Lygtis

Lygtis – matematinio uždavinio, reikalaujančio rasti argumentų (vadinamų nežinomaisiais) reikšmes, su kuriomis du duoti reiškiniai būtų lygūs, simbolinis užrašas. Lygties bendroji forma yra tokia:

$f\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=g\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)$

Argumentai, kurie tenkina šią lygybę, vadinami lygties sprendiniais arba šaknimis. Lygties sprendinių radimas yra vadinamas lygties sprendimu. Paprastos lygties pavyzdys galėtų būti:

$x^{2}-x=0\,.$

Šią lygtį galima persirašyti į

$x\cdot (x-1)=0\,.$

Iš pastarojo užrašo matome, kad lygybė galioja (kairė pusė lygi dešinei pusei) tada, kai x = 0 arba x = 1, nes vietoje x įsistatę 1 arba 0 gauname teisingas lygybes (atitinkamai, $0(0-1)=0$ ir $1(1-1)=0$. Taigi, lygties sprendiniai yra 0 ir 1.

Užrašant apibendrintas lygtis, abėcėles pradžioje esančios raidės (a, b, c, d...) dažnai žymi konstantas, o abėcėles pabaigoje esančios raidės (x, y, z, w...) dažniausiai žymi nežinomuosius.

Lygtys yra vadinamos ekvivalenčiomis, jeigu jos turi tą pačią sprendinių aibę.

Lygčių savybės

1. Bet koks dydis gali būti pridėtas arba atimtas prie abiejų pusių. Pvz.: lygtyje

$x+5=0\,$

iš abiejų pusių atėmę 5 gausime

$x=-5\,$

Galima atiminėti bei pridėdinėti ir kintamuosius. Pvz.: lygtyje

$2x=-2x+7\,$

prie abiejų pusių pridėję 2x gausime

$4x=7\,$

2. Abi lygybės puses galima padauginti arba padalinti iš bet kokio dydžio (išskyrus 0). Pvz.: lygtyje

${\frac {x}{3}}\ =2$

abi puses padauginę iš 3 gausime

$x=6.\,$

Dalinti ir dauginti iš reiškinių, kuriuose yra kintamieji, reikia atsargiai, nes galima prarasti sprendinių arba gauti netinkamų. Plačiau apie tai skyriuje Netinkami arba prarasti sprendiniai.
3. Apibendrinus, abiem pusėms galima pritaikyti beveik bet kokią funkciją Pvz.:

$7^{x}=3\,$

$\log _{7}7^{x}=\log _{7}3\,$

$x\cdot \log _{7}7=\log _{7}3\,$

$x=\log _{7}3\,$

Tiesa, pritaikant kai kurias funkcijas (pvz., f(x) = x² + 1) taip pat galima prarasti sprendinius arba gauti netinkamų sprendinių.

Netinkami arba prarasti sprendiniai

Prarasti sprendiniai dalinant

Dalinant iš x, reikia patikrinti, ar lygčiai netinka sprendinys x = 0, o dalijant iš (x - 7), reikia patikrinti ar netinka lygties x - 7 = 0 sprendinys 7 ir t. t. Pavyzdžiui, aukščiau nagrinėtą lygtį

$x^{2}-x=0\,$

padalinę iš x gautume

$x-1=0\,$

Šios lygties atsakymas yra x=1, bet kadangi dalinome iš x, reikia patikrinti, ar lygčiai x² - x = 0 netinka sprendinys x = 0. Vietoje x įsistatę 0 gauname $0^{2}-0=0$. Matome, kad lygybė galioja, taigi lygties x² - x = 0 sprendinys yra ne tik x = 1, bet ir x = 0. Panašiai lygtį

$x\cdot (x-2)=x-2\,$

padalinę iš (x - 2) gautume teisingą sprendinį x = 1, bet prarastume kitą teisingą sprendinį x = 2.

Papildomi sprendiniai dauginant

Padauginę abi lygties puses iš reiškinių su kintamaisiais galime gauti papildomų sprendinių, netinkančių iš pradžių spręstai lygčiai. Pavyzdžiui, lygtį

$x+2=0\,$

padauginę iš x gausime

$x^{2}+2x=0\,$

Tokia lygtis turės du sprendinius: -2 ir 0. Bet pradinėje lygtyje x + 2 = 0 vietoje x įsistatę 0 gauname 2 = 0. Matome, kad ši lygybė negalioja, todėl sprendinį x = 0 reikia atmesti. Panašiai abi tos pačios lygties puses padauginę iš (x + 6), gautume netinkamą sprendinį x = - 6 ir t. t. Bet padauginę abi lygties x + 2 = 0 puses iš (x + 2) papildomų sprendinio negautume.

Kai kintamųjų yra vardiklyje, papildomų sprendinių galima gauti ir dėl kitokių priežasčių. Pvz.: lygtį

${\frac {1}{x-2}}={\frac {3}{x+2}}-{\frac {6x}{(x-2)(x+2)}}\,.$

padauginę iš (x - 2)(x + 2) gautume

$x+2=3(x-2)-6x\,.$

Ši lygtis turi vienintelį sprendinį x = − 2. Bet vietoje x įsistatę -2 gautumėme

${\frac {1}{-2-2}}={\frac {3}{-2+2}}-{\frac {6-2}{(-2-2)(-2+2)}}\,.$

Atlikus aritmetinius veiksmus išeitų

${\frac {1}{-4}}={\frac {3}{0}}-{\frac {12}{0}}\,.$

Kadangi dalyba iš 0 negalima, sprendinys x= - 2 netinka ir lygtis sprendinių neturi. Todėl dauginant iš reiškinių su kintamaisiais yra patartina patikrinti gautus sprendinius.

Grafinis lygčių sprendimas

Apytiksliai lygtis galima spręsti nubrėžiant abiejose lygties pusėse esančių funkcijų grafikus. Grafikų susikirtimo taškai nusakys lygties sprendinius. Jei lygtyje yra vienas kintamasis, tai brėžinys bus plokštumoje ir lygties sprendiniai bus susikirtimo taškų x koordinatės. Tarkime turime lygtį 0,5x + 2 = -x + 5. Norint išspręsti šią lygtį grafiškai, reikia nubrėžti brėžinius y = 0,5x + 2 ir y = -x + 5:

Matome, kad tiesės kertasi vieninteliame taške (2;3). Kadangi mes ieškome x, pirmoji taško koordinatė ir bus lygties sprendinys. Vietoje x įsistatę 2 galime įsitikinti, kad tai yra duotosios lygties sprendinys: 0,5 $\cdot$ 2 + 2 = -2 + 5. Kadangi abiejose pusėse atlikus veiksmus gaunasi 3, lygybė galioja ir sprendinys x=2 yra teisingas. Reikia pastebėti, kad abiejose lygybės pusėse įstačius rastą x gaunamas skaičius, kuris yra lygus susikirtimo taško ordinatei. Brėžiant grafikus ranka ir nurodant susikirtimo taškus „iš akies“, paprastai susikirtimo taškai randami tik apytiksliai. Įsistačius apytikslius sprendinius kintamuosius į lygtį, gautos lygybės pusės būna tik apylygės (pvz.: 3,1 = 2,95). Jei funkcijų grafikai kertasi keliuose taškuose, tai visi tie taškai nusakys lygties sprendinius. Praktikoje grafinis lygčių sprendimo metodas yra naudojamas retai, nes dažniausiai algebrinis lygčių sprendimo metodas yra greitesnis ir tikslesnis.

Taip pat skaitykite

• Kvadratinės lygtys
• Diferencialinės lygtys