성 정리(Pettis可測性定理, 영어: Pettis measurability theorem)에 따르면, 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:5, Theorem 1.1.6}

강가측 함수이다.
약가측 함수이며, $f(X)\subset {\widetilde {Y}}$ 인 분해 가능 부분 공간 ${\widetilde {Y}}\subset Y$ 가 존재한다.

특히, 만약 $Y$ 가 분해 가능 바나흐 공간일 경우, $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

강가측 함수이다.
가측 함수이다.
약가측 함수이다.

가측 공간 $(X,{\mathcal {F}})$ 및 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 및 두 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간 $Y$ , $Z$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $f\colon X\to Y$ 가 강가측 함수이며, $g\colon Y\to Z$ 가 가측 함수라면, $g\circ f$ 는 강가측 함수이다.^[1]^{:7, Corollary 1.1.11}

예

정의에 따르면 확률 변수는 확률 공간을 정의역으로 하는 가측 함수이다.

모든 함수가 가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 $A\subset \mathbb {R}$ 가 가측 집합이 아닌 경우, 지시 함수 $1_{A}$ 는 가측 함수가 아니다.

강가측 함수가 아닌 가측 함수

분해 불가능 $\mathbb {K}$ -바나흐 공간 $X$ 위의 항등 함수

f\colon x\mapsto x

를 생각하자. 이는 연속 함수이므로 보렐 가측 함수이다. 그러나 $f(X)=X$ 가 분해 가능하지 않으므로, 페티스 가측성 정리에 따라 $f$ 는 강가측 함수가 아니다.^[1]^{:4, Example 1.1.5}

가측 함수가 아닌 약가측 함수

실수의 셈측도 공간 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\mu )$ 위의 르베그 공간 $\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )$ 를 공역으로 하는, 다음과 같은 함수를 정의하자.

f\colon \mathbb {R} \to \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )

f(x)(t)={\begin{cases}1&t=x\\0&t\neq x\end{cases}}

그렇다면, $f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} ),{\mathcal {B}}(\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )))$ 는 약가측 함수이지만, 가측 함수가 아니다. 우선, 임의의 $x\in \mathbb {R}$ 에 대하여,

\langle f,f(x)\rangle =f(x)\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))

는 가측 함수이다. 또한, 비가측 집합 $A\subset \mathbb {R}$ 에 대하여,

B=\bigcup _{x\in A}\operatorname {ball} _{\ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )}(1,f(x))\subset \ell ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {K} )

는 열린집합이므로 가측 집합이지만, 그 원상

f^{-1}(B)=A

는 가측 집합이 아니다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). 《Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics (영어) 63. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48520-1. ISBN 978-3-319-48519-5. ISSN 0071-1136. LCCN 2016955329.

Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4.

외부 링크

“Measurable function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Measurable function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Hytönen-1] 가 ^나 ^다 Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). 《Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics (영어) 63. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-48520-1. ISBN 978-3-319-48519-5. ISSN 0071-1136. LCCN 2016955329.

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